વિષય પરનો પાઠ: "કાર્યનો આલેખ અને ગુણધર્મો $y=x^3$. પ્લોટિંગ ગ્રાફના ઉદાહરણો"
વધારાની સામગ્રી
પ્રિય વપરાશકર્તાઓ, તમારી ટિપ્પણીઓ, સમીક્ષાઓ, શુભેચ્છાઓ આપવાનું ભૂલશો નહીં. એન્ટી-વાયરસ પ્રોગ્રામ દ્વારા તમામ સામગ્રીની તપાસ કરવામાં આવી છે.
ગ્રેડ 7 માટે ઇન્ટિગ્રલ ઑનલાઇન સ્ટોરમાં શૈક્ષણિક સહાય અને સિમ્યુલેટર
ગ્રેડ 7 માટે ઇલેક્ટ્રોનિક પાઠ્યપુસ્તક "10 મિનિટમાં બીજગણિત"
શૈક્ષણિક સંકુલ 1C "બીજગણિત, ગ્રેડ 7-9"
ફંકશનના ગુણધર્મો $y=x^3$
ચાલો આ કાર્યના ગુણધર્મોનું વર્ણન કરીએ:
1. x એ સ્વતંત્ર ચલ છે, y એક આશ્રિત ચલ છે.
2. વ્યાખ્યાનું ડોમેન: તે સ્પષ્ટ છે કે દલીલના કોઈપણ મૂલ્ય માટે (x) કાર્ય (y) ની કિંમતની ગણતરી કરી શકાય છે. તદનુસાર, આ ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન સમગ્ર સંખ્યા રેખા છે.
3. મૂલ્યોની શ્રેણી: y કંઈપણ હોઈ શકે છે. તદનુસાર, મૂલ્યોની શ્રેણી પણ સમગ્ર સંખ્યા રેખા છે.
4. જો x= 0, તો y= 0.
ફંકશનનો આલેખ $y=x^3$
1. ચાલો મૂલ્યોનું કોષ્ટક બનાવીએ:
2. માટે હકારાત્મક મૂલ્યો$y=x^3$ ફંક્શનનો x ગ્રાફ પેરાબોલા જેવો જ છે, જેની શાખાઓ OY અક્ષ પર વધુ "દબાયેલી" છે.
3. કારણ કે માટે નકારાત્મક મૂલ્યો x ફંક્શન $y=x^3$ ધરાવે છે વિરોધી અર્થો, તો ફંક્શનનો ગ્રાફ મૂળ વિશે સપ્રમાણ છે.
હવે ચાલો પોઈન્ટ પર માર્ક કરીએ સંકલન વિમાનઅને આલેખ બનાવો (જુઓ આકૃતિ 1).
આ વળાંકને ક્યુબિક પેરાબોલા કહેવામાં આવે છે.
ઉદાહરણો
I. નાના જહાજ પર તે સંપૂર્ણપણે સમાપ્ત થઈ ગયું હતું તાજું પાણી. લાવવાની જરૂર છે પર્યાપ્ત જથ્થોશહેરમાંથી પાણી. પાણી અગાઉથી મંગાવવામાં આવે છે અને સંપૂર્ણ ક્યુબ માટે ચૂકવણી કરવામાં આવે છે, ભલે તમે તેને થોડું ઓછું ભરો. મારે કેટલા ક્યુબ્સનો ઓર્ડર આપવો જોઈએ જેથી વધારાના ક્યુબ માટે વધુ ચૂકવણી ન થાય અને ટાંકી સંપૂર્ણપણે ભરાઈ જાય? તે જાણીતું છે કે ટાંકીની લંબાઈ, પહોળાઈ અને ઊંચાઈ સમાન છે, જે 1.5 મીટર જેટલી છે, ચાલો ગણતરી કર્યા વિના આ સમસ્યા હલ કરીએ.
ઉકેલ:
1. ચાલો ફંકશનને પ્લોટ કરીએ $y=x^3$.
2. બિંદુ A, x કોઓર્ડિનેટ શોધો, જે 1.5 ની બરાબર છે. આપણે જોઈએ છીએ કે કાર્યનું સંકલન મૂલ્ય 3 અને 4 ની વચ્ચે છે (ફિગ 2 જુઓ). તેથી તમારે 4 ક્યુબ્સ ઓર્ડર કરવાની જરૂર છે.
મોડ્યુલ ધરાવતાં કાર્યોના ગ્રાફનું નિર્માણ સામાન્ય રીતે શાળાના બાળકો માટે નોંધપાત્ર મુશ્કેલીઓનું કારણ બને છે. જો કે, બધું એટલું ખરાબ નથી. આવી સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે થોડા અલ્ગોરિધમ્સ યાદ રાખવા માટે તે પૂરતું છે, અને તમે સૌથી વધુ દેખીતી રીતે પણ સરળતાથી ગ્રાફ બનાવી શકો છો. જટિલ કાર્ય. ચાલો આકૃતિ કરીએ કે આ કયા પ્રકારનાં અલ્ગોરિધમ્સ છે.
1. ફંક્શન y = |f(x)| નો ગ્રાફ પ્લોટિંગ
નોંધ કરો કે કાર્ય મૂલ્યોનો સમૂહ y = |f(x)| : y ≥ 0. આમ, આવા ફંક્શનના આલેખ હંમેશા ઉપરના અડધા પ્લેનમાં સંપૂર્ણપણે સ્થિત હોય છે.
ફંક્શન y = |f(x)| નો ગ્રાફ પ્લોટિંગ નીચેના સરળ ચાર પગલાંઓ સમાવે છે.
1) કાર્ય y = f(x) નો ગ્રાફ કાળજીપૂર્વક અને કાળજીપૂર્વક બનાવો.
2) 0x અક્ષની ઉપર અથવા ઉપર હોય તેવા ગ્રાફ પરના તમામ બિંદુઓને યથાવત રાખો.
3) આલેખનો તે ભાગ દર્શાવો જે 0x અક્ષની નીચે સમપ્રમાણરીતે 0x અક્ષની તુલનામાં આવેલું છે.
ઉદાહરણ 1. ફંક્શનનો ગ્રાફ દોરો y = |x 2 – 4x + 3|
1) આપણે ફંક્શન y = x 2 – 4x + 3 નો ગ્રાફ બનાવીએ છીએ. દેખીતી રીતે, આ ફંક્શનનો ગ્રાફ પેરાબોલા છે. ચાલો સમન્વય અક્ષો સાથે પેરાબોલાના આંતરછેદના તમામ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ અને પેરાબોલાના શિરોબિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ.
x 2 – 4x + 3 = 0.
x 1 = 3, x 2 = 1.
તેથી, પેરાબોલા 0x અક્ષને પોઈન્ટ (3, 0) અને (1, 0) પર છેદે છે.
y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.
તેથી, પેરાબોલા બિંદુ (0, 3) પર 0y અક્ષને છેદે છે.
પેરાબોલા શિરોબિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સ:
x માં = -(-4/2) = 2, y માં = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.
તેથી, બિંદુ (2, -1) એ આ પેરાબોલાના શિરોબિંદુ છે.
મેળવેલ ડેટાનો ઉપયોગ કરીને પેરાબોલા દોરો (ફિગ. 1)
2) 0x અક્ષની નીચે આવેલો ગ્રાફનો ભાગ 0x અક્ષની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે પ્રદર્શિત થાય છે.
3) આપણને મૂળ કાર્યનો ગ્રાફ મળે છે ( ચોખા 2, ડોટેડ લાઇનમાં બતાવેલ છે).
2. ફંક્શનનું પ્લોટિંગ y = f(|x|)
નોંધ કરો કે ફોર્મ y = f(|x|) ના કાર્યો સમાન છે:
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). આનો અર્થ એ છે કે આવા કાર્યોના આલેખ 0y અક્ષ વિશે સપ્રમાણ છે.
ફંક્શન y = f(|x|) નો આલેખ રચવામાં નીચેની ક્રિયાઓની સરળ સાંકળનો સમાવેશ થાય છે.
1) ફંક્શન y = f(x) નો આલેખ કરો.
2) ગ્રાફનો તે ભાગ છોડો જેના માટે x ≥ 0, એટલે કે, ગ્રાફનો ભાગ જમણા અડધા પ્લેનમાં સ્થિત છે.
3) બિંદુ (2) માં ઉલ્લેખિત ગ્રાફના ભાગને 0y અક્ષ પર સમપ્રમાણરીતે દર્શાવો.
4) અંતિમ આલેખ તરીકે, બિંદુઓ (2) અને (3) માં મેળવેલા વળાંકોના જોડાણને પસંદ કરો.
ઉદાહરણ 2. ફંક્શન y = x 2 – 4 · |x| નો ગ્રાફ દોરો + 3
x 2 = |x| થી 2, પછી મૂળ કાર્ય નીચેના સ્વરૂપમાં ફરીથી લખી શકાય છે: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. હવે આપણે ઉપર સૂચિત અલ્ગોરિધમ લાગુ કરી શકીએ છીએ.
1) અમે y = x 2 – 4 x + 3 ફંક્શનનો ગ્રાફ કાળજીપૂર્વક અને કાળજીપૂર્વક બનાવીએ છીએ (આ પણ જુઓ ચોખા 1).
2) અમે ગ્રાફનો તે ભાગ છોડીએ છીએ જેના માટે x ≥ 0, એટલે કે, ગ્રાફનો ભાગ જમણા અડધા પ્લેનમાં સ્થિત છે.
3) પ્રદર્શન જમણી બાજુગ્રાફિક્સ 0y અક્ષ માટે સપ્રમાણ છે.
(ફિગ. 3).
ઉદાહરણ 3. ફંક્શન y = લોગ 2 |x| નો ગ્રાફ દોરો
અમે ઉપર આપેલ સ્કીમ લાગુ કરીએ છીએ.
1) ફંક્શન y = લોગ 2 x નો ગ્રાફ બનાવો (ફિગ. 4).
3. ફંક્શનનું પ્લોટિંગ y = |f(|x|)|
નોંધ કરો કે ફોર્મ y = |f(|x|)| ના કાર્યો પણ સમાન છે. ખરેખર, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), અને તેથી, તેમના આલેખ 0y અક્ષ વિશે સપ્રમાણ છે. આવા કાર્યોના મૂલ્યોનો સમૂહ: y ≥ 0. આનો અર્થ એ છે કે આવા કાર્યોના ગ્રાફ સંપૂર્ણપણે ઉપલા અર્ધ-વિમાનમાં સ્થિત છે.
ફંક્શન y = |f(|x|)|, તમારે આ કરવાની જરૂર છે:
1) કાર્ય y = f(|x|) નો ગ્રાફ કાળજીપૂર્વક બનાવો.
2) ગ્રાફનો તે ભાગ જે 0x અક્ષની ઉપર અથવા ઉપર છે તેને યથાવત છોડો.
3) 0x અક્ષની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે 0x અક્ષની નીચે સ્થિત આલેખનો ભાગ દર્શાવો.
4) અંતિમ આલેખ તરીકે, બિંદુઓ (2) અને (3) માં મેળવેલા વળાંકોના જોડાણને પસંદ કરો.
ઉદાહરણ 4. ફંક્શનનો ગ્રાફ દોરો y = |-x 2 + 2|x| – 1|.
1) નોંધ કરો કે x 2 = |x| 2. આનો અર્થ એ થયો કે મૂળ ફંક્શનને બદલે y = -x 2 + 2|x| - 1
તમે y = -|x| ફંક્શનનો ઉપયોગ કરી શકો છો 2 + 2|x| - 1, કારણ કે તેમના આલેખ એકરૂપ છે.
અમે ગ્રાફ y = -|x| બનાવીએ છીએ 2 + 2|x| – 1. આ માટે આપણે અલ્ગોરિધમ 2 નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
a) ફંક્શન y = -x 2 + 2x – 1 નો ગ્રાફ બનાવો (ફિગ. 6).
b) અમે ગ્રાફનો તે ભાગ છોડીએ છીએ જે જમણા અડધા પ્લેનમાં સ્થિત છે.
c) અમે ગ્રાફના પરિણામી ભાગને 0y અક્ષ પર સમપ્રમાણરીતે પ્રદર્શિત કરીએ છીએ.
d) પરિણામી ગ્રાફ આકૃતિમાં ડોટેડ લાઇનમાં બતાવવામાં આવ્યો છે (ફિગ. 7).
2) 0x અક્ષની ઉપર કોઈ બિંદુઓ નથી; અમે 0x અક્ષ પરના બિંદુઓને યથાવત છોડીએ છીએ.
3) 0x અક્ષની નીચે સ્થિત ગ્રાફનો ભાગ 0x ની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે પ્રદર્શિત થાય છે.
4) પરિણામી ગ્રાફ ડોટેડ લાઇન સાથે આકૃતિમાં બતાવવામાં આવ્યો છે (ફિગ. 8).
ઉદાહરણ 5. ફંક્શનનો ગ્રાફ y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|
1) પ્રથમ તમારે ફંક્શન y = (2|x| – 4) / (|x| + 3) ને પ્લોટ કરવાની જરૂર છે. આ કરવા માટે, અમે અલ્ગોરિધમ 2 પર પાછા આવીએ છીએ.
a) ફંક્શન y = (2x – 4) / (x + 3) કાળજીપૂર્વક કાવતરું કરો (ફિગ. 9).
તેની નોંધ લો આ કાર્યઅપૂર્ણાંક રેખીય છે અને તેનો આલેખ હાઇપરબોલા છે. વળાંકને કાવતરું કરવા માટે, તમારે પહેલા ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધવાની જરૂર છે. આડું – y = 2/1 (અંશ અને અપૂર્ણાંકના છેદમાં x ના ગુણાંકનો ગુણોત્તર), વર્ટિકલ – x = -3.
2) અમે ગ્રાફના તે ભાગને છોડી દઈશું જે 0x અક્ષની ઉપર છે અથવા તેના પર યથાવત છે.
3) 0x અક્ષની નીચે સ્થિત ગ્રાફનો ભાગ 0x ની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે દર્શાવવામાં આવશે.
4) અંતિમ આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે (ફિગ. 11).
વેબસાઇટ, જ્યારે સામગ્રીની સંપૂર્ણ અથવા આંશિક નકલ કરતી વખતે, સ્રોતની લિંક આવશ્યક છે.
ચાલો જોઈએ કે મોડ્યુલ વડે ગ્રાફ કેવી રીતે બનાવવો.
ચાલો સંક્રમણના બિંદુઓ શોધીએ કે જેના પર મોડ્યુલની નિશાની બદલાય છે.
અમે મોડ્યુલસ હેઠળની દરેક અભિવ્યક્તિને 0 સાથે સરખાવીએ છીએ. અમારી પાસે તેમાંથી બે x-3 અને x+3 છે.
x-3=0 અને x+3=0
x=3 અને x=-3
અમારી સંખ્યા રેખા ત્રણ અંતરાલો (-∞;-3)U(-3;3)U(3;+∞) માં વિભાજિત થશે. દરેક અંતરાલ પર, તમારે મોડ્યુલર અભિવ્યક્તિઓનું ચિહ્ન નક્કી કરવાની જરૂર છે.
1. આ કરવું ખૂબ જ સરળ છે, પ્રથમ અંતરાલ (-∞;-3) ને ધ્યાનમાં લો. ચાલો આ સેગમેન્ટમાંથી કોઈપણ મૂલ્ય લઈએ, ઉદાહરણ તરીકે, -4 અને તેને દરેકમાં બદલીએ મોડ્યુલર સમીકરણ x મૂલ્યને બદલે.
x=-4
x-3=-4-3=-7 અને x+3=-4+3=-1
બંને અભિવ્યક્તિઓ નકારાત્મક ચિહ્નો ધરાવે છે, જેનો અર્થ છે કે આપણે સમીકરણમાં મોડ્યુલસ સાઇન પહેલાં માઈનસ મૂકીએ છીએ, અને મોડ્યુલસ ચિહ્નને બદલે આપણે કૌંસ મૂકીએ છીએ અને આપણને અંતરાલ (-∞;-3) પર જરૂરી સમીકરણ મળે છે.
y= — (x-3)-( — (x+3))=-x+3+x+3=6
અંતરાલ (-∞;-3) પર આલેખ મેળવ્યો હતો રેખીય કાર્ય(સીધી) y=6
2. બીજા અંતરાલને ધ્યાનમાં લો (-3;3). ચાલો જોઈએ કે આ સેગમેન્ટ પર ગ્રાફ સમીકરણ કેવું દેખાશે. ચાલો -3 થી 3 સુધીની કોઈપણ સંખ્યા લઈએ, ઉદાહરણ તરીકે, 0. મૂલ્ય x માટે 0 ની અવેજીમાં.
x=0
x-3=0-3=-3 અને x+3=0+3=3
પ્રથમ અભિવ્યક્તિ x-3 નકારાત્મક ચિહ્ન ધરાવે છે, અને બીજી અભિવ્યક્તિ x+3 હકારાત્મક ચિહ્ન ધરાવે છે. તેથી, x-3 અભિવ્યક્તિ પહેલાં આપણે બાદબાકીનું ચિહ્ન લખીએ છીએ, અને બીજા અભિવ્યક્તિ પહેલાં વત્તાનું ચિહ્ન લખીએ છીએ.
y= — (x-3)-( + (x+3))=-x+3-x-3=-2x
અંતરાલ (-3;3) પર આપણે રેખીય કાર્ય (સીધી રેખા) y=-2x નો ગ્રાફ મેળવ્યો.
3. ત્રીજા અંતરાલને ધ્યાનમાં લો (3;+∞). ચાલો આ સેગમેન્ટમાંથી કોઈપણ મૂલ્ય લઈએ, ઉદાહરણ તરીકે 5, અને મૂલ્ય x ને દરેક મોડ્યુલર સમીકરણોમાં બદલીએ.
x=5
x-3=5-3=2 અને x+3=5+3=8
બંને અભિવ્યક્તિઓ માટે, ચિહ્નો હકારાત્મક હોવાનું બહાર આવ્યું છે, જેનો અર્થ છે કે આપણે સમીકરણમાં મોડ્યુલસ ચિહ્નની સામે વત્તા મૂકીએ છીએ, અને મોડ્યુલસ ચિહ્નને બદલે આપણે કૌંસ મૂકીએ છીએ અને અમને અંતરાલ (3;+) પર જરૂરી સમીકરણ મળે છે. ∞).
y= + (x-3)-( + (x+3))=x-3-x-3=-6
અંતરાલ (3;+∞) પર આપણે રેખીય કાર્ય (સીધી રેખા) у=-6 નો ગ્રાફ મેળવ્યો
4. હવે ચાલો સારાંશ આપીએ ગ્રાફ y=|x-3|-|x+3|.
અંતરાલ (-∞;-3) પર આપણે રેખીય કાર્ય (સીધી રેખા) y=6 નો ગ્રાફ બનાવીએ છીએ.
અંતરાલ (-3;3) પર આપણે રેખીય કાર્ય (સીધી રેખા) y=-2x નો ગ્રાફ બનાવીએ છીએ.
y = -2x નો ગ્રાફ બાંધવા માટે, આપણે કેટલાક બિંદુઓ પસંદ કરીએ છીએ.
x=-3 y=-2*(-3)=6 પરિણામ એ બિંદુ છે (-3;6)
x=0 y=-2*0=0 પરિણામ એક બિંદુ છે (0;0)
x=3 y=-2*(3)=-6 પરિણામ બિંદુ છે (3;-6)
અંતરાલ (3;+∞) પર આપણે રેખીય કાર્ય (સીધી રેખા) у=-6 નો ગ્રાફ બનાવીએ છીએ.
5. હવે ચાલો પરિણામનું પૃથ્થકરણ કરીએ અને પ્રશ્નનો જવાબ આપીએ, k નું મૂલ્ય શોધીએ કે જેના પર સીધી રેખા y=kx ગ્રાફ y=|x-3|-|x+3| આપેલ ફંક્શનમાં બરાબર એક સામાન્ય બિંદુ હોય છે.
k ના કોઈપણ મૂલ્ય માટે સીધી રેખા y=kx હંમેશા બિંદુ (0;0)માંથી પસાર થશે. તેથી, આપણે ફક્ત આ રેખા y=kx ની ઢાળ બદલી શકીએ છીએ, અને ગુણાંક k એ ઢાળ માટે જવાબદાર છે.
જો k કોઈ હોય હકારાત્મક સંખ્યા, તો ગ્રાફ y=|x-3|-|x+3| સાથે સીધી રેખા y=kxનું એક આંતરછેદ હશે. આ વિકલ્પ અમને અનુકૂળ છે. 
જો k મૂલ્ય (-2;0) લે છે, તો ગ્રાફ y=|x-3|-|x+3| સાથે સીધી રેખા y=kx નું આંતરછેદ ત્યાં ત્રણ હશે આ વિકલ્પ અમને અનુકૂળ નથી. 
જો k=-2 હોય, તો ઘણા ઉકેલો હશે [-2;2], કારણ કે સીધી રેખા y=kx આલેખ y=|x-3|-|x+3| આ વિસ્તારમાં. આ વિકલ્પ અમને અનુકૂળ નથી. 
જો k એ -2 કરતા ઓછી હોય, તો સીધી રેખા y=kx આલેખ સાથે y=|x-3|-|x+3| એક આંતરછેદ હશે આ વિકલ્પ અમને અનુકૂળ છે. 
જો k=0, તો ગ્રાફ y=|x-3|-|x+3| સાથે સીધી રેખા y=kx નું આંતરછેદ આ વિકલ્પ અમને અનુકૂળ પણ હશે. 
જવાબ: જ્યારે k અંતરાલ (-∞;-2)U સાથે સંબંધ ધરાવે છે અને અંતરાલ પર વધે છે )
