Fonction complexe La Weierstrass ressemble à
où - certains nombre réel, mais s'écrit soit comme , soit comme . Les parties réelle et imaginaire de la fonction sont appelées respectivement cosinus et sinusoïdes de Weierstrass.
La fonction est continue, mais nulle part différentiable. Cependant, sa généralisation formelle au cas est à la fois continue et différenciable.
En plus de la fonction elle-même, cette section aborde certaines de ses options ; la nécessité de leur présentation est due au sens nouveau que la théorie des fractales a donné à la fonction de Weierstrass.
Spectre de fréquence d'une fonction. Le terme « spectre », à mon avis, est surchargé de significations. Le spectre de fréquence se réfère à l'ensemble valeurs acceptables fréquences sans égard aux amplitudes des composantes correspondantes.
Le spectre de fréquence d'une fonction périodique est une séquence d'entiers positifs. Le spectre de fréquence de la fonction brownienne est . Le spectre de fréquence de la fonction Weierstrass est une séquence discrète de à .
Spectre énergétique d'une fonction. Le spectre sous-énergétique s'entend comme l'ensemble des valeurs de fréquence admissibles ainsi que les valeurs d'énergie (amplitudes au carré) des composants correspondants. Pour chaque valeur de fréquence de la forme dans la fonction, il existe une raie spectrale d'énergie de la forme 
. Par conséquent, la valeur totale de l’énergie aux fréquences converge et est proportionnelle à 
.
Comparaison avec le mouvement brownien fractionnaire. L'énergie totale est proportionnelle dans plusieurs autres cas que nous avons examinés précédemment : fonctions de Fourier – Brown – Wiener aléatoires périodiques fractionnaires, dont les fréquences admissibles ont la forme , et les coefficients de Fourier correspondants sont égaux à ; processus aléatoires avec une densité de population spectrale continue proportionnelle à . Derniers processus ne sont rien de plus que des fonctions browniennes fractionnaires, décrites au chapitre 27. Par exemple, on peut détecter le spectre cumulé de la fonction de Weierstrass dans le mouvement brownien ordinaire, dont la densité spectrale est proportionnelle à . Une différence significative : le spectre brownien est absolument continu, tandis que les spectres des fonctions Fourier – Brown – Wiener et Weierstrass sont discrets.
Non-différentiabilité. Pour prouver qu’une fonction n’a de dérivée finie pour aucune valeur, Weierstrass a dû combiner deux conditions suivantes: est un entier impair, de sorte que la fonction est une série de Fourier, et . Nécessaire et conditions suffisantes( et ) ont été tirés par nos soins de l'article de Hardy.
Consommation d'énergie. Pour un physicien habitué aux spectres, les conditions de Hardy semblent évidentes. En appliquant la règle empirique selon laquelle la dérivée d'une fonction est calculée en multipliant son coefficient de Fourier par , le physicien trouve pour la dérivée formelle de la fonction que le carré de l'amplitude du coefficient de Fourier c est égal à 
. Puisque l’énergie totale aux fréquences supérieures à θ est infinie, il devient clair pour les physiciens que la dérivée ne peut pas être déterminée.
Il est intéressant de noter que Riemann, à la recherche d'un exemple de non-différentiabilité, a proposé la fonction 
, dont l'énergie spectrale aux fréquences supérieures à , est proportionnelle à , où . Ainsi, en utilisant le même raisonnement heuristique, on peut supposer que la dérivée est non différentiable. Cette conclusion n'est que partiellement vraie, puisqu'à certaines valeurs la dérivée existe toujours (voir).
Divergence/catastrophe ultraviolette. Le terme « catastrophe » est apparu en physique dans la première décennie du XXe siècle, lorsque Rayleigh et Jeans ont développé indépendamment la théorie du rayonnement du corps noir, selon laquelle l'énergie de la gamme de fréquences de largeur au voisinage de la fréquence est proportionnelle à . Cela signifie que l’énergie totale du spectre est hautes fréquences infini - ce qui s'avère très catastrophique pour la théorie. Étant donné que la source du problème provient de fréquences situées au-delà de la partie ultraviolette du spectre, le phénomène est appelé catastrophe ultraviolette (UV).
Tout le monde sait que Planck a construit son théorie des quanta sur les ruines dans lesquelles la catastrophe UV a transformé la théorie des radiations.
Retraite historique. Notons (même si je ne comprends pas très bien pourquoi personne n'a fait cela auparavant ; en tout cas, je n'ai rien trouvé de similaire dans les sources dont je dispose) que la cause du décès de l'ancienne physique et de l'ancienne mathématique est la même. divergence qui leur a miné la croyance selon laquelle les fonctions continues devaient simplement être différentiables. Les physiciens ont réagi changement simple règles du jeu, les mathématiciens ont dû apprendre à vivre avec des fonctions non différenciables et leurs dérivées formelles. (Cette dernière est le seul exemple de fonction de Schwarz généralisée souvent utilisée en physique.)
À la recherche d'un spectre discret invariant à l'échelle. Divergence infrarouge. Bien que Spectre de fréquences La fonction brownienne est continue, invariante à l'échelle et existe à , le spectre de fréquence de la fonction Weierstrass correspondant à la même valeur est discret et limité par le bas par la valeur . La présence de la limite inférieure est due uniquement au fait que le nombre de Weierstrass était initialement entier et que la fonction était périodique. Pour éliminer cette circonstance, il faut évidemment permettre de prendre n'importe quelle valeur de à . Et pour que le spectre énergétique devienne invariant à l’échelle, il suffit d’associer chaque composante fréquentielle à une amplitude.
Malheureusement, la série résultante diverge et les composants basse fréquence sont à blâmer. Ce défaut est appelé divergence infrarouge (IR) (ou « catastrophe »). Quoi qu'il en soit, nous devons accepter cette divergence, car sinon la limite inférieure entre en conflit avec l'autosimilarité inhérente au spectre énergétique.
Fonction Weierstrass modifiée, auto-affine par rapport au temps focal. La procédure la plus simple qui permet de prolonger le spectre de fréquence de la fonction de Weierstrass jusqu'à une valeur et d'éviter des conséquences catastrophiques se compose de deux étapes : on obtient d'abord l'expression 
, et ensuite seulement lui permettre de prendre n'importe quelle valeur de à . Les termes supplémentaires correspondant aux valeurs convergent, et leur somme est continue et différentiable. La fonction ainsi modifiée
est toujours continue, mais nulle part différenciable.
De plus, il est invariant à l’échelle dans le sens où
.
Donc la fonction 
ne dépend pas de . On peut le dire autrement : avec fonction 
ne dépend pas de . C'est-à-dire la fonction 
, ses parties réelles et imaginaires sont auto-affines par rapport aux valeurs de forme et de temps focal.
Gaussienne fonctions aléatoires avec le spectre de Weierstrass généralisé. La prochaine étape vers le réalisme et une large applicabilité est la randomisation de la fonction de Weierstrass généralisée. Le plus simple et le plus méthode naturelle consiste à multiplier ses coefficients de Fourier par une gaussienne complexe indépendante Variables aléatoires avec une espérance mathématique nulle et une variance unitaire. Les parties réelles et imaginaires de la fonction résultante peuvent à juste titre être appelées fonctions de Weierstrass – Gauss (modifiées). Dans certains sens, ces fonctions peuvent être considérées comme des fonctions browniennes fractionnaires approximatives. Lorsque les valeurs coïncident, leurs spectres sont aussi similaires que le permet le fait que l'un de ces spectres est continu et l'autre discret. De plus, les résultats d'Orey et Marcus (voir p. 490) sont applicables aux fonctions de Weierstrass – Gauss, et les dimensions fractales de leurs ensembles de niveaux coïncident avec les dimensions fractales des ensembles de niveaux des fonctions browniennes fractionnaires.
Compte tenu du précédent représenté par le fractionnaire mouvement brownien, on peut supposer que la dimension des ensembles zéro de la fonction Weierstrass – Rademacher sera égale à . Cette hypothèse est confirmée dans , mais uniquement pour les entiers.
Singh mentionne de nombreuses autres variantes de la fonction Weierstrass. La dimension zéro des ensembles de certains d’entre eux est facile à estimer. D’une manière générale, ce sujet mérite clairement une étude plus détaillée, prenant en compte les acquis de la pensée théorique moderne.
« L’énoncé S est-il vrai ? » est peut-être la question la plus typique en mathématiques, lorsque l’énoncé est de la forme : « Chaque élément de la classe A appartient également à la classe B : A B. » Prouver qu'une telle affirmation est vraie signifie prouver l'inclusion de A dans B. Prouver qu'elle est fausse signifie trouver un élément de classe A qui n'appartient pas à la classe B, en d'autres termes, donner un contre-exemple. Par exemple, si l'énoncé S est : « Chaque fonction continue est différentiable en un certain point », alors les ensembles A et B sont respectivement constitués de toutes les fonctions continues et de toutes les fonctions différentiables en certains points, le célèbre exemple de Weierstrass d'une fonction continue mais nulle part. la fonction différentiable f est un contre-exemple à l'inclusion de A dans B, puisque f est un élément de A qui n'appartient pas à B. Au risque de tomber dans une simplification excessive, on peut dire que les mathématiques (sauf les définitions, les énoncés et les calculs) consistent en deux parties - preuves et contre-exemples, et découvertes mathématiques consistent à trouver des preuves et à construire des contre-exemples.
Cela détermine la pertinence des contre-exemples lors de la formation et du développement des mathématiques.
La plupart de livres de mathématiques est consacré à prouver la véracité des déclarations.
De manière générale, les exemples en mathématiques sont de deux types : les exemples illustratifs et les contre-exemples. Les premiers montrent pourquoi telle ou telle affirmation a du sens, et les seconds montrent pourquoi telle ou telle affirmation n'a pas de sens. On peut soutenir que tout exemple est en même temps un contre-exemple à une affirmation, à savoir à l’affirmation selon laquelle un tel exemple est impossible. Nous ne souhaitons pas donner un sens aussi universel au terme contre-exemple, mais nous admettons que son sens est suffisamment large pour inclure tous les exemples dont le rôle ne se limite pas à illustrer de vrais théorèmes. Ainsi, par exemple, un polynôme comme exemple de fonction continue n'est pas un contre-exemple, mais un polynôme comme exemple de fonction illimitée ou non périodique est un contre-exemple. De la même manière, la classe de toutes les fonctions monotones sur un intervalle fermé borné en tant que classe de fonctions intégrables n'est pas un contre-exemple, mais cette même classe en tant qu'exemple d'espace fonctionnel, mais non vectoriel, est un contre-exemple.
Le but de ce travail est de considérer des contre-exemples et des conditions de monotonie d'une fonction en analyse.
Pour atteindre l'objectif, les tâches suivantes ont été définies :
1. Considérez des contre-exemples dans l'analyse
2. Définir la notion de contre-exemple
3. Envisagez l'utilisation de contre-exemples dans la différenciation
4. Définir la notion de monotonie des fonctions
5. Caractériser les conditions de monotonie d'une fonction
6. Considérez la condition nécessaire pour un extremum local
7. Considérez des conditions suffisantes pour un extremum local
1. Contre-exemples en analyse
1.1. Le concept de contre-exemple
Les expressions populaires : « apprendre des exemples », « le pouvoir de l’exemple » n’ont pas seulement un sens quotidien. Le mot « exemple » a la même racine que les mots « mesurer », « mesurer », « mesurer », mais ce n'est pas la seule raison pour laquelle il est présent en mathématiques depuis ses débuts. Un exemple illustre le concept, aide à comprendre son sens, confirme la vérité de l'énoncé dans sa manifestation particulière ; un contre-exemple, réfutant une fausse déclaration, a force probante.
Un contre-exemple est un exemple qui réfute la véracité d’une certaine affirmation.
Construire un contre-exemple est une manière courante de réfuter des hypothèses. S'il existe une déclaration telle que « Pour tout X de l'ensemble M, la propriété A est valable », alors un contre-exemple à cette déclaration serait tout objet X 0 de l'ensemble M pour lequel la propriété A n'est pas valable.
Un contre-exemple classique dans l’histoire du calcul est la fonction construite par Bernard Bolzano, qui est continue sur tout l’axe réel et non différentiable en aucun point. Cette fonction a servi de contre-exemple à l'hypothèse selon laquelle la différentiabilité d'une fonction est une conséquence naturelle de sa continuité.
2.2. Utiliser des contre-exemples dans la différenciation
Cette section a été choisie car la différenciation est un élément fondamental de l'analyse mathématique.
Dans certains exemples de ce chapitre, le terme dérivée s’appliquera également à des limites infinies.
Cependant, le terme fonction différentiable n'est utilisé que si la fonction a une dérivée finie en chaque point de son domaine de définition. Une fonction est dite infiniment différentiable si elle possède une dérivée (finie) de n’importe quel ordre en tout point de son domaine.
Une fonction exponentielle de base e sera désignée par le symbole ex x ou exp(x).
On suppose que tous les ensembles, y compris les domaines et les ensembles de valeurs des fonctions, sont des sous-ensembles de R. Dans le cas contraire, des éclaircissements appropriés seront apportés.
1. Fonction non dérivée
Fonction sgnA : et en général, toute fonction avec une discontinuité en forme de saut n'a pas de primitive, c'est-à-dire n'est dérivée d'aucune fonction, puisqu'elle n'a pas la propriété de Cauchy d'accepter toutes les valeurs intermédiaires, et cela la propriété est inhérente non seulement aux fonctions continues, mais aussi aux dérivées (voir, p. 84, ex. 40, et aussi, vol. I, p. 224). Vous trouverez ci-dessous un exemple de dérivée discontinue.
2. Fonction différentiable avec dérivée discontinue
Considérez la fonction
Son dérivé
discontinu au point x = 0.
3. Une fonction discontinue qui a une dérivée partout (pas forcément finie)
Pour qu’un tel exemple devienne possible, la définition de la dérivée doit être élargie pour inclure les valeurs ±. Alors fonction discontinue sgn x (exemple 1) a une dérivée
4. Fonction différentiable dont la dérivée ne conserve aucun signe dans aucun voisinage unilatéral du point extrémal
a un minimum absolu au point x = 0. Et sa dérivée
dans tout voisinage unilatéral de zéro prend à la fois positif et valeurs négatives. La fonction f n'est monotone dans aucun voisinage unilatéral du point x = 0.
5. Fonction différentiable dont la dérivée est positive en un certain point, mais la fonction elle-même n'est monotone dans aucun voisinage de ce point
a une dérivée égale à
Dans tout voisinage de zéro, la dérivée f/(x) a des valeurs à la fois positives et négatives.
6. Une fonction dont la dérivée est finie, mais non limitée sur un intervalle fermé
Considérez la fonction
Son dérivé
non limité à [-1, 1].
7. Une fonction dont la dérivée existe et est limitée, mais n'a pas d'extremum (absolu) sur un intervalle fermé
a un dérivé
Dans tout voisinage de zéro, cette dérivée a des valeurs arbitrairement proches de 24 et -24. Par contre, pour 0 Donc à partir de l’inégalité 0< h
1 следует, что 8. Fonction continue partout, mais nulle part différenciable Fonction | X | est continue partout, mais non dérivable au point x - 0. En utilisant un décalage de cette fonction, on peut définir une fonction partout continue qui n'est pas dérivable en tout point d'un ensemble fini arbitrairement donné. Dans cette section nous donnerons un exemple utilisant un nombre infini de décalages de la fonction | x |. Montrons que la fonction n'est différenciable nulle part. Soit a un nombre réel arbitraire, et soit pour tout nombre naturel n le nombre h n égal à 4 -n ou –4 -n de telle sorte que Alors la quantité ait la même valeur | hn | pour tout m n et égal à zéro pour m > n. Le rapport de différence est alors un nombre entier pair lorsque n est pair et impair lorsque n est impair. Il s'ensuit que la limite n'existe pas, et donc n'existe pas et L'exemple donné est une modification d'un exemple construit par B. L. Van der Waerden en 1930 (voir p. 394). Le premier exemple de fonction continue, nulle part différentiable, a été construit par K. W. T. Weierstrass (mathématicien allemand, 1815-1897) : où a est un entier nombre impair, et le nombre b est tel que Des exemples sont actuellement connus fonctions continues, qui à aucun moment n'ont même une dérivée finie ou infinie unilatérale. Ces exemples et d'autres références peuvent être trouvés dans (pp. 392-394), (pp. 61-62, 115, 126) et (Vol. II, pp. 401-412). La fonction du présent exemple n'est monotone sur aucun intervalle. De plus, il existe un exemple de fonction qui est différenciable partout et qui n'est monotone nulle part (voir, vol. II, pp. 412-421). La construction de cet exemple est très complexe et conduit à une fonction qui est partout différentiable et a ensemble dense des maxima relatifs et un ensemble dense de minima relatifs. 9. Fonction différentiable pour laquelle le théorème de la valeur moyenne ne s'applique pas Dans cet exemple, nous sommes à nouveau obligés de nous tourner vers une fonction à valeurs complexes. Fonction d'une variable réelle x est partout continue et différentiable (voir pp. 509-513). Cependant, il n'existe pas d'intervalle pour lequel, à une certaine valeur, l'égalité Si l'on suppose que cette égalité est possible, alors en égalisant les carrés des modules (valeurs absolues) de ses deux parties, on obtient l'égalité qui après transformations élémentaires prend la forme Mais comme il n’existe pas de nombre positif h tel que sin h = h (voir page 78), nous obtenons une contradiction. 13. Une fonction monotone f infiniment différentiable telle que Si la monotonie n’est pas requise, alors un exemple trivial d’une telle fonction serait, par exemple, (sinx 2)/x. Construisons un exemple de fonction monotone qui a la propriété indiquée. Soit f(x) égal à 1 pour et égal sur intervalles fermés pour Sur les intervalles intermédiaires restants de la forme, on détermine f(x) à l'aide de la fonction appliquer des décalages horizontaux et verticaux et une multiplication par des facteurs négatifs appropriés. 2.1. Monotonie des fonctions Une fonction f (x) est dite croissante sur l'intervalle D si pour tout nombre x 1 et x 2 de l'intervalle D tel que x 1< x 2 , выполняется неравенство
f (x 1) < f (x 2). Une fonction f (x) est dite décroissante sur l'intervalle D si pour tout nombre x 1 et x 2 de l'intervalle D tel que x 1< x
2 , выполняется неравенство f (x 1) >f(x2). Image 1. Dans le graphique présenté sur la figure, la fonction y = f (x) augmente à chacun des intervalles [ a ; x 1) et (x 2 ; b ] et diminue sur l'intervalle (x 1 ; x 2). Notez que la fonction augmente sur chacun des intervalles [ a ; x 1) et (x 2 ; b ], mais pas sur les lacunes syndicales Si une fonction augmente ou diminue sur un certain intervalle, alors elle est dite monotone sur cet intervalle. Notez que si f est une fonction monotone sur l'intervalle D (f (x)), alors l'équation f (x) = const ne peut pas avoir plus d'une racine sur cet intervalle. En effet, si x 1< x 2 – корни этого
уравнения на промежутке D (f (x)), то f (x 1) = f (x 2) = 0, что противоречит
условию монотонности. Listons les propriétés fonctions monotones(on suppose que toutes les fonctions sont définies sur un intervalle D). Des affirmations similaires peuvent être formulées pour une fonction décroissante. Riz. 2. Propriétés de la fonction. Un point a est appelé point maximum d'une fonction f s'il existe un ε-voisinage du point a tel que pour tout x dans ce voisinage l'inégalité f (a) ≥ f (x) est vraie. Un point a est appelé point minimum d'une fonction f s'il existe un ε-voisinage du point a tel que pour tout x dans ce voisinage l'inégalité f (a) ≤ f (x) est vraie. Les points auxquels le maximum ou le minimum de la fonction est atteint sont appelés points extremum. À l'extrême, la nature de la monotonie de la fonction change. Ainsi, à gauche du point extrême, la fonction peut augmenter et à droite, elle peut diminuer. Selon la définition, le point extrême devrait être point interne domaine de définition. Si pour tout (x ≠ a) l'inégalité f (x) ≤ f (a) est vraie, alors le point a est appelé le point de la plus grande valeur de la fonction sur l'ensemble D : Si pour tout (x ≠ b) l'inégalité f (x) > f (b) est satisfaite, alors le point b est appelé le point de la valeur minimale de la fonction sur l'ensemble D. Définition 1. La fonction est appelée différenciable
à ce point Où Théorème 1. Fonction Preuve.Nécessité. Laissez la fonction Adéquation. Laisse-le exister Le théorème a été prouvé. Commentaire. Du théorème 1, il s'ensuit que les concepts de fonction ayant une dérivée finie et de fonction différentiable sont équivalents. Par conséquent, une fonction qui a une dérivée finie peut être appelée différentiable, ce que font les auteurs de certains manuels. Comment les propriétés de continuité et de différentiabilité des fonctions sont-elles liées les unes aux autres ? Se produit Théorème 2.
Si la fonction Preuve. Parce qu'au moment Le théorème a été prouvé. L’inverse n’est pas vrai, c’est-à-dire qu’il existe des fonctions continues qui ne sont pas différentiables. Exemple 1. Montrons que la fonction Solution. Trouvons l'incrément de la fonction au point En analyse mathématique, il existe des exemples de fonctions continues en chaque point de la droite numérique, mais non différentiables. Ils ont une conception complexe. Théorème 3. Laissez la fonction ou, en bref, Preuve. Donnons la valeur Notez que si Puisqu’il y a une limite du côté droit de l’égalité, il y a aussi une limite du côté gauche et Le théorème a été prouvé. Commentaire. Le théorème 3 a été prouvé pour le cas où la fonction complexe Théorème 1. Laissez la fonction Preuve. Notez que dans les conditions du théorème la fonction inverse Donnons-lui un sens Exemple Le théorème a été prouvé. 1. Trouver les dérivées des fonctions
arcsin,X
arcsin,arccos
arcsin,arctg
arcsin/ Solution arcctg et prenez la racine avec un signe plus). Théorème De même, ) et les formules sont valides) Preuve.) et les formules sont valides V UN V , b V Le théorème a été prouvé. . Nous avons, c'est à dire. la formule est valable . 1) Si ) et les formules sont valides, Que 2) Formule) est valable pour tout Preuve nombre fini . 1) Parce que , nous avons. DANS cas général comme .Par la règle de différenciation d'une fonction complexe, en vertu du Théorème 2 et de l'Exemple 1 du § 1 on a Passons maintenant à la spécification paramétrique des fonctions. Si dépendance de fonction X de l'argumentation Considérons la fonction exponentielle n'est pas défini directement, mais en utilisant une troisième variable t, appelé paramètre, formules alors ils disent que la fonction X depuis Considérons la fonction exponentielle spécifié paramétriquement. Si Considérons la fonction exponentielle 2. Si les fonctions à considérée comme les coordonnées rectangulaires d'un point du plan, alors les équations (3.1) sont associées à chaque valeur sont des équations paramétriques d'une ellipse à demi-axes ) et les formules sont valides 2. Si les fonctions b. Si dans (3.1) l’équation Trouvons la dérivée Par exemple, dérivée Équation d'une tangente à une courbe définie paramétriquement en un point d'ici à De même, à partir de l’équation (1.5), nous obtenons l’équation normale : Écrivons maintenant des tableaux récapitulatifs des dérivées de la base fonctions élémentaires et les règles de différenciation obtenues précédemment. Règles de différenciation 1.
5. Si Que est la fonction inverse, alors 1.
3.
5.
7.
9.
11.
, en particulier, Et Ensuite, nous corrigeons le paramètre. Lors de la première étape et des suivantes, nous fixerons les points en fonction règle suivante : pour deux points précédemment construits adjacents le long de l'axe des x et nous construirons deux nouveaux points et de manière symétrique au centre par rapport au centre du rectangle défini par les points et avec un coefficient k , etc. Sur(m+1)- deux points sont construits dans tous les espaces le long de l'abscisse entre des points adjacents déjà construits. Cette construction s'effectue de la manière suivante : les écarts le long de l'axe des abscisses entre points adjacents (rectangles à côtés un Construisons étape par étape une fonction auxiliaire sur un segment. Au pas zéro, nous fixerons deux points : b) sont divisés en 3 parties égales chacune. Ensuite deux nouveaux points sont construits selon l'un des schémas suivants : Selon lequel des points voisins est supérieur ou supérieur, nous utilisons le schéma de gauche ou de droite. Dans un premier temps, comme indiqué ci-dessus, nous acceptons une = b = 1. Nous répétons la construction un nombre dénombrable de fois pour m = 1, 2, 3,…. En conséquence, nous obtiendrons une fractale qui sera similaire, jusqu'à un certain point Transformation affine(étirement, compression, rotation) de l'une quelconque de ses parties contenues dans chaque bande : Suite à la construction d'une fractale, on obtient une fonction définie sur un ensemble de points qui est dense partout sur le segment. Quelles propriétés possède la fonction construite ? · en chaque point du formulaire (*) il y a soit un maximum strict, soit un strict minimum, soit fonction g(x) n'est monotone nulle part et possède des ensembles denses de points extrema stricts sur le segment ; · la fonction g(x) est continue, et même uniformément continue sur l'ensemble des points (*) ; · la fonction construite continue sur le segment n'a en aucun point de ce segment même les dérivés unilatéraux ; Les propriétés ci-dessus ont été démontrées dans le cours « Chapitres sélectionnés d'analyse mathématique ». Dans l'exemple considéré, nous avons pris le paramètre . En modifiant la valeur de ce paramètre, vous pouvez obtenir des familles de fonctions avec leurs propres propriétés particulières. · . Ces fonctions sont continues et croissantes strictement monotones. Ils ont des dérivées nulles et infinies (respectivement des points d'inflexion) sur des ensembles de points denses partout sur le segment. · . Reçu fonction linéaire y = x · . Les propriétés de la famille de fonctions sont les mêmes que pour les valeurs de k de la première plage. · . Nous avons obtenu la fonction de Cantor, que nous avons étudiée en détail précédemment. · . Ces fonctions sont continues, nulle part monotones, ont des minima et maxima stricts, des dérivées unilatérales nulles et infinies (des deux signes) sur des ensembles de points denses partout sur le segment. · . Cette fonction a été étudié par nous ci-dessus. · . Les fonctions de cette plage ont les mêmes propriétés que la fonction en . Conclusion. Dans mon travail, j'ai implémenté quelques exemples du cours « Chapitres sélectionnés d'analyse mathématique ». DANS ce travail Des captures d'écran des programmes que j'ai visualisés ont été insérées. En fait, ils sont tous interactifs ; l'étudiant peut voir la fonction sur étape spécifique, construisez-les vous-même de manière itérative et rapprochez l'échelle. Algorithmes de construction, ainsi que certaines fonctions de bibliothèque Squelette ont été spécialement sélectionnés et améliorés pour ce type problèmes (principalement les fractales ont été considérées). Ce matériel sera sans aucun doute utile aux enseignants et aux étudiants et constitue un bon accompagnement aux cours du cours « Chapitres sélectionnés d'analyse mathématique ». L'interactivité de ces visualisations permet de mieux comprendre la nature des ensembles construits et de faciliter le processus de perception de la matière par les élèves. Les programmes décrits sont inclus dans la bibliothèque de modules visuels du projet www.visualmath.ru, par exemple, voici la fonction Cantor que nous avons déjà envisagée : À l'avenir, il est prévu d'élargir la liste des tâches visualisées et d'améliorer les algorithmes de construction pour plus travail efficace programmes. Travailler dans le projet www.visualmath.ru a sans aucun doute apporté beaucoup d'avantages et d'expérience, des compétences en matière de travail d'équipe, la capacité d'évaluer et de présenter le matériel pédagogique aussi clairement que possible. Littérature. 1. B. Gelbaum, J. Olmsted, Contre-exemples en analyse. M. : Mir.1967. 2. B.M. Makarov et al. Problèmes sélectionnés en analyse réelle. Dialecte Nevski, 2004. 3. B. Mandelbrot. Géométrie fractale de la nature. Institut d'études informatiques, 2002. 4. Yu.S. Ochan, Recueil de problèmes et théorèmes sur TFDP. M. : Lumières. 1963. 5. V.M. Shibinsky Exemples et contre-exemples au cours de l'analyse mathématique. M. : lycée, 2007. 6. R.M. Kronover, Fractales et chaos dans systèmes dynamiques, M. : Postmarket, 2000. 7. A. A. Nikitine, Chapitres sélectionnés d'analyse mathématique // Recueil d'articles de jeunes scientifiques de la Faculté de mathématiques computationnelles et de mathématiques de l'Université d'État de Moscou, 2011 / éd. S. A. Lojkine. M. : Département d'édition de la Faculté de mathématiques computationnelles et de mathématiques de l'Université d'État de Moscou. M.V. Lomonossova, 2011. pp. 71-73. 8. R.M. Kronover, Fractales et chaos dans les systèmes dynamiques, M. : Postmarket, 2000. 9. Fractale et construction d'une fonction partout continue, mais nulle part non différenciable // XVI Lectures internationales Lomonossov : Collection travaux scientifiques. – Arkhangelsk : Université d'État de Poméranie, 2004. P.266-273. L'union d'un nombre dénombrable d'ensembles ouverts (intervalles adjacents) est ouverte et le complément d'un ensemble ouvert est fermé. Tout voisinage d'un point ) et les formules sont valides Ensemble Cantor, il y a au moins un point de , différent de UN. Fermé et ne contient pas points isolés(chaque point est une limite). Il existe tout au plus un ensemble dénombrable qui est partout dense dans . Un ensemble A n'est dense nulle part dans l'espace R, le cas échéant ensemble ouvert de cet espace contient un autre ouvert, totalement exempt de points de l'ensemble A. Un point dont tout voisinage contient un ensemble indénombrable de points d'un ensemble donné. Nous dirons qu'un ensemble sur un plan n'est nulle part dense en espace métrique R, si un cercle ouvert de cet espace contient un autre cercle ouvert, totalement exempt de points de cet ensemble.2. Fonctions monotones
, si son incrément à ce stade peut être représenté comme
,
(2.1)
et ne dépend pas de 
, UN 
à 
.
, différentiable au point 
si et seulement s'il a une dérivée finie à ce stade 
.
différenciable au point 
, c'est à dire. l’égalité (2.1) est vraie. Le diviser en 
, on a 
. Aller à la limite à 
, on voit ça 
, c'est à dire. la limite du côté droit existe et est égale à UN, ce qui signifie qu'il y a aussi une limite sur le côté gauche, c'est-à-dire 
, et 
.
. Alors, par le Théorème 1 du § 16 du Chapitre 1 
, Où 
- sans cesse petite fonctionà 
. Par conséquent, c'est-à-dire la fonction est différentiable au point 
.
différenciable au point 
, alors il est continu à ce stade.
, nous avons, ce qui signifie la continuité de la fonction au point 
.
continu mais non différentiable en un point 
.
, correspondant à l'incrément 
argument. Nous avons. C'est pourquoi 
, c'est-à-dire la fonction 
continu en un point 
. D'un autre côté,, 
, c'est-à-dire les dérivées unilatérales au point 
ne sont pas égaux, par conséquent, cette fonction à ce stade n'est pas dérivable.
a au point 
dérivé 
, fonction 
a au point correspondant 
dérivé 
. Alors la fonction complexe 
a au point 
dérivé
.
incrément 
. On obtient alors l'incrément correspondant 
les fonctions 
et incrémenter 
les fonctions 
. D'après le théorème 1, nous avons
, Où 
à 
.
.
, alors 
par le théorème 2, donc 
. Ainsi,.
.
a une variable intermédiaire 
. S'il existe plusieurs variables intermédiaires, la dérivée est calculée de la même manière. Par exemple, si 
,
,
, Que.§ 3. Règles de différenciation. Dérivées de fonctions élémentaires de base
, continu, strictement monotone sur le segment 
et différentiable au point intérieur 
ce segment, et 
. Alors la fonction inverse 
différenciable au point 
, et 
.
existe, est continue et strictement monotone sur le segment 
en vertu du théorème du § 19 du chapitre 1.
incrément 
. Alors 
recevra une majoration
(puisque la fonction 
strictement monotone). On peut donc écrire 
. Depuis quand 
en raison de la continuité de la fonction inverse et 
et, par hypothèse, il existe 
, nous avons 
. Cela implique l'existence 
et l'égalité 
.
, nous avons 
. D’après le théorème 1, nous avons (puisque
2. Si les fonctions 
Et 
avoir des dérivés au point 
, puis au point 
avoir des dérivées et des fonctions 
(Si
;UN)
;b)
.
) Laisser 
incrément 
. Donne moi . Ensuite les fonctions,toi,v oui 
, et
recevra des augmentations 
. ) et les formules sont valides D'ici
et l'égalité ) et les formules sont valides) a été prouvé.
. Identique au point UN).
) nous avons 
,
,
,, c'est à dire. la formule est valable b).
Conséquences 
.
termes.
, Où . Ensuite les fonctions
2. Si les fonctions toi Les corollaires 2) et 3) sont prouvés par la méthode d'induction mathématique. Considérons la fonction exponentielle– quelques fonctions de X. Trouvons la dérivée de la fonction . Ensuite les fonctions
2. Si les fonctions toià X au point où les fonctions sont différentiables 
.Pour ce faire, imaginez la fonction
Ainsi, fonction exponentielle, et le second – comme fonction de puissance. La technique de différenciation utilisée est appelée différenciation logarithmique
. Il peut également être pratique à utiliser lorsque la fonction à différencier est le produit de plusieurs facteurs.
,
(3.1)
indiquer 
en surface. Avec le changement t point 
décrit une courbe sur le plan. Les équations (3.1) sont appelées équations paramétriques de cette courbe. Par exemple, les équations
(3.2)
relativement autorisé t,
, Que spécification paramétrique les fonctions peuvent être réduites à explicites :
.
fonction spécifiée paramétriquement. Pour ce faire, supposons que les fonctions 
2. Si les fonctions 
sont différenciables, et 
sur un certain intervalle, et pour la fonction 
il existe une fonction inverse 
, ayant une dérivée finie 
. Alors, selon la règle de différenciation des complexes et fonctions inverses nous trouvons: 
. Ainsi,
.
(3.3)
la fonction définie par les équations (3.2) a la forme
.
correspondant à la valeur du paramètre 
, est obtenu à partir de l’équation (1.4), si au lieu de 
remplaçant 
:
,
nous avons
.
(3.4)
ou. (3.5)
.
2.
.
3.
.
4.
.
Conséquences 
. 
6. Si 
.
7. Si 
.
8..
, Où 
.
2.
Tableau des dérivées des fonctions élémentaires de base 
.
4.
.
.
.
6.
.
.
8.
.
.
10.
.
Tableau des dérivées des fonctions élémentaires de base 
.
12.
Tableau des dérivées des fonctions élémentaires de base 
.
Construisons étape par étape une fonction auxiliaire sur un segment. Au pas zéro, nous fixerons deux points : 
.
Construisons étape par étape une fonction auxiliaire sur un segment. Au pas zéro, nous fixerons deux points : 
. Autrement dit, dans un premier temps, deux nouveaux points sont précisés :
,
; 
