એક ખૂણા દ્વારા શંકુના પાયાનો વિસ્તાર. શંકુની બાજુની અને કુલ સપાટીનો વિસ્તાર

અહીં શંકુ સાથે સમસ્યાઓ છે, સ્થિતિ તેની સપાટીના વિસ્તાર સાથે સંબંધિત છે. ખાસ કરીને, કેટલીક સમસ્યાઓમાં શંકુની ઊંચાઈ અથવા તેના આધારની ત્રિજ્યામાં વધારો (ઘટાડો) કરતી વખતે વિસ્તાર બદલવાનો પ્રશ્ન છે. માં સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેનો સિદ્ધાંત. ચાલો નીચેના કાર્યોને ધ્યાનમાં લઈએ:

27135. શંકુના પાયાનો પરિઘ 3 છે, જનરેટિક્સ 2 છે શંકુની બાજુની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

શંકુની બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર સમાન છે:

ડેટાને બદલીને:

75697. જો શંકુની બાજુની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ 36 ગણું વધાર્યું હોય અને આધારની ત્રિજ્યા સમાન રહે તો તેનો વિસ્તાર કેટલી વાર વધશે?

શંકુ બાજુની સપાટી વિસ્તાર:

જનરેટિક્સ 36 ગણો વધે છે. ત્રિજ્યા એ જ રહે છે, જેનો અર્થ છે કે આધારનો પરિઘ બદલાયો નથી.

આનો અર્થ એ છે કે સંશોધિત શંકુની બાજુની સપાટીના ક્ષેત્રનું સ્વરૂપ હશે:

આમ, તેમાં 36 ગણો વધારો થશે.

*સંબંધ સીધો છે, તેથી આ સમસ્યા મૌખિક રીતે સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે.

27137. જો શંકુના પાયાની ત્રિજ્યામાં 1.5 ગણો ઘટાડો થાય તો તેની બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર કેટલી વાર ઘટશે?

શંકુની બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર બરાબર છે:

ત્રિજ્યામાં 1.5 ગણો ઘટાડો થાય છે, એટલે કે:

તે જાણવા મળ્યું હતું કે બાજુની સપાટીના વિસ્તારમાં 1.5 ગણો ઘટાડો થયો છે.

27159. શંકુની ઊંચાઈ 6 છે, જનરેટર 10 છે. તેનો વિસ્તાર શોધો સંપૂર્ણ સપાટી, Pi વડે ભાગ્યા.

સંપૂર્ણ શંકુ સપાટી:

તમારે ત્રિજ્યા શોધવાની જરૂર છે:

ઊંચાઈ અને જનરેટ્રિક્સ જાણીતા છે, પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને આપણે ત્રિજ્યાની ગણતરી કરીએ છીએ:

આમ:

પરિણામને Pi દ્વારા વિભાજીત કરો અને જવાબ લખો.

76299. શંકુનું કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ 108 છે. ઊંચાઈને અડધા ભાગમાં વિભાજીત કરીને, શંકુના પાયાની સમાંતર એક વિભાગ દોરવામાં આવે છે. કાપેલા શંકુનો કુલ સપાટી વિસ્તાર શોધો.

વિભાગ આધારની સમાંતર ઊંચાઈની મધ્યમાંથી પસાર થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે આધારની ત્રિજ્યા અને કટ ઓફ કોનનું જનરેટ્રિક્સ 2 ગણું હશે. ત્રિજ્યા કરતાં ઓછીઅને મૂળ શંકુનું જનરેટિક્સ. ચાલો કાપેલા શંકુની સપાટીનો વિસ્તાર લખીએ:

તે 4 ગણું હોવું જોઈએ ઓછો વિસ્તારમૂળની સપાટી, એટલે કે, 108:4 = 27.

* મૂળ અને કટ કોન હોવાથી સમાન સંસ્થાઓ, પછી એક સમાનતા ગુણધર્મનો પણ ઉપયોગ કરી શકે છે:

27167. શંકુના પાયાની ત્રિજ્યા 3 છે અને ઊંચાઈ 4 છે. શંકુના કુલ સપાટી વિસ્તારને Pi વડે વિભાજિત કરો.

શંકુની કુલ સપાટી માટેનું સૂત્ર:

ત્રિજ્યા જાણીતી છે, તે જનરેટ્રિક્સ શોધવા માટે જરૂરી છે.

પાયથાગોરિયન પ્રમેય અનુસાર:

આમ:

પરિણામને Pi દ્વારા વિભાજીત કરો અને જવાબ લખો.

કાર્ય. શંકુની બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર ચાર ગણો છે વધુ વિસ્તારમેદાન કંઈક શોધો કોસાઇન સમાનશંકુના જનરેટિક્સ અને આધારના પ્લેન વચ્ચેનો ખૂણો.

શંકુના પાયાનો વિસ્તાર છે:

શાળામાં અભ્યાસ કરાયેલ પરિભ્રમણના શરીર સિલિન્ડર, શંકુ અને બોલ છે.

જો ગણિતમાં યુનિફાઈડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં કોઈ સમસ્યા હોય તો તમારે શંકુના જથ્થા અથવા ગોળાના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવાની જરૂર હોય, તો તમારી જાતને નસીબદાર માનો.

સિલિન્ડર, શંકુ અને ગોળાના વોલ્યુમ અને સપાટીના ક્ષેત્રફળ માટે સૂત્રો લાગુ કરો. તે બધા અમારા ટેબલમાં છે. હૃદયથી શીખો. અહીંથી સ્ટીરિયોમેટ્રીનું જ્ઞાન શરૂ થાય છે.

કેટલીકવાર ઉપરથી દૃશ્ય દોરવાનું સારું છે. અથવા, આ સમસ્યાની જેમ, નીચેથી.

2. સાચી આસપાસ વર્ણવેલ શંકુનું કદ કેટલી વખત છે ચતુષ્કોણીય પિરામિડ, આ પિરામિડમાં કોતરેલા શંકુના જથ્થા કરતાં વધારે છે?

તે સરળ છે - નીચેથી દૃશ્ય દોરો. આપણે જોઈએ છીએ કે મોટા વર્તુળની ત્રિજ્યા નાના વર્તુળની ત્રિજ્યા કરતા ઘણી મોટી છે. બંને શંકુની ઊંચાઈ સમાન છે. તેથી, મોટા શંકુનું પ્રમાણ બમણું મોટું હશે.

અન્ય મહત્વપૂર્ણ બિંદુ. યાદ રાખો કે ભાગ B ની સમસ્યાઓમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા વિકલ્પોગણિતમાં જવાબ પૂર્ણાંક અથવા મર્યાદિત સંખ્યા તરીકે લખવામાં આવે છે દશાંશ. તેથી, ભાગ B માં તમારા જવાબમાં કોઈ અથવા ન હોવું જોઈએ. સંખ્યાના અંદાજિત મૂલ્યને બદલવાની પણ જરૂર નથી! તે ચોક્કસપણે સંકોચાઈ જ જોઈએ! તે આ હેતુ માટે છે કે કેટલીક સમસ્યાઓમાં કાર્ય ઘડવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, નીચે મુજબ: "સિલિન્ડરની બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર વિભાજિત કરો."

ક્રાંતિના શરીરના કદ અને સપાટીના ક્ષેત્રફળ માટેના સૂત્રો બીજે ક્યાં વપરાય છે? અલબત્ત, સમસ્યા C2 (16) માં. અમે તમને તેના વિશે પણ જણાવીશું.

બેક ફોરવર્ડ

ધ્યાન આપો! સ્લાઇડ પૂર્વાવલોકનો ફક્ત માહિતીના હેતુ માટે છે અને તે પ્રસ્તુતિની તમામ સુવિધાઓને રજૂ કરી શકશે નહીં. જો તમને રસ હોય તો આ કામ, કૃપા કરીને સંપૂર્ણ સંસ્કરણ ડાઉનલોડ કરો.

પાઠનો પ્રકાર:સમસ્યા-આધારિત વિકાસલક્ષી શિક્ષણ પદ્ધતિના ઘટકોનો ઉપયોગ કરીને નવી સામગ્રી શીખવાનો પાઠ.

પાઠ હેતુઓ:

• શૈક્ષણિક:
  • નવા સાથે પરિચય ગાણિતિક ખ્યાલ;
  • નવા તાલીમ કેન્દ્રોની રચના;
  • વ્યવહારુ સમસ્યા હલ કરવાની કુશળતાની રચના.
• વિકાસશીલ:
  • વિદ્યાર્થીઓની સ્વતંત્ર વિચારસરણીનો વિકાસ;
  • કૌશલ્ય વિકાસ સાચી વાણીશાળાના બાળકો
• શૈક્ષણિક:
  • ટીમ વર્ક કુશળતાનો વિકાસ.

પાઠ સાધનો:ચુંબકીય બોર્ડ, કમ્પ્યુટર, સ્ક્રીન, મલ્ટીમીડિયા પ્રોજેક્ટર, શંકુ મોડેલ, પાઠ પ્રસ્તુતિ, હેન્ડઆઉટ્સ.

પાઠ હેતુઓ (વિદ્યાર્થીઓ માટે):

• નવા લોકોને મળો ભૌમિતિક ખ્યાલ- શંકુ;
• શંકુના સપાટી વિસ્તારની ગણતરી માટે સૂત્ર મેળવો;
• વ્યવહારિક સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે પ્રાપ્ત કરેલ જ્ઞાનનો ઉપયોગ કરવાનું શીખો.

પાઠ પ્રગતિ

સ્ટેજ I. સંસ્થાકીય.

ઘરેથી નોટબુક પાછી આપવી પરીક્ષણ કાર્યઆવરી લેવામાં આવેલ વિષય પર.

વિદ્યાર્થીઓને કોયડાનું નિરાકરણ કરીને આગામી પાઠનો વિષય શોધવા માટે આમંત્રિત કરવામાં આવે છે (સ્લાઇડ 1):

આકૃતિ 1.

વિદ્યાર્થીઓને પાઠના વિષય અને ઉદ્દેશોની જાહેરાત કરવી (સ્લાઇડ 2).

સ્ટેજ II. નવી સામગ્રીની સમજૂતી.

1) શિક્ષકનું વ્યાખ્યાન.

બોર્ડ પર શંકુના ચિત્ર સાથે એક ટેબલ છે. નવી સામગ્રીસાથે સમજાવ્યું પ્રોગ્રામ સામગ્રી"સ્ટીરીઓમેટ્રી". સ્ક્રીન પર શંકુની ત્રિ-પરિમાણીય છબી દેખાય છે. શિક્ષક શંકુની વ્યાખ્યા આપે છે અને તેના તત્વો વિશે વાત કરે છે. (સ્લાઇડ 3). એવું કહેવાય છે કે શંકુ એ પરિભ્રમણ દ્વારા રચાયેલ શરીર છે જમણો ત્રિકોણપગની તુલનામાં. (સ્લાઇડ્સ 4, 5).શંકુની બાજુની સપાટીના સ્કેનની એક છબી દેખાય છે. (સ્લાઇડ 6)

2) વ્યવહારુ કાર્ય.

અપડેટ કરો પૃષ્ઠભૂમિ જ્ઞાન: વર્તુળના ક્ષેત્રફળ, ક્ષેત્રનું ક્ષેત્રફળ, વર્તુળની લંબાઈ, વર્તુળના ચાપની લંબાઈની ગણતરી કરવા માટેના સૂત્રોનું પુનરાવર્તન કરો. (સ્લાઇડ્સ 7-10)

વર્ગ જૂથોમાં વહેંચાયેલો છે. દરેક જૂથ કાગળમાંથી કાપેલા શંકુની બાજુની સપાટીનું સ્કેન મેળવે છે (સોંપાયેલ નંબર સાથે વર્તુળનો એક ક્ષેત્ર). વિદ્યાર્થીઓ જરૂરી માપ લે છે અને પરિણામી ક્ષેત્રના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરે છે. કાર્ય કરવા માટેની સૂચનાઓ, પ્રશ્નો - સમસ્યા નિવેદનો - સ્ક્રીન પર દેખાય છે (સ્લાઇડ્સ 11-14). દરેક જૂથનો પ્રતિનિધિ બોર્ડ પર તૈયાર કરેલ કોષ્ટકમાં ગણતરીના પરિણામો લખે છે. દરેક જૂથના સહભાગીઓ તેમની પાસેની પેટર્નમાંથી શંકુના મોડેલને એકસાથે ગુંદર કરે છે. (સ્લાઇડ 15)

3) સમસ્યાનું નિવેદન અને ઉકેલ.

જો માત્ર આધારની ત્રિજ્યા અને શંકુના જનરેટ્રિક્સની લંબાઈ જાણીતી હોય તો શંકુની બાજુની સપાટીના વિસ્તારની ગણતરી કેવી રીતે કરવી? (સ્લાઇડ 16)

દરેક જૂથ જરૂરી માપ લે છે અને ઉપલબ્ધ ડેટાનો ઉપયોગ કરીને જરૂરી વિસ્તારની ગણતરી માટે સૂત્ર મેળવવાનો પ્રયાસ કરે છે. આ કાર્ય કરતી વખતે, વિદ્યાર્થીઓએ નોંધવું જોઈએ કે શંકુના પાયાનો પરિઘ સેક્ટરના ચાપની લંબાઈ જેટલો છે - આ શંકુની બાજુની સપાટીનો વિકાસ. (સ્લાઇડ્સ 17-21)ઉપયોગ કરીને જરૂરી સૂત્રો, જરૂરી સૂત્ર પ્રદર્શિત થાય છે. વિદ્યાર્થીઓની દલીલો કંઈક આના જેવી હોવી જોઈએ:

સેક્ટર-સ્વીપ ત્રિજ્યા બરાબર છે lચાપનું ડિગ્રી માપ – φ. સેક્ટરના ક્ષેત્રફળની ગણતરી સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે: આ ક્ષેત્રને બાઉન્ડિંગ કરતી ચાપની લંબાઈ શંકુ R ના પાયાની ત્રિજ્યા જેટલી છે. શંકુના પાયા પર આવેલા વર્તુળની લંબાઈ C = 2πR છે. . નોંધ કરો કે શંકુની બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર તેની બાજુની સપાટીના વિકાસ વિસ્તાર જેટલો હોવાથી

તેથી, શંકુની બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે S BOD = πRl.

સ્વતંત્ર રીતે મેળવેલા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શંકુ મોડેલની બાજુની સપાટીના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કર્યા પછી, દરેક જૂથનો પ્રતિનિધિ મોડેલ નંબરો અનુસાર બોર્ડ પરના કોષ્ટકમાં ગણતરીઓનું પરિણામ લખે છે. દરેક લાઇનમાં ગણતરીના પરિણામો સમાન હોવા જોઈએ. તેના આધારે, શિક્ષક દરેક જૂથના નિષ્કર્ષની શુદ્ધતા નક્કી કરે છે. પરિણામ કોષ્ટક આના જેવું હોવું જોઈએ:

મોડલ પરિમાણો:

1. l=12 cm, φ =120°
2. l=10 cm, φ =150°
3. l=15 cm, φ =120°
4. l=10 cm, φ =170°
5. l=14 સે.મી., φ =110°

ગણતરીઓનો અંદાજ માપન ભૂલો સાથે સંકળાયેલ છે.

પરિણામોની તપાસ કર્યા પછી, શંકુની બાજુની અને કુલ સપાટીઓના વિસ્તારો માટેના સૂત્રોનું આઉટપુટ સ્ક્રીન પર દેખાય છે. (સ્લાઇડ્સ 22-26), વિદ્યાર્થીઓ નોટબુકમાં નોંધો રાખે છે.

સ્ટેજ III. અભ્યાસ કરેલ સામગ્રીનું એકીકરણ.

1) વિદ્યાર્થીઓને ઓફર કરવામાં આવે છે તૈયાર રેખાંકનો પર મૌખિક ઉકેલ માટેની સમસ્યાઓ.

આકૃતિઓમાં બતાવેલ શંકુની સંપૂર્ણ સપાટીઓના વિસ્તારો શોધો (સ્લાઇડ્સ 27-32).

2) પ્રશ્ન:શું શંકુની સપાટીના વિસ્તારો સમાન છે? પરિભ્રમણ દ્વારા રચાય છેવિવિધ બાજુઓને સંબંધિત એક કાટકોણ ત્રિકોણ? વિદ્યાર્થીઓ એક પૂર્વધારણા સાથે આવે છે અને તેનું પરીક્ષણ કરે છે. પૂર્વધારણાની ચકાસણી સમસ્યાઓ હલ કરીને અને વિદ્યાર્થી દ્વારા બોર્ડ પર લખીને કરવામાં આવે છે.

આપેલ:Δ ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;

ВАА", АВВ" – પરિભ્રમણના શરીર.

શોધો: S PPK 1, S PPK 2.

આકૃતિ 5. (સ્લાઇડ 33)

ઉકેલ:

1) R=BC = એ; S PPK 1 = S BOD 1 + S મુખ્ય 1 = π a c + π a 2 = π a (a + c).

2) R=AC = b; S PPK 2 = S BOD 2 + S આધાર 2 = π b c+π b 2 = π b (b + c).

જો S PPK 1 = S PPK 2, તો a 2 +ac = b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc = 0, (a-b)(a+b+c) = 0.કારણ કે a, b, c -સકારાત્મક સંખ્યાઓ (ત્રિકોણની બાજુઓની લંબાઈ), સમાનતા તો જ સાચી છે a =b

નિષ્કર્ષ:ત્રિકોણની બાજુઓ સમાન હોય તો જ બે શંકુના સપાટીના વિસ્તારો સમાન હોય છે. (સ્લાઇડ 34)

3) પાઠ્યપુસ્તકમાંથી સમસ્યાનું નિરાકરણ: ​​નંબર 565.

સ્ટેજ IV. પાઠનો સારાંશ.

હોમવર્ક: ફકરા 55, 56; નંબર 548, નંબર 561. (સ્લાઇડ 35)

સોંપેલ ગ્રેડની જાહેરાત.

પાઠ દરમિયાન નિષ્કર્ષ, પાઠ દરમિયાન પ્રાપ્ત મુખ્ય માહિતીનું પુનરાવર્તન.

સાહિત્ય (સ્લાઇડ 36)

1. ભૂમિતિ ગ્રેડ 10-11 - એટાનાસ્યાન, વી.એફ. બુતુઝોવ, એસ.બી. કડોમત્સેવ એટ અલ., "પ્રોવેશેની", 2008.
2. « ગાણિતિક કોયડાઓઅને ચેરેડ્સ” - એન.વી. ઉદાલ્ટ્સોવા, પુસ્તકાલય “સપ્ટેમ્બરની પ્રથમ”, શ્રેણી “ગણિત”, અંક 35, એમ., ચિસ્તે પ્રુડી, 2010.

આજે અમે તમને કહીશું કે શંકુનું જનરેટિક્સ કેવી રીતે શોધવું, જે ઘણી વખત જરૂરી છે શાળા સમસ્યાઓભૂમિતિમાં.

શંકુ જનરેટિક્સનો ખ્યાલ

જમણો શંકુ એ એક આકૃતિ છે જે તેના પગમાંથી એકની ફરતે કાટખૂણ ત્રિકોણ ફેરવીને મેળવવામાં આવે છે. શંકુનો આધાર વર્તુળ બનાવે છે. શંકુનો વર્ટિકલ વિભાગ ત્રિકોણ છે, આડો વિભાગ એક વર્તુળ છે. શંકુની ઊંચાઈ એ શંકુની ટોચને આધારની મધ્યમાં જોડતો ભાગ છે. શંકુનું જનરેટિક્સ એ એક સેગમેન્ટ છે જે શંકુના શિરોબિંદુને આધાર વર્તુળની રેખા પરના કોઈપણ બિંદુ સાથે જોડે છે.

કાટકોણ ત્રિકોણને ફેરવવાથી શંકુ રચાય છે, તે તારણ આપે છે કે આવા ત્રિકોણનો પ્રથમ પગ એ ઊંચાઈ છે, બીજો પાયા પર આવેલા વર્તુળની ત્રિજ્યા છે, અને કર્ણ એ શંકુનું જનરેટિક્સ છે. અનુમાન લગાવવું મુશ્કેલ નથી કે પાયથાગોરિયન પ્રમેય જનરેટરની લંબાઈની ગણતરી માટે ઉપયોગી છે. અને હવે શંકુના જનરેટિક્સની લંબાઈ કેવી રીતે શોધવી તે વિશે વધુ.

જનરેટર શોધવી

જનરેટર કેવી રીતે શોધવું તે સમજવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો છે ચોક્કસ ઉદાહરણ. ધારો કે સમસ્યાની નીચેની શરતો આપવામાં આવી છે: ઊંચાઈ 9 સેમી છે, બેઝ સર્કલનો વ્યાસ 18 સેમી છે.

તેથી, શંકુની ઊંચાઈ (9 સે.મી.) એ જમણા ત્રિકોણનો એક પગ છે જેની મદદથી આ શંકુ રચાયો હતો. બીજો પગ આધાર વર્તુળની ત્રિજ્યા હશે. ત્રિજ્યા અડધો વ્યાસ છે. આમ, આપણે આપેલા વ્યાસને અડધા ભાગમાં વહેંચીએ છીએ અને ત્રિજ્યાની લંબાઈ મેળવીએ છીએ: 18:2 = 9. ત્રિજ્યા 9 છે.

હવે શંકુનું જનરેટરિક્સ શોધવું ખૂબ જ સરળ છે. કારણ કે તે કર્ણ છે, તેની લંબાઈનો ચોરસ હશે સરવાળો સમાનપગના ચોરસ, એટલે કે ત્રિજ્યા અને ઊંચાઈના ચોરસનો સરવાળો. તેથી, જનરેટિક્સની લંબાઈનો વર્ગ = 64 (ત્રિજ્યાની લંબાઈનો વર્ગ) + 64 (ઊંચાઈની લંબાઈનો વર્ગ) = 64x2 = 128. હવે આપણે કાઢીએ છીએ. વર્ગમૂળ 128 થી. પરિણામે, આપણને બેમાંથી આઠ મૂળ મળે છે. આ શંકુનું જનરેટરિક્સ હશે.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, આમાં કંઈ જટિલ નથી. ઉદાહરણ તરીકે, અમે લીધો સરળ શરતોજોકે કાર્યો શાળા અભ્યાસક્રમતેઓ વધુ જટિલ હોઈ શકે છે. યાદ રાખો કે જનરેટિક્સની લંબાઈની ગણતરી કરવા માટે તમારે વર્તુળની ત્રિજ્યા અને શંકુની ઊંચાઈ શોધવાની જરૂર છે. આ ડેટાને જાણીને, જનરેટિક્સની લંબાઈ શોધવાનું સરળ છે.