Segments proportionnels de cordes et de tangentes. IV

V.Résumé de la leçon

U. Nommez tous les angles inscrits résultants (Fig. 30).

D. CAB ; ABC; Soleil.

U. Nommez tous les angles entre la tangente et les cordes.

D. NAB ; NBA ; KBC ; KCB ; MCA ; MAC.

U. Lequel d'entre eux sera égal et pourquoi ?

D.NAB = NBA ; KBC= KCB ; MCA = MAC. Chaque paire de ces angles entre la tangente et la corde contient le même arc, ils sont donc numériquement égaux à la moitié, c'est-à-dire égaux l'un à l'autre.

U. Quels angles du triangle sont égaux à chacune de ces trois paires et pourquoi ?

D.NAB = NBA = C ; KBC = KCB = A ; MCA = MAC = B. Puisque l'angle entre la tangente et la corde est égal à l'angle inscrit sous-tendu par l'arc contenu entre la tangente et la corde.

U. Que pouvez-vous dire du type des triangles ANB ; BKC ; RMR ?

D. ils sont isocèles, puisque chacun de ces triangles a deux angles égaux.

VJE. Devoirs

N° 656, 663 selon le manuel d'Atanasyan.

Apprendre la théorie (préparation au test).

Leçon 6 – 7

Sujet. Proportionnalité des segments d'accords et des sécantes.

Objectifs de la leçon. Testez les connaissances et la compréhension des élèves sur le sujet : « Angle inscrit » ; considérer le matériel théorique (sur les accords et les sécantes) ; renforcer les compétences en résolution de problèmes.

I. Questions de devoirs

II. Contrôle des connaissances

Tester la théorie, tester les connaissances des étudiants sur le thème « Angle inscrit » a la nature d'un test. Le test vérifie non seulement la connaissance réelle des définitions et des propriétés, mais également la compréhension des liens entre les concepts. Par conséquent, certaines questions ne sont pas formulées strictement conformément au manuel. Cela prend 5 à 7 minutes. Le travail doit être évalué. En cas d'échec de l'élève, il est recommandé de le tester sur sa connaissance de la formulation du manuel.

Le test est réalisé à la fin du sujet, puisqu'il faut élaborer toutes les liaisons entre l'arc, les angles centraux et inscrits.

Les étudiants doivent écrire uniquement les nombres correspondants lors du test. Nous gagnons du temps et faisons réfléchir les étudiants.

Après le test, vous pourrez répondre à la question qui a suscité l'intérêt de la plupart des étudiants.

Test (d'après le manuel de L. S. Atanasyan)

Combinez le début et la fin de la phrase pour obtenir déclaration vraie. Dans votre réponse, indiquez les numéros des parties gauche et droite de la tâche, par exemple : 2-5.

Option 1

Option 2

Réponses: 1-6; 2-4; 3-8; 4-1; 5-10; 6-9; 8-3; 9-5; 10-7.

Combinez le début et la fin de la phrase pour faire une déclaration vraie. Dans votre réponse, indiquez les numéros des parties gauche et droite de la tâche, par exemple : 2-5.

Option 1

Réponses: 1-9; 2-7; 3-8; 4-10; 5-1; 6-4; 7-2; 8-3; 9-5; 10-6.

Option 2

Réponses. 1-4; 2-6; 3-8; 4-10; 5-7; 7-2; 8-3; 9-1; 10-5.

III. Explication du nouveau matériel

U.Écrivons le sujet de la leçon et analysons oralement le problème à l'aide du dessin fini (Fig. 31)

U. Diamètre dessiné dans un cercle CA, accords BD, NE et AD et tangente CN, qui fait un angle de 30° avec le prolongement de la corde AD.

Trouver DBC.

Raisonnement du problème :

1) Quel est le nom de l'angle DBC, Sur quel arc repose-t-il ?

2) Que dire du charbon PEUT?

3) Propriété tangente CN.

4) Comment calculer l’angle CAN et pourquoi ?

Conclusion : DBC = 60°

Au cours de notre raisonnement, nous marquons des angles égaux sur le dessin, ainsi que ACN = 90 °. Nous proposons ensuite de considérer les triangles THV et DMLA. Ces triangles sont similaires (vous pouvez donner un indice si vous ne le voyez pas vous-même).

Pour prouver la similitude des triangles, nous devons nous souvenir des signes de similitude.

Des angles égaux sont déjà marqués sur le dessin C.B.M. = GOUJAT(repos sur un arc). Il ne reste plus qu'à remarquer les angles verticaux :

DIU = DMLA, VSM ~ ∆DMLA(aux deux coins).

Que faut-il dire des parties concernées triangles similaires? Constituez une proportion :

BMAM = CMDM = BCAD.

U.. Quels sont les segments du cercle qui sont inclus dans la proportion ?

D. Parties de cordes et diamètres.

U. Autrement dit, nous pouvons supposer qu'il existe une connexion entre les accords qui se croisent dans un cercle.

Formulons le théorème : si deux cordes d'un cercle se coupent, alors le produit des segments d'une corde est égal au produit des segments de l'autre corde.

La preuve est réalisée selon le manuel d’Atanasyan, les étudiants sont prêts à comprendre le théorème et l’écrire ne devrait pas prendre beaucoup de temps.

Nous pensons qu'il est nécessaire de considérer le théorème sécant.

Nous préparons un dessin pour le théorème et découvrons ce que nous entendons par sécante à un cercle : une ligne droite coupant le cercle en deux points.

Enregistrement formulation du théorème: si d'un point de vue couché

à l'extérieur du cercle, deux sécantes sont tracées, alors les produits de la sécante et de leurs parties externes sont égaux. (Ou : si deux sécantes sont tracées du point P au cercle, coupant le cercle aux points A, DANS et C, D respectivement,

Que RAB.P. = = C.P.- D.P..)

Donné: B.P. Et D.P.- sécantes (Fig. 32).

Prouver : BP AP = PD PC.

Preuve:

1. Effectuons une construction supplémentaire : SoleilnAD.

BCAD = PC/AP = BP/PD → PC PD = AP BP.

Continuons à considérer la position relative des sécantes et du cercle. Si nous modifions ce dessin de telle manière que la sécante PB prenne la position de la tangente, alors notre théorème sera formulé comme suit : si une sécante et une tangente à ce cercle sont tracées à partir d'un point extérieur au cercle, alors le carré de la tangente égal au produit sécante à sa partie externe.

P. Nous devons donc prouver que B.P. 2 = PDPC.

Tirons des accords Soleil Et B.D.

PMB = ½toiSoleil(tel qu'inscrit);

RVS = ½toiSoleil(angle entre la tangente et la corde), donc

BDC = C.B.P..

∆TPB ~ ∆ C.P.B.à deux coins.

Notons la proportion :

BD/BC = BP/PC = PD/BP, ce qui signifie B.P.2= ​​​​PCP.D.

Il est possible, après avoir écrit la formulation du théorème, de résoudre le problème n°670 (Atanasyan) et ainsi de réaliser la preuve du théorème. Puisque le principe de preuve est répété, dans les trois théorèmes il repose sur la similarité, vous pouvez demander à l'un des élèves d'effectuer la preuve au tableau.

Problème 1

KL et MN sont sécantes (Fig. n° 34). Quelle propriété peut-on formuler ? (Nous discutons et préparons un dessin, résolvons un problème basé sur ce dessin.)

Accords MN et KL se croisent au point C. Déterminez la longueur du segmentC.L., SiKC= 3 cm, MS = 3 cm ; CH = 9 cm. sujet " Central Et inscrit angles". Résumons et... Aujourd'hui, nous avons la finale leçon Par sujet: "Central Et inscrit angles"On répète, on généralise, on présente...

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Quadrilatères inscrits et circonscrits

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Cible: accroître la motivation pour l'apprentissage; développer les compétences informatiques, l’intelligence et la capacité à travailler en équipe.

Déroulement de la leçon

Actualisation des connaissances. Aujourd'hui, nous continuerons à parler de cercles. Je vous rappelle la définition d'un cercle : comment s'appelle un cercle ?

Cercle est une ligne composée de tous les points du plan qui se trouvent à une distance donnée d'un point du plan, appelé centre du cercle.

La diapositive montre un cercle, son centre est marqué - point O, deux segments sont dessinés : OA et SV. Le segment OA relie le centre du cercle à un point du cercle. On l'appelle RADIUS (en latin radius - « rayon dans une roue »). Le segment CB relie deux points du cercle et passe par son centre. Il s'agit du diamètre d'un cercle (traduit du grec par « diamètre »).

Nous aurons également besoin de la définition d'une corde de cercle - il s'agit d'un segment reliant deux points sur un cercle (sur la figure - corde DE).

Découvrons la question sur la position relative d'une ligne droite et d'un cercle.

La prochaine question et ce sera la principale : découvrez les propriétés des accords qui se croisent, des sécantes et des tangentes.

Vous prouverez ces propriétés dans les cours de mathématiques, et notre tâche est d'apprendre à appliquer ces propriétés lors de la résolution de problèmes, car elles sont largement utilisées dans les examens à la fois sous la forme de l'examen d'État unifié et sous la forme de l'examen d'État.

Mission pour les équipes.

• Dessinez et notez la propriété des accords CM et NF se coupant au point P.
• Dessinez et écrivez les propriétés de la tangente KM et de la sécante KF.
• Dessinez et notez les propriétés des sécantes KM et MF.

En utilisant les données de la figure, trouvez x. Diapositive 5–6

Celui qui est le plus rapide est le plus correct. Suivi d'une discussion et d'une vérification des solutions à tous les problèmes. Ceux qui répondent gagnent des points de récompense pour leur équipe.

Eh bien, passons maintenant à la résolution de problèmes plus graves. Nous présentons à votre attention trois blocs : des cordes sécantes, une tangente et une sécante, deux sécantes. Nous analyserons en détail la solution à un problème de chaque bloc.

(La solution est analysée avec dossier détaillé №4, №7, №12)

2. Atelier sur la résolution de problèmes

a) Accords qui se croisent

1. E – point d'intersection des accords AB et CD. AE=4, AB=10, CE:ED=1:6. Trouvez le CD.

Solution:

2. E – point d'intersection des accords AB et CD. AB=17, CD=18, ED=2CE. Trouvez AE et BE.

Solution:

3. E – point d'intersection des accords AB et CD. AB=10, CD=11, BE=CE+1. Trouvez CE.

Solution:

4. E – point d'intersection des accords AB et CD. ED=2AE, CE=DE-1, BE=10. Trouvez le CD.

Solution:

b) Tangente et sécante

5. Une tangente et une sécante sont tracées d'un point à un cercle. La tangente est 6, la sécante est 18. Déterminez le segment interne de la sécante.

Solution:

6. Une tangente et une sécante sont tracées d'un point à un cercle. Trouvez la tangente si l'on sait qu'elle est inférieure au segment interne de la sécante de 4 et supérieure au segment externe de 4.

Solution:

7. Une tangente et une sécante sont tracées d'un point à un cercle. Trouvez une sécante si l'on sait que son segment interne est lié au segment externe comme 3: 1 et que la longueur de la tangente est de 12.

Solution:

8. Une tangente et une sécante sont tracées d'un point à un cercle. Trouvez le segment externe avec une sécante si l'on sait que son segment interne est de 12 et que la longueur de la tangente est de 8.

Solution:

9. Une tangente et une sécante émanant du même point sont respectivement égales à 12 et 24. Déterminez le rayon du cercle si la sécante est à 12 du centre.

Solution:

c) Deux sécantes

10. A partir d'un point, deux sécantes sont dessinées vers un cercle dont les segments internes sont respectivement égaux à 8 et 16. Le segment externe de la deuxième sécante est 1 de moins que le segment externe de la première. Trouvez la longueur de chaque sécante.

Solution:

11. Deux sécantes sont tracées d'un point à un cercle. Le segment externe de la première sécante est lié à son segment interne selon un rapport 1:3. Le segment externe de la deuxième sécante est 1 de moins que le segment externe de la première et est lié à son segment interne comme 1:8. Trouvez la longueur de chaque sécante.

Solution:

12. Par le point A, qui est situé à l'extérieur du cercle à une distance de 7 de son centre, une ligne droite est tracée coupant le cercle aux points B et C. Trouver la longueur du rayon du cercle si AB = 3, BC = 5.

Solution:

13. A partir du point A, une sécante de longueur 12 cm et une tangente, composante du segment interne de la sécante, sont tracées au cercle. Trouvez la longueur de la tangente.

Solution:

1. 10,5; 17,5
2. 12;18

3. Consolidation des connaissances

Je crois que vous avez suffisamment de connaissances pour faire un petit voyage à travers les labyrinthes de votre intellect en visitant les stations suivantes :

• Pensez-y!
• Décider!
• Réponds-moi!

Vous ne pouvez pas rester à la gare plus de 6 minutes. Pour chaque la bonne décision tâches, l'équipe reçoit des points d'incitation.

Les équipes reçoivent des feuilles de route :

Feuille de route

J'aimerais te laisser tomber résultats de notre cours :

En plus de nouvelles connaissances, j'espère que vous avez appris à mieux vous connaître et acquis de l'expérience en travaillant en équipe. Pensez-vous que les connaissances acquises sont appliquées quelque part dans la vie ?

Le poète G. Longfellow était également mathématicien. C'est probablement pourquoi les images vives qui décorent les concepts mathématiques qu'il a utilisés dans son roman « Kawang » permettent d'imprimer certains théorèmes et leurs applications dans la vie. Nous lisons le problème suivant dans le roman :

« Le lis, s'élevant d'un empan au-dessus de la surface de l'eau, sous un coup de vent frais, toucha la surface du lac à deux coudées de sa place précédente ; sur cette base, il était nécessaire de déterminer la profondeur du lac » (1 travée équivaut à 10 pouces, 2 coudées équivaut à 21 pouces).

Et ce problème est résolu sur la base de la propriété des accords qui se croisent. Regardez l'image et vous verrez clairement quelle est la profondeur du lac.

Solution: