Maison

étranger

• 6 avril 2012 à 15h50

Triangulation de polygones Placard *

Tâche:

• diviser un polygone arbitraire en triangles. Ce qui est nécessaire. Klass, quelque chose comme une liste dans laquelle vous pouvez vous déplacer d'avant en arrière et la fin est connectée au début. C'est
• cercle vicieux , dont les éléments seront les objets décrits dans le paragraphe ci-dessous. Classe pour représenter un point. Comme prévu, il devrait contenir les coordonnées X Et
• à
• . Il existe également un autre champ dans lequel est inscrite la valeur de l'angle correspondant à ce point du polygone

• Avant de commencer, on calcule les angles pour tous les points du polygone.
  Nous sélectionnons n'importe quel point du polygone comme point « de travail » (p(i)).
  Créez une liste vide pour stocker des triangles temporaires.
  Si le point à gauche du « travail » (p(i)->gauche) a un angle inférieur à 180 degrés et que le triangle (p(i), p(i)->gauche, p(i)-> left->left) ne contient pas d'autres points du polygone à l'intérieur de lui-même - nous ajoutons ce triangle à notre liste temporaire.
• Si le point à droite de "travail" (p(i)->right) a un angle inférieur à 180 degrés et un triangle (p(i), p(i)->right, p(i)->right ->
  Si le point « de travail » (p(i)) a un angle inférieur à 180 degrés et que le triangle (p(i)->gauche, p(i),p(i)->droite) ne contient pas d'autres points de le polygone, nous entrons ce triangle dans notre liste temporaire. Si la liste temporaire ne contient pas de triangles, au lieu de « travailler », sélectionnez le point à gauche de celui-ci et revenez au premier point. entre l'angle minimum et maximum (vous devez recalculer la valeur des angles), ajoutez-le à la liste des résultats, supprimez des points le point médian du triangle que vous avez sélectionné et recalculez les valeurs des angles par rapport aux points voisins à partir de celui-ci (en points), sélectionnez le premier point comme point « de travail » (p (i)). S'il ne reste que deux points en points, on arrête de travailler, la liste des triangles est contenue dans res, sinon on revient au premier point.

Quelques mots maintenant sur l'optimisation de l'algorithme.
Lors de la deuxième étape, un triangle est sélectionné avec la différence minimale entre l'angle minimum et maximum afin que le triangle soit aussi similaire que possible au bon, parfois cela est important. Si l'apparence du triangle ne vous importe pas, vous ne pouvez pas créer une liste temporaire de triangles, mais sélectionner le premier des trois triangles possibles qui ne contient pas d'autre point du polygone et l'angle formé par le point médian. du triangle dans le polygone est inférieur à 180 degrés. Cette simplification réduira considérablement les coûts de calcul.
De plus, si vous êtes sûr que le polygone est convexe, vous n'avez pas besoin de vérifier si le triangle contient d'autres points du polygone.

P.S. Je n'ai pas vu un tel algorithme sur Internet, même si je suis sûr qu'il existe déjà quelque chose de similaire.

Étiquettes : triangulation

Commençons par le tout début cas simple- n = 3. Dans un triangle, ce point est connu, existe et est unique pour tout triangle. Il sera intéressant de rechercher si certaines de ses propriétés se répercuteront sur le quadrilatère, etc. L'analyse du cas n = 4 peut commencer par un carré et affaiblir progressivement les conditions (parallélogramme, trapèze, quadrilatère arbitraire).

Restauration de polygones

Le sujet est né de deux problèmes :

1. Reconstruisez le triangle en utilisant les milieux des côtés (simple).

2. Reconstruisez le pentagone en utilisant les milieux des côtés (plus difficile).

Lors de la résolution, deux cas se présentent :

1) Le nombre de côtés est impair. Alors la solution existe et est unique pour tout emplacement des points initiaux. Si les points d'origine forment un polygone, alors la solution est non dégénérée.

2) Le nombre de côtés est pair. Alors soit la solution n’existe pas, soit il y en a une infinité (selon la localisation des points de départ).

Lors de la résolution, vous pouvez utiliser le théorème de Varignon, la méthode des coordonnées et le programme Living Geometry.

Généralisation. Marquez les points divisant les côtés dans le rapport 1 : un.

Hexagones équilatéraux et hexagones équilatéraux

Il est pratique d'effectuer la recherche dans le programme « Géométrie vivante » (construire la figure requise est déjà une « sous-tâche » intéressante). Il s’avère qu’un hexagone équilatéral n’a pas propriétés intéressantes non, c'est à dire l'exigence d'égalité de tous les partis est trop faible. Vous pouvez demander ce qu'il faut demander d'autre pour que certaines propriétés apparaissent. La construction suivante permet de trouver les propriétés d'un hexagone équiangulaire : si l'on étend les côtés jusqu'à ce qu'ils se coupent en un, nous obtenons deux triangles réguliers.

UN) Côtés opposés parallèle.

B) Les bissectrices des angles sont parallèles aux côtés.

B) Somme de deux côtés adjacentségal à la somme de deux côtés adjacents opposés.

D) Trois lignes médianes se croisent en un point. (Qu’en est-il des quadrilatères ? L’affirmation inverse est-elle vraie ? Les lignes médianes sont-elles divisées en deux ? Dans quels cas sont-elles divisées ?)

D) Points médians grandes diagonales sont les sommets triangle équilatéral, et ses côtés sont parallèles aux côtés de l’hexagone.

E) Les points d'intersection des petites diagonales se trouvent sur les lignes médianes.

Hexagones semi-réguliers

Vous pouvez rechercher des propriétés d’hexagones semi-réguliers similaires aux propriétés d’un parallélogramme. Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu. Un parallélogramme inscrit a des angles égaux et des diagonales égales. Le parallélogramme décrit a des côtés égaux et des diagonales mutuellement perpendiculaires. Laquelle de ces propriétés possèdent les hexagones semi-réguliers ? (À propos des diagonales, vous devez également comprendre lesquelles prendre et si elles se coupent en un point.)

Points merveilleux

Selon deux données points merveilleux O et H, selon le théorème d'Euler, le troisième est restauré - le point d'intersection des médianes G. Si vous sélectionnez un sommet du triangle A à un endroit arbitraire, alors il n'est pas difficile de construire des constructions qui donnent les sommets B et C (si les sommets existent). Vous pouvez maintenant mener une expérience dans le programme Living Geometry : trouvez l'ensemble des points A auxquels existent les points B et C. En raison de l'égalité des sommets t Ô le même ensemble de points sera la réponse pour les sommets B et C.

Généralisation. 1. Apprenez les angles triangle ABC en fonction de la position du sommet A. 2. Résoudre un problème similaire pour les données du centre du cercle inscrit et du point d'intersection des médianes ; pour d'autres paires de points merveilleux.

3. Considérons un problème similaire dans l’espace (tétraèdres au lieu de triangles).

4. En général, vous pouvez rencontrer de nombreux problèmes similaires en choisissant divers points remarquables.

Ajout de chiffres

C'est utile pour commencer chiffres simples: deux points, un point et un segment, deux segments.

Généralisation. Somme Minkowski figures F et G on appelle l'ensemble des points K définis par l'égalité , où , , O – point donné. Découvrez les propriétés de cette opération. Que pouvez-vous dire de l'aire de la somme de deux chiffres ?

1. N. Vasiliev. "Ajout de chiffres." Quantum. 1976. N 4. Art. 22-29. Contient un certain nombre de tâches - en fait, un plan de recherche et des applications des méthodes obtenues à des problèmes complexes.

2. G. Yu. Panine. "Algèbre des polyèdres". Enseignement mathématique. 2006. N 10. P. 109-131. Suite de cette intrigue dans la science moderne.

COMBINATOIRE

Coupes

C'est l'un des problèmes classiques, dans lequel ils enseignent comment prouver par méthode induction mathématique. Mais nous suivons le principe de Pólya : « d’abord deviner, puis prouver ». Puisque le problème se prête bien à une expérience mathématique, il est également utile pour un étudiant qui ne connaît pas la méthode d’induction mathématique d’y réfléchir. Le plus petit nombre les pièces sont faciles à deviner, avec les plus grandes, il peut être difficile de formuler des conditions de coupe (ce qu'on appelle droit position générale ) et la preuve de leur optimalité. La remarque suivante peut aider : les questions « En combien de parties cette ligne ajoute-t-elle » et « En combien de parties la ligne précédente divise-t-elle cette ligne » sont équivalentes. Voir aussi p. ...

Généralisations.

1. Est-ce que toutes les valeurs intermédiaires se produisent ? Non : par exemple, 3 droites ne peuvent diviser un plan qu'en 4, 6 et 7 parties (mais pas en 5). Quelles valeurs exactes se produisent de manière arbitraire n, la science ne le sait pas complètement, voir V.I. Arnold « En combien de parties un avion est-il divisé ? n droit?" / Enseignement mathématique. Troisième série. Numéro 12. 2008. pp. 95-104.

2. En combien de parties l’espace est-il divisé ? n avions en position générale ? , art. 65-73, 76.

3. En combien de parties l’avion est-il divisé ? n des cercles se coupant par paires en position générale ?

Coloriages

Le problème a une longue solution « comptable » et une courte solution idéologique. Pour inventer la seconde, vous devez proposer une méthode de coloration dans laquelle différentes séquences d'actions conduisent à différentes colorations, puis compter le nombre séquences. Par exemple, vous pouvez fixer l'ordre des bords, mais changer l'ordre des couleurs : peignez n'importe quel bord dans la première couleur, celui opposé dans la seconde (5 options), l'un des bords latéraux dans la troisième, le suivant dans le sens des aiguilles d’une montre dans la quatrième couleur (3 options), dans la cinquième – la suivante (2 options), dans la sixième – la dernière (1 option). (L'idée est tirée du travail d'un élève de septième.) Vous pouvez proposer une telle méthode en formulant un algorithme permettant de comprendre si les couleurs de deux cubes donnés sont identiques ou différentes.

Avec des enfants plus jeunes, vous pouvez réaliser des modèles de tous ces cubes.

Généralisation.

1. Même tâche pour les autres polyèdres réguliers. Peut-être devrions-nous commencer par le bon tétraèdre.

2. Vous pouvez peindre non pas des arêtes, mais des arêtes ou des sommets.

Notes de cours sur les mathématiques en 4e annéeIIquart

Sujet:"Partitionner un polygone en triangles" (1 leçon)

Moment d'organisation: (2 minutes)

La cloche a déjà sonné.

La leçon commence.

Où irons-nous -

Vous le saurez bientôt.

Dans le célèbre dessin animé on retrouvera

Des assistants joyeux.

Les gars, qui est venu nous rendre visite ? ( Loup gris et renard). Pourquoi exactement ces héros ? (Parce que bientôt Nouvelle année). Le jour du Nouvel An, il y a différentes aventures. Et puis un jour, un garçon et une fille ont écrit une lettre au Père Noël et ont demandé au facteur bonhomme de neige de remettre cette lettre au Père Noël. Mais comme vous le savez déjà, en chemin, le bonhomme de neige a rencontré un renard et un loup qui voulaient prendre la lettre. Que pensez-vous qu'il soit arrivé au bonhomme de neige ? (Quand le bonhomme de neige s'est enfui d'eux, il s'est effondré). Les gars, le bonhomme de neige vous demande de l'aider dans ses ennuis. Le loup et le renard ne vous donneront les parties du bonhomme de neige que lorsque vous aurez terminé leurs tâches.

(Il y a des fragments du bonhomme de neige sur le plateau)

Alors, les gars, pour avoir accompli la tâche correctement, le loup vous donnera des fragments du bonhomme de neige.

Actualisation des connaissances. Répétition du matériel couvert. (2-3 minutes)

Diapositive 1

Les gars, regardez la diapositive, quelle figure géométrique voyez-vous ?(Polygone)

- Comment s’appellent les segments rouges ?(Côté du polygone)

Comment s’appellent les segments verts ?(Diagonale)

En quoi le côté d’un polygone diffère-t-il de sa diagonale ?

(Le côté relie deux sommets voisins, et la diagonale relie deux sommets qui n'appartiennent pas au même côté)

Fixer les buts et objectifs de la leçon. (2 minutes)

Que fait une diagonale à un polygone ?(Divise un polygone en d'autres formes géométriques)

Dans notre cas, en quelles formes géométriques le polygone est-il divisé ?(Sur les triangles)

Les gars, qu'allons-nous apprendre aujourd'hui ?

(Divisez les polygones en triangles)

Assimilation primaire de nouvelles connaissances . Travailler avec le manuel .

( Les élèves ont des cartes avec des polygones )

- Ouvrez le manuel à la page 108. Lire la tâche n°376

Diapositive 2

Dans un hexagone donné, tracez toutes les diagonales possibles à partir d’un de ses sommets.(Les enfants travaillent de manière indépendante)

(Diapositive 1). Un élève décompose l’hexagone en triangle sur la diapositive.

Combien de triangles as-tu obtenu ? (4 triangles).

Construisons des hexagones et dessinons toutes sortes de diagonales uniquement à partir d'autres sommets. (Les enfants construisent des hexagones et accomplissent la tâche -les enfants ont des cartes avec des sommets hexagonaux ).

Projeté au tableau divers dessins, selon le choix des sommets. Les enfants vérifient leurs dessins.(Vérification des groupes)

Les gars, le loup vous demande de tirer une conclusion sur le travail que vous avez effectué.

Les enfants concluent que les diagonales provenant d’un sommet de l’hexagone, quel que soit le sommet choisi, le divisent en quatre triangles.

L'enseignant donne aux enfants le premier fragment du corps du bonhomme de neige, les enfants l'appliquent sur la tête du bonhomme de neige.

Diapositive 3

- Les gars, écoutez la prochaine tâche du loup : dessinez un rectangle dans votre cahier et divisez-le en 4 triangles (après auto-exécution, un élève divise un rectangle sur la diapositive).

Les gars, peut-être que l'un d'entre vous a d'autres options ?

Options possibles:

Dans quel cas le rectangle est-il divisé par des diagonales, et dans lequel par des segments ?

(1 option – diagonales) –recevez le fragment suivant et attachez-le au corps.

Glisser

La prochaine tâche du loup.

Diapositive 4

Divisez l'octogone en 8 triangles.

Les gars, qui sait comment faire ça ?

Les enfants expliquent comment cette tâche peut être accomplie.

Par exemple, nous sélectionnons un certain point à l’intérieur de l’octogone, puis à partir de ce point, nous dessinons des segments jusqu’à chaque sommet de l’octogone.

Les enfants dessinent un dessin dans un cahier, puis l'enseignant projette le dessin sur une diapositive. Les enfants comparent leur dessin avec celui de la diapositive.

Pour avoir accompli la tâche, les enfants reçoivent le prochain fragment de bonhomme de neige.

Travailler dans un cahier

Diapositive 5

Les gars, rappelons-nous quels triangles vous connaissez ? (Aigu, obtus et rectangulaire).

Choisissez le triangle aigu parmi les triangles donnés. (Modèles sur les tables des gars)



Dessiner triangle aigu et divisez-le en 3 triangles. Un élève termine la tâche au tableau (motifs de triangles pointus sur la diapositive)

Vérification des dessins. Les enfants comparent leurs dessins avec ceux du tableau.(Recevez un fragment de bonhomme de neige)

Terminer la tâche n ° 381. Travailler avec le manuel

(Vans de rectangles)

Les gars, lisez la tâche dans le manuel n°381, que faut-il faire ? Prenez un rectangle et utilisez une règle et un crayon pour le diviser en 2 triangles rectangles.

Les gars, qu'ont en commun les triangles résultants ?

Tout le monde a un angle droit.

Quel est le nom de la ligne dans le rectangle que vous avez dessiné ?

Diagonale.

Pliez le rectangle en diagonale. Quelle conclusion pouvez-vous tirer ?

La diagonale divise le rectangle en 2 triangles rectangles égaux.

(Recevez un fragment de bonhomme de neige)

Terminer la tâche n ° 382. (Carte avec divers polygones)

L'enseignant vous demande de lire le devoir vous-même.

Les élèves lisent le devoir de manière indépendante et commencent à le terminer.

La solution est vérifiée au tableau. (Travailler en binôme)

Les gars, trouvez la superficie de la place.

Les enfants complètent la solution sur la carte. Vérifiez la réponse ensemble. (Un élève complète la solution au tableau)

Les enfants reçoivent le dernier morceau du bonhomme de neige.

Jeu "Corde"

Résumé de la leçon

Bravo les gars, vous avez réussi à construire un bonhomme de neige. Et maintenant, il pourra remettre la lettre au Père Noël.

Les gars, qu'avez-vous aimé dans la leçon ? (réponse des enfants) Quelles difficultés avez-vous rencontrées ?(réponse des enfants)

Les tâches du loup vous ont-elles aidé à apprendre à dessiner des polygones et à les diviser en triangles ? Si tout s'est bien passé pour vous, alors levez le smiley vert. Si vous rencontrez des difficultés, alors un smiley jaune.(réponse des enfants)

Que voudriez-vous souhaiter au loup pour la nouvelle année ?

(souhaits des gars)

L'enseignant donne des devoirs (T page 88 n° 157 – 158). Diapositive 6

Ensemble, nous analysons la mise en œuvre devoirs

№2

№2

№2

№2

№2