પેરાબોલાને લગતા બિંદુ પર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો. ઢાળ સાથે જોડાણ

ફિગ. 12 માં પ્રસ્તુત અલ્ગોરિધમ કહેવામાં આવે છે પૂર્વશરત સાથે ચક્રીય અલ્ગોરિધમ, કારણ કે સ્થિતિ લૂપની શરૂઆતમાં અથવા લૂપના પ્રવેશદ્વાર પર તપાસવામાં આવે છે. > x લૂપના પ્રવેશદ્વાર પર. જો શરત પૂરી થાય, તો બ્લોક 4 પર જાઓ, નહીં તો બ્લોક 6 પર જાઓ.

ચોથા બ્લોકમાં ચલની કિંમતની ગણતરી કરવામાં આવે છે ખાતે i= i+1 .

પાંચમો બ્લોક પરિણામ દર્શાવે છે:

ચલ મૂલ્ય ખાતે,

i.

ઉદાહરણ : ઉદાહરણનો બ્લોક ડાયાગ્રામ દોરો (આકૃતિ 12), લૂપમાંથી બહાર નીકળવાની સ્થિતિ તપાસો. આ ઉદાહરણમાં, સમસ્યાની સ્થિતિ બદલાતી નથી, અને પરિણામ સમાન હશે, પરંતુ ફ્લોચાર્ટ અલગ હશે.

ઉકેલ : આ કિસ્સામાં, લૂપમાંથી બહાર નીકળવાની સ્થિતિ તપાસવામાં આવે છે: y<=x . આ સ્થિતિ હેઠળ, લૂપ ચલાવવામાં આવતો નથી. ફ્લોચાર્ટમાંની સ્થિતિ છાપ્યા પછી, લૂપના અંતમાં ખસેડવી જોઈએ. શરત પૂરી થાય ત્યાં સુધી લૂપ ચાલે છે y>x.

અલ્ગોરિધમ, જો સ્થિતિને લૂપના અંતમાં ખસેડવામાં આવે છે, તો તેને કહેવામાં આવે છે પોસ્ટ કન્ડીશન સાથે લૂપ અલ્ગોરિધમ. આ કાર્ય માટેનું અલ્ગોરિધમ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યું છે. 13.

બીજા બ્લોકમાં તમે દાખલ કરો છો y=30 , x=4 .

ત્રીજો બ્લોક ચલની કિંમતની ગણતરી કરે છે ખાતે , પૂર્ણ થયેલ ચક્રની સંખ્યા ગણવામાં આવે છે i= i+1 .

ચોથો બ્લોક પરિણામ દર્શાવે છે:

ચલ મૂલ્ય ખાતે,

પૂર્ણ થયેલ ચક્રોની સંખ્યા i.

પાંચમા બ્લોકમાં સ્થિતિ તપાસવામાં આવે છે y <= x ચક્રમાંથી બહાર નીકળવા માટે. જો શરત પૂરી થાય છે, તો પછી બ્લોક 6 પર જાઓ, અન્યથા 3 ને અવરોધિત કરો અને ચક્ર પુનરાવર્તિત થાય છે.

ફિગ. 13. પોસ્ટ કન્ડીશન સાથે લૂપ અલ્ગોરિધમ

સુરક્ષા પ્રશ્નો

1. અલ્ગોરિધમનો ખ્યાલ.

2. એલ્ગોરિધમ્સના પ્રકાર.

3. મૂળભૂત અલ્ગોરિધમિક માળખાં.

4. ગ્રાફિકલ અલ્ગોરિધમના મૂળભૂત બ્લોક્સ.

5. રેખીય અલ્ગોરિધમિક માળખું. ઉદાહરણ.

6. શાખા. ઉદાહરણ.

7. ચક્રીય અલ્ગોરિધમિક માળખાં. ઉદાહરણ.

કમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનનો અભ્યાસ કરતી વખતે, અલ્ગોરિધમ્સ અને તેમના પ્રકારોના અભ્યાસ પર ઘણું ધ્યાન આપવામાં આવે છે. તેમના વિશે મૂળભૂત માહિતી જાણ્યા વિના, તમે પ્રોગ્રામ લખી શકતા નથી અથવા તેના ઓપરેશનનું વિશ્લેષણ કરી શકતા નથી. અલ્ગોરિધમનો અભ્યાસ શાળાના કોમ્પ્યુટર સાયન્સ કોર્સમાં શરૂ થાય છે. આજે આપણે અલ્ગોરિધમનો ખ્યાલ, અલ્ગોરિધમના ગુણધર્મો, પ્રકારો જોઈશું.

ખ્યાલ

અલ્ગોરિધમ એ ક્રિયાઓનો ચોક્કસ ક્રમ છે જે ચોક્કસ પરિણામની સિદ્ધિ તરફ દોરી જાય છે. અલ્ગોરિધમનું સંકલન કરતી વખતે, કલાકારની દરેક ક્રિયા વિગતવાર રીતે સૂચવવામાં આવે છે, જે પછીથી તેને કાર્યને હલ કરવા તરફ દોરી જશે.

ઘણી વાર, અમુક સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે ગણિતમાં ગાણિતીક નિયમોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. આમ, ઘણા લોકો ભેદભાવની શોધ સાથે ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટેનું અલ્ગોરિધમ જાણે છે.

ગુણધર્મો

કોમ્પ્યુટર સાયન્સમાં તેમને ધ્યાનમાં લેતા પહેલા, તેમના મૂળભૂત ગુણધર્મોને સ્પષ્ટ કરવું જરૂરી છે.

અલ્ગોરિધમ્સના મુખ્ય ગુણધર્મોમાં, નીચેનાને પ્રકાશિત કરવું જોઈએ:

• નિશ્ચયવાદ, એટલે કે નિશ્ચિતતા. મુદ્દો એ છે કે કોઈપણ અલ્ગોરિધમ પ્રારંભિક મુદ્દાઓને જોતાં ચોક્કસ પરિણામ મેળવવાનું ધારે છે.
• ઉત્પાદકતા. તેનો અર્થ એ છે કે, સંખ્યાબંધ પ્રારંભિક ડેટા આપવામાં આવે છે, સંખ્યાબંધ પગલાં પૂર્ણ કર્યા પછી, ચોક્કસ, અપેક્ષિત પરિણામ પ્રાપ્ત થશે.
• સામૂહિક પાત્ર. આપેલ પ્રકારની તમામ સમસ્યાઓને ઉકેલવા માટે એકવાર લખાયેલ અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરી શકાય છે.
• સમજદારી. તે સૂચવે છે કે કોઈપણ અલ્ગોરિધમને કેટલાક તબક્કામાં વિભાજિત કરી શકાય છે, જેમાંના દરેકનો પોતાનો હેતુ છે.

રેકોર્ડિંગ પદ્ધતિઓ

તમે કયા પ્રકારનાં કોમ્પ્યુટર સાયન્સ એલ્ગોરિધમ્સ જોઈ રહ્યાં છો તે ધ્યાનમાં લીધા વિના, તેમને લખવાની ઘણી રીતો છે.

1. મૌખિક.
2. સૂત્ર-મૌખિક.
3. ગ્રાફિક.
4. અલ્ગોરિધમ ભાષા.

મોટેભાગે, અલ્ગોરિધમને GOSTs દ્વારા નિશ્ચિત વિશિષ્ટ હોદ્દોનો ઉપયોગ કરીને બ્લોક ડાયાગ્રામના સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવે છે.

મુખ્ય પ્રકારો

ત્યાં ત્રણ મુખ્ય યોજનાઓ છે:

1. લીનિયર અલ્ગોરિધમ.
2. બ્રાન્ચિંગ અલ્ગોરિધમ, અથવા ડાળીઓવાળું.
3. ચક્રીય.

રેખીય

તે કોમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનમાં સૌથી સરળ માનવામાં આવે છે તેમાં ક્રિયાઓનો ક્રમ સામેલ છે. ચાલો આ પ્રકારના અલ્ગોરિધમનું સૌથી સરળ ઉદાહરણ આપીએ. ચાલો તેને "શાળા માટે તૈયાર થવું" કહીએ.

1. એલાર્મ ઘડિયાળ વાગે ત્યારે ઉઠો.

2. આપણે આપણી જાતને ધોઈએ છીએ.

3. તમારા દાંત સાફ કરો.

4. કસરત કરો.

5. પોશાક પહેરો.

6. અમે ખાય છે.

7. અમે અમારા જૂતા પહેરીએ છીએ અને શાળાએ જઈએ છીએ.

8. અલ્ગોરિધમનો અંત.

બ્રાન્ચિંગ એલ્ગોરિધમ

કોમ્પ્યુટર સાયન્સમાં એલ્ગોરિધમ્સના પ્રકારોને ધ્યાનમાં લેતી વખતે, કોઈ મદદ કરી શકતું નથી પરંતુ બ્રાન્ચિંગ સ્ટ્રક્ચરને યાદ કરી શકે છે. આ પ્રકાર એવી શરતનું અસ્તિત્વ ધારે છે કે જેના હેઠળ, જો તે પરિપૂર્ણ થાય, તો ક્રિયાઓ એક ક્રમમાં કરવામાં આવે છે, અને જો પરિપૂર્ણ ન થાય, તો બીજામાં.

ઉદાહરણ તરીકે, નીચેની પરિસ્થિતિ લો - એક રાહદારી રસ્તો ક્રોસ કરી રહ્યો છે.

1. અમે ટ્રાફિક લાઇટનો સંપર્ક કરીએ છીએ.

2. અમે ટ્રાફિક લાઇટ સિગ્નલ જોઈએ છીએ.

3. તે લીલું હોવું જોઈએ (આ એક શરત છે).

4. જો શરત પૂરી થાય, તો અમે રસ્તો ક્રોસ કરીએ છીએ.

4.1 જો નહિં, તો લીલી લાઈટ ચાલુ થાય ત્યાં સુધી રાહ જુઓ.

4.2 અમે રસ્તો ક્રોસ કરીએ છીએ.

5. અલ્ગોરિધમનો અંત.

રાઉન્ડ રોબિન અલ્ગોરિધમ

કોમ્પ્યુટર સાયન્સમાં એલ્ગોરિધમના પ્રકારોનો અભ્યાસ કરતી વખતે, તમારે આ અલ્ગોરિધમ પર વિગતવાર ધ્યાન આપવું જોઈએ જેમાં ચોક્કસ શરત પૂરી ન થાય ત્યાં સુધી કરવામાં આવતી ગણતરીઓ અથવા ક્રિયાઓનો એક વિભાગ શામેલ હોય છે.

ચાલો એક સરળ ઉદાહરણ લઈએ. જો સંખ્યાઓની શ્રૃંખલા 1 થી 100 સુધીની હોય. આપણે તે બધાને શોધવાની જરૂર છે, એટલે કે, જે એક અને પોતાને દ્વારા વિભાજ્ય છે. ચાલો અલ્ગોરિધમને "પ્રાઈમ નંબર્સ" કહીએ.

1. નંબર 1 લો.

2. તપાસો કે તે 100 થી ઓછું છે.

3. જો હા, તો તપાસો કે આ સંખ્યા પ્રાઇમ છે કે કેમ.

4. જો શરત પૂરી થઈ હોય, તો તેને લખો.

5. નંબર 2 લો.

6. તપાસો કે તે 100 કરતા ઓછી છે.

7. તપાસો કે શું તે સરળ છે.

…. ચાલો નંબર 8 લઈએ.

ચાલો તપાસીએ કે તે 100 થી ઓછું છે.

નંબર પ્રાઇમ છે કે કેમ તે તપાસી રહ્યું છે.

ના, ચાલો તેને છોડી દઈએ.

ચાલો નંબર 9 લઈએ.

આ રીતે આપણે 100 સુધીની તમામ સંખ્યાઓમાંથી પસાર થઈએ છીએ.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, પગલાં 1 - 4 ઘણી વખત પુનરાવર્તિત થશે.

ચક્રીય લોકોમાં, પૂર્વશરત સાથે અલ્ગોરિધમ્સ હોય છે, જ્યારે ચક્રની શરૂઆતમાં સ્થિતિની તપાસ કરવામાં આવે છે, અથવા પછીની સ્થિતિ સાથે, જ્યારે તપાસ ચક્રના અંતમાં થાય છે.

અન્ય વિકલ્પો

અલ્ગોરિધમ પણ મિશ્ર કરી શકાય છે. તેથી, તે એક જ સમયે ચક્રીય અને ડાળીઓવાળું હોઈ શકે છે. આ કિસ્સામાં, અલ્ગોરિધમના વિવિધ વિભાગોમાં વિવિધ પરિસ્થિતિઓનો ઉપયોગ થાય છે. જટિલ કાર્યક્રમો અને રમતો લખતી વખતે આવી જટિલ રચનાઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

બ્લોક ડાયાગ્રામ પ્રતીકો

કોમ્પ્યુટર સાયન્સમાં કયા પ્રકારના અલ્ગોરિધમ્સ છે તે અમે જોયું છે. પરંતુ અમે ગ્રાફિકલી રેકોર્ડ કરતી વખતે કયા સંકેતોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે તે વિશે વાત કરી નથી.

1. અલ્ગોરિધમનો પ્રારંભ અને અંત અંડાકાર ફ્રેમમાં લખાયેલ છે.
2. દરેક આદેશ લંબચોરસમાં રેકોર્ડ કરવામાં આવે છે.
3. શરત હીરામાં લખેલી છે.
4. અલ્ગોરિધમના તમામ ભાગો તીરનો ઉપયોગ કરીને જોડાયેલા છે.

તારણો

અમે "એલ્ગોરિધમ્સ, પ્રકારો, ગુણધર્મો" વિષય પર ચર્ચા કરી છે. કોમ્પ્યુટર વિજ્ઞાન એલ્ગોરિધમનો અભ્યાસ કરવામાં ઘણો સમય વિતાવે છે. તેનો ઉપયોગ ગાણિતિક સમસ્યાઓ ઉકેલવા અને રમતો અને વિવિધ પ્રકારની એપ્લિકેશનો બનાવવા બંને માટે વિવિધ પ્રોગ્રામ લખવા માટે થાય છે.

દિશાસૂચક વ્યુત્પન્ન

ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં, દિશાત્મક વ્યુત્પન્નઅનેક ચલોના કાર્યના કિસ્સામાં વ્યુત્પન્નની વિભાવનાનું સામાન્યીકરણ છે. ડાયરેક્શનલ ડેરિવેટિવ બતાવે છે કે આપેલ દિશામાં આગળ વધતી વખતે ફંક્શન કેટલી ઝડપથી બદલાય છે.

એક ચલના કાર્યનું વ્યુત્પન્ન બતાવે છે કે દલીલમાં નાના ફેરફાર સાથે તેનું મૂલ્ય કેવી રીતે બદલાય છે. જો આપણે સાદ્રશ્ય દ્વારા ઘણા ચલોના કાર્યના વ્યુત્પન્નતાને નિર્ધારિત કરવાનો પ્રયાસ કરીશું, તો આપણને મુશ્કેલીનો સામનો કરવો પડશે: આ કિસ્સામાં, દલીલમાં ફેરફાર (એટલે ​​​​કે, અવકાશમાં એક બિંદુ) જુદી જુદી દિશામાં થઈ શકે છે, અને તે જ સમયે સમય વ્યુત્પન્નના વિવિધ મૂલ્યો મેળવવામાં આવશે. તે આ વિચારણા છે જે વ્યાખ્યા તરફ દોરી જાય છે દિશાત્મક વ્યુત્પન્ન.

ચાલો બિંદુની નજીકમાં દલીલોના કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ. કોઈપણ એકમ વેક્ટર માટે, અમે દિશાના સંદર્ભમાં એક બિંદુ પર ફંક્શનના વ્યુત્પન્નને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ:

આ અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય બતાવે છે કે જ્યારે દલીલ વેક્ટરની દિશામાં ખસેડવામાં આવે છે ત્યારે ફંક્શનની કિંમત કેટલી ઝડપથી બદલાય છે.

જો દિશા કોઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથે સહદિશાત્મક હોય, તો દિશાના સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્ન આ સંકલનના સંદર્ભમાં આંશિક વ્યુત્પન્ન સાથે મેળ ખાય છે.

ઢાળ સાથે જોડાણ

ચલોના સમૂહના સંદર્ભમાં ભિન્નતા ધરાવતા ફંક્શનના ડાયરેક્શનલ ડેરિવેટિવને આ દિશામાં ફંક્શનના ઢાળના પ્રક્ષેપણ તરીકે અથવા અન્યથા, ઢાળના સ્કેલર ઉત્પાદન અને દિશાના એકમ વેક્ટર તરીકે ગણી શકાય:

દિશાનું એકમ વેક્ટર ક્યાં છે. તે અનુસરે છે કે જો દિશા આપેલ બિંદુ પર ફંક્શનના ઢાળની દિશા સાથે એકરુપ હોય તો દિશાત્મક વ્યુત્પન્ન એક બિંદુ પર તેનું મહત્તમ મૂલ્ય લે છે. તે પણ સ્પષ્ટ છે કે ડાયરેક્શનલ ડેરિવેટિવનું મૂલ્ય વેક્ટરની લંબાઈ પર આધારિત નથી.

પણ જુઓ

લિંક્સ

વિકિમીડિયા ફાઉન્ડેશન.

• 2010.
• નાઝકા પ્લેટ

કોરોબકોવ, દિમિત્રી સેર્ગેવિચ

દિશાત્મક વ્યુત્પન્નઅન્ય શબ્દકોશોમાં "દિશાયુક્ત વ્યુત્પન્ન" શું છે તે જુઓ: - - [એલ.જી. સુમેન્કો. માહિતી ટેકનોલોજી પર અંગ્રેજી-રશિયન શબ્દકોશ. એમ.: સ્ટેટ એન્ટરપ્રાઇઝ TsNIIS, 2003.] વિષયો માહિતી ટેકનોલોજી સામાન્ય રીતે EN ડાયરેક્શનલ ડેરિવેટિવ ...

ટેકનિકલ અનુવાદકની માર્ગદર્શિકાવ્યુત્પન્ન (સામાન્યીકરણ)

- આ શબ્દના અન્ય અર્થો છે, વ્યુત્પન્ન જુઓ. ગણિતમાં, ડેરિવેટિવની વિભાવનાના ઘણા જુદા જુદા સામાન્યીકરણો છે, કારણ કે તે વિભેદક કલનનું મૂળભૂત બાંધકામ છે. વિષયવસ્તુ 1 એકતરફી ડેરિવેટિવ્ઝ... વિકિપીડિયા

વ્યુત્પન્ન (સામાન્યીકરણ)દિશાનું વ્યુત્પન્ન

- ગાણિતિક પૃથ્થકરણમાં, ડાયરેક્શનલ ડેરિવેટિવ એ અનેક ચલોના કાર્યના કિસ્સામાં વ્યુત્પન્નની વિભાવનાનું સામાન્યીકરણ છે. ડાયરેક્શનલ ડેરિવેટિવ બતાવે છે કે આપેલ દિશામાં આગળ વધતી વખતે ફંક્શન કેટલી ઝડપથી બદલાય છે.... ... વિકિપીડિયાકાર્યનું વ્યુત્પન્ન

- આ શબ્દના અન્ય અર્થો છે, વ્યુત્પન્ન જુઓ. ડેરિવેટિવ ડેરિવેટિવની વિભાવનાનું ચિત્રણ ... વિકિપીડિયા- વ્યુત્પન્ન એ વિભેદક કેલ્ક્યુલસનો મૂળભૂત ખ્યાલ છે, જે ફંક્શનના ફેરફારના દરને દર્શાવે છે. ફંક્શનના વધારાના ગુણોત્તર અને તેની દલીલના વધારાના ગુણોત્તરની મર્યાદા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કારણ કે દલીલનો વધારો શૂન્ય તરફ વળે છે, જો આવી મર્યાદા... ... વિકિપીડિયા

વ્યુત્પન્ન- (થ, ઓહ) ઉત્પાદિત, બીજામાંથી રચાયેલ, સરળ અથવા મૂળભૂત જથ્થો, સ્વરૂપ, શ્રેણી. વિષયવસ્તુ 1 ગણિત 2 બિન-ગાણિતિક ખ્યાલો ... વિકિપીડિયા

અસત્ય વ્યુત્પન્ન- વેક્ટર ક્ષેત્રની દિશામાં ટેન્સર ક્ષેત્ર, તેના રૂપાંતરણ દરમિયાન ટેન્સર ક્ષેત્રના વધારાનો મુખ્ય રેખીય ભાગ, જે ક્ષેત્ર દ્વારા પેદા થતા મેનીફોલ્ડના વિભિન્નતાના સ્થાનિક એક-પેરામીટર જૂથ દ્વારા પ્રેરિત છે. માં નામ આપવામાં આવ્યું છે ... વિકિપીડિયા

ગેટઉ વ્યુત્પન્ન- વ્યુત્પન્નની વિભાવનાને સ્થાનિક રીતે બહિર્મુખ ટોપોલોજીકલ વેક્ટર જગ્યાઓ સુધી વિસ્તરે છે. આ નામ ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી રેને ગેટેક્સના માનમાં આપવામાં આવ્યું છે. વ્યાખ્યા ત્યાં એક મેપિંગ હોઈ દો જે થી માં અભિનય કરે છે. વિભેદક... ... વિકિપીડિયા

એકતરફી વ્યુત્પન્ન- ગણિતમાં, ડેરિવેટિવની વિભાવનાના ઘણાં વિવિધ સામાન્યીકરણો છે, કારણ કે તે વિભેદક કલનનું મૂળભૂત બાંધકામ છે. વિષયવસ્તુ 1 એકતરફી ડેરિવેટિવ્ઝ 2 અનેક ચલોના કાર્યોનું વિશ્લેષણ... વિકિપીડિયા

પુસ્તકો

• ઉચ્ચ ગણિત. મૂળભૂત સિદ્ધાંત સાથે પ્રમાણભૂત કાર્યો: પાઠયપુસ્તક. , Vdovin A.Yu.. ઉમેરો. એક શૈક્ષણિક સંસ્થા તરીકે પરિવહન વાહનો અને પરિવહન-તકનીકી સંકુલના ક્ષેત્રમાં શિક્ષણ માટે રશિયન ફેડરેશનની યુનિવર્સિટીઓના UMO. ગામ યુનિવર્સિટી વિદ્યાર્થીઓ માટે, શૈક્ષણિક તાલીમના વિશિષ્ટ ક્ષેત્રોમાં... 425 રુબેલ્સમાં ખરીદો
• ઉચ્ચ ગણિતની પસંદ કરેલી શાખાઓમાં કેટલીક સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ. વર્કશોપ, કોન્સ્ટેન્ટિન ગ્રિગોરીવિચ ક્લિમેન્કો, ગેલિના વાસિલીવેના લેવિટ્સકાયા, એવજેની એલેક્ઝાન્ડ્રોવિચ કોઝલોવ્સ્કી. આ વર્કશોપ ગાણિતિક પૃથ્થકરણના સામાન્ય રીતે સ્વીકૃત કોર્સના આવા વિભાગોમાંથી અમુક પ્રકારની સમસ્યાઓને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓની ચર્ચા કરે છે જેમ કે ફંક્શન, ગ્રેડિયન્ટ અને ડેરિવેટિવની મર્યાદા અને સીમા...

દો ઝેડ= એફ(એમ) - બિંદુના અમુક પડોશમાં વ્યાખ્યાયિત કાર્ય M(y; x);એલ={ કોસ; કોસ} – એકમ વેક્ટર (ફિગ. 33 માં 1=  , 2= ); એલ- બિંદુમાંથી પસાર થતી નિર્દેશિત સીધી રેખા એમ; M1(x1; y1), જ્યાં x1=x+x અને y1=y+y- એક લીટી પર બિંદુ એલ;  એલ- સેગમેન્ટની લંબાઈ MM1;  ઝેડ= એફ(x+х, y+у)-એફ(એક્સ, વાય) - કાર્ય વધારો એફ(એમ) બિંદુ પર M(x; y).

વ્યાખ્યા. ગુણોત્તરની મર્યાદા, જો તે અસ્તિત્વમાં હોય, તો તેને કહેવામાં આવે છે કાર્યનું વ્યુત્પન્ન ઝેડ = એફ ( એમ ) બિંદુ પર એમ ( એક્સ ; વાય ) વેક્ટરની દિશામાં એલ .

હોદ્દો.

જો કાર્ય એફ(એમ) બિંદુ પર તફાવત કરી શકાય તેવું M(x;y), પછી બિંદુ પર M(x;y)કોઈપણ દિશામાં વ્યુત્પન્ન છે એલમાંથી નીકળે છે એમ; તે નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:

(8)

જ્યાં કોસ અને કોસ- વેક્ટરની દિશા કોસાઇન્સ એલ.

ઉદાહરણ 46. ફંક્શનના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરો ઝેડ= એક્સ2 + વાય2 એક્સબિંદુ પર M(1; 2)વેક્ટરની દિશામાં MM1, ક્યાં M1- કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે બિંદુ (3; 0).

. ચાલો એકમ વેક્ટર શોધીએ એલ, આ દિશા ધરાવે છે:

જ્યાં કોસ= ; કોસ=- .

ચાલો બિંદુ પર ફંક્શનના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝની ગણતરી કરીએ M(1; 2):

ફોર્મ્યુલા (8) નો ઉપયોગ કરીને આપણને મળે છે

ઉદાહરણ 47. ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો યુ = Xy2 ઝેડ3 બિંદુ પર M(3; 2; 1)વેક્ટરની દિશામાં MN, ક્યાં એન(5; 4; 2) .

. ચાલો વેક્ટર અને તેની દિશા કોસાઈન્સ શોધીએ:

ચાલો બિંદુ પર આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ એમ:

આથી,

વ્યાખ્યા. ઢાળ કાર્યોઝેડ= એફ(એમ) બિંદુ M(x; y) પર એક વેક્ટર છે જેના કોઓર્ડિનેટ્સ અનુરૂપ આંશિક ડેરિવેટિવ્સની સમાન હોય છે અને M(x; y) બિંદુ પર લેવામાં આવે છે.

હોદ્દો.

ઉદાહરણ 48. ફંક્શનનો ઢાળ શોધો ઝેડ= એક્સ2 +2 વાય2 -5 બિંદુ પર M(2; -1).

ઉકેલ. આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવી: અને બિંદુ પર તેમના મૂલ્યો M(2; -1):

ઉદાહરણ 49. એક બિંદુ પર કાર્યના ઢાળની તીવ્રતા અને દિશા શોધો

ઉકેલ.ચાલો આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીએ અને બિંદુ M પર તેમના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ:

આથી,

ત્રણ ચલોના કાર્ય માટે દિશાત્મક વ્યુત્પન્ન સમાન રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે યુ= એફ(એક્સ, વાય, ઝેડ) , સૂત્રો પ્રદર્શિત થાય છે

ઢાળનો ખ્યાલ રજૂ કરવામાં આવ્યો છે

ચાલો તેના પર ભાર મૂકીએ ઢાળ કાર્યના મૂળભૂત ગુણધર્મો આર્થિક ઑપ્ટિમાઇઝેશનના વિશ્લેષણ માટે વધુ મહત્વપૂર્ણ: ઢાળની દિશામાં કાર્ય વધે છે. IN આર્થિક કાર્યોનીચેના ગ્રેડિયન્ટ ગુણધર્મોનો ઉપયોગ થાય છે:

1) ફંક્શન આપવા દો ઝેડ= એફ(એક્સ, વાય) , વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ ધરાવે છે. ચાલો અમુક મુદ્દા ધ્યાનમાં લઈએ M0(x0, y0)વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાંથી. આ બિંદુએ ફંક્શનની કિંમત સમાન થવા દો એફ(એક્સ0 , વાય0 ) . ચાલો ફંક્શનનો ગ્રાફ જોઈએ. બિંદુ દ્વારા (એક્સ0 , વાય0 , એફ(એક્સ0 , વાય0 )) ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યા આપણે ફંક્શનના ગ્રાફની સપાટી પર સમતલ સ્પર્શક દોરીએ છીએ. પછી બિંદુ પર ગણતરી કરેલ કાર્યનો ઢાળ (x0, y0), એક બિંદુ પર લાગુ વેક્ટર તરીકે ભૌમિતિક રીતે ગણવામાં આવે છે (એક્સ0 , વાય0 , એફ(એક્સ0 , વાય0 )) , સ્પર્શક સમતલને લંબરૂપ હશે. ભૌમિતિક ચિત્ર ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યું છે. 34.

2) ગ્રેડિયન્ટ ફંક્શન એફ(એક્સ, વાય) બિંદુ પર M0(x0, y0)બિંદુ પર કાર્યમાં સૌથી ઝડપી વૃદ્ધિની દિશા સૂચવે છે M0. વધુમાં, કોઈપણ દિશા કે જે ઢાળ સાથે તીવ્ર કોણ બનાવે છે તે બિંદુ પર કાર્યની વૃદ્ધિની દિશા છે M0. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, એક બિંદુ પરથી એક નાની ચળવળ (x0, y0)આ બિંદુએ કાર્યના ઢાળની દિશામાં કાર્યમાં વધારો થાય છે, અને સૌથી વધુ હદ સુધી.

ઢાળની વિરુદ્ધ વેક્ટરને ધ્યાનમાં લો. તે કહેવાય છે વિરોધી ઢાળ . આ વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ છે:

વિરોધી ઢાળ કાર્ય એફ(એક્સ, વાય) બિંદુ પર M0(x0, y0)બિંદુ પર કાર્યના સૌથી ઝડપી ઘટાડાની દિશા સૂચવે છે M0. કોઈપણ દિશા કે જે એન્ટિગ્રેડિયન્ટ સાથે તીવ્ર કોણ બનાવે છે તે દિશા છે જેમાં તે બિંદુએ કાર્ય ઘટે છે.

3) ફંક્શનનો અભ્યાસ કરતી વખતે, ઘણી વખત આવા જોડીઓ શોધવાની જરૂર પડે છે (x, y)ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેનમાંથી, જેમાં ફંક્શન સમાન મૂલ્યો લે છે. બિંદુઓના સમૂહને ધ્યાનમાં લો (એક્સ, વાય) ફંક્શનના ડોમેનમાંથી એફ(એક્સ, વાય) , જેમ કે એફ(એક્સ, વાય)= કોન્સ્ટ, પ્રવેશ ક્યાં છે “ કોન્સ્ટ” મતલબ કે ફંક્શન વેલ્યુ ફિક્સ છે અને ફંક્શન રેન્જમાંથી અમુક સંખ્યા જેટલી છે.

વ્યાખ્યા. કાર્ય સ્તર રેખા યુ = એફ ( એક્સ , વાય ) રેખા કહેવાય છેએફ(એક્સ, વાય)=C પ્લેનમાંXOy, બિંદુઓ પર કે જ્યાં ફંક્શન સતત મૂલ્ય જાળવી રાખે છેયુ= સી.

સ્તર રેખાઓ વક્ર રેખાઓના સ્વરૂપમાં સ્વતંત્ર ચલોના પરિવર્તનના પ્લેન પર ભૌમિતિક રીતે દર્શાવવામાં આવે છે. નીચે પ્રમાણે સ્તરની રેખાઓ મેળવવાની કલ્પના કરી શકાય છે. સમૂહ ધ્યાનમાં લો સાથે, જેમાં કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યાના બિંદુઓનો સમાવેશ થાય છે (એક્સ, વાય, એફ(એક્સ, વાય)= કોન્સ્ટ), જે, એક તરફ, ફંક્શનના ગ્રાફ સાથે સંબંધિત છે ઝેડ= એફ(એક્સ, વાય), બીજી બાજુ, તેઓ સંકલન વિમાનની સમાંતર સમતલમાં આવેલા છે HOU, અને તેમાંથી આપેલ સ્થિરાંકની સમાન રકમ દ્વારા અંતર. પછી, લેવલ લાઇન બનાવવા માટે, ફંક્શન ગ્રાફની સપાટીને પ્લેન વડે છેદે તે પૂરતું છે ઝેડ= કોન્સ્ટઅને આંતરછેદ રેખાને પ્લેન પર પ્રોજેક્ટ કરો HOU. ઉપરોક્ત તર્ક પ્લેન પર સીધા સ્તરની રેખાઓ બાંધવાની શક્યતાને ન્યાયી ઠેરવે છે HOU.

વ્યાખ્યા. ઘણી સ્તરની રેખાઓ કહેવામાં આવે છે સ્તર રેખા નકશો.

સ્તર રેખાઓના જાણીતા ઉદાહરણો ટોપોગ્રાફિક નકશા પર સમાન ઊંચાઈના સ્તરો અને હવામાનના નકશા પર સમાન બેરોમેટ્રિક દબાણની રેખાઓ છે.

વ્યાખ્યા. ફંક્શનના વધારાનો દર મહત્તમ હોય તે દિશા કહેવાય છે "પસંદગી" દિશા, અથવા સૌથી ઝડપી વૃદ્ધિની દિશા.

ફંક્શનના ગ્રેડિયન્ટ વેક્ટર દ્વારા "પ્રિફર્ડ" દિશા આપવામાં આવે છે. ફિગ માં. 35 પ્રતિબંધોની ગેરહાજરીમાં બે ચલોના કાર્યને ઑપ્ટિમાઇઝ કરવાની સમસ્યામાં મહત્તમ, લઘુત્તમ અને સેડલ બિંદુ બતાવે છે. આકૃતિનો નીચેનો ભાગ સૌથી ઝડપી વૃદ્ધિના સ્તર અને દિશાની રેખાઓ દર્શાવે છે.

ઉદાહરણ 50. કાર્ય સ્તર રેખાઓ શોધો યુ= એક્સ2 + વાય2 .

ઉકેલ.સ્તર રેખાઓના કુટુંબનું સમીકરણ સ્વરૂપ ધરાવે છે એક્સ2 + વાય2 = સી (સી>0) . આપવી સાથેવિવિધ વાસ્તવિક મૂલ્યો, આપણે મૂળમાં કેન્દ્ર સાથે કેન્દ્રિત વર્તુળો મેળવીએ છીએ.

લેવલ લાઇનનું બાંધકામ. તેમના વિશ્લેષણનો વ્યાપક ઉપયોગ માઇક્રો- અને મેક્રો-લેવલની આર્થિક સમસ્યાઓ, સંતુલનનો સિદ્ધાંત અને અસરકારક ઉકેલો. Isocosts, isoquants, ઉદાસીનતા વળાંક - આ તમામ સ્તરની રેખાઓ છે જે વિવિધ આર્થિક કાર્યો માટે બાંધવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 51. નીચેનાનો વિચાર કરો આર્થિક પરિસ્થિતિ. ઉત્પાદનોના ઉત્પાદનનું વર્ણન કરવા દો કોબ-ડગ્લાસ કાર્ય એફ(એક્સ, વાય)=10x1/3y2/3, ક્યાં એક્સ- મજૂરીની રકમ, યુ- મૂડીની રકમ. સંસાધનોની ખરીદી માટે 30 USD ફાળવવામાં આવ્યા હતા. એકમો, શ્રમ કિંમત 5 USD છે. એકમો, મૂડી - 10 USD. એકમો ચાલો આપણે આપણી જાતને પૂછીએ: આ શરતો હેઠળ મેળવી શકાય તેવું સૌથી મોટું આઉટપુટ શું છે? અહીં, "આપેલ શરતો" નો અર્થ આપેલ તકનીકો, સંસાધનોની કિંમતો અને ઉત્પાદન કાર્યનો પ્રકાર છે. પહેલેથી જ નોંધ્યું છે તેમ, કાર્ય કોબ-ડગ્લાસદરેક ચલ માટે એકવિધ રીતે વધી રહ્યું છે, એટલે કે, દરેક પ્રકારના સંસાધનમાં વધારો આઉટપુટમાં વધારો તરફ દોરી જાય છે. આ શરતો હેઠળ, તે સ્પષ્ટ છે કે જ્યાં સુધી પૂરતા પૈસા હોય ત્યાં સુધી સંસાધનોના સંપાદનમાં વધારો કરવો શક્ય છે. સંસાધનોના સેટ, જેની કિંમત 30 USD છે. એકમો, શરત સંતોષો:

5x + 10y = 30,

એટલે કે, તેઓ ફંક્શન લેવલ લાઇન નક્કી કરે છે:

જી(એક્સ, વાય) = 5x + 10y.

બીજી બાજુ, સ્તર રેખાઓનો ઉપયોગ કરીને કોબ-ડગ્લાસ કાર્યો (ફિગ. 36) તમે કાર્યનો વધારો બતાવી શકો છો: સ્તર રેખાના કોઈપણ બિંદુએ, ઢાળની દિશા એ સૌથી વધુ વૃદ્ધિની દિશા છે, અને એક બિંદુ પર ઢાળ બનાવવા માટે તે સ્પર્શક દોરવા માટે પૂરતું છે. આ બિંદુએ સ્તર રેખા પર, સ્પર્શકને લંબ બાંધો અને ઢાળની દિશા સૂચવો. ફિગમાંથી. 36 તે જોઈ શકાય છે કે કોબ-ડગ્લાસ ફંક્શનની લેવલ લાઇનને ગ્રેડિયન્ટ સાથે ખસેડવી જોઈએ જ્યાં સુધી તે લેવલ લાઇનની સ્પર્શક બની ન જાય. 5x + 10y = 30. આમ, લેવલ લાઇન, ગ્રેડિયન્ટ અને ગ્રેડિયન્ટ પ્રોપર્ટીઝની વિભાવનાઓનો ઉપયોગ કરીને, આઉટપુટના વોલ્યુમમાં વધારો કરવાના સંદર્ભમાં સંસાધનોના શ્રેષ્ઠ ઉપયોગ માટે અભિગમ વિકસાવવાનું શક્ય છે.

વ્યાખ્યા. સપાટી સ્તર કાર્ય યુ = એફ ( એક્સ , વાય , ઝેડ ) સપાટી કહેવાય છેએફ(એક્સ, વાય, ઝેડ)=С, જે બિંદુઓ પર કાર્ય સ્થિર મૂલ્ય જાળવી રાખે છેયુ= સી.

ઉદાહરણ 52. કાર્ય સ્તરની સપાટીઓ શોધો યુ= એક્સ2 + ઝેડ2 - વાય2 .

ઉકેલ.લેવલ સપાટીઓના પરિવાર માટેનું સમીકરણ ફોર્મ ધરાવે છે એક્સ2 + ઝેડ2 - વાય2 =C. જો С=0, પછી આપણને મળે છે એક્સ2 + ઝેડ2 - વાય2 =0 - શંકુ; જો સી<0 , તે એક્સ2 + ઝેડ2 - વાય2 =C -બે-શીટ હાઇપરબોલોઇડ્સનું કુટુંબ.