બધા શક્ય કેસો સંબંધિત સ્થિતિઅવકાશમાં સીધી રેખા અને વિમાન :
એક સીધી રેખા પ્લેન પર આવેલું છે જો લાઇન પરના તમામ બિંદુઓ પ્લેનના છે.
ટિપ્પણી . પ્લેન પર લાઇન પડે તે માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે આ રેખાના કોઈપણ બે બિંદુઓ આ પ્લેન સાથે સંબંધિત છે.
જો સીધી રેખા અને સમતલ હોય તો એક સીધી રેખા વિમાનને છેદે છે એકમાત્ર સામાન્ય મુદ્દો
એક સીધી રેખા એ પ્લેનની સમાંતર હોય છે જો સીધી રેખા અને પ્લેન હોય નથી સામાન્ય બિંદુઓ . (તેઓ છેદતા નથી
વિધાન 1 . ચાલો ધારીએ કે સીધી રેખા aઅને પ્લેન α સમાંતર છે, અને પ્લેન β રેખામાંથી પસાર થાય છે aપછી બે કિસ્સાઓ શક્ય છે:
પરંતુ પછી સમયગાળો પીરેખાના આંતરછેદ બિંદુ તરીકે બહાર આવે છે aઅને પ્લેન α, અને આપણને એ હકીકત સાથે વિરોધાભાસ મળે છે કે સીધી રેખા aઅને પ્લેન α સમાંતર છે. પરિણામી વિરોધાભાસ વિધાન 1 ના પુરાવાને પૂર્ણ કરે છે.
વિધાન 2 (રેખા અને પ્લેનની સમાંતરતાની નિશાની) . જો સીધા aપ્લેન α માં પડેલું નથી, અમુક રેખાની સમાંતર bપ્લેનમાં પડેલો α, પછી સીધી રેખા aઅને પ્લેન α સમાંતર છે.
પુરાવો. ચાલો આપણે “વિરોધાભાસ દ્વારા” સીધી રેખા અને પ્લેનની સમાંતરતાની નિશાની સાબિત કરીએ. ચાલો ધારીએ કે સીધી રેખા aપ્લેન α ને અમુક સમયે છેદે છે પી.ચાલો સમાંતર રેખાઓ દ્વારા સમતલ β દોરીએ aઅને b.
ડોટ પીસીધી રેખા પર આવેલું છે aઅને β પ્લેનથી સંબંધિત છે. પરંતુ ધારણા દ્વારા બિંદુ પીપ્લેન α થી સંબંધિત છે, તેથી બિંદુ પીસીધી રેખા પર આવેલું છે bજેની સાથે વિમાનો α અને β છેદે છે. જો કે, ડાયરેક્ટ aઅને bસ્થિતિ દ્વારા સમાંતર અને સામાન્ય બિંદુઓ હોઈ શકતા નથી.
પરિણામી વિરોધાભાસ રેખા અને પ્લેન માટે સમાનતાના માપદંડના પુરાવાને પૂર્ણ કરે છે.
પ્રમેય
- જો કોઈ વિમાનને છેદતી રેખા આ સમતલમાં પડેલી બે રેખાઓ પર લંબરૂપ હોય અને આ રેખા અને વિમાનના આંતરછેદના બિંદુમાંથી પસાર થતી હોય, તો તે વિમાનને લંબરૂપ છે.
- જો પ્લેન બે સમાંતર રેખાઓમાંથી એકને લંબરૂપ હોય, તો તે બીજી તરફ પણ લંબરૂપ હોય છે.
- જો બે રેખાઓ સમાન સમતલ પર લંબરૂપ હોય, તો તે સમાંતર છે.
- જો પ્લેનમાં પડેલી સીધી રેખા ઝોકવાળાના પ્રક્ષેપણ માટે લંબરૂપ હોય, તો તે ઝોકવાળાને પણ લંબરૂપ હોય છે.
- જો આપેલ સમતલમાં ન આવેલી રેખા આ સમતલમાં સ્થિત અમુક રેખાની સમાંતર હોય, તો તે આ સમતલની સમાંતર છે.
- જો કોઈ રેખા પ્લેનની સમાંતર હોય, તો તે આ પ્લેન પરની કેટલીક રેખાની સમાંતર હોય છે.
- જો રેખા અને વિમાન એક જ રેખા પર લંબ હોય, તો તે સમાંતર છે.
- પ્લેનની સમાંતર રેખાના તમામ બિંદુઓ આ પ્લેનથી સમાન રીતે દૂર છે.
વિડિયો કોર્સ "એક મેળવો" સફળ થવા માટે જરૂરી તમામ વિષયોનો સમાવેશ કરે છે યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પાસ કરવી 60-65 પોઈન્ટ માટે ગણિતમાં. સંપૂર્ણપણે તમામ સમસ્યાઓ 1-13 પ્રોફાઇલ યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાગણિતમાં. ગણિતમાં મૂળભૂત યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પાસ કરવા માટે પણ યોગ્ય. જો તમે 90-100 પોઈન્ટ્સ સાથે યુનિફાઈડ સ્ટેટ પરીક્ષા પાસ કરવા માંગતા હો, તો તમારે 30 મિનિટમાં અને ભૂલો વિના ભાગ 1 હલ કરવાની જરૂર છે!
ગ્રેડ 10-11, તેમજ શિક્ષકો માટે યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા માટે તૈયારીનો અભ્યાસક્રમ. ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાના ભાગ 1 (પ્રથમ 12 સમસ્યાઓ) અને સમસ્યા 13 (ત્રિકોણમિતિ) ઉકેલવા માટે તમારે જે બધું જોઈએ છે. અને આ યુનિફાઈડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં 70 થી વધુ પોઈન્ટ્સ છે, અને 100-પોઈન્ટનો વિદ્યાર્થી કે માનવતાનો વિદ્યાર્થી તેમના વિના કરી શકતો નથી.
બધા જરૂરી સિદ્ધાંત. ઝડપી રીતોઉકેલો, મુશ્કેલીઓ અને યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાના રહસ્યો. FIPI ટાસ્ક બેંકના ભાગ 1 ના તમામ વર્તમાન કાર્યોનું વિશ્લેષણ કરવામાં આવ્યું છે. અભ્યાસક્રમ યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા 2018 ની આવશ્યકતાઓનું સંપૂર્ણપણે પાલન કરે છે.
કોર્સમાં 5 છે મોટા વિષયો, 2.5 કલાક દરેક. દરેક વિષય શરૂઆતથી, સરળ અને સ્પષ્ટ રીતે આપવામાં આવ્યો છે.
સેંકડો યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા કાર્યો. શબ્દ સમસ્યાઓઅને સંભાવના સિદ્ધાંત. સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે સરળ અને યાદ રાખવામાં સરળ અલ્ગોરિધમ્સ. ભૂમિતિ. સિદ્ધાંત, સંદર્ભ સામગ્રી, તમામ પ્રકારના યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા કાર્યોનું વિશ્લેષણ. સ્ટીરીઓમેટ્રી. મુશ્કેલ ઉકેલો, ઉપયોગી ચીટ શીટ્સ, અવકાશી કલ્પનાનો વિકાસ. શરૂઆતથી સમસ્યા સુધીની ત્રિકોણમિતિ 13. ક્રેમિંગને બદલે સમજણ. વિઝ્યુઅલ સમજૂતી જટિલ ખ્યાલો. બીજગણિત. મૂળ, સત્તા અને લઘુગણક, કાર્ય અને વ્યુત્પન્ન. ઉકેલ માટે આધાર જટિલ કાર્યોયુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાના 2 ભાગો.
ભૂમિતિનો અભ્યાસક્રમ વ્યાપક, વિશાળ અને બહુપક્ષીય છે: તેમાં ઘણાનો સમાવેશ થાય છે વિવિધ વિષયો, નિયમો, પ્રમેય અને ઉપયોગી જ્ઞાન. કોઈ કલ્પના કરી શકે છે કે આપણા વિશ્વની દરેક વસ્તુમાં સરળ વસ્તુઓ હોય છે, સૌથી જટિલ વસ્તુઓ પણ. બિંદુઓ, સીધી રેખાઓ, વિમાનો - આ બધું તમારા જીવનમાં છે. અને તેઓ અવકાશમાં પદાર્થોના સંબંધને લગતા વિશ્વના હાલના કાયદાઓ માટે યોગ્ય છે. આ સાબિત કરવા માટે, તમે રેખાઓ અને વિમાનોની સમાનતા સાબિત કરવાનો પ્રયાસ કરી શકો છો.
સીધી રેખા એ એક રેખા છે જે ટૂંકા માર્ગ સાથે બે બિંદુઓને જોડે છે, અંત કર્યા વિના અને બંને બાજુએ અનંત સુધી વિસ્તરે છે. પ્લેન દ્વારા રચાયેલી સપાટી છે ગતિશીલ ચળવળમાર્ગદર્શિકા સાથે સીધી રેખા બનાવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો કોઈપણ બે સીધી રેખાઓ અવકાશમાં આંતરછેદ બિંદુ ધરાવે છે, તો તે સમાન સમતલમાં આવી શકે છે. જો કે, જો આ ડેટા આવા નિવેદન માટે પૂરતો ન હોય તો અમે સીધી રીતે કેવી રીતે વ્યક્ત કરી શકીએ?
સીધી રેખા અને વિમાનની સમાંતરતા માટેની મુખ્ય સ્થિતિ એ છે કે તેમની પાસે સામાન્ય બિંદુઓ નથી. રેખાઓથી વિપરીત, જે, સામાન્ય બિંદુઓની ગેરહાજરીમાં, સમાંતર ન હોઈ શકે, પરંતુ ભિન્ન હોય છે, પ્લેન દ્વિ-પરિમાણીય છે, જે વિવિધ રેખાઓના ખ્યાલને બાકાત રાખે છે. જો આ સ્થિતિસમાંતરતા જોવા મળતી નથી - આનો અર્થ એ છે કે રેખા છેદે છે આપેલ વિમાનકોઈપણ એક બિંદુ પર અથવા તેમાં સંપૂર્ણ રીતે આવેલું છે.
સીધી રેખા અને વિમાન વચ્ચેની સમાંતરતાની સ્થિતિ આપણને સૌથી સ્પષ્ટ રીતે શું બતાવે છે? હકીકત એ છે કે અવકાશમાં કોઈપણ બિંદુએ સમાંતર રેખા અને વિમાન વચ્ચેનું અંતર સ્થિર રહેશે. જો ત્યાં સહેજ પણ ઢોળાવ હોય, એક ડિગ્રીનો અબજમો ભાગ, તો પરસ્પર અનંતતાને કારણે સીધી રેખા વહેલા કે પછી વિમાનને છેદે છે. તેથી જ સીધી રેખા અને પ્લેન વચ્ચેની સમાંતરતા ફક્ત ત્યારે જ શક્ય છે જો આ નિયમનું અવલોકન કરવામાં આવે, અન્યથા તેની મુખ્ય સ્થિતિ - સામાન્ય બિંદુઓની ગેરહાજરી - પૂરી થશે નહીં.
રેખાઓ અને વિમાનોની સમાનતા વિશે વાત કરતી વખતે તમે શું ઉમેરી શકો છો? હકીકત એ છે કે જો સમાંતર રેખાઓમાંથી એક પ્લેનની છે, તો બીજી કાં તો પ્લેનની સમાંતર છે અથવા તેની પણ છે. આ કેવી રીતે સાબિત કરવું? આપેલ રેખાની સમાંતર રેખા ધરાવતી રેખા અને વિમાનની સમાંતરતા ખૂબ જ સરળ રીતે સાબિત થાય છે. કોઈ સામાન્ય બિંદુઓ નથી - તેથી, તેઓ છેદે નથી. અને જો કોઈ સીધી રેખા પ્લેનને એક બિંદુએ છેદતી નથી, તો તેનો અર્થ એ છે કે તે કાં તો સમાંતર છે અથવા પ્લેન પર આવેલું છે. આ ફરી એક વાર સીધી રેખા અને એવા પ્લેનની સમાંતરતા સાબિત કરે છે કે જેમાં આંતરછેદ બિંદુઓ નથી.
ભૂમિતિમાં એક પ્રમેય પણ છે જે જણાવે છે કે જો બે સમતલ હોય અને એક સીધી રેખા તે બંનેને લંબરૂપ હોય, તો વિમાનો સમાંતર હોય છે. સમાન પ્રમેય જણાવે છે કે જો બે રેખાઓ કોઈપણ એક સમતલ પર લંબરૂપ હોય, તો તે આવશ્યકપણે એકબીજાની સમાંતર હશે. શું આ પ્રમેય દ્વારા દર્શાવવામાં આવેલી રેખાઓ અને વિમાનોની સમાનતા સાચી અને સાબિત થઈ શકે છે?
તે તારણ આપે છે કે આ સાચું છે. સીધું, પ્લેન પર લંબરૂપ, આપેલ સમતલમાં રહેલ અને બીજી રેખા સાથે આંતરછેદ બિંદુ ધરાવતી કોઈપણ રેખા માટે હંમેશા સખત લંબરૂપ હશે. જો કોઈ સીધી રેખામાં અનેક વિમાનો સાથે સમાન આંતરછેદો હોય અને તે તમામ કિસ્સાઓમાં લંબરૂપ હોય, તો તેનો અર્થ એ છે કે આ તમામ વિમાનો એકબીજાના સમાંતર છે. એક સ્પષ્ટ ઉદાહરણબાળકોનો પિરામિડ સેવા આપી શકે છે: તેની ધરી ઇચ્છિત કાટખૂણે સીધી રેખા હશે, અને પિરામિડની રિંગ્સ પ્લેન હશે.
તેથી, રેખા અને વિમાનની સમાનતા સાબિત કરવી એકદમ સરળ છે. ભૂમિતિની મૂળભૂત બાબતોનો અભ્યાસ કરતી વખતે શાળાના બાળકો દ્વારા આ જ્ઞાન પ્રાપ્ત થાય છે અને મોટાભાગે સામગ્રીનું આગળનું શિક્ષણ નક્કી કરે છે. જો તમે તાલીમની શરૂઆતમાં મેળવેલા જ્ઞાનનો નિપુણતાથી ઉપયોગ કરી શકો છો, તો તમે ગમે ત્યાં કામ કરી શકશો મોટી સંખ્યામાંસૂત્રો અને બિનજરૂરી છોડો તાર્કિક જોડાણોતેમની વચ્ચે. મુખ્ય વસ્તુ એ મૂળભૂત બાબતોને સમજવાની છે. જો તે ત્યાં ન હોય, તો ભૂમિતિના અભ્યાસની તુલના પાયા વિનાના મકાન સાથે કરી શકાય છે. તેથી જ આ વિષયજરૂરી છે નજીકનું ધ્યાનઅને સંપૂર્ણ સંશોધન.
