મૂળ અને જટિલ કાર્યના વ્યુત્પન્ન માટેનું સૂત્ર. જટિલ કાર્યના વ્યુત્પન્ન માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાના ઉદાહરણો

ઉકેલ અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણો

સંદર્ભ માર્ગદર્શિકા

તર્કસંગત સમીકરણો એવા સમીકરણો છે જેમાં ડાબી અને જમણી બાજુ બંને તર્કસંગત સમીકરણો છે.

(યાદ રાખો: તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓ એ રેડિકલ વિના પૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિઓ છે, જેમાં સરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર અથવા ભાગાકારની ક્રિયાઓનો સમાવેશ થાય છે - ઉદાહરણ તરીકે: 6x; (m – n)2; x/3y, વગેરે.)

અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણો સામાન્ય રીતે ફોર્મમાં ઘટાડવામાં આવે છે:

જ્યાં પી(x) અને પ્ર(x) બહુપદી છે.

આવા સમીકરણોને ઉકેલવા માટે, સમીકરણની બંને બાજુઓને Q(x) વડે ગુણાકાર કરો, જે દેખાવ તરફ દોરી શકે છે બાહ્ય મૂળ. તેથી, અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણોને હલ કરતી વખતે, મળેલા મૂળને તપાસવું જરૂરી છે.

તર્કસંગત સમીકરણને સંપૂર્ણ અથવા બીજગણિત કહેવામાં આવે છે, જો તે ચલ ધરાવતી અભિવ્યક્તિ દ્વારા વિભાજિત ન થાય.

સંપૂર્ણ તર્કસંગત સમીકરણના ઉદાહરણો:

5x – 10 = 3(10 – x)

3x
- = 2x – 10
4

જો તર્કસંગત સમીકરણમાં ચલ (x) ધરાવતી અભિવ્યક્તિ દ્વારા વિભાજન હોય, તો સમીકરણને અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કહેવામાં આવે છે.

અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણનું ઉદાહરણ:

15
x + - = 5x – 17
x

અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણો સામાન્ય રીતે નીચે પ્રમાણે ઉકેલવામાં આવે છે:

1) શોધો સામાન્ય છેદઅપૂર્ણાંકો અને તેના દ્વારા સમીકરણની બંને બાજુઓનો ગુણાકાર કરો;

2) પરિણામી સમગ્ર સમીકરણ ઉકેલો;

3) તેના મૂળમાંથી તે બાકાત કરો જે અપૂર્ણાંકના સામાન્ય છેદને શૂન્ય સુધી ઘટાડે છે.

પૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણો ઉકેલવાના ઉદાહરણો.

ઉદાહરણ 1. ચાલો સમગ્ર સમીકરણ ઉકેલીએ

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

ઉકેલ:

સૌથી નીચો સામાન્ય છેદ શોધવું. આ 6 છે. 6 ને છેદ દ્વારા વિભાજીત કરો અને પરિણામી પરિણામને દરેક અપૂર્ણાંકના અંશ દ્વારા ગુણાકાર કરો. અમે આના સમકક્ષ સમીકરણ મેળવીએ છીએ:

3(x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

ત્યારથી ડાબી બાજુએ અને જમણા ભાગો સમાન છેદ, તે અવગણી શકાય છે. પછી આપણને એક સરળ સમીકરણ મળે છે:

3(x – 1) + 4x = 5x.

અમે તેને કૌંસ ખોલીને અને એકસાથે લાવીને હલ કરીએ છીએ સમાન સભ્યો:

3x – 3 + 4x = 5x

3x + 4x – 5x = 3

ઉદાહરણ ઉકેલાય છે.

ઉદાહરણ 2. અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણ ઉકેલો

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x(x – 5)

સામાન્ય છેદ શોધવી. આ x(x – 5) છે. તેથી:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)

હવે આપણે ફરીથી છેદથી છુટકારો મેળવીએ છીએ, કારણ કે તે તમામ અભિવ્યક્તિઓ માટે સમાન છે. અમે સમાન શરતો ઘટાડીએ છીએ, સમીકરણને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ ચતુર્ભુજ સમીકરણ:

x 2 – 3x + x – 5 = x + 5

x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

x 2 – 3x – 10 = 0.

ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલ્યા પછી, આપણે તેના મૂળ શોધીએ છીએ: –2 અને 5.

ચાલો તપાસ કરીએ કે શું આ સંખ્યાઓ મૂળ સમીકરણના મૂળ છે.

x = –2 પર, સામાન્ય છેદ x(x – 5) અદૃશ્ય થતો નથી. આનો અર્થ થાય છે -2 એ મૂળ સમીકરણનું મૂળ છે.

x = 5 પર, સામાન્ય છેદ શૂન્ય પર જાય છે, અને ત્રણમાંથી બે સમીકરણો અર્થહીન બની જાય છે. આનો અર્થ એ છે કે સંખ્યા 5 એ મૂળ સમીકરણનું મૂળ નથી.

જવાબ: x = –2

વધુ ઉદાહરણો

ઉદાહરણ 1.

x 1 =6, x 2 = - 2.2.

જવાબ: -2,2;6.

ઉદાહરણ 2.

ચતુર્ભુજ સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા તે આપણે પહેલેથી જ શીખ્યા છીએ. હવે ચાલો અભ્યાસ કરેલ પદ્ધતિઓને તર્કસંગત સમીકરણો સુધી વિસ્તારીએ.

તર્કસંગત અભિવ્યક્તિ શું છે? અમે પહેલેથી જ આ ખ્યાલનો સામનો કર્યો છે. તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓસંખ્યાઓ, ચલો, તેમની શક્તિઓ અને ગાણિતિક ક્રિયાઓના પ્રતીકોથી બનેલી અભિવ્યક્તિ છે.

તદનુસાર, તર્કસંગત સમીકરણો એ સ્વરૂપના સમીકરણો છે: , જ્યાં - તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓ.

અગાઉ, અમે ફક્ત તે જ તર્કસંગત સમીકરણો ધ્યાનમાં લેતા હતા જે રેખીય સમીકરણોમાં ઘટાડી શકાય છે. હવે ચાલો તે તર્કસંગત સમીકરણો જોઈએ જેને ચતુર્ભુજ સમીકરણોમાં ઘટાડી શકાય.

ઉદાહરણ 1

સમીકરણ ઉકેલો: .

ઉકેલ:

અપૂર્ણાંક 0 ની બરાબર છે જો અને માત્ર જો તેનો અંશ 0 ના બરાબર હોય અને તેનો છેદ 0 ના બરાબર હોય.

અમને નીચેની સિસ્ટમ મળે છે:

સિસ્ટમનું પ્રથમ સમીકરણ એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ છે. તેને ઉકેલતા પહેલા, ચાલો તેના તમામ ગુણાંકને 3 વડે વિભાજીત કરીએ. આપણને મળે છે:

આપણને બે મૂળ મળે છે: ; .

કારણ કે 2 ક્યારેય 0 ની બરાબર નથી, બે શરતો પૂરી કરવી આવશ્યક છે: . કારણ કે ઉપરોક્ત મેળવેલ સમીકરણના કોઈપણ મૂળ સાથે મેળ ખાતા નથી અમાન્ય મૂલ્યોચલો કે જે બીજી અસમાનતાને હલ કરીને મેળવવામાં આવ્યા હતા, તે બંને ઉકેલો છે આપેલ સમીકરણ.

જવાબ:.

તેથી, ચાલો તર્કસંગત સમીકરણો ઉકેલવા માટે એક અલ્ગોરિધમ ઘડીએ:

1. તમામ શરતો પર સ્થાનાંતરિત કરો ડાબી બાજુ, જેથી જમણી બાજુ 0 થાય.

2. ડાબી બાજુ રૂપાંતરિત કરો અને સરળ બનાવો, બધા અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદ પર લાવો.

3. પરિણામી અપૂર્ણાંકને 0, દ્વારા સમાન કરો નીચેના અલ્ગોરિધમનો: .

4. પ્રથમ સમીકરણમાં મેળવેલા મૂળને લખો અને જવાબમાં બીજી અસમાનતાને સંતોષે છે.

ચાલો બીજું ઉદાહરણ જોઈએ.

ઉદાહરણ 2

સમીકરણ ઉકેલો: .

ઉકેલ

ખૂબ જ શરૂઆતમાં, ચાલો બધી શરતો પર ખસેડીએ ડાબી બાજુ, જેથી 0 જમણી બાજુએ રહે છે.

ચાલો હવે સમીકરણની ડાબી બાજુને સામાન્ય છેદ પર લાવીએ:

આ સમીકરણ સિસ્ટમની સમકક્ષ છે:

સિસ્ટમનું પ્રથમ સમીકરણ એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ છે.

આ સમીકરણના ગુણાંક: . અમે ભેદભાવની ગણતરી કરીએ છીએ:

આપણને બે મૂળ મળે છે: ; .

હવે ચાલો બીજી અસમાનતા ઉકેલીએ: અવયવોનું ઉત્પાદન 0 ની બરાબર નથી અને જો કોઈ પણ પરિબળ 0 ની બરાબર ન હોય તો જ.

બે શરતો પૂરી કરવી આવશ્યક છે: . અમને લાગે છે કે પ્રથમ સમીકરણના બે મૂળમાંથી માત્ર એક જ યોગ્ય છે - 3.

જવાબ:.

આ પાઠમાં, અમે યાદ કર્યું કે તર્કસંગત અભિવ્યક્તિ શું છે, અને તર્કસંગત સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા તે પણ શીખ્યા, જે ચતુર્ભુજ સમીકરણોમાં ઘટે છે.

આગળના પાઠમાં આપણે તર્કસંગત સમીકરણોને મોડેલ તરીકે જોઈશું વાસ્તવિક પરિસ્થિતિઓ, અને ચળવળના કાર્યોને પણ ધ્યાનમાં લો.

સંદર્ભો

1. બશ્માકોવ એમ.આઈ. બીજગણિત, 8 મા ધોરણ. - એમ.: શિક્ષણ, 2004.
2. ડોરોફીવ જી.વી., સુવોરોવા એસ.બી., બુનિમોવિચ ઇ.એ. અને અન્ય બીજગણિત, 8. 5મી આવૃત્તિ. - એમ.: શિક્ષણ, 2010.
3. નિકોલ્સ્કી એસ.એમ., પોટાપોવ એમ.એ., રેશેટનિકોવ એન.એન., શેવકિન એ.વી. બીજગણિત, 8 મા ધોરણ. માટે ટ્યુટોરીયલ શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ. - એમ.: શિક્ષણ, 2006.

1. ઉત્સવ શિક્ષણશાસ્ત્રના વિચારો "ખુલ્લો પાઠ" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

હોમવર્ક

સમગ્ર અભિવ્યક્તિ છે ગાણિતિક અભિવ્યક્તિ, સરવાળા, બાદબાકી અને ગુણાકારની ક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીને સંખ્યાઓ અને મૂળાક્ષરોના ચલોથી બનેલું. પૂર્ણાંકોમાં એવા અભિવ્યક્તિઓનો પણ સમાવેશ થાય છે જેમાં શૂન્ય સિવાયની કોઈપણ સંખ્યા દ્વારા ભાગાકારનો સમાવેશ થાય છે.

અપૂર્ણાંક તર્કસંગત અભિવ્યક્તિનો ખ્યાલ

અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિ એ એક ગાણિતિક અભિવ્યક્તિ છે જે, સંખ્યાઓ અને અક્ષર ચલો સાથે કરવામાં આવતી સરવાળો, બાદબાકી અને ગુણાકારની ક્રિયાઓ ઉપરાંત, શૂન્યની બરાબર ન હોય તેવી સંખ્યા દ્વારા ભાગાકાર, અક્ષર ચલો સાથેની અભિવ્યક્તિઓમાં વિભાજન પણ સમાવે છે.

તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓ તમામ સંપૂર્ણ અને અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિઓ છે. તર્કસંગત સમીકરણો એવા સમીકરણો છે જેમાં ડાબી અને જમણી બાજુઓ તર્કસંગત સમીકરણો છે. જો તર્કસંગત સમીકરણમાં ડાબી અને જમણી બાજુઓ પૂર્ણાંક સમીકરણો હોય, તો આવા તર્કસંગત સમીકરણને પૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે.

જો તર્કસંગત સમીકરણમાં ડાબી કે જમણી બાજુઓ છે અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિઓ, તો આવા તર્કસંગત સમીકરણને અપૂર્ણાંક કહેવાય છે.

અપૂર્ણાંક તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓનાં ઉદાહરણો

1. x-3/x = -6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણ ઉકેલવા માટેની યોજના

1. સમીકરણમાં સમાવિષ્ટ તમામ અપૂર્ણાંકોનો સામાન્ય છેદ શોધો.

2. સમીકરણની બંને બાજુઓને સામાન્ય છેદ વડે ગુણાકાર કરો.

3. પરિણામી સમગ્ર સમીકરણ ઉકેલો.

4. મૂળ તપાસો અને સામાન્ય સંપ્રદાયને અદૃશ્ય બનાવતા તેને બાકાત રાખો.

આપણે અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણો ઉકેલી રહ્યા હોવાથી, અપૂર્ણાંકના છેદમાં ચલ હશે. આનો અર્થ એ છે કે તેઓ એક સામાન્ય સંપ્રદાય હશે. અને અલ્ગોરિધમના બીજા બિંદુમાં આપણે સામાન્ય છેદ દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ, પછી બાહ્ય મૂળ દેખાઈ શકે છે. જેના પર સામાન્ય છેદ શૂન્ય સમાન હશે, જેનો અર્થ છે કે તેનાથી ગુણાકાર કરવો અર્થહીન હશે. તેથી, અંતે પ્રાપ્ત મૂળ તપાસવું જરૂરી છે.

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ:

અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણ ઉકેલો: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

અમે વળગી રહીશું સામાન્ય યોજના: ચાલો સૌ પ્રથમ બધા અપૂર્ણાંકના સામાન્ય છેદ શોધીએ. આપણને x*(x-5) મળે છે.

દરેક અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદ વડે ગુણાકાર કરો અને પરિણામી સમગ્ર સમીકરણ લખો.

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

ચાલો પરિણામી સમીકરણને સરળ બનાવીએ. અમને મળે છે:

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;

આપણને એક સરળ ઘટાડેલું ચતુર્ભુજ સમીકરણ મળે છે. અમે તેને કોઈપણ સાથે હલ કરીએ છીએ જાણીતી પદ્ધતિઓ, આપણને x=-2 અને x=5 મૂળ મળે છે.

હવે અમે પ્રાપ્ત ઉકેલો તપાસીએ છીએ:

સંખ્યાઓ -2 અને 5 ને સામાન્ય છેદમાં બદલો. x=-2 પર, સામાન્ય છેદ x*(x-5) અદૃશ્ય થતો નથી, -2*(-2-5)=14. આનો અર્થ એ છે કે સંખ્યા -2 મૂળ અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણનું મૂળ હશે.

જ્યારે x=5 સામાન્ય છેદ x*(x-5) બને છે શૂન્ય બરાબર. તેથી, આ સંખ્યા મૂળ અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણનું મૂળ નથી, કારણ કે શૂન્ય વડે ભાગાકાર થશે.

અમે ઉપરનું સમીકરણ § 7 માં રજૂ કર્યું છે. પ્રથમ, ચાલો યાદ કરીએ કે તર્કસંગત અભિવ્યક્તિ શું છે. આ - બીજગણિતીય અભિવ્યક્તિ, કુદરતી ઘાતાંક સાથે સરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર, ભાગાકાર અને ઘાતની ક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીને સંખ્યાઓ અને ચલ xથી બનેલું.

જો r(x) એ તર્કસંગત સમીકરણ છે, તો સમીકરણ r(x) = 0 ને તર્કસંગત સમીકરણ કહેવાય છે.

જો કે, વ્યવહારમાં "તર્કસંગત સમીકરણ" શબ્દના સહેજ વ્યાપક અર્થઘટનનો ઉપયોગ કરવો વધુ અનુકૂળ છે: આ h(x) = q(x) સ્વરૂપનું સમીકરણ છે, જ્યાં h(x) અને q(x) છે. તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓ.

અત્યાર સુધી, અમે કોઈ પણ તર્કસંગત સમીકરણ હલ કરી શક્યા નથી, પરંતુ માત્ર એક જ, જે વિવિધ પરિવર્તનો અને તર્કના પરિણામે, ઘટાડ્યું હતું. રેખીય સમીકરણ. હવે અમારી ક્ષમતાઓ ઘણી વધારે છે: અમે એક તર્કસંગત સમીકરણ હલ કરવામાં સક્ષમ થઈશું જે ફક્ત રેખીય જ નહીં
mu, પણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ માટે.

ચાલો યાદ કરીએ કે આપણે પહેલા તર્કસંગત સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલ્યા હતા અને સોલ્યુશન એલ્ગોરિધમ ઘડવાનો પ્રયાસ કરો.

ઉદાહરણ 1.સમીકરણ ઉકેલો

ઉકેલ. ચાલો ફોર્મમાં સમીકરણ ફરીથી લખીએ

આ કિસ્સામાં, હંમેશની જેમ, અમે એ હકીકતનો લાભ લઈએ છીએ કે સમાનતા A = B અને A - B = 0 એ A અને B વચ્ચે સમાન સંબંધને વ્યક્ત કરે છે. આનાથી અમને શબ્દને સમીકરણની ડાબી બાજુએ ખસેડવાની મંજૂરી મળી. વિરોધી ચિહ્ન.

ચાલો સમીકરણની ડાબી બાજુ બદલીએ. અમારી પાસે છે

ચાલો સમાનતાની શરતોને યાદ કરીએ અપૂર્ણાંકશૂન્ય: જો અને માત્ર જો બે સંબંધો એકસાથે સંતુષ્ટ હોય તો:

1) અપૂર્ણાંકનો અંશ શૂન્ય છે (a = 0); 2) અપૂર્ણાંકનો છેદ શૂન્યથી અલગ છે).
સમીકરણ (1) ની ડાબી બાજુના અપૂર્ણાંકના અંશને શૂન્ય સાથે સરખાવીને, આપણે મેળવીએ છીએ

તે ઉપર દર્શાવેલ બીજી શરતની પરિપૂર્ણતા તપાસવાનું બાકી છે. સંબંધનો અર્થ સમીકરણ (1) માટે થાય છે. મૂલ્યો x 1 = 2 અને x 2 = 0.6 દર્શાવેલ સંબંધોને સંતોષે છે અને તેથી સમીકરણ (1) ના મૂળ તરીકે સેવા આપે છે, અને તે જ સમયે આપેલ સમીકરણના મૂળ.

1) ચાલો સમીકરણને ફોર્મમાં રૂપાંતરિત કરીએ

2) ચાલો આ સમીકરણની ડાબી બાજુ બદલીએ:

(એક સાથે અંશમાં ચિહ્નો બદલ્યા અને
અપૂર્ણાંક).
આમ, આપેલ સમીકરણસ્વરૂપ લે છે

3) સમીકરણ x 2 - 6x + 8 = 0 ઉકેલો. શોધો

4) મળેલ મૂલ્યો માટે, શરતની પરિપૂર્ણતા તપાસો . નંબર 4 આ સ્થિતિને સંતોષે છે, પરંતુ નંબર 2 નથી કરતું. આનો અર્થ એ છે કે 4 આપેલ સમીકરણનું મૂળ છે, અને 2 એ બાહ્ય મૂળ છે.
જવાબ: 4.

2. નવું ચલ રજૂ કરીને તર્કસંગત સમીકરણો ઉકેલવા

નવું ચલ રજૂ કરવાની પદ્ધતિ તમને પરિચિત છે અમે તેનો ઉપયોગ એક કરતા વધુ વખત કર્યો છે. ચાલો આપણે ઉદાહરણો સાથે બતાવીએ કે તેનો ઉપયોગ તર્કસંગત સમીકરણો ઉકેલવામાં કેવી રીતે થાય છે.

ઉદાહરણ 3.સમીકરણ x 4 + x 2 - 20 = 0 ઉકેલો.

ઉકેલ. ચાલો એક નવું ચલ રજૂ કરીએ y = x 2. x 4 = (x 2) 2 = y 2 હોવાથી, આપેલ સમીકરણ આ રીતે ફરીથી લખી શકાય છે

y 2 + y - 20 = 0.

આ એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ છે, જેના મૂળ જાણી શકાય છે સૂત્રો; આપણને y 1 = 4, y 2 = - 5 મળે છે.
પરંતુ y = x 2, જેનો અર્થ છે કે સમસ્યા બે સમીકરણો ઉકેલવા માટે ઘટાડી દેવામાં આવી છે:
x 2 =4; x 2 = -5.

પ્રથમ સમીકરણ પરથી આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે બીજા સમીકરણમાં કોઈ મૂળ નથી.
જવાબ:.
ax 4 + bx 2 +c = 0 સ્વરૂપના સમીકરણને દ્વિપક્ષીય સમીકરણ કહેવામાં આવે છે (“bi” એ બે છે, એટલે કે, એક પ્રકારનું “ડબલ ચતુર્ભુજ” સમીકરણ). હમણાં જ ઉકેલાયેલ સમીકરણ ચોક્કસ દ્વિપક્ષીય હતું. કોઈપણ દ્વિપક્ષીય સમીકરણઉદાહરણ 3 ના સમીકરણની જેમ જ ઉકેલાય છે: એક નવું ચલ y = x 2 દાખલ કરો, ચલ y ના સંદર્ભમાં પરિણામી ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલો અને પછી x ચલ પર પાછા ફરો.

ઉદાહરણ 4.સમીકરણ ઉકેલો

ઉકેલ. નોંધ કરો કે સમાન અભિવ્યક્તિ x 2 + 3x અહીં બે વાર દેખાય છે. આનો અર્થ એ છે કે નવું ચલ y = x 2 + 3x રજૂ કરવામાં અર્થપૂર્ણ છે. આનાથી અમને સમીકરણને વધુ સરળ અને વધુ સુખદ સ્વરૂપમાં ફરીથી લખવાની મંજૂરી મળશે (જે હકીકતમાં, એક નવું રજૂ કરવાનો હેતુ છે. ચલ- અને રેકોર્ડિંગને સરળ બનાવવું
સ્પષ્ટ થાય છે, અને સમીકરણનું માળખું સ્પષ્ટ થાય છે):

હવે ચાલો તર્કસંગત સમીકરણ ઉકેલવા માટે અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીએ.

1) ચાલો સમીકરણની બધી શરતોને એક ભાગમાં ખસેડીએ:

= 0
2) સમીકરણની ડાબી બાજુનું રૂપાંતર કરો

તેથી, અમે આપેલ સમીકરણને ફોર્મમાં રૂપાંતરિત કર્યું છે

3) સમીકરણમાંથી - 7y 2 + 29y -4 = 0 અમે શોધીએ છીએ (તમે અને મેં પહેલેથી જ ઘણા બધા ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલી લીધા છે, તેથી પાઠ્યપુસ્તકમાં હંમેશા વિગતવાર ગણતરીઓ આપવાનું કદાચ યોગ્ય નથી).

4) ચાલો શરત 5 (y - 3) (y + 1) નો ઉપયોગ કરીને મળેલા મૂળને તપાસીએ. બંને મૂળ આ સ્થિતિને સંતોષે છે.
તેથી, નવા ચલ y માટેનું ચતુર્ભુજ સમીકરણ હલ થાય છે:
કારણ કે y = x 2 + 3x, અને y, જેમ આપણે સ્થાપિત કર્યું છે, બે મૂલ્યો લે છે: 4 અને , આપણે હજુ પણ બે સમીકરણો ઉકેલવાના છે: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx = . પ્રથમ સમીકરણના મૂળ સંખ્યાઓ 1 અને - 4 છે, બીજા સમીકરણના મૂળ સંખ્યાઓ છે

ધ્યાનમાં લેવામાં આવેલા ઉદાહરણોમાં, એક નવું ચલ રજૂ કરવાની પદ્ધતિ, ગણિતશાસ્ત્રીઓ કહેવા માંગે છે કે, પરિસ્થિતિ માટે પર્યાપ્ત છે, એટલે કે, તે તેની સાથે સારી રીતે અનુરૂપ છે. શા માટે? હા, કારણ કે સમાન અભિવ્યક્તિ ઘણી વખત સમીકરણમાં સ્પષ્ટપણે દેખાય છે અને આ અભિવ્યક્તિને નિયુક્ત કરવાનું કારણ હતું નવો પત્ર. પરંતુ આ હંમેશા થતું નથી; કેટલીકવાર એક નવું ચલ ફક્ત પરિવર્તન પ્રક્રિયા દરમિયાન જ "દેખાય છે". આગળના ઉદાહરણમાં આવું જ થશે.

ઉદાહરણ 5.સમીકરણ ઉકેલો
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
ઉકેલ. અમારી પાસે છે
x(x - 3) = x 2 - 3x;
(x - 1)(x - 2) = x 2 -Зx+2.

આનો અર્થ એ છે કે આપેલ સમીકરણ ફોર્મમાં ફરીથી લખી શકાય છે

(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24

હવે એક નવું ચલ "દેખાયો" છે: y = x 2 - 3x.

તેની મદદથી, સમીકરણને y (y + 2) = 24 અને પછી y 2 + 2y - 24 = 0 સ્વરૂપમાં ફરીથી લખી શકાય છે. આ સમીકરણના મૂળ નંબરો 4 અને -6 છે.

મૂળ ચલ x પર પાછા ફરીને, આપણે બે સમીકરણો x 2 - 3x = 4 અને x 2 - 3x = - 6 મેળવીએ છીએ. પ્રથમ સમીકરણમાંથી આપણને x 1 = 4, x 2 = - 1 મળે છે; બીજા સમીકરણમાં કોઈ મૂળ નથી.

જવાબ: 4, - 1.

વ્યુત્પન્ન સૂત્રનો પુરાવો આપવામાં આવે છે જટિલ કાર્ય. જ્યારે જટિલ કાર્ય એક અથવા બે ચલો પર આધારિત હોય તેવા કિસ્સાઓ વિગતવાર ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. કેસ માટે સામાન્યીકરણ કરવામાં આવે છે કોઈપણ સંખ્યાચલો

અહીં અમે નિષ્કર્ષ રજૂ કરીએ છીએ નીચેના સૂત્રોજટિલ કાર્યના વ્યુત્પન્ન માટે.
જો, તો
.
જો, તો
.
જો, તો
.

એક ચલમાંથી જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન

ચલ xના ફંક્શનને નીચેના સ્વરૂપમાં જટિલ ફંક્શન તરીકે રજૂ કરવા દો:
,
જ્યાં કેટલાક કાર્યો છે. ચલ x ના અમુક મૂલ્ય માટે ફંક્શન અલગ કરી શકાય તેવું છે.
ચલની કિંમત પર ફંક્શન અલગ છે.
(1) .

પછી જટિલ (સંયુક્ત) કાર્ય બિંદુ x પર અલગ પડે છે અને તેનું વ્યુત્પન્ન સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:
;
.

ફોર્મ્યુલા (1) નીચે પ્રમાણે પણ લખી શકાય છે.

પુરાવો
;
.
ચાલો નીચેની નોટેશન રજૂ કરીએ.

અહીં ચલોનું કાર્ય છે અને , ચલોનું કાર્ય છે અને .
;
.

પરંતુ અમે આ વિધેયોની દલીલોને છોડી દઈશું જેથી ગણતરીમાં ગડબડ ન થાય.
.
વિધેયો અને અનુક્રમે પોઈન્ટ x અને , પર વિભેદક હોવાથી, આ બિંદુઓ પર આ વિધેયોના ડેરિવેટિવ્ઝ છે, જે નીચેની મર્યાદાઓ છે:
.
નીચેના કાર્યને ધ્યાનમાં લો:
.

ચલ u ના નિશ્ચિત મૂલ્ય માટે, નું કાર્ય છે.
.
નીચેના કાર્યને ધ્યાનમાં લો:
.

તે સ્પષ્ટ છે કે

.

પછી

ફંક્શન એ બિંદુ પર એક વિભેદક કાર્ય હોવાથી, તે તે બિંદુ પર સતત રહે છે. તેથી જ

હવે આપણે વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ.
,
સૂત્ર સાબિત થાય છે.
.
પરિણામ

જો ચલ x નું કાર્ય જટિલ કાર્યના જટિલ કાર્ય તરીકે રજૂ કરી શકાય
પછી તેનું વ્યુત્પન્ન સૂત્ર દ્વારા નક્કી થાય છે
.
અહીં , અને કેટલાક વિભેદક કાર્યો છે.
.
આ સૂત્રને સાબિત કરવા માટે, અમે જટિલ કાર્યને અલગ પાડવા માટેના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ક્રમિક રીતે વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરીએ છીએ.
.
અહીં , અને કેટલાક વિભેદક કાર્યો છે.
.

જટિલ કાર્યને ધ્યાનમાં લો

તેનું વ્યુત્પન્ન મૂળ કાર્યને ધ્યાનમાં લો.

ચલ x પર આધાર રાખીને ફંક્શનને નીચેના સ્વરૂપમાં બે ચલોના જટિલ કાર્ય તરીકે રજૂ કરવા દો:
,
જ્યાં
અને ચલ xના અમુક મૂલ્ય માટે વિભેદક કાર્યો છે;
- બે ચલોનું કાર્ય, બિંદુ પર અલગ કરી શકાય તેવું, .
(2) .

ફોર્મ્યુલા (1) નીચે પ્રમાણે પણ લખી શકાય છે.

પછી જટિલ કાર્ય બિંદુના ચોક્કસ પડોશમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને તેમાં વ્યુત્પન્ન હોય છે, જે સૂત્ર દ્વારા નક્કી થાય છે:
;
.
વિધેયો અને બિંદુ પર ભિન્ન હોવાથી, તેઓ આ બિંદુના ચોક્કસ પડોશમાં વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, બિંદુ પર સતત હોય છે, અને તેમના ડેરિવેટિવ્સ બિંદુ પર અસ્તિત્વમાં છે, જે નીચેની મર્યાદાઓ છે:
;
.
અહીં
;
.

એક બિંદુ પર આ કાર્યોની સાતત્યતાને લીધે, અમારી પાસે છે:
(3) .
વિધેયો અને બિંદુ પર ભિન્ન હોવાથી, તેઓ આ બિંદુના ચોક્કસ પડોશમાં વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, બિંદુ પર સતત હોય છે, અને તેમના ડેરિવેટિવ્સ બિંદુ પર અસ્તિત્વમાં છે, જે નીચેની મર્યાદાઓ છે:

બિંદુ પર ફંક્શન અલગ-અલગ હોવાથી, તે આ બિંદુના ચોક્કસ પડોશમાં વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, આ બિંદુએ સતત છે, અને તેની વૃદ્ધિ નીચેના સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે:
;

- ફંક્શનનો વધારો જ્યારે તેની દલીલો મૂલ્યો દ્વારા વધે છે અને ;
- ચલોના સંદર્ભમાં કાર્યના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ અને .
;
.
અને ના નિશ્ચિત મૂલ્યો માટે, અને ચલોના કાર્યો છે અને.
;
.

તેઓ શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે અને:

. :
.
ત્યારથી અને પછી



.

પછી

કાર્ય વધારો:

ચાલો અવેજી કરીએ (3):

અનેક ચલોમાંથી જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન જ્યારે જટિલ કાર્યના ચલોની સંખ્યા બે કરતા વધુ હોય ત્યારે ઉપરોક્ત નિષ્કર્ષને સરળતાથી સામાન્યીકરણ કરી શકાય છે.ઉદાહરણ તરીકે, જો f છે
,
જ્યાં
ત્રણ ચલોનું કાર્ય
, તે
, અને ચલ xના અમુક મૂલ્ય માટે અલગ-અલગ કાર્યો છે;
(4)
.
- બિંદુ પર ત્રણ ચલોનું વિભેદક કાર્ય , , .
; ; ,
પછી, કાર્યની ભિન્નતાની વ્યાખ્યામાંથી, આપણી પાસે છે:
;
;
.

કારણ કે, સાતત્યને કારણે,
.

તે (4) દ્વારા વિભાજન કરીને અને મર્યાદા સુધી પસાર થવાથી, અમને મળે છે: અને છેલ્લે, ચાલો ધ્યાનમાં લઈએ .
સૌથી વધુ
,
જ્યાં
સામાન્ય કેસ
ચલ xના કાર્યને નીચેના સ્વરૂપમાં n ચલોના જટિલ કાર્ય તરીકે રજૂ કરવા દો:
, , ... , .
નીચેના કાર્યને ધ્યાનમાં લો:
.