મોડ્યુલર સમીકરણો ઉકેલવા. અભ્યાસેતર પાઠ - વિયેટાનું પ્રમેય

ચાલો તરત જ સટ્ટાબાજીની પ્રણાલીને ધ્યાનમાં લઈએ, જ્યારે રમતના પરિણામ માટે બેને બદલે એકમાત્ર સાચો વિકલ્પ ત્રણ હશે જેમ કે:
એક્સ - દોરો;
W1 - પ્રથમ ટીમનો વિજય;
W2 - બીજી ટીમનો વિજય.

જેમ તમે અનુમાન લગાવ્યું હશે, આ વ્યૂહરચનાનો મુખ્ય ઉપયોગ ફૂટબોલ પર શરત છે. અહીં 1-X-2 સટ્ટાબાજી પ્રણાલીના કેટલાક ઉદાહરણો છે, જેની મદદથી તમે મેચોના પરિણામનું અનુમાન કરવામાં નિષ્ફળ જાવ તો તમે તમારા બેટ્સ ગુમાવવાનું ટાળી શકો છો.

ઉદાહરણ એક. ચાલો કહીએ કે 1.75 થી 2.1 સુધીના સારા મતભેદો સાથે, બધી મેચોના મોટાભાગના પરિણામોમાં ઘણી સારી મેચો છે જેના માટે તમને વિશ્વાસ હશે. આવી ઘણી મેચો પર દાવ લગાવવાથી, ઓછામાં ઓછું એક ફૂટબોલ ટીમ ડ્રો થવાનું જોખમ રહેલું છે અને અંતે તમે બધું ગુમાવી શકો છો.

પરંતુ આને અવગણવા માટે, તમારે ફક્ત 1-X-2 બેટિંગ સિસ્ટમનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે, અલબત્ત જીત ઓછી હશે, પરંતુ જો પસંદ કરેલી ટીમોમાંથી એક પણ તમારી શરત નહીં રમે, તો પણ તમે પાછા જીતી શકશો. પૈસા તમે હોડ. પરંતુ, એક નિયમ તરીકે, આ ખૂબ જ રસપ્રદ નથી, કારણ કે તમે મેચોમાં તમામ સંભવિત ડ્રોને ધ્યાનમાં લઈ શકો છો અને ખૂબ જ સારો ફાયદો મેળવી શકો છો.

ચાલો કહીએ કે ત્યાં ત્રણ છે ફૂટબોલ મેચો, 1.8 થી 2.0 સુધીના મતભેદો સાથે, જ્યાં તમને લાગે છે કે પ્રથમ ટીમ જીતવી જોઈએ. પછી તમારે 4 એક્સપ્રેસ બેટ્સ પર બેટ્સ મૂકવાની જરૂર પડશે (ફિગ. 1):

ફિગ. 1 - શરતનું ઉદાહરણ

ચાલો કહીએ કે તમામ બેટ્સ માટે, કુલ મળીને, અમે માત્ર $400 ખર્ચ્યા, દરેક એક્સપ્રેસ બેટ માટે લગભગ 10. બધી ટીમો જીત્યા પછી, અમે નીચેના સિદ્ધાંત અનુસાર નફાની ગણતરી કરીએ છીએ: 1.8 * 1.8 * 1.8 * 100 USD. = $580.30, પરંતુ એવી પરિસ્થિતિમાં જ્યાં એક રમત ડ્રોમાં સમાપ્ત થાય છે, તો અમે સ્કીમ મુજબ ગણતરી કરીએ છીએ 1.8*1.8*2.7*100 c.u. = 870 USD ખરાબ જીત નથી, શું તમે સંમત થશો?

પરંતુ હંમેશા જોખમો હોય છે, અને તમારે એ ન ભૂલવું જોઈએ કે જો તમારી બેટ્સ કામ કરતી નથી અથવા એક કરતાં વધુ ડ્રો છે, તો તમે તમારા પૈસા ગુમાવશો. એ પણ નોંધવું જોઈએ કે તમે આ સિસ્ટમમાં ફેરફાર કરી શકો છો, જે બદલામાં તમારા બેટ્સ જીતવાની તકો વધારશે. ચાલો એક નાનું ઉદાહરણ ધ્યાનમાં લઈએ, જે થોડી ઓછી આપવામાં આવે છે, બીજી ટીમની જીતની શક્યતાઓને ધ્યાનમાં લેતા, પરંતુ માત્ર એક ફૂટબોલ જોડી માટે. આ કિસ્સામાં, નીચેનો સમૂહ ખૂબ જ સુસંગત રહેશે (ફિગ. 2):

ફિગ. 2 - શરતનું ઉદાહરણ

આમ, અમે વિતરિત કરેલા તમામ પાંચ એક્સપ્રેસ બેટ્સમાં, મતભેદ ફક્ત ઓછામાં ઓછા 5 હોવા જોઈએ.

બેટિંગ સિસ્ટમ 1-X-2, વિકલ્પ બે છે. આંશિક રીતે, તે પ્રથમ સિસ્ટમ જેવું લાગે છે આ વિકલ્પની સંખ્યાબંધ સુવિધાઓ છે આ સિસ્ટમતમને બધી બેટ્સને ખૂબ જ અસરકારક રીતે વિભાજિત કરવાની મંજૂરી આપશે, એટલે કે રસ્તા પર વધુ સારી રીતે રમતી ટીમો પર. ચાલો કહીએ કે કુલ ત્રણ ટીમો છે જે રસ્તા પર બાકીની ટીમો કરતાં વધુ સારી રીતે રમે છે, એટલે કે, અમે આ રીતે દાવ લગાવીશું (ફિગ. 3):

ફિગ. 3 - શરતનું ઉદાહરણ

દોરો - "X"
દૂર ટીમનો વિજય - "2"

જો આપણે ધ્યાનમાં લઈએ કે ટીમો માટેના તમામ ગુણાંક, નિયમ તરીકે, ખૂબ ઊંચા છે, તો પછી દરેક એક્સપ્રેસ બેટ માટે સિસ્ટમની નફાકારકતા હાંસલ કરવી મુશ્કેલ નહીં હોય.

એ પણ નોંધવું જોઈએ કે વ્યવહારમાં આ સિસ્ટમ ઘણી વાર ખાસ કરીને સાથે મેળ કરવા માટે લાગુ કરવામાં આવે છે મોટા મતભેદ, કારણ કે અમે વર્ણવેલ પ્રથમ સિસ્ટમ અમને સારા પરિણામો મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે.

પરંતુ તે નોંધવું યોગ્ય છે કે સિસ્ટમની અસરકારકતા ઘણી વાર પ્રશ્નમાં હોય છે, કારણ કે સિંગલ બેટ્સની ત્રણ મેચો મૂકીને, તમે ખરાબ નહીં થઈ શકો, પરંતુ કદાચ ખૂબ જ સારું પરિણામઉપરોક્ત સિસ્ટમોમાંથી પ્રથમનો ઉપયોગ કરીને એક્સપ્રેસ બેટ્સ કરતાં.

પરંતુ બીજી સિસ્ટમ, આમ કહીએ તો, તે ટીમો પર સીધો દાવ લગાવવા માટે વધુ અસરકારક છે જે અન્ય લોકો કરતા રસ્તા પર ઓછી વાર હારી જાય છે. પરંતુ એક નિયમ તરીકે, અહીં તે પ્રથમ સિસ્ટમની જેમ જ હશે; ઘણી વખત એવા કિસ્સાઓ હશે જ્યારે બીજી સિસ્ટમ અનુસાર રમવાને બદલે એક એક્સપ્રેસ શરત પર સંપૂર્ણ રકમ લગાવવી તમારા માટે વધુ નફાકારક રહેશે.

એટલા માટે આ 1-X-2 સટ્ટાબાજીની વ્યૂહરચનાની અસરકારકતાની ગણતરી તમારી પાસેની દરેક ચોક્કસ શરત માટે થવી જોઈએ.

આપેલ મૂળનો સરવાળો ચતુર્ભુજ સમીકરણબીજા ગુણાંકની સમાન c વિરોધી ચિહ્ન, અને મૂળનું ઉત્પાદન બરાબર છે મફત સભ્ય.

(યાદ કરો: ઘટાડેલ ચતુર્ભુજ સમીકરણ એ એક સમીકરણ છે જ્યાં પ્રથમ ગુણાંક 1 છે).

સમજૂતી:

ચતુર્ભુજ સમીકરણ ચાલો કુહાડી 2 +bx +c= 0 મૂળ ધરાવે છે એક્સ 1 અને એક્સ 2. પછી, વિએટાના પ્રમેય મુજબ:

ઉદાહરણ 1:

આપેલ સમીકરણ x 2 – 7x + 10 = 0 ના મૂળ 2 અને 5 છે.

મૂળનો સરવાળો 7 છે અને ઉત્પાદન 10 છે.

અને આપણા સમીકરણમાં બીજો ગુણાંક -7 છે, અને મફત શબ્દ 10 છે.

આમ, મૂળનો સરવાળો વિરોધી ચિહ્ન સાથેના બીજા ગુણાંક જેટલો છે, અને મૂળનું ઉત્પાદન મુક્ત પદની બરાબર છે.

ઘણી વાર ત્યાં ચતુર્ભુજ સમીકરણો હોય છે જે વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી ગણતરી કરી શકાય છે - વધુમાં, તેની સહાયથી તેમની ગણતરી કરવી સરળ છે. અગાઉના ઉદાહરણમાં અને પછીના એકમાં બંનેમાં આને ચકાસવું સરળ છે.

ઉદાહરણ 2. ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલો એક્સ 2 – 2એક્સ – 24 = 0.

ઉકેલ.

અમે વિએટાનું પ્રમેય લાગુ કરીએ છીએ અને બે ઓળખ લખીએ છીએ:

એક્સ 1 · એક્સ 2 = –24

એક્સ 1 + એક્સ 2 = 2

અમે –24 માટે આવા પરિબળો પસંદ કરીએ છીએ જેથી તેમનો સરવાળો 2 ની બરાબર થાય. થોડો વિચાર કર્યા પછી, આપણે શોધીએ છીએ: 6 અને –4. ચાલો તપાસીએ:

6 · (–4) = –24.

6 + (– 4) = 6 – 4 = 2.

જેમ તમે નોંધ્યું છે કે, વ્યવહારમાં, વિયેટાના પ્રમેયનો સાર એ આપેલ ચતુર્ભુજ સમીકરણમાં મુક્ત શબ્દને એવા પરિબળોમાં વિઘટિત કરવાનો છે કે જેનો સરવાળો વિરોધી ચિહ્ન સાથે બીજા ગુણાંકની બરાબર છે.

આ પરિબળો મૂળ હશે.

આનો અર્થ એ છે કે આપણા ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ 6 અને –4 છે. એક્સ 1 = 6, એક્સ 2 = –4.

જવાબ:

ઉદાહરણ 3. ચાલો ચતુર્ભુજ સમીકરણ 3x 2 + 2x – 5 = 0 હલ કરીએ.

ઉકેલ.

અહીં આપણે ઘટાડેલા ચતુર્ભુજ સમીકરણ સાથે કામ કરી રહ્યા નથી. પરંતુ આવા સમીકરણો વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને પણ ઉકેલી શકાય છે જો તેમના ગુણાંક સંતુલિત હોય - ઉદાહરણ તરીકે, જો પ્રથમ અને ત્રીજા ગુણાંકનો સરવાળો વિરોધી ચિહ્ન સાથે બીજા સમાન હોય.

3 + (–5) = –2.

સમીકરણના ગુણાંક સંતુલિત છે: પ્રથમ અને ત્રીજા પદનો સરવાળો વિરોધી ચિહ્ન સાથે બીજા સમાન છે:

વિએટાના પ્રમેય અનુસાર
x 1 + x 2 = –2/3

x 1 x 2 = –5/3.

આપણે બે સંખ્યાઓ શોધવાની જરૂર છે જેનો સરવાળો -2/3 અને ગુણાંક -5/3 છે. આ સંખ્યાઓ સમીકરણના મૂળ હશે.
પ્રથમ સંખ્યાનો તરત જ અનુમાન લગાવવામાં આવે છે: તે 1 છે. છેવટે, જ્યારે x = 1, સમીકરણ સૌથી સરળ સરવાળા અને બાદબાકીમાં ફેરવાય છે:
3 + 2 – 5 = 0. બીજું મૂળ કેવી રીતે શોધવું? ચાલો 1 ને 3/3 તરીકે રજૂ કરીએ જેથી બધી સંખ્યાઓ હોયસમાન છેદ : તે રીતે સરળ છે. અને તેઓ તરત જ પૂછે છેઆગળની ક્રિયાઓ

. જો x 1 = 3/3, તો:

3/3 + x 2 = –2/3.

ચાલો એક સરળ સમીકરણ હલ કરીએ:

x 2 = –2/3 – 3/3.

જવાબ: x 1 = 1; x 2 = –5/3 ઉદાહરણ 4: ચતુર્ભુજ સમીકરણ 7 ઉકેલો 2 – 6ઉદાહરણ 4: ચતુર્ભુજ સમીકરણ 7 ઉકેલો – 1 = 0.

x

ઉકેલ: એક્સએક મૂળ તરત જ પ્રગટ થાય છે - તે તમારી આંખને પકડે છે:

1 = 1 (કારણ કે સરળ અંકગણિત બહાર આવ્યું છે: 7 – 6 – 1 = 0).
7 + (– 1) = 6.

સમીકરણના ગુણાંક સંતુલિત છે: પ્રથમ અને ત્રીજાનો સરવાળો વિરોધી ચિન્હ સાથે બીજા સમાન છે: વિએટાના પ્રમેય અનુસાર, અમે બે ઓળખ બનાવીએ છીએ (જોકેઆ કિસ્સામાં

એક્સ 1 · એક્સ 2 = –1/7
એક્સ 1 + એક્સ 2 = 6/7

તેમાંથી એક પર્યાપ્ત છે):

એક્સ 2 = –1/7: 1 = –1/7

મૂલ્ય x 1 ને આ બેમાંથી કોઈપણ અભિવ્યક્તિમાં બદલો અને x 2 શોધો: એક્સ 1 = 1; એક્સ 2 = –1/7

જવાબ:

ઘટાડેલા ચતુર્ભુજ સમીકરણનો ભેદભાવ. ઘટાડેલા ચતુર્ભુજ સમીકરણના ભેદભાવની ગણતરી આ રીતે કરી શકાય છેસામાન્ય સૂત્ર

, અને સરળ રીતે:મુ

D = 0, ઉપરના સમીકરણના મૂળની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે:< 0, то уравнение не имеет корней.

જો ડી

જો D = 0 હોય, તો સમીકરણનું એક મૂળ છે.

જો D > 0 હોય, તો સમીકરણ બે મૂળ ધરાવે છે. (શરત 1x2પરિણામ પર હોડવડા-થી- માથું) બુકીઓમાં મૂળભૂત બેટ્સ પૈકી એક છે. અપેક્ષિત પોઈન્ટની ગણતરી કરવાની, ખૂણાઓની ગણતરી કરવાની, કોણ પ્રથમ સ્કોર કરશે વગેરેની જરૂર નથી. તે માત્ર ખાતરી કરવા માટે પૂરતું છે કે શું પ્રથમ ટીમ જીતશે, બીજી, અથવા ત્યાં ડ્રો થશે.

આ શરત લાઇવ મોડમાં અને મેચ પહેલાના સમયગાળામાં બંને મૂકી શકાય છે. મોટેભાગે તે માટે સંબંધિત છે ફૂટબોલ અને હોકી, પરંતુ અન્ય રમતોમાં પણ શક્ય છે. તે તેના લાક્ષણિક અર્થઘટનમાં હેડ-ટુ-હેડ શરત કહેવા યોગ્ય છે ટેનિસ, વોલીબોલ, બેઝબોલ અને અન્ય રમતો માટે લાક્ષણિક નથી, જ્યાં માત્ર એક વ્યક્તિ/ટીમ જીતી શકે છે (છેવટે, ત્યાં કોઈ X નથી). આ કિસ્સામાં, એક જ શરતનો ઉપયોગ થાય છે.

ઉપરાંત, આ પ્રકારના દાવ કાં તો મેચના અંતિમ પરિણામ (રમતના અંતે ટીમની જીત) અથવા પ્રથમ હાફમાં રમતના પરિણામ પર લગાવી શકાય છે (ઉદાહરણ તરીકે, 45 મિનિટ પછી પોઈન્ટ પર લિવરપૂલની જીત રમો).

હકીકતમાં, પરિણામ પર શરત મેચના અંતિમ પરિણામની આગાહી કરે છે.અને 1X2 તેને કેટલીકવાર સંક્ષેપના કારણે કહેવામાં આવે છે: 1 આ કિસ્સામાં યજમાનો માટે વિજય છે, X એ ડ્રો છે, અને 2 એ મહેમાનો માટે વિજય છે (કેટલાક લોકો સંક્ષેપ હોમ્સ-ડ્રો-ગેસ્ટ્સ જેવા છે).

આ પ્રકારની શરતનો એક ગેરફાયદો એ છે કે કેટલીકવાર મતભેદ વચ્ચે વિશાળ શ્રેણી હોય છે. તેથી, મેચના મનપસંદ માટે મતભેદ 1.0 હોઈ શકે છે, જ્યારે વિરુદ્ધ બાજુ 12 અને તેથી વધુ.

માથા-ટુ-હેડ શરતની જીતની ગણતરી શરતની રકમને શરત લગાવવામાં આવી હતી તે સમયે મતભેદ દ્વારા ગુણાકાર કરીને કરવામાં આવે છે. તદનુસાર, જો મહેમાનો 10 ની મતભેદ સાથે જીતે છે અને શરતની રકમ 1000 રુબેલ્સ છે. તમારો નફો 10,000 રુબેલ્સ હશે.

હજુ પણ સ્પષ્ટ નથી કે શરતમાં 1x2 નો અર્થ શું છે? ચાલો એક ઉદાહરણ આપીએ. ચાલો રશિયા-જર્મની મેચ લઈએ. ચાલો રશિયાને નંબર 1 સાથે, જર્મનીને નંબર 2 સાથે દર્શાવીએ. ચાલો શરતી X તરીકે ડ્રો લઈએ. રશિયા (5.3), જર્મની (1.9), ડ્રો (2.4) માટે વિજય માટે બુકમેકરની મતભેદ. રશિયાની જીત પર તમારી શરત 500 રુબેલ્સ છે. જો શરત (1) જીતે છે, તો તમને તમારા એકાઉન્ટમાં 500x5.3=2650 રુબેલ્સ પાછા મળશે. જો તમે (2) અથવા X જીતશો, તો તમને કંઈપણ પ્રાપ્ત થશે નહીં અને તમારી શરતની રકમ ગુમાવશો નહીં.

ઉપર બુકમેકર પર શરત દર્શાવવાનું ઉદાહરણ છે.

ત્રણ-માર્ગી શરતના ફેરફારોમાંથી એક બેટ્સ છે "ડબલ ચાન્સ", જે જોખમની ડિગ્રી ઘટાડે છે અને વિજયની ટકાવારીમાં વધારો કરે છે. 1X, 2X અને 12 વિકલ્પો છે. આ હોદ્દાઓનો અર્થ શું છે? આવો જ મેચ રશિયા - જર્મની લઈએ. 1X શરતનો અર્થ એ છે કે તમે પ્રથમ ટીમ (રશિયા)ની જીત પર અથવા મેચ (X) માં ડ્રો પર દાવ લગાવી રહ્યાં છો.

તદનુસાર, જો સ્કોર 1:1 છે, તો તમે શરત જીતી શકશો. 2X જર્મની અથવા ડ્રો માટે તમારી પસંદગી સૂચવે છે. ઠીક છે, શરત 12 રશિયા અથવા જર્મની માટે જીત સૂચવે છે જો ત્યાં ડ્રો હોય, તો શરત હારી જશે. આ પ્રકારની સટ્ટાબાજીના ગેરફાયદા સ્પષ્ટ છે: કારણ કે હકીકતમાં તમે 1 ઇવેન્ટ નહીં, પરંતુ 2 સંભવિત ઘટનાઓની આગાહી કરી રહ્યાં છો, બુકીઓ અવરોધો ઘટાડે છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, જો રશિયા માટે જીતવાની સંભાવના 5.3 છે, જો તમે 1X ડ્રો ઉમેરવાનું નક્કી કરો છો, તો મતભેદ કદાચ ઘટીને 3.2 અથવા તેનાથી ઓછા થઈ જશે.

મને આશા છે કે અમે તમને 1X2 શરતના મૂલ્યના મુદ્દાને સમજવામાં મદદ કરી છે. હિંમત કરો અને વિજેતા બનો.

સમીકરણ akh 3 +bx 2 +cx+d=0 ઉકેલવા માટે અલ્ગોરિધમ:

1. પસંદગી દ્વારા સમીકરણનું મૂળ શોધો (મુક્ત પદના વિભાજકો વચ્ચે);

2. બહુપદી આહને વિભાજીત કરો 3 + bx 2 + cx + ડી x-x પર 1 , જ્યાં x 1 - આહ સમીકરણનું મૂળ 3 + bx 2 + cx + ડી =0;

3. ભાગાંકને શૂન્ય સાથે સમાન કરો અને પરિણામી સમીકરણને હલ કરો;

4. જવાબ લખો.

-6x 3 -x 2 +5x+2=0 સમીકરણ ઉકેલો

1. મુક્ત પદના વિભાજકો શોધો: ±1, ±2, ±3, ±6.

2. x=1 એ સમીકરણનું મૂળ છે.

3. બહુપદી -6x 3 -x 2 +5x+2 ને દ્વિપદી વડે ભાગો

x-1 (બેઝાઉટના પ્રમેયના કોરોલરી 1 દ્વારા).

3. સમીકરણ ઉકેલો: -6x 2 -7x-2=0,

6x 2 -7x-2+0, x 1 = -, x 2 = -.

4. જવાબ આપો. x=1, x = -, x = -.

સમીકરણો ઉકેલવાની આ પદ્ધતિ સાર્વત્રિક છે. તેનો ઉપયોગ ચાર, પાંચ, વગેરે સમીકરણો ઉકેલવા માટે થઈ શકે છે. ડિગ્રી, ધીમે ધીમે તેમને બીજી ડિગ્રી સુધી ઘટાડીને.

ઉદાહરણ 1.

સમીકરણ x 4 +3x 3 -13x 2 -9x+30=0 ઉકેલો.

1. મુક્ત શબ્દના વિભાજકોમાં, આપણે સમીકરણના મૂળ શોધીએ છીએ. આ 2 અને -5 છે.

2. બેઝાઉટના પ્રમેયમાંથી કોરોલરી 1 દ્વારા, બહુપદી x 4 +3x 3 -13x 2 -9x+30 x-2 અને x+5 વડે વિભાજ્ય છે અને તેથી તે (x-2)(x+5)= વડે વિભાજ્ય છે. x 2 + 3x-10.

3. ચાલો બહુપદીને વિભાજીત કરીએ: x 4 +3x 3 -13x 2 -9x+30 x 2 +3x-10 દ્વારા.

4. સમીકરણ x 2 -3=0, x 1.2 = ઉકેલો
.

જવાબ આપો. x =
, x = -, x = -5, x = 2.

3x 5 +x 4 -15x 3 -5x 2 +12x+4=0 સમીકરણ ઉકેલો.

1. મુક્ત શબ્દના વિભાજકોમાં, આપણે સમીકરણના મૂળ શોધીએ છીએ. આ 1, -1, 2 અને -2 છે

2. બેઝાઉટના પ્રમેયમાંથી કોરોલરી 1 દ્વારા, બહુપદી 3x 5 +x 4 -15x 3 -5x 2 +12x+4 એ x-1, x+1, x-2 અને x+2 વડે વિભાજ્ય છે અને તેથી તે વડે વિભાજ્ય છે. (x- 1)(x+1)(x-2)(x+2)=

(x 2 -1)(x 2 -4) = x 4 -5x 2 +4.

3. ચાલો બહુપદીને વિભાજીત કરીએ: 3x 5 +x 4 -15x 3 -5x 2 +12x+4 x 4 -5x 2 +4 દ્વારા.

4. સમીકરણ 3x+1 =0, x=- ઉકેલો.

5. જવાબ આપો. x=-2, x=-1, x=-, x=1, x=2.

સમીકરણ ઉકેલો

(2x 2 -1) 2 +x(2x-1) 2 =(x+1) 2 +16x 2 -6

ચાલો બધા સભ્યોને ખસેડીએ ડાબી બાજુ, કૌંસ ખોલો અને સમાન શરતો રજૂ કરો.

4x 4 -4x 2 +1+4x 3 -4x 2 +x-x 2 -2x-1-16x 2 +6+0, 4x 4 +4x 3 -25x 2 –x+6=0.(1)

મફત સભ્યના વિભાજકો: ±1;±2;±3;±6. જો સમીકરણમાં પૂર્ણાંક મૂળ હોય, તો આ વિભાજકોમાંથી એક છે. અવેજીએ બતાવ્યું કે આ 2 છે. બેઝાઉટના પ્રમેય મુજબ, બહુપદી 4x 4 +4x 3 -25x 2 –x+6 એ શેષ વિના x-2 વડે વિભાજ્ય છે. અવશેષમાં આપણને મળે છે: 4x 3 +12x 2 –x – 3.

અમે સમીકરણ (1) ને ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ છીએ: (x-2)(4x 3 +12x 2 –x – 3)=0.

ચાલો સમીકરણ 4x 3 +12x 2 –x – 3=0 હલ કરીએ. -3 એ આ સમીકરણનું મૂળ છે, કારણ કે જ્યારે તેને x માટે બદલવામાં આવે છે, ત્યારે સમીકરણ સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતામાં ફેરવાય છે. બહુપદી 4x 3 +12x 2 –x – 3 ને x+3 વડે ભાગીએ, આપણને 4x 2 -1 મળે છે. ચતુર્ભુજ સમીકરણ 4x 2 -1=0 મૂળ x= ± ધરાવે છે.

જવાબ આપો. x = 2, x = -3, x = ±.

જો મુક્ત પદના વિભાજકો વચ્ચે સમીકરણના કોઈ મૂળ ન હોય, તો પછી ગુણાંક અને સમીકરણના મૂળ વચ્ચેના સંબંધનો ઉપયોગ કરો.

જો સમીકરણનું મૂળ a 0 એક્સ n + a 1 ઉદાહરણ 4: ચતુર્ભુજ સમીકરણ 7 ઉકેલો n -1 + a 2 ઉદાહરણ 4: ચતુર્ભુજ સમીકરણ 7 ઉકેલો n -2 ...+ a n -1 ઉદાહરણ 4: ચતુર્ભુજ સમીકરણ 7 ઉકેલો+ a n =0, પછીmમુક્ત પદનો વિભાજક છે, અને c એ અગ્રણી ગુણાંકનો વિભાજક છે.

આવા સમીકરણો ઉકેલવા માટે અલ્ગોરિધમ:

1. ફ્રી ટર્મના વિભાજકો અને અગ્રણી ગુણાંક શોધો;

2. વિવિધ અપૂર્ણાંકો કંપોઝ કરો, જ્યાંmફ્રી ટર્મના વિભાજકો છે, અને c અગ્રણી ગુણાંકના વિભાજક છે;

3. અવેજીનો ઉપયોગ કરીને, નક્કી કરો કે સમીકરણનું મૂળ કયું અપૂર્ણાંક છે;

4. બહુપદી દ્વારા બહુપદીને વિભાજીત કરો;

5. ભાગને શૂન્ય સાથે સમીકરણ કરીને સમીકરણ ઉકેલો;

6. જવાબ લખો.

6x 3 -3x 2 -5x - 1=0 સમીકરણ ઉકેલો.

1. ફ્રી ટર્મના વિભાજકો: ±1. આ સંખ્યાઓ સમીકરણના મૂળ નથી. અમે અગ્રણી ગુણાંકના વિભાજકો શોધીએ છીએ: ±1, ±2, ±3, ±6.

2. ચાલો વિવિધ અપૂર્ણાંકો બનાવીએ:

3. - સમીકરણનું મૂળ છે.

2. બેઝાઉટના પ્રમેયમાંથી કોરોલરી 1 દ્વારા, બહુપદી 6x 3 -3x 2 -5x – 1 એ x+ વડે વિભાજ્ય છે.

3. ચાલો બહુપદીઓને વિભાજીત કરીએ:

4. સમીકરણ 6x 2 -6x-2=0, 3x 2 -3x-1=0, D = 21, x 1.2 = ઉકેલો
,

5. જવાબ આપો. x 1.2 =, x = -.

બહુપદીને બહુપદી વડે ભાગવું
બીજી રીતે કરી શકાય છે.

ચાલો =
∙(x- a)+ R .

દો બહુપદી અને સંખ્યાના ગુણાંક શોધવા માટે
, સમાનતાઓની જમણી બાજુએ કૌંસ ખોલો: અને ગુણાંકને ડાબી અને જમણી બાજુએ સમાન ડિગ્રી પર સમાન કરો. અમે મેળવીએ છીએ
.[ 4]

.

તે અનુસરે છે કે જ્યારે બહુપદીના ગુણાંક અને શેષની ગણતરી નીચેના કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:.

ઉદાહરણ 1.

આ ટેબલ કહેવામાં આવે છે

હોર્નરની યોજના

2x 3 -3x+5 ને x-4 વડે ભાગો.

ચાલો ભાગ અને બાકીના ગુણાંકની ગણતરી કરવા માટે હોર્નરની યોજનાનો ઉપયોગ કરીએ. આથી,હોર્નરની સ્કીમ આપે છે

3.2 સામાન્ય પદ્ધતિ

કોઈપણ બહુપદીનું અવયવીકરણ.

સમીકરણની ડાબી બાજુના બહુપદીને અજાણ્યા ગુણાંક સાથેના બે બહુપદીના ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે:

1.માટે ઘન સમીકરણ: x 3 +bx 2 +cx+d=0, a≠0, x 3 +bx 2 +cx+d=(x 2 +рх+g)(x+t)=x 3 +x 2 t+px 2 +ptx+gx+gt=x 3 +(t+p)x 2 +(pt+g)x+gt.

બહુપદી સમાન હોવાથી, પછી માટે ગુણાંક સમાન ડિગ્રીસમાન છે. અમને સમીકરણોની સિસ્ટમ મળે છે:

2.ચોથા ડિગ્રી સમીકરણ માટે: x 4 +ax 3 +bx 2 +cx+d=0, a≠0

x 4 +ax 3 +bx 2 +cх+d =(x 2 +mx+n)(x 2 +kx+t)=x 4 +(k+m)x 3 +(m+mk+n)x 2 +(mt+nk)x+nt.

બહુપદી સમાન હોવાથી, સમાન શક્તિઓ માટે ગુણાંક સમાન છે. અમને સમીકરણોની સિસ્ટમ મળે છે:
સિસ્ટમને હલ કરીને, અમે અજ્ઞાત ગુણાંક શોધીએ છીએ.

સમીકરણ x 4 -2x 2 - 8x - 3=0 ઉકેલો.

ચાલો બહુપદી x 4 -2x 2 - 8x -3 ને અજાણ્યા ગુણાંક સાથેના બે ત્રિનોમીઓના ગુણાંક તરીકે કલ્પના કરીએ: x 4 -2x 2 - 8x -3=

(x 2 +mx+n)(x 2 +kx+t)=x 4 +(k+m)x 3 +(n+mk+t)x 2 +(mt+nk)x+nt.

અમને સમીકરણોની સિસ્ટમ મળે છે:
nt=-3 સમીકરણ પરથી તે અનુસરે છે કે આપણે નીચેના કેસોને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે: 1 .n=3,t=-1; 2. n=-3,t=1; 3. n=1,t=-3; 4 . n=-1,t=3.

આ જોડીને સિસ્ટમના બાકીના સમીકરણોમાં બદલીને, અમે n=3,t=-1 x 4 -2x 2 - 8x -3= (x 2 +2x+3)(x 2 -2x-1) સાથે મેળવીએ છીએ. =0. ચાલો x 2 +2x+3=0 અને x 2 -2x-1=0 સમીકરણો હલ કરીએ. પ્રથમ સમીકરણનો ભેદભાવ નકારાત્મક છે, જેનો અર્થ છે કે તેનું કોઈ વાસ્તવિક મૂળ નથી. બીજા સમીકરણનો ભેદભાવ 8, x 1.2 =1± છે
.

જવાબ આપો. x 1.2 =1±.

3.4. ઉકેલવા માટે દ્વિપક્ષીય સમીકરણોઅને સમીકરણો ચતુર્ભુજ સમીકરણો સુધી ઘટાડીને, નવા ચલોને રજૂ કરવાની પદ્ધતિનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે. તેનો ઉપયોગ સમીકરણો માટે પણ થઈ શકે છે ઉચ્ચ ડિગ્રીઓ.

સમીકરણ x 4 +2x 3 – 22x 2 +2x+1=0 ઉકેલો.

x=0 એ સમીકરણનું મૂળ ન હોવાથી, સમીકરણની બંને બાજુઓને મૂળ ગુમાવ્યા વિના x2 વડે વિભાજિત કરી શકાય છે. અમને સમીકરણ મળે છે

x 2 +2x-22++ =0, ચાલો શરતોનું જૂથ કરીએ

(x 2 +)+2(x+)-22=0.

ચાલો x +=t ફેરફાર કરીએ, પછી (x +) 2 =t 2.

x 2 +2+= t 2, x 2 += t 2 -2 મૂળ સમીકરણ t 2 -2 +2t-22= 0, t 2 +2t -24= 0,t 1 =- 6, t 2 =4 ચાલો મૂળ ચલ પર પાછા આવીએ: 1). x +=-6, 2). x +=4.
ચાલો દરેક સમીકરણ હલ કરીએ. 1). x +=-6, x 2 +6x+1=0, D=32, x 1.2 =

જવાબ આપો., x 1 = -3+2, x 2 = -3-2.

x 1 = -3+2, x 2 = -3-2.

ફોર્મનું સમીકરણ:

ઉદાહરણ 1.

(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = E;

સમીકરણ (x+1)(x+2)(x+4)(x+5)=40 ઉકેલો.

ચાલો પરિબળોનું જૂથ કરીએ ((x+1)(x+5))∙((x+4)(x+2))=40, કૌંસમાં ગુણાકાર કરીએ (x 2 +6x+5)(x 2 +6x +8) =40, રિપ્લેસમેન્ટ લાગુ કરો: x 2 +6x=t, પછી (t 2 +5)(t 2 +8)=40, t 4 +13t 2 +40=40, t 4 +13t 2 =0 , t 2 ( t 2 +13)=0, t=0, t 2 +13=0 કોઈ વાસ્તવિક મૂળ નથી.

જવાબ આપો. x=0, x= -6.

ઉદાહરણ 1.

સમીકરણ ઉકેલો

(x 2 -3x+ 1)(x 2 +3x+2)(x 2 -9x+20)=-30.

ચાલો બીજા અને ત્રીજા ત્રિપદીનો પરિબળ કરીએ આ કરવા માટે, ત્રણ સમીકરણો હલ કરીને બહુપદીના મૂળ શોધો:

x 2 +3x+2=0, x 1 = -1, x 2 = -2.

x 2 -9x+20=0, x 1 = 4, x 2 = 5. આપણને સમીકરણ મળે છે

(x 2 -3x+ 1)(x+1)(x+2)(x-4)(x-5)=-30,

(x 2 -3x+ 1)((x+1)∙(x-4))(x+2)∙(x -_5))=-30,

(x 2 -3x+ 1)(x 2 -3x-4)(x 2 -3x-10)=-30, ચાલો એક નવું ચલ રજૂ કરીએ. દો

x 2 -3x+ 1=t, પછી t(t-5)(t-11)=-30, t=6 આ સમીકરણનું મૂળ છે. ચાલો કૌંસ ખોલીએ અને t 3 -16t 2 +55t+30=0 મેળવીએ,

બહુપદી t 3 -16t 2 +55t+30 ને t-6 વડે વિભાજીત કરો, અને ભાગાંકમાં આપણને t 2 -10t-5 મળે છે.

ચાલો સમીકરણ t 2 -10t-5=0, t 1 =5+ હલ કરીએ
, t 2 =5-.

ચાલો મૂળ ચલ પર પાછા આવીએ, આ કરવા માટે આપણે ત્રણ સમીકરણો ઉકેલીએ છીએ:

જવાબ આપો. x 1.2 =, x 3.4 =
, x 5.6 =
.

ફોર્મનું સમીકરણ (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = Eх 2 ;

સમીકરણ ઉકેલો:

(x – 4)(x 2 + 15 + 50)(x – 2) = 18x 2

ચાલો x 2 + 15 + 50 ને ફેક્ટરાઇઝ કરીએ.

x 2 + 15 + 50 = 0, x 1 = -5, x 2 = -10, પછી x 2 + 15x + 50 = (x + 5)(x + 10). સમીકરણ ફોર્મ લેશે:

(x – 4)(x + 5)(x + 10)(x – 2) = 18x 2,

(x 2 + x – 20)(x 2 + 8x – 20) = 18x 2. x = 0 એ સમીકરણનું મૂળ નથી, તો પછી સમીકરણની બંને બાજુઓને x 2 વડે વિભાજીત કરવાથી આપણને મળે છે.

(x+1- )(x+8-)=18.

ચાલો એક નવું ચલ રજૂ કરીએ. ચાલો t= x-, પછી (t+1)(t+8)=18,

t 2 +9t-10=0, t 1 =10, t 2 =-1 ચાલો મૂળ ચલ પર પાછા આવીએ:

જવાબ આપો. x=-5, x = 4, x= -5 -3
, x= -5 +3.

ફોર્મનું સમીકરણ ax 4 +bx 3 +cx 2 +bx+a=0, ax 6 +bx 5 +cx 4 +dx 3 +cx 2 +bx+a=0, વગેરે. આવા સમીકરણો કહેવાય છે પરત કરી શકાય તેવુંતેમની પાસે એક પ્રકારની "સપ્રમાણતા" છે: x 6 પરનો ગુણાંક મફત શબ્દની બરાબર છે, x 5 અને x પરનો ગુણાંક, x 4 અને x 2 પર સમાન છે. અવેજી x +=t નો ઉપયોગ કરીને પારસ્પરિક સમીકરણો ઉકેલવામાં આવે છે.

સમીકરણ x 4 +2x 3 – 22x 2 +2x+1=0 ના કોઈ પૂર્ણાંક મૂળ નથી (મુક્ત શબ્દ ±1 ના વિભાજકો સમીકરણના મૂળ નથી).

x = 0 એ સમીકરણનું મૂળ નથી, તો પછી સમીકરણની બંને બાજુઓને x 2 વડે વિભાજીત કરવાથી આપણને (x 2 +) મળે છે. ) -2(x+)-22=0.

ચાલો એક નવું ચલ રજૂ કરીએ. ચાલો t= x+, પછી x 2 +2+ =t 2, આપણને t 2 -2-2t-22=0, t 2 -2t-24=0 t 1 =6, t 2 =-4 સમીકરણ મળે છે. ચાલો મૂળ ચલ પર પાછા જઈએ:

જવાબ આપો. x 1.2 = 3 ±2, x 3.4 = -2 ±.

3.5.. ચતુર્ભુજ સમીકરણોને ઉકેલવા માટે, સંપૂર્ણ ચોરસને અલગ કરવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ થાય છે. ત્રીજા અને ચોથા ડિગ્રીના સમીકરણોને ઉકેલવા માટે, તમે દ્વિપદી સૂત્રોનો પણ ઉપયોગ કરી શકો છો.

સંક્ષિપ્ત ગુણાકારના સૂત્રો તમે જેનાથી પરિચિત છો:

(x±a) 2 =x 2 ±2x+a 2;

(x±a) 3 =x 3 ±3x 2 a+3xa 2 ±a 3;

(x+a)(x-a)=x 2 -a 2;

(x+a)(x 2 -x+a 2)= x 3 +a 3;

(x-a)(x 2 +x+a 2)= x 3 -a 3;

(x+y+z) 2 =x 2 +y 2 +z 2 +2xy+2xz+2yz/

સૂત્ર (x+a) 4 નીચે પ્રમાણે મેળવી શકાય છે: (x+a) 4 = (x+a) 3 (x+3)= (x 3 +3x 2 a+3xa 2 +a 3) (x+ a) = x 4 +4x 3 a+6x 2 a 2 +4x 3 +a 4.

પાસ્કલના ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તરણ ગુણાંક શોધી શકાય છે

(નામ દ્વારા ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રીબ્લેઝ પાસ્કલ):

આ ત્રિકોણની દરેક પંક્તિમાં, પ્રથમ અને છેલ્લા સિવાયના ડિગ્રી ગુણાંક, અગાઉની પંક્તિના નજીકના ગુણાંકના જોડીમાં ઉમેરા દ્વારા મેળવવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ.1.

(x+a) 7 માટે: ઘાતાંક સંખ્યા જેટલી 7, જેનો અર્થ છે કે તેના ગુણાંક આઠમી લાઇનમાં છે, આ 1,7,21,35,35,21,7,1 છે, જે આ રીતે અગાઉની લાઇનમાંથી મેળવવામાં આવે છે:

7=1+6, 21=6+15, 35=15+20, 35= 20+15, 21=15+20, 7=6+1.

આપણને મળે છે: (x+a) 7 =x 7 +7x 6 a+21x 5 a 2 +35x 4 a 3 +35x 3 a 4 +21x 2 a 5 +7x 6 +a 7.

ઉચ્ચ શક્તિઓના સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર માટે સૂત્રો લખતી વખતે, નીચેના સિદ્ધાંતો અસ્તિત્વમાં છે:

એકમ દીઠ પરિણામી બહુપદીની શરતોની સંખ્યા સૂચક કરતાં વધુડિગ્રી;

ઘાત એક્સદરેક આગામી પદમાં એક ઓછું અને ઘાતાંક છે a- એક વધુ;

x અને a ના ઘાતાંકનો સરવાળો અચળ અને બહુપદીના ઘાતાંક સમાન છે;

શરૂઆત અને અંતથી બહુપદી સમકક્ષના ગુણાંક સમાન છે.

સમીકરણ x 3 +6x 2 +12x-16=0 ઉકેલો.

ઉકેલ: સૂત્ર (x+a) 3 = 1∙x 3 +3x 2 a+3xa 2 +1∙a 3 નો ઉપયોગ કરો.

x 3 +6x 2 +12x+16=0, (x 3 +3∙2x 2 +3∙2 2 x+2 3) +8=0, (x+2) 3 +2 3 =0, (x+ 2 +2)((x+2) 2 -2 (x+2)+4)=0, 1. x=-4, 2. (x+2) 2 -2 (x+2)+ 4=0 ,

x 2 +2x +4=0, D=-12, વાસ્તવિક મૂળ નથી.

જવાબ આપો. x = -4.

સમીકરણ x 4 -12x 3 +54x 2 -108x+48=0, x 4 -12x 3 +54x 2 -108x+48= (x 4 -4x 3 ∙3+6x 2 3 2 -4x3 3 + 4 4 ) -4 4 +48= (x-3) 4 -64+48=0, (x-3) 4 - 16=0. ચાલો વર્ગોના તફાવત (x-3-4)(x-3+4)=0, (x-7)(x+1)=0, x=7, x=-1 લાગુ કરીએ.

જવાબ: x=-1, x=7.

3.6. વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ.

1.ઘન સમીકરણ માટે વિએટાનું પ્રમેય:

જો x 1, x 2, x 3 ─ સમીકરણનું મૂળ x 3 +bx 2 +cx+d=0, a≠0, તે

એક્સ 1 + x 2 + x 3 =- b,

ઉદાહરણ 4: ચતુર્ભુજ સમીકરણ 7 ઉકેલો 1 એક્સ 2 + ઉદાહરણ 4: ચતુર્ભુજ સમીકરણ 7 ઉકેલો 2 એક્સ 3 + ઉદાહરણ 4: ચતુર્ભુજ સમીકરણ 7 ઉકેલો 1 ઉદાહરણ 4: ચતુર્ભુજ સમીકરણ 7 ઉકેલો 3 = c,

એક્સ 1 એક્સ 2 એક્સ 3 = - ડી.

2.ચોથા ડિગ્રીના સમીકરણો માટે વિએટાનું પ્રમેય:

જો x 1, x 2, x 3, x 4 એ સમીકરણ x 4 + b x 3 +cx 2 +x+dx+e=0 ના મૂળ છે, તે

એક્સ 1 + x 2 + x 3 +x 4 =- b,

ઉદાહરણ 4: ચતુર્ભુજ સમીકરણ 7 ઉકેલો 1 એક્સ 2 + ઉદાહરણ 4: ચતુર્ભુજ સમીકરણ 7 ઉકેલો 1 એક્સ 3 + ઉદાહરણ 4: ચતુર્ભુજ સમીકરણ 7 ઉકેલો 1 એક્સ 4 + ઉદાહરણ 4: ચતુર્ભુજ સમીકરણ 7 ઉકેલો 2 એક્સ 3 + ઉદાહરણ 4: ચતુર્ભુજ સમીકરણ 7 ઉકેલો 2 ઉદાહરણ 4: ચતુર્ભુજ સમીકરણ 7 ઉકેલો 4 +x 3 એક્સ 4 = c,

એક્સ 1 એક્સ 2 એક્સ 3 એક્સ 4 = e,

ઉદાહરણ 4: ચતુર્ભુજ સમીકરણ 7 ઉકેલો 1 એક્સ 2 એક્સ 3 + ઉદાહરણ 4: ચતુર્ભુજ સમીકરણ 7 ઉકેલો 1 એક્સ 2 એક્સ 4 + ઉદાહરણ 4: ચતુર્ભુજ સમીકરણ 7 ઉકેલો 1 એક્સ 3 એક્સ 4 + ઉદાહરણ 4: ચતુર્ભુજ સમીકરણ 7 ઉકેલો 2 એક્સ 3 ઉદાહરણ 4: ચતુર્ભુજ સમીકરણ 7 ઉકેલો 4 = - ડી.

સમીકરણ x 3 -4 x 2 +x+6=0 ઉકેલો.

x 1, x 2, x 3, x 4 ─ સમીકરણના મૂળ, પછી x 1 + x 2 + x 3 =4, x 1 x 2 + x 2 x 3 +x 1 x 3 =1, x 1 x 2 x 3 = -6. ચાલો જોઈએ કે કઈ સંખ્યાઓ ±1, ±2, ±3, ±6 શરતોને સંતોષે છે: x 1 + x 2 + x 3 =4, x 1 x 2 +x 2 x 3 +x 1 x 3 =1, x 1 x 2 x 3 = -6. આ x=-1, x=2 અને x=3 છે.

સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રોનો ઉપયોગ.

સાહિત્ય

1. Vygodsky M.Ya. પ્રાથમિક ગણિતની હેન્ડબુક. – એમ. સ્ટેટ પબ્લિશિંગ હાઉસ ઓફ ફિઝિકલ એન્ડ મેથેમેટિકલ લિટરેચર, 1970.

2. ગેલિટ્સ્કી એમ.એલ., ગોલ્ડમેન એમ., ઝ્વવિચ એલ.આઈ. ગ્રેડ 8-9 માટે બીજગણિતમાં સમસ્યાઓનો સંગ્રહ: ગણિતના ઊંડાણપૂર્વક અભ્યાસ સાથે શાળાઓ અને વર્ગોના વિદ્યાર્થીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક: 4 થી આવૃત્તિ - એમ.: પ્રોવેશેની, 1997.

3. યુ.એમ. કોલ્યાગીન. બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત: સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના 10મા ધોરણ માટે પાઠયપુસ્તક (પ્રોફાઇલ અને મૂળભૂત સ્તર) - એમ.: મેનેમોસિના 2006.

4. મકરીચેવ યુ.એન., Mindyuk N.G. શાળાના પાઠ્યપુસ્તક માટે વધારાના પ્રકરણો. 8 મી ગ્રેડ એમ., શિક્ષણ, 1996.

5. કે.એસ. મુરાવિન. બીજગણિત 8: શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક - એમ: ડ્રોફા, 2008

6. એક યુવાન ગણિતશાસ્ત્રીનો જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ. - એમ.: પેડાગોજી, 2007.

7. /spr/algebra/ferrary.htm

સંપર્કો:

347611, રોસ્ટોવ પ્રદેશ, સાલ્સ્કી જિલ્લો, x. મયક, ધો. મધ્ય, 4

એક અજાણ્યા સાથે, તે છે સમીકરણોફોર્મ (*) Pn(x) = ...