અસમાનતાઓની જટિલ સિસ્ટમોનું નિરાકરણ. જટિલ અસમાનતાઓનું નિરાકરણ

પાઠનો હેતુ: ઉકેલને વધુ ધ્યાનમાં લો જટિલ અસમાનતાઓ.

1. હોમવર્ક પરના પ્રશ્નોના જવાબો (વણઉકેલાયેલી સમસ્યાઓનું વિશ્લેષણ).

2. સામગ્રીના એસિમિલેશનની દેખરેખ (પરીક્ષણ).

તેમાંના મોડ્યુલો અથવા પરિમાણો સાથે જટિલ અસમાનતાઓને ઉકેલવી.

ચાલો અસમાનતા |x – 1| હલ કરીએ < 3.

પ્રથમ, ચાલો બે કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈને આ અસમાનતાને વિશ્લેષણાત્મક રીતે હલ કરીએ:

a) જો x – 1 > 0, એટલે કે x > 1, તો |x – 1| = x – 1 અને અસમાનતા x – 1 જેવી દેખાય છે< 3. Решение этого неравенства х < 4. Учитывая условие х >1, આ કિસ્સામાં આપણે ઉકેલ 1 મેળવીએ છીએ< х < 4 или х [ 1; 4).

b) જો x – 1< 0, т. е. х < 1, то |x – 1| = – (х – 1) = 1 – х и неравенство имеет вид 1 – х < 3. Решение этого неравенства -2 < х. Учитывая условие х < 1, получаем в этом случае решение -2 <х < 1 или х (-2; 1).

અમે મેળવેલા ઉકેલોનું જોડાણ શોધી કાઢીએ છીએ.

પેરામીટરની સમસ્યામાં જવાબ લખવો ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ હોવાથી (જવાબ પેરામીટરના ચડતા ક્રમમાં લખાયેલો છે), અમે સંપૂર્ણ જવાબ આપીએ છીએ:

જ્યારે એ< 1 х [ а + 1; +); при а = 1 х (-; + ); при а >1 x (-; a + 1].

હવે ચાલો બે ચલોમાં રેખીય અસમાનતાઓ જોઈએ. એક નિયમ તરીકે, આવી સમસ્યાઓ બિંદુઓના સમૂહને દર્શાવવા માટે ઘટાડવામાં આવે છે જેના કોઓર્ડિનેટ્સ કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પર અસમાનતાને સંતોષે છે.

ચાલુ સંકલન વિમાનચાલો બિંદુઓના સમૂહનું નિરૂપણ કરીએ જેના કોઓર્ડિનેટ્સ અસમાનતા y-2 > x-3 ને સંતોષે છે.

ચાલો આ અસમાનતાને y > x-1 સ્વરૂપમાં લખીએ. પ્રથમ ચાલો ગ્રાફ બનાવીએ રેખીય કાર્ય y = x-1 (સીધી રેખા). આ રેખા સંકલન સમતલના તમામ બિંદુઓને આ રેખા પર સ્થિત બિંદુઓમાં અને આ રેખા હેઠળ સ્થિત બિંદુઓમાં વિભાજિત કરે છે. ચાલો તપાસીએ કે કયા મુદ્દા સંતોષે છે આ અસમાનતા.

પ્રથમ વિસ્તારથી, ચાલો લઈએ, ઉદાહરણ તરીકે, નિયંત્રણ બિંદુ A (0; 0) - કોઓર્ડિનેટ્સનું મૂળ. તે તપાસવું સરળ છે કે પછી અસમાનતા y > -1 ધરાવે છે. બીજા વિસ્તારમાંથી આપણે પસંદ કરીએ છીએ, ઉદાહરણ તરીકે, નિયંત્રણ બિંદુ B (1; -1). આવા બિંદુ માટે અસમાનતા y > x-1 પકડી શકતી નથી. પરિણામે, આ અસમાનતા ઉપર અને સીધી રેખા y = x-1 (એટલે ​​​​કે, બિંદુ A જેવા જ બિંદુઓ) પર સ્થિત બિંદુઓ દ્વારા સંતુષ્ટ થાય છે. આ બિંદુઓ છાંયો છે.

પરિમાણ a ના કયા મૂલ્યો માટે સમીકરણ ax 2 + x – 1 = 0 પાસે કોઈ ઉકેલો નથી?

સમીકરણનો અગ્રણી ગુણાંક પરિમાણ a પર આધારિત હોવાથી, બે કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લેવા જરૂરી છે.

a) જો a 0 હોય, તો સમીકરણ ax 2 + x – 1 = 0 એ ચતુર્ભુજ છે. આવા સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી જો તેનો ભેદભાવ કરનાર ડી< 0. Решение этого неравенства а (-; -). Заметим, что в указанный промежуток значение а = 0 не входит.

b) જો a = 0 હોય, તો સમીકરણ ax 2 + x – 1 = 0 રેખીય છે અને તેનું સ્વરૂપ x – 1 = 0 છે. દેખીતી રીતે, સમીકરણમાં અનન્ય ઉકેલ x = 1 છે.

તેથી, એક (-;-) માટે આપેલ સમીકરણકોઈ ઉકેલ નથી.

ચાલો અસમાનતા |x – 1| હલ કરીએ + x 2 + 2 x + 1< 0.

ચાલો અસમાનતા |x – 1| ફોર્મમાં લખીએ + (x + 1) 2< 0 и введем новую переменную, а = х + 1. Тогда неравенство примет вид, |a| + а 2 < 0. Так как |a| >a ના તમામ મૂલ્યો માટે 0 અને a 2 > 0, પછી સરવાળો

|a| બધા a માટે + a 2 > 0. તેથી અસમાનતા, |a| + a 2< 0 имеет единственное решение а = 0. теперь вернемся к старой неизвестной х. Получаем રેખીય સમીકરણ x + 1 = 0, જેનો ઉકેલ x = – 1 છે. તેથી, આ અસમાનતાનો ઉકેલ x = – 1 છે.

બે ચલો સાથે સમાન પ્રકારની અસમાનતાઓ અસ્તિત્વમાં છે.

કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પર આપણે પોઈન્ટનો સમૂહ દર્શાવીએ છીએ જેના કોઓર્ડિનેટ્સ અસમાનતા y-1ને સંતોષે છે.< х 2 .

ચાલો અસમાનતાને y સ્વરૂપમાં લખીએ< х 2 + 1 и построим параболу y = х 2 + 1 (этот график получается смещением графика y = х 2 на одну единицу вверх). Парабола разбивает точки плоскости на точки, расположенные под параболой. Взяв в качестве контрольной точки начало координат, получаем верное неравенство 0 < 1. Поэтому данному неравенству удовлетворяют точки, расположенные ниже параболы и на параболе. Эти точки заштрихованы.

1. વિશ્લેષણાત્મક રીતે અસમાનતા ઉકેલો:

2. a ના તમામ મૂલ્યો માટે, અસમાનતા ઉકેલો:

3. પરિમાણ a ના કયા મૂલ્યો પર સમીકરણ કરે છે

a) 3x 2 – 2x + a = 0 નું કોઈ મૂળ નથી;
b) 2x 2 – 3x + 5a = 0 બે અલગ અલગ મૂળ ધરાવે છે;
c) 3ak 2 – 4х + 1 = 0 બે અલગ અલગ મૂળ ધરાવે છે;
d) ax 2 – 3x + 2 = 0 ઓછામાં ઓછું એક મૂળ ધરાવે છે.

4. વિશ્લેષણાત્મક રીતે (અને જો શક્ય હોય તો, ગ્રાફિકલી) અસમાનતાઓને ઉકેલો:

ઉદાહરણ તરીકે, અસમાનતા એ અભિવ્યક્તિ છે \(x>5\).

અસમાનતાના પ્રકારો:

જો \(a\) અને \(b\) સંખ્યાઓ અથવા , તો અસમાનતા કહેવાય છે સંખ્યાત્મક. તે વાસ્તવમાં માત્ર બે સંખ્યાઓની સરખામણી કરે છે. આવી અસમાનતાઓને વિભાજિત કરવામાં આવે છે વિશ્વાસુઅને બેવફા.

ઉદાહરણ તરીકે:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) એ અયોગ્ય સંખ્યાત્મક અસમાનતા છે, કારણ કે \(17+3=20\), અને \(20\) \(115\) કરતા ઓછી છે (અને તેનાથી મોટી કે બરાબર નથી) .

જો \(a\) અને \(b\) એ ચલ ધરાવતા સમીકરણો છે, તો આપણી પાસે છે ચલ સાથે અસમાનતા. આવી અસમાનતાઓને સામગ્રીના આધારે પ્રકારોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે:

અસમાનતાનો ઉકેલ શું છે?

જો તમે ચલને બદલે કોઈ સંખ્યાને અસમાનતામાં બદલો છો, તો તે સંખ્યાત્મકમાં ફેરવાઈ જશે.

જો x માટે આપેલ મૂલ્ય મૂળ અસમાનતાને સાચા આંકડાકીયમાં ફેરવે છે, તો તેને કહેવામાં આવે છે અસમાનતાનો ઉકેલ. જો નહીં, તો આ મૂલ્ય કોઈ ઉકેલ નથી. અને તેથી તે અસમાનતા ઉકેલો- તમારે તેના તમામ ઉકેલો શોધવાની જરૂર છે (અથવા બતાવો કે ત્યાં કોઈ નથી).

ઉદાહરણ તરીકે,જો આપણે સંખ્યા \(7\) ને રેખીય અસમાનતા \(x+6>10\) માં બદલીએ, તો આપણને સાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતા મળે છે: \(13>10\). અને જો આપણે \(2\) ને બદલીએ, તો ત્યાં એક ખોટી સંખ્યાત્મક અસમાનતા \(8>10\) હશે. એટલે કે, \(7\) એ મૂળ અસમાનતાનો ઉકેલ છે, પરંતુ \(2\) નથી.

જો કે, અસમાનતા \(x+6>10\) પાસે અન્ય ઉકેલો છે. ખરેખર, જ્યારે \(5\), અને \(12\), અને \(138\) ને બદલે ત્યારે આપણે સાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતા મેળવીશું... અને આપણે બધાને કેવી રીતે શોધી શકીએ? શક્ય ઉકેલો? આ માટે તેઓ ઉપયોગ કરે છે અમારા કેસ માટે અમારી પાસે છે:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

એટલે કે, ચાર કરતા મોટી કોઈપણ સંખ્યા આપણને અનુકૂળ આવશે. હવે તમારે જવાબ લખવાની જરૂર છે. અસમાનતાના ઉકેલો સામાન્ય રીતે સંખ્યાત્મક રીતે લખવામાં આવે છે, વધુમાં તેમને ચિહ્નિત કરીને સંખ્યા અક્ષઇંડામાંથી બહાર નીકળવું અમારા કેસ માટે અમારી પાસે છે:

જવાબ: \(x\in(4;+\infty)\)

અસમાનતાની નિશાની ક્યારે બદલાય છે?

અસમાનતાઓમાં એક મોટી જાળ છે જેમાં વિદ્યાર્થીઓને પડવું ખરેખર "પ્રેમ" છે:

અસમાનતાને નકારાત્મક સંખ્યા વડે ગુણાકાર (અથવા ભાગાકાર) કરતી વખતે, તે ઉલટાવી દેવામાં આવે છે ("વધુ" "ઓછા", "વધુ અથવા સમાન" દ્વારા "ઓછા અથવા સમાન", અને તેથી વધુ)

આવું કેમ થઈ રહ્યું છે? આ સમજવા માટે, ચાલો પરિવર્તનો જોઈએ સંખ્યાત્મક અસમાનતા\(3>1\). તે સાચું છે, ત્રણ ખરેખર એક કરતા વધારે છે. પ્રથમ, ચાલો તેને કોઈપણ હકારાત્મક સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવાનો પ્રયાસ કરીએ, ઉદાહરણ તરીકે, બે:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

જેમ આપણે જોઈ શકીએ છીએ, ગુણાકાર પછી અસમાનતા સાચી રહે છે. અને પછી ભલેને આપણે કઈ સકારાત્મક સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરીએ, આપણને હંમેશા સાચી અસમાનતા મળશે. હવે ચાલો દ્વારા ગુણાકાર કરવાનો પ્રયાસ કરીએ નકારાત્મક સંખ્યા, ઉદાહરણ તરીકે, ઓછા ત્રણ:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

પરિણામ એ ખોટી અસમાનતા છે, કારણ કે માઈનસ નવ એ માઈનસ ત્રણ કરતા ઓછો છે! એટલે કે, અસમાનતા સાચી બનવા માટે (અને તેથી, નકારાત્મક દ્વારા ગુણાકારનું રૂપાંતર "કાયદેસર" હતું), તમારે આની જેમ સરખામણી ચિહ્નને વિપરીત કરવાની જરૂર છે: \(−9<− 3\).
વિભાજન સાથે તે એ જ રીતે કાર્ય કરશે, તમે તેને જાતે ચકાસી શકો છો.

ઉપર લખેલ નિયમ તમામ પ્રકારની અસમાનતાઓને લાગુ પડે છે, માત્ર સંખ્યાત્મક જ નહીં.

જવાબ: \(x\in(-1;\infty)\)

અસમાનતા અને અપંગતા

અસમાનતાઓ, સમીકરણોની જેમ, પર પ્રતિબંધો હોઈ શકે છે, એટલે કે, x ના મૂલ્યો પર. તદનુસાર, તે મૂલ્યો કે જે ડીઝેડ અનુસાર અસ્વીકાર્ય છે તે ઉકેલોની શ્રેણીમાંથી બાકાત રાખવા જોઈએ.

ઉદાહરણ: અસમાનતા ઉકેલો \(\sqrt(x+1)<3\)

ઉકેલ: તે સ્પષ્ટ છે કે ડાબી બાજુ \(3\) કરતાં ઓછી હોય તે માટે, આમૂલ અભિવ્યક્તિ \(9\) કરતાં ઓછી હોવી જોઈએ (છેવટે, \(9\) માત્ર \(3\) થી). અમને મળે છે:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

બધા? \(8\) કરતાં નાની x ની કોઈપણ કિંમત આપણને અનુકૂળ પડશે? ના! કારણ કે જો આપણે, ઉદાહરણ તરીકે, જરૂરિયાતને અનુરૂપ લાગતું મૂલ્ય \(-5\) લઈએ, તો તે મૂળ અસમાનતાનો ઉકેલ નહીં હોય, કારણ કે તે આપણને નકારાત્મક સંખ્યાના મૂળની ગણતરી તરફ દોરી જશે.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

તેથી, આપણે X ના મૂલ્ય પરના નિયંત્રણોને પણ ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ - તે એવું ન હોઈ શકે કે મૂળ હેઠળ નકારાત્મક સંખ્યા હોય. આમ, અમારી પાસે x માટે બીજી આવશ્યકતા છે:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

અને x માટે અંતિમ ઉકેલ બનવા માટે, તે એક જ સમયે બંને આવશ્યકતાઓને સંતોષવી આવશ્યક છે: તે \(8\) (સોલ્યુશન બનવા માટે) કરતાં ઓછું અને \(-1\) કરતાં વધુ હોવું જોઈએ (સૈદ્ધાંતિક રીતે સ્વીકાર્ય હોવું). નંબર લાઇન પર કાવતરું કરીને, અમારી પાસે અંતિમ જવાબ છે:

જવાબ: \(\ડાબે[-1;8\જમણે)\)

લઘુગણક અસમાનતાઓની સમગ્ર વિવિધતાઓમાં, ચલ આધાર સાથેની અસમાનતાઓનો અલગથી અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. તેઓ વિશિષ્ટ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને હલ કરવામાં આવે છે, જે કોઈ કારણોસર ભાગ્યે જ શાળામાં શીખવવામાં આવે છે:

લોગ k (x) f (x) ∨ લોગ k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

“∨” ચેકબોક્સને બદલે, તમે કોઈપણ અસમાનતા ચિહ્ન મૂકી શકો છો: વધુ કે ઓછું. મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે બંને અસમાનતાઓમાં ચિહ્નો સમાન છે.

આ રીતે આપણે લઘુગણકથી છૂટકારો મેળવીએ છીએ અને સમસ્યાને તર્કસંગત અસમાનતામાં ઘટાડીશું. બાદમાં ઉકેલવા માટે ખૂબ સરળ છે, પરંતુ જ્યારે લોગરીધમ્સ કાઢી નાખવામાં આવે છે, ત્યારે વધારાના મૂળ દેખાઈ શકે છે. તેમને કાપી નાખવા માટે, સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણી શોધવા માટે તે પૂરતું છે. જો તમે લોગરિધમનો ODZ ભૂલી ગયા હો, તો હું તેને પુનરાવર્તન કરવાની ભારપૂર્વક ભલામણ કરું છું - જુઓ “ લઘુગણક શું છે ».

સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણીથી સંબંધિત દરેક વસ્તુને અલગથી લખી અને હલ કરવી આવશ્યક છે:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

આ ચાર અસમાનતાઓ એક પ્રણાલીની રચના કરે છે અને તે એકસાથે સંતુષ્ટ થવી જોઈએ. જ્યારે સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણી મળી આવે, ત્યારે જે બાકી રહે છે તે તેને તર્કસંગત અસમાનતાના ઉકેલ સાથે છેદવાનું છે - અને જવાબ તૈયાર છે.

કાર્ય. અસમાનતા ઉકેલો:

પ્રથમ, ચાલો લોગરીધમનો ODZ લખીએ:

પ્રથમ બે અસમાનતા આપોઆપ સંતોષાય છે, પરંતુ છેલ્લી એક લખવી પડશે. સંખ્યાનો વર્ગ શૂન્ય હોવાથી અને જો સંખ્યા પોતે શૂન્ય હોય તો જ, આપણી પાસે છે:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

તે તારણ આપે છે કે લઘુગણકની ODZ એ શૂન્ય સિવાયની બધી સંખ્યાઓ છે: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). હવે અમે મુખ્ય અસમાનતાને હલ કરીએ છીએ:

અમે લઘુગણક અસમાનતામાંથી તર્કસંગત એકમાં સંક્રમણ કરીએ છીએ. મૂળ અસમાનતામાં "ઓછું" ચિહ્ન હોય છે, જેનો અર્થ થાય છે કે પરિણામી અસમાનતામાં "ઓછું" ચિહ્ન પણ હોવું જોઈએ. અમારી પાસે છે:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 −1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

આ અભિવ્યક્તિના શૂન્ય છે: x = 3; x = −3; x = 0. વધુમાં, x = 0 એ બીજા ગુણાકારનું મૂળ છે, જેનો અર્થ છે કે જ્યારે તેમાંથી પસાર થાય છે, ત્યારે કાર્યની નિશાની બદલાતી નથી. અમારી પાસે છે:

આપણને x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞) મળે છે. આ સમૂહ લઘુગણકના ODZ માં સંપૂર્ણપણે સમાયેલ છે, જેનો અર્થ છે કે આ જવાબ છે.

લઘુગણક અસમાનતાઓનું રૂપાંતર

ઘણી વાર મૂળ અસમાનતા ઉપરની અસમાનતા કરતાં અલગ હોય છે. લોગરીધમ્સ સાથે કામ કરવા માટેના માનક નિયમોનો ઉપયોગ કરીને આને સરળતાથી સુધારી શકાય છે - જુઓ “ લઘુગણકના મૂળભૂત ગુણધર્મો" જેમ કે:

1. કોઈપણ સંખ્યાને આપેલ આધાર સાથે લઘુગણક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે;
2. સમાન પાયા સાથે લઘુગણકનો સરવાળો અને તફાવત એક લઘુગણક દ્વારા બદલી શકાય છે.

અલગથી, હું તમને સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણી વિશે યાદ અપાવવા માંગુ છું. મૂળ અસમાનતામાં ઘણા લઘુગણક હોઈ શકે છે, તેથી તે દરેકના VA શોધવા જરૂરી છે. આમ, લઘુગણક અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેની સામાન્ય યોજના નીચે મુજબ છે:

1. અસમાનતામાં સમાવિષ્ટ દરેક લઘુગણકનો VA શોધો;
2. લોગરીધમ ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવા માટેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને અસમાનતાને પ્રમાણભૂતમાં ઘટાડો;
3. ઉપર આપેલ યોજના અનુસાર પરિણામી અસમાનતાને ઉકેલો.

કાર્ય. અસમાનતા ઉકેલો:

ચાલો પ્રથમ લોગરીધમનું ડોમેન ઓફ ડેફિનેશન (DO) શોધીએ:

અમે અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને હલ કરીએ છીએ. અંશનું શૂન્ય શોધવું:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

પછી - છેદના શૂન્ય:

x − 1 = 0;
x = 1.

અમે સંકલન તીર પર શૂન્ય અને ચિહ્નોને ચિહ્નિત કરીએ છીએ:

આપણને x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞) મળે છે. બીજા લઘુગણકમાં સમાન VA હશે. જો તમને મારા પર વિશ્વાસ ન હોય, તો તમે તેને ચકાસી શકો છો. હવે આપણે બીજા લઘુગણકને રૂપાંતરિત કરીએ છીએ જેથી આધાર બે હોય:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, બેઝ પર અને લોગરીધમની સામેના થ્રીને ઘટાડવામાં આવ્યા છે. અમને સમાન આધાર સાથે બે લઘુગણક મળ્યા. ચાલો તેમને ઉમેરીએ:

લોગ 2 (x − 1) 2< 2;
લોગ 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

અમે પ્રમાણભૂત લઘુગણક અસમાનતા મેળવી છે. આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને લોગરીધમથી છુટકારો મેળવીએ છીએ. મૂળ અસમાનતામાં "ઓછું" ચિહ્ન હોવાથી, પરિણામી તર્કસંગત અભિવ્યક્તિ પણ શૂન્ય કરતાં ઓછી હોવી જોઈએ. અમારી પાસે છે:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

અમને બે સેટ મળ્યા:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. ઉમેદવારનો જવાબ: x ∈ (−1; 3).

તે આ સેટ્સને છેદવાનું બાકી છે - અમને વાસ્તવિક જવાબ મળે છે:

અમને સેટના આંતરછેદમાં રસ છે, તેથી અમે અંતરાલો પસંદ કરીએ છીએ જે બંને તીરો પર છાંયો છે. આપણને x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) મળે છે - બધા બિંદુઓ પંચર થયેલ છે.