અવકાશમાં સિલિન્ડરનું સૂત્ર. આ ક્ષણે તમારે શું કરવા સક્ષમ બનવાની જરૂર છે? આ સંદર્ભ સામગ્રી તેના એનાલોગથી કેવી રીતે અલગ છે?

વ્યાખ્યા 1. નળાકાર સપાટી એકબીજાની સમાંતર સીધી રેખાઓ દ્વારા રચાયેલી સપાટી છે, જેને તેનું કહેવાય છે રચના .

જો કોઈપણ સમતલ રચના કરતી નળાકાર સપાટીઓને છેદે છે, તો તેને રેખા સાથે છેદે છે આર, પછી આ રેખા કહેવામાં આવે છે માર્ગદર્શિકા આ નળાકાર સપાટી.

પ્રમેય . જો કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ અને પ્લેનમાં સમીકરણ અવકાશમાં રજૂ કરવામાં આવે તો xOyઅમુક રેખાનું સમીકરણ છે આર, તો અવકાશમાં આ સમીકરણ એ નળાકાર સપાટીનું સમીકરણ છે એલમાર્ગદર્શિકા સાથે આર, અને જનરેટર ધરીની સમાંતર છે ઓઝ(ફિગ. 3.19, એ).

પુરાવો. ડોટ
નળાકાર સપાટી પર આવેલું છે એલજો અને માત્ર જો પ્રક્ષેપણ
પોઈન્ટ એમપ્લેન માટે xOyધરીની સમાંતર ઓઝલીટી પર આવેલું છે આર, એટલે કે જો અને માત્ર જો સમીકરણ ધરાવે છે
.

સમાન તારણો ફોર્મના સમીકરણો માટે ધરાવે છે
(ફિગ. 3.19, બી) અને
(ફિગ. 3.19, સી).

વ્યાખ્યા 2 . નળાકાર સપાટીઓ કે જેના માર્ગદર્શિકાઓ બીજા ક્રમની રેખાઓ છે તેને કહેવામાં આવે છે બીજા ક્રમની નળાકાર સપાટીઓ .

સેકન્ડ ઓર્ડર સિલિન્ડરના ત્રણ પ્રકાર છે: લંબગોળ (ફિગ. 3.20)

, (5.42)

અતિશય (ફિગ. 3.21)

, (5.43)

પેરાબોલિક (ફિગ. 3.22)

. (5.44)

ચોખા. 3.20 ફિગ. 3.21 ફિગ. 3.22

સિલિન્ડરો માટે, સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવે છે(5.42), (5.43) અને (5.44), માર્ગદર્શિકા રેખાઓ અનુક્રમે લંબગોળ છે

,

અતિશય

,

પેરાબોલા

,

અને જનરેટર ધરીની સમાંતર છે ઓઝ.

ટિપ્પણી. જેમ આપણે જોયું તેમ, બીજા ક્રમની શંક્વાકાર અને નળાકાર સપાટીઓ પર રેક્ટીલીનિયર જનરેટર હોય છે, અને આ દરેક સપાટી અવકાશમાં સીધી રેખાની હિલચાલ દ્વારા રચી શકાય છે.

તે તારણ આપે છે કે તમામ સેકન્ડ-ઓર્ડર સપાટીઓમાં, સિલિન્ડર અને શંકુ ઉપરાંત, સિંગલ-શીટ હાઇપરબોલોઇડ અને હાઇપરબોલિક પેરાબોલોઇડમાં પણ રેક્ટિલિનિયર જનરેટર હોય છે, અને, જેમ કે સિલિન્ડર અને શંકુના કિસ્સામાં, આ બંને અવકાશમાં સીધી રેખાની હિલચાલ દ્વારા સપાટીઓ રચી શકાય છે (જુઓ. વિશેષ સાહિત્ય).

§4. સામાન્ય સેકન્ડ-ઓર્ડર સપાટી સમીકરણને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડવું

IN સામાન્ય સમીકરણબીજા ક્રમની સપાટીઓ

એ) ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ

જ્યાં
;

b) રેખીય સ્વરૂપ

જ્યાં
;

c) મફત સભ્ય .

સમીકરણ (5.45) ને પ્રામાણિક સ્વરૂપમાં લાવવા માટે, સૌ પ્રથમ, આવા સંકલન રૂપાંતરણને હાથ ધરવા જરૂરી છે.
, અને, પરિણામે, સંકળાયેલ ઓર્થોનોર્મલ આધાર
, જે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ (5.46) ને રૂપાંતરિત કરે છે પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ(પુસ્તક 2, પ્રકરણ 8, §3, કલમ 3.1 જુઓ).

આ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ છે

,

જ્યાં, એટલે કે મેટ્રિક્સ એ- સપ્રમાણ. ચાલો દ્વારા સૂચિત કરીએ
eigenvalues, અને મારફતે
મેટ્રિક્સના ઇજેનવેક્ટરનો બનેલો ઓર્થોનોર્મલ આધાર એ.દો

–

આધારથી સંક્રમણ મેટ્રિક્સ
આધાર માટે
, એ
– આ આધાર સાથે સંકળાયેલ નવી કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ.

પછી, કોઓર્ડિનેટ્સનું પરિવર્તન કરતી વખતે

(5.48)

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ (5.46) પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ લે છે

જ્યાં
.

હવે, કોઓર્ડિનેટ ટ્રાન્સફોર્મેશન (5.48) ને રેખીય સ્વરૂપ (5.47) પર લાગુ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ.

જ્યાં
,
- નવા ફોર્મ ગુણાંક (5.47).

આમ, સમીકરણ (5.45) સ્વરૂપ લે છે

+.

આ સમીકરણને ઘટાડી શકાય છે પ્રમાણભૂત સ્વરૂપસૂત્રો અનુસાર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમના સમાંતર ટ્રાન્સફરનો ઉપયોગ કરીને

અથવા (5.49)

દ્વારા કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ ટ્રાન્સફોર્મેશન કર્યા પછી સમાંતર ટ્રાન્સફર(5.49), સામાન્ય સેકન્ડ-ઓર્ડર સપાટી સમીકરણ (5.45) કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમના સંદર્ભમાં
નીચેની સત્તર સપાટીઓમાંથી એકને વ્યક્ત કરશે:

1) લંબગોળ

2) કાલ્પનિક લંબગોળ

3) સિંગલ-શીટ હાઇપરબોલોઇડ

4) બે-શીટ હાઇપરબોલોઇડ

5) શંકુ

6) કાલ્પનિક શંકુ

7) લંબગોળ પેરાબોલોઇડ

8) હાયપરબોલિક પેરાબોલોઇડ

9) લંબગોળ સિલિન્ડર

10) કાલ્પનિક લંબગોળ સિલિન્ડર

11) બે કાલ્પનિક છેદતી વિમાનો

12) હાયપરબોલિક સિલિન્ડર

13) બે છેદતી વિમાનો

14) પેરાબોલિક સિલિન્ડર

15) બે સમાંતર વિમાનો

16) બે કાલ્પનિક સમાંતર વિમાનો

17) બે એકરૂપ વિમાનો

ઉદાહરણ.કાર્ટેશિયન લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીને સંબંધિત વ્યાખ્યાયિત સપાટીનો પ્રકાર અને સ્થાન નક્કી કરો
અને સંકળાયેલ ઓર્થોનોર્મલ આધાર
સમીકરણ

ચાલો ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ આપીએ

(5.51)

પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં. આ ફોર્મના મેટ્રિક્સમાં ફોર્મ છે

.

ચાલો લાક્ષણિક સમીકરણ પરથી આ મેટ્રિક્સના ઇજનવેલ્યુ નક્કી કરીએ

અહીંથી  1 = 2,  2 = 0,  3 = 3.

હવે આપણે શોધીએ છીએ eigenvectorsમેટ્રિસિસ એ: 1) દો
, પછી સમીકરણમાંથી
અથવા સંકલન સ્વરૂપમાં

ક્યાં શોધો
- કોઈપણ સંખ્યા, અને તેથી
, એ
. કોલિનિયર વેક્ટરના સમગ્ર સમૂહમાંથી વેક્ટર પસંદ કરો
, જેનું મોડ્યુલસ
, એટલે કે વેક્ટરને સામાન્ય બનાવો .

2) માટે
અમારી પાસે છે

.

અહીંથી
, ક્યાં
- કોઈપણ નંબર. પછી
, એ
. વેક્ટરને સામાન્ય બનાવવું , એકમ વેક્ટર શોધો :

,

જ્યાં
.

3)
, પછી ઘટકો માટે
વેક્ટર અમારી પાસે સિસ્ટમ છે

ક્યાંથી, ક્યાંથી
- કોઈપણ સંખ્યા, અને તેથી
, એ
. વેક્ટરને સામાન્ય બનાવવું , એકમ વેક્ટર શોધો વેક્ટર દ્વારા આપવામાં આવેલ દિશા માટે :

જ્યાં
.

ચાલો હવે ઓર્થોનોર્મલ આધાર પરથી આગળ વધીએ
ઓર્થોનોર્મલ ધોરણે
, મેટ્રિક્સના eigenvectors થી બનેલું છે એઅને છેલ્લા આધાર સાથે નવી કાર્ટેશિયન લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ સાથે જોડાય છે
. આવા પરિવર્તન માટે સંક્રમણ મેટ્રિક્સનું સ્વરૂપ છે

,

અને કોઓર્ડિનેટ્સ સૂત્રો અનુસાર રૂપાંતરિત થાય છે

(5.52)

આ સંકલન પરિવર્તનને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ (5.51) પર લાગુ કરીને, અમે તેને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડીએ છીએ.

, ક્યાં
.

ચાલો હવે નક્કી કરીએ કે રેખીય સૂત્રનું સ્વરૂપ શું છે

, ક્યાં
,

જો કોઓર્ડિનેટ્સ ફોર્મ્યુલા (5.52) અનુસાર રૂપાંતરિત થાય છે. અમારી પાસે છે

આમ, જો સંકલન તંત્ર
ફોર્મ્યુલા (5.52) નો ઉપયોગ કરીને રૂપાંતર કરો, પછી નવી કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ સાથે સંબંધિત
વિચારણા હેઠળની બીજી ક્રમની સપાટી સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે

સમીકરણ (5.53) ફોર્મ્યુલા અનુસાર સંકલન પ્રણાલીના સમાંતર સ્થાનાંતરણનો ઉપયોગ કરીને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડો થાય છે.

જે પછી, કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમને સંબંધિત સપાટીનું સમીકરણ
ફોર્મ લે છે

અથવા

આ સમીકરણ એક લંબગોળ સિલિન્ડરને વ્યક્ત કરે છે જેની માર્ગદર્શિકા લંબગોળ પર સ્થિત છે સંકલન વિમાન
, અને પેદા કરતી રેખાઓ ધરીની સમાંતર હોય છે

ટિપ્પણી. સેકન્ડ-ઓર્ડર સપાટીના સામાન્ય સમીકરણને કેનોનિકલ સ્વરૂપમાં ઘટાડવા માટેની યોજના, આ વિભાગમાં દર્શાવેલ છે, તે બીજા-ક્રમના વળાંકના સામાન્ય સમીકરણને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડવા માટે લાગુ કરી શકાય છે.

લંબગોળ સમીકરણ:

એક ખાસ કેસ લંબગોળ સિલિન્ડરછે ગોળાકાર સિલિન્ડર , તેનું સમીકરણ x 2 + y 2 = R 2 છે. સમીકરણ x 2 =2pz અવકાશમાં વ્યાખ્યાયિત કરે છે પેરાબોલિક સિલિન્ડર.

સમીકરણ: અવકાશમાં વ્યાખ્યાયિત કરે છે હાયપરબોલિક સિલિન્ડર .

આ તમામ સપાટીઓ કહેવામાં આવે છે બીજા ક્રમના સિલિન્ડરો, કારણ કે તેમના સમીકરણો વર્તમાન કોઓર્ડિનેટ્સ x, y, z ના સંદર્ભમાં બીજી ડિગ્રીના સમીકરણો છે.

18. વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, જટિલ સંખ્યાઓ જટિલ સંખ્યાઓ પરની ક્રિયાઓ. જટિલ સંખ્યાઓ. મોઇવરના સૂત્રો.
જટિલ સંખ્યાનામ z=x+iy ફોર્મની અભિવ્યક્તિ, જ્યાં x અને y છે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, અને હું કહેવાતો છે કાલ્પનિક એકમ, . જો x=0, તો નંબર 0+iy=iy કહેવાય. કાલ્પનિક સંખ્યા; જો y=0 હોય, તો સંખ્યા x+i0=x વાસ્તવિક સંખ્યા x સાથે ઓળખાય છે, જેનો અર્થ છે કે સેટ Rall વાસ્તવિક છે. ઘટનાની સંખ્યા તમામ જટિલ સંખ્યાઓના સમૂહ C નો સબસેટ, એટલે કે. .નંબર x નામ. વાસ્તવિક ભાગ z, .બે જટિલ સંખ્યાઓ અને સમાન (z1=z2) કહેવાય છે જો અને માત્ર જો તેમના વાસ્તવિક ભાગો સમાન હોય અને તેમના કાલ્પનિક ભાગો સમાન હોય: x1=x2, y1=y2. ખાસ કરીને, જટિલ સંખ્યા Z=x+iy શૂન્યની બરાબર છે જો અને માત્ર જો x=y=0 હોય. જટિલ સંખ્યાઓ માટે "વધુ" અને "ઓછા" ની વિભાવનાઓ રજૂ કરવામાં આવી નથી. બે જટિલ સંખ્યાઓ z = x + iy и , જે ફક્ત કાલ્પનિક ભાગની નિશાનીમાં અલગ હોય છે, તેને સંયોજક કહેવામાં આવે છે.

ભૌમિતિક છબીજટિલ સંખ્યાઓ.

કોઈપણ જટિલ સંખ્યા z=x+iy ઓક્સી સમતલના બિંદુ M(x,y) દ્વારા દર્શાવી શકાય છે જેમ કે x=Rez, y=Imz. અને, તેનાથી વિપરિત, કોઓર્ડિનેટ પ્લેનનો દરેક બિંદુ M(x;y) એક છબી તરીકે ગણી શકાય જટિલ સંખ્યા z=x+iy. પ્લેન કે જેના પર જટિલ સંખ્યાઓ દર્શાવવામાં આવે છે તેને કહેવામાં આવે છે જટિલ વિમાન, કારણ કે તેમાં વાસ્તવિક સંખ્યાઓ z=x+0i=x છે. ઓર્ડિનેટ અક્ષને કાલ્પનિક અક્ષ કહેવામાં આવે છે, કારણ કે તેના પર સંપૂર્ણ કાલ્પનિક જટિલ સંખ્યાઓ z=0+iy આવેલી છે. જટિલ સંખ્યા Z=x+iy ત્રિજ્યા વેક્ટર r=OM=(x,y) નો ઉપયોગ કરીને સ્પષ્ટ કરી શકાય છે. જટિલ સંખ્યા z રજૂ કરતા વેક્ટર r ની લંબાઈને આ સંખ્યાનું મોડ્યુલસ કહેવામાં આવે છે અને તેને |z| દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે. અથવા આર. વચ્ચેના ખૂણાનું કદ દિશા વાસ્તવિક ધરીઅને જટિલ સંખ્યાનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા વેક્ટર r ને આ જટિલ સંખ્યાની દલીલ કહેવામાં આવે છે, જે Argz દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે અથવા જટિલ સંખ્યા Z=0 ની દલીલ વ્યાખ્યાયિત નથી. જટિલ સંખ્યાની દલીલ એ બહુ-મૂલ્યવાળું જથ્થા છે અને તે એક શબ્દ સુધી નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે જ્યાં argz એ અંતરાલ () માં સમાયેલ દલીલનું મુખ્ય મૂલ્ય છે, એટલે કે. - (ક્યારેક દલીલનું મુખ્ય મૂલ્ય મૂલ્ય તરીકે લેવામાં આવે છે અંતરાલ સાથે સંબંધિત (0; )).

નંબર z ને z=x+iy સ્વરૂપમાં લખવાનું કહેવાય છે બીજગણિત સ્વરૂપજટિલ સંખ્યા.

વિદ્યાર્થીઓ મોટેભાગે પ્રથમ વર્ષમાં 2જી ક્રમની સપાટીઓનો સામનો કરે છે. શરૂઆતમાં, આ વિષય પરની સમસ્યાઓ સરળ લાગે છે, પરંતુ જેમ જેમ તમે ઉચ્ચ ગણિતનો અભ્યાસ કરો છો અને વૈજ્ઞાનિક બાજુમાં વધુ ઊંડાણપૂર્વક અભ્યાસ કરો છો, તમે આખરે શું થઈ રહ્યું છે તેનો ટ્રેક ગુમાવી શકો છો. આને થતું અટકાવવા માટે, તમારે માત્ર યાદ રાખવાની જરૂર નથી, પરંતુ તે સમજવાની જરૂર છે કે આ અથવા તે સપાટી કેવી રીતે પ્રાપ્ત થાય છે, બદલાતા ગુણાંક તેના પર અને મૂળ સંકલન પ્રણાલીની તુલનામાં તેના સ્થાનને કેવી રીતે અસર કરે છે અને તે કેવી રીતે શોધવું. નવી સિસ્ટમ(જેમાં તેનું કેન્દ્ર કોઓર્ડિનેટ્સની ઉત્પત્તિ સાથે એકરુપ હોય છે અને તેમાંથી એકની સમાંતર હોય છે. સંકલન અક્ષો). ચાલો શરૂઆતથી જ શરૂ કરીએ.

વ્યાખ્યા

2જી ક્રમની સપાટીને GMT કહેવામાં આવે છે, જેના કોઓર્ડિનેટ્સ નીચેના ફોર્મના સામાન્ય સમીકરણને સંતોષે છે:

તે સ્પષ્ટ છે કે સપાટી સાથે જોડાયેલા દરેક બિંદુમાં અમુક નિયુક્ત ધોરણે ત્રણ કોઓર્ડિનેટ્સ હોવા આવશ્યક છે. જોકે કેટલાક કિસ્સાઓમાં લોકસબિંદુઓ અધોગતિ કરી શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, પ્લેનમાં. આનો અર્થ એ થાય છે કે અનુમતિપાત્ર મૂલ્યોની સમગ્ર શ્રેણીમાં એક કોઓર્ડિનેટ્સ સ્થિર અને શૂન્યની બરાબર છે.

ઉપરોક્ત સમાનતાનું સંપૂર્ણ લેખિત સ્વરૂપ આના જેવું દેખાય છે:

A 11 x 2 +A 22 y 2 +A 33 z 2 +2A 12 xy+2A 23 yz+2A 13 xz+2A 14 x+2A 24 y+2A 34 z+A 44 =0.

A nm - કેટલાક સ્થિરાંકો, x, y, z - અનુરૂપ ચલ affine કોઓર્ડિનેટ્સકોઈપણ બિંદુ. આ કિસ્સામાં, ઓછામાં ઓછા એક સતત પરિબળો ન હોવા જોઈએ શૂન્ય બરાબર, એટલે કે, કોઈપણ બિંદુ સમીકરણને અનુરૂપ રહેશે નહીં.

મોટા ભાગના ઉદાહરણોમાં, ઘણા સંખ્યાત્મક પરિબળો હજુ પણ શૂન્ય સમાન છે, અને સમીકરણ નોંધપાત્ર રીતે સરળ છે. વ્યવહારમાં, બિંદુ સપાટીથી સંબંધિત છે કે કેમ તે નિર્ધારિત કરવું મુશ્કેલ નથી (તેના કોઓર્ડિનેટ્સને સમીકરણમાં બદલવા અને ઓળખ ધરાવે છે કે કેમ તે તપાસવા માટે તે પૂરતું છે). મુખ્ય મુદ્દોઆવા કામમાં બાદમાં પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લાવવાનું છે.

ઉપર લખેલ સમીકરણ કોઈપણ (નીચે સૂચિબદ્ધ તમામ) 2જી ક્રમની સપાટીઓને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. ચાલો નીચેના ઉદાહરણો જોઈએ.

2જી ક્રમની સપાટીઓના પ્રકાર

2જી ક્રમની સપાટીઓના સમીકરણો A nm ગુણાંકના મૂલ્યોમાં જ અલગ પડે છે. થી સામાન્ય દૃશ્યસ્થિરાંકોના ચોક્કસ મૂલ્યો પર, વિવિધ સપાટીઓ મેળવી શકાય છે, જેનું વર્ગીકરણ નીચે મુજબ છે:

1. સિલિન્ડરો.
2. લંબગોળ પ્રકાર.
3. હાયપરબોલિક પ્રકાર.
4. શંક્વાકાર પ્રકાર.
5. પેરાબોલિક પ્રકાર.
6. વિમાનો.

સૂચિબદ્ધ દરેક પ્રકારો કુદરતી અને કાલ્પનિક સ્વરૂપ ધરાવે છે: કાલ્પનિક સ્વરૂપમાં, વાસ્તવિક બિંદુઓનું સ્થાન કાં તો વધુ અધોગતિ પામે છે. એક સરળ આકૃતિ, અથવા સંપૂર્ણપણે ગેરહાજર છે.

સિલિન્ડરો

આ સૌથી સરળ પ્રકાર છે, કારણ કે પ્રમાણમાં જટિલ વળાંક ફક્ત પાયા પર રહેલો છે, જે માર્ગદર્શક તરીકે કાર્ય કરે છે. જનરેટર સીધી રેખાઓ છે, લંબરૂપ વિમાનો, જેમાં આધાર રહેલો છે.

ગ્રાફ ગોળાકાર સિલિન્ડર બતાવે છે - ખાસ કેસલંબગોળ સિલિન્ડર. XY પ્લેનમાં, તેનું પ્રક્ષેપણ એક લંબગોળ હશે (અમારા કિસ્સામાં, એક વર્તુળ) - એક માર્ગદર્શિકા, અને XZ માં - એક લંબચોરસ - કારણ કે જનરેટર્સ Z અક્ષની સમાંતર છે, તેને સામાન્ય સમીકરણમાંથી મેળવવા માટે ગુણાંકને નીચેના મૂલ્યો આપવા માટે જરૂરી છે:

સામાન્ય પ્રતીકોને બદલે x, y, z, x's with સીરીયલ નંબર- તે વાંધો નથી.

વાસ્તવમાં, અહીં દર્શાવેલ 1/a 2 અને અન્ય સ્થિરાંકો સામાન્ય સમીકરણમાં દર્શાવેલ સમાન ગુણાંક છે, પરંતુ તેમને બરાબર આ સ્વરૂપમાં લખવાનો રિવાજ છે - આ છે પ્રમાણભૂત રજૂઆત. નીચેનામાં, આ પ્રકારની એન્ટ્રીનો વિશેષ ઉપયોગ કરવામાં આવશે.

આ હાઇપરબોલિક સિલિન્ડરને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. યોજના સમાન છે - હાયપરબોલ માર્ગદર્શિકા હશે.

પેરાબોલિક સિલિન્ડરને થોડી અલગ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: તેના પ્રામાણિક સ્વરૂપમાં એક ગુણાંક p શામેલ છે, જેને પરિમાણ કહેવાય છે. વાસ્તવમાં, ગુણાંક q=2p ની બરાબર છે, પરંતુ તેને પ્રસ્તુત બે પરિબળોમાં વિભાજીત કરવાનો રિવાજ છે.

સિલિન્ડરનો બીજો પ્રકાર છે: કાલ્પનિક. આવા સિલિન્ડરનો કોઈ વાસ્તવિક બિંદુ નથી. તે લંબગોળ સિલિન્ડરના સમીકરણ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે, પરંતુ એકને બદલે -1 છે.

લંબગોળ પ્રકાર

લંબગોળને અક્ષોમાંથી એક સાથે ખેંચી શકાય છે (જેની સાથે તે ઉપર દર્શાવેલ સ્થિરાંક a, b, c ના મૂલ્યો પર આધાર રાખે છે; દેખીતી રીતે, મોટી અક્ષ મોટા ગુણાંકને અનુરૂપ હશે).

ત્યાં એક કાલ્પનિક લંબગોળ પણ છે - જો કે ગુણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરેલ કોઓર્ડિનેટ્સનો સરવાળો -1 ની બરાબર છે:

હાયપરબોલોઇડ્સ

જ્યારે કોઈ એક સ્થિરાંકમાં બાદબાકી દેખાય છે, ત્યારે લંબગોળનું સમીકરણ એક-શીટ હાઈપરબોલોઈડના સમીકરણમાં ફેરવાય છે. તમારે સમજવું જોઈએ કે આ માઈનસ x3 કોઓર્ડિનેટની સામે સ્થિત હોવું જરૂરી નથી! તે માત્ર નક્કી કરે છે કે કયો અક્ષ હાયપરબોલોઇડના પરિભ્રમણની અક્ષ હશે (અથવા તેની સમાંતર, કારણ કે જ્યારે વધારાના શબ્દો ચોરસમાં દેખાય છે (ઉદાહરણ તરીકે, (x-2) 2), ત્યારે આકૃતિનું કેન્દ્ર બદલાય છે, જેમ કે પરિણામે, સપાટી સંકલન અક્ષની સમાંતર ખસે છે). આ તમામ 2જી ઓર્ડર સપાટી પર લાગુ પડે છે.

વધુમાં, તમારે એ સમજવાની જરૂર છે કે સમીકરણો પ્રામાણિક સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે અને તે સ્થિરાંકોને અલગ કરીને બદલી શકાય છે (ચિહ્ન જાળવી રાખતી વખતે!); તે જ સમયે, તેમનો દેખાવ (હાયપરબોલોઇડ, શંકુ અને તેથી વધુ) સમાન રહેશે.

આવા સમીકરણ બે-શીટ હાઇપરબોલોઇડ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

શંક્વાકાર સપાટી

શંકુ સમીકરણમાં, કોઈ એકતા નથી - તે શૂન્યની બરાબર છે.

શંકુ માત્ર મર્યાદિત છે શંક્વાકાર સપાટી. નીચેનું ચિત્ર બતાવે છે કે, હકીકતમાં, ચાર્ટ પર બે કહેવાતા શંકુ હશે.

મહત્વની નોંધ: તમામ માનવામાં આવતા પ્રમાણભૂત સમીકરણોમાં, સ્થિરાંકો મૂળભૂત રીતે હકારાત્મક હોવાનું માનવામાં આવે છે. નહિંતર, ચિહ્ન અંતિમ ગ્રાફને અસર કરી શકે છે.

સંકલન વિમાનો શંકુની સમપ્રમાણતાના વિમાનો બની જાય છે, સપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર મૂળ પર સ્થિત છે.

કાલ્પનિક શંકુના સમીકરણમાં ફક્ત પ્લીસસ છે; તે એક વાસ્તવિક બિંદુ ધરાવે છે.

પેરાબોલોઇડ્સ

અવકાશમાં 2જી ક્રમની સપાટીઓ લઈ શકે છે વિવિધ આકારોસમાન સમીકરણો સાથે પણ. ઉદાહરણ તરીકે, પેરાબોલોઇડ્સ બે પ્રકારના આવે છે.

x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =2z

એક લંબગોળ પેરાબોલોઇડ, જ્યારે Z અક્ષ રેખાંકન પર લંબ હોય છે, ત્યારે તેને લંબગોળમાં પ્રક્ષેપિત કરવામાં આવશે.

x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =2z

હાઇપરબોલિક પેરાબોલોઇડ: ZY ની સમાંતર પ્લેનવાળા વિભાગોમાં, પેરાબોલાસ મેળવવામાં આવશે, અને XY ની સમાંતર પ્લેનવાળા વિભાગોમાં, હાઇપરબોલાસ મેળવવામાં આવશે.

છેદતી વિમાનો

એવા કિસ્સાઓ છે જ્યારે પ્લેનમાં 2જી ક્રમની સપાટીઓ ડિજનરેટ થાય છે. આ વિમાનોને વિવિધ રીતે ગોઠવી શકાય છે.

પહેલા આપણે છેદતા વિમાનો જોઈએ:

x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =0

પ્રામાણિક સમીકરણના આ ફેરફાર સાથે, આપણને ફક્ત બે છેદતા વિમાનો મળે છે (કાલ્પનિક!); બધા વાસ્તવિક બિંદુઓ સંકલનની અક્ષ પર છે જે સમીકરણમાં ગેરહાજર છે (કેનોનિકલ એકમાં - Z અક્ષ).

સમાંતર વિમાનો

જો ત્યાં માત્ર એક સંકલન હોય, તો 2જી ક્રમની સપાટીઓ જોડીમાં ક્ષીણ થઈ જાય છે સમાંતર વિમાનો. ભૂલશો નહીં, અન્ય કોઈપણ ચલ પ્લેયરનું સ્થાન લઈ શકે છે; પછી અન્ય અક્ષોની સમાંતર વિમાનો મેળવવામાં આવશે.

આ કિસ્સામાં તેઓ કાલ્પનિક બની જાય છે.

સાંયોગિક વિમાનો

આ સાથે સરળ સમીકરણવિમાનોની જોડી એકમાં અધોગતિ કરે છે - તે એકરૂપ થાય છે.

ભૂલશો નહીં કે ત્રિ-પરિમાણીય આધારના કિસ્સામાં, ઉપરોક્ત સમીકરણ સીધી રેખા y=0 નો ઉલ્લેખ કરતું નથી! તે અન્ય બે ચલો ખૂટે છે, પરંતુ તેનો અર્થ એ છે કે તેમની કિંમત સ્થિર છે અને શૂન્યની બરાબર છે.

બાંધકામ

વિદ્યાર્થી માટે સૌથી મુશ્કેલ કાર્યોમાંનું એક ચોક્કસપણે 2જી ક્રમની સપાટીઓનું નિર્માણ છે. અક્ષો અને કેન્દ્રના ઓફસેટને સંબંધિત વળાંકના ઝોકના ખૂણાઓને ધ્યાનમાં લેતા, એક સંકલન પ્રણાલીમાંથી બીજી તરફ જવાનું વધુ મુશ્કેલ છે. ચાલો સતત કેવી રીતે નક્કી કરવું તેની સમીક્ષા કરીએ ભાવિ દૃશ્યવિશ્લેષણાત્મક રીતે ચિત્રકામ.

2જી ક્રમની સપાટી બનાવવા માટે, તમારે આ કરવાની જરૂર છે:

• સમીકરણને પ્રામાણિક સ્વરૂપમાં લાવો;
• અભ્યાસ હેઠળની સપાટીનો પ્રકાર નક્કી કરો;
• ગુણાંકના મૂલ્યોના આધારે બિલ્ડ કરો.

નીચે બધા પ્રકારો ધ્યાનમાં લેવામાં આવ્યા છે:

આને મજબૂત કરવા માટે, અમે આ પ્રકારના કાર્યના એક ઉદાહરણનું વિગતવાર વર્ણન કરીશું.

ઉદાહરણો

ચાલો કહીએ કે અમારી પાસે સમીકરણ છે:

3(x 2 -2x+1)+6y 2 +2z 2 +60y+144=0

ચાલો તેને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લાવીએ. ચાલો સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરીએ, એટલે કે, આપણે હાલના પદોને એવી રીતે ગોઠવીશું કે તે સરવાળો અથવા તફાવતના વર્ગનું વિઘટન છે. ઉદાહરણ તરીકે: જો (a+1) 2 =a 2 +2a+1, તો a 2 +2a+1=(a+1) 2. અમે બીજું ઓપરેશન કરીશું. માં કૌંસ આ કિસ્સામાંતે જાહેર કરવું જરૂરી નથી, કારણ કે આ ફક્ત ગણતરીઓને જટિલ બનાવશે, પરંતુ બહાર લાવવા માટે સામાન્ય ગુણક 6 (સાથે કૌંસમાં સંપૂર્ણ ચોરસરમત) તમને જરૂર છે:

3(x-1) 2 +6(y+5) 2 +2z 2 =6

ચલ ઝેટ આ કિસ્સામાં માત્ર એક જ વાર દેખાય છે - તમે તેને હમણાં માટે એકલા છોડી શકો છો.

ચાલો આ તબક્કે સમીકરણનું પૃથ્થકરણ કરીએ: બધા અજ્ઞાતની સામે વત્તાનું ચિહ્ન હોય છે; છ પાન એક વડે ભાગવું. પરિણામે, આપણી સમક્ષ લંબગોળ વ્યાખ્યાયિત કરતું એક સમીકરણ છે.

નોંધ લો કે 144 ને 150-6 માં પરિબળ કરવામાં આવ્યું હતું, અને પછી -6 ને જમણી તરફ ખસેડવામાં આવ્યું હતું. શા માટે આ રીતે કરવું પડ્યું? દેખીતી રીતે સૌથી વધુ મોટા વિભાજકવી આ ઉદાહરણમાં-6, તેથી, તેના દ્વારા વિભાજન કર્યા પછી જમણી બાજુએ રહેવા માટે, 144 માંથી બરાબર 6 "બાજુ મૂકવું" જરૂરી છે (એક જમણી બાજુએ હોવું જોઈએ તે હકીકત હાજરી દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. મફત સભ્ય- અચળ અજ્ઞાત વડે ગુણાકાર થતો નથી).

ચાલો દરેક વસ્તુને છ વડે વિભાજીત કરીએ અને લંબગોળનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ મેળવીએ:

(x-1) 2 /2+(y+5) 2 /1+z 2 /3=1

2જી ક્રમની સપાટીઓના અગાઉ ઉપયોગમાં લેવાતા વર્ગીકરણમાં, જ્યારે આકૃતિનું કેન્દ્ર કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળ પર હોય ત્યારે એક વિશિષ્ટ કેસ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. આ ઉદાહરણમાં તે સરભર છે.

અમે ધારીએ છીએ કે અજ્ઞાત સાથે દરેક કૌંસ એક નવું ચલ છે. એટલે કે: a=x-1, b=y+5, c=z. નવા કોઓર્ડિનેટ્સમાં, લંબગોળનું કેન્દ્ર બિંદુ (0,0,0) સાથે એકરુપ છે, તેથી, a=b=c=0, જ્યાંથી: x=1, y=-5, z=0. પ્રારંભિક કોઓર્ડિનેટ્સમાં, આકૃતિનું કેન્દ્ર બિંદુ (1,-5,0) પર આવેલું છે.

લંબગોળ બે લંબગોળોમાંથી મેળવવામાં આવશે: પ્રથમ XY પ્લેનમાં અને બીજો XZ પ્લેનમાં (અથવા YZ - તે વાંધો નથી). ગુણાંક કે જેના દ્વારા ચલોને વિભાજિત કરવામાં આવે છે તે છે પ્રામાણિક સમીકરણચોરસ તેથી, ઉપરના ઉદાહરણમાં, બેના મૂળ, એક અને ત્રણના મૂળ વડે ભાગવું વધુ યોગ્ય રહેશે.

પ્રથમ અંડાકારની નાની અક્ષ, Y અક્ષની સમાંતર, બે જેટલી છે. મુખ્ય અક્ષ X અક્ષની સમાંતર છે - બેના બે મૂળ. બીજા લંબગોળની નાની અક્ષ, Y અક્ષની સમાંતર, સમાન રહે છે - તે બે બરાબર છે. એ મુખ્ય ધરી, Z અક્ષની સમાંતર, ત્રણના બે મૂળની બરાબર છે.

મૂળ સમીકરણમાંથી મેળવેલા ડેટાને પ્રામાણિક સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરીને તેનો ઉપયોગ કરીને, આપણે લંબગોળ દોરી શકીએ છીએ.

સારાંશ

આ લેખમાં આવરી લેવામાં આવેલ વિષય ખૂબ વ્યાપક છે, પરંતુ હકીકતમાં, તમે હવે જોઈ શકો છો, તે ખૂબ જટિલ નથી. તેનો વિકાસ, હકીકતમાં, તે ક્ષણે સમાપ્ત થાય છે જ્યારે તમે સપાટીઓના નામ અને સમીકરણોને યાદ કરો છો (અને, અલબત્ત, તેઓ કેવા દેખાય છે). ઉપરના ઉદાહરણમાં, અમે દરેક પગલાને વિગતવાર જોયું છે, પરંતુ સમીકરણને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લાવવા માટે ન્યૂનતમ જ્ઞાનની જરૂર છે ઉચ્ચ ગણિતઅને વિદ્યાર્થી માટે કોઈ મુશ્કેલી ઊભી થવી જોઈએ નહીં.

વર્તમાન સમાનતા પર આધારિત ભાવિ શેડ્યૂલનું વિશ્લેષણ પહેલાથી જ કરતાં વધુ છે મુશ્કેલ કાર્ય. પરંતુ તેને સફળતાપૂર્વક હલ કરવા માટે, તે સમજવા માટે પૂરતું છે કે અનુરૂપ બીજા-ક્રમના વળાંકો કેવી રીતે બનાવવામાં આવે છે - એલિપ્સ, પેરાબોલાસ અને અન્ય.

અધોગતિના કેસો વધુ સરળ વિભાગ છે. કેટલાક ચલોની ગેરહાજરીને કારણે, અગાઉ ઉલ્લેખ કર્યા મુજબ, માત્ર ગણતરીઓ જ સરળ નથી, પણ બાંધકામ પણ.

જલદી તમે વિશ્વાસપૂર્વક તમામ પ્રકારની સપાટીઓને નામ આપી શકો છો, સ્થિરાંકો બદલી શકો છો, ગ્રાફને એક અથવા બીજા આકારમાં ફેરવી શકો છો, વિષયમાં નિપુણતા પ્રાપ્ત થશે.

તમારા અભ્યાસમાં સારા નસીબ!