ક્રમનું નામ શું છે? સિક્વન્સની મર્યાદાની ગણતરી કેવી રીતે કરવી? મર્યાદિત સંખ્યામાં રૂપાંતરિત થતા ક્રમના ઉદાહરણો

ગણિત એ વિજ્ઞાન છે જે વિશ્વનું નિર્માણ કરે છે. વૈજ્ઞાનિક અને સામાન્ય માણસ બંને - તેના વિના કોઈ કરી શકતું નથી. પ્રથમ, નાના બાળકોને ગણતરી કરવાનું શીખવવામાં આવે છે, પછી મિડલ સ્કૂલ દ્વારા સરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકાર કરવામાં આવે છે.

પરંતુ આજે આપણે બધા જાણીતું ગણિત શેના પર આધારિત છે તે વિશે વાત કરીશું. સંખ્યાઓના સમુદાય વિશે જેને "ક્રમ મર્યાદા" કહેવાય છે.

ક્રમ શું છે અને તેમની મર્યાદા ક્યાં છે?

"ક્રમ" શબ્દનો અર્થ અર્થઘટન કરવું મુશ્કેલ નથી. આ વસ્તુઓની ગોઠવણી છે જ્યાં કોઈ વ્યક્તિ અથવા કંઈક ચોક્કસ ક્રમમાં અથવા કતારમાં સ્થિત છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રાણી સંગ્રહાલયની ટિકિટ માટેની કતાર એ એક ક્રમ છે. અને ત્યાં ફક્ત એક જ હોઈ શકે છે! જો, ઉદાહરણ તરીકે, તમે સ્ટોર પરની કતાર જુઓ છો, તો આ એક ક્રમ છે. અને જો આ કતારમાંથી એક વ્યક્તિ અચાનક નીકળી જાય, તો આ એક અલગ કતાર છે, એક અલગ ક્રમ છે.

"મર્યાદા" શબ્દનો પણ સરળતાથી અર્થઘટન કરવામાં આવે છે - તે કંઈકનો અંત છે. જો કે, ગણિતમાં, ક્રમની મર્યાદા એ સંખ્યા રેખા પરના તે મૂલ્યો છે જેમાં સંખ્યાઓનો ક્રમ વલણ ધરાવે છે. તે શા માટે પ્રયત્ન કરે છે અને અંત નથી? તે સરળ છે, સંખ્યા રેખાનો કોઈ અંત નથી, અને કિરણોની જેમ મોટાભાગની ક્રમમાં માત્ર શરૂઆત હોય છે અને તે આના જેવો દેખાય છે:

x 1, x 2, x 3,...x n...

તેથી ક્રમની વ્યાખ્યા એ કુદરતી દલીલનું કાર્ય છે. સરળ શબ્દોમાં કહીએ તો, આ ચોક્કસ સમૂહના સભ્યોની શ્રેણી છે.

સંખ્યા ક્રમ કેવી રીતે બાંધવામાં આવે છે?

સંખ્યા ક્રમનું એક સરળ ઉદાહરણ આના જેવું દેખાઈ શકે છે: 1, 2, 3, 4, …n…

મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં, વ્યવહારુ હેતુઓ માટે, સિક્વન્સ સંખ્યાઓમાંથી બનાવવામાં આવે છે, અને શ્રેણીના દરેક આગામી સભ્ય, ચાલો તેને X સૂચવીએ, તેનું પોતાનું નામ છે. ઉદાહરણ તરીકે:

x 1 એ ક્રમનો પ્રથમ સભ્ય છે;

x 2 એ ક્રમનો બીજો શબ્દ છે;

x 3 એ ત્રીજો શબ્દ છે;

x n એ nમો શબ્દ છે.

વ્યવહારિક પદ્ધતિઓમાં, ક્રમ સામાન્ય સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે જેમાં ચોક્કસ ચલ હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે:

X n =3n, પછી સંખ્યાઓની શ્રેણી પોતે આના જેવી દેખાશે:

તે યાદ રાખવું યોગ્ય છે કે સામાન્ય રીતે ક્રમ લખતી વખતે, તમે કોઈપણ લેટિન અક્ષરોનો ઉપયોગ કરી શકો છો, માત્ર X નહીં. ઉદાહરણ તરીકે: y, z, k, વગેરે.

ક્રમના ભાગ રૂપે અંકગણિત પ્રગતિ

સિક્વન્સની મર્યાદાઓ શોધતા પહેલા, આવી સંખ્યાની શ્રેણીના ખૂબ જ ખ્યાલમાં ઊંડા ઉતરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે, જે દરેકને જ્યારે તેઓ મિડલ સ્કૂલમાં હતા ત્યારે તેમને મળ્યા હતા. અંકગણિત પ્રગતિ એ સંખ્યાઓની શ્રેણી છે જેમાં સંલગ્ન પદો વચ્ચેનો તફાવત સ્થિર છે.

સમસ્યા: “ચાલો a 1 = 15, અને સંખ્યા શ્રેણી d = 4 નું પ્રગતિ પગલું. આ શ્રેણીની પ્રથમ 4 શરતો બનાવો"

ઉકેલ: a 1 = 15 (શરત દ્વારા) એ પ્રગતિનો પ્રથમ શબ્દ છે (સંખ્યા શ્રેણી).

અને 2 = 15+4=19 એ પ્રગતિની બીજી મુદત છે.

અને 3 =19+4=23 એ ત્રીજો શબ્દ છે.

અને 4 =23+4=27 એ ચોથો શબ્દ છે.

જો કે, આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મોટા મૂલ્યો સુધી પહોંચવું મુશ્કેલ છે, ઉદાહરણ તરીકે 125 સુધી. . ખાસ કરીને આવા કિસ્સાઓ માટે, પ્રેક્ટિસ માટે અનુકૂળ ફોર્મ્યુલા લેવામાં આવી હતી: a n =a 1 +d(n-1). આ કિસ્સામાં, a 125 =15+4(125-1)=511.

સિક્વન્સના પ્રકાર

મોટાભાગના સિક્વન્સ અનંત છે, તે તમારા બાકીના જીવન માટે યાદ રાખવા યોગ્ય છે. સંખ્યા શ્રેણીના બે રસપ્રદ પ્રકાર છે. પ્રથમ સૂત્ર a n =(-1) n દ્વારા આપવામાં આવે છે. ગણિતશાસ્ત્રીઓ ઘણીવાર આ ક્રમને ફ્લેશર કહે છે. શા માટે? ચાલો તેની સંખ્યા શ્રેણી તપાસીએ.

1, 1, -1, 1, -1, 1, વગેરે. આના જેવા ઉદાહરણ સાથે, તે સ્પષ્ટ થાય છે કે ક્રમમાં સંખ્યાઓ સરળતાથી પુનરાવર્તિત થઈ શકે છે.

ફેક્ટોરિયલ ક્રમ. અનુમાન લગાવવું સરળ છે - ક્રમને વ્યાખ્યાયિત કરતું સૂત્ર એક કારણભૂત ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે: a n = (n+1)!

પછી ક્રમ આના જેવો દેખાશે:

a 2 = 1x2x3 = 6;

અને 3 = 1x2x3x4 = 24, વગેરે.

જો અસમાનતા -1 તેની તમામ શરતો માટે સંતુષ્ટ હોય તો અંકગણિત પ્રગતિ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ક્રમને અનંતપણે ઘટતો કહેવામાં આવે છે.

અને 3 = - 1/8, વગેરે.

સમાન સંખ્યાનો સમાવેશ થતો ક્રમ પણ છે. તેથી, n =6 માં અસંખ્ય સિક્સરનો સમાવેશ થાય છે.

ક્રમ મર્યાદા નક્કી કરી રહ્યા છીએ

ક્રમ મર્યાદા ગણિતમાં લાંબા સમયથી અસ્તિત્વમાં છે. અલબત્ત, તેઓ તેમની પોતાની સક્ષમ ડિઝાઇનને પાત્ર છે. તેથી, ક્રમ મર્યાદાની વ્યાખ્યા શીખવાનો સમય છે. પ્રથમ, ચાલો રેખીય કાર્ય માટેની મર્યાદાને વિગતવાર જોઈએ:

1. બધી મર્યાદાઓને લિમ તરીકે સંક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે.
2. મર્યાદાના સંકેતમાં સંક્ષેપ લિમનો સમાવેશ થાય છે, ચોક્કસ સંખ્યા, શૂન્ય અથવા અનંત તરફ વલણ ધરાવતા કોઈપણ ચલ, તેમજ કાર્ય પોતે.

તે સમજવું સરળ છે કે ક્રમની મર્યાદાની વ્યાખ્યા નીચે પ્રમાણે ઘડી શકાય છે: આ એક ચોક્કસ સંખ્યા છે કે જેના પર ક્રમના તમામ સભ્યો અનંતપણે સંપર્ક કરે છે. એક સરળ ઉદાહરણ: x = 4x+1. પછી ક્રમ પોતે આના જેવો દેખાશે.

5, 9, 13, 17, 21…x…

આમ, આ ક્રમ અનિશ્ચિત રૂપે વધશે, જેનો અર્થ છે કે તેની મર્યાદા x→∞ જેટલી અનંત જેટલી છે, અને તે આ રીતે લખવું જોઈએ:

જો આપણે સમાન ક્રમ લઈએ, પરંતુ x 1 તરફ વળે છે, તો આપણને મળશે:

અને સંખ્યાઓની શ્રેણી આના જેવી હશે: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944, વગેરે. દરેક વખતે તમારે સંખ્યાને એકની નજીક બદલવાની જરૂર હોય (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). આ શ્રેણીમાંથી તે સ્પષ્ટ છે કે કાર્યની મર્યાદા પાંચ છે.

આ ભાગથી તે યાદ રાખવું યોગ્ય છે કે સંખ્યાત્મક ક્રમની મર્યાદા શું છે, સરળ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની વ્યાખ્યા અને પદ્ધતિ.

સિક્વન્સની મર્યાદા માટે સામાન્ય હોદ્દો

સંખ્યા ક્રમની મર્યાદા, તેની વ્યાખ્યા અને ઉદાહરણોની તપાસ કર્યા પછી, તમે વધુ જટિલ વિષય પર આગળ વધી શકો છો. ક્રમની ચોક્કસ તમામ મર્યાદાઓ એક સૂત્ર દ્વારા ઘડી શકાય છે, જેનું સામાન્ય રીતે પ્રથમ સેમેસ્ટરમાં વિશ્લેષણ કરવામાં આવે છે.

તો, અક્ષરો, મોડ્યુલો અને અસમાનતા ચિહ્નોના આ સમૂહનો અર્થ શું છે?

∀ એક સાર્વત્રિક ક્વોન્ટિફાયર છે, જે "બધા માટે", "બધું માટે", વગેરે શબ્દસમૂહોને બદલે છે.

∃ એક અસ્તિત્વનું પરિમાણકર્તા છે, આ કિસ્સામાં તેનો અર્થ એ છે કે કુદરતી સંખ્યાઓના સમૂહ સાથે સંબંધિત અમુક મૂલ્ય N છે.

N ને અનુસરતી લાંબી ઊભી લાકડીનો અર્થ એ થાય છે કે આપેલ સમૂહ N "આવું" છે. વ્યવહારમાં, તેનો અર્થ "આવું તે", "આવું તે", વગેરે હોઈ શકે છે.

સામગ્રીને મજબૂત કરવા માટે, સૂત્રને મોટેથી વાંચો.

અનિશ્ચિતતા અને મર્યાદાની નિશ્ચિતતા

ક્રમની મર્યાદા શોધવાની પદ્ધતિ, જેની ઉપર ચર્ચા કરવામાં આવી હતી, જો કે ઉપયોગમાં સરળ છે, વ્યવહારમાં એટલી તર્કસંગત નથી. આ કાર્ય માટે મર્યાદા શોધવાનો પ્રયાસ કરો:

જો આપણે "x" ના વિવિધ મૂલ્યોને બદલીએ (દર વખતે વધારો: 10, 100, 1000, વગેરે), તો આપણને અંશમાં ∞ મળે છે, પણ છેદમાં ∞ પણ મળે છે. આ એક જગ્યાએ વિચિત્ર અપૂર્ણાંકમાં પરિણમે છે:

પણ શું આ ખરેખર આવું છે? આ કિસ્સામાં સંખ્યા ક્રમની મર્યાદાની ગણતરી કરવી એકદમ સરળ લાગે છે. બધું જેમ છે તેમ છોડી દેવું શક્ય છે, કારણ કે જવાબ તૈયાર છે, અને તે વાજબી શરતો હેઠળ પ્રાપ્ત થયો હતો, પરંતુ આવા કિસ્સાઓ માટે ખાસ કરીને બીજી રીત છે.

પ્રથમ, ચાલો અપૂર્ણાંકના અંશમાં ઉચ્ચતમ ડિગ્રી શોધીએ - આ 1 છે, કારણ કે x ને x 1 તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

હવે ચાલો છેદમાં સર્વોચ્ચ ડિગ્રી શોધીએ. પણ 1.

ચાલો અંશ અને છેદ બંનેને ચલ દ્વારા ઉચ્ચતમ ડિગ્રી સુધી વિભાજીત કરીએ. આ કિસ્સામાં, અપૂર્ણાંકને x 1 વડે વિભાજીત કરો.

આગળ, આપણે શોધીશું કે ચલ ધરાવતો દરેક શબ્દ શું મૂલ્ય ધરાવે છે. આ કિસ્સામાં, અપૂર્ણાંક ગણવામાં આવે છે. x→∞ તરીકે, દરેક અપૂર્ણાંકનું મૂલ્ય શૂન્ય તરફ વળે છે. તમારું કાર્ય લેખિતમાં સબમિટ કરતી વખતે, તમારે નીચેની ફૂટનોટ્સ બનાવવી જોઈએ:

આ નીચેના અભિવ્યક્તિમાં પરિણમે છે:

અલબત્ત, x ધરાવતા અપૂર્ણાંક શૂન્ય બન્યા નથી! પરંતુ તેમનું મૂલ્ય એટલું નાનું છે કે ગણતરીમાં તેને ધ્યાનમાં ન લેવાનું સંપૂર્ણપણે માન્ય છે. હકીકતમાં, આ કિસ્સામાં x ક્યારેય 0 ની બરાબર નહીં હોય, કારણ કે તમે શૂન્ય વડે ભાગી શકતા નથી.

પડોશી શું છે?

ધારો કે પ્રોફેસર પાસે તેના નિકાલ પર એક જટિલ ક્રમ છે, દેખીતી રીતે, સમાન જટિલ સૂત્ર દ્વારા. પ્રોફેસરે જવાબ તો શોધી કાઢ્યો છે, પણ ખરું ને? છેવટે, બધા લોકો ભૂલો કરે છે.

ઑગસ્ટે કોચી એકવાર સિક્વન્સની મર્યાદા સાબિત કરવા માટે એક ઉત્તમ રીત સાથે આવ્યા હતા. તેમની પદ્ધતિને પડોશી મેનીપ્યુલેશન કહેવામાં આવતું હતું.

ધારો કે કોઈ ચોક્કસ બિંદુ a છે, સંખ્યા રેખા પર બંને દિશામાં તેની પડોશ ε ("એપ્સીલોન") ની બરાબર છે. છેલ્લું ચલ અંતર હોવાથી, તેનું મૂલ્ય હંમેશા હકારાત્મક હોય છે.

હવે ચાલો અમુક ક્રમ x n ને વ્યાખ્યાયિત કરીએ અને ધારીએ કે ક્રમનો દસમો પદ (x 10) a ની પડોશમાં છે. આ હકીકતને આપણે ગાણિતિક ભાષામાં કેવી રીતે લખી શકીએ?

ચાલો કહીએ કે x 10 એ બિંદુ a ની જમણી બાજુએ છે, પછી અંતર x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

હવે ઉપર ચર્ચા કરેલ સૂત્રને વ્યવહારમાં સમજાવવાનો સમય છે. કોઈ ચોક્કસ સંખ્યાને અનુક્રમનો અંતિમ બિંદુ કહેવો યોગ્ય છે જો તેની કોઈપણ મર્યાદા માટે અસમાનતા ε>0 સંતુષ્ટ હોય, અને સમગ્ર પડોશી પાસે તેની પોતાની કુદરતી સંખ્યા N હોય, જેમ કે ક્રમના તમામ સભ્યો ઉચ્ચ સંખ્યાઓ સાથે ક્રમની અંદર હશે |x n - a|< ε.

આવા જ્ઞાન સાથે, ક્રમ મર્યાદાને ઉકેલવા અને તૈયાર જવાબને સાબિત અથવા અસ્વીકાર કરવો સરળ છે.

પ્રમેય

સિક્વન્સની મર્યાદા પરના પ્રમેય એ સિદ્ધાંતનો એક મહત્વપૂર્ણ ઘટક છે, જેના વિના પ્રેક્ટિસ અશક્ય છે. ત્યાં ફક્ત ચાર મુખ્ય પ્રમેય છે, જે યાદ રાખવાથી ઉકેલ અથવા સાબિતી વધુ સરળ બની શકે છે:

1. ક્રમની મર્યાદાની વિશિષ્ટતા. કોઈપણ ક્રમમાં ફક્ત એક જ મર્યાદા હોઈ શકે છે અથવા કોઈ પણ નહીં. કતાર સાથેનું સમાન ઉદાહરણ જેનો માત્ર એક જ છેડો હોઈ શકે.
2. જો સંખ્યાઓની શ્રેણીની મર્યાદા હોય, તો આ સંખ્યાઓનો ક્રમ મર્યાદિત છે.
3. સિક્વન્સના સરવાળા (તફાવત, ઉત્પાદન) ની મર્યાદા તેમની મર્યાદાના સરવાળા (તફાવત, ઉત્પાદન) જેટલી છે.
4. બે ક્રમને વિભાજિત કરવાના અવશેષની મર્યાદા મર્યાદાના ભાગની બરાબર છે જો અને માત્ર જો છેદ અદૃશ્ય ન થાય.

સિક્વન્સનો પુરાવો

સંખ્યાત્મક ક્રમની આપેલ મર્યાદા સાબિત કરવા માટે, કેટલીકવાર તમારે વ્યસ્ત સમસ્યા હલ કરવાની જરૂર છે. ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ.

સાબિત કરો કે સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવેલ ક્રમની મર્યાદા શૂન્ય છે.

ઉપર ચર્ચા કરેલ નિયમ મુજબ, કોઈપણ ક્રમ માટે અસમાનતા |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

ચાલો ચોક્કસ સંખ્યાનું અસ્તિત્વ બતાવવા અને ક્રમની મર્યાદાની હાજરી સાબિત કરવા માટે “એપ્સીલોન” દ્વારા n વ્યક્ત કરીએ.

આ બિંદુએ, એ યાદ રાખવું અગત્યનું છે કે "એપ્સીલોન" અને "en" હકારાત્મક સંખ્યાઓ છે અને શૂન્યની બરાબર નથી. હવે હાઈસ્કૂલમાં મેળવેલ અસમાનતાઓ વિશેના જ્ઞાનનો ઉપયોગ કરીને વધુ પરિવર્તનો ચાલુ રાખવાનું શક્ય છે.

તે કેવી રીતે બહાર આવે છે કે n > -3 + 1/ε. તે યાદ રાખવું યોગ્ય છે કે આપણે કુદરતી સંખ્યાઓ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ, પરિણામને ચોરસ કૌંસમાં મૂકીને ગોળાકાર કરી શકાય છે. આમ, તે સાબિત થયું હતું કે બિંદુ a = 0 ના "એપ્સીલોન" પડોશના કોઈપણ મૂલ્ય માટે, એક મૂલ્ય એવું જોવા મળ્યું હતું કે પ્રારંભિક અસમાનતા સંતુષ્ટ છે. અહીંથી આપણે સુરક્ષિત રીતે કહી શકીએ કે નંબર a એ આપેલ ક્રમની મર્યાદા છે. Q.E.D.

આ અનુકૂળ પદ્ધતિનો ઉપયોગ સંખ્યાત્મક ક્રમની મર્યાદા સાબિત કરવા માટે થઈ શકે છે, પછી ભલે તે પ્રથમ નજરમાં ગમે તેટલી જટિલ હોય. જ્યારે તમે કાર્ય જુઓ છો ત્યારે મુખ્ય વસ્તુ ગભરાવાની નથી.

અથવા કદાચ તે ત્યાં નથી?

વ્યવહારમાં સુસંગતતા મર્યાદાનું અસ્તિત્વ જરૂરી નથી. તમે સરળતાથી સંખ્યાઓની શ્રેણીમાં આવી શકો છો જેનો ખરેખર કોઈ અંત નથી. ઉદાહરણ તરીકે, સમાન “ફ્લેશિંગ લાઇટ” x n = (-1) n. તે સ્પષ્ટ છે કે માત્ર બે અંકો ધરાવતા ક્રમ, ચક્રીય રીતે પુનરાવર્તિત થાય છે, તેની મર્યાદા હોઈ શકતી નથી.

ગણતરી દરમિયાન કોઈપણ ક્રમની અનિશ્ચિતતા (0/0, ∞/∞, ∞/0, વગેરે). જો કે, તે યાદ રાખવું જોઈએ કે ખોટી ગણતરીઓ પણ થાય છે. કેટલીકવાર તમારા પોતાના ઉકેલને બે વાર તપાસવાથી તમને ક્રમ મર્યાદા શોધવામાં મદદ મળશે.

મોનોટોનિક ક્રમ

ક્રમના કેટલાક ઉદાહરણો અને તેમને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ ઉપર ચર્ચા કરવામાં આવી હતી, અને હવે ચાલો વધુ ચોક્કસ કેસ લેવાનો પ્રયાસ કરીએ અને તેને "મોનોટોનિક સિક્વન્સ" કહીએ.

વ્યાખ્યા: કોઈપણ ક્રમને યોગ્ય રીતે એકવિધ રીતે વધતો કહી શકાય જો તેના માટે કડક અસમાનતા x n ધરાવે છે< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.

આ બે શરતો સાથે, સમાન બિન-કડક અસમાનતાઓ પણ છે. તદનુસાર, x n ≤ x n +1 (બિન-ઘટતો ક્રમ) અને x n ≥ x n +1 (બિન-વધતો ક્રમ).

પરંતુ ઉદાહરણો સાથે આને સમજવું સરળ છે.

x n = 2+n સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવેલ ક્રમ સંખ્યાઓની નીચેની શ્રેણી બનાવે છે: 4, 5, 6, વગેરે. આ એકવિધ રીતે વધતો ક્રમ છે.

અને જો આપણે x n =1/n લઈએ, તો આપણને શ્રેણી મળે છે: 1/3, ¼, 1/5, વગેરે. આ એકવિધ રીતે ઘટતો ક્રમ છે.

કન્વર્જન્ટ અને બાઉન્ડેડ ક્રમની મર્યાદા

બાઉન્ડેડ સિક્વન્સ એ એવો ક્રમ છે જેની મર્યાદા હોય છે. કન્વર્જન્ટ ક્રમ એ સંખ્યાઓની શ્રેણી છે જેની અનંત મર્યાદા હોય છે.

આમ, બાઉન્ડેડ ક્રમની મર્યાદા એ કોઈપણ વાસ્તવિક અથવા જટિલ સંખ્યા છે. યાદ રાખો કે ત્યાં ફક્ત એક જ મર્યાદા હોઈ શકે છે.

કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સની મર્યાદા એ અનંત (વાસ્તવિક અથવા જટિલ) જથ્થો છે. જો તમે સિક્વન્સ ડાયાગ્રામ દોરો છો, તો પછી ચોક્કસ બિંદુએ તે એકરૂપ થાય છે, ચોક્કસ મૂલ્યમાં ફેરવાય છે. તેથી નામ - કન્વર્જન્ટ ક્રમ.

એકવિધ ક્રમની મર્યાદા

આવા ક્રમની કોઈ મર્યાદા હોઈ શકે કે ન પણ હોઈ શકે. પ્રથમ, તે ક્યારે અસ્તિત્વમાં છે તે સમજવું ઉપયોગી છે; મર્યાદાની ગેરહાજરી સાબિત કરતી વખતે તમે અહીંથી પ્રારંભ કરી શકો છો.

મોનોટોનિક સિક્વન્સમાં, કન્વર્જન્ટ અને ડાયવર્જન્ટને અલગ પાડવામાં આવે છે. કન્વર્જન્ટ એ એક ક્રમ છે જે સમૂહ x દ્વારા રચાય છે અને આ સમૂહમાં વાસ્તવિક અથવા જટિલ મર્યાદા છે. ડાયવર્જન્ટ એ એવો ક્રમ છે કે જેના સમૂહમાં કોઈ મર્યાદા નથી (ન તો વાસ્તવિક કે જટિલ નથી).

તદુપરાંત, જો ભૌમિતિક રજૂઆતમાં, તેની ઉપલી અને નીચલી મર્યાદાઓ એકરૂપ થાય તો ક્રમ એકરૂપ થાય છે.

કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સની મર્યાદા ઘણા કિસ્સાઓમાં શૂન્ય હોઈ શકે છે, કારણ કે કોઈપણ અનંત ક્રમની જાણીતી મર્યાદા (શૂન્ય) હોય છે.

તમે જે પણ કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સ લો છો, તે બધા બાઉન્ડેડ છે, પરંતુ તમામ બાઉન્ડેડ સિક્વન્સ કન્વર્જ થતા નથી.

બે કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સનો સરવાળો, તફાવત, પ્રોડક્ટ એ પણ કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સ છે. જો કે, જો તે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે તો અવશેષ કન્વર્જન્ટ પણ હોઈ શકે છે!

મર્યાદા સાથે વિવિધ ક્રિયાઓ

ક્રમની મર્યાદાઓ અંકો અને સંખ્યાઓ જેટલી મહત્વપૂર્ણ છે (મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં): 1, 2, 15, 24, 362, વગેરે. તે તારણ આપે છે કે અમુક કામગીરી મર્યાદા સાથે કરી શકાય છે.

પ્રથમ, સંખ્યાઓ અને સંખ્યાઓની જેમ, કોઈપણ ક્રમની મર્યાદા ઉમેરી અને બાદ કરી શકાય છે. સિક્વન્સની મર્યાદાઓ પરના ત્રીજા પ્રમેયના આધારે, નીચેની સમાનતા ધરાવે છે: સિક્વન્સના સરવાળાની મર્યાદા તેમની મર્યાદાના સરવાળા જેટલી છે.

બીજું, ક્રમની મર્યાદાઓ પરના ચોથા પ્રમેયના આધારે, નીચેની સમાનતા સાચી છે: ક્રમની nમી સંખ્યાના ગુણાંકની મર્યાદા તેમની મર્યાદાના ગુણાંક જેટલી છે. તે જ વિભાજન માટે સાચું છે: બે ક્રમના ભાગની મર્યાદા તેમની મર્યાદાના ભાગાકાર જેટલી હોય છે, જો મર્યાદા શૂન્ય ન હોય. છેવટે, જો સિક્વન્સની મર્યાદા શૂન્યની બરાબર હોય, તો શૂન્યથી વિભાજન પરિણામ આવશે, જે અશક્ય છે.

ક્રમ જથ્થાના ગુણધર્મો

એવું લાગે છે કે સંખ્યાત્મક ક્રમની મર્યાદા પહેલાથી જ કેટલીક વિગતવાર ચર્ચા કરવામાં આવી છે, પરંતુ "અનંત નાના" અને "અનંત મોટા" નંબરો જેવા શબ્દસમૂહો એક કરતા વધુ વખત ઉલ્લેખિત છે. દેખીતી રીતે, જો ત્યાં 1/x ક્રમ હોય, જ્યાં x→∞ હોય, તો આવા અપૂર્ણાંક અનંત છે, અને જો તે જ ક્રમ, પરંતુ મર્યાદા શૂન્ય (x→0) તરફ વળે છે, તો અપૂર્ણાંક એક અનંત મોટું મૂલ્ય બની જાય છે. અને આવા જથ્થામાં તેમની પોતાની લાક્ષણિકતાઓ છે. કોઈપણ નાના અથવા મોટા મૂલ્યો ધરાવતા ક્રમની મર્યાદાના ગુણધર્મો નીચે મુજબ છે:

1. નાની માત્રાની કોઈપણ સંખ્યાની કોઈપણ સંખ્યાનો સરવાળો પણ એક નાનો જથ્થો હશે.
2. કોઈપણ સંખ્યાના મોટા જથ્થાનો સરવાળો એક અનંત મોટી માત્રા હશે.
3. મનસ્વી રીતે નાની માત્રાનું ઉત્પાદન અનંત છે.
4. મોટી સંખ્યાઓની કોઈપણ સંખ્યાનું ઉત્પાદન અનંતપણે મોટું છે.
5. જો મૂળ ક્રમ અનંત મોટી સંખ્યા તરફ વળે છે, તો તેનો વ્યસ્ત અમર્યાદિત હશે અને શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે.

હકીકતમાં, જો તમે એક સરળ અલ્ગોરિધમ જાણતા હોવ તો ક્રમની મર્યાદાની ગણતરી કરવી એટલું મુશ્કેલ કાર્ય નથી. પરંતુ સુસંગતતાની મર્યાદા એ એક એવો વિષય છે જેને મહત્તમ ધ્યાન અને ખંતની જરૂર છે. અલબત્ત, આવા અભિવ્યક્તિઓના ઉકેલના સારને સમજવા માટે તે પૂરતું છે. નાની શરૂઆત કરીને, તમે સમય જતાં મહાન ઊંચાઈ હાંસલ કરી શકો છો.

ઘણા લોકો માટે, ગાણિતિક વિશ્લેષણ એ વાસ્તવિક જીવનથી દૂર અગમ્ય સંખ્યાઓ, પ્રતીકો અને વ્યાખ્યાઓનો માત્ર સમૂહ છે. જો કે, જે વિશ્વમાં આપણે અસ્તિત્વમાં છીએ તે સંખ્યાત્મક પેટર્ન પર બનેલ છે, જેની ઓળખ ફક્ત આપણી આસપાસની દુનિયાને સમજવામાં અને તેની જટિલ સમસ્યાઓ હલ કરવામાં જ નહીં, પણ રોજિંદા વ્યવહારિક સમસ્યાઓને સરળ બનાવવામાં પણ મદદ કરે છે. ગણિતશાસ્ત્રી જ્યારે કહે છે કે સંખ્યા ક્રમ એકરૂપ થાય છે ત્યારે તેનો અર્થ શું થાય છે? આપણે આ વિશે વધુ વિગતવાર વાત કરવી જોઈએ.

નાનું?

ચાલો કલ્પના કરીએ કે એક બીજાની અંદર બંધબેસતી ઢીંગલીઓ નેસ્ટિંગ કરે છે. તેમના કદ, સંખ્યાઓના સ્વરૂપમાં લખેલા, સૌથી મોટાથી શરૂ કરીને અને તેમાંથી સૌથી નાના સાથે સમાપ્ત થતાં, એક ક્રમ બનાવે છે. જો તમે આવા તેજસ્વી આંકડાઓની અનંત સંખ્યામાં કલ્પના કરો છો, તો પરિણામી પંક્તિ વિચિત્ર રીતે લાંબી હશે. આ એક કન્વર્જન્ટ નંબર સિક્વન્સ છે. અને તે શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, કારણ કે દરેક અનુગામી માળાની ઢીંગલીનું કદ, આપત્તિજનક રીતે ઘટતું જાય છે, ધીમે ધીમે કંઈપણમાં ફેરવાય છે. આમ, અનંત શું છે તે સમજાવવું સરળ છે.

એક સમાન ઉદાહરણ અંતરમાં જતો રસ્તો હશે. અને તેની સાથે નિરીક્ષકથી દૂર જતા કારના દ્રશ્ય પરિમાણો, ધીમે ધીમે સંકોચાઈને, બિંદુ જેવા આકારહીન સ્પેકમાં ફેરવાય છે. આમ, કાર, કોઈ વસ્તુની જેમ, અજાણી દિશામાં દૂર જતી, અનંત નાની બની જાય છે. ઉલ્લેખિત બોડીના પરિમાણો શબ્દના શાબ્દિક અર્થમાં ક્યારેય શૂન્ય નહીં હોય, પરંતુ અંતિમ મર્યાદામાં આ મૂલ્યને હંમેશા વલણ આપે છે. તેથી, આ ક્રમ ફરીથી શૂન્યમાં ફેરવાય છે.

ચાલો દરેક ડ્રોપ બાય ડ્રોપની ગણતરી કરીએ

ચાલો હવે રોજિંદા પરિસ્થિતિની કલ્પના કરીએ. ડૉક્ટરે દર્દીને મિશ્રણ લેવાનું સૂચવ્યું, દરરોજ દસ ટીપાંથી શરૂ કરીને અને પછીના દિવસે બે ટીપાં ઉમેરો. અને તેથી ડૉક્ટરે દવાની બોટલની સામગ્રી, જેનું પ્રમાણ 190 ટીપાં છે, ત્યાં સુધી ચાલુ રાખવાનું સૂચન કર્યું. ઉપરોક્ત પરથી તે અનુસરે છે કે આવા લોકોની સંખ્યા, દિવસ દ્વારા સૂચિબદ્ધ, નીચેની સંખ્યા શ્રેણી હશે: 10, 12, 14 અને તેથી વધુ.

આખો કોર્સ પૂરો કરવાનો સમય અને ક્રમના સભ્યોની સંખ્યા કેવી રીતે શોધી શકાય? અહીં, અલબત્ત, તમે આદિમ રીતે ટીપાંની ગણતરી કરી શકો છો. પરંતુ પેટર્નને ધ્યાનમાં લેતા, d = 2 પગલા સાથે સૂત્રનો ઉપયોગ કરવો તે ખૂબ સરળ છે. અને આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, શોધો કે સંખ્યા શ્રેણીના સભ્યોની સંખ્યા 10 છે. વધુમાં, a 10 = 28. ધ સભ્યની સંખ્યા દવા લેવાના દિવસોની સંખ્યા સૂચવે છે, અને દર્દીએ છેલ્લા દિવસે જે ટીપાં લેવા જોઈએ તે સંખ્યાને 28 અનુલક્ષે છે. શું આ ક્રમ એકરૂપ થાય છે? ના, કારણ કે, તે હકીકત હોવા છતાં કે તે 10 નંબર દ્વારા તળિયે મર્યાદિત છે, અને ટોચ પર - 28, આવી સંખ્યા શ્રેણીની કોઈ મર્યાદા નથી, અગાઉના ઉદાહરણોથી વિપરીત.

શું તફાવત છે?

ચાલો હવે સ્પષ્ટ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ: જ્યારે સંખ્યાની શ્રેણી કન્વર્જન્ટ ક્રમ તરીકે બહાર આવે છે. આ પ્રકારની વ્યાખ્યા, ઉપરોક્તમાંથી નિષ્કર્ષ પર આવી શકે છે, તે મર્યાદિત મર્યાદાની વિભાવના સાથે સીધી રીતે સંબંધિત છે, જેની હાજરી મુદ્દાના સારને છતી કરે છે. તો અગાઉ આપેલા ઉદાહરણો વચ્ચે મૂળભૂત તફાવત શું છે? અને શા માટે તેમાંથી છેલ્લી સંખ્યા 28 નંબર શ્રેણી X n = 10 + 2(n-1) ની મર્યાદા ગણી શકાતી નથી?

આ પ્રશ્નને સ્પષ્ટ કરવા માટે, નીચે આપેલા સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવેલ અન્ય ક્રમને ધ્યાનમાં લો, જ્યાં n કુદરતી સંખ્યાઓના સમૂહનો છે.

સભ્યોનો આ સમુદાય એ સામાન્ય અપૂર્ણાંકોનો સમૂહ છે, જેનો અંશ 1 છે, અને છેદ સતત વધી રહ્યો છે: 1, ½ ...

તદુપરાંત, આ શ્રેણીના દરેક અનુગામી પ્રતિનિધિ નંબર લાઇન પર સ્થાનમાં 0 ની નજીક છે આનો અર્થ એ છે કે એક પડોશી દેખાય છે જ્યાં પોઈન્ટ શૂન્યની આસપાસ હોય છે, જે મર્યાદા છે. અને તેઓ તેની જેટલી નજીક છે, સંખ્યા રેખા પર તેમની સાંદ્રતા વધુ ગીચ બને છે. અને તેમની વચ્ચેનું અંતર આપત્તિજનક રીતે ઘટે છે, અનંતમાં ફેરવાય છે. આ એક સંકેત છે કે ક્રમ કન્વર્જન્ટ છે.

તે જ રીતે, આકૃતિમાં દર્શાવવામાં આવેલા બહુ-રંગીન લંબચોરસ, જ્યારે અવકાશમાં દૂર કરવામાં આવે છે, ત્યારે કાલ્પનિક મર્યાદામાં નગણ્યમાં ફેરવાઈને દૃષ્ટિની રીતે વધુ નજીકથી ગોઠવાયેલા હોય છે.

અનંત મોટા સિક્વન્સ

કન્વર્જન્ટ ક્રમની વ્યાખ્યાની તપાસ કર્યા પછી, ચાલો હવે પ્રતિઉદાહરણ તરફ આગળ વધીએ. તેમાંના ઘણા પ્રાચીન સમયથી માણસ માટે જાણીતા છે. વિભિન્ન ક્રમના સૌથી સરળ પ્રકારો કુદરતી અને સમાન સંખ્યાઓની શ્રેણી છે. અન્યથા તેઓને અનંત મોટા કહેવામાં આવે છે, કારણ કે તેમના સભ્યો, સતત વધી રહ્યા છે, વધુને વધુ હકારાત્મક અનંતની નજીક આવી રહ્યા છે.

આનાં ઉદાહરણો શૂન્ય કરતાં વધુ, અનુક્રમે સ્ટેપ અને છેદ સાથેની કોઈપણ અંકગણિત અને ભૌમિતિક પ્રગતિ પણ હોઈ શકે છે. ડાયવર્જન્ટ સિક્વન્સને સંખ્યાત્મક શ્રેણી તરીકે પણ ગણવામાં આવે છે જેની કોઈ મર્યાદા નથી. ઉદાહરણ તરીકે, X n = (-2) n -1 .

ફિબોનાકી ક્રમ

માનવતા માટે અગાઉ ઉલ્લેખિત નંબર શ્રેણીના વ્યવહારિક ફાયદા નિર્વિવાદ છે. પરંતુ અન્ય ઘણા અદ્ભુત ઉદાહરણો છે. તેમાંથી એક ફિબોનાકી ક્રમ છે. તેની દરેક શરતો, જે એકથી શરૂ થાય છે, તે અગાઉના શબ્દોનો સરવાળો છે. તેના પ્રથમ બે પ્રતિનિધિઓ 1 અને 1 છે. ત્રીજો 1+1=2 છે, ચોથો 1+2=3 છે, પાંચમો 2+3=5 છે. આગળ, સમાન તર્ક અનુસાર, નંબરો 8, 13, 21 અને તેથી વધુને અનુસરો.

સંખ્યાઓની આ શ્રેણી અનિશ્ચિત રૂપે વધે છે અને તેની કોઈ મર્યાદિત મર્યાદા નથી. પરંતુ તેની પાસે બીજી અદ્ભુત મિલકત છે. દરેક પાછલી સંખ્યાનો ગુણોત્તર તેના મૂલ્યમાં 0.618 સુધી પહોંચી રહ્યો છે. 0.618 ની બરાબર અંતિમ મર્યાદા.

ફિબોનાકી ગુણોત્તરનો ક્રમ

બજારોના ટેકનિકલ પૃથ્થકરણ માટે વ્યવહારુ હેતુઓ માટે ઉપરોક્ત સંખ્યાત્મક શ્રેણીનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. પરંતુ આ તેની ક્ષમતાઓને મર્યાદિત કરતું નથી, જે ઇજિપ્તવાસીઓ અને ગ્રીક લોકો જાણતા હતા અને પ્રાચીન સમયમાં વ્યવહારમાં મૂકવા સક્ષમ હતા. આ તેમના દ્વારા બાંધવામાં આવેલા પિરામિડ અને પાર્થેનોન દ્વારા સાબિત થાય છે. છેવટે, નંબર 0.618 એ સુવર્ણ ગુણોત્તરનો સતત ગુણાંક છે, જે પ્રાચીન સમયમાં જાણીતો છે. આ નિયમ મુજબ, કોઈપણ મનસ્વી સેગમેન્ટને વિભાજિત કરી શકાય છે જેથી કરીને તેના ભાગો વચ્ચેનો સંબંધ સૌથી મોટા સેગમેન્ટ્સ અને કુલ લંબાઈ વચ્ચેના સંબંધ સાથે મેળ ખાય.

ચાલો આ સંબંધોની શ્રેણી બનાવીએ અને આ ક્રમનું વિશ્લેષણ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ. સંખ્યાની શ્રેણી નીચે મુજબ હશે: 1; 0.5; 0.67; 0.6; 0.625; 0.615; 0.619 અને તેથી વધુ. આ રીતે ચાલુ રાખીને, અમે ચકાસી શકીએ છીએ કે કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સની મર્યાદા ખરેખર 0.618 હશે. જો કે, આ પેટર્નના અન્ય ગુણધર્મોને નોંધવું જરૂરી છે. અહીં સંખ્યાઓ ક્રમની બહાર લાગે છે, અને ચડતા અથવા ઉતરતા ક્રમમાં બિલકુલ નથી. આનો અર્થ એ છે કે આ કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સ મોનોટોનિક નથી. આવું શા માટે છે તેની આગળ ચર્ચા કરવામાં આવશે.

એકવિધતા અને મર્યાદા

વધતી સંખ્યાઓ સાથે સંખ્યા શ્રેણીના સભ્યો સ્પષ્ટપણે ઘટી શકે છે (જો x 1 > x 2 > x 3 >…> x n >…) અથવા વધી શકે છે (જો x 1

આ શ્રેણીની સંખ્યાઓ લખ્યા પછી, તમે જોઈ શકો છો કે તેના કોઈપણ સભ્યો, અનિશ્ચિત રૂપે 1 ની નજીક પહોંચે છે, તે આ મૂલ્યને ક્યારેય ઓળંગશે નહીં. આ કિસ્સામાં, કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સ બાઉન્ડેડ હોવાનું કહેવાય છે. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે કોઈ ધન સંખ્યા M હોય છે જે હંમેશા મોડ્યુલસમાં શ્રેણીની કોઈપણ શરતો કરતાં મોટી હોવાનું બહાર આવે છે. જો સંખ્યાની શ્રેણીમાં એકવિધતાના ચિહ્નો હોય અને તેની મર્યાદા હોય, અને તેથી કન્વર્જ થાય, તો તે આવશ્યકપણે આ ગુણધર્મથી સંપન્ન છે. તદુપરાંત, વિપરીત સાચું હોવું જરૂરી નથી. કન્વર્જન્ટ ક્રમની સીમા પરના પ્રમેય દ્વારા આ પુરાવા મળે છે.

વ્યવહારમાં આવા અવલોકનોનો ઉપયોગ ખૂબ જ ઉપયોગી સાબિત થાય છે. ચાલો એક વિશિષ્ટ ઉદાહરણ આપીએ, ક્રમ X n = n/n+1 ના ગુણધર્મનું પરીક્ષણ કરીએ અને તેનું સંપાત સાબિત કરીએ. તે દર્શાવવું સરળ છે કે તે મોનોટોનિક છે, કારણ કે (x n +1 - x n) એ n ના કોઈપણ મૂલ્ય માટે હકારાત્મક સંખ્યા છે. ક્રમની મર્યાદા નંબર 1 ની બરાબર છે, જેનો અર્થ છે કે ઉપરોક્ત પ્રમેયની તમામ શરતો, જેને વેયરસ્ટ્રાસનું પ્રમેય પણ કહેવાય છે, પૂર્ણ થાય છે. કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સ માટે બાઉન્ડનેસ પ્રમેય જણાવે છે કે જો તેની મર્યાદા હોય, તો તે કોઈપણ સંજોગોમાં બંધાયેલ છે. જો કે, ચાલો નીચેનું ઉદાહરણ આપીએ. સંખ્યા શ્રેણી X n = (-1) n નીચે નંબર -1 અને ઉપરના 1 વડે બંધાયેલ છે. પરંતુ આ ક્રમ મોનોટોનિક નથી, તેની કોઈ મર્યાદા નથી અને તેથી કન્વર્જ થતી નથી. એટલે કે, મર્યાદા હંમેશા મર્યાદા અને સંપાતની હાજરીને સૂચિત કરતી નથી. આવું થાય તે માટે, ફિબોનાકી રેશિયોની જેમ, નીચલી અને ઉપલી મર્યાદાઓ એકરૂપ હોવી જોઈએ.

બ્રહ્માંડની સંખ્યા અને કાયદા

કન્વર્જન્ટ અને ડાયવર્જન્ટ ક્રમના સૌથી સરળ પ્રકારો, કદાચ, સંખ્યા શ્રેણી X n = n અને X n = 1/n છે. તેમાંથી પ્રથમ સંખ્યાઓની કુદરતી શ્રેણી છે. તે, પહેલેથી જ ઉલ્લેખ કર્યો છે, અનંત વિશાળ છે. બીજો કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સ બાઉન્ડેડ છે, અને તેની શરતો તીવ્રતામાં અનંત સુધી પહોંચે છે. આમાંના દરેક સૂત્ર બહુપક્ષીય બ્રહ્માંડની એક બાજુને વ્યક્ત કરે છે, વ્યક્તિને સંખ્યાઓ અને ચિહ્નોની ભાષામાં, અજાણી, મર્યાદિત દ્રષ્ટિ માટે અપ્રાપ્ય કંઈકની કલ્પના અને ગણતરી કરવામાં મદદ કરે છે.

બ્રહ્માંડના નિયમો, નજીવાથી લઈને અવિશ્વસનીય રીતે મોટા સુધીના, 0.618 ના સુવર્ણ ગુણાંક દ્વારા પણ વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. વૈજ્ઞાનિકો માને છે કે તે વસ્તુઓના સારનાં મૂળમાં રહેલું છે અને તેના ભાગો બનાવવા માટે પ્રકૃતિ દ્વારા તેનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. ફિબોનાકી શ્રેણીના અનુગામી અને અગાઉના સભ્યો વચ્ચે અગાઉ ઉલ્લેખિત સંબંધો આ અનન્ય શ્રેણીના અદ્ભુત ગુણધર્મોના પ્રદર્શનને પૂર્ણ કરતા નથી. જો આપણે પાછલા પદને એક પછી એક દ્વારા વિભાજીત કરવાના ભાગને ધ્યાનમાં લઈએ, તો આપણને શ્રેણી 0.5 મળે છે; 0.33; 0.4; 0.375; 0.384; 0.380; 0.382 અને તેથી વધુ. રસપ્રદ બાબત એ છે કે આ મર્યાદિત ક્રમ એકરૂપ થાય છે, તે એકવિધ નથી, પરંતુ ચોક્કસ શબ્દથી આત્યંતિક નજીકની સંખ્યાઓનો ગુણોત્તર હંમેશા લગભગ 0.382 ની બરાબર હોય છે, જેનો ઉપયોગ આર્કિટેક્ચર, તકનીકી વિશ્લેષણ અને અન્ય ઉદ્યોગોમાં પણ થઈ શકે છે.

ફિબોનાકી શ્રેણીના અન્ય રસપ્રદ ગુણાંકો છે, તે બધા પ્રકૃતિમાં વિશેષ ભૂમિકા ભજવે છે, અને વ્યવહારિક હેતુઓ માટે પણ માનવીઓ દ્વારા ઉપયોગમાં લેવાય છે. ગણિતશાસ્ત્રીઓને વિશ્વાસ છે કે બ્રહ્માંડ સૂચવેલ ગુણાંકમાંથી બનેલા "ગોલ્ડન સર્પાકાર" સાથે વિકાસ કરી રહ્યું છે. તેમની મદદથી, ચોક્કસ બેક્ટેરિયાની સંખ્યાના વિકાસથી લઈને દૂરના ધૂમકેતુઓની હિલચાલ સુધી, પૃથ્વી અને અવકાશમાં બનતી ઘણી ઘટનાઓની ગણતરી કરવી શક્ય છે. જેમ જેમ તે તારણ આપે છે, ડીએનએ કોડ સમાન કાયદાને આધીન છે.

ભૌમિતિક પ્રગતિમાં ઘટાડો

કન્વર્જન્ટ ક્રમની મર્યાદાની વિશિષ્ટતા દર્શાવતું એક પ્રમેય છે. આનો અર્થ એ છે કે તેની બે અથવા વધુ મર્યાદાઓ હોઈ શકતી નથી, જે તેની ગાણિતિક લાક્ષણિકતાઓ શોધવા માટે નિઃશંકપણે મહત્વપૂર્ણ છે.

ચાલો કેટલાક કિસ્સાઓ જોઈએ. અંકગણિત પ્રગતિના સભ્યોની બનેલી કોઈપણ સંખ્યાની શ્રેણી અલગ હોય છે, સિવાય કે શૂન્ય પગલાવાળા કિસ્સા. આ જ ભૌમિતિક પ્રગતિને લાગુ પડે છે જેનો છેદ 1 કરતા વધારે છે. આવી સંખ્યા શ્રેણીની મર્યાદા અનંતની "વત્તા" અથવા "માઈનસ" છે. જો છેદ -1 કરતા ઓછું હોય, તો તેની કોઈ મર્યાદા નથી. અન્ય વિકલ્પો પણ શક્ય છે.

ચાલો સૂત્ર X n = (1/4) n -1 દ્વારા આપવામાં આવેલી સંખ્યાની શ્રેણીને ધ્યાનમાં લઈએ. પ્રથમ નજરમાં, તે સમજવું સરળ છે કે આ કન્વર્જન્ટ ક્રમ બંધાયેલ છે કારણ કે તે સખત રીતે ઘટી રહ્યો છે અને નકારાત્મક મૂલ્યો લેવા માટે કોઈપણ રીતે સક્ષમ નથી.

ચાલો તેના સભ્યોની ચોક્કસ સંખ્યાને શ્રેણીમાં લખીએ.

તે તારણ આપે છે: 1; 0.25; 0.0625; 0.015625; 0.00390625 અને તેથી વધુ. આ ભૌમિતિક પ્રગતિ છેદ 0 થી કેટલી ઝડપથી શરૂ થાય છે તે સમજવા માટે એકદમ સરળ ગણતરીઓ પૂરતી છે.

મૂળભૂત સિક્વન્સ

ફ્રેંચ વૈજ્ઞાનિક ઓગસ્ટિન લુઈસ કોચીએ વિશ્વને ગાણિતિક પૃથ્થકરણને લગતી ઘણી કૃતિઓ બતાવી. તેમણે વિભેદક, અભિન્ન, મર્યાદા અને સાતત્ય જેવી વિભાવનાઓની વ્યાખ્યાઓ આપી. તેમણે કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સના મૂળભૂત ગુણધર્મોની પણ તપાસ કરી. તેમના વિચારોના સારને સમજવા માટે, કેટલીક મહત્વપૂર્ણ વિગતોનો સારાંશ આપવો જરૂરી છે.

લેખની શરૂઆતમાં, એવું દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે એવા ક્રમ છે કે જેના માટે એક પડોશ છે જ્યાં સંખ્યા રેખા પર ચોક્કસ શ્રેણીના સભ્યોનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા બિંદુઓ વધુને વધુ ગીચતાથી એકસાથે ભીડ થવાનું શરૂ કરે છે. તે જ સમયે, તેમની વચ્ચેનું અંતર ઘટે છે કારણ કે આગામી પ્રતિનિધિની સંખ્યા વધે છે, અનંતમાં ફેરવાય છે. આમ, તે તારણ આપે છે કે આપેલ પડોશમાં આપેલ શ્રેણીના પ્રતિનિધિઓની અનંત સંખ્યામાં જૂથબદ્ધ કરવામાં આવે છે, જ્યારે તેની બહાર તેમની સંખ્યા મર્યાદિત હોય છે. આવા ક્રમને મૂળભૂત કહેવામાં આવે છે.

ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી દ્વારા બનાવવામાં આવેલ પ્રખ્યાત કોચી માપદંડ સ્પષ્ટપણે સૂચવે છે કે આવી મિલકતની હાજરી એ સાબિત કરવા માટે પૂરતી છે કે ક્રમ એકરૂપ થાય છે. વિપરીત પણ સાચું છે.

એ નોંધવું જોઇએ કે ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રીનું આ નિષ્કર્ષ મોટે ભાગે સંપૂર્ણ સૈદ્ધાંતિક રસ ધરાવે છે. વ્યવહારમાં તેનો ઉપયોગ તદ્દન મુશ્કેલ માનવામાં આવે છે, તેથી, શ્રેણીના સંપાતને નિર્ધારિત કરવા માટે, ક્રમ માટે મર્યાદિત મર્યાદાના અસ્તિત્વને સાબિત કરવું વધુ મહત્વપૂર્ણ છે. નહિંતર, તે અલગ ગણવામાં આવે છે.

સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, તમારે કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સના મૂળભૂત ગુણધર્મોને પણ ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ. તેઓ નીચે પ્રસ્તુત છે.

અનંત માત્રામાં

આર્કિમિડીઝ, યુક્લિડ, યુડોક્સસ જેવા પ્રખ્યાત પ્રાચીન વૈજ્ઞાનિકોએ વળાંકોની લંબાઈ, શરીરના જથ્થા અને આંકડાઓના ક્ષેત્રોની ગણતરી કરવા માટે અનંત સંખ્યાની શ્રેણીના સરવાળાનો ઉપયોગ કર્યો હતો. ખાસ કરીને, આ રીતે પેરાબોલિક સેગમેન્ટનો વિસ્તાર શોધવાનું શક્ય હતું. આ હેતુ માટે, q = 1/4 સાથે ભૌમિતિક પ્રગતિની સંખ્યા શ્રેણીના સરવાળાનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. અન્ય મનસ્વી આંકડાઓના વોલ્યુમો અને વિસ્તારો સમાન રીતે મળી આવ્યા હતા. આ વિકલ્પને "એક્ઝ્યુશન" પદ્ધતિ કહેવામાં આવતી હતી. વિચાર એ હતો કે શરીરનો અભ્યાસ કરવામાં આવી રહ્યો હતો, આકારમાં જટિલ, ભાગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવ્યું હતું, જે સરળતાથી માપી શકાય તેવા પરિમાણો સાથેના આંકડા હતા. આ કારણોસર, તેમના વિસ્તારો અને વોલ્યુમોની ગણતરી કરવી મુશ્કેલ ન હતી, અને પછી તેઓ ઉમેરવામાં આવ્યા હતા.

માર્ગ દ્વારા, સમાન સમસ્યાઓ આધુનિક શાળાના બાળકો માટે ખૂબ જ પરિચિત છે અને યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા કાર્યોમાં જોવા મળે છે. દૂરના પૂર્વજો દ્વારા મળેલી એક અનોખી પદ્ધતિ આજે પણ સૌથી સરળ ઉકેલ છે. જો ત્યાં માત્ર બે અથવા ત્રણ ભાગો હોય કે જેમાં સંખ્યાત્મક આકૃતિને વિભાજિત કરવામાં આવી હોય, તો પણ તેમના વિસ્તારોનો ઉમેરો હજુ પણ સંખ્યા શ્રેણીના સરવાળાને દર્શાવે છે.

ઘણા સમય પછી, પ્રાચીન ગ્રીક વૈજ્ઞાનિકો લીબનીઝ અને ન્યુટન, તેમના શાણા પુરોગામીઓના અનુભવના આધારે, અભિન્ન ગણતરીના નિયમો શીખ્યા. ક્રમના ગુણધર્મોના જ્ઞાને તેમને વિભેદક અને બીજગણિતીય સમીકરણો ઉકેલવામાં મદદ કરી. હાલમાં, પ્રતિભાશાળી વૈજ્ઞાનિકોની ઘણી પેઢીઓના પ્રયત્નો દ્વારા બનાવવામાં આવેલ શ્રેણીનો સિદ્ધાંત, મોટી સંખ્યામાં ગાણિતિક અને વ્યવહારુ સમસ્યાઓ હલ કરવાની તક પૂરી પાડે છે. અને સંખ્યાત્મક ક્રમનો અભ્યાસ એ તેની રચનાથી ગાણિતિક વિશ્લેષણ દ્વારા હલ કરવામાં આવેલી મુખ્ય સમસ્યા છે.

ક્રમ એ ગણિતની મૂળભૂત વિભાવનાઓમાંની એક છે. ક્રમ સંખ્યાઓ, બિંદુઓ, કાર્યો, વેક્ટર વગેરેનો બનેલો હોઈ શકે છે. જો દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા ચોક્કસ સમૂહના તત્વ સાથે સંકળાયેલ હોય તે મુજબ કાયદો નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવ્યો હોય તો ક્રમ આપવામાં આવે છે. ક્રમ ફોર્મમાં અથવા સંક્ષિપ્તમાં લખાયેલ છે. તત્વોને ક્રમના સભ્યો કહેવામાં આવે છે, - પ્રથમ, - બીજો, - ક્રમનો સામાન્ય (થ) સભ્ય.

સંખ્યાના ક્રમને મોટાભાગે ગણવામાં આવે છે, એટલે કે. ક્રમ જેના સભ્યો સંખ્યાઓ છે. વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ એ સંખ્યાત્મક ક્રમનો ઉલ્લેખ કરવાની સૌથી સરળ રીત છે. આ ક્રમના મા સભ્યને તેની સંખ્યા દ્વારા દર્શાવતા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો

બીજી પદ્ધતિ પુનરાવર્તિત છે (લેટિન શબ્દ પુનરાવર્તિત - "રીટર્નિંગ" માંથી), જ્યારે તમે ક્રમની પ્રથમ કેટલીક શરતો અને એક નિયમનો ઉલ્લેખ કરો છો જે તમને પાછલા શબ્દો દ્વારા દરેક અનુગામી પદની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે:

સંખ્યા ક્રમના ઉદાહરણો અંકગણિત પ્રગતિ અને ભૌમિતિક પ્રગતિ છે.

ક્રમના સભ્યોની વર્તણૂકને શોધી કાઢવી રસપ્રદ છે કારણ કે સંખ્યા અનિશ્ચિત રૂપે વધે છે (જે અનિશ્ચિત રૂપે વધે છે તે ફોર્મમાં લખવામાં આવે છે અને વાંચે છે: "અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે").

સામાન્ય શબ્દ સાથેના ક્રમને ધ્યાનમાં લો: , , , …, , …. આ ક્રમની તમામ શરતો શૂન્યથી અલગ છે, પરંતુ વધુ , શૂન્યથી ઓછી અલગ છે. આ ક્રમની શરતો શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે કારણ કે તેઓ અનિશ્ચિત રૂપે વધે છે. તેઓ કહે છે કે શૂન્ય સંખ્યા એ આ ક્રમની મર્યાદા છે.

બીજું ઉદાહરણ: - ક્રમ વ્યાખ્યાયિત કરે છે

આ ક્રમની શરતો પણ શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, પરંતુ તે કેટલીકવાર શૂન્ય કરતાં વધુ હોય છે, ક્યારેક શૂન્ય કરતાં ઓછી હોય છે - તેમની મર્યાદા.

ચાલો બીજું ઉદાહરણ જોઈએ: . જો ફોર્મમાં રજૂ થાય છે

પછી તે સ્પષ્ટ થશે કે આ ક્રમ એકતા તરફ વલણ ધરાવે છે.

ચાલો ક્રમની મર્યાદા વ્યાખ્યાયિત કરીએ. કોઈ સંખ્યાને અનુક્રમની મર્યાદા કહેવામાં આવે છે જો કોઈપણ સકારાત્મક સંખ્યા માટે એવી સંખ્યાનો ઉલ્લેખ કરવો શક્ય હોય કે જે બધા માટે અસમાનતા ધરાવે છે.

જો ક્રમની મર્યાદા હોય, તો પછી તેઓ લખે છે, અથવા (લેટિન શબ્દ લાઈમ્સના પ્રથમ ત્રણ અક્ષરો - "મર્યાદા").

જો તેને ભૌમિતિક અર્થ આપવામાં આવે તો આ વ્યાખ્યા વધુ સ્પષ્ટ થશે. ચાલો નંબરને અંતરાલમાં બંધ કરીએ (ફિગ. 1). સંખ્યા એ ક્રમની મર્યાદા છે, જો, અંતરાલની નાનીતાને ધ્યાનમાં લીધા વિના, ક્રમના તમામ સભ્યો આ અંતરાલમાં કેટલાક કરતાં મોટી સંખ્યાઓ સાથે રહે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ક્રમની શરતોની માત્ર મર્યાદિત સંખ્યા કોઈપણ અંતરાલની બહાર હોઈ શકે છે.

ધ્યાનમાં લેવાયેલા ક્રમ માટે, પરના બિંદુ શૂન્યના -પડોશમાં પ્રથમ દસ સિવાય ક્રમની તમામ શરતો અને at - પ્રથમ સો સિવાય ક્રમની તમામ શરતોનો સમાવેશ થાય છે.

જે ક્રમમાં મર્યાદા હોય છે તેને કન્વર્જન્ટ કહેવાય છે અને જે ક્રમમાં મર્યાદા નથી તેને ડાયવર્જન્ટ કહેવાય છે. અહીં એક અલગ ક્રમનું ઉદાહરણ છે: . તેના સભ્યો વૈકલ્પિક રીતે સમાન હોય છે અને કોઈપણ મર્યાદા તરફ વલણ ધરાવતા નથી.

જો ક્રમ કન્વર્જ થાય છે, તો તે બંધાયેલ છે, એટલે કે. ત્યાં સંખ્યાઓ છે અને એવી છે કે ક્રમની તમામ શરતો શરતને સંતોષે છે. તે અનુસરે છે કે તમામ અનબાઉન્ડેડ સિક્વન્સ અલગ અલગ છે. આ ક્રમ છે:

"પ્રકૃતિનો ગાઢ, ઊંડો અભ્યાસ ગણિતમાં સૌથી ફળદાયી શોધનો સ્ત્રોત છે." જે. ફોરિયર

શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવતા ક્રમને અનંત કહેવાય છે. અનુક્રમની મર્યાદાની સામાન્ય વ્યાખ્યા માટેના આધાર તરીકે અનંતની વિભાવનાનો ઉપયોગ કરી શકાય છે, કારણ કે અનુક્રમની મર્યાદા સમાન હોય છે અને માત્ર જો તેને સરવાળો તરીકે દર્શાવી શકાય, જ્યાં અનંત છે.

ગણવામાં આવેલ સિક્વન્સ અનંત છે. ક્રમ , (2) થી નીચે મુજબ છે, 1 થી અનંતથી અલગ છે, અને તેથી આ ક્રમની મર્યાદા 1 ની બરાબર છે.

ગાણિતિક પૃથ્થકરણમાં અનંત મોટા ક્રમની વિભાવના પણ ખૂબ મહત્વ ધરાવે છે. જો ક્રમ અમર્યાદિત હોય તો ક્રમને અનંત મોટી કહેવામાં આવે છે. એક અનંત મોટો ક્રમ સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે છે, અથવા , અને તેને "અનંત તરફ વલણ" કહેવામાં આવે છે. અહીં અનંત મોટા સિક્વન્સનાં ઉદાહરણો છે:

અમે ભારપૂર્વક કહીએ છીએ કે અનંત મોટા ક્રમની કોઈ મર્યાદા નથી.

ચાલો સિક્વન્સ અને . સામાન્ય શબ્દો , , અને (જો) સાથે ક્રમ વ્યાખ્યાયિત કરવું શક્ય છે. નીચેનું પ્રમેય માન્ય છે, જેને ઘણી વખત મર્યાદાઓ સાથે અંકગણિત કામગીરી પર પ્રમેય કહેવામાં આવે છે: જો અનુક્રમો કન્વર્જન્ટ હોય, તો ક્રમ , , , અને સમાનતાઓ પણ ધરાવે છે:

પછીના કિસ્સામાં, શૂન્યથી ભિન્ન ક્રમની તમામ શરતો ઉપરાંત, સ્થિતિ સંતોષાય તે જરૂરી છે.

આ પ્રમેય લાગુ કરવાથી, ઘણી મર્યાદાઓ શોધી શકાય છે. ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, એક સામાન્ય પદ અને બિન-વધતા હોય તેવા ક્રમની મર્યાદા શોધીએ. તે તદ્દન સ્પષ્ટ છે કે આ ક્રમ કેટલીક સંખ્યાઓ તરફ વળે છે જે કાં તો તેનાથી ઓછી અથવા તેની સમાન હોય છે. ગાણિતિક પૃથ્થકરણ દરમિયાન, પ્રમેય સાબિત થાય છે કે બિન-ઘટતા અને ઉપરના ક્રમની મર્યાદા હોય છે (સમાન વિધાન બિન-વધતા અને ક્રમની નીચે બાઉન્ડેડ માટે સાચું છે). આ નોંધપાત્ર પ્રમેય મર્યાદાના અસ્તિત્વ માટે પૂરતી શરતો પ્રદાન કરે છે. તેમાંથી, ઉદાહરણ તરીકે, તે અનુસરે છે કે એકમ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં અંકિત નિયમિત ત્રિકોણના ક્ષેત્રોના ક્રમની મર્યાદા છે, કારણ કે તે ઉપરથી એકવિધ રીતે વધી રહી છે અને બંધાયેલ છે. આ ક્રમની મર્યાદા દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

મોનોટોનિક મર્યાદિત ક્રમની મર્યાદાનો ઉપયોગ કરીને, ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં મોટી ભૂમિકા ભજવતી સંખ્યા નક્કી કરવામાં આવે છે - કુદરતી લઘુગણકનો આધાર:

.

ક્રમ (1), જેમ પહેલાથી નોંધ્યું છે, તે એકવિધ છે અને વધુમાં, ઉપરથી બંધાયેલ છે. તેની એક મર્યાદા છે. આ મર્યાદા આપણે સરળતાથી શોધી શકીએ છીએ. જો તે સમાન હોય, તો સંખ્યાએ સમાનતાને સંતોષવી આવશ્યક છે. આ સમીકરણ ઉકેલવાથી, આપણને મળે છે.

કુદરતી સંખ્યાઓની શ્રેણીને ધ્યાનમાં લો: 1, 2, 3, , n – 1, n,  .

જો આપણે દરેક કુદરતી સંખ્યાને બદલીએ nઆ શ્રેણીમાં ચોક્કસ સંખ્યા દ્વારા a n, કેટલાક કાયદાને અનુસરીને, અમને સંખ્યાઓની નવી શ્રેણી મળે છે:

a 1 , a 2 , a 3, , a n –1 , a n , ,

સંક્ષિપ્તમાં નિયુક્ત અને કહેવાય છે સંખ્યાત્મક ક્રમ. તીવ્રતા a nસંખ્યા ક્રમનો સામાન્ય સભ્ય કહેવાય છે. સામાન્ય રીતે સંખ્યા ક્રમ અમુક સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે a n = f(n) તમને અનુક્રમના કોઈપણ સભ્યને તેની સંખ્યા દ્વારા શોધવાની મંજૂરી આપે છે n; આ સૂત્રને સામાન્ય શબ્દ સૂત્ર કહેવામાં આવે છે. નોંધ કરો કે સામાન્ય શબ્દ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સંખ્યાત્મક ક્રમને વ્યાખ્યાયિત કરવું હંમેશા શક્ય નથી; કેટલીકવાર તેના સભ્યોનું વર્ણન કરીને ક્રમ નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા પ્રમાણે, ક્રમમાં હંમેશા તત્વોની અનંત સંખ્યા હોય છે: કોઈપણ બે જુદા જુદા તત્વો ઓછામાં ઓછા તેમની સંખ્યામાં ભિન્ન હોય છે, જેમાંથી અનંત ઘણા છે.

સંખ્યા ક્રમ એ ફંક્શનનો વિશિષ્ટ કેસ છે. ક્રમ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સમૂહ પર નિર્ધારિત કાર્ય છે અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહમાં મૂલ્યો લે છે, એટલે કે ફોર્મનું કાર્ય f : એન  આર.

અનુગામી
કહેવાય છે વધારો(ઘટતું), જો કોઈ માટે n  એન
આવા સિક્વન્સ કહેવામાં આવે છે સખત એકવિધ.

કેટલીકવાર બધી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો નંબર તરીકે ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ નથી, પરંતુ તેમાંથી માત્ર કેટલીક (ઉદાહરણ તરીકે, કેટલીક કુદરતી સંખ્યાઓથી શરૂ થતી કુદરતી સંખ્યાઓ n 0). નંબરિંગ માટે માત્ર કુદરતી સંખ્યાઓ જ નહીં, પણ અન્ય સંખ્યાઓનો પણ ઉપયોગ કરવો શક્ય છે, ઉદાહરણ તરીકે, n= 0, 1, 2,  (અહીં કુદરતી સંખ્યાઓના સમૂહમાં શૂન્ય બીજી સંખ્યા તરીકે ઉમેરવામાં આવે છે). આવા કિસ્સાઓમાં, ક્રમનો ઉલ્લેખ કરતી વખતે, નંબરો કયા મૂલ્યો લે છે તે દર્શાવો n.

જો કોઈ માટે અમુક ક્રમમાં n  એન
પછી ક્રમ કહેવાય છે બિન-ઘટતું(બિન-વધતું). આવા સિક્વન્સ કહેવામાં આવે છે એકવિધ.

ઉદાહરણ 1 . સંખ્યા ક્રમ 1, 2, 3, 4, 5, ... એ કુદરતી સંખ્યાઓની શ્રેણી છે અને તેનો સામાન્ય શબ્દ છે a n = n.

ઉદાહરણ 2 . સંખ્યા ક્રમ 2, 4, 6, 8, 10, ... એ સમ સંખ્યાઓની શ્રેણી છે અને તેનો સામાન્ય શબ્દ છે a n = 2n.

ઉદાહરણ 3 . 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … – વધતી સચોટતા સાથે અંદાજિત મૂલ્યોનો સંખ્યાત્મક ક્રમ.

છેલ્લા ઉદાહરણમાં ક્રમના સામાન્ય શબ્દ માટે સૂત્ર આપવાનું અશક્ય છે.

ઉદાહરણ 4 . સંખ્યા ક્રમના પ્રથમ 5 પદો તેના સામાન્ય પદનો ઉપયોગ કરીને લખો
. ગણતરી કરવી aસામાન્ય શબ્દ માટે સૂત્રમાં 1 જરૂરી છે a nતેના બદલે nગણતરી માટે 1 ને બદલે a 2 − 2, વગેરે. પછી આપણી પાસે છે:

ટેસ્ટ 6 . ક્રમ 1, 2, 6, 24, 120,  નો સામાન્ય સભ્ય છે:

1)

2)

3)

4)

ટેસ્ટ 7 .
છે:

1)

2)

3)

4)

ટેસ્ટ 8 . ક્રમનો સામાન્ય સભ્ય
છે:

1)

2)

3)

4)

સંખ્યા ક્રમ મર્યાદા

સંખ્યાના ક્રમને ધ્યાનમાં લો જેનો સામાન્ય શબ્દ અમુક સંખ્યાની નજીક પહોંચે છે એજ્યારે સીરીયલ નંબર વધે છે n. આ કિસ્સામાં, સંખ્યા ક્રમની મર્યાદા હોવાનું કહેવાય છે. આ ખ્યાલની વધુ કડક વ્યાખ્યા છે.

નંબર એસંખ્યા ક્રમની મર્યાદા કહેવાય છે
:

(1)

જો કોઈ  > 0 માટે આવી સંખ્યા હોય n 0 = n 0 (),  પર આધાર રાખીને, જે
ખાતે n > n 0 .

આ વ્યાખ્યાનો અર્થ થાય છે એસંખ્યા ક્રમની મર્યાદા હોય છે જો તેનો સામાન્ય શબ્દ મર્યાદા વિના પહોંચે છે એવધારો સાથે n. ભૌમિતિક રીતે, આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ  > 0 માટે આવી સંખ્યા શોધી શકાય છે n 0 , જે, થી શરૂ થાય છે n > n 0 , ક્રમના તમામ સભ્યો અંતરાલની અંદર સ્થિત છે ( એ – , એ+ ). મર્યાદા ધરાવતો ક્રમ કહેવાય છે કન્વર્જન્ટ; અન્યથા - અલગ.

સંખ્યાના ક્રમમાં ચોક્કસ ચિહ્નની માત્ર એક મર્યાદા (મર્યાદિત અથવા અનંત) હોઈ શકે છે.

ઉદાહરણ 5 . હાર્મોનિક ક્રમ મર્યાદા નંબર 0 છે. ખરેખર, સંખ્યા તરીકે કોઈપણ અંતરાલ (–; +) માટે એન 0 કરતાં મોટો કોઈપણ પૂર્ણાંક હોઈ શકે છે. પછી દરેક માટે n > n 0 > અમારી પાસે છે

ઉદાહરણ 6 . ક્રમ 2, 5, 2, 5,  અલગ છે. ખરેખર, લંબાઈનો કોઈ અંતરાલ, ઉદાહરણ તરીકે, એક, ચોક્કસ સંખ્યાથી શરૂ કરીને, ક્રમના તમામ સભ્યોને સમાવી શકે છે.

ક્રમ કહેવાય છે મર્યાદિત, જો આવી સંખ્યા અસ્તિત્વમાં છે એમ, શું
દરેક માટે n. દરેક કન્વર્જન્ટ ક્રમ બંધાયેલ છે. દરેક મોનોટોનિક અને બાઉન્ડેડ સિક્વન્સની એક મર્યાદા હોય છે. દરેક કન્વર્જન્ટ ક્રમની એક અનન્ય મર્યાદા હોય છે.

ઉદાહરણ 7 . અનુગામી
વધી રહી છે અને મર્યાદિત છે. તેણીની મર્યાદા છે
=ઇ.

નંબર ઇકહેવાય છે યુલર નંબરઅને લગભગ 2.718 28 ની બરાબર છે.

ટેસ્ટ 9 . ક્રમ 1, 4, 9, 16,  છે:

1) કન્વર્જન્ટ;

2) ભિન્ન;

3) મર્યાદિત;

ટેસ્ટ 10 . અનુગામી
છે:

1) કન્વર્જન્ટ;

2) ભિન્ન;

3) મર્યાદિત;

4) અંકગણિત પ્રગતિ;

5) ભૌમિતિક પ્રગતિ.

ટેસ્ટ 11 . અનુગામી નથી:

1) કન્વર્જન્ટ;

2) ભિન્ન;

3) મર્યાદિત;

4) હાર્મોનિક.

ટેસ્ટ 12 . સામાન્ય પદ દ્વારા આપવામાં આવેલ ક્રમની મર્યાદા
સમાન