ભઠ્ઠી યોજનાઓ

ત્યાં એક કલશ (એટલે ​​​​કે, એક બોક્સ) છે nક્રમાંકિત વસ્તુઓ, જેને આપણે બોલ કહીશું. અમે આ કલશમાંથી પસંદ કરીએ છીએ kબોલ અમે કેટલી રીતો પસંદ કરી શકીએ તેમાં અમને રસ છે kમાંથી બોલ n, અથવા કેટલા વિવિધ પરિણામો(એટલે ​​કે, સમાવે છે kબોલ્સ) તે કામ કરશે.

જ્યાં સુધી આપણે નિર્ણય ન કરીએ ત્યાં સુધી આ પ્રશ્નનો ચોક્કસ જવાબ આપવો અશક્ય છે

- પસંદગી કેવી રીતે ગોઠવવામાં આવે છે તેની સાથે (કહો, શું દડાને કલશમાં પરત કરી શકાય છે), અને

- જેનો અર્થ થાય છે તેની સાથે વિવિધપસંદગીના પરિણામો.

ચાલો નીચેના શક્ય ધ્યાનમાં લઈએ પસંદગી યોજનાઓ:

1. પસંદગી પાછા સ્વાગત છે: દરેક પસંદ કરેલ બોલ કલગીમાં પરત કરવામાં આવે છે, એટલે કે, દરેક kબોલ્સ સંપૂર્ણ કલગીમાંથી પસંદ કરવામાં આવે છે. પરિણામી સમૂહમાં, સમાવેશ થાય છે kદડાઓની સંખ્યા, સમાન સંખ્યાઓ આવી શકે છે ( પુનરાવર્તનો સાથે નમૂના લેવા).

2. વળતર વિના પસંદગી: પસંદ કરેલા દડા કલગીમાં પાછા ફરતા નથી અને પરિણામી સમૂહમાં સમાન સંખ્યાઓ દેખાઈ શકતી નથી ( પુનરાવર્તન વિના નમૂના).

બંને કિસ્સાઓમાં, પસંદગીનું પરિણામ એ સમૂહ છે kબોલ નંબરો. એવું માની લેવું અનુકૂળ છે કે દડા હંમેશા એક પછી એક (વળતર સાથે અથવા વગર) ક્રમિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે.

ત્યાં બે શક્યતાઓ છે:

1. ક્રમના આધારે પસંદગી: બોલ નંબરોના બે સેટ અલગ ગણવામાં આવે છે જો તેઓ સંખ્યાઓની રચના અથવા ક્રમમાં ભિન્ન હોય. આમ, જ્યારે 5 દડા ધરાવતા કલશમાંથી ત્રણ બોલ પસંદ કરવામાં આવે, ત્યારે સેટ (1,2,5), (2,5,1) (4,4,5) અલગ હોય છે જો ઓર્ડર પર આધારિત પસંદગી.

2. ઓર્ડરને ધ્યાનમાં લીધા વિના પસંદગી: બોલ નંબરના બે સેટ જો તેઓ રચનામાં ભિન્ન હોય તો અલગ ગણવામાં આવે છે. ફક્ત તેમની સંખ્યાના ક્રમમાં ભિન્ન હોય તેવા સેટને સમાન ગણવામાં આવે છે. તેથી, ઉપરના ઉદાહરણમાં, પ્રથમ બે સેટ (1,2,5), (2,5,1) એ જ પસંદગીનું પરિણામ છે, અને સમૂહ (4,4,5) એ અલગ પસંદગીનું પરિણામ છે.

ચાલો હવે ગણતરી કરીએ કે ચાર યોજનાઓમાંથી દરેક માટે કેટલા વિવિધ પરિણામો શક્ય છે (વળતર સાથે અને વગરની પસંદગી, અને આ દરેક કિસ્સામાં આપણે ઓર્ડર ધ્યાનમાં લઈએ કે નહીં).

કલરની ડિઝાઇન: વળતર વિના પસંદગી, ક્રમમાં ધ્યાનમાં લેતા

ભઠ્ઠીની ડિઝાઇન: વળતર સાથેની પસંદગી અને ક્રમને ધ્યાનમાં રાખીને

પસંદગી યોજનામાં નમૂનાઓની કુલ સંખ્યા kના તત્વો nવળતર સાથે અને ધ્યાનમાં લેતા ઓર્ડર તત્વોના ક્રમચયોની સંખ્યા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

ભઠ્ઠી ડિઝાઇન: વળતર સાથે અને ઓર્ડરને ધ્યાનમાં લીધા વિના પસંદગી

બે બોલ સાથેના કલશને ધ્યાનમાં લો અને વળતર સાથે પસંદ કરતી વખતે આ કલશમાંથી બે બોલ પસંદ કરવાના પરિણામોની સૂચિ બનાવો:

"એકાઉન્ટ ઓર્ડરને ધ્યાનમાં લીધા વિના" સ્કીમમાં, 3 જુદા જુદા પરિણામો પ્રાપ્ત થયા હતા, જ્યારે "એકાઉન્ટ ઓર્ડરમાં લેવા" સ્કીમમાં ચારથી વિપરીત. પછી પસંદગી યોજનામાં નમૂનાઓની કુલ સંખ્યા kના તત્વો nવળતર સાથે અને ઓર્ડરને ધ્યાનમાં લીધા વિના પુનરાવર્તનો સાથેના સંયોજનોની સંખ્યા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

નોંધ કરો કે નમૂનાઓની સંખ્યા પણ અલગ છે ક્રમમાં, વી k! જુદા જુદા નમૂનાઓની સંખ્યા કરતાં ગણી વધારે માત્ર રચના દ્વારા.

11. કલગીમાં 1 થી 9 સુધીની સંખ્યાવાળા ક્રમાંકિત દડાઓ હોય છે. દડાને બદલ્યા વિના એક સમયે એક દૂર કરવામાં આવે છે. નીચેની ઘટનાઓ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે:
એ- આગમનના ક્રમમાં બોલની સંખ્યા 1,2,...,M ક્રમ બનાવે છે.
IN
સાથે- બોલ નંબર અને નિષ્કર્ષણના ક્રમ વચ્ચે એક પણ મેચ નથી.
ઘટનાઓની સંભાવના નક્કી કરો A, B, C. પર સંભાવનાઓના મર્યાદિત મૂલ્યો શોધો.
ઉકેલ:
1) ચાલો ઘટનાની સંભાવના શોધીએ એ.
નંબર 1 સાથેનો બોલ પ્રથમ દોરવામાં આવશે તેવી સંભાવના સમાન છે (કારણ કે નંબર 1 સાથેનો માત્ર એક જ બોલ યોગ્ય છે, અને કુલ 9 બોલ છે).
નંબર 2 માંથી બીજો બોલ દોરવામાં આવશે તેવી સંભાવના , કારણ કે માત્ર 8 બોલ બાકી છે, પરંતુ માત્ર 1 જ ફિટ છે.
વગેરે.
સંભાવના ગુણાકાર પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને આપણને મળે છે:

2) ચાલો ઘટનાની સંભાવના શોધીએ IN.
IN- બોલની સંખ્યા અને નિષ્કર્ષણનો સીરીયલ નંબર ઓછામાં ઓછા એક વખત એકરૂપ થાય છે.
- વિપરીત ઘટના, એટલે કે. ક્યારેય બોલ નંબર સાથે મેળ ખાતો નથી અનુક્રમ નંબરનિષ્કર્ષણ
- પ્રથમ બોલ દોરવામાં આવશે તેવી સંભાવના નંબર 1 સાથેનો બોલ નથી, એટલે કે. કુલ 9 બોલ છે, અને 8 ટુકડાઓ ફિટ છે.

ચાલો સંભાવનાની ગણતરી કરીએ કે બોલ નંબર 2 બીજો દોરવામાં આવશે.
તે. તે પ્રથમ દૂર અને બીજા દૂર ન જોઈએ.
.
પછી, વિપરીત ઘટનાની સંભાવના વિશેના પ્રમેય મુજબ, તે બોલ નંબર 2 ન હોય તેવી સંભાવના જે બીજો દોરવામાં આવે છે તે છે:
.
ચાલો સંભાવના શોધીએ કે ત્રીજો બોલ નંબર 3 સાથે બોલ દોરશે (એટલે ​​​​કે તેને પ્રથમ અને બીજા ડ્રો દરમિયાન દૂર કરવું જોઈએ નહીં અને ત્રીજા પર દૂર કરવું જોઈએ):

અને સંભાવના છે કે નંબર 3 સાથેનો બોલ ત્રીજા પર દોરવામાં આવશે નહીં:

અન્ય બોલમાં સમાન. અમને જાણવા મળ્યું છે કે વ્યક્તિગત બોલ તેની સંખ્યાને અનુરૂપ ન હોય તેવા ક્રમમાં દોરવામાં આવશે તેવી સંભાવના છે: .
પછી સંભાવના એ છે કે બોલની સંખ્યા ક્યારેય નિષ્કર્ષણની ઓર્ડિનલ સંખ્યા સાથે સુસંગત રહેશે નહીં:

આનુ અર્થ એ થાય:
3)
ચાલો ઘટના C ની સંભાવના શોધીએ - બોલની સંખ્યા અને નિષ્કર્ષણના ક્રમ વચ્ચે એક પણ મેચ નથી.
ઘટનાઓ C અને એકરૂપ થાય છે, એટલે કે.
4) ચાલો મૂલ્યો શોધીએ મર્યાદિત સંભાવનાઓખાતે

ઉદાહરણ 1. પ્રથમ કલશમાં: ત્રણ લાલ, એક સફેદ બોલએ. બીજા કલરમાં: એક લાલ, ત્રણ સફેદ દડા. સિક્કો રેન્ડમ પર ફેંકવામાં આવે છે: જો તે હથિયારોનો કોટ હોય, તો તે પ્રથમ કલશમાંથી પસંદ કરવામાં આવે છે, અન્યથા, બીજામાંથી.
ઉકેલ:
એ) લાલ બોલ દોરવામાં આવ્યો હોવાની સંભાવના
A - એક લાલ બોલ મળ્યો
P 1 - શસ્ત્રોનો કોટ પડ્યો, P 2 - અન્યથા

b) લાલ બોલ પસંદ થયેલ છે. સંભવિતતા શોધો કે તે પ્રથમ કલશમાંથી બીજા કલશમાંથી લેવામાં આવે છે.
B 1 – પ્રથમ કલશમાંથી, B 2 – બીજા કલશમાંથી
,

ઉદાહરણ 2. એક બોક્સમાં 4 બોલ છે. હોઈ શકે છે: માત્ર સફેદ, માત્ર કાળો અથવા સફેદ અને કાળો. (રચના અજ્ઞાત).
ઉકેલ:
A - સફેદ બોલ દેખાવાની સંભાવના
એ) બધા સફેદ:
(સંભવિત છે કે તમને ત્રણ વિકલ્પોમાંથી એક મળ્યો છે જ્યાં સફેદ હોય છે)
(જ્યાં દરેક સફેદ હોય ત્યાં સફેદ બોલ દેખાવાની સંભાવના)

b) જ્યાં દરેક કાળો હોય ત્યાંથી બહાર કાઢ્યું



c) વિકલ્પ બહાર કાઢ્યો જ્યાં દરેક સફેદ અને/અથવા કાળો છે

- તેમાંથી ઓછામાં ઓછું એક સફેદ છે

P a + P b + P c =

ઉદાહરણ 3. એક ભઠ્ઠીમાં 5 સફેદ અને 4 કાળા દડા હોય છે. તેમાંથી સળંગ 2 બોલ લેવામાં આવે છે. સંભાવના શોધો કે બંને બોલ સફેદ છે.
ઉકેલ:
5 સફેદ, 4 કાળા બોલ
P(A 1) - સફેદ બોલ બહાર કાઢવામાં આવ્યો હતો

P(A 2) - બીજો બોલ પણ સફેદ હોવાની સંભાવના

P(A) - સફેદ દડા સળંગ પસંદ કરવામાં આવે છે

ઉદાહરણ 3a. પેકમાં 2 નકલી અને 8 અસલી નોટ છે. પંક્તિમાં પેકમાંથી 2 બિલો બહાર કાઢવામાં આવ્યા હતા. તે બંને નકલી હોવાની સંભાવના શોધો.
ઉકેલ:
P(2) = 2/10*1/9 = 1/45 = 0.022

ઉદાહરણ 4. ત્યાં 10 ડબ્બા છે. 2 કાળા અને 2 સફેદ દડા સાથે 9 ભઠ્ઠીઓ છે. 1 કલશમાં 5 ગોરા અને 1 કાળો હોય છે. અવ્યવસ્થિત રીતે લેવામાં આવેલા કલશમાંથી એક બોલ દોરવામાં આવ્યો હતો.
ઉકેલ:
P(A) - ? 5 સફેદ હોય તેવા કલશમાંથી સફેદ બોલ લેવામાં આવે છે
B - 5 સફેદ ધરાવતાં કલશમાંથી દોરવામાં આવે તેવી સંભાવના
, - અન્ય લોકો પાસેથી લેવામાં આવે છે
C 1 - સ્તર 9 પર સફેદ બોલ દેખાવાની સંભાવના.

C 2 - સફેદ બોલ દેખાવાની સંભાવના, જ્યાં તેમાંથી 5 છે

P(A 0)= P(B 1) P(C 1)+P(B 2) P(C 2)

ઉદાહરણ 5. 20 નળાકાર રોલર્સ અને 15 શંકુ આકારના. પીકર 1 રોલર લે છે, અને પછી બીજું.
ઉકેલ:
a) બંને રોલર નળાકાર છે
P(C 1)=; P(Ts 2)=
C 1 - પ્રથમ સિલિન્ડર, C 2 - બીજું સિલિન્ડર
P(A)=P(Ts 1)P(Ts 2) =
b) ઓછામાં ઓછું એક સિલિન્ડર
K 1 - પ્રથમ શંકુ આકારનું.
K 2 - બીજો શંકુ આકારનો.
P(B)=P(Ts 1)P(K 2)+P(Ts 2)P(K 1)+P(Ts 1)P(Ts 2)
;

c) પ્રથમ સિલિન્ડર, પરંતુ બીજું નહીં
P(C)=P(C 1)P(K 2)

e) એક સિલિન્ડર નથી.
P(D)=P(K 1)P(K 2)

e) બરાબર 1 સિલિન્ડર
P(E)=P(C 1)P(K 2)+P(K 1)P(K 2)

ઉદાહરણ 6. એક બોક્સમાં 10 પ્રમાણભૂત ભાગો અને 5 ખામીયુક્ત ભાગો છે.
ત્રણ ભાગો રેન્ડમ દોરવામાં આવે છે
એ) તેમાંથી એક ખામીયુક્ત છે
P n (K)=C n k ·p k ·q n-k ,
પી - ખામીયુક્ત ઉત્પાદનોની સંભાવના

q - પ્રમાણભૂત ભાગોની સંભાવના

n=3, ત્રણ ભાગો


b) ત્રણમાંથી બે ભાગમાં ખામીયુક્ત P(2)
c) ઓછામાં ઓછું એક ધોરણ
P(0) - કોઈ ખામી નથી

P=P(0)+ P(1)+ P(2) - ઓછામાં ઓછો એક ભાગ પ્રમાણભૂત હશે તેવી સંભાવના

ઉદાહરણ 7. 1લી કલશમાં 3 સફેદ અને કાળા દડા છે, અને 2જી કલશમાં 3 સફેદ અને 4 કાળા દડા છે. 2 બોલ જોયા વિના 1 લી કલશથી 2 જી પર સ્થાનાંતરિત થાય છે, અને પછી 2 જી માંથી 2 બોલ દોરવામાં આવે છે. તેઓ જુદા જુદા રંગોની સંભાવના શું છે?
ઉકેલ:
જ્યારે પ્રથમ કલશમાંથી બોલને ખસેડવામાં આવે છે, ત્યારે નીચેના વિકલ્પો શક્ય છે:
a) સળંગ 2 સફેદ બોલ લીધા
P BB 1 =
બીજા પગલામાં હંમેશા એક ઓછો બોલ હશે, કારણ કે પ્રથમ પગલામાં એક બોલ પહેલેથી જ બહાર લેવામાં આવ્યો હતો.
b) એક સફેદ અને એક કાળો બોલ લીધો
પરિસ્થિતિ જ્યારે સફેદ બોલ પ્રથમ દોરવામાં આવે છે, અને પછી કાળો
પી વોરહેડ =
પરિસ્થિતિ જ્યારે કાળો બોલ પ્રથમ દોરવામાં આવ્યો હતો, અને પછી સફેદ એક
P BW =
કુલ: પી વોરહેડ 1 =
c) સળંગ 2 કાળા બોલ લીધા
P HH 1 =
ત્યારથી 2 બોલને પ્રથમ કલશમાંથી બીજા કલરમાં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવ્યા હતા, પછી કુલ સંખ્યાબીજા કલરમાં 9 બોલ હશે (7 + 2). તદનુસાર, અમે તમામ સંભવિત વિકલ્પો શોધીશું:
એ) બીજા કલશમાંથી પહેલા સફેદ અને પછી કાળો બોલ લેવામાં આવ્યો

P BB 2 P BB 1 - એ સંભાવના છે કે પ્રથમ સફેદ બોલ દોરવામાં આવ્યો હતો, પછી કાળો દડો, જો કે સળંગ પ્રથમ કલશમાંથી 2 સફેદ દડા દોરવામાં આવ્યા હોય. તેથી જ આ કિસ્સામાં સફેદ દડાની સંખ્યા 5 (3+2) છે.
P BC 2 P BC 1 - એ સંભાવના છે કે પ્રથમ સફેદ બોલ દોરવામાં આવ્યો હતો, પછી કાળો બોલ, જો કે સફેદ અને કાળા દડા પ્રથમ કલગીમાંથી દોરવામાં આવ્યા હોય. તેથી જ આ કિસ્સામાં સફેદ દડાની સંખ્યા 4 (3+1) છે, અને કાળા દડાઓની સંખ્યા પાંચ (4+1) છે.
P BC 2 P BC 1 - એ સંભાવના છે કે પ્રથમ સફેદ બોલ દોરવામાં આવ્યો હતો, પછી કાળો બોલ, જો કે બંને કાળા દડા સળંગ પ્રથમ કલશમાંથી દોરવામાં આવ્યા હોય. તેથી જ આ કિસ્સામાં કાળા દડાઓની સંખ્યા 6 (4+2) છે.

દોરેલા 2 બોલ અલગ-અલગ રંગોના હશે તેવી સંભાવના સમાન છે:

જવાબ: P = 0.54

ઉદાહરણ 7a. 5 સફેદ અને 3 કાળા દડા ધરાવતા 1લા કલશમાંથી, 2 દડા રેન્ડમલી 2 સફેદ અને 6 કાળા દડા ધરાવતા બીજા કલશમાં સ્થાનાંતરિત થયા હતા. પછી 2જી કલગીમાંથી 1 બોલ રેન્ડમ દોરવામાં આવ્યો.
1) બીજા કલશમાંથી દોરવામાં આવેલો દડો સફેદ હોવાની સંભાવના કેટલી છે?
2) બીજા કલશમાંથી લેવામાં આવેલો બોલ સફેદ નીકળ્યો. સંભાવનાની ગણતરી કરો કે બોલ 1 લી કલશથી 2 જી પર ખસેડવામાં આવ્યા હતા અલગ રંગ.
ઉકેલ.
1) ઘટના A - 2જી કલશમાંથી દોરવામાં આવેલો બોલ સફેદ નીકળે છે. ચાલો આ ઘટનાની ઘટના માટે નીચેના વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લઈએ.
a) પ્રથમ કલશમાંથી બીજામાં બે સફેદ દડા મૂકવામાં આવ્યા હતા: P1(bb) = 5/8*4/7 = 20/56.
બીજા કલશમાં કુલ 4 સફેદ દડા છે. પછી બીજા કલશમાંથી સફેદ બોલ દોરવાની સંભાવના છે P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448
b) સફેદ અને કાળા દડાને પ્રથમ કલશમાંથી બીજામાં મૂકવામાં આવ્યા હતા: P1(bch) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56.
બીજા કલશમાં કુલ 3 સફેદ દડા છે. પછી બીજા કલશમાંથી સફેદ બોલ દોરવાની સંભાવના છે P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
c) પ્રથમ કલશમાંથી બીજામાં બે કાળા બોલ મૂકવામાં આવ્યા હતા: P1(hh) = 3/8*2/7 = 6/56.
બીજા કલશમાં કુલ 2 સફેદ દડા છે. પછી બીજા કલશમાંથી સફેદ બોલ દોરવાની સંભાવના P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448 છે
પછી સંભાવના છે કે 2જી કલશમાંથી દોરવામાં આવેલ બોલ સફેદ હોવાનું બહાર આવ્યું છે:
P(A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32

2) બીજા કલશમાંથી લેવામાં આવેલો બોલ સફેદ નીકળ્યો, એટલે કે. કુલ સંભાવના P(A)=13/32 છે.
સંભવ છે કે જુદા જુદા રંગોના દડા (કાળો અને સફેદ) બીજા કલશમાં મૂકવામાં આવ્યા હતા અને સફેદ પસંદ કરવામાં આવ્યા હતા: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
P = P2(3)/ P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91

ઉદાહરણ 7b. પ્રથમ કલશમાં 8 સફેદ અને 3 કાળા દડા છે, બીજા કલશમાં 5 સફેદ અને 3 કાળા દડા છે. પ્રથમમાંથી એક બોલ રેન્ડમ પસંદ કરવામાં આવે છે, અને બીજામાંથી બે બોલ. આ પછી, પસંદ કરેલા ત્રણ બોલમાંથી એક બોલ રેન્ડમ લેવામાં આવે છે. આ છેલ્લો બોલ કાળો નીકળ્યો. પ્રથમ કલશમાંથી સફેદ બોલ પસંદ કરવામાં આવ્યો હોવાની સંભાવના શોધો.
ઉકેલ.
ચાલો ઘટના A ના તમામ પ્રકારોને ધ્યાનમાં લઈએ - ત્રણ બોલમાંથી, દોરેલો બોલ કાળો નીકળે છે. તે કેવી રીતે બની શકે કે ત્રણ બોલમાં એક કાળો હતો?
a) પ્રથમ કલશમાંથી એક કાળો દડો લેવામાં આવ્યો હતો, અને બીજા કલશમાંથી બે સફેદ દડા લેવામાં આવ્યા હતા.
P1 = (3/11)(5/8*4/7) = 15/154
b) પ્રથમ કલશમાંથી એક કાળો દડો લેવામાં આવ્યો હતો, બીજા કલશમાંથી બે કાળા દડા લેવામાં આવ્યા હતા.
P2 = (3/11)(3/8*2/7) = 9/308
c) પ્રથમ કલશમાંથી એક કાળો દડો લેવામાં આવ્યો હતો, એક સફેદ અને એક કાળો દડો બીજા કલશમાંથી લેવામાં આવ્યો હતો.
P3 = (3/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 45/308
ડી) પ્રથમ કલશમાંથી સફેદ બોલ લેવામાં આવ્યો હતો, અને બીજા કલશમાંથી બે કાળા દડા લેવામાં આવ્યા હતા.
P4 = (8/11)(3/8*2/7) = 6/77
e) પ્રથમ કલશમાંથી એક સફેદ બોલ લેવામાં આવ્યો હતો, એક સફેદ અને એક કાળો દડો બીજા કલશમાંથી લેવામાં આવ્યો હતો.
P5 = (8/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 30/77
કુલ સંભાવના છે: P = P1+P2+ P3+P4+P5 = 15/154+9/308+45/308+6/77+30/77 = 57/77
સફેદ કલશમાંથી સફેદ બોલ દોરવામાં આવે તેવી સંભાવના છે:
Pb(1) = P4 + P5 = 6/77+30/77 = 36/77
પછી ત્રણ બોલમાંથી કાળો બોલ પસંદ કરવામાં આવ્યો હતો તે જોતાં, પ્રથમ કલગીમાંથી સફેદ બોલ પસંદ કરવામાં આવ્યો હોવાની સંભાવના, આની બરાબર છે:
Pch = Pb(1)/P = 36/77 / 57/77 = 36/57

ઉદાહરણ 7c. પ્રથમ કલશમાં 12 સફેદ અને 16 કાળા દડા છે, બીજા કલશમાં 8 સફેદ અને 10 કાળા દડા છે. તે જ સમયે, 1 લી અને 2 જી ભઠ્ઠીમાંથી એક બોલ દોરવામાં આવે છે, મિશ્રિત થાય છે અને દરેક કલરમાં એક પાછો આવે છે. પછી દરેક કલશમાંથી એક બોલ દોરવામાં આવે છે. તેઓ સમાન રંગ હોવાનું બહાર આવ્યું છે. સંભાવના નક્કી કરો કે 1લી કલરમાં જેટલા સફેદ દડા બાકી છે તેટલા જ શરૂઆતમાં હતા.

ઉકેલ.
ઇવેન્ટ A - એક બોલ 1 લી અને 2 જી ભઠ્ઠીમાંથી એક સાથે દોરવામાં આવે છે.
પ્રથમ કલગીમાંથી સફેદ બોલ દોરવાની સંભાવના: P1(B) = 12/(12+16) = 12/28 = 3/7
પ્રથમ કલગીમાંથી કાળો બોલ દોરવાની સંભાવના: P1(H) = 16/(12+16) = 16/28 = 4/7
બીજા કલશમાંથી સફેદ બોલ દોરવાની સંભાવના: P2(B) = 8/18 = 4/9
બીજા કલશમાંથી કાળો બોલ દોરવાની સંભાવના: P2(H) = 10/18 = 5/9

ઘટના A બની. ઇવેન્ટ B - દરેક કલશમાંથી એક બોલ દોરવામાં આવે છે. શફલિંગ પછી, સફેદ કે કાળો દડો ભઠ્ઠીમાં પાછો ફરવાની સંભાવના ½ છે.
ચાલો ઇવેન્ટ B માટેના વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લઈએ - તે સમાન રંગના હોવાનું બહાર આવ્યું છે.

પ્રથમ કલશ માટે
1) એક સફેદ બોલને પ્રથમ કલરમાં મૂકવામાં આવ્યો હતો અને સફેદ બોલ દોરવામાં આવ્યો હતો, જો કે સફેદ બોલ અગાઉ દોરવામાં આવ્યો હોય, P1(BB/A=B) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) પ્રથમ કલરમાં સફેદ દડો મૂકવામાં આવ્યો હતો અને સફેદ દડો બહાર કાઢવામાં આવ્યો હતો, જો કે કાળો દડો અગાઉ ખેંચવામાં આવ્યો હોય, P1(BB/A=H) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/ 98
3) એક સફેદ બોલને પહેલા કલશમાં મૂકવામાં આવ્યો હતો અને એક કાળો બોલ બહાર કાઢવામાં આવ્યો હતો, જો કે સફેદ બોલ અગાઉ ખેંચવામાં આવ્યો હોય, P1(BC/A=B) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/ 49
4) પ્રથમ કલરમાં સફેદ દડો મૂકવામાં આવ્યો હતો અને કાળો દડો બહાર કાઢવામાં આવ્યો હતો, જો કે કાળો દડો અગાઉ ખેંચવામાં આવ્યો હોય, P1(BC/A=H) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15/ 98
5) પ્રથમ કલશમાં કાળો દડો મૂકવામાં આવ્યો હતો અને સફેદ બોલને બહાર કાઢવામાં આવ્યો હતો, જો કે સફેદ બોલ અગાઉ ખેંચવામાં આવ્યો હોય, P1(BW/A=B) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33/ 392
6) એક કાળો દડો પ્રથમ ભઠ્ઠીમાં મૂકવામાં આવ્યો હતો અને સફેદ બોલને બહાર કાઢવામાં આવ્યો હતો, જો કે કાળો દડો અગાઉ ખેંચવામાં આવ્યો હોય, P1(BW/A=H) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/ 49
7) પ્રથમ કલશમાં કાળો દડો મૂકવામાં આવ્યો હતો, અને એક કાળો દડો બહાર કાઢવામાં આવ્યો હતો, જો કે સફેદ બોલ અગાઉ ખેંચવામાં આવ્યો હોય, P1(HH/A=B) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51 /392
8) પ્રથમ કલશમાં કાળો દડો મૂકવામાં આવ્યો હતો, અને કાળો બોલ દોરવામાં આવ્યો હતો, જો કે કાળો બોલ અગાઉ દોરવામાં આવ્યો હોય તો, P1(HH/A=H) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/ 49

બીજા કલશ માટે
1) સફેદ બોલને પ્રથમ કલશમાં મૂકવામાં આવ્યો હતો અને સફેદ બોલ દોરવામાં આવ્યો હતો, જો કે સફેદ બોલ અગાઉ દોરવામાં આવ્યો હોય, P1(BB/A=B) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) પ્રથમ કલરમાં સફેદ દડો મૂકવામાં આવ્યો હતો અને સફેદ બોલને બહાર કાઢવામાં આવ્યો હતો, જો કે કાળો દડો અગાઉ ખેંચવામાં આવ્યો હોય, P1(BB/A=H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/ 7
3) એક સફેદ બોલને પ્રથમ કલરમાં મૂકવામાં આવ્યો હતો અને એક કાળો દડો બહાર કાઢવામાં આવ્યો હતો, જો કે સફેદ બોલ અગાઉ ખેંચવામાં આવ્યો હોય, P1(BC/A=B) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5/ 42
4) પ્રથમ કલશમાં સફેદ દડો મૂકવામાં આવ્યો હતો અને કાળો દડો બહાર કાઢવામાં આવ્યો હતો, જો કે કાળો દડો અગાઉ ખેંચવામાં આવ્યો હોય, P1(BC/A=H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/ 7
5) એક કાળો દડો પ્રથમ કલગીમાં મૂકવામાં આવ્યો હતો અને સફેદ બોલને બહાર કાઢવામાં આવ્યો હતો, જો કે સફેદ બોલ અગાઉ ખેંચવામાં આવ્યો હોય, P1(BW/A=B) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1/ 12
6) પ્રથમ કલશમાં કાળો દડો મૂકવામાં આવ્યો હતો અને સફેદ બોલને બહાર કાઢવામાં આવ્યો હતો, જો કે કાળો બોલ અગાઉ ખેંચવામાં આવ્યો હોય, P1(BW/A=H) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/ 63
7) પ્રથમ કલશમાં કાળો દડો મૂકવામાં આવ્યો હતો અને એક કાળો દડો બહાર કાઢવામાં આવ્યો હતો, જો કે સફેદ બોલ અગાઉ ખેંચવામાં આવ્યો હોય, P1(HH/A=B) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/ 84
8) પ્રથમ કલશમાં કાળો દડો મૂકવામાં આવ્યો હતો અને કાળો બોલ દોરવામાં આવ્યો હતો, જો કે કાળો બોલ અગાઉ દોરવામાં આવ્યો હોય તો, P1(HH/A=H) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/63

દડા સમાન રંગના બહાર આવ્યા:
એ) સફેદ
P1(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 9/98 + 13/98 + 33 /392 + 6/49 = 169/392
P2(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 2/21+1/7+1 /12+8/63 = 113/252
b) કાળો
P1(H) = P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) + P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) = 6/49 + 15/98 + 51 /392 + 8/49 = 223/392
P2(H) = P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) + P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) =5/42+1/7+11 /84+10/63 = 139/252

P = P1(B)* P2(B) + P1(H)* P2(H) = 169/392*113/252 + 223/392*139/252 = 5/42

ઉદાહરણ 7d. પ્રથમ બોક્સમાં 5 સફેદ અને 4 વાદળી બોલ છે, બીજામાં 3 અને 1 છે, અને ત્રીજામાં અનુક્રમે 4 અને 5 છે. એક બોક્સ રેન્ડમ પસંદ કરવામાં આવ્યું હતું અને તેમાંથી એક બોલ ખેંચાયો હતો જે વાદળી હતો. આ બોલ બીજા બોક્સનો હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ.
A - પુનઃપ્રાપ્તિ ઇવેન્ટ વાદળી બોલ. ચાલો આવી ઘટનાના તમામ સંભવિત પરિણામોને ધ્યાનમાં લઈએ.
H1 - પ્રથમ બોક્સમાંથી દોરવામાં આવેલ બોલ,
H2 - બીજા બોક્સમાંથી બોલ ખેંચાયો,
H3 - ત્રીજા બોક્સમાંથી દોરવામાં આવેલ બોલ.
P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3
સમસ્યાની શરતો અનુસાર, ઘટના A ની શરતી સંભાવનાઓ સમાન છે:
P(A|H1) = 4/(5+4) = 4/9
P(A|H2) = 1/(3+1) = 1/4
P(A|H3) = 5/(4+5) = 5/9
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 1/3*4/9 + 1 /3*1/4 + 1/3*5/9 = 5/12
આ બોલ બીજા બોક્સમાંથી હોવાની સંભાવના છે:
P2 = P(H2)*P(A|H2) / P(A) = 1/3*1/4 / 5/12 = 1/5 = 0.2

ઉદાહરણ 8. 30 બોલવાળા પાંચ બોક્સમાં 5 લાલ દડા હોય છે (આ રચના H1નું બોક્સ છે), 20 બોલવાળા છ અન્ય બોક્સમાં 4 લાલ દડા હોય છે (આ રચના H2 નું બોક્સ છે). રેન્ડમ લેવામાં આવેલ લાલ બોલ પ્રથમ પાંચ બોક્સમાંથી એકમાં સમાયેલ છે તેની સંભાવના શોધો.
ઉકેલ: ફોર્મ્યુલા એપ્લિકેશન સમસ્યા સંપૂર્ણ સંભાવના.

ઉદાહરણ 9. ભઠ્ઠીમાં 2 સફેદ, 3 કાળા અને 4 લાલ દડા છે. ત્રણ બોલ રેન્ડમ દોરવામાં આવે છે. ઓછામાં ઓછા બે દડા સમાન રંગના હશે તેવી સંભાવના કેટલી છે?
ઉકેલ. ત્યાં ત્રણ સંભવિત પરિણામો છે:
એ) દોરેલા ત્રણ બોલમાં ઓછામાં ઓછા બે સફેદ હતા.
P b (2) = P 2b
શક્ય કુલ સંખ્યા પ્રાથમિક પરિણામોઆ પરીક્ષણો માટે 9 માંથી 3 બોલ કાઢવાની રીતોની સંખ્યા જેટલી છે:

ચાલો સંભાવના શોધીએ કે પસંદ કરેલા 3 બોલમાંથી 2 સફેદ છે.

2 સફેદ બોલમાંથી પસંદ કરવા માટેના વિકલ્પોની સંખ્યા:

7 અન્ય બોલ ત્રીજા બોલમાંથી પસંદ કરવાના વિકલ્પોની સંખ્યા:

b) દોરેલા ત્રણ બોલમાં ઓછામાં ઓછા બે કાળા હતા (એટલે ​​કે 2 કાળા અથવા 3 કાળા).
ચાલો સંભાવના શોધીએ કે પસંદ કરેલા 3 બોલમાંથી 2 કાળા છે.

3 કાળા બોલમાંથી પસંદ કરવા માટેના વિકલ્પોની સંખ્યા:

એક બોલના 6 અન્ય બોલમાંથી પસંદ કરવા માટેના વિકલ્પોની સંખ્યા:


P 2h = 0.214
ચાલો સંભાવના શોધીએ કે બધા પસંદ કરેલા દડા કાળા છે.

P h (2) = 0.214+0.0119 = 0.2259

c) દોરેલા ત્રણ બોલમાં ઓછામાં ઓછા બે લાલ હતા (એટલે ​​કે 2 લાલ અથવા 3 લાલ).
ચાલો સંભાવના શોધીએ કે પસંદ કરેલા 3 બોલમાંથી 2 લાલ છે.

4 કાળા બોલમાંથી પસંદ કરવા માટેના વિકલ્પોની સંખ્યા:

પસંદ કરવા માટેના વિકલ્પોની સંખ્યા: 5 સફેદ દડા, બાકીના 1 સફેદ:


ચાલો સંભાવના શોધીએ કે બધા પસંદ કરેલા દડા લાલ છે.

P થી (2) = 0.357 + 0.0476 = 0.4046
પછી સંભવિતતા કે ઓછામાં ઓછા બે બોલ સમાન રંગના હશે: P = P b (2) + P h (2) + P k (2) = 0.0833 + 0.2259 + 0.4046 = 0.7138

ઉદાહરણ 10. પ્રથમ કલશમાં 10 દડા હોય છે, જેમાંથી 7 સફેદ હોય છે; બીજા કલરમાં 20 બોલ છે, જેમાંથી 5 સફેદ છે. દરેક કલશમાંથી એક બોલ રેન્ડમ દોરવામાં આવે છે, અને પછી આ બે બોલમાંથી એક બોલ રેન્ડમ દોરવામાં આવે છે. સફેદ બોલ દોરવામાં આવ્યો હોવાની સંભાવના શોધો.
ઉકેલ. પ્રથમ કલશમાંથી સફેદ બોલ દોરવામાં આવે તેવી સંભાવના P(b)1 = 7/10 છે. તદનુસાર, કાળો બોલ દોરવાની સંભાવના P(h)1 = 3/10 છે.
બીજા કલશમાંથી સફેદ બોલ દોરવામાં આવે તેવી સંભાવના P(b)2 = 5/20 = 1/4 છે. તદનુસાર, કાળો બોલ દોરવાની સંભાવના P(h)2 = 15/20 = 3/4 છે.
ઇવેન્ટ A - એક સફેદ બોલ બે બોલમાંથી લેવામાં આવે છે
ચાલો ઘટના A ના સંભવિત પરિણામને ધ્યાનમાં લઈએ.

1. પ્રથમ કલશમાંથી સફેદ બોલ દોરવામાં આવ્યો હતો, અને બીજા કલશમાંથી સફેદ બોલ દોરવામાં આવ્યો હતો. પછી આ બે બોલમાંથી સફેદ બોલ દોરવામાં આવ્યો. P1 = 7/10*1/4 = 7/40
2. પ્રથમ કલશમાંથી સફેદ બોલ દોરવામાં આવ્યો હતો અને બીજા કલશમાંથી કાળો બોલ દોરવામાં આવ્યો હતો. પછી આ બે બોલમાંથી સફેદ બોલ દોરવામાં આવ્યો. P2 = 7/10*3/4 = 21/40
3. પ્રથમ કલગીમાંથી કાળો બોલ દોરવામાં આવ્યો હતો, અને બીજા કલશમાંથી સફેદ બોલ દોરવામાં આવ્યો હતો. પછી આ બે બોલમાંથી સફેદ બોલ દોરવામાં આવ્યો. P3 = 3/10*1/4 = 3/40

ઉદાહરણ 11. બોક્સમાં n ટેનિસ બોલ છે. તેમાંથી મી. રમાડવામાં આવી હતી. પ્રથમ રમત માટે, બે બોલ રેન્ડમ લેવામાં આવ્યા હતા અને રમત પછી પાછા મૂકવામાં આવ્યા હતા. બીજી ગેમ માટે પણ અમે બે બોલ રેન્ડમ લીધા. બીજી રમત નવા બોલ સાથે રમવામાં આવે તેવી સંભાવના કેટલી છે?
ઉકેલ. ઇવેન્ટ A ને ધ્યાનમાં લો - આ રમત બીજી વખત નવા બોલ સાથે રમાઈ હતી. ચાલો જોઈએ કે કઈ ઘટનાઓ આ તરફ દોરી શકે છે.
ચાલો આપણે બહાર ખેંચાતા પહેલા નવા દડાઓની સંખ્યા g = n-m દ્વારા સૂચવીએ.
એ) પ્રથમ રમત માટે બે નવા બોલ ખેંચાયા હતા.
P1 = g/n*(g-1)/(n-1) = g(g-1)/(n(n-1))
b) પ્રથમ રમત માટે, તેઓએ એક નવો બોલ ખેંચ્યો અને એક પહેલેથી જ રમી ચૂક્યો છે.
P2 = g/n*m/(n-1) + m/n*g/(n-1) = 2mg/(n(n-1))
c) પ્રથમ રમત માટે, બે રમતા બોલ ખેંચવામાં આવ્યા હતા.
P3 = m/n*(m-1)/(n-1) = m(m-1)/(n(n-1))

ચાલો બીજી રમતની ઘટનાઓ જોઈએ.
a) P1 શરત હેઠળ બે નવા બોલ દોરવામાં આવ્યા હતા: કારણ કે પ્રથમ રમત માટે નવા બોલ પહેલેથી જ દોરવામાં આવ્યા હતા, પછી બીજી રમત માટે તેમની સંખ્યામાં 2, g-2 નો ઘટાડો થયો હતો.
P(A/P1) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*P1 = (g-2)/n*(g-2-1)/(n- 1)*g(g-1)/(n(n-1))
b) P2 શરત હેઠળ બે નવા બોલ દોરવામાં આવ્યા હતા: કારણ કે પ્રથમ રમત માટે એક નવો બોલ પહેલેથી જ દોરવામાં આવ્યો હતો, પછી બીજી રમત માટે તેમની સંખ્યા 1, g-1 થી ઘટી હતી.
P(A/P2) =(g-1)/n*(g-2)/(n-1)*P2 = (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg /(n(n-1))
c) P3 શરત હેઠળ બે નવા બોલ દોરવામાં આવ્યા હતા: કારણ કે અગાઉ પ્રથમ રમત માટે કોઈ નવા બોલનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો ન હતો, બીજી રમત g માટે તેમની સંખ્યા બદલાઈ ન હતી.
P(A/P3) = g/n*(g-1)/(n-1)*P3 = g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n (n-1))

કુલ સંભાવના P(A) = P(A/P1) + P(A/P2) + P(A/P3) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)* g(g-1)/(n(n-1)) + (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg/(n(n-1)) + g/n *(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1)) = (n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/(( n-1)^2*n^2)
જવાબ: P(A)=(n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)

ઉદાહરણ 12. પ્રથમ, બીજા અને ત્રીજા બોક્સમાં 2 સફેદ અને 3 કાળા બોલ છે, ચોથા અને પાંચમા બોક્સમાં 1 સફેદ અને 1 કાળો બોલ છે. એક બોક્સ અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે અને તેમાંથી એક બોલ દોરવામાં આવે છે. શું છે શરતી સંભાવનાજો દોરેલ બોલ સફેદ હોય તો ચોથો કે પાંચમો બોક્સ કયો પસંદ કરવામાં આવે છે?
ઉકેલ.
દરેક બોક્સ પસંદ કરવાની સંભાવના P(H) = 1/5 છે.
ચાલો ઘટના A ની શરતી સંભાવનાઓને ધ્યાનમાં લઈએ - સફેદ બોલ દોરો.
P(A|H=1) = 2/5
P(A|H=2) = 2/5
P(A|H=3) = 2/5
P(A|H=4) = ½
P(A|H=5) = ½
સફેદ બોલ દોરવાની કુલ સંભાવના:
P(A) = 2/5*1/5 + 2/5*1/5 +2/5*1/5 +1/2*1/5 +1/2*1/5 = 0.44
શરતી સંભાવના કે ચોથો બોક્સ પસંદ થયેલ છે
P(H=4|A) = 1/2*1/5 / 0.44 = 0.2273
શરતી સંભાવના કે પાંચમો બોક્સ પસંદ થયેલ છે
P(H=5|A) = 1/2*1/5 / 0.44 = 0.2273
કુલમાં, ચોથા કે પાંચમા બૉક્સને પસંદ કરવામાં આવે તેવી શરતી સંભાવના છે
P(H=4, H=5|A) = 0.2273 + 0.2273 = 0.4546

ઉદાહરણ 13. કલશમાં 7 સફેદ અને 4 લાલ દડા હતા. પછી સફેદ કે લાલ કે કાળા રંગનો બીજો દડો કલરમાં નાખવામાં આવતો અને મિક્સ કર્યા પછી એક બોલ બહાર કાઢવામાં આવતો. તે લાલ થઈ ગયો. એ) લાલ બોલ મૂકવામાં આવ્યો હોવાની સંભાવના કેટલી છે? b) કાળો બોલ?
ઉકેલ.
એ) લાલ બોલ
ઘટના A - લાલ બોલ દોરવામાં આવ્યો છે. ઇવેન્ટ એચ - લાલ બોલ મૂકવામાં આવે છે. P(H=K) = 1/3 કલશમાં લાલ બોલ મૂકવામાં આવ્યો હોવાની સંભાવના
પછી P(A|H=K)= 1 / 3 * 5 / 12 = 5 / 36 = 0.139
b) કાળો બોલ
ઘટના A - લાલ બોલ દોરવામાં આવ્યો છે. ઇવેન્ટ એચ - એક કાળો બોલ મૂકવામાં આવે છે.
કલશમાં કાળો બોલ મૂકવામાં આવ્યો હોવાની સંભાવના P(H=H) = 1/3
પછી P(A|H=H)= 1 / 3 * 4 / 12 = 1 / 9 = 0.111

ઉદાહરણ 14. ત્યાં બોલ સાથે બે urns છે. એકમાં 10 લાલ અને 5 વાદળી બોલ છે, બીજામાં 5 લાલ અને 7 વાદળી બોલ છે. પ્રથમ કલશમાંથી લાલ બોલ રેન્ડમ અને બીજામાંથી વાદળી બોલ દોરવામાં આવશે તેની સંભાવના કેટલી છે?
ઉકેલ.ઇવેન્ટ A1 ને પ્રથમ કલશમાંથી દોરવામાં આવેલ લાલ બોલ બનવા દો; A2 - બીજા કલશમાંથી વાદળી બોલ દોરવામાં આવે છે:
,
ઘટનાઓ A1 અને A2 સ્વતંત્ર છે. ઘટનાઓ A1 અને A2 ની સંયુક્ત ઘટનાની સંભાવના સમાન છે

ઉદાહરણ 15. ત્યાં કાર્ડ્સનો ડેક છે (36 ટુકડાઓ). બે કાર્ડ એક પંક્તિમાં રેન્ડમ દોરવામાં આવે છે. દોરેલા બંને કાર્ડ લાલ હશે તેની સંભાવના કેટલી છે?
ઉકેલ.ઇવેન્ટ A 1 એ પ્રથમ રેડ કાર્ડ દોરવામાં આવે છે. ઇવેન્ટ A 2 - બીજું રેડ કાર્ડ દોરવામાં આવ્યું. B - બહાર કાઢેલા બંને કાર્ડ લાલ છે. ઘટના A 1 અને ઘટના A 2 બંને થવી જ જોઈએ, તો B = A 1 · A 2 . ઘટનાઓ A 1 અને A 2 નિર્ભર છે, તેથી, P(B):
,
અહીંથી

ઉદાહરણ 16. બે ભઠ્ઠીમાં એવા દડા હોય છે જે ફક્ત રંગમાં ભિન્ન હોય છે, અને પ્રથમ કલરમાં 5 સફેદ દડા, 11 કાળા અને 8 લાલ દડા હોય છે, અને બીજામાં અનુક્રમે 10, 8, 6 દડા હોય છે. બંને ભઠ્ઠીઓમાંથી એક બોલ રેન્ડમ દોરવામાં આવે છે. બંને દડા એક જ રંગના હોવાની સંભાવના કેટલી છે?
ઉકેલ.ચાલો અનુક્રમણિકા 1 નો અર્થ કરીએ સફેદ રંગ, અનુક્રમણિકા 2 - કાળો; 3 - લાલ રંગ. ઘટના A iને દો કે i-th રંગનો બોલ પ્રથમ કલશમાંથી દોરવામાં આવે છે; ઘટના B j - રંગ j નો બોલ બીજા કલશમાંથી દોરવામાં આવે છે; ઘટના A - બંને દડા સમાન રંગના છે.
A = A 1 · B 1 + A 2 · B 2 + A 3 · B 3. ઘટનાઓ A i અને B j સ્વતંત્ર છે, અને A i · B i અને A j · B j i ≠ j માટે અસંગત છે. આથી,
P(A)=P(A 1) P(B 1)+P(A 2) P(B 2)+P(A 3) P(B 3) =

ઉદાહરણ 17. 3 સફેદ અને 2 કાળા દડાવાળા કલશમાંથી, કાળા દેખાય ત્યાં સુધી એક સમયે એક બોલ દોરવામાં આવે છે. કલશમાંથી 3 બોલ દોરવામાં આવશે તેવી સંભાવના શોધો? 5 બોલ?
ઉકેલ.
1) કલગીમાંથી 3 બોલ દોરવામાં આવશે તેવી સંભાવના (એટલે ​​​​કે ત્રીજો બોલ કાળો હશે, અને પ્રથમ બે સફેદ હશે).
P=3/5*2/4*2/3=1/5
2) કલગીમાંથી 5 બોલ દોરવામાં આવશે તેવી સંભાવના
આ પરિસ્થિતિ શક્ય નથી, કારણ કે માત્ર 3 સફેદ બોલ.
P=0

5 સફેદ અને 3 કાળા દડા ધરાવતા 1લા કલશમાંથી, 2 દડા રેન્ડમલી 2 સફેદ અને 6 કાળા દડા ધરાવતા બીજા કલશમાં સ્થાનાંતરિત થયા હતા. પછી 2જી કલગીમાંથી 1 બોલ રેન્ડમ દોરવામાં આવ્યો.
1) બીજા કલશમાંથી દોરવામાં આવેલો દડો સફેદ હોવાની સંભાવના કેટલી છે?
2) બીજા કલશમાંથી લેવામાં આવેલો બોલ સફેદ નીકળ્યો. સંભવિતતાની ગણતરી કરો કે વિવિધ રંગોના દડા 1 લી કલશથી 2 જી પર સ્થાનાંતરિત થયા હતા.

જવાબો:

ઉકેલ.1) ઘટના A - 2જી કલશમાંથી દોરવામાં આવેલો બોલ સફેદ નીકળે છે. ચાલો આ ઘટનાની ઘટના માટે નીચેના વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લઈએ a) પ્રથમ કલશમાંથી બીજામાં બે સફેદ બોલ મૂકવામાં આવ્યા હતા: P1(bb) = 5/8*4/7 = 20/56 બીજા કલશમાં સફેદ દડા. પછી બીજા કલશમાંથી સફેદ બોલ દોરવાની સંભાવના P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448b) ની બરાબર છે. બીજામાં: P1(bh) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56 બીજા કલશમાં 3 સફેદ દડા છે. પછી બીજા કલશમાંથી સફેદ બોલ દોરવાની સંભાવના P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448c) ની બરાબર છે. બીજો: P1(hh) = 3 /8*2/7 = 6/56 બીજા કલશમાં 2 સફેદ દડા છે. પછી બીજા કલશમાંથી સફેદ દડો દોરવાની સંભાવના P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448 છે પછી બીજા કલશમાંથી દોરવામાં આવેલો દડો સફેદ હોવાની સંભાવના છે: P( A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/322) બીજા કલશમાંથી લેવામાં આવેલો બોલ સફેદ નીકળ્યો, એટલે કે. કુલ સંભાવના P(A) = 13/32 છે કે વિવિધ રંગોના દડા (કાળો અને સફેદ) બીજા ભંડારમાં મૂકવામાં આવ્યા હતા અને સફેદ પસંદ કરવામાં આવ્યા હતા: P2(3) = 30/56*(2+1) /( 6+2) = 90/448P = P2(3)/ P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91

ગુણાકાર પ્રમેય

કહેવાય છે ગુણાકાર પ્રમેય.

આ પ્રમેય કેસને સામાન્ય બનાવે છે nઘટનાઓ

કાર્ય 1. 5 સફેદ અને 3 કાળા દડા ધરાવતા કલશમાંથી, એક બોલ અવ્યવસ્થિત અને ક્રમિક રીતે દોરવામાં આવે છે જ્યાં સુધી એક કાળો દડો દેખાય નહીં. જો પસંદગી પરત કર્યા વિના કરવામાં આવે તો ચોથું નિષ્કર્ષણ કરવું પડશે તેવી સંભાવના શોધો.

ઉકેલ.ચાલો નીચેની ઘટનાઓ રજૂ કરીએ: એ 1 = (સફેદ બોલ પ્રથમ દોરવામાં આવ્યો), એ 2 = (સફેદ બોલ બીજો દોરવામાં આવ્યો હતો), એ 3 = (સફેદ બોલ ત્રીજો દોરવામાં આવ્યો હતો). પછી જે ઘટનામાં અમને રસ છે એ = (ચોથો ડ્રો કરવો પડશે) = (પ્રથમ ત્રણ બોલ સફેદ છે) =
. સંભાવના ગુણાકાર પ્રમેય દ્વારા

પી(એ 1) = 5/8;
, કારણ કે એક સફેદ બોલ પહેલેથી જ દોરવામાં આવ્યો છે, અને બીજા ડ્રોઇંગ પહેલાં કલરમાં 7 બોલ બાકી છે, જેમાંથી 4 સફેદ છે; , કારણ કે બે સફેદ દડા પહેલેથી જ બહાર કાઢવામાં આવ્યા છે અને ત્રીજા નિષ્કર્ષણ પહેલાં કલરમાં 6 બોલ બાકી છે, જેમાંથી 3 સફેદ છે. આથી,

જવાબ આપો. 5/28.
સંભવિતતાના સ્વયંસિદ્ધ પરથી તે અનુસરે છે, જેમ આપણે ઉલ્લેખ કર્યો છે, તે મનસ્વી બે ઘટનાઓ માટે એઅને INસંભાવના

આ સમાનતા કહેવાય છે વધારાના પ્રમેય.

જ્યાં રકમ દરેક વસ્તુ પર લાગુ થાય છે શક્ય સંયોજનોવિવિધ સૂચકાંકો, 1, 2, 3, વગેરે દ્વારા લેવામાં આવે છે. અનુક્રમે

કુલ સંભાવના ફોર્મ્યુલા

પૂર્વધારણાઓની વ્યાખ્યા દ્વારા
અને , અને સંભાવનાના બીજા સ્વયંસિદ્ધ અનુસાર
, એ કારણે:

એટલે કે, ઘટનાઓના સંપૂર્ણ જૂથ માટે સમાનતા સાચી છે:

કોઈપણ ઘટના માટે એઅને ઘટનાઓનું સંપૂર્ણ જૂથ એચ 1 , એચ 2 ,..., એચ nવાજબી કુલ સંભાવના સૂત્ર:

જ્યારે તકના બે તત્ત્વો અને બીજાનું પરિણામ હોય તેવા કિસ્સામાં કુલ સંભાવનાનું સૂત્ર લાગુ કરવું વાજબી છે. રેન્ડમ ઘટનાપ્રથમ રેન્ડમ ઘટનાના અમલીકરણ પર આધાર રાખે છે.

ઉકેલ.ચાલો ઘટનાઓને ધ્યાનમાં લઈએ:

એ = (રેન્ડમ પાસ ઇન્સ્પેક્શન વખતે લેવામાં આવેલ પ્રોડક્ટ);

એન 1 = (પ્રમાણભૂત ઉત્પાદન પ્રાપ્ત થયું), આર(એન 1)=0,99;

એન 2 = (લેવામાં આવેલ ઉત્પાદન બિન-માનક છે), આર(એન 2)=0,01;

એ|એન 1 = (રેન્ડમ પાસ થયેલ નિરીક્ષણ પર લેવામાં આવેલ ઉત્પાદન જો કે તે પ્રમાણભૂત હોય), આર(એ|એન 1) = 0,995;

એ|એન 2 = (રેન્ડમ પાસ ઇન્સ્પેક્શન વખતે લેવામાં આવેલ પ્રોડક્ટ, જો કે તે બિન-માનક હોય), આર(એ|એન 2) = 0,001;

કાર્ય. 3.બે ભઠ્ઠીમાં સફેદ અને કાળા દડા છે: પ્રથમ ભઠ્ઠીમાં 8 સફેદ અને 2 કાળા છે, બીજામાં 6 સફેદ અને 2 કાળા છે. પ્રથમ કલશમાંથી અવ્યવસ્થિત રીતે લેવાયેલ બોલને બીજામાં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે, ત્યારબાદ બીજા કલશમાંથી રેન્ડમ રીતે બોલ પસંદ કરવામાં આવે છે. બીજા કલશમાંથી કાળો બોલ દોરવાની સંભાવના શોધો.

ઉકેલ.ચાલો સૂચિત કરીએ: એ= (બીજા કલશમાંથી કાળો બોલ દોરવામાં આવે છે). શોધવાની જરૂર છે પી(એ)

ઘટનાઓના વિકાસની નીચેની રીતો શક્ય છે:

અથવા 2/10 ની સંભાવના સાથે પ્રથમ કલશમાંથી કાળો બોલ દોરવામાં આવે છે અને બીજા કલશમાં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે, ત્યારબાદ બીજા કલશમાં 9 દડા હોય છે (જેમાંથી 3 કાળા હોય છે), અને કાળો બોલ મેળવવાની સંભાવના હોય છે. તેમાંથી 3/9 છે;

અથવા 8/10 ની સંભાવના સાથે સફેદ બોલને પ્રથમ કલશમાંથી દોરવામાં આવે છે અને બીજા કલરમાં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે, ત્યારબાદ બીજા સમૂહમાં 9 દડા હોય છે (જેમાંથી 2 કાળા હોય છે), અને તેમાંથી કાળો બોલ મેળવવાની સંભાવના હોય છે. 2/9 છે.

ચાલો પૂર્વધારણાઓ રજૂ કરીએ:

એચ 1 = (પ્રથમ કલશમાંથી કાળો બોલ દોરવામાં આવે છે), પી(એચ 1) = 2/10 = 0,2;

એચ 2 = (પ્રથમ કલશમાંથી સફેદ બોલ દોરવામાં આવે છે), પી(એચ 2) = 8/10 = 0,8;

પી(એચ 1) + પી(એચ 2) = 1.

પછી આર(એ|એન 1) = (બીજા કલશમાંથી કાળો બોલ દોરવામાં આવે છે, જો કે પ્રથમ કલશમાંથી કાળો બોલ દોરવામાં આવ્યો હોય), પી(એ|એચ 1) = 3/9 = 1/3. તેવી જ રીતે, પી(એ|એચ 2) = 2/9.

કુલ સંભાવના સૂત્ર અનુસાર:

જવાબ આપો. 11/45.

બેઝ સૂત્ર

.

છેલ્લું સૂત્ર કહેવાય છે બેઝ સૂત્રો.

.
કાર્ય 4.સમસ્યા 3 ની પરિસ્થિતિઓમાં, જો બીજા કલશમાંથી પણ કાળો દડો દોરવામાં આવ્યો હોય તો પ્રથમ કલગીમાંથી કાળો દડો દોરવામાં આવ્યો હોવાની સંભાવના શોધો.

ઉકેલ.સમસ્યા 3 ઉકેલતી વખતે રજૂ કરાયેલ નોટેશનમાં. તે શોધવાનું જરૂરી છે પી(એચ 1 |એ). બેયસના સૂત્ર મુજબ

જવાબ આપો. 3/11.
કાર્ય 5.સંદેશમાં "1" અને "0" સિગ્નલોનો સમાવેશ થાય છે. હસ્તક્ષેપના ગુણધર્મો એવા છે કે સરેરાશ 5% "0" સંકેતો અને 3% "1" સંકેતો વિકૃત છે. વિકૃતિના કિસ્સામાં, "0" સિગ્નલને બદલે, "1" સિગ્નલ પ્રાપ્ત થાય છે અને ઊલટું. તે જાણીતું છે કે પ્રસારિત સંકેતોમાં "0" અને "1" 3:2 ના ગુણોત્તરમાં થાય છે. જો "1" સિગ્નલ પ્રાપ્ત થાય તો "0" સિગ્નલ મોકલવામાં આવે તેવી સંભાવના શોધો.

ઉકેલ.પ્રયોગ હાથ ધરવામાં આવ્યો અને ઘટના બની એ =(સિગ્નલ “1” પ્રાપ્ત થયું).

પૂર્વધારણાઓ: એચ 1 = (સિગ્નલ "0" મોકલ્યો), એચ 2 = (સિગ્નલ “1” મોકલવામાં આવ્યો છે).

શરત દ્વારા: પી(એચ 1) = 3/5 = 0,6, પી(એચ 2) = 2/5 = 0.4, એટલે કે પી(એચ 1) + પી(એચ 2) = 1.

ચાલો ઘટનાઓને ધ્યાનમાં લઈએ:

એ|એચ 1 = (સિગ્નલ “1” પ્રાપ્ત થાય છે, જો કે સિગ્નલ “0” મોકલવામાં આવે) = (સિગ્નલ “0” વિકૃત છે), તેથી, શરત દ્વારા પી(એ|એચ 1)=0,05;

એ|એચ 2 = (સિગ્નલ “1” પ્રાપ્ત થાય છે, જો કે સિગ્નલ “1” મોકલવામાં આવે) = (સિગ્નલ “1” અવિકૃત છે), તેથી, શરત દ્વારા પી(એ|એચ 2)=1–0,03=0,97;

એચ 1 | એ = (જો સિગ્નલ “1” પ્રાપ્ત થાય તો સિગ્નલ “0” મોકલવામાં આવે છે).

બેયસના સૂત્ર મુજબ