Inégalités. Types d'inégalités

Par exemple, l'inégalité est l'expression \(x>5\).

Types d'inégalités :

Si \(a\) et \(b\) sont des nombres ou , alors l'inégalité est appelée numérique. Il s'agit en fait simplement de comparer deux nombres. Ces inégalités se répartissent en fidèle Et infidèle.

Par exemple:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) est une inégalité numérique incorrecte, puisque \(17+3=20\) et \(20\) est inférieur à \(115\) (et non supérieur ou égal à) .

Si \(a\) et \(b\) sont des expressions contenant une variable, alors nous avons inégalité avec variable. Ces inégalités sont divisées en types selon le contenu :

Quelle est la solution à une inégalité ?

Si vous remplacez un nombre par une inégalité au lieu d'une variable, celui-ci se transformera en un nombre numérique.

Si une valeur donnée pour x transforme l’inégalité d’origine en une véritable inégalité numérique, alors on l’appelle solution aux inégalités. Si ce n’est pas le cas, cette valeur n’est pas une solution. Et à résoudre les inégalités– il faut trouver toutes ses solutions (ou montrer qu’il n’y en a pas).

Par exemple, si nous substituons le nombre \(7\) dans l'inégalité linéaire \(x+6>10\), nous obtenons l'inégalité numérique correcte : \(13>10\). Et si nous substituons \(2\), il y aura une inégalité numérique incorrecte \(8>10\). Autrement dit, \(7\) est une solution à l’inégalité d’origine, mais \(2\) ne l’est pas.

Cependant, l’inégalité \(x+6>10\) a d’autres solutions. En effet, nous obtiendrons les inégalités numériques correctes en substituant \(5\), et \(12\), et \(138\)... Et comment trouver tous solutions possibles? Pour cela ils utilisent. Pour notre cas nous avons :

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Autrement dit, tout nombre supérieur à quatre nous conviendra. Vous devez maintenant écrire la réponse. Les solutions aux inégalités sont généralement écrites sous forme numérique, en les marquant en outre sur axe des nombreséclosion. Pour notre cas nous avons :

Répondre: \(x\in(4;+\infty)\)

Quand le signe d’une inégalité change-t-il ?

Il existe un grand piège dans les inégalités dans lequel les étudiants « aiment » vraiment tomber :

Lorsqu’on multiplie (ou divise) une inégalité par un nombre négatif, elle est inversée (« plus » par « moins », « plus ou égal » par « inférieur ou égal », etc.)

Pourquoi cela arrive-t-il? Pour comprendre cela, regardons les transformations inégalité numérique\(3>1\). C’est exact, trois est effectivement supérieur à un. Tout d'abord, essayons de le multiplier par n'importe quel nombre positif, par exemple deux :

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Comme nous pouvons le voir, après multiplication, l’inégalité reste vraie. Et quel que soit le nombre positif par lequel nous multiplions, nous obtiendrons toujours la bonne inégalité. Essayons maintenant de multiplier par un nombre négatif, par exemple, moins trois :

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Le résultat est une inégalité incorrecte, car moins neuf est inférieur à moins trois ! Autrement dit, pour que l'inégalité devienne vraie (et donc que la transformation de la multiplication par négatif soit « légale »), vous devez inverser le signe de comparaison, comme ceci : \(−9<− 3\).
Avec la division, cela fonctionnera de la même manière, vous pouvez le vérifier vous-même.

La règle écrite ci-dessus s’applique à tous les types d’inégalités, pas seulement aux inégalités numériques.

Répondre: \(x\in(-1;\infty)\)

Inégalités et handicap

Les inégalités, tout comme les équations, peuvent avoir des restrictions sur , c'est-à-dire sur les valeurs de x. En conséquence, les valeurs inacceptables selon le DZ devraient être exclues de la gamme de solutions.

Exemple: Résoudre l'inégalité \(\sqrt(x+1)<3\)

Solution: Il est clair que pour que le côté gauche soit inférieur à \(3\), l'expression radicale doit être inférieure à \(9\) (après tout, de \(9\) juste \(3\)). On a:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(X<8\)

Tous? Toute valeur de x inférieure à \(8\) nous conviendra ? Non! Car si l’on prend, par exemple, la valeur \(-5\) qui semble répondre à l’exigence, ce ne sera pas une solution à l’inégalité originelle, puisqu’elle nous amènera à calculer la racine d’un nombre négatif.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Par conséquent, nous devons également prendre en compte les restrictions sur la valeur de X - il ne peut pas être tel qu'il y ait un nombre négatif sous la racine. Ainsi, nous avons la deuxième exigence pour x :

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

Et pour que x soit la solution finale, il doit satisfaire aux deux exigences à la fois : il doit être inférieur à \(8\) (pour être une solution) et supérieur à \(-1\) (pour être admissible en principe). En le traçant sur la droite numérique, nous avons la réponse finale :

Répondre: \(\gauche[-1;8\droite)\)

Objectif de la leçon : réfléchir davantage à la solution inégalités complexes.

1. Réponses aux questions sur les devoirs (analyse des problèmes non résolus).

2. Suivi de l'assimilation de la matière (test).

Résoudre des inégalités complexes contenant des modules ou des paramètres.

Résolvons l'inégalité |x – 1| < 3.

Tout d’abord, résolvons analytiquement cette inégalité en considérant deux cas :

a) Si x – 1 > 0, c'est-à-dire x > 1, alors |x – 1| = x – 1 et l'inégalité ressemble à x – 1< 3. Решение этого неравенства х < 4. Учитывая условие х >1, dans ce cas on obtient la solution 1< х < 4 или х [ 1; 4).

b) Si x – 1< 0, т. е. х < 1, то |x – 1| = – (х – 1) = 1 – х и неравенство имеет вид 1 – х < 3. Решение этого неравенства -2 < х. Учитывая условие х < 1, получаем в этом случае решение -2 <х < 1 или х (-2; 1).

On retrouve l'union des solutions obtenues.

Puisque l'écriture de la réponse dans les problèmes avec paramètres est très importante (la réponse est écrite par ordre croissant du paramètre), nous donnons la réponse complète :

Lorsqu'un< 1 х [ а + 1; +); при а = 1 х (-; + ); при а >1x (-; une + 1].

Examinons maintenant les inégalités linéaires à deux variables. En règle générale, de tels problèmes se réduisent à représenter un ensemble de points dont les coordonnées satisfont à l'inégalité sur le plan de coordonnées.

Sur avion coordonné Représentons un ensemble de points dont les coordonnées satisfont à l'inégalité y-2 > x-3.

Écrivons cette inégalité sous la forme y > x-1. Tout d’abord, traçons la fonction linéaire y = x-1 (ligne droite). Cette ligne divise tous les points du plan de coordonnées en points situés sur cette ligne et en points situés sous cette ligne. Vérifions quels points satisfont cette inégalité.

De la première zone, nous prenons, par exemple, le point de contrôle A (0 ; 0) - l'origine des coordonnées. Il est facile de vérifier qu’alors l’inégalité y > -1 est vraie. Dans la deuxième zone, nous sélectionnons, par exemple, le point de contrôle B (1 ; -1). Pour un tel point, l'inégalité y > x-1 n'est pas vraie. Par conséquent, cette inégalité est satisfaite par les points situés au dessus et sur la droite y = x-1 (c'est-à-dire des points similaires au point A). Ces points sont ombrés.

Pour quelles valeurs du paramètre a l'équation ax 2 + x – 1 = 0 n'a-t-elle pas de solutions ?

Puisque le coefficient directeur de l’équation dépend du paramètre a, il faut considérer deux cas.

a) Si a 0, alors l'équation ax 2 + x – 1 = 0 est quadratique. Une telle équation n'a pas de solution si son discriminant D< 0. Решение этого неравенства а (-; -). Заметим, что в указанный промежуток значение а = 0 не входит.

b) Si a = 0, alors l'équation ax 2 + x – 1 = 0 est linéaire et a la forme x – 1 = 0. Évidemment, l'équation a une solution unique x = 1.

Donc, pour un (-; -), cette équation n’a pas de solution.

Résolvons l'inégalité |x – 1| +x2 +2x+1< 0.

Écrivons l'inégalité sous la forme |x – 1| + (x + 1) 2< 0 и введем новую переменную, а = х + 1. Тогда неравенство примет вид, |a| + а 2 < 0. Так как |a| >0 et a 2 > 0 pour toutes les valeurs de a, alors la somme

|une| + a 2 > 0 pour tout a. Donc l'inégalité, |a| + un 2< 0 имеет единственное решение а = 0. теперь вернемся к старой неизвестной х. Получаем équation linéaire x + 1 = 0, dont la solution est x = – 1. Ainsi, la solution de cette inégalité est x = – 1.

Des types similaires d’inégalités existent avec deux variables.

Sur le plan de coordonnées, nous représentons un ensemble de points dont les coordonnées satisfont à l'inégalité y-1< х 2 .

Écrivons l'inégalité sous la forme y< х 2 + 1 и построим параболу y = х 2 + 1 (этот график получается смещением графика y = х 2 на одну единицу вверх). Парабола разбивает точки плоскости на точки, расположенные под параболой. Взяв в качестве контрольной точки начало координат, получаем верное неравенство 0 < 1. Поэтому данному неравенству удовлетворяют точки, расположенные ниже параболы и на параболе. Эти точки заштрихованы.

1. Résolvez analytiquement l’inégalité :

2. Pour toutes les valeurs de a, résolvez l'inégalité :

3. Pour quelles valeurs du paramètre a l'équation est-elle

a) 3x 2 – 2x + a = 0 n'a pas de racines ;
b) 2x 2 – 3x + 5a = 0 a deux racines différentes ;
c) 3ax 2 – 4x + 1 = 0 a deux racines différentes ;
d) hache 2 – 3x + 2 = 0 a au moins une racine.

4. Résoudre analytiquement (et si possible, graphiquement) les inégalités :

Parmi toute la variété des inégalités logarithmiques, les inégalités avec base variable. Ils sont résolus à l'aide d'une formule spéciale, qui, pour une raison quelconque, est rarement enseignée à l'école :

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

Au lieu de la case à cocher « ∨ », vous pouvez mettre n'importe quel signe d'inégalité : plus ou moins. L'essentiel est que dans les deux inégalités, les signes sont les mêmes.

De cette façon, nous nous débarrassons des logarithmes et réduisons le problème à une inégalité rationnelle. Ce dernier est beaucoup plus facile à résoudre, mais lorsque l'on supprime les logarithmes, des racines supplémentaires peuvent apparaître. Pour les couper, il suffit de trouver la zone valeurs acceptables. Si vous avez oublié l'ODZ du logarithme, je vous recommande fortement de le répéter - voir " Qu'est-ce qu'un logarithme ».

Tout ce qui concerne la plage de valeurs acceptables doit être écrit et résolu séparément :

f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; k(x) > 0 ; k(x) ≠ 1.

Ces quatre inégalités constituent un système et doivent être satisfaites simultanément. Lorsque la plage de valeurs acceptables est trouvée, il ne reste plus qu'à la recouper avec la solution inégalité rationnelle- et la réponse est prête.

Tâche. Résoudre l'inégalité :

Tout d’abord, écrivons l’ODZ du logarithme :

Les deux premières inégalités sont automatiquement satisfaites, mais la dernière devra être écrite. Puisque le carré du nombre égal à zéro si et seulement si le nombre lui-même est nul, on a :

x 2 + 1 ≠ 1 ;
x2 ≠ 0 ;
x ≠ 0.

Il s'avère que l'ODZ du logarithme est composé uniquement de nombres sauf zéro : x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Maintenant, nous résolvons l'inégalité principale :

Nous passons d’une inégalité logarithmique à une inégalité rationnelle. L'inégalité d'origine a un signe « inférieur à », ce qui signifie que l'inégalité résultante doit également avoir un signe « inférieur à ». Nous avons:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x2) x2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

Les zéros de cette expression sont : x = 3 ; x = −3 ; x = 0. De plus, x = 0 est une racine de la deuxième multiplicité, ce qui signifie qu'en la traversant, le signe de la fonction ne change pas. Nous avons:

On obtient x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Cet ensemble est entièrement contenu dans l'ODZ du logarithme, ce qui signifie que c'est la réponse.

Conversion des inégalités logarithmiques

Souvent, l’inégalité initiale est différente de celle ci-dessus. Cela peut être facilement corrigé en utilisant les règles standard pour travailler avec des logarithmes - voir " Propriétés de base des logarithmes" À savoir:

1. N'importe quel nombre peut être représenté sous forme de logarithme avec une base donnée ;
2. La somme et la différence des logarithmes de mêmes bases peuvent être remplacées par un logarithme.

Par ailleurs, je voudrais vous rappeler la plage de valeurs acceptables. Puisqu’il peut y avoir plusieurs logarithmes dans l’inégalité originale, il faut trouver la VA de chacun d’eux. Ainsi, régime général les solutions aux inégalités logarithmiques sont les suivantes :

1. Trouver la VA de chaque logarithme inclus dans l'inégalité ;
2. Réduisez l'inégalité à une inégalité standard en utilisant les formules d'addition et de soustraction de logarithmes ;
3. Résolvez l'inégalité résultante selon le schéma donné ci-dessus.

Tâche. Résoudre l'inégalité :

Trouvons le domaine de définition (DO) du premier logarithme :

Nous résolvons en utilisant la méthode des intervalles. Trouver les zéros du numérateur :

3x − 2 = 0 ;
x = 2/3.

Puis - les zéros du dénominateur :

x − 1 = 0 ;
x = 1.

Nous marquons des zéros et des signes sur la flèche de coordonnées :

On obtient x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Le deuxième logarithme aura le même VA. Si vous ne me croyez pas, vous pouvez le vérifier. Transformons maintenant le deuxième logarithme pour que la base soit deux :

Comme vous pouvez le constater, les trois à la base et devant le logarithme ont été réduits. Nous avons deux logarithmes avec la même base. Additionnons-les :

journal 2 (x − 1) 2< 2;
journal 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Nous avons reçu la norme inégalité logarithmique. On se débarrasse des logarithmes en utilisant la formule. Puisque l’inégalité originale contient un signe « inférieur à », le résultat expression rationnelleça devrait l'être aussi moins que zéro. Nous avons:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1 ; 3).

Nous avons deux sets :

1. ODZ : x ∈ (−∞ 2/3)∪(1 ; +∞);
2. Réponse du candidat : ​​x ∈ (−1 ; 3).

Il reste à recouper ces ensembles - nous obtenons la vraie réponse :

Nous nous intéressons à l'intersection des ensembles, nous sélectionnons donc des intervalles ombrés sur les deux flèches. Nous obtenons x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - tous les points sont perforés.