Résoudre les inégalités avec une variable. Inégalités linéaires

LEÇON : « RÉSOUDRE LES INÉGALITÉS AVEC UNE SEULE VARIABLE »

Article: Algèbre
Sujet: Résoudre les inégalités avec une seule variable

Objectifs de la leçon:

Éducatif:

organiser les activités des élèves pour percevoir, comprendre et consolider dans un premier temps des concepts tels que la résolution des inégalités à une variable, l'inégalité équivalente, la résolution de l'inégalité ; vérifier la capacité des élèves à appliquer les connaissances et les compétences acquises dans les leçons précédentes pour résoudre les problèmes de cette leçon.

Éducatif:

développer l'intérêt pour les mathématiques grâce à l'utilisation des TIC dans la pratique ; cultiver les besoins cognitifs des étudiants; former des qualités personnelles telles que la responsabilité, la persévérance dans la réalisation des objectifs, l'indépendance.

Pendant les cours

I. Moment organisationnel

II. Examen devoirs(Mise à jour des connaissances de base)

1. À l'aide de la ligne de coordonnées, trouvez l'intersection des intervalles : a) (1;8) et (5;10); b) (-4;4) et [-6;6]; c) (5;+∞) et [-∞;4]

Réponse : a) (1;5) ; b) (-4;4); c) il n'y a pas d'intersections

2. Notez les intervalles indiqués sur la figure :

Réponse : 1) (2 ; 6) ; b) (-1;7];c) .

Exemple3, résoudre l'inégalité 3(x-1)<-4+3х.

Ouvrons les parenthèses du côté gauche de l'inégalité : 3x-3<-4+3х.

Déplaçons le terme 3x de signes opposés de droite vers la gauche, et le terme -3 de gauche vers la droite et donnons des termes similaires : 3x-3x<-4+3,

Comme nous pouvons le voir, cette inégalité numérique n'est vraie pour aucune valeur de x. Cela signifie que notre inégalité à une variable n’a pas de solution.

Appareil d'entraînement

Résolvez l’inégalité et marquez sa solution :

f) 7x-2,4<0,4;

h) 6b-1<12-7b;

je) 16x-44>x+1 ;

k) 5(x-1)+7≤1-3(x+2);

l) 6y-(y+8)-3(2-y)>2.

Réponse : a) (-8 ; +∞) ; b) [-1,5 ; +∞ ); c) (5; +∞); d) (-∞; 3); e) (-∞; -0,25); f) (-∞; 0,4); g) [-5 ; +∞); h) (-∞; 1); je) (3; +∞); j) ; l) (2; +∞).

IV. conclusions

La solution d’une inégalité dans une variable est la valeur de la variable qui la transforme en une véritable inégalité numérique. Résoudre une inégalité, c’est trouver toutes ses solutions ou prouver qu’il n’y a pas de solutions. Les inégalités qui ont les mêmes solutions sont dites équivalentes. Les inégalités qui n’ont pas de solution sont également considérées comme équivalentes. Si les deux côtés d’une inégalité sont multipliés ou divisés par le même nombre négatif, tout en changeant le signe de l’inégalité en l’opposé. Dans d'autres cas, cela reste le même.

V. Tests finaux

1) La résolution d’une inégalité dans une variable s’appelle...

a) la valeur de la variable, qui en fait une véritable inégalité ;

b) la valeur de la variable, qui la transforme en valeur numérique correcte

inégalité;

c) une variable qui en fait une véritable inégalité numérique.

2) Quels nombres sont la solution de l'inégalité 8+5y>21+6y :

a) 2 et 5 b) -1 et 8 c) -12 et 1 d) -15 et -30?

3) Spécifiez l'ensemble des solutions à l'inégalité 4(x+1)>20 :

une) (- ∞; 4); b) (4; +∞); V) .

Ayant acquis l'habileté de travailler avec des inégalités linéaires, leurs solutions peuvent être écrites brièvement sans explication. Dans ce cas, notez d'abord l'inégalité linéaire d'origine, et ci-dessous - les inégalités équivalentes obtenues à chaque étape de la solution :
3x+12≤0 ;
3x≤−12 ;
x≤−4 .

Répondre:

x≤−4 ou (−∞, −4] .

Exemple.

Énumérez toutes les solutions à l'inégalité linéaire −2,7·z>0.

Solution.

Ici le coefficient a pour la variable z est égal à −2,7. Et le coefficient b est absent sous forme explicite, c'est-à-dire qu'il est égal à zéro. Par conséquent, la première étape de l'algorithme de résolution d'une inégalité linéaire avec une variable n'a pas besoin d'être effectuée, car déplacer un zéro du côté gauche vers la droite ne modifiera pas la forme de l'inégalité d'origine.

Il reste à diviser les deux côtés de l'inégalité par −2,7, sans oublier de changer le signe de l'inégalité en celui opposé, puisque −2,7 est un nombre négatif. Nous avons (−2,7z):(−2,7)<0:(−2,7) , puis z<0 .

Et maintenant brièvement :
−2,7.z>0 ;
z<0 .

Répondre:

z<0 или (−∞, 0) .

Exemple.

Résoudre l'inégalité .

Solution.

Il faut résoudre une inégalité linéaire de coefficient a pour la variable x égale à −5, et de coefficient b, qui correspond à la fraction −15/22. On procède selon le schéma bien connu : on transfère d'abord −15/22 vers la droite avec signe opposé, après quoi on divise les deux côtés de l'inégalité par un nombre négatif −5, en changeant le signe de l'inégalité :

La dernière transition sur le côté droit utilise , puis exécuté .

Répondre:

Passons maintenant au cas où a=0. Le principe de résolution de l'inégalité linéaire a x+b<0 (знак, естественно, может быть и другим) при a=0 , то есть, неравенства 0·x+b<0 , заключается в рассмотрении числового неравенства b<0 и выяснении, верное оно или нет.

Sur quoi est-ce basé? Très simple : déterminer la solution à l’inégalité. Comment? Oui, voici comment : quelle que soit la valeur de la variable x que nous substituons dans l'inégalité linéaire d'origine, nous obtiendrons une inégalité numérique de la forme b<0 (так как при подстановке любого значения t вместо переменной x мы имеем 0·t+b<0 , откуда b<0 ). Если оно верное, то это означает, что любое число является решением исходного неравенства. Если же числовое неравенство b<0 оказывается неверным, то это говорит о том, что исходное линейное неравенство не имеет решений, так как не существует ни одного значения переменной, которое обращало бы его в верное числовое равенство.

Formulons les arguments ci-dessus sous la forme algorithme de résolution des inégalités linéaires 0 x+b<0 (≤, >, ≥) :

Considérons l'inégalité numérique b<0 (≤, >, ≥) et

si c'est vrai, alors la solution de l'inégalité initiale est n'importe quel nombre ;
si c'est faux, alors l'inégalité linéaire originale n'a pas de solution.

Comprenons maintenant cela avec des exemples.

Exemple.

Résolvez l'inégalité 0·x+7>0.

Solution.

Pour toute valeur de la variable x, l'inégalité linéaire 0 x+7>0 se transformera en inégalité numérique 7>0. La dernière inégalité est vraie, donc tout nombre est une solution à l’inégalité d’origine.

Répondre:

la solution est n'importe quel nombre ou (−∞, +∞) .

Exemple.

L'inégalité linéaire 0·x−12.7≥0 a-t-elle des solutions ?

Solution.

Si nous substituons n'importe quel nombre à la variable x, alors l'inégalité d'origine se transforme en une inégalité numérique −12,7≥0, ce qui est incorrect. Cela signifie qu'aucun nombre n'est une solution à l'inégalité linéaire 0·x−12,7≥0.

Répondre:

non, ce n'est pas le cas.

Pour conclure cette section, nous analyserons les solutions de deux inégalités linéaires dont les coefficients sont tous deux égaux à zéro.

Exemple.

Laquelle des inégalités linéaires 0·x+0>0 et 0·x+0≥0 n'a pas de solutions, et laquelle a une infinité de solutions ?

Solution.

Si vous remplacez la variable x par n'importe quel nombre, alors la première inégalité prendra la forme 0>0 et la seconde – 0≥0. Le premier d’entre eux est incorrect et le second est correct. Par conséquent, l'inégalité linéaire 0·x+0>0 n'a pas de solutions, et l'inégalité 0·x+0≥0 a une infinité de solutions, c'est-à-dire que sa solution est n'importe quel nombre.

Répondre:

l'inégalité 0 x+0>0 n'a pas de solutions, et l'inégalité 0 x+0≥0 a une infinité de solutions.

Méthode d'intervalle

En général, la méthode des intervalles est étudiée dans un cours d'algèbre scolaire plus tard que le thème de la résolution des inégalités linéaires à une variable. Mais la méthode des intervalles vous permet de résoudre diverses inégalités, y compris les inégalités linéaires. Par conséquent, attardons-nous là-dessus.

Notons tout de suite qu'il convient d'utiliser la méthode des intervalles pour résoudre des inégalités linéaires à coefficient non nul pour la variable x. Sinon, il est plus rapide et plus pratique de tirer une conclusion sur la solution de l'inégalité en utilisant la méthode évoquée à la fin du paragraphe précédent.

La méthode des intervalles implique

introduisant une fonction correspondant au côté gauche de l’inégalité, dans notre cas – fonction linéaire y=a x+b ,
trouver ses zéros, qui divisent le domaine de définition en intervalles,
détermination des signes qui ont des valeurs de fonction sur ces intervalles, sur la base desquels une conclusion est tirée sur la solution d'une inégalité linéaire.

Rassemblons ces moments dans algorithme, révélant comment résoudre les inégalités linéaires a x+b<0 (≤, >, ≥) pour a≠0 en utilisant la méthode des intervalles :

On trouve les zéros de la fonction y=a·x+b, pour lesquels a·x+b=0 est résolu. Comme on le sait, pour a≠0, il a une seule racine, que nous désignons par x 0 .
Il est construit et un point de coordonnée x 0 y est représenté. De plus, s'il est décidé inégalité stricte(avec signe< или >), alors ce point est rendu ponctué (avec un centre vide), et s'il n'est pas strict (avec un signe ≤ ou ≥), alors un point régulier est placé. Ce point divise la ligne de coordonnées en deux intervalles (−∞, x 0) et (x 0, +∞).
Les signes de la fonction y=a·x+b sur ces intervalles sont déterminés. Pour ce faire, la valeur de cette fonction est calculée en tout point de l'intervalle (−∞, x 0), et le signe de cette valeur sera le signe souhaité sur l'intervalle (−∞, x 0). De même, le signe sur l'intervalle (x 0 , +∞) coïncide avec le signe de la valeur de la fonction y=a·x+b en tout point de cet intervalle. Mais on peut se passer de ces calculs, et tirer des conclusions sur les signes en fonction de la valeur du coefficient a : si a>0, alors sur les intervalles (−∞, x 0) et (x 0, +∞) il y aura signes − et +, respectivement, et si a >0, alors + et −.
Si des inégalités avec des signes > ou ≥ sont résolues, alors une hachure est placée sur l'espace avec un signe plus, et si des inégalités avec des signes sont résolues< или ≤, то – со знаком минус. В результате получается , которое и является искомым решением линейного неравенства.

Considérons un exemple de résolution d'une inégalité linéaire à l'aide de la méthode des intervalles.

Exemple.

Résolvez l’inégalité −3·x+12>0.

Solution.

Puisque nous analysons la méthode des intervalles, nous l'utiliserons. Selon l'algorithme, nous trouvons d'abord la racine de l'équation −3·x+12=0, −3·x=−12, x=4. Ensuite, nous traçons une ligne de coordonnées et marquons un point dessus avec la coordonnée 4, et nous faisons perforer ce point, puisque nous résolvons une inégalité stricte :

Maintenant, nous déterminons les signes sur les intervalles. Pour déterminer le signe sur l'intervalle (−∞, 4), vous pouvez calculer la valeur de la fonction y=−3·x+12, par exemple en x=3. On a −3·3+12=3>0, ce qui signifie qu'il y a un signe + sur cet intervalle. Pour déterminer le signe sur un autre intervalle (4, +∞), vous pouvez calculer la valeur de la fonction y=−3·x+12, par exemple au point x=5. On a −3·5+12=−3<0 , значит, на этом промежутке знак −. Эти же выводы можно было сделать на основании значения коэффициента при x : так как он равен −3 , то есть, он отрицательный, то на промежутке (−∞, 4) будет знак +, а на промежутке (4, +∞) знак −. Проставляем определенные знаки над соответствующими промежутками:

Puisque nous résolvons l'inégalité avec le signe >, nous dessinons un ombrage sur l'écart avec le signe +, le dessin prend la forme

Sur la base de l'image résultante, nous concluons que la solution souhaitée est (−∞, 4) ou dans une autre notation x<4 .

Répondre:

(−∞, 4) ou x<4 .

Graphiquement

Il est utile de comprendre l’interprétation géométrique de la résolution d’inéquations linéaires à une variable. Pour l’obtenir, considérons quatre inégalités linéaires de même membre gauche : 0,5 x−1<0 , 0,5·x−1≤0 , 0,5·x−1>0 et 0.5 x−1≥0 , leurs solutions sont x<2 , x≤2 , x>2 et x≥2, et tracez également un graphique de la fonction linéaire y=0,5 x−1.

Il est facile de remarquer que

solution à l'inégalité 0,5 x−1<0 представляет собой промежуток, на котором график функции y=0,5·x−1 располагается ниже оси абсцисс (эта часть графика изображена синим цветом),
la solution de l'inégalité 0,5 x−1≤0 représente l'intervalle dans lequel le graphique de la fonction y=0,5 x−1 est en dessous de l'axe Ox ou coïncide avec lui (c'est-à-dire pas au-dessus de l'axe des abscisses),
de même, la solution de l'inégalité 0,5 x−1>0 est l'intervalle dans lequel le graphique de la fonction est au-dessus de l'axe Ox (cette partie du graphique est représentée en rouge),
et la solution de l'inégalité 0,5·x−1≥0 est l'intervalle dans lequel le graphique de la fonction est plus haut ou coïncide avec l'axe des abscisses.

Méthode graphique pour résoudre les inégalités, notamment linéaire, et implique de trouver des intervalles dans lesquels le graphe de la fonction correspondant au côté gauche de l'inégalité se situe au dessus, en dessous, pas en dessous ou pas au dessus du graphe de la fonction correspondant au côté droit de l'inégalité. Dans notre cas d'inégalité linéaire, la fonction correspondant au côté gauche est y=a·x+b, et le côté droit est y=0, coïncidant avec l'axe Ox.

Compte tenu des informations fournies, il est facile de formuler algorithme pour résoudre graphiquement les inégalités linéaires:

Un graphe de la fonction y=a x+b est construit (schématiquement possible) et

lors de la résolution de l'inégalité a x+b<0 определяется промежуток, на котором график ниже оси Ox ,
lors de la résolution de l'inégalité a x+b≤0, l'intervalle est déterminé dans lequel le graphique est inférieur ou coïncide avec l'axe Ox,
lors de la résolution de l'inégalité a x+b>0, l'intervalle est déterminé dans lequel le graphique est au-dessus de l'axe Ox,
lors de la résolution de l'inégalité a·x+b≥0, l'intervalle dans lequel le graphique est plus haut ou coïncide avec l'axe Ox est déterminé.

Exemple.

Résoudre l'inégalité graphiquement.

Solution.

Esquissons un graphique d'une fonction linéaire . Il s’agit d’une droite décroissante puisque le coefficient de x est négatif. Il faut aussi la coordonnée du point de son intersection avec l'axe des x, c'est la racine de l'équation , qui est égal à . Pour nos besoins, nous n’avons même pas besoin de représenter l’axe Oy. Notre dessin schématique ressemblera donc à ceci

Puisque nous résolvons une inégalité avec un signe >, nous nous intéressons à l'intervalle dans lequel le graphique de la fonction est au-dessus de l'axe Ox. Pour plus de clarté, surligneons cette partie du graphique en rouge, et pour déterminer facilement l'intervalle correspondant à cette partie, surligneons la partie en rouge avion coordonné, dans lequel se trouve la partie sélectionnée du graphique, comme dans la figure ci-dessous :

L'écart qui nous intéresse est la partie de l'axe Ox qui est surlignée en rouge. Il s'agit évidemment d'un faisceau de nombres ouvert . C'est la solution que nous recherchons. Notez que si nous résolvions l'inégalité non pas avec le signe >, mais avec le signe de l'inégalité non stricte ≥, alors nous devrions ajouter la réponse, car à ce stade le graphique de la fonction coïncide avec l'axe Ox .y=0·x+7, qui est identique à y=7, définit une ligne droite sur le plan de coordonnées parallèle à l'axe Ox et située au-dessus de lui. Donc l’inégalité 0 x+7<=0 не имеет решений, так как нет промежутков, на которых график функции y=0·x+7 ниже оси абсцисс.

Et le graphique de la fonction y=0·x+0, qui est identique à y=0, est une ligne droite coïncidant avec l'axe Ox. Par conséquent, la solution de l’inégalité 0·x+0≥0 est l’ensemble de tous les nombres réels.

Répondre:

deuxième inégalité, sa solution est n’importe quel nombre réel.

Des inégalités qui se réduisent à linéarité

Un grand nombre d'inégalités peuvent être remplacées par des inégalités linéaires équivalentes à l'aide de transformations équivalentes, c'est-à-dire réduites à une inégalité linéaire. De telles inégalités sont appelées des inégalités qui se réduisent à linéaires.

À l'école, presque simultanément à la résolution des inégalités linéaires, des inégalités simples qui se réduisent à des inégalités linéaires sont également prises en compte. Ce sont des cas particuliers des inégalités entières, à savoir dans leurs parties gauche et droite se trouvent des expressions entières qui représentent ou binômes linéaires, ou y sont convertis par et . Pour plus de clarté, nous donnons plusieurs exemples de telles inégalités : 5−2·x>0, 7·(x−1)+3≤4·x−2+x, .

Les inégalités de forme similaire à celles indiquées ci-dessus peuvent toujours être réduites à des inégalités linéaires. Cela peut être fait en ouvrant des parenthèses, en rapprochant des termes similaires, en réorganisant les termes et en déplaçant les termes d'un côté de l'inégalité à un autre avec le signe opposé.

Par exemple, pour réduire l'inégalité 5−2 x>0 à linéaire, il suffit de réarranger les termes sur son côté gauche, on a −2 x+5>0. Pour réduire la deuxième inégalité 7·(x−1)+3≤4·x−2+x à linéaire, il faut un peu plus d'action: sur le côté gauche on ouvre les parenthèses 7 x−7+3≤4 x−2+x , après quoi on donne termes similaires des deux côtés 7 x−4≤5 x−2 , puis on transfère les termes du côté droit vers le côté gauche 7 x−4−5 x+2≤0 , enfin, on présente les termes similaires du côté gauche 2 x −2 ≤0. De même, la troisième inégalité peut être réduite à une inégalité linéaire.

Étant donné que de telles inégalités peuvent toujours être réduites à des inégalités linéaires, certains auteurs les qualifient même de linéaires. Mais nous les considérerons toujours comme réductibles au linéaire.

On comprend désormais pourquoi ces inégalités sont considérées conjointement avec les inégalités linéaires. Et le principe de leur solution est absolument le même : en effectuant des transformations équivalentes, elles peuvent être réduites à des inégalités élémentaires qui représentent les solutions souhaitées.

Pour résoudre une inégalité de ce type, vous pouvez d’abord la réduire à une inégalité linéaire, puis résoudre cette inégalité linéaire. Mais il est plus rationnel et pratique de faire ceci :

après avoir ouvert les parenthèses, rassembler tous les termes avec la variable à gauche de l'inégalité, et tous les nombres à droite,
puis apportez des termes similaires,
puis divisez les deux côtés de l'inégalité résultante par le coefficient de x (s'il est, bien sûr, différent de zéro). Cela donnera la réponse.

Exemple.

Résolvez l'inégalité 5·(x+3)+x≤6·(x−3)+1.

Solution.

Tout d'abord, ouvrons les parenthèses, nous arrivons ainsi à l'inégalité 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1 . Donnons maintenant des termes similaires : 6 x+15≤6 x−17 . Ensuite, nous déplaçons les termes de côté gauche, nous obtenons 6 x+15−6 x+17≤0, et encore une fois nous apportons des termes similaires (ce qui nous amène à l'inégalité linéaire 0 x+32≤0) et nous avons 32≤0. Nous nous sommes donc trompés inégalité numérique, d'où nous concluons que l'inégalité originelle n'a pas de solutions.

Répondre:

aucune solution.

En conclusion, notons qu'il existe bien d'autres inégalités qui peuvent être réduites à des inégalités linéaires, ou à des inégalités du type considéré ci-dessus. Par exemple, la solution inégalité exponentielle 5 2 x−1 ≥1 se réduit à résoudre l'inégalité linéaire 2 x−1≥0 . Mais nous en parlerons lors de l'analyse des solutions aux inégalités du type correspondant.

Bibliographie.

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