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Attention! Les aperçus des diapositives sont fournis à titre informatif uniquement et peuvent ne pas représenter toutes les fonctionnalités de la présentation. Si vous êtes intéressé ce travail, veuillez télécharger la version complète.

Buts et objectifs de la leçon :

• continuer à travailler sur le développement des compétences en résolution de systèmes d'équations à l'aide de la méthode graphique ;
• effectuer des recherches et tirer des conclusions sur le nombre de solutions à un système de deux équations linéaires ;
• développer l’intérêt pour le sujet par le jeu.

DÉROULEMENT DE LA LEÇON

1. Moment d'organisation(Réunion de planification)– 2 minutes.

- Bon après-midi! Nous commençons notre traditionnelle réunion de planification. Nous sommes heureux d'accueillir tous ceux qui nous rendent visite aujourd'hui dans notre laboratoire (je représente les invités). Notre laboratoire s'appelle : « TRAVAILLER AVEC intérêt et plaisir »(montrant la diapositive 2). Le nom sert de devise dans notre travail. « Créer, Décider, Apprendre, Réaliser avec intérêt et plaisir" Chers invités, je vous présente les responsables de notre laboratoire (diapositive 3).
Notre laboratoire est engagé dans l'étude des travaux scientifiques, la recherche, l'examen et les travaux sur la création de projets créatifs.
Aujourd'hui, le sujet de notre discussion est : « Solution graphique de systèmes d'équations linéaires ». (Je suggère d'écrire le sujet de la leçon)

Programme de la journée :(diapositive 4)

1. Réunion de planification
2. Conseil académique élargi :

• Discours sur le sujet
• Autorisation de travailler

3. Expertise
4. Recherche et découverte
5. Projet créatif
6. Rapport
7. Planification

2. Enquête et travail oral(Conseil académique élargi)– 10 minutes.

– Nous tenons aujourd’hui un conseil scientifique élargi, auquel participent non seulement les chefs de département, mais aussi tous les membres de notre équipe. Le laboratoire vient de commencer les travaux sur le sujet : « Solution graphique systèmes d'équations linéaires". Nous devons essayer d’obtenir les plus hauts résultats dans ce domaine. Notre laboratoire doit être réputé pour la qualité de ses recherches sur ce sujet. En tant que chercheur senior, je souhaite bonne chance à tous !

Les résultats de la recherche seront communiqués au chef du laboratoire.

Le sol pour un rapport sur la résolution de systèmes d'équations est... (J'appelle l'élève au tableau). Je donne une tâche à la tâche (carte 1).

Et le laborantin... (je donne mon nom de famille) vous rappellera comment représenter graphiquement une fonction avec un module. Je vous donne la carte 2.

Carte 1(solution à la tâche sur la diapositive 7)

Résolvez le système d'équations :

Carte 2(solution à la tâche sur la diapositive 9)

Représentez graphiquement la fonction : y = | 1,5x – 3 |

Pendant que le personnel prépare le rapport, je vérifierai dans quelle mesure vous êtes prêt à terminer la recherche. Chacun de vous doit obtenir une autorisation pour travailler. (On commence le comptage oral en notant les réponses dans un cahier)

Autorisation de travailler(tâches sur les diapositives 5 et 6)

1) Exprimer àà travers x :

3x + y = 4 (y = 4 – 3x)
5x – y = 2 (y = 5x – 2)
1/2a – x ​​= 7 (y = 2x + 14)
2x + 1/3y – 1 = 0 (y = – 6x + 3)

2) Résolvez l'équation :

5x + 2 = 0 (x = – 2/5)
4x – 3 = 0 (x = 3/4)
2 – 3x = 0 (x = 2/3)
1/3x + 4 = 0 (x = – 12)

3) Étant donné un système d'équations :

Lequel des couples de nombres (– 1 ; 1) ou (1 ; – 1) est la solution de ce système d’équations ?

Réponse : (1 ; – 1)

Immédiatement après chaque fragment de calcul oral, les élèves échangent des cahiers (avec un élève assis à côté d'eux dans la même section), les bonnes réponses apparaissent sur les diapositives ; L'inspecteur donne un plus ou un moins. A la fin des travaux, les chefs de service saisissent les résultats dans le tableau récapitulatif (voir ci-dessous) ; 1 point est attribué pour chaque exemple (il est possible d'obtenir 9 points).
Ceux qui obtiennent 5 points ou plus sont autorisés à travailler. Les autres bénéficient d'une admission conditionnelle, c'est-à-dire devra travailler sous la supervision du chef de département.

Tableau (rempli par le patron)

(Les tables sont remises avant le début du cours)

Après avoir été admis, nous écoutons les réponses des étudiants au tableau. Pour la réponse, l'étudiant reçoit 9 points si la réponse est complète (nombre maximum pour l'admission), 4 points si la réponse n'est pas complète. Les points sont inscrits dans la colonne « admission ».
Si au tableau la bonne décision, les diapositives 7 et 9 peuvent ne pas être affichées. Si la solution est correcte, mais pas clairement exécutée, ou si la solution est incorrecte, alors les diapositives doivent être présentées avec des explications.
Je montre toujours la diapositive 8 après la réponse de l'élève sur la carte 1. Sur cette diapositive, les conclusions sont importantes pour la leçon.

Algorithme de résolution graphique de systèmes :

• Exprimez y en fonction de x dans chaque équation du système.
• Représentez graphiquement chaque équation du système.
• Trouvez les coordonnées des points d'intersection des graphiques.
• Faire une vérification (j'attire l'attention des élèves sur le fait que méthode graphique donne généralement une solution approximative, mais si l'intersection des graphiques atteint un point avec des coordonnées entières, vous pouvez vérifier et obtenir une réponse exacte).
• Écrivez la réponse.

3. Exercices (examen)– 5 minutes.

Hier, de graves erreurs ont été commises dans le travail de certains salariés. Aujourd'hui, vous êtes déjà plus compétent en matière de solutions graphiques. Vous êtes invités à procéder à un examen des solutions proposées, c'est-à-dire trouver des erreurs dans les solutions. La diapositive 10 est affichée.
Des travaux sont en cours dans les départements. (Des photocopies des devoirs comportant des erreurs sont remises à chaque pupitre ; dans chaque département, les salariés doivent rechercher les erreurs et les mettre en évidence ou les corriger ; les photocopies doivent être remises au chercheur principal, c'est-à-dire à l'enseignant). Le patron ajoute 2 points à ceux qui trouvent et corrigent l'erreur. Ensuite, nous discutons des erreurs commises et les indiquons sur la diapositive 10.

Erreur 1

Résolvez le système d'équations :

Réponse : il n’y a pas de solutions.

Les élèves doivent continuer les lignes jusqu'à ce qu'elles se croisent et obtenir la réponse : (– 2 ; 1).

Erreur 2.

Résolvez le système d'équations :

Réponse : (1 ; 4).

Les élèves doivent trouver l'erreur dans la transformation de la première équation et la corriger sur le dessin terminé. Obtenez une autre réponse : (2 ; 5).

4. Expliquer le nouveau matériel (recherche et découverte)– 12 minutes.

Je suggère aux élèves de résoudre graphiquement trois systèmes. Chaque élève résout indépendamment dans un cahier. Seules les personnes bénéficiant d’une autorisation conditionnelle peuvent consulter.

Solution

Sans tracer de graphiques, il est clair que les lignes droites coïncideront.

La diapositive 11 montre la solution système ; On s'attend à ce que les élèves aient du mal à écrire la réponse de l'exemple 3. Après avoir travaillé dans les départements, on vérifie la solution (le patron ajoute 2 points pour une bonne). Il est maintenant temps de discuter du nombre de solutions qu'un système de deux équations linéaires peut avoir.
Les élèves doivent tirer des conclusions par eux-mêmes et les expliquer, en énumérant des cas de positions relatives de droites sur un plan (diapositive 12).

5. Projet créatif (Exercices)– 12 minutes.

La tâche est confiée au département. Le patron remet à chaque laborantin, selon ses capacités, un fragment de sa prestation.

Résolvez graphiquement des systèmes d’équations :

Après avoir ouvert les parenthèses, les étudiants devraient recevoir le système :

Après avoir ouvert les parenthèses, la première équation ressemble à : y = 2/3x + 4.

6. Rapport (vérifiant l'achèvement de la tâche)– 2 minutes.

Après avoir réalisé un projet créatif, les élèves rendent leurs cahiers. Sur la diapositive 13, je montre ce qui aurait dû se passer. Les patrons passent la table. La dernière colonne est remplie par le professeur et notée (les notes pourront être communiquées aux élèves au cours suivant). Dans le projet, la solution au premier système est évaluée avec trois points et le second avec quatre.

7. Planification (résumé et devoirs)– 2 minutes.

Résumons notre travail. Nous avons fait du bon travail. Nous parlerons spécifiquement des résultats demain lors de la réunion de planification. Bien entendu, tous les laborantins, sans exception, maîtrisaient la méthode graphique de résolution de systèmes d'équations et apprenaient combien de solutions un système peut avoir. Demain chacun d'entre vous aura un projet personnel. Pour une préparation supplémentaire : paragraphe 36 ; 647-649(2); répéter les méthodes analytiques pour résoudre des systèmes. 649(2) et résoudre analytiquement.

Notre travail a été encadré tout au long de la journée par le directeur du laboratoire, Nouman Nou Manovich. Il a la parole. (Montrant la diapositive finale).

Échelle de notation approximative

Tutoriel vidéo " Méthode graphique solutions de systèmes d'équations" présente matériel pédagogique pour maîtriser ce sujet. Le matériel contient notion générale sur la résolution d'un système d'équations, ainsi que explication détaillée en utilisant un exemple de la façon dont un système d’équations est résolu graphiquement.

L'aide visuelle utilise l'animation pour rendre les constructions plus pratiques et compréhensibles, ainsi que différentes manières décharge notions importantes et des détails pour une compréhension approfondie de la matière et une meilleure mémorisation.

La leçon vidéo commence par l'introduction du sujet. On rappelle aux élèves ce qu'est un système d'équations et quels systèmes d'équations ils connaissaient déjà en 7e année. Auparavant, les élèves devaient résoudre des systèmes d'équations de la forme ax+by=c. Approfondissant le concept de résolution de systèmes d'équations et afin de développer la capacité de les résoudre, cette leçon vidéo examine la solution d'un système composé de deux équations du deuxième degré, ainsi que d'une équation du deuxième degré et de la seconde du premier degré. Cela nous rappelle ce qu’est la résolution d’un système d’équations. La définition d'une solution d'un système comme une paire de valeurs de variables qui inversent ses équations lorsqu'elles sont remplacées par une égalité correcte est affichée à l'écran. Conformément à la définition de la solution système, la tâche est spécifiée. Il s'affiche à l'écran pour rappeler que résoudre un système signifie trouver des solutions adaptées ou prouver leur absence.

Il est proposé de maîtriser une méthode graphique pour résoudre un certain système d'équations. Application cette méthode est considéré en utilisant l'exemple de la résolution d'un système constitué des équations x 2 +y 2 =16 et y=-x 2 +2x+4. La solution graphique du système commence par tracer chacune de ces équations. Évidemment, le graphique de l'équation x 2 + y 2 = 16 sera un cercle. Les points appartenant à un cercle donné sont la solution de l'équation. À côté de l'équation est construite sur plan de coordonnées un cercle de rayon 4 de centre O à l'origine. Le graphique de la deuxième équation est une parabole dont les branches sont abaissées. Cette parabole correspondant au graphique de l'équation est construite sur le plan de coordonnées. N'importe quel point appartenant à une parabole, est une solution de l'équation y=-x 2 +2x+4. Il est expliqué que la solution d'un système d'équations est constituée de points sur les graphiques qui appartiennent simultanément aux graphiques des deux équations. Cela signifie que les points d'intersection des graphiques construits seront des solutions du système d'équations.

On note que la méthode graphique consiste à trouver la valeur approximative des coordonnées de points situés à l'intersection de deux graphiques, qui reflètent l'ensemble des solutions de chaque équation du système. La figure montre les coordonnées des points d'intersection trouvés des deux graphiques : A, B, C, D[-2;-3.5]. Ces points sont des solutions à un système d'équations trouvé graphiquement. Vous pouvez vérifier leur exactitude en les substituant dans l'équation et en obtenant une juste égalité. Après avoir remplacé les points dans l’équation, il est clair que certains points donnent valeur exacte solutions, et la partie représente la valeur approximative de la solution de l'équation : x 1 =0, y 1 =4 ; x 2 =2, y 2 ≈3,5 ; x 3 ≈3,5, y 3 = -2 ; x 4 = -2, oui 4 ≈-3,5.

Le didacticiel vidéo explique en détail l'essence et l'application de la méthode graphique de résolution d'un système d'équations. Cela permet de l'utiliser comme didacticiel vidéo dans un cours d'algèbre à l'école lors de l'étude de ce sujet. Le matériel sera également utile pour auto-apprentissageétudiants et peut aider à expliquer le sujet lors de l’enseignement à distance.

Niveau d'entrée

Résoudre des équations, des inégalités, des systèmes à l'aide de graphiques de fonctions. Guide visuel (2019)

De nombreuses tâches que nous avons l'habitude de calculer de manière purement algébrique peuvent être résolues beaucoup plus facilement et plus rapidement à l'aide de graphiques de fonctions ; Vous dites "comment ça?" dessiner quelque chose, et que dessiner ? Croyez-moi, c'est parfois plus pratique et plus facile. On commence ? Commençons par les équations !

Solution graphique des équations

Solution graphique d'équations linéaires

Comme vous le savez déjà, le graphique d'une équation linéaire est une ligne droite, d'où le nom de ce type. Les équations linéaires sont assez faciles à résoudre algébriquement : nous transférons toutes les inconnues d'un côté de l'équation, tout ce que nous savons de l'autre, et le tour est joué ! Nous avons trouvé la racine. Maintenant, je vais vous montrer comment faire graphiquement.

Vous avez donc l'équation :

Comment le résoudre ?
Option 1, et la plus courante consiste à déplacer les inconnues d’un côté et les connues de l’autre, on obtient :

Maintenant, construisons. Qu'as-tu obtenu ?

Selon vous, quelle est la racine de notre équation ? C'est vrai, la coordonnée du point d'intersection des graphiques est :

Notre réponse est

C'est toute la sagesse de la solution graphique. Comme vous pouvez facilement le vérifier, la racine de notre équation est un nombre !

Comme je l'ai dit plus haut, c'est l'option la plus courante, proche de solution algébrique, mais vous pouvez le résoudre différemment. Pour considération solution alternative Revenons à notre équation :

Cette fois, nous ne déplacerons rien d’un côté à l’autre, mais construirons directement les graphiques, puisqu’ils existent désormais :

Construit? Voyons!

Quelle est la solution cette fois-ci ? C'est exact. La même chose - la coordonnée du point d'intersection des graphiques :

Et encore une fois, notre réponse est la suivante.

Comme vous pouvez le constater, avec équations linéaires tout est extrêmement simple. Il est temps de regarder quelque chose de plus complexe... Par exemple, solution graphique d'équations quadratiques.

Solution graphique d'équations quadratiques

Alors maintenant, commençons à résoudre l’équation quadratique. Disons que vous devez trouver les racines de cette équation :

Bien sûr, vous pouvez maintenant commencer à compter via le discriminant, ou selon le théorème de Vieta, mais beaucoup de gens, par nerfs, font des erreurs en multipliant ou en quadrature, surtout si l'exemple est avec grands nombres, et, comme vous le savez, vous n'aurez pas de calculatrice pour l'examen... Essayons donc de nous détendre un peu et de dessiner tout en résolvant cette équation.

Trouver des solutions graphiquement équation donnée Peut de diverses manières. Examinons les différentes options et vous pourrez choisir celle que vous préférez.

Méthode 1. Directement

On construit simplement une parabole en utilisant cette équation :

Pour y parvenir rapidement, je vais vous donner un petit indice : Il est pratique de commencer la construction en déterminant le sommet de la parabole. Les formules suivantes aideront à déterminer les coordonnées du sommet d'une parabole :

Vous direz « Stop ! La formule pour est très similaire à la formule pour trouver le discriminant », oui, c'est le cas, et c'est un énorme inconvénient de construire « directement » une parabole pour trouver ses racines. Cependant, comptons jusqu'au bout, et ensuite je vous montrerai comment le faire beaucoup (beaucoup !) plus facilement !

As-tu compté ? Quelles coordonnées avez-vous obtenues pour le sommet de la parabole ? Voyons cela ensemble :

Exactement la même réponse ? Bien joué! Et maintenant, nous connaissons déjà les coordonnées du sommet, mais pour construire une parabole, nous avons besoin de plus... de points. De combien de points minimum pensez-vous que nous avons besoin ? Droite, .

Vous savez qu'une parabole est symétrique par rapport à son sommet, par exemple :

En conséquence, nous avons besoin de deux points supplémentaires sur la branche gauche ou droite de la parabole, et à l'avenir nous refléterons symétriquement ces points sur le côté opposé :

Revenons à notre parabole. Pour notre cas, point final. Nous avons besoin de deux points supplémentaires, pour pouvoir en prendre des positifs, ou des négatifs ? Quels sont les points qui vous conviennent le mieux ? C'est plus pratique pour moi de travailler avec des positifs, donc je vais calculer en et.

Nous avons maintenant trois points et nous pouvons facilement construire notre parabole en réfléchissant deux derniers points par rapport à son sommet :

Selon vous, quelle est la solution de l’équation ? C'est vrai, les points auxquels, c'est-à-dire et. Parce que.

Et si nous disons cela, cela signifie que cela doit aussi être égal, ou.

Juste? Nous avons fini de résoudre l'équation de manière graphique complexe, ou il y en aura plus !

Bien sûr, vous pouvez vérifier notre réponse algébriquement - vous pouvez calculer les racines en utilisant le théorème de Vieta ou le discriminant. Qu'as-tu obtenu ? Le même? Tu vois! Voyons maintenant une solution graphique très simple, je suis sûr que vous l'aimerez vraiment !

Méthode 2. Divisé en plusieurs fonctions

Reprenons notre même équation : , mais nous l'écrirons un peu différemment, à savoir :

Peut-on l'écrire ainsi ? Nous pouvons, puisque la transformation est équivalente. Regardons plus loin.

Construisons deux fonctions séparément :

1. - l'horaire est parabole simple, que vous pouvez facilement construire même sans définir le sommet à l'aide de formules et sans dresser un tableau pour déterminer d'autres points.
2. - le graphique est une droite, que vous pouvez tout aussi bien construire en estimant les valeurs dans votre tête sans même recourir à une calculatrice.

Construit? Comparons avec ce que j'ai obtenu :

Pensez-vous que dans dans ce cas sont les racines de l'équation ? Droite! Les coordonnées obtenues par l'intersection de deux graphiques et, soit :

La solution de cette équation est donc :

Que dites-vous? D'accord, cette méthode de solution est bien plus simple que la précédente et encore plus simple que de chercher des racines via un discriminant ! Si tel est le cas, essayez de résoudre l’équation suivante en utilisant cette méthode :

Qu'as-tu obtenu ? Comparons nos graphiques :

Les graphiques montrent que les réponses sont :

Avez-vous réussi ? Bien joué! Examinons maintenant les équations un peu plus compliquées, à savoir la solution équations mixtes, c'est-à-dire des équations contenant des fonctions de différents types.

Solution graphique d'équations mixtes

Essayons maintenant de résoudre les problèmes suivants :

Bien sûr, nous pouvons tout apporter dénominateur commun, trouvez les racines de l'équation résultante, sans oublier de prendre en compte l'ODZ, mais encore une fois, nous essaierons de la résoudre graphiquement, comme nous l'avons fait dans tous les cas précédents.

Cette fois, construisons les 2 graphiques suivants :

1. - le graphique est une hyperbole
2. - le graphique est une ligne droite, que vous pouvez facilement construire en estimant les valeurs dans votre tête sans même recourir à une calculatrice.

Vous l'avez compris ? Maintenant, commencez à construire.

Voici ce que j'ai obtenu :

En regardant cette image, dites-moi quelles sont les racines de notre équation ?

C'est vrai, et. Voici la confirmation :

Essayez de brancher nos racines dans l’équation. Est-ce que ça a marché ?

C'est exact! D'accord, résoudre graphiquement de telles équations est un plaisir !

Essayez de résoudre l'équation graphiquement vous-même :

Je vais vous donner un indice : déplacez une partie de l'équation vers côté droit, de sorte que des deux côtés il y ait les fonctions les plus simples à construire. Avez-vous compris l'indice ? Agissez !

Voyons maintenant ce que vous avez :

Respectivement:

1. - parabole cubique.
2. - une ligne droite ordinaire.

Eh bien, construisons :

Comme vous l'avez écrit il y a longtemps, la racine de cette équation est - .

Ayant décidé ceci grand nombre exemples, je suis sûr que vous avez réalisé à quel point vous pouvez résoudre des équations rapidement et facilement graphiquement. Il est temps de comprendre comment résoudre les systèmes de cette manière.

Solution graphique des systèmes

La résolution graphique de systèmes n’est fondamentalement pas différente de la résolution graphique d’équations. Nous construirons également deux graphiques, et leurs points d'intersection seront les racines de ce système. Un graphique est une équation, le deuxième graphique est une autre équation. Tout est extrêmement simple !

Commençons par la chose la plus simple : résoudre des systèmes d'équations linéaires.

Résolution de systèmes d'équations linéaires

Disons que nous avons le système suivant :

Tout d'abord, transformons-le pour qu'à gauche il y ait tout ce qui est lié, et à droite - tout ce qui est lié. En d’autres termes, écrivons ces équations sous forme de fonction sous notre forme habituelle :

Maintenant, nous construisons simplement deux lignes droites. Quelle est la solution dans notre cas ? Droite! Le point de leur intersection ! Et ici, il faut être très, très prudent ! Pensez-y, pourquoi ? Laissez-moi vous donner un indice : nous avons affaire à un système : dans le système il y a les deux, et... Vous avez compris ?

C'est exact! Lors de la résolution d’un système, il faut regarder les deux coordonnées, et pas seulement comme lors de la résolution d’équations ! Un autre point important- écrivez-les correctement et ne confondez pas où nous avons le sens et où est le sens ! L'avez-vous écrit ? Comparons maintenant tout dans l'ordre :

Et les réponses : et. Faites une vérification - remplacez les racines trouvées dans le système et assurez-vous que nous l'avons résolu correctement graphiquement ?

Résolution de systèmes d'équations non linéaires

Et si, au lieu d'une ligne droite, nous avions équation quadratique? C'est bon! Vous construisez simplement une parabole au lieu d’une ligne droite ! Vous ne me croyez pas ? Essayez de résoudre le système suivant :

Quelle est notre prochaine étape ? C'est vrai, écrivez-le pour qu'il soit pratique pour nous de créer des graphiques :

Et maintenant, tout n’est qu’une question de petites choses : construisez-le rapidement et voici votre solution ! Nous construisons :

Les graphiques se sont-ils révélés identiques ? Marquez maintenant les solutions du système sur la figure et notez correctement les réponses identifiées !

As-tu tout fait ? Comparez avec mes notes :

Est-ce que tout va bien ? Bien joué! Vous cliquez déjà tâches similaires comme des noix ! Si tel est le cas, donnons-nous un système plus compliqué :

Que faisons-nous ? Droite! Nous écrivons le système de manière à ce qu'il soit pratique de construire :

Je vais vous donner un petit indice, car le système a l'air très compliqué ! Lorsque vous construisez des graphiques, construisez-les « plus » et surtout, ne soyez pas surpris par le nombre de points d'intersection.

Alors, c'est parti ! Expiré ? Maintenant, commencez à construire !

Alors comment ? Beau? Combien de points d’intersection avez-vous obtenu ? J'en ai trois ! Comparons nos graphiques :

Aussi? Maintenant, notez soigneusement toutes les solutions de notre système :

Maintenant, regardez à nouveau le système :

Pouvez-vous imaginer que vous avez résolu ce problème en seulement 15 minutes ? D'accord, les mathématiques sont encore simples, surtout quand on regarde une expression, on n'a pas peur de se tromper, mais il suffit de la prendre et de la résoudre ! Vous êtes super!

Solution graphique des inégalités

Solution graphique des inégalités linéaires

Après dernier exemple Vous pouvez tout gérer ! Maintenant, expirez – par rapport aux sections précédentes, celle-ci sera très, très facile !

Nous commencerons, comme d'habitude, par une solution graphique inégalité linéaire. Par exemple, celui-ci :

Commençons par effectuer les transformations les plus simples - ouvrons les parenthèses carrés complets et donnez des termes similaires :

L'inégalité n'est pas stricte, donc elle n'est pas incluse dans l'intervalle, et la solution sera tous les points qui sont à droite, puisque plus, plus, et ainsi de suite :

Répondre:

C'est ça! Facilement? Résolvons une inégalité simple à deux variables :

Dessinons une fonction dans le système de coordonnées.

Avez-vous eu un horaire comme celui-ci ? Examinons maintenant attentivement quelles inégalités nous avons là-bas ? Moins? Cela signifie que nous peignons tout ce qui se trouve à gauche de notre ligne droite. Et s'il y en avait plus ? C'est vrai, alors nous peindrions tout ce qui se trouve à droite de notre ligne droite. C'est simple.

Toutes les solutions de cette inégalité"ombré" orange. Ça y est, l'inégalité à deux variables est résolue. Cela signifie que les coordonnées de n’importe quel point de la zone ombrée sont les solutions.

Solution graphique des inégalités quadratiques

Nous allons maintenant comprendre comment résoudre graphiquement les inégalités quadratiques.

Mais avant de passer aux choses sérieuses, passons en revue quelques éléments concernant la fonction quadratique.

De quoi est responsable le discriminant ? C'est vrai, pour la position du graphique par rapport à l'axe (si vous ne vous en souvenez pas, lisez certainement la théorie sur les fonctions quadratiques).

Dans tous les cas, voici un petit rappel pour vous :

Maintenant que nous avons rafraîchi tout le matériel dans notre mémoire, passons aux choses sérieuses : résolvez l'inégalité graphiquement.

Je vais vous dire tout de suite qu'il existe deux options pour le résoudre.

Option 1

On écrit notre parabole en fonction :

À l'aide des formules, nous déterminons les coordonnées du sommet de la parabole (exactement les mêmes que lors de la résolution d'équations quadratiques) :

As-tu compté ? Qu'as-tu obtenu ?

Prenons maintenant deux autres points différents et calculons-les :

Commençons par construire une branche de la parabole :

Nous réfléchissons symétriquement nos points sur une autre branche de la parabole :

Revenons maintenant à notre inégalité.

Nous avons besoin que ce soit inférieur à zéro, respectivement :

Puisque dans notre inégalité le signe est strictement inférieur à, alors points de terminaison nous excluons - "repiquez".

Répondre:

Un long chemin, non ? Je vais maintenant vous montrer une version plus simple de la solution graphique en utilisant l'exemple de la même inégalité :

Option 2

Nous revenons à notre inégalité et marquons les intervalles dont nous avons besoin :

D'accord, c'est beaucoup plus rapide.

Écrivons maintenant la réponse :

Considérons une autre solution qui simplifie la partie algébrique, mais l'essentiel est de ne pas se tromper.

Multipliez les côtés gauche et droit par :

Essayez de résoudre vous-même les problèmes suivants inégalité quadratique comme vous le souhaitez : .

Avez-vous réussi ?

Regardez comment mon graphique s'est avéré :

Répondre: .

Solution graphique des inégalités mixtes

Passons maintenant à des inégalités plus complexes !

Comment aimez-vous ceci :

C'est effrayant, n'est-ce pas ? Honnêtement, je n'ai aucune idée de comment résoudre cela algébriquement... Mais ce n'est pas nécessaire. Graphiquement, cela n’a rien de compliqué ! Les yeux ont peur, mais les mains s'en sortent !

La première chose par laquelle nous commencerons est de construire deux graphiques :

Je n'écrirai pas de tableau pour chacun - je suis sûr que vous pouvez le faire parfaitement vous-même (wow, il y a tellement d'exemples à résoudre !).

L'as-tu peint ? Construisez maintenant deux graphiques.

Comparons nos dessins ?

Est-ce pareil chez vous ? Super! Organisons maintenant les points d'intersection et utilisons la couleur pour déterminer quel graphique nous devrions avoir en théorie le plus grand. Regardez ce qui s'est passé à la fin :

Maintenant, regardons simplement où notre graphique sélectionné est plus haut que le graphique ? N'hésitez pas à prendre un crayon et à peindre sur cette zone ! Elle sera la solution à nos inégalités complexes !

À quels intervalles le long de l'axe nous trouvons-nous plus haut ? Droite, . C'est la réponse !

Eh bien, vous pouvez désormais gérer n’importe quelle équation, n’importe quel système, et encore plus n’importe quelle inégalité !

EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

Algorithme de résolution d'équations à l'aide de graphiques de fonctions :

1. Exprimons-le à travers
2. Définissons le type de fonction
3. Construisons des graphiques des fonctions résultantes
4. Trouvons les points d'intersection des graphiques
5. Écrivons la réponse correctement (en tenant compte des signes ODZ et d'inégalité)
6. Vérifions la réponse (remplacez les racines dans l'équation ou le système)

Pour plus d'informations sur la construction de graphiques de fonctions, consultez la rubrique « ».