Dérivée de la fonction y tgx. Dérivée tangente : (tg x)′

Définition. Laissez la fonction \(y = f(x) \) être définie dans un certain intervalle contenant le point \(x_0\) en lui-même. Donnons à l'argument un incrément \(\Delta x \) tel qu'il ne quitte pas cet intervalle. Trouvons l'incrément correspondant de la fonction \(\Delta y \) (lors du passage du point \(x_0 \) au point \(x_0 + \Delta x \)) et composons la relation \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). S'il existe une limite à ce rapport à \(\Delta x \rightarrow 0\), alors la limite spécifiée est appelée dérivée d'une fonction\(y=f(x) \) au point \(x_0 \) et notons \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Le symbole y est souvent utilisé pour désigner la dérivée." Notez que y" = f(x) est nouvelle fonctionnalité, mais naturellement associé à la fonction y = f(x), définie en tous les points x auxquels la limite ci-dessus existe. Cette fonction s'appelle ainsi : dérivée de la fonction y = f(x).

Signification géométrique de la dérivée est la suivante. S'il est possible de tracer une tangente au graphique de la fonction y = f(x) au point d'abscisse x=a, qui n'est pas parallèle à l'axe y, alors f(a) exprime la pente de la tangente :
\(k = f"(a)\)

Puisque \(k = tg(a) \), alors l'égalité \(f"(a) = tan(a) \) est vraie.

Interprétons maintenant la définition de la dérivée du point de vue des égalités approximatives. Soit la fonction \(y = f(x)\) avoir une dérivée dans point précis\(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Cela signifie que près du point x l'égalité approximative \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), c'est-à-dire \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Deltax\). La signification significative de l'égalité approximative résultante est la suivante : l'incrément de la fonction est « presque proportionnel » à l'incrément de l'argument, et le coefficient de proportionnalité est la valeur de la dérivée dans point donné X. Par exemple, pour la fonction \(y = x^2\) l'égalité approximative \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) est valide. Si nous analysons attentivement la définition d'une dérivée, nous constaterons qu'elle contient un algorithme pour la trouver.

Formulons-le.

Comment trouver la dérivée de la fonction y = f(x) ?

1. Corrigez la valeur de \(x\), recherchez \(f(x)\)
2. Donnez à l'argument \(x\) un incrément \(\Delta x\), allez à nouveau point\(x+ \Delta x \), trouver \(f(x+ \Delta x) \)
3. Trouvez l'incrément de la fonction : \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Créez la relation \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Calculez $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Cette limite est la dérivée de la fonction au point x.

Si une fonction y = f(x) a une dérivée en un point x, alors elle est dite différentiable en un point x. La procédure pour trouver la dérivée de la fonction y = f(x) s'appelle différenciation fonctions y = f(x).

Discutons de la question suivante : comment la continuité et la différentiabilité d'une fonction en un point sont-elles liées l'une à l'autre ?

Soit la fonction y = f(x) être dérivable au point x. Ensuite, une tangente peut être tracée au graphique de la fonction au point M(x; f(x)), et, rappelons-le, le coefficient angulaire de la tangente est égal à f "(x). Un tel graphique ne peut pas « casser » au point M, c'est-à-dire que la fonction doit être continue au point x.

Il s’agissait d’arguments « pratiques ». Donnons un raisonnement plus rigoureux. Si la fonction y = f(x) est dérivable au point x, alors l'égalité approximative \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\) est vraie. Si dans cette égalité \(\Delta x \) tend vers zéro, alors \(\Delta y \) tendra vers zéro, et c'est la condition de continuité de la fonction en un point.

Donc, si une fonction est différentiable en un point x, alors elle est continue en ce point.

L’affirmation inverse n’est pas vraie. Par exemple : fonction y = |x| est continue partout, notamment au point x = 0, mais la tangente au graphe de la fonction au « point de jonction » (0 ; 0) n'existe pas. Si, à un moment donné, une tangente ne peut pas être tracée au graphique d’une fonction, alors la dérivée n’existe pas à ce point.

Un autre exemple. La fonction \(y=\sqrt(x)\) est continue sur toute la droite numérique, y compris au point x = 0. Et la tangente au graphique de la fonction existe en tout point, y compris au point x = 0. . Mais à ce stade, la tangente coïncide avec l'axe y, c'est-à-dire qu'elle est perpendiculaire à l'axe des abscisses, son équation a la forme x = 0. Coefficient de pente une telle ligne n'en a pas, ce qui signifie que \(f"(0) \) n'existe pas non plus

Ainsi, nous avons fait connaissance avec une nouvelle propriété d'une fonction : la différentiabilité. Comment peut-on conclure du graphe d’une fonction qu’elle est dérivable ?

La réponse est effectivement donnée ci-dessus. Si, à un moment donné, il est possible de tracer une tangente au graphique d'une fonction qui n'est pas perpendiculaire à l'axe des abscisses, alors à ce stade, la fonction est dérivable. Si à un moment donné la tangente au graphique d'une fonction n'existe pas ou si elle est perpendiculaire à l'axe des abscisses, alors à ce stade la fonction n'est pas dérivable.

Règles de différenciation

L'opération de recherche de la dérivée s'appelle différenciation. Lors de l'exécution de cette opération, vous devez souvent travailler avec des quotients, des sommes, des produits de fonctions, ainsi que des « fonctions de fonctions », c'est-à-dire des fonctions complexes. Sur la base de la définition de la dérivée, nous pouvons dériver des règles de différenciation qui facilitent ce travail. Si C- nombre constant et f=f(x), g=g(x) sont des fonctions différentiables, alors ce qui suit est vrai règles de différenciation:

Tableau des dérivées de certaines fonctions

Dans cette leçon, nous apprendrons à appliquer des formules et des règles de différenciation.

Exemples. Trouver des dérivées de fonctions.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Appliquer la règle je, formules 4, 2 et 1. On obtient :

y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x6 -2x+5. Nous résolvons de la même manière, en utilisant les mêmes formules et formules 3.

y'=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Appliquer la règle je, formules 3, 5 Et 6 Et 1.

Appliquer la règle IV, formules 5 Et 1 .

Dans le cinquième exemple, selon la règle je la dérivée de la somme est égale à la somme des dérivées, et on vient de trouver la dérivée du 1er terme (exemple 4 ), on trouvera donc des dérivées 2ème Et 3ème termes, et pour le 1er en résumé, nous pouvons immédiatement écrire le résultat.

Différencions 2ème Et 3ème termes selon la formule 4 . Pour ce faire, on transforme les racines des troisième et quatrième puissances des dénominateurs en puissances de c indicateurs négatifs, puis, par 4 formule, on trouve des dérivées de puissances.

Regarder cet exemple et le résultat obtenu. Avez-vous saisi le modèle ? Bien. Cela signifie que nous avons nouvelle formule et nous pouvons l'ajouter à notre table de dérivés.

Résolvons le sixième exemple et dérivons une autre formule.

Utilisons la règle IV et formule 4 . Réduisons les fractions résultantes.

Regardons cette fonction et son dérivé. Bien sûr, vous comprenez le modèle et êtes prêt à nommer la formule :

Apprendre de nouvelles formules !

Exemples.

1. Trouver l'incrément de l'argument et l'incrément de la fonction y= x2, Si valeur initiale l'argument était égal 4 , et nouveau - 4,01 .

Solution.

Nouvelle valeur d'argument x=x 0 +Δx. Remplaçons les données : 4.01=4+Δx, d'où l'incrément de l'argument Δх=4,01-4=0,01. L'incrément d'une fonction, par définition, est égal à la différence entre les nouvelles et précédentes valeurs de la fonction, c'est-à-dire Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Puisque nous avons une fonction y=x2, Que Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Répondre: incrément d'argument Δх=0,01 ; incrément de fonction Δу=0,0801.

La fonction incrément pourrait être trouvée différemment : Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4,01) -y(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Trouver l'angle d'inclinaison de la tangente au graphique de la fonction y=f(x) au point x0, Si f"(x 0) = 1.

Solution.

La valeur de la dérivée au point de tangence x0 et est la valeur de la tangente de l'angle tangent ( signification géométrique dérivé). Nous avons: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, parce que tg45°=1.

Répondre: la tangente au graphique de cette fonction forme un angle avec la direction positive de l'axe Ox égal à 45°.

3. Dériver la formule de la dérivée de la fonction y = xn.

Différenciation est l’action de trouver la dérivée d’une fonction.

Lorsque vous recherchez des dérivées, utilisez des formules dérivées sur la base de la définition d'une dérivée, de la même manière que nous avons dérivé la formule du degré de dérivée : (x n)" = nx n-1.

Ce sont les formules.

Tableau des dérivés Il sera plus facile de mémoriser en prononçant des formulations verbales :

1. Dérivé valeur constanteégal à zéro.

2. X premier est égal à un.

3. Multiplicateur constant peut être retiré du signe dérivé.

4. La dérivée d'un degré est égale au produit de l'exposant de ce degré par un degré de même base, mais l'exposant est un de moins.

5. La dérivée d'une racine est égale à un divisé par deux racines égales.

6. La dérivée de un divisé par x est égale à moins un divisé par x au carré.

7. La dérivée du sinus est égale au cosinus.

8. La dérivée du cosinus est égale à moins le sinus.

9. La dérivée de la tangente est égale à un divisé par le carré du cosinus.

10. La dérivée de la cotangente est égale à moins un divisé par le carré du sinus.

Nous enseignons règles de différenciation.

1. La dérivée d'une somme algébrique est égale à somme algébrique dérivés des termes.

2. La dérivée d'un produit est égale au produit de la dérivée du premier facteur et du second plus le produit du premier facteur et de la dérivée du second.

3. La dérivée de « y » divisée par « ve » est égale à une fraction dont le numérateur est « y premier multiplié par « ve » moins « y multiplié par ve premier » et le dénominateur est « ve au carré ».

4. Cas particulier formules 3.

Apprenons ensemble !

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La dérivation de la formule de la dérivée tangente - tg(x) est présentée. Exemples de calcul des dérivées de tan 2x, tan 3x et tan nx. Dérivée de la tangente d'ordre n comme polynôme en puissances de tg(x).

La dérivée par rapport à la variable x de la tangente x est égale à un divisé par le cosinus carré de x:
(tgx)′ =.

Dérivation de la formule de la dérivée tangente

Pour dériver la formule de la dérivée de la tangente, nous utiliserons les faits mathématiques suivants :
1) Exprimer la tangente par le sinus et le cosinus :
(1) ;
2) Signification dérivée du sinus :
(2) ;
3) Signification dérivée du cosinus :
(3) ;
4) Formule dérivée de fraction :
(4) ;
5) Formule trigonométrique :
(5) .

Nous appliquons ces formules et règles à la dérivée de la tangente.

.

La formule de la dérivée de la tangente a été prouvée.

Les dérivées du sinus et du cosinus sont définies pour toutes les valeurs de la variable x.
.
La formule de fraction dérivée (4) est valable pour les valeurs de la variable x dans lesquelles il existe des dérivées des fonctions et et pour lesquelles le dénominateur de la fraction ne disparaît pas : . Ainsi, la dérivée de la tangente est valable pour tout x, sauf pour les points auxquels
,
Autrement dit, à l'exception des points
où est un entier. Par contre, la fonction elle-même y = tgx
.
défini pour tous les x sauf les points C'est pourquoi.

la dérivée de la tangente est définie sur tout le domaine de définition de la tangente

Exemple Trouver des dérivés de, 2 x Et 3 x.

tg nx

Solution 3 x.
Trouvons la dérivée de la fonction
1) Imaginons cette fonction comme une fonction complexe, composée de deux fonctions :
2) Fonctions dépendant d'une variable : ;
Fonctions dépendant d'une variable : .
.

Alors la fonction originale est une fonction complexe composée de fonctions et :
.
Trouvons la dérivée de la fonction par rapport à la variable x :
.
Trouvons la dérivée de la fonction par rapport à la variable : Nous appliquons :
.
règle pour différencier une fonction complexe
.

Remplaçons : Trouver des dérivés de Et 2 x:
;
.

En substituant les valeurs et au lieu de n, on obtient les dérivées des fonctions

;
;
.

Répondre

Dérivés d'ordre supérieur Par contre, la fonction elle-même y = Malheureusement, la formule simple de la dérivée d'ordre n de la fonction y = , Non. Cependant, si vous avez besoin de trouver des dérivés ordre supérieur , alors le processus de différenciation peut être simplifié et réduit à.

différenciation d'un polynôme
.
Pour ce faire, notez que la dérivée de la tangente peut être exprimée par la tangente elle-même (par la fonction elle-même) : Ainsi nous avons trouvé équation différentielle
(6) .

, auquel la tangente satisfait : Trouvons la dérivée du second ordre
.
, différencier l'équation (6) et appliquer la règle de différenciation d'une fonction complexe :
(7) .

Remplaçons (6) : Trouvons la dérivée du troisième ordre
.

De la même manière, nous trouvons dérivées du quatrième et du cinquième ordre:

;

.

DANS vue générale, dérivée du nième ordre, dans la variable x de la fonction tangente, , peut être représenté comme un polynôme en puissances de tangente :
.
Les coefficients sont liés par la relation de récurrence :
,
Où
; ;
.

Formule générale

Le processus de différenciation peut être représenté par une formule. Pour ce faire, notez que
.
Alors nième dérivée la tangente a la forme suivante :
,
Où .