ઉકેલોના F x ઉદાહરણો. ઓનલાઈન કેલ્ક્યુલેટર

>>ગણિત: ગણિતમાં સંકેત y = f(x) નો અર્થ શું છે?

ગણિતમાં સંકેત y = f(x) નો અર્થ શું છે?

કોઈપણ વાસ્તવિક પ્રક્રિયાનો અભ્યાસ કરતી વખતે, અમે સામાન્ય રીતે પ્રક્રિયામાં સામેલ બે જથ્થાઓ પર ધ્યાન આપીએ છીએ (વધુ જટિલ પ્રક્રિયાઓબે જથ્થાઓ સામેલ નથી, પરંતુ ત્રણ, ચાર, વગેરે, પરંતુ અમે હજી સુધી આવી પ્રક્રિયાઓને ધ્યાનમાં લેતા નથી: તેમાંથી એક પોતે જ બદલાય છે, કોઈપણ વસ્તુને ધ્યાનમાં લીધા વિના (અમે અક્ષર x દ્વારા આવા ચલને સૂચિત કર્યું છે), અને અન્ય જથ્થો મૂલ્યો લે છે જે ચલ x ના પસંદ કરેલા મૂલ્યો પર આધાર રાખે છે (અમે અક્ષર y દ્વારા આવા નિર્ભર ચલને સૂચિત કર્યું છે). ગાણિતિક મોડેલવાસ્તવિક પ્રક્રિયાનું ચોક્કસ રીતે x પર y ની અવલંબનનું ગાણિતિક ભાષામાં રેકોર્ડિંગ છે, એટલે કે. ચલ x અને y વચ્ચેના જોડાણો. ચાલો તમને ફરી એકવાર યાદ અપાવીએ કે અત્યાર સુધીમાં આપણે નીચેના ગાણિતિક મોડલોનો અભ્યાસ કર્યો છે: y = b, y = kx, y = kx + m, y = x 2.

શું આ ગાણિતિક મોડેલોમાં કંઈ સામ્ય છે? ખાઓ! તેમની રચના સમાન છે: y = f(x).

આ એન્ટ્રી નીચે પ્રમાણે સમજવી જોઈએ: x ચલ સાથે એક અભિવ્યક્તિ f(x) છે, જેની મદદથી ચલ y ની કિંમતો જોવા મળે છે.

ગણિતશાસ્ત્રીઓ કારણસર સંકેત y = f(x) પસંદ કરે છે. ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, f(x) = x 2, એટલે કે. અમે વાત કરી રહ્યા છીએઓ કાર્ય y = x 2. ધારો કે આપણે ઘણી દલીલ મૂલ્યો અને અનુરૂપ કાર્ય મૂલ્યો પસંદ કરવાની જરૂર છે. અત્યાર સુધી આપણે આના જેવું લખ્યું છે:

જો x = 1, તો y = I 2 = 1;
જો x = - 3, તો y = (- 3) 2 = 9, વગેરે.

જો આપણે નોટેશન f(x) = x 2 નો ઉપયોગ કરીએ, તો નોટેશન વધુ આર્થિક બને છે:

f(1) = 1 2 =1;
f(-3) = (-3) 2 = 9.

તેથી, અમે એક વધુ ટુકડાથી પરિચિત થયા ગાણિતિક ભાષા: વાક્ય "x = 2 બિંદુ પર y = x 2 નું મૂલ્ય 4 છે" ટૂંકું લખાયેલું છે:

"જો y = f(x), જ્યાં f(x) = x 2, તો f(2) = 4."

અહીં એક નમૂનો વિપરીત અનુવાદ છે:

જો y = f(x), જ્યાં f(x) = x 2, તો f(- 3) = 9. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, x = - 3 બિંદુ પર ફંક્શન y = x 2 ની કિંમત 9 છે.

ઉદાહરણ 1.ફંક્શન y = f(x) આપેલ છે, જ્યાં f(x) = x 3. ગણતરી કરો:

a) f(1); b) f(- 4); c) f(o); d) f(2a);
e) f(a-1); e) f(3x); g) f(-x).

ઉકેલ. તમામ કિસ્સાઓમાં, ક્રિયા યોજના સમાન છે: તમારે કૌંસમાં દર્શાવેલ દલીલના મૂલ્ય x માટે f(x) અભિવ્યક્તિમાં બદલવાની જરૂર છે, અને યોગ્ય ગણતરીઓ અને રૂપાંતરણો કરવા પડશે. અમારી પાસે છે:

ટિપ્પણી. અલબત્ત, અક્ષર f ને બદલે, તમે અન્ય કોઈપણ અક્ષરનો ઉપયોગ કરી શકો છો (મોટેભાગે થી લેટિન મૂળાક્ષરો): g(x), h(x), s(x), વગેરે.

ઉદાહરણ 2.બે કાર્યો આપેલ છે: y = f(x), જ્યાં f(x) = x 2, અને y = g (x), જ્યાં g (x) = x 3. સાબિત કરો કે:

a) f(-x) = f(x); b) g(-x)= -g(x).

ઉકેલ a) ત્યારથી f(x) = x 2, પછી f(- x) = (- x) 2 = x 2. તેથી, f(x) = x 2, f(- x) = x 2, જેનો અર્થ છે f(- x) = f (x)

b) ત્યારથી g(x) = x 3, પછી g(- x) = -x 3, એટલે કે. g(-x) = -g(x).

ઉપયોગ ગાણિતિક મોડેલફોર્મનું y = f(x) ઘણા કિસ્સાઓમાં અનુકૂળ હોય છે, ખાસ કરીને, જ્યારે વાસ્તવિક પ્રક્રિયા વર્ણવવામાં આવે છે વિવિધ સૂત્રોસ્વતંત્ર ચલમાં ફેરફારના વિવિધ અંતરાલો પર.

આકૃતિ 68 માં બનાવેલ ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને, અમે ફંક્શન y - f(x) ના કેટલાક ગુણધર્મોનું વર્ણન કરીશું - ગુણધર્મોના આવા વર્ણનને સામાન્ય રીતે ગ્રાફ વાંચન કહેવામાં આવે છે.

ગ્રાફ વાંચવું એ એક પ્રકારનું સંક્રમણ છે ભૌમિતિક મોડેલ(ગ્રાફિકલ મોડેલમાંથી) મૌખિક મોડલ સુધી (ફંક્શનના ગુણધર્મોના વર્ણન માટે). એ
ગ્રાફનું નિર્માણ એ વિશ્લેષણાત્મક મોડેલ (તે ઉદાહરણ 4 ની સ્થિતિમાં રજૂ કરવામાં આવ્યું છે) માંથી ભૌમિતિક મોડેલમાં સંક્રમણ છે.

તો, ચાલો ફંક્શન y = f(x) નો ગ્રાફ વાંચવાનું શરૂ કરીએ (ફિગ 68 જુઓ).

1. સ્વતંત્ર ચલ x તમામ મૂલ્યો - 4 થી 4 સુધી ચાલે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અંતરાલ [- 4, 4] થી x ની દરેક કિંમત માટે, ફંક્શન f(x) ની કિંમતની ગણતરી કરી શકાય છે. તેઓ આ કહે છે: [-4, 4] ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન છે.

ઉદાહરણ 4 ઉકેલતી વખતે આપણે શા માટે કહ્યું કે f(5) શોધી શકાતું નથી? હા, કારણ કે મૂલ્ય x = 5 ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેન સાથે સંબંધિત નથી.

2. y max = -2 (ફંક્શન x = -4 પર આ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે); નાનબ ખાતે. = 2 (ફંક્શન અર્ધ-અંતરાલ (0, 4] માં કોઈપણ બિંદુએ આ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે.

3. y = 0 જો 1 = -2 અને જો x = 0; આ બિંદુઓ પર કાર્ય y = f(x) નો ગ્રાફ x-અક્ષને છેદે છે.

4. y > 0 જો x є (-2, 0) અથવા જો x є (0, 4]; આ અંતરાલો પર કાર્ય y = f(x) નો ગ્રાફ x અક્ષની ઉપર સ્થિત છે.

5. y< 0, если же [- 4, - 2); на этом промежутке график функции у = f(x) расположен ниже оси х.

6. અંતરાલ [-4, -1] પર કાર્ય વધે છે, અંતરાલ [-1, 0] પર ઘટે છે અને અર્ધ-અંતરાલ (0.4) પર સ્થિર (ન તો વધતું નથી કે ઘટતું નથી) છે.

જેમ જેમ આપણે ફંક્શનના નવા ગુણધર્મો શીખીશું તેમ, ગ્રાફ વાંચવાની પ્રક્રિયા વધુ સમૃદ્ધ, અર્થપૂર્ણ અને રસપ્રદ બનશે.

ચાલો આમાંની એક નવી મિલકતની ચર્ચા કરીએ. ઉદાહરણ 4 માં ચર્ચા કરેલ કાર્યના ગ્રાફમાં ત્રણ શાખાઓ (ત્રણ “ટુકડાઓ”) નો સમાવેશ થાય છે. પ્રથમ અને બીજી શાખાઓ (સીધી રેખા સેગમેન્ટ y = x + 2 અને પેરાબોલાના ભાગ) સફળતાપૂર્વક "જોડાયા" છે: સેગમેન્ટ બિંદુ પર સમાપ્ત થાય છે (-1; 1), અને પેરાબોલા વિભાગ તે જ બિંદુથી શરૂ થાય છે. પરંતુ બીજી અને ત્રીજી શાખાઓ ઓછી સફળતાપૂર્વક "જોડાઈ" છે: ત્રીજી શાખા (આડી રેખાનો "ટુકડો") બિંદુ (0; 0) થી નહીં, પરંતુ બિંદુ (0; 4) થી શરૂ થાય છે. ગણિતશાસ્ત્રીઓ આ કહે છે: "ફંક્શન y = f(x) x = 0 (અથવા બિંદુ x = 0 પર) પર વિરામમાંથી પસાર થાય છે." જો ફંક્શનમાં અસંતુલિત બિંદુઓ ન હોય, તો તેને સતત કહેવામાં આવે છે. તેથી, અગાઉના ફકરા (y = b, y = kx, y = kx + m, y = x2) માં મળેલા તમામ કાર્યો સતત છે.

ઉદાહરણ 5. કાર્ય આપેલ છે. તમારે તેનો ગ્રાફ બનાવવાની અને વાંચવાની જરૂર છે.

ઉકેલ. જેમ તમે જોઈ શકો છો, કાર્ય અહીં પર્યાપ્ત રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે જટિલ અભિવ્યક્તિ. પરંતુ ગણિત એ એકલ અને અભિન્ન વિજ્ઞાન છે, તેના વિભાગો એકબીજા સાથે ગાઢ રીતે સંકળાયેલા છે. ચાલો આપણે પ્રકરણ 5 માં જે શીખ્યા તેનો ઉપયોગ કરીએ અને ઘટાડીએ બીજગણિત અપૂર્ણાંક

માત્ર પ્રતિબંધ હેઠળ જ માન્ય છે તેથી, અમે સમસ્યાને નીચે પ્રમાણે સુધારી શકીએ છીએ: ફંક્શન y = x 2 ને બદલે
આપણે y = x 2 ફંક્શનને ધ્યાનમાં લઈશું, જ્યાં ચાલો બિલ્ડ કરીએ સંકલન વિમાન xOy પેરાબોલા y = x 2 .
સીધી રેખા x = 2 તેને બિંદુ (2; 4) પર છેદે છે. પરંતુ શરત મુજબ, આનો અર્થ એ છે કે આપણે પેરાબોલાના બિંદુ (2; 4) ને વિચારણામાંથી બાકાત રાખવું જોઈએ, જેના હેતુ માટે આપણે આ બિંદુને ડ્રોઇંગમાં હળવા વર્તુળ સાથે ચિહ્નિત કરીએ છીએ.

આમ, ફંક્શનનો આલેખ બાંધવામાં આવ્યો છે - આ "પંકચર" બિંદુ (2; 4) (ફિગ. 69) સાથે પેરાબોલા y = x 2 છે.

ચાલો ફંક્શન y = f (x) ના ગુણધર્મોનું વર્ણન કરવા આગળ વધીએ, એટલે કે, તેનો ગ્રાફ વાંચીએ:

1. સ્વતંત્ર ચલ x x = 2 સિવાય કોઈપણ મૂલ્ય લે છે. આનો અર્થ એ છે કે ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેનમાં બે હોય છે ખુલ્લા કિરણો(- 0 ઓ, 2) અને

2. y મહત્તમ = 0 (x = 0 પર પ્રાપ્ત), y મહત્તમ _ અસ્તિત્વમાં નથી.

3. કાર્ય સતત નથી તે x = 2 (બિંદુ x = 2 પર) પર વિરામમાંથી પસાર થાય છે;

4. y = 0 જો x = 0.

5. y > 0 જો x є (-oo, 0), જો x є (0, 2) અને જો x є (B,+oo).
6. કિરણ પર કાર્ય ઘટે છે (- co, 0], અર્ધ-અંતરાલ પર વધે છે.

ગણિતમાં કેલેન્ડર-વિષયક આયોજન, વિડિઓગણિતમાં ઑનલાઇન, શાળામાં ગણિત ડાઉનલોડ કરો

એ. વી. પોગોરેલોવ, ગ્રેડ 7-11 માટે ભૂમિતિ, માટે પાઠ્યપુસ્તક શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ

સૂચનાઓ

ઉદાહરણ સમસ્યા 3: 1 કિલોનો બ્લોક ટોચ પરથી સ્લાઇડ કરે છે વળેલું વિમાન 5 સેકન્ડમાં, પાથ 10 મીટર છે. જો પ્લેનના ઝોકનો કોણ 45° હોય તો ઘર્ષણ બળ નક્કી કરો. તે કિસ્સાને પણ ધ્યાનમાં લો જ્યારે બ્લોકને ચળવળની દિશામાં ઝોકના કોણ સાથે 2 N ના વધારાના બળને આધિન કરવામાં આવ્યું હતું.

ઉદાહરણ 1 અને 2 ની જેમ જ શરીરનું પ્રવેગક શોધો: a = 2*10/5^2 = 0.8 m/s2. પ્રથમ કિસ્સામાં ઘર્ષણ બળની ગણતરી કરો: Ftr = 1*9.8*sin(45о)-1*0.8 = 7.53 N. બીજા કિસ્સામાં ઘર્ષણ બળ નક્કી કરો: Ftr = 1*9.8*sin(45о) +2-1 *0.8= 9.53 એન.

કેસ 6. શરીર સાથે ખસે છે વળેલી સપાટીસમાનરૂપે આનો અર્થ એ થયો કે ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ, સિસ્ટમ સંતુલનમાં છે. જો સ્લાઇડિંગ સ્વયંસ્ફુરિત હોય, તો શરીરની હિલચાલ સમીકરણનું પાલન કરે છે: mg*sinα = Ftr.

જો શરીર પર વધારાનું બળ (એફ) લાગુ કરવામાં આવે તો, અટકાવવું એકસરખી ગતિશીલ ચળવળ, ગતિ માટેની અભિવ્યક્તિનું સ્વરૂપ છે: mg*sinα–Ftr-F = 0. અહીંથી, ઘર્ષણ બળ શોધો: Ftr = mg*sinα-F.

સ્ત્રોતો:

• સ્લિપ ફોર્મ્યુલા

મુ સંબંધિત ગતિબે શરીર, તેમની વચ્ચે ઘર્ષણ થાય છે. તે વાયુયુક્ત અથવા ખસેડતી વખતે પણ થઈ શકે છે પ્રવાહી માધ્યમ. ઘર્ષણ બંને અવરોધ અને પ્રોત્સાહન આપી શકે છે સામાન્ય ચળવળ. આ ઘટનાના પરિણામે, એક બળ ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરતી સંસ્થાઓ પર કાર્ય કરે છે.

સૂચનાઓ

સૌથી વધુ સામાન્ય કેસવિચારી રહી છે બળ, જ્યારે એક શરીર નિશ્ચિત અને આરામ પર હોય છે, અને અન્ય તેની સપાટી સાથે સ્લાઇડ કરે છે. શરીરની બાજુથી, જે તરફ ગતિશીલ શરીર સ્લાઇડ કરે છે, સ્લાઇડિંગ પ્લેન પર લંબરૂપ નિર્દેશિત સપોર્ટ પ્રતિક્રિયા બળ બાદમાં કાર્ય કરે છે. આ બળ એ અક્ષર N છે. એક શરીર સ્થિર શરીરની તુલનામાં આરામ પર પણ હોઈ શકે છે. પછી તાકાત ઘર્ષણ, તેના પર અભિનય Ftrઘર્ષણ. તે રબિંગ સપાટીઓની સામગ્રી, તેમના પોલિશિંગની ડિગ્રી અને અન્ય ઘણા પરિબળો પર આધારિત છે.

નિશ્ચિત શરીરની સપાટીની તુલનામાં શરીરની ગતિના કિસ્સામાં, બળ ઘર્ષણસ્લિપ ગુણાંકના ઉત્પાદન સમાન બને છે ઘર્ષણચાલુ બળઆધાર પ્રતિક્રિયાઓ: Ftr = ?N.

જો સપાટી આડી હોય, તો મોડ્યુલસમાં સપોર્ટ પ્રતિક્રિયાનું બળ શરીર પરના ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જેટલું હોય છે, એટલે કે, N = mg, જ્યાં m એ સરકતા શરીરનું દળ છે, g એ મુક્ત પ્રવેગક છે, સમાન પૃથ્વી પર આશરે 9.8 m/(s^2) સુધી. તેથી, Ftr = ?mg.

હવે એક સ્થિર બળ F>Ftr = ?N શરીર પર કાર્ય કરવા દો, સંપર્ક કરતી સંસ્થાઓની સપાટીની સમાંતર. જ્યારે શરીર સ્લાઇડ કરે છે, ત્યારે આડી દિશામાં બળનું પરિણામી ઘટક F-Ftr બરાબર હશે. પછી, ન્યુટનના બીજા નિયમ મુજબ, શરીરનું પ્રવેગ સૂત્ર અનુસાર પરિણામી બળ સાથે સંબંધિત હશે: a = (F-Ftr)/m. તેથી, Ftr = F-ma. શરીરનું પ્રવેગક ગતિશીલ વિચારણાઓ પરથી શોધી શકાય છે.

બળનો વારંવાર ગણવામાં આવતો વિશેષ કેસ ઘર્ષણજ્યારે શરીર નિશ્ચિત વિમાનમાંથી સરકી જાય છે. તે દો? - પ્લેનના ઝોકનો કોણ અને શરીરને સમાનરૂપે સ્લાઇડ કરવા દો, એટલે કે, વગર . પછી શરીરની ગતિના સમીકરણો આના જેવા દેખાશે: N = mg*cos?, mg*sin? = Ftr = ?N. પછી ગતિના પ્રથમ સમીકરણમાંથી બળ ઘર્ષણ Ftr = ?mg*cos? તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે. જો શરીર a સાથે વળેલું વિમાન સાથે આગળ વધે છે, તો બીજા સમીકરણનું સ્વરૂપ હશે: mg*sin?-Ftr = ma. પછી Ftr = mg*sin?-ma.

વિષય પર વિડિઓ

જો શરીર જે સપાટી પર ઊભું છે તેની સમાંતર નિર્દેશિત બળ સ્થિર ઘર્ષણ બળ કરતાં વધી જાય, તો ચળવળ શરૂ થશે. જ્યાં સુધી ડ્રાઇવિંગ ફોર્સ સ્લાઇડિંગ ઘર્ષણ બળ કરતાં વધી જાય ત્યાં સુધી તે ચાલુ રહેશે, જે ઘર્ષણ ગુણાંક પર આધારિત છે. તમે આ ગુણાંકની જાતે ગણતરી કરી શકો છો.

તમને જરૂર પડશે

• ડાયનેમોમીટર, ભીંગડા, પ્રોટ્રેક્ટર અથવા પ્રોટ્રેક્ટર

સૂચનાઓ

શરીરના સમૂહને કિલોગ્રામમાં શોધો અને તેને સપાટ સપાટી પર મૂકો. તેની સાથે ડાયનેમોમીટર જોડો અને તમારા શરીરને ખસેડવાનું શરૂ કરો. આને એવી રીતે કરો કે ડાયનેમોમીટર રીડિંગ્સ સ્થિર થાય, સતત ગતિ જાળવી રાખે. આ કિસ્સામાં, ડાયનેમોમીટર દ્વારા માપવામાં આવેલ ટ્રેક્શન ફોર્સ એક તરફ, ટ્રેક્શન ફોર્સની સમાન હશે, જે ડાયનેમોમીટર દ્વારા બતાવવામાં આવે છે, અને બીજી તરફ, સ્લાઇડિંગ દ્વારા ગુણાકાર કરાયેલ બળ.

લેવાયેલા માપો આપણને સમીકરણમાંથી આ ગુણાંક શોધવાની મંજૂરી આપશે. આ કરવા માટે, ટ્રેક્શન ફોર્સને શરીરના વજન અને નંબર 9.81 (ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગક) μ=F/(m g) દ્વારા વિભાજીત કરો. પરિણામી ગુણાંક સમાન પ્રકારની તમામ સપાટીઓ માટે સમાન હશે જેમના પર માપન કરવામાં આવ્યું હતું. ઉદાહરણ તરીકે, જો કોઈ શરીર લાકડાના બોર્ડ પર આગળ વધી રહ્યું હોય, તો આ પરિણામ વૃક્ષ પર સ્લાઇડિંગ દ્વારા ખસેડતા તમામ લાકડાના શરીર માટે માન્ય રહેશે, તેની પ્રક્રિયાની ગુણવત્તાને ધ્યાનમાં રાખીને (જો સપાટીઓ ખરબચડી હોય, તો સ્લાઇડિંગનું મૂલ્ય ઘર્ષણ ગુણાંક બદલાશે).

તમે બીજી રીતે સ્લાઇડિંગ ઘર્ષણ ગુણાંકને માપી શકો છો. આ કરવા માટે, શરીરને પ્લેન પર મૂકો જે ક્ષિતિજની તુલનામાં તેનો કોણ બદલી શકે. તે એક સામાન્ય બોર્ડ હોઈ શકે છે. પછી એક ધારથી કાળજીપૂર્વક શરૂ કરો. આ ક્ષણે જ્યારે શરીર ખસેડવાનું શરૂ કરે છે, ટેકરીની નીચે સ્લેજની જેમ પ્લેન નીચે સરકતા, ક્ષિતિજની તુલનામાં તેના ઝોકનો કોણ શોધો. તે મહત્વનું છે કે શરીર પ્રવેગક સાથે આગળ વધતું નથી. આ કિસ્સામાં, માપેલ કોણ અત્યંત નાનું હશે, જેના પર શરીર નીચે ખસેડવાનું શરૂ કરશે. સ્લાઇડિંગ ઘર્ષણ ગુણાંક આ કોણ μ=tg(α) ની સ્પર્શક સમાન હશે.

વિષય પર વિડિઓ

તાકાત પ્રતિક્રિયાઓ આધાર આપે છેસ્થિતિસ્થાપક દળોનો ઉલ્લેખ કરે છે, અને હંમેશા સપાટી પર લંબ નિર્દેશિત થાય છે. તે કોઈપણ બળનો પ્રતિકાર કરે છે જે શરીરને ટેકો પર લંબરૂપ ખસેડવાનું કારણ બને છે. તેની ગણતરી કરવા માટે, તમારે આધાર પર ઊભા રહેલા શરીર પર કાર્ય કરતા તમામ દળોના સંખ્યાત્મક મૂલ્યને ઓળખવાની અને શોધવાની જરૂર છે.

તમને જરૂર પડશે

• - ભીંગડા;
• - સ્પીડોમીટર અથવા રડાર;
• - ગોનોમીટર.

સૂચનાઓ

ભીંગડા અથવા અન્ય કોઈપણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને શરીરનું વજન નક્કી કરો. જો શરીર આડી સપાટી પર હોય (અને તે હલનચલન કરે છે કે આરામ કરે છે તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી), તો આધારનું બળ શરીર પરના ગુરુત્વાકર્ષણના બળ જેટલું છે. તેની ગણતરી કરવા માટે, શરીરના સમૂહને ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રવેગ દ્વારા ગુણાકાર કરો, જે 9.81 m/s² N=m g બરાબર છે.

જ્યારે શરીર આડા તરફના ખૂણા પર નિર્દેશિત વલણવાળા વિમાન સાથે આગળ વધે છે, ત્યારે જમીનની પ્રતિક્રિયા બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળના ખૂણા પર હોય છે. તે જ સમયે, તે ગુરુત્વાકર્ષણના તે ઘટક માટે જ વળતર આપે છે જે વલણવાળા પ્લેન પર લંબરૂપ કાર્ય કરે છે. સપોર્ટ રિએક્શન ફોર્સની ગણતરી કરવા માટે, પ્લેન જે ખૂણા પર આડી તરફ સ્થિત છે તેને માપવા માટે પ્રોટ્રેક્ટરનો ઉપયોગ કરો. ગણતરી કરો બળસહાયક પ્રતિક્રિયા, ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રવેગ દ્વારા શરીરના જથ્થાનો ગુણાકાર અને એંગલના કોસાઇન કે જેના પર પ્લેન ક્ષિતિજ N=m g Cos(α) પર સ્થિત છે.

જો કોઈ શરીર એવી સપાટી સાથે ફરે છે જે વર્તુળનો એક ભાગ છે જે ત્રિજ્યા R સાથે હોય છે, ઉદાહરણ તરીકે, એક પુલ, તો સપોર્ટ પ્રતિક્રિયા બળ વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી દિશા તરફના બળને ધ્યાનમાં લે છે, જે સમાન પ્રવેગક સાથે સેન્ટ્રીપેટલ એક, શરીર પર કામ કરે છે. ટોચના બિંદુ પર આધારના પ્રતિક્રિયા બળની ગણતરી કરવા માટે, ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રવેગમાંથી ત્રિજ્યા સુધીના વેગના વર્ગને બાદ કરો.

પરિણામી સંખ્યાને ફરતા શરીરના સમૂહ N=m (g-v²/R) વડે ગુણાકાર કરો. ઝડપ મીટર પ્રતિ સેકન્ડમાં અને ત્રિજ્યા મીટરમાં માપવી જોઈએ. ચોક્કસ ઝડપે, વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી નિર્દેશિત પ્રવેગકનું મૂલ્ય સમાન બની શકે છે, અને ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રવેગક પણ, જે સમયે શરીરની સપાટી પરનું સંલગ્નતા અદૃશ્ય થઈ જશે, તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, મોટરચાલકોને રસ્તાના આવા ભાગો પર ઝડપને સ્પષ્ટપણે નિયંત્રિત કરો.

જો તે નીચે તરફ નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે અને શરીરનો માર્ગ અંતર્મુખ છે, તો મુક્ત પતનના પ્રવેગમાં ઝડપના વર્ગ અને વક્રતાના ત્રિજ્યાના ગુણોત્તરમાં ઉમેરીને સમર્થન પ્રતિક્રિયા બળની ગણતરી કરો અને પરિણામી પરિણામનો ગુણાકાર કરો. શરીરનું દળ N=m (g+v²/R).

સ્ત્રોતો:

• તાકાત આધાર

વાસ્તવિક પરિસ્થિતિઓમાં ચળવળ અનિશ્ચિત સમય માટે ચાલુ રાખી શકાતી નથી. આનું કારણ છે ઘર્ષણ. તે ત્યારે થાય છે જ્યારે શરીર અન્ય સંસ્થાઓના સંપર્કમાં આવે છે અને હંમેશા ચળવળની દિશાની વિરુદ્ધ દિશામાન થાય છે. મતલબ કે તાકાત ઘર્ષણહંમેશા નકારાત્મક પ્રદર્શન કરે છે કામ, જે ગણતરી કરતી વખતે ધ્યાનમાં લેવી આવશ્યક છે.

તમને જરૂર પડશે

• - ટેપ માપ અથવા રેન્જફાઇન્ડર;
• - ઘર્ષણ ગુણાંક નક્કી કરવા માટેનું કોષ્ટક;
• - ગતિ ઊર્જાનો ખ્યાલ;
• - ભીંગડા;
• - કેલ્ક્યુલેટર.

સૂચનાઓ

જો શરીર એકસરખી રીતે અને સીધી લીટીમાં ફરે છે, તો તે બળ શોધો જેના કારણે તે ખસેડે છે. તેણી તાકાત માટે વળતર આપે છે ઘર્ષણ, તેથી સંખ્યાત્મક રીતે તેની બરાબર છે, પરંતુ બાજુ પર. ટેપ માપ અથવા રેન્જફાઇન્ડરનો ઉપયોગ કરીને, અંતર S માપો કે જેના દ્વારા બળ F શરીરને ખસેડે છે. પછી કામ કરો તાકાત ઘર્ષણઉત્પાદન સમાન હશે તાકાતઓછા ચિહ્ન A=-F∙S સાથે અંતર સુધી.

ઉદાહરણ. કાર રસ્તા પર સરખી રીતે અને સીધી રેખામાં આગળ વધે છે. જે કામતાકાત ઘર્ષણ 200 મીટરના અંતરે, જો એન્જિનનો થ્રસ્ટ 800 N હોય તો? એકસમાન રેક્ટિલિનિયર ફોર્સ સાથે, એન્જિનનું ટ્રેક્શન બળ બળની તીવ્રતામાં સમાન છે ઘર્ષણ. પછી તેનું કાર્ય A=-F∙S =-800∙200=-160000 J અથવા -160 kJ જેટલું હશે.

આ ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને, અમે પરિણામી રીગ્રેસન સમીકરણની વિશ્વસનીયતાનું મૂલ્યાંકન કેવી રીતે કરવામાં આવે છે તે ધ્યાનમાં લઈશું. આ જ કસોટીનો ઉપયોગ પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટે થાય છે કે રીગ્રેશન ગુણાંક એક સાથે શૂન્ય, a=0, b=0 સમાન છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ગણતરીઓનો સાર એ પ્રશ્નનો જવાબ આપવાનો છે: શું તેનો ઉપયોગ વધુ વિશ્લેષણ અને આગાહીઓ માટે થઈ શકે છે?

બે નમૂનાઓમાં ભિન્નતા સમાન છે કે અલગ છે તે નિર્ધારિત કરવા માટે, આ ટી-ટેસ્ટનો ઉપયોગ કરો.

તેથી, વિશ્લેષણનો હેતુ અમુક અંદાજ મેળવવાનો છે, જેની મદદથી એવું કહી શકાય કે α ના ચોક્કસ સ્તરે, પરિણામી રીગ્રેસન સમીકરણ આંકડાકીય રીતે વિશ્વસનીય છે. આ માટે નિર્ધારણના ગુણાંક R 2 નો ઉપયોગ થાય છે.
ફિશરની એફ ટેસ્ટનો ઉપયોગ કરીને રીગ્રેસન મૉડલના મહત્વનું પરીક્ષણ કરવામાં આવે છે, જેનું ગણતરી કરેલ મૂલ્ય અભ્યાસ કરવામાં આવતા સૂચકના અવલોકનોની મૂળ શ્રેણીના તફાવતના ગુણોત્તર અને અવશેષ ક્રમના ભિન્નતાના નિષ્પક્ષ અંદાજ તરીકે જોવા મળે છે. આ મોડેલ માટે.
જો k 1 =(m) અને k 2 =(n-m-1) સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી સાથેની ગણતરી કરેલ મૂલ્ય આપેલ મહત્વના સ્તરે ટેબ્યુલેટેડ મૂલ્ય કરતાં વધુ હોય, તો મોડેલને નોંધપાત્ર ગણવામાં આવે છે.

જ્યાં m એ મોડેલમાં પરિબળોની સંખ્યા છે.
જોડી કરેલ રેખીય રીગ્રેશનના આંકડાકીય મહત્વનું મૂલ્યાંકન નીચેના અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:
1. એક શૂન્ય પૂર્વધારણા આગળ મૂકવામાં આવે છે કે સમગ્ર સમીકરણ આંકડાકીય રીતે નજીવા છે: H 0: R 2 =0 મહત્વના સ્તરે α.
2. આગળ, F- માપદંડનું વાસ્તવિક મૂલ્ય નક્કી કરો:


જ્યાં જોડી પ્રમાણે રીગ્રેસન માટે m=1.
3. આપેલ મહત્વના સ્તર માટે ફિશર વિતરણ કોષ્ટકોમાંથી ટેબ્યુલેટેડ મૂલ્ય નક્કી કરવામાં આવે છે, તે ધ્યાનમાં લેતા કે ચોરસના કુલ સરવાળા (મોટા તફાવત) માટે સ્વતંત્રતાના ડિગ્રીની સંખ્યા 1 છે અને શેષ માટે સ્વતંત્રતાના ડિગ્રીની સંખ્યા. રેખીય રીગ્રેશનમાં ચોરસનો સરવાળો (નાનો તફાવત) n-2 છે (અથવા એક્સેલ ફંક્શન FRIST(સંભાવના,1,n-2) દ્વારા).
F કોષ્ટક એ સ્વતંત્રતા અને મહત્વ સ્તર α ની આપેલ ડિગ્રી પર રેન્ડમ પરિબળોના પ્રભાવ હેઠળ માપદંડનું મહત્તમ શક્ય મૂલ્ય છે. મહત્વ સ્તર α એ સાચી પૂર્વધારણાને નકારવાની સંભાવના છે, જો કે તે સાચું હોય. સામાન્ય રીતે α ને 0.05 અથવા 0.01 માનવામાં આવે છે.
4. જો F-ટેસ્ટનું વાસ્તવિક મૂલ્ય કોષ્ટક મૂલ્ય કરતાં ઓછું હોય, તો તેઓ કહે છે કે નલ પૂર્વધારણાને નકારવાનું કોઈ કારણ નથી.
અન્યથા, શૂન્ય પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવામાં આવે છે અને સંભાવના (1-α) સાથે સમગ્ર સમીકરણના આંકડાકીય મહત્વ વિશે વૈકલ્પિક પૂર્વધારણા સ્વીકારવામાં આવે છે.
સ્વતંત્રતા k 1 =1 અને k 2 =48, F કોષ્ટક = 4 ની ડિગ્રી સાથે માપદંડનું કોષ્ટક મૂલ્ય

તારણો: વાસ્તવિક મૂલ્ય F > F કોષ્ટક હોવાથી, નિર્ધારણનો ગુણાંક આંકડાકીય રીતે નોંધપાત્ર છે ( મળેલ રીગ્રેસન સમીકરણ અંદાજ આંકડાકીય રીતે વિશ્વસનીય છે) .

વિભિન્નતાનું વિશ્લેષણ

રીગ્રેસન સમીકરણ ગુણવત્તા સૂચકાંકો

ઉદાહરણ. કુલ 25 ટ્રેડિંગ એન્ટરપ્રાઇઝના આધારે, નીચેની લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચેના સંબંધનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે: X - ઉત્પાદન A ની કિંમત, હજાર રુબેલ્સ; Y એ ટ્રેડિંગ એન્ટરપ્રાઇઝનો નફો છે, મિલિયન રુબેલ્સ. રીગ્રેશન મોડેલનું મૂલ્યાંકન કરતી વખતે, નીચેના મધ્યવર્તી પરિણામો પ્રાપ્ત થયા હતા: ∑(y i -y x) 2 = 46000; ∑(y i -y સરેરાશ) 2 = 138000. આ ડેટા પરથી કયો સહસંબંધ સૂચક નક્કી કરી શકાય છે? આ પરિણામ અને ઉપયોગના આધારે આ સૂચકના મૂલ્યની ગણતરી કરો ફિશરની એફ ટેસ્ટરીગ્રેસન મોડેલની ગુણવત્તા વિશે તારણો દોરો.
ઉકેલ. આ ડેટામાંથી આપણે પ્રયોગમૂલક સહસંબંધ ગુણોત્તર નક્કી કરી શકીએ છીએ: , જ્યાં ∑(y avg -y x) 2 = ∑(y i -y avg) 2 - ∑(y i -y x) 2 = 138000 - 46000 = 92,000.
η 2 = 92,000/138000 = 0.67, η = 0.816 (0.7< η < 0.9 - связь между X и Y высокая).

ફિશરની એફ ટેસ્ટ: n = 25, m = 1.
R 2 = 1 - 46000/138000 = 0.67, F = 0.67/(1-0.67)x(25 - 1 - 1) = 46. F કોષ્ટક (1; 23) = 4.27
વાસ્તવિક મૂલ્ય F > Ftable હોવાથી, રીગ્રેસન સમીકરણનો મળેલો અંદાજ આંકડાકીય રીતે વિશ્વસનીય છે.

પ્રશ્ન: રીગ્રેસન મોડેલના મહત્વને ચકાસવા માટે કયા આંકડાઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે?
જવાબ: એકંદરે સમગ્ર મોડેલના મહત્વ માટે, F-આંકડા (ફિશર ટેસ્ટ) નો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા.ફંક્શન \(y = f(x)\) ને તેની અંદર બિંદુ \(x_0\) ધરાવતા ચોક્કસ અંતરાલમાં વ્યાખ્યાયિત કરવા દો. ચાલો દલીલને એક ઇન્ક્રીમેન્ટ \(\Delta x \) આપીએ જેથી તે આ અંતરાલ છોડે નહીં. ચાલો ફંક્શનનો અનુરૂપ વધારો શોધીએ \(\Delta y \) (જ્યારે બિંદુ \(x_0 \) થી બિંદુ \(x_0 + \Delta x \)) પર જઈએ અને સંબંધ \(\frac(\Delta) કંપોઝ કરીએ y)(\Delta x) \). જો આ ગુણોત્તરની મર્યાદા \(\Delta x \rightarrow 0\) હોય, તો ઉલ્લેખિત મર્યાદા કહેવામાં આવે છે. કાર્યનું વ્યુત્પન્ન\(y=f(x) \) બિંદુ પર \(x_0 \) અને સૂચવો \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

સંજ્ઞા y નો ઉપયોગ ઘણીવાર વ્યુત્પન્નને દર્શાવવા માટે થાય છે નોંધ કરો કે y" = f(x) એ એક નવું કાર્ય છે, પરંતુ કુદરતી રીતે કાર્ય y = f(x) સાથે સંબંધિત છે, જે ઉપરની મર્યાદા અસ્તિત્વમાં છે તે તમામ બિંદુઓ x પર વ્યાખ્યાયિત છે. આ કાર્યને આના જેવું કહેવામાં આવે છે: કાર્ય y = f(x) નું વ્યુત્પન્ન.

વ્યુત્પન્નનો ભૌમિતિક અર્થનીચે મુજબ છે. જો એબ્સીસા x=a સાથે બિંદુ પર ફંક્શન y = f(x) ના ગ્રાફ પર સ્પર્શક દોરવાનું શક્ય હોય, જે y-અક્ષની સમાંતર નથી, તો f(a) સ્પર્શકનો ઢોળાવ વ્યક્ત કરે છે :
\(k = f"(a)\)

ત્યારથી \(k = tg(a) \), તો પછી સમાનતા \(f"(a) = tan(a) \) સાચી છે.

હવે ચાલો અંદાજિત સમાનતાના દૃષ્ટિકોણથી વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યાનું અર્થઘટન કરીએ. ફંક્શન \(y = f(x)\) ને ચોક્કસ બિંદુ \(x\) પર વ્યુત્પન્ન થવા દો:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ x ની નજીક અંદાજિત સમાનતા \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), એટલે કે \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ ડેલ્ટા x\). પરિણામી અંદાજિત સમાનતાનો અર્થપૂર્ણ અર્થ નીચે મુજબ છે: ફંક્શનનો વધારો દલીલના વધારા માટે "લગભગ પ્રમાણસર" છે, અને પ્રમાણસરતાનો ગુણાંક એ આપેલ બિંદુ x પર વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શન \(y = x^2\) માટે અંદાજિત સમાનતા \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) માન્ય છે. જો આપણે ડેરિવેટિવની વ્યાખ્યાનું કાળજીપૂર્વક વિશ્લેષણ કરીએ, તો આપણે શોધીશું કે તેમાં તેને શોધવા માટે એક અલ્ગોરિધમ છે.

ચાલો તેને ઘડીએ.

ફંક્શન y = f(x) નું વ્યુત્પન્ન કેવી રીતે શોધવું?

1. \(x\) ની કિંમત ઠીક કરો, \(f(x)\) શોધો
2. દલીલ \(x\) ને વધારો આપો \(\Delta x\), નવા બિંદુ પર જાઓ \(x+ \Delta x \), શોધો \(f(x+ \Delta x) \)
3. ફંક્શનનો ઇન્ક્રીમેન્ટ શોધો: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. સંબંધ બનાવો \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. ગણતરી કરો $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
આ મર્યાદા બિંદુ x પરના કાર્યનું વ્યુત્પન્ન છે.

જો ફંક્શન y = f(x) બિંદુ x પર વ્યુત્પન્ન હોય, તો તે બિંદુ x પર વિભેદક કહેવાય છે. ફંક્શન y = f(x) નું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટેની પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે તફાવતકાર્યો y = f(x).

ચાલો નીચેના પ્રશ્નની ચર્ચા કરીએ: એકબીજા સાથે સંબંધિત બિંદુ પર કાર્યની સાતત્ય અને ભિન્નતા કેવી રીતે છે?

બિંદુ x પર ફંક્શન y = f(x) ને અલગ કરવા દો. પછી બિંદુ M(x; f(x)) પરના કાર્યના ગ્રાફ પર સ્પર્શક દોરી શકાય છે, અને યાદ કરો, સ્પર્શકનો કોણીય ગુણાંક f "(x) ની બરાબર છે. આવો આલેખ "તોડી" શકતો નથી. બિંદુ M પર, એટલે કે કાર્ય બિંદુ x પર સતત હોવું જોઈએ.

આ "હેન્ડ-ઓન" દલીલો હતી. ચાલો વધુ સખત તર્ક આપીએ. જો x બિંદુ પર ફંક્શન y = f(x) ભિન્ન હોય, તો અંદાજિત સમાનતા \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\) ધરાવે છે. જો આ સમાનતામાં \(\Delta x) \) શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, પછી \(\Delta y \) શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, અને આ એક બિંદુ પર કાર્યની સાતત્ય માટેની સ્થિતિ છે.

તેથી, જો કોઈ ફંક્શન x બિંદુ પર વિભેદક હોય, તો તે તે બિંદુ પર સતત છે.

વિપરીત નિવેદન સાચું નથી. ઉદાહરણ તરીકે: ફંક્શન y = |x| દરેક જગ્યાએ સતત છે, ખાસ કરીને બિંદુ x = 0 પર, પરંતુ "જંકશન બિંદુ" (0; 0) પર ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક અસ્તિત્વમાં નથી. જો કોઈ બિંદુએ સ્પર્શકને ફંક્શનના ગ્રાફ પર ખેંચી શકાતું નથી, તો તે બિંદુએ વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી.

બીજું ઉદાહરણ. ફંક્શન \(y=\sqrt(x)\) બિંદુ x = 0 સહિત સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર સતત છે. અને કાર્યના ગ્રાફની સ્પર્શક કોઈપણ બિંદુએ અસ્તિત્વમાં છે, બિંદુ x = 0 સહિત પરંતુ આ બિંદુએ સ્પર્શક y-અક્ષ સાથે એકરુપ છે, એટલે કે, તે એબ્સીસા અક્ષને લંબરૂપ છે, તેના સમીકરણમાં x = 0 છે. આવી સીધી રેખામાં કોણ ગુણાંક નથી, જેનો અર્થ છે કે \(f "(0)\) અસ્તિત્વમાં નથી.

તેથી, અમે ફંક્શનની નવી મિલકતથી પરિચિત થયા - ભિન્નતા. ફંક્શનના ગ્રાફ પરથી કોઈ કેવી રીતે નિષ્કર્ષ પર આવી શકે છે કે તે અલગ છે?

જવાબ ખરેખર ઉપર આપેલ છે. જો કોઈ બિંદુએ એબ્સીસા અક્ષને લંબરૂપ ન હોય તેવા ફંક્શનના ગ્રાફ પર સ્પર્શક દોરવાનું શક્ય હોય, તો આ બિંદુએ ફંક્શન અલગ કરી શકાય તેવું છે. જો કોઈ સમયે ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક અસ્તિત્વમાં ન હોય અથવા તે એબ્સીસા અક્ષને લંબરૂપ હોય, તો આ બિંદુએ ફંક્શન ભિન્નતાપાત્ર નથી.

ભિન્નતાના નિયમો

વ્યુત્પન્ન શોધવાની કામગીરી કહેવામાં આવે છે તફાવત. આ ઑપરેશન કરતી વખતે, તમારે ઘણીવાર ભાગ, સરવાળો, ફંક્શન્સના ઉત્પાદનો, તેમજ "ફંક્શન્સ ઑફ ફંક્શન્સ" એટલે કે જટિલ ફંક્શન્સ સાથે કામ કરવું પડે છે. વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યાના આધારે, અમે ભેદભાવના નિયમો મેળવી શકીએ છીએ જે આ કાર્યને સરળ બનાવે છે. જો C એ સ્થિર સંખ્યા છે અને f=f(x), g=g(x) અમુક વિભેદક વિધેયો છે, તો નીચેના સાચા છે તફાવત નિયમો:

કેટલાક કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક

"બળ" શબ્દ એટલો વ્યાપક છે કે તેને સ્પષ્ટ ખ્યાલ આપવો એ લગભગ અશક્ય કાર્ય છે. સ્નાયુની શક્તિથી લઈને મનની શક્તિ સુધીની વિવિધતા તેમાં સમાવિષ્ટ ખ્યાલોના સમગ્ર સ્પેક્ટ્રમને આવરી લેતી નથી. બળ, ભૌતિક જથ્થા તરીકે ગણવામાં આવે છે, તેનો સ્પષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત અર્થ અને વ્યાખ્યા છે. બળ સૂત્ર ગાણિતિક મોડેલને સ્પષ્ટ કરે છે: મૂળભૂત પરિમાણો પર બળની અવલંબન.

દળોના અભ્યાસના ઇતિહાસમાં પરિમાણો પર નિર્ભરતાના નિર્ધારણ અને પરાધીનતાના પ્રાયોગિક પુરાવાનો સમાવેશ થાય છે.

ભૌતિકશાસ્ત્રમાં શક્તિ

બળ એ શરીરની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાનું માપ છે. એકબીજા પર શરીરની પરસ્પર ક્રિયા શરીરની ગતિ અથવા વિરૂપતામાં ફેરફાર સાથે સંકળાયેલ પ્રક્રિયાઓનું સંપૂર્ણ વર્ણન કરે છે.

ભૌતિક જથ્થા તરીકે, બળ પાસે માપનનું એકમ છે (SI સિસ્ટમમાં - ન્યુટન) અને તેને માપવા માટેનું એક ઉપકરણ - એક ડાયનેમોમીટર. ફોર્સ મીટરનો ઓપરેટિંગ સિદ્ધાંત ડાયનેમોમીટર સ્પ્રિંગના સ્થિતિસ્થાપક બળ સાથે શરીર પર કાર્ય કરતા બળની તુલના કરવા પર આધારિત છે.

1 ન્યુટનનું બળ એ બળ તરીકે લેવામાં આવે છે જેના પ્રભાવ હેઠળ 1 કિલો વજન ધરાવતું શરીર 1 સેકન્ડમાં 1 મીટર દ્વારા તેની ગતિમાં ફેરફાર કરે છે.

વ્યાખ્યા મુજબ તાકાત:

• ક્રિયાની દિશા;
• એપ્લિકેશન બિંદુ;
• મોડ્યુલ, સંપૂર્ણ મૂલ્ય.

ક્રિયાપ્રતિક્રિયાનું વર્ણન કરતી વખતે, આ પરિમાણો સૂચવવાનું ભૂલશો નહીં.

કુદરતી ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓના પ્રકાર: ગુરુત્વાકર્ષણ, ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક, મજબૂત, નબળા. ગુરુત્વાકર્ષણ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ તેની વિવિધતા સાથે - ગુરુત્વાકર્ષણ) સમૂહ ધરાવતા કોઈપણ શરીરની આસપાસના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રોના પ્રભાવને કારણે અસ્તિત્વમાં છે. ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રોનો અભ્યાસ હજી પૂર્ણ થયો નથી. ક્ષેત્રનો સ્ત્રોત શોધવાનું હજી શક્ય નથી.

પદાર્થ બનાવે છે તેવા અણુઓની ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને કારણે મોટી સંખ્યામાં દળો ઉદ્ભવે છે.

દબાણ બળ

જ્યારે શરીર પૃથ્વી સાથે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરે છે, ત્યારે તે સપાટી પર દબાણ લાવે છે. જેનું બળ સ્વરૂપ ધરાવે છે: P = mg, બોડી માસ (m) દ્વારા નક્કી થાય છે. ગુરુત્વાકર્ષણ (g) ને કારણે પ્રવેગક પૃથ્વીના જુદા જુદા અક્ષાંશો પર જુદા જુદા મૂલ્યો ધરાવે છે.

વર્ટિકલ દબાણ બળ તીવ્રતામાં સમાન છે અને સમર્થનમાં ઉદ્ભવતા સ્થિતિસ્થાપક બળની દિશામાં વિરુદ્ધ છે. શરીરની હિલચાલના આધારે બળનું સૂત્ર બદલાય છે.

શરીરના વજનમાં ફેરફાર

પૃથ્વી સાથેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને કારણે આધાર પર શરીરની ક્રિયાને ઘણીવાર શરીરનું વજન કહેવામાં આવે છે. રસપ્રદ રીતે, શરીરના વજનની માત્રા ઊભી દિશામાં ચળવળના પ્રવેગ પર આધારિત છે. એવા કિસ્સામાં જ્યાં પ્રવેગની દિશા ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રવેગની વિરુદ્ધ હોય, વજનમાં વધારો જોવા મળે છે. જો શરીરની ગતિ મુક્ત પતનની દિશા સાથે સુસંગત હોય, તો શરીરનું વજન ઘટે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચડતી લિફ્ટમાં હોવાથી, ચડતાની શરૂઆતમાં વ્યક્તિ અમુક સમય માટે વજનમાં વધારો અનુભવે છે. એનું દળ બદલાય છે એમ કહેવાની જરૂર નથી. તે જ સમયે, અમે "શરીરનું વજન" અને તેના "માસ" ની વિભાવનાઓને અલગ કરીએ છીએ.

સ્થિતિસ્થાપક બળ

જ્યારે શરીરનો આકાર બદલાય છે (તેનું વિરૂપતા), ત્યારે એક બળ દેખાય છે જે શરીરને તેના મૂળ આકારમાં પાછું લાવવાનું વલણ ધરાવે છે. આ બળને "સ્થિતિસ્થાપકતા બળ" નામ આપવામાં આવ્યું હતું. તે શરીરને બનાવેલા કણોની વિદ્યુત ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના પરિણામે ઉદ્ભવે છે.

ચાલો સૌથી સરળ વિરૂપતાને ધ્યાનમાં લઈએ: તાણ અને સંકોચન. શરીરના રેખીય પરિમાણોમાં વધારો, કમ્પ્રેશન - તેમના ઘટાડા દ્વારા તણાવ સાથે છે. આ પ્રક્રિયાઓને દર્શાવતા જથ્થાને શરીરનું વિસ્તરણ કહેવામાં આવે છે. ચાલો તેને "x" દર્શાવીએ. સ્થિતિસ્થાપક બળ સૂત્ર સીધા વિસ્તરણ સાથે સંબંધિત છે. વિકૃતિમાંથી પસાર થતા દરેક શરીરના પોતાના ભૌમિતિક અને ભૌતિક પરિમાણો હોય છે. શરીરના ગુણધર્મો અને જે સામગ્રીમાંથી તે બનાવવામાં આવે છે તેના પર વિરૂપતા માટે સ્થિતિસ્થાપક પ્રતિકારની અવલંબન સ્થિતિસ્થાપકતા ગુણાંક દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, ચાલો તેને કઠોરતા (k) કહીએ.

સ્થિતિસ્થાપક ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના ગાણિતિક મોડેલનું વર્ણન હૂકના કાયદા દ્વારા કરવામાં આવ્યું છે.

શરીરના વિરૂપતા દરમિયાન ઉદ્ભવતા બળ શરીરના વ્યક્તિગત ભાગોના વિસ્થાપનની દિશા વિરુદ્ધ નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે અને તે તેના વિસ્તરણના સીધા પ્રમાણસર છે:

• F y = -kx (વેક્ટર નોટેશનમાં).

"-" ચિહ્ન વિરૂપતા અને બળની વિરુદ્ધ દિશા સૂચવે છે.

સ્કેલર સ્વરૂપમાં કોઈ નકારાત્મક ચિહ્ન નથી. સ્થિતિસ્થાપક બળ, જેનું સૂત્ર નીચેનું સ્વરૂપ F y = kx ધરાવે છે, તેનો ઉપયોગ માત્ર સ્થિતિસ્થાપક વિકૃતિઓ માટે થાય છે.

વર્તમાન સાથે ચુંબકીય ક્ષેત્રની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા

પ્રત્યક્ષ પ્રવાહ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રની અસરનું વર્ણન કરવામાં આવ્યું છે, આ કિસ્સામાં, ચુંબકીય ક્ષેત્ર તેમાં મૂકાયેલા પ્રવાહ સાથેના વાહક પર જે બળ સાથે કાર્ય કરે છે તેને એમ્પીયર બળ કહેવામાં આવે છે.

ચુંબકીય ક્ષેત્રની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા બળના અભિવ્યક્તિનું કારણ બને છે. એમ્પીયરનું બળ, જેનું સૂત્ર F = IBlsinα છે, તે (B), વાહકના સક્રિય ભાગની લંબાઈ (l), (I) વાહકમાં અને વર્તમાનની દિશા અને ચુંબકીય ઇન્ડક્શન વચ્ચેના કોણ પર આધાર રાખે છે. .

છેલ્લા અવલંબન માટે આભાર, એવી દલીલ કરી શકાય છે કે જ્યારે વાહક ફેરવાય છે અથવા વર્તમાનની દિશા બદલાય છે ત્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્રની ક્રિયાના વેક્ટર બદલાઈ શકે છે. ડાબા હાથનો નિયમ તમને ક્રિયાની દિશા સ્થાપિત કરવાની મંજૂરી આપે છે. જો ડાબા હાથને એવી રીતે સ્થિત કરવામાં આવે છે કે ચુંબકીય ઇન્ડક્શન વેક્ટર હથેળીમાં પ્રવેશે છે, ચાર આંગળીઓને વાહકમાં વર્તમાન સાથે દિશામાન કરવામાં આવે છે, તો અંગૂઠો 90 ° વળેલો ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા બતાવશે.

માનવજાતને આ અસર માટે એપ્લિકેશન મળી છે, ઉદાહરણ તરીકે, ઇલેક્ટ્રિક મોટર્સમાં. રોટરનું પરિભ્રમણ શક્તિશાળી ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટ દ્વારા બનાવેલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે થાય છે. ફોર્સ ફોર્મ્યુલા તમને એન્જિન પાવર બદલવાની શક્યતાનો નિર્ણય કરવાની મંજૂરી આપે છે. જેમ જેમ વર્તમાન અથવા ક્ષેત્રની શક્તિ વધે છે તેમ, ટોર્ક વધે છે, જે મોટર પાવરમાં વધારો તરફ દોરી જાય છે.

કણની ગતિ

ચાર્જ સાથે ચુંબકીય ક્ષેત્રની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા પ્રાથમિક કણોના અભ્યાસમાં માસ સ્પેક્ટ્રોગ્રાફ્સમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે.

આ કિસ્સામાં ક્ષેત્રની ક્રિયા લોરેન્ટ્ઝ બળ તરીકે ઓળખાતા બળના દેખાવનું કારણ બને છે. જ્યારે ચોક્કસ ઝડપે ફરતો ચાર્જ થયેલ કણ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવેશે છે, જેનું સૂત્ર F = vBqsinα છે, તે કણને વર્તુળમાં ખસેડવાનું કારણ બને છે.

આ ગાણિતિક મોડેલમાં, v એ કણના વેગનું મોડ્યુલસ છે જેનો ઇલેક્ટ્રિક ચાર્જ q છે, B એ ક્ષેત્રનું ચુંબકીય ઇન્ડક્શન છે, α એ વેગ અને ચુંબકીય ઇન્ડક્શનની દિશાઓ વચ્ચેનો ખૂણો છે.

કણ વર્તુળમાં (અથવા વર્તુળની ચાપ) ફરે છે, કારણ કે બળ અને ગતિ એકબીજાને 90 °ના ખૂણા પર નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે. રેખીય વેગની દિશા બદલવાથી પ્રવેગ દેખાય છે.

ડાબા હાથનો નિયમ, જેની ઉપર ચર્ચા કરવામાં આવી છે, તે લોરેન્ટ્ઝ બળનો અભ્યાસ કરતી વખતે પણ થાય છે: જો ડાબા હાથને એવી રીતે સ્થિત કરવામાં આવે છે કે ચુંબકીય ઇન્ડક્શન વેક્ટર હથેળીમાં પ્રવેશે છે, તો એક લીટીમાં વિસ્તરેલી ચાર આંગળીઓ ઝડપ સાથે દિશામાન થાય છે. સકારાત્મક ચાર્જ થયેલ કણ, પછી 90 ° દ્વારા વળેલું અંગૂઠો બળની દિશા સૂચવે છે.

પ્લાઝ્મા સમસ્યાઓ

ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને પદાર્થની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાનો ઉપયોગ સાયક્લોટ્રોનમાં થાય છે. પ્લાઝ્માના પ્રયોગશાળા અભ્યાસ સાથે સંકળાયેલી સમસ્યાઓ તેને બંધ જહાજોમાં રાખવાની મંજૂરી આપતી નથી. ઉચ્ચ આયનાઈઝ્ડ ગેસ માત્ર ઊંચા તાપમાને જ અસ્તિત્વમાં હોઈ શકે છે. પ્લાઝમાને ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો ઉપયોગ કરીને અવકાશમાં એક જગ્યાએ રાખી શકાય છે, ગેસને રિંગના રૂપમાં વળીને. ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો ઉપયોગ કરીને કોર્ડમાં ઉચ્ચ-તાપમાનના પ્લાઝ્માને વળીને નિયંત્રિત રાશિઓનો પણ અભ્યાસ કરી શકાય છે.

આયનાઇઝ્ડ ગેસ પર કુદરતી પરિસ્થિતિઓમાં ચુંબકીય ક્ષેત્રની અસરનું ઉદાહરણ ઓરોરા બોરેલિસ છે. પૃથ્વીની સપાટીથી 100 કિમીની ઉંચાઈએ આર્કટિક સર્કલની ઉપર આ ભવ્ય ભવ્યતા જોવા મળે છે. ગેસની રહસ્યમય રંગબેરંગી ચમક માત્ર 20મી સદીમાં જ સમજાવી શકાય છે. ધ્રુવોની નજીક પૃથ્વીનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર સૌર પવનને વાતાવરણમાં પ્રવેશતા અટકાવી શકતું નથી. સૌથી વધુ સક્રિય રેડિયેશન, ચુંબકીય ઇન્ડક્શન રેખાઓ સાથે નિર્દેશિત, વાતાવરણના આયનીકરણનું કારણ બને છે.

ચાર્જ ચળવળ સાથે સંકળાયેલ અસાધારણ ઘટના

ઐતિહાસિક રીતે, વાહકમાં પ્રવાહના પ્રવાહને દર્શાવતા મુખ્ય જથ્થાને વર્તમાન શક્તિ કહેવામાં આવે છે. તે રસપ્રદ છે કે આ ખ્યાલને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં બળ સાથે કોઈ લેવાદેવા નથી. વર્તમાન તાકાત, જેનું સૂત્ર કંડક્ટરના ક્રોસ સેક્શન દ્વારા એકમ સમય દીઠ વહેતા ચાર્જનો સમાવેશ કરે છે, તે ફોર્મ ધરાવે છે:

• I = q/t, જ્યાં t એ ચાર્જ q નો પ્રવાહ સમય છે.

હકીકતમાં, વર્તમાન એ ચાર્જની રકમ છે. તેનું માપન એકમ એમ્પીયર (A) છે, જે N ના વિરોધમાં છે.

બળના કાર્યની વ્યાખ્યા

પદાર્થ પર લગાવવામાં આવેલ બળ કામના પ્રદર્શન સાથે છે. બળનું કાર્ય એ એક ભૌતિક જથ્થા છે જે સંખ્યાત્મક રીતે બળના ઉત્પાદન અને તેની ક્રિયા હેઠળ પસાર થતા વિસ્થાપન અને બળ અને વિસ્થાપનની દિશાઓ વચ્ચેના ખૂણાના કોસાઇન સમાન છે.

બળનું જરૂરી કાર્ય, જેનું સૂત્ર A = FScosα છે, તેમાં બળની તીવ્રતા શામેલ છે.

શરીરની ક્રિયા શરીરની ગતિમાં ફેરફાર અથવા વિકૃતિ સાથે છે, જે ઊર્જામાં એક સાથે ફેરફારો સૂચવે છે. બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય સીધું તેની તીવ્રતા પર આધાર રાખે છે.