માટે કાર્યો સ્વતંત્ર કાર્ય

નીચેની સજાતીય પ્રણાલીઓના સામાન્ય ઉકેલો શોધો વિભેદક સમીકરણોમાનવામાં આવતી પદ્ધતિઓમાંથી એક, અને તેમને કોઈપણ અન્ય પદ્ધતિથી તપાસો:

8.1. 8.2.

8.3. 8.4.

8.5. 8.6.

8.7. 8.8.

8.9. 8.10.

વિભેદક સમીકરણોની રેખીય પ્રણાલીનું સ્વરૂપ છે:

(9.1)

સિસ્ટમ્સ (9.1) અને (9.2) કહેવામાં આવે છે વિજાતીય , જો ઓછામાં ઓછું એક ફંક્શન હોય f i(એક્સજો સ્વતંત્ર ચલના તમામ મૂલ્યો માટે સમાન રીતે શૂન્ય નથી એક્સબધા કાર્યો f i(એક્સ) શૂન્યની બરાબર છે, પછી, ઉદાહરણ તરીકે, સિસ્ટમ (8.14) ફોર્મ લે છે:

અને કહેવાય છે સજાતીય રેખીય સિસ્ટમ.

જો બધા કાર્યો એક ij(x) અને f i(એક્સ) સેગમેન્ટ પર સતત છે a£ x£ b, પછી સિસ્ટમ, ઉદાહરણ તરીકે, (9.2) ધરાવે છે એકમાત્ર ઉકેલ:

(9.4)

સમગ્ર સેગમેન્ટમાં વ્યાખ્યાયિત a£ x£ bઅને સંતોષકારક પ્રારંભિક શરતો:

અને પ્રારંભિક ડેટા સંપૂર્ણપણે મનસ્વી રીતે પસંદ કરી શકાય છે, અને એક્સઅંતરાલમાંથી 0 પસંદ કરવું આવશ્યક છે a£ x£ b.

સાથે સમીકરણોની અસંગત રેખીય સિસ્ટમ સતત ગુણાંક ફોર્મ ધરાવે છે:

(9. 6)

જો બધું f i (x) =0, પછી આપણને મળે છે સતત ગુણાંક સાથે સજાતીય સિસ્ટમ

જો કેટલાક વેક્ટરના ઘટકો,

એ વેક્ટરના વ્યુત્પન્નના ઘટકો અને ગુણાંક એક ijમેટ્રિક્સના ઘટકો છે , તો, ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણોની સિસ્ટમ (9.8) આ રીતે રજૂ કરી શકાય છે:

ચાલો સતત ગુણાંક સાથે રેખીય સિસ્ટમોને એકીકૃત કરવા માટેની પદ્ધતિઓનો વિચાર કરીએ.

1. સતત ગુણાંક સાથે વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, યુલરની પદ્ધતિ . આ પદ્ધતિનો સાર એ છે કે સિસ્ટમનો ઉકેલ (9.9) ફોર્મમાં માંગવામાં આવે છે

, (9.10)

જ્યાં λk - eigenvaluesગુણાંક મેટ્રિસિસ એ, જે સમીકરણમાંથી શોધી શકાય છે :

(9.11)

(ઇ- ઓળખ મેટ્રિક્સ), જેને કહેવામાં આવે છે લાક્ષણિક સમીકરણ; - eigenvector ઘટકો પી (k) eigenvalue ને અનુરૂપ λk.

જો અભિવ્યક્તિ (9.10) ને સમીકરણ (9.9) માં બદલવામાં આવે અને પરિબળ દ્વારા ઘટાડા પછી, આપણે રેખીયની સજાતીય સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ બીજગણિતીય સમીકરણોજેમાંથી આપણે વેક્ટર શોધી શકીએ છીએ પી (k) :

,

અથવા વિસ્તૃત સ્વરૂપમાં

(9.12)

આમ, સામાન્ય ઉકેલસિસ્ટમ (9.9) સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવશે:

. (9.13)

આ સૂત્ર પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે મૂળ સિસ્ટમનો ઉકેલ ગુણાંક મેટ્રિક્સના ઇજેનવેલ્યુ પર આધાર રાખે છે λkઅથવા, જે લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળના સ્વરૂપમાંથી આવશ્યકપણે સમાન વસ્તુ છે .

1 લી કેસ. બધા મૂળ λkવાસ્તવિક અને અલગ હોય છે, પછી સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ સૂત્ર (9.13) દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. ચાલો તેને વિસ્તૃત સ્વરૂપમાં લખીએ:

(9.14)

ઉદાહરણ 9.1.6. સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ શોધો

▲ ચાલો ગુણાંકનું મેટ્રિક્સ બનાવીએ , અને પછી અમે કંપોઝ કરીશું લાક્ષણિક સમીકરણ (31):

આ લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળ વાસ્તવિક અને અલગ છે: .

ચાલો તેમના eigenvalues ​​(લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળ) ને અનુરૂપ eigenvectors શોધીએ.

.

મૂલ્ય મનસ્વી રીતે લઈ શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, let =1, પછી , તેથી વેક્ટર આર (1) બરાબર છે: આર (1) =.

આ રુટ માટે અમે સિસ્ટમ પણ કંપોઝ કરીએ છીએ (9.12)

,

તેથી, જો =1, તો. તેથી વેક્ટર આર (2) =.

આમ, મૂળ સિસ્ટમના સામાન્ય ઉકેલને આ રીતે લખી શકાય છે:

તેથી, સામાન્ય ઉકેલના ઘટકો ફોર્મ લે છે:

▲

2 જી કેસ. મૂળ λkઅલગ છે, પરંતુ તેમની વચ્ચે જટિલ છે. જો લાક્ષણિક સમીકરણનું મૂળ છે, તો તે તેનું મૂળ પણ હશે, કારણ કે મૂળ સિસ્ટમના તમામ ગુણાંક એક ijમાન્ય છે.

અમે સિસ્ટમના સામાન્ય સોલ્યુશન (8.29) ના ઘટકોને રુટ સાથે બરાબર એ જ રીતે શોધીએ છીએ જેમ કે કેસ 1. પછી, જટિલ અને વાસ્તવિક ભાગોને કાર્યોથી અલગ કરીને y k, આ સોલ્યુશન બનાવતા, આપણને બે મળે છે માન્ય ઉકેલોસમાન સિસ્ટમ (8.29). કન્જુગેટ રુટ નવા સોલ્યુશન્સ આપતું નથી (જો આપણે આ રુટનો ઉપયોગ કરીએ, તો અમે એવા સોલ્યુશન્સ મેળવીશું જે પહેલાથી મેળવેલ પર આધાર રાખે છે). આ દરેક જટિલ મૂળ માટે કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 9.2. સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ શોધો

આ લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળ જટિલ સંયોજક છે: .

અમે શોધીશું eigenvector, eigenvalue (લાક્ષણિક સમીકરણનું મૂળ) ને અનુરૂપ: .

ચાલો બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવીએ (9.12)

આમ, =1 લેતા, આપણે શોધીએ છીએ, એટલે કે. eigenvector આર (1) બરાબર છે: આર (1) =.

આથી, મૂળભૂત સિસ્ટમજેવો દેખાશે:

આ ઉકેલોમાં આપણે વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને અલગ પાડીએ છીએ (અમે રુટને ધ્યાનમાં લેતા નથી, કારણ કે આ મૂળને અનુરૂપ ઉકેલો મૂળ પર રેખીય રીતે આધારિત છે), પરિણામે આપણે મેળવીએ છીએ:

આમ, સામાન્ય ઉકેલ આખરે આના જેવો દેખાય છે:

ત્રીજો કેસ. લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળમાં બહુવિધ મૂળ છે.

જો મૂળ λk, બહુવિધતા ધરાવે છે ટી, પછી તે અનુલક્ષે છે nસિસ્ટમના આંશિક ઉકેલો (9.9). અમે ફોર્મમાં આ ઉકેલો મેળવીએ છીએ:

જ્યાં q 1(x),….,qn(x) – માં બહુપદી એક્સઅનિશ્ચિત ગુણાંક સાથે, દરેક ડિગ્રી ( કરતા વધારે નથી) ટી-1):

તેથી, ઉકેલો આના જેવા દેખાશે:

(9.15)

અભિવ્યક્તિઓ (9.15) ને સિસ્ટમ (9.9) માં બદલીને અને ગુણાંકને સમકક્ષ સમાન ડિગ્રીસ્વતંત્ર ચલ એક્સદરેક સમીકરણમાં, આપણે બહુપદીના અજાણ્યા ગુણાંક નક્કી કરવા માટે બીજગણિતીય સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીશું q 1(x),….,qn(x). મેળવેલ બીજગણિતીય સમીકરણોની સંખ્યા હશે ઓછી સંખ્યાઅજ્ઞાત ગુણાંક, તેથી ટીઆ ગુણાંકો મનસ્વી રહે છે, અને બાકીના તેમના દ્વારા વ્યક્ત થાય છે.

જો λ 1 એ એક જટિલ સંખ્યા છે, તો પછી ગણવામાં આવેલ પદ્ધતિ દ્વારા મેળવેલ ઉકેલો પણ હશે જટિલ કાર્યોથી એક્સ. દરેક ઉકેલોમાં વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને અલગ કરવાથી, આપણને 2 મળે છે ટીનિર્ણયો આ ઉકેલો એક જોડીને અનુરૂપ છે ટી- બહુવિધ જટિલ મૂળ અને .

ઉદાહરણ 9.3. સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ શોધો

▲ ચાલો ગુણાંકનું મેટ્રિક્સ બનાવીએ અને પછી લાક્ષણિક સમીકરણ બનાવીએ (9.11):

આ લાક્ષણિકતા સમીકરણના મૂળ વાસ્તવિક અને અલગ છે: . ગુણાકાર ગુણોત્તર ટીસમાન છે: ટી= 2. તેથી, આ કિસ્સામાં બહુપદી પી 1 (t) અને પી 2 (t) ફોર્મ ધરાવે છે:

આમ, સોલ્યુશન ડબલ રુટને અનુરૂપ છે

ભિન્નતા એક્સઅને ખાતે, અમને મળે છે

મૂલ્યો એક્સ, ખાતે, તેને મૂળ સિસ્ટમમાં બદલો, અને ઘટાડા પછી ઇ 4 tઅમારી પાસે હશે

પર ગુણાંકની સમાનતા tઅને મફત સભ્યો, અમને મળે છે નીચેની સિસ્ટમો

તે તેને અનુસરે છે

આમ, મૂળ સિસ્ટમના સામાન્ય ઉકેલમાં આ સ્વરૂપ હશે:

▲

2. ફોર્મની સિસ્ટમ (9.8): ,

ઉકેલી શકાય છે પદ્ધતિ અનિશ્ચિત ગુણાંક . આ પદ્ધતિ માટે અલ્ગોરિધમ નીચે મુજબ છે:

1. સિસ્ટમનું લાક્ષણિક સમીકરણ દોરો (9.8):

અને તેના મૂળ શોધો.

2. મૂળના પ્રકાર પર આધાર રાખીને, સિસ્ટમનો ઉકેલ લખો, અને દરેક ઉકેલ માટે y iતેના પોતાના મનસ્વી સ્થિરાંકો છે:

3. ડેરિવેટિવ્ઝની ગણતરી કરવામાં આવે છે અને, મળેલ કાર્યો સાથે, મૂળ સિસ્ટમના સમીકરણોમાં અવેજી કરવામાં આવે છે.

4. સમીકરણોની ડાબી અને જમણી બાજુએ સમાન કાર્યો માટેના ગુણાંક સમાન છે.

5. પરિણામી સિસ્ટમોમાંથી, બધા ગુણાંક એક દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, ગુણાંક દ્વારા ગુણાંક C i.

ઉદાહરણ 9.4. સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ શોધો

વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમ કેવી રીતે હલ કરવી?

એવું માનવામાં આવે છે કે વાચક ખાસ કરીને વિભેદક સમીકરણો ઉકેલવામાં પહેલાથી જ ખૂબ સારા છે એકરૂપ બીજા ક્રમના સમીકરણોઅને અસંગત બીજા ક્રમના સમીકરણોસતત ગુણાંક સાથે. વિભેદક સમીકરણોની પ્રણાલીઓ વિશે કંઈ જટિલ નથી, અને જો તમે ઉપરોક્ત પ્રકારના સમીકરણોથી આરામદાયક છો, તો સિસ્ટમોમાં નિપુણતા મેળવવી મુશ્કેલ નહીં હોય.

વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમના બે મુખ્ય પ્રકારો છે:

- વિભેદક સમીકરણોની રેખીય સજાતીય પ્રણાલીઓ
- વિભેદક સમીકરણોની રેખીય અસંગત પ્રણાલીઓ

અને વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમને હલ કરવાની બે મુખ્ય રીતો:

- દૂર કરવાની પદ્ધતિ. પદ્ધતિનો સાર એ છે કે ઉકેલ દરમિયાન વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમને એક વિભેદક સમીકરણમાં ઘટાડવામાં આવે છે.

- લાક્ષણિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને(કહેવાતી યુલર પદ્ધતિ).

મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં, પ્રથમ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવાની જરૂર છે. મારી બધી પ્રેક્ટિસમાં બીજી પદ્ધતિ ઘણી ઓછી સામાન્ય છે, મેં તેની સાથે વધુમાં વધુ 10-20 સિસ્ટમો ઉકેલી છે. પરંતુ અમે આ લેખના છેલ્લા ફકરામાં આનો પણ ટૂંકમાં વિચાર કરીશું.

સામગ્રીની સૈદ્ધાંતિક અપૂર્ણતા માટે હું તરત જ માફી માંગુ છું, પરંતુ મેં પાઠમાં ફક્ત તે જ કાર્યોનો સમાવેશ કર્યો છે જે ખરેખર વ્યવહારમાં આવી શકે છે. તમને એવી કોઈ વસ્તુ મળવાની શક્યતા નથી કે જે દર પાંચ વર્ષે એકવાર ઉલ્કા ફુવારોમાં પડે, અને આવા આશ્ચર્ય સાથે તમારે વિશિષ્ટ વિસારક ઇંટો તરફ વળવું જોઈએ.

વિભેદક સમીકરણોની રેખીય સજાતીય પ્રણાલીઓ

વિભેદક સમીકરણોની સૌથી સરળ સજાતીય પ્રણાલીમાં નીચેના સ્વરૂપ છે:

ખરેખર, લગભગ બધું વ્યવહારુ ઉદાહરણોતેઓ આવી સિસ્ટમ સુધી મર્યાદિત છે =)

ત્યાં શું છે?

- આ સંખ્યાઓ છે ( સંખ્યાત્મક મતભેદ). સૌથી વધુ નિયમિત સંખ્યાઓ. ખાસ કરીને, એક, અનેક અથવા તો તમામ ગુણાંક શૂન્ય હોઈ શકે છે. પરંતુ આવી ભેટો ભાગ્યે જ આપવામાં આવે છે, તેથી સંખ્યાઓ મોટાભાગે શૂન્યની બરાબર હોતી નથી.

અને આ અજાણ્યા કાર્યો છે. ચલ કે જે સ્વતંત્ર ચલ તરીકે કાર્ય કરે છે તે "સામાન્ય વિભેદક સમીકરણમાં X જેવું છે."

અને અનુક્રમે અજ્ઞાત કાર્યોના પ્રથમ ડેરિવેટિવ્ઝ છે અને.

વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરવાનો અર્થ શું છે?

આનો અર્થ છે શોધવું જેમ કેકાર્યો અને તે સંતોષે છે પ્રથમ અને બીજું બંનેસિસ્ટમનું સમીકરણ. જેમ તમે જોઈ શકો છો, સિદ્ધાંત પરંપરાગત જેવો જ છે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો. ફક્ત ત્યાં જ મૂળ સંખ્યાઓ છે, અને અહીં તે કાર્યો છે.

મળેલ જવાબ ફોર્મમાં લખાયેલ છે વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ:

IN સર્પાકાર કૌંસ! આ કાર્યો "એક હાર્નેસમાં" છે.

રિમોટ કંટ્રોલ સિસ્ટમ માટે, તમે કોચી સમસ્યાને હલ કરી શકો છો, એટલે કે, શોધો સિસ્ટમનો ચોક્કસ ઉકેલ, આપેલ પ્રારંભિક શરતોને સંતોષે છે. સિસ્ટમનો ચોક્કસ ઉકેલ પણ સર્પાકાર કૌંસ સાથે લખાયેલ છે.

નીચે પ્રમાણે સિસ્ટમને વધુ સઘન રીતે ફરીથી લખી શકાય છે:

પરંતુ પરંપરાગત રીતે, ડિફરન્સિયલ્સમાં લખેલા ડેરિવેટિવ્સ સાથેનું સોલ્યુશન વધુ સામાન્ય છે, તેથી કૃપા કરીને તરત જ નીચેના સંકેતની આદત પાડો:
અને – પ્રથમ ઓર્ડર ડેરિવેટિવ્ઝ;
અને બીજા ક્રમના ડેરિવેટિવ્ઝ છે.

ઉદાહરણ 1

વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે કોચી સમસ્યા ઉકેલો પ્રારંભિક શરતો સાથે, .

ઉકેલ:સમસ્યાઓમાં, સિસ્ટમ મોટેભાગે પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓનો સામનો કરે છે, તેથી લગભગ તમામ ઉદાહરણો આ પાઠકોચી સમસ્યા સાથે હશે. પરંતુ આ મહત્વપૂર્ણ નથી, કારણ કે રસ્તામાં હજી પણ સામાન્ય ઉકેલ શોધવાનો રહેશે.

ચાલો સિસ્ટમ હલ કરીએ નાબૂદી દ્વારા. ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે પદ્ધતિનો સાર એ સિસ્ટમને એક વિભેદક સમીકરણમાં ઘટાડવાનો છે. અને હું આશા રાખું છું કે તમે વિભેદક સમીકરણો સારી રીતે હલ કરશો.

ઉકેલ એલ્ગોરિધમ પ્રમાણભૂત છે:

1) લો સિસ્ટમનું બીજું સમીકરણઅને અમે તેમાંથી વ્યક્ત કરીએ છીએ:

આ સમીકરણઅમને અંત તરફ ઉકેલની જરૂર પડશે, અને હું તેને ફૂદડી વડે ચિહ્નિત કરીશ. પાઠ્યપુસ્તકોમાં, એવું બને છે કે તેઓ 500 સંકેતો પર આવે છે, અને પછી તેઓ સંદર્ભ આપે છે: "સૂત્ર (253) ..." અનુસાર, અને આ સૂત્ર ક્યાંક 50 પૃષ્ઠો પાછળ જુઓ. હું મારી જાતને એક સિંગલ માર્ક (*) સુધી મર્યાદિત કરીશ.

2) પરિણામી સમીકરણની બંને બાજુઓ પર તફાવત કરો:

"સ્ટ્રોક" સાથે પ્રક્રિયા આના જેવી દેખાય છે:

તે મહત્વનું છે કે આ સરળ મુદ્દો સ્પષ્ટ છે, હું તેના પર વધુ ધ્યાન આપીશ નહીં.

3) ચાલો અવેજી કરીએ અને સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણમાં:

અને ચાલો મહત્તમ સરળીકરણો કરીએ:

પરિણામ એ સૌથી સામાન્ય વસ્તુ છે એકરૂપ બીજા ક્રમનું સમીકરણસતત ગુણાંક સાથે. "સ્ટ્રોક" સાથે તે આના જેવું લખાયેલું છે: .

- વિવિધ વાસ્તવિક મૂળ મેળવવામાં આવે છે, તેથી:
.

એક ફંક્શન મળી ગયું છે, અડધા રસ્તે પાછળ.

હા, મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે અમને "સારા" ભેદભાવ સાથેનું લાક્ષણિક સમીકરણ મળ્યું છે, જેનો અર્થ છે કે અમે અવેજી અને સરળીકરણમાં કંઈપણ ગડબડ કરી નથી.

4) ચાલો ફંક્શન માટે જઈએ. આ કરવા માટે, અમે પહેલેથી જ મળેલ ફંક્શન લઈએ છીએ અને તેનું વ્યુત્પન્ન શોધો. અમે આના દ્વારા અલગ પાડીએ છીએ:

ચાલો અવેજી કરીએ અને સમીકરણમાં (*):

અથવા ટૂંકમાં:

5) બંને કાર્યો મળી આવ્યા છે, ચાલો સિસ્ટમના સામાન્ય ઉકેલો લખીએ:

જવાબ:ખાનગી ઉકેલ:

પ્રાપ્ત જવાબ તપાસવા માટે એકદમ સરળ છે ચકાસણી ત્રણ પગલામાં કરવામાં આવે છે:

1) તપાસો કે શું પ્રારંભિક શરતો ખરેખર પૂર્ણ થાય છે:

બંને પ્રારંભિક શરતો સંતુષ્ટ છે.

2) ચાલો તપાસીએ કે મળેલ જવાબ સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણને સંતોષે છે કે કેમ.

અમે જવાબમાંથી ફંક્શન લઈએ છીએ અને તેનું વ્યુત્પન્ન શોધો:

ચાલો અવેજી કરીએ , અને સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણમાં:

સાચી સમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે, જેનો અર્થ છે કે મળેલ જવાબ સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણને સંતોષે છે.

3) ચાલો તપાસીએ કે જવાબ સિસ્ટમના બીજા સમીકરણને સંતોષે છે કે કેમ

અમે જવાબમાંથી ફંક્શન લઈએ છીએ અને તેનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ:

ચાલો અવેજી કરીએ , અને સિસ્ટમના બીજા સમીકરણમાં:

સાચી સમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે, જેનો અર્થ છે કે મળેલ જવાબ સિસ્ટમના બીજા સમીકરણને સંતોષે છે.

તપાસ પૂર્ણ. શું ચકાસાયેલ છે? પ્રારંભિક શરતોની પરિપૂર્ણતા ચકાસવામાં આવી છે. અને, સૌથી અગત્યનું, હકીકત એ બતાવવામાં આવે છે કે ચોક્કસ ઉકેલ મળ્યો સંતુષ્ટ કરે છે દરેકનેમૂળ સિસ્ટમનું સમીકરણ .

એ જ રીતે, તમે સામાન્ય ઉકેલ ચકાસી શકો છો , તપાસ વધુ ટૂંકી હશે, કારણ કે પ્રારંભિક શરતો પૂરી થઈ છે કે કેમ તે તપાસવાની કોઈ જરૂર નથી.

ચાલો હવે સોલ્વ કરેલ સિસ્ટમ પર પાછા ફરીએ અને કેટલાક પ્રશ્નો પૂછીએ. ઉકેલ આ રીતે શરૂ થયો: અમે સિસ્ટમનું બીજું સમીકરણ લીધું અને તેમાંથી વ્યક્ત કર્યું. શું “X” નહિ, પણ “Y” વ્યક્ત કરવું શક્ય હતું? જો આપણે વ્યક્ત કરીએ છીએ, તો આ આપણને કંઈપણ આપશે નહીં આ અભિવ્યક્તિજમણી બાજુએ “Y” અને “X” બંને છે, તેથી આપણે ચલમાંથી છૂટકારો મેળવી શકીશું નહીં અને સિસ્ટમના ઉકેલને એક વિભેદક સમીકરણના ઉકેલમાં ઘટાડી શકીશું નહીં.

પ્રશ્ન બે. શું બીજાથી નહીં, પરંતુ સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણથી હલ કરવાનું શરૂ કરવું શક્ય હતું? કરી શકે છે. ચાલો સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણને જોઈએ: . તેમાં આપણી પાસે બે “X’s” અને એક “Y” છે, તેથી “X” દ્વારા “Y” ને સખત રીતે વ્યક્ત કરવું જરૂરી છે: . આગળ પ્રથમ વ્યુત્પન્ન છે: . પછી તમારે અવેજી કરવી જોઈએ અને સિસ્ટમના બીજા સમીકરણમાં. ઉકેલ સંપૂર્ણપણે સમકક્ષ હશે, તફાવત સાથે કે પહેલા આપણે ફંક્શન શોધીશું અને પછી.

અને માત્ર બીજી પદ્ધતિ માટે એક ઉદાહરણ હશે સ્વતંત્ર નિર્ણય:

ઉદાહરણ 2

વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમનો ચોક્કસ ઉકેલ શોધો જે આપેલ પ્રારંભિક શરતોને સંતોષે છે.

નમૂનાના ઉકેલમાં, જે પાઠના અંતે આપવામાં આવે છે, પ્રથમ સમીકરણથી વ્યક્ત કરવામાં આવે છે અને સમગ્ર નૃત્ય આ અભિવ્યક્તિથી શરૂ થાય છે. નમૂનાને જોયા વિના, જાતે જ મિરર સોલ્યુશન બનાવવાનો પ્રયાસ કરો.

તમે ઉદાહરણ નંબર 1 ના માર્ગ પર પણ જઈ શકો છો - બીજા સમીકરણ, એક્સપ્રેસમાંથી (નોંધ કરો કે તે "x" છે જે વ્યક્ત થવો જોઈએ). પરંતુ આ પદ્ધતિ ઓછી તર્કસંગત છે, કારણ કે અમે અપૂર્ણાંક સાથે સમાપ્ત થયા, જે સંપૂર્ણપણે અનુકૂળ નથી.

વિભેદક સમીકરણોની રેખીય અસંગત પ્રણાલીઓ

લગભગ સમાન, માત્ર ઉકેલ થોડો લાંબો હશે.

વિભેદક સમીકરણોની અસંગત પ્રણાલી, જે મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં તમે સમસ્યાઓનો સામનો કરી શકો છો, તે નીચેના સ્વરૂપ ધરાવે છે:

સજાતીય પ્રણાલીની તુલનામાં, દરેક સમીકરણમાં "te" ના આધારે ચોક્કસ કાર્ય ઉમેરવામાં આવે છે. કાર્યો સ્થિરાંકો હોઈ શકે છે (અને તેમાંથી ઓછામાં ઓછું એક શૂન્યની બરાબર નથી), ઘાતાંકીય, સાઈન, કોસાઈન, વગેરે.

ઉદાહરણ 3

આપેલ પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓને અનુરૂપ રેખીય વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમનો ચોક્કસ ઉકેલ શોધો

ઉકેલ:વિભેદક સમીકરણોની એક રેખીય અસંગત પ્રણાલી આપવામાં આવે છે, સ્થિરાંકો "એડિટિવ્સ" તરીકે કાર્ય કરે છે. અમે ઉપયોગ કરીએ છીએ દૂર કરવાની પદ્ધતિ, જ્યારે સોલ્યુશન એલ્ગોરિધમ પોતે સંપૂર્ણપણે સાચવેલ છે. ફેરફાર માટે, હું પ્રથમ સમીકરણથી શરૂઆત કરીશ.

1) સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણથી આપણે વ્યક્ત કરીએ છીએ:

આ એક મહત્વપૂર્ણ બાબત છે, તેથી હું તેને ફરીથી સ્ટાર કરીશ. કૌંસને ન ખોલવું વધુ સારું છે; ત્યાં વધારાના અપૂર્ણાંક શા માટે છે?

અને ફરીથી નોંધ કરો કે તે "y" છે જે પ્રથમ સમીકરણથી વ્યક્ત થાય છે - બે "X's" અને સતત દ્વારા.

2) બંને બાજુએ તફાવત કરો:

અચળ (ત્રણ) અદૃશ્ય થઈ ગયું છે, કારણ કે સ્થિરનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર છે.

3) ચાલો અવેજી કરીએ અને સિસ્ટમના બીજા સમીકરણમાં :

અવેજી પછી તરત જ, અપૂર્ણાંકથી છુટકારો મેળવવાની સલાહ આપવામાં આવે છે આ કરવા માટે, અમે સમીકરણના દરેક ભાગને 5 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ:

હવે અમે સરળીકરણ કરીએ છીએ:

પરિણામ આવ્યું રેખીય અસંગત બીજા ક્રમનું સમીકરણસતત ગુણાંક સાથે. આ, સારમાં, અગાઉના ફકરામાં ચર્ચા કરાયેલ સમીકરણોની સજાતીય પ્રણાલીના ઉકેલમાંથી સમગ્ર તફાવત છે.

નોંધ: જો કે, અસંગત પ્રણાલીમાં કેટલીકવાર સજાતીય સમીકરણ મેળવી શકાય છે..

ચાલો અનુરૂપ માટે સામાન્ય ઉકેલ શોધીએ સજાતીય સમીકરણ:

ચાલો લાક્ષણિક સમીકરણ કંપોઝ કરીએ અને હલ કરીએ:

- સંયુક્ત જટિલ મૂળ, તેથી જ:
.

લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળ ફરીથી "સારા" બન્યા, જેનો અર્થ છે કે આપણે સાચા માર્ગ પર છીએ.

અમે ફોર્મમાં અસંગત સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ શોધીએ છીએ.
ચાલો પ્રથમ અને બીજા ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીએ:

ચાલો અવેજી કરીએ ડાબી બાજુઅસંગત સમીકરણ:

આમ:

એ નોંધવું જોઈએ કે કોઈ ચોક્કસ સોલ્યુશન સરળતાથી મૌખિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે, અને તે લખવા માટે, લાંબી ગણતરીઓને બદલે, તદ્દન સ્વીકાર્ય છે: "તે સ્પષ્ટ છે કે અસંગત સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ:."

પરિણામે:

4) અમે એક કાર્ય શોધી રહ્યા છીએ. પહેલા આપણે પહેલાથી મળેલા ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ:

તે ખાસ કરીને સુખદ નથી, પરંતુ આવા ડેરિવેટિવ્ઝ ઘણીવાર ડિફ્યુઝર્સમાં જોવા મળે છે.

તોફાન પૂરજોશમાં છે, અને હવે નવમી લહેર હશે. તમારી જાતને ડેક પર દોરડાથી બાંધો.

ચાલો અવેજી કરીએ
અને સમીકરણમાં (*):

5) સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ:

6) પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓને અનુરૂપ ચોક્કસ ઉકેલ શોધો :

અંતે, એક ખાનગી ઉકેલ:

તમે જુઓ કે વાર્તા શું છે સુખદ અંત, હવે તમે સૌમ્ય સૂર્ય હેઠળ શાંત સમુદ્ર પર બોટ પર નિર્ભયપણે સફર કરી શકો છો.

જવાબ:ખાનગી ઉકેલ:

માર્ગ દ્વારા, જો તમે બીજા સમીકરણથી આ સિસ્ટમને હલ કરવાનું શરૂ કરો છો, તો ગણતરીઓ ખૂબ સરળ હશે (તમે પ્રયાસ કરી શકો છો), પરંતુ ઘણા સાઇટ મુલાકાતીઓએ વધુ મુશ્કેલ વસ્તુઓનું વિશ્લેષણ કરવાનું કહ્યું. તમે કેવી રીતે ના પાડી શકો? =) ત્યાં વધુ ગંભીર ઉદાહરણો દો.

તમારા પોતાના પર હલ કરવાનું સરળ ઉદાહરણ:

ઉદાહરણ 4

આપેલ પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓને અનુરૂપ વિભેદક સમીકરણોની રેખીય અસંગત પ્રણાલીનો ચોક્કસ ઉકેલ શોધો

આ કાર્યઉદાહરણ નંબર 1 ના ઉદાહરણ અનુસાર મારા દ્વારા ઉકેલવામાં આવે છે, એટલે કે, "x" બીજા સમીકરણમાંથી વ્યક્ત થાય છે. ઉકેલ અને જવાબ પાઠના અંતે છે.

ધ્યાનમાં લેવામાં આવેલા ઉદાહરણોમાં, તે સંયોગથી ન હતું કે મેં વિવિધ સંકેતોનો ઉપયોગ કર્યો, મેં ઉપયોગ કર્યો અલગ અલગ રીતેઉકેલો તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, સમાન કાર્યમાં ડેરિવેટિવ્ઝ ત્રણ રીતે લખવામાં આવ્યા હતા: . IN ઉચ્ચ ગણિતકોઈપણ સ્ક્વિગલ્સથી ડરવાની જરૂર નથી, મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે સોલ્યુશન એલ્ગોરિધમને સમજવું.

લાક્ષણિક સમીકરણ પદ્ધતિ(યુલેરિયન પદ્ધતિ)

લેખની શરૂઆતમાં નોંધ્યું છે તેમ, લાક્ષણિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમ ભાગ્યે જ હલ કરવી જરૂરી છે, તેથી અંતિમ ફકરામાં હું ફક્ત એક ઉદાહરણ ધ્યાનમાં લઈશ.

ઉદાહરણ 5

વિભેદક સમીકરણોની રેખીય સજાતીય સિસ્ટમ આપેલ છે

લાક્ષણિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ શોધો

ઉકેલ:અમે સમીકરણોની સિસ્ટમ જોઈએ છીએ અને બીજા-ક્રમ નિર્ણાયક કંપોઝ કરીએ છીએ:

મને લાગે છે કે દરેક જણ જોઈ શકે છે કે નિર્ણાયકનું સંકલન કયા સિદ્ધાંત પર કરવામાં આવ્યું હતું.

આ માટે, દરેક નંબર કે જે પર સ્થિત છે તેમાંથી, ચાલો એક લાક્ષણિક સમીકરણ બનાવીએ મુખ્ય કર્ણ, અમુક પરિમાણ બાદ કરો:

સ્વચ્છ નકલ પર, અલબત્ત, તમારે તરત જ લાક્ષણિક સમીકરણ લખવું જોઈએ, હું વિગતવાર, પગલું દ્વારા સમજાવું છું, જેથી તે સ્પષ્ટ થાય કે શું આવે છે.

અમે નિર્ણાયકને વિસ્તૃત કરીએ છીએ:

અને આપણે મૂળ શોધીએ છીએ ચતુર્ભુજ સમીકરણ:

જો લાક્ષણિકતા સમીકરણ હોય બે અલગ અલગ વાસ્તવિક મૂળ, પછી વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમના સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે:

આપણે ઘાતાંકમાં ગુણાંક પહેલેથી જ જાણીએ છીએ, જે બાકી છે તે ગુણાંક શોધવાનું છે

1) મૂળને ધ્યાનમાં લો અને તેને લાક્ષણિક સમીકરણમાં બદલો:

(તમારે આ બે નિર્ણાયકોને કોરા કાગળ પર લખવાની પણ જરૂર નથી, પરંતુ તરત જ નીચે મૌખિક રીતે સિસ્ટમ બનાવો)

નિર્ણાયકની સંખ્યાઓમાંથી આપણે બેની સિસ્ટમ બનાવીએ છીએ રેખીય સમીકરણોબે અજાણ્યાઓ સાથે:

સમાન સમાનતા બંને સમીકરણોમાંથી અનુસરે છે:

હવે તમારે પસંદ કરવાની જરૂર છે ઓછામાં ઓછુંમૂલ્ય , જેમ કે મૂલ્ય પૂર્ણાંક છે. દેખીતી રીતે, તમારે સેટ કરવું જોઈએ. અને જો, પછી

અસંગત પ્રણાલીનો સામાન્ય ઉકેલ એ સજાતીય પ્રણાલીના સામાન્ય દ્રાવણનો સરવાળો અને અસંગત પ્રણાલીના કેટલાક વિશિષ્ટ ઉકેલોનો સરવાળો છે.

અસંગત સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ શોધવા માટે, તમે મનસ્વી સ્થિરાંકોના વિવિધતાની લેગ્રેન્જ પદ્ધતિ લાગુ કરી શકો છો.

ચાલો ફોર્મના સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોની એક રેખીય સજાતીય સિસ્ટમનો વિચાર કરીએ

જેમાં વેક્ટર ફોર્મફોર્મમાં લખેલ છે

મેટ્રિક્સ Φ , જેની કૉલમ n રેખીય રીતે સ્વતંત્ર ઉકેલો Y1(x), Y2(x), ..., Yn(x) એકસમાન રેખીય સિસ્ટમ Y" = A(x)Y એ સિસ્ટમનું મૂળભૂત ઉકેલ મેટ્રિક્સ કહેવાય છે:

સજાતીય રેખીય સિસ્ટમ Y" = A(x)Y ના ઉકેલોનું મૂળભૂત મેટ્રિક્સ સંતોષે છે મેટ્રિક્સ સમીકરણΦ" = A(x)Φ.

યાદ કરો કે રેખીય રીતે સ્વતંત્ર ઉકેલો Y1(x), Y2(x), ..., Yn(x) નો વોરોન્સકી નિર્ણાયક એ દ્વારા નોનઝીરો છે.

nth ક્રમના વિભેદક સમીકરણોની રેખીય સિસ્ટમનો વિચાર કરો:

જો તેના દરેક ઉકેલો x = φ(t) t ≥ t0 માટે લાયપુનોવ સ્થિર હોય તો એક રેખીય પ્રણાલી t ≥ t0 માટે લાયપુનોવ સ્થિર છે.

એક રેખીય પ્રણાલી એસિમ્પ્ટોટિક રીતે લ્યાપુનોવ t → ∞ તરીકે સ્થિર હોય છે જો તેના દરેક ઉકેલો x = φ(t) લ્યાપુનોવ t → ∞ તરીકે સ્થિર હોય.

રેખીય સિસ્ટમના ઉકેલો કાં તો એક જ સમયે બધા સ્થિર હોય છે અથવા બધા અસ્થિર હોય છે. નીચેના નિવેદનો સાચા છે.

વિભેદક સમીકરણોની રેખીય સિસ્ટમના ઉકેલોની સ્થિરતા પર પ્રમેય. અસંગત રેખીય સિસ્ટમ x" = A(t)x + b(t) મેટ્રિક્સ A(t) અને વેક્ટર ફંક્શન b(t) અંતરાલ પર સતત રહેવા દો )