એક ભઠ્ઠીમાં 10 સફેદ, 5 લાલ અને 5 લીલા બોલ હોય છે. રેન્ડમ પર દોરવામાં આવેલ બોલ રંગીન (સફેદ નહીં) હશે તેવી સંભાવના શોધો.
ઉકેલ:
ઇવેન્ટ માટે અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા એ,લાલ અને લીલા બોલના સરવાળા સમાન: t = 10. સમાન રીતે શક્ય અસંગત પરિણામોની કુલ સંખ્યા બરાબર છે કુલ સંખ્યાકલરમાં દડા: n = 20. પછી:
ઘટનાની સંભાવના નક્કી કરતી વખતે, તેની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા અનુસાર, ચોક્કસ શરતો પૂરી કરવી આવશ્યક છે. આ શરતોમાં સમાવિષ્ટ ઘટનાઓની સમાન સંભાવના અને અસંગતતાનો સમાવેશ થાય છે સંપૂર્ણ જૂથઘટનાઓ જેની સંભાવના નક્કી કરવી આવશ્યક છે. વ્યવહારમાં, બધું નક્કી કરવું હંમેશા શક્ય નથી શક્ય વિકલ્પોપરિણામો, અને તેથી પણ વધુ તેમની સમાન સંભાવનાને ન્યાયી ઠેરવવા માટે. તેથી, જો સંભાવનાની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યાની જરૂરિયાતોને સંતોષવી અશક્ય છે, તો ઉપયોગ કરો આંકડાકીય આકારણીઘટનાની સંભાવના. આ ખ્યાલનો પરિચય આપે છે સંબંધિત આવર્તનઘટનાની ઘટના એ, ગુણોત્તર સમાન , જ્યાં ટી- ટ્રાયલ્સની સંખ્યા જેમાં ઘટના બની હતી એ; p -અજમાયશની કુલ સંખ્યા.
J. Bernoulli એ સાબિત કર્યું કે પરીક્ષણોની સંખ્યામાં અમર્યાદિત વધારો સંબંધિત આવર્તનઘટનાઓ એઘટનાની સંભાવનાથી મનસ્વી રીતે થોડું અલગ હશે અ: .
આ સમાનતા માન્ય છે જો પ્રયોગ જે શરતો હેઠળ કરવામાં આવે છે તે યથાવત રહે છે.
બર્નૌલીના પ્રમેયની માન્યતા ક્લાસિકલ અને આંકડાકીય પદ્ધતિઓ. આમ, પીયર્સનના પ્રયોગોમાં, 12,000 થ્રો કરતી વખતે "કોટ ઓફ આર્મ્સ" બહાર પડી જવાની સંભાવના નક્કી કરવા માટે, આંકડાકીય સંભાવના 0.5016 ની બરાબર હતી, અને 24,000 થ્રો સાથે - 0.5005, જે પ્રયોગોની સંખ્યામાં વધારો થતાં 0.5 ની સંભાવના મૂલ્યનો અભિગમ દર્શાવે છે. સંભવિત મૂલ્યોની નિકટતા નિર્ધારિત વિવિધ રીતે, આ ઘટના બનવાની સંભાવનાની ઉદ્દેશ્યતા દર્શાવે છે.
4. સંભાવના ઉમેરણ પ્રમેય
કેટલીક ઘટનાઓની સંભાવનાઓને જાણીને, તમે અન્યની સંભાવનાઓની ગણતરી કરી શકો છો જો તે સંબંધિત હોય. સંભાવના ઉમેરણ પ્રમેય તમને ઘણી રેન્ડમ ઘટનાઓમાંથી એકની ઘટનાની સંભાવના નક્કી કરવા દે છે.
પ્રમેય.બેના સરવાળાની સંભાવના અસંગત ઘટનાઓ A અને B આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા સમાન છે:
P(A+B) = P(A) + P(B).(2)
પુરાવો.દો n- સમાન રીતે શક્ય અસંગતની કુલ સંખ્યા પ્રાથમિક પરિણામો; મી 1 -ઇવેન્ટ માટે અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા એ; ટી 2 -ઇવેન્ટ માટે અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા INકારણ કે એઅને INઅસંગત ઘટનાઓ, પછી ઘટના A+Bઅનુકૂળ રહેશે m 1 + m 2પરિણામો પછી, સંભાવનાની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા અનુસાર:
સુધી આ સાબિતી વિસ્તરે છે nઘટનાઓ, આપણે નીચેના પ્રમેયને સાબિત કરી શકીએ છીએ.
પ્રમેય.રકમની સંભાવના મર્યાદિત સંખ્યાજોડી પ્રમાણે અસંગત ઘટનાઓ A 1, A 2,..., A n આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે, એટલે કે.
P(A 1 + A 2 +…+A p) = P(A 1) + P(A 2) +…+P(A p) (3)
આ પ્રમેયમાંથી બે કોરોલરીઓ કાઢી શકાય છે:
કોરોલરી 1.જો ઘટનાઓ A 1, A 2,..., A n સંપૂર્ણ જૂથ બનાવે છે, તો તેમની સંભાવનાઓનો સરવાળો એક સમાન છે, એટલે કે. = P(A 1) + P(A 2) +…+P(A p) = 1.(4)
કોરોલરી 2.વિરોધી ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો સરવાળો એક સમાન છે, એટલે કે.
પુરાવો.વિરોધી ઘટનાઓ અસંગત છે અને એક સંપૂર્ણ જૂથ બનાવે છે, અને આવી ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો સરવાળો 1 ની બરાબર છે.
ઉદાહરણ 3.
ડાઇ ફેંકતી વખતે 2 અથવા 3 મેળવવાની સંભાવના શોધો.
ઉકેલ:
ઘટના A -નંબર 2 વળેલું છે, આ ઘટનાની સંભાવના P(A)= . ઘટના IN- નંબર 3 વળેલું છે, આ ઘટનાની સંભાવના P(B) = . ઘટનાઓ અસંગત છે, તેથી
ઉદાહરણ 4.
40 કપડાંનો બેચ મળ્યો હતો. આમાંથી, 20 સેટ પુરુષોના કપડાં, 6 - મહિલા અને 14 - બાળકો. સંભવિતતા શોધો કે રેન્ડમ પર લીધેલા કપડાં સ્ત્રીઓના નહીં હોય.
ઉકેલ:
ઘટના એ- પુરુષોના કપડાં, સંભાવના 
ઘટના IN- મહિલાઓના કપડાં, 
સંભાવનાઘટનાને અનુકૂળ પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર કહેવામાં આવે છે આ ઘટના, અનુભવના તમામ સમાન સંભવિત પરિણામોની સંખ્યા કે જેમાં આ ઘટના દેખાઈ શકે છે. ઘટના A ની સંભાવના P(A) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે (અહીં P પ્રથમ અક્ષર છે ફ્રેન્ચ શબ્દસંભાવના - સંભાવના). વ્યાખ્યા મુજબ
(1.2.1)
ઘટના A ને અનુકૂળ પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા ક્યાં છે; - પ્રયોગના તમામ સમાન સંભવિત પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા, ઘટનાઓનું સંપૂર્ણ જૂથ બનાવે છે.
સંભાવનાની આ વ્યાખ્યાને શાસ્ત્રીય કહેવામાં આવે છે. તે ઉભો થયો પ્રારંભિક તબક્કોસંભાવના સિદ્ધાંતનો વિકાસ.
ઇવેન્ટની સંભાવનામાં નીચેના ગુણધર્મો છે:
1. સંભાવના વિશ્વસનીય ઘટનાએક સમાન. ચાલો પત્ર દ્વારા વિશ્વસનીય ઘટના દર્શાવીએ. ચોક્કસ ઘટના માટે, તેથી
(1.2.2)
2. અશક્ય ઘટનાની સંભાવના શૂન્ય છે. ચાલો પત્ર દ્વારા અશક્ય ઘટના દર્શાવીએ. એક અશક્ય ઘટના માટે, તેથી
(1.2.3)
3. સંભાવના રેન્ડમ ઘટનાવ્યક્ત કરવામાં આવે છે હકારાત્મક સંખ્યા, એક કરતા ઓછા. કારણ કે રેન્ડમ ઘટના માટે અસમાનતાઓ , અથવા , સંતુષ્ટ છે, તો પછી
(1.2.4)
4. કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના અસમાનતાઓને સંતોષે છે
(1.2.5)
આ સંબંધોમાંથી અનુસરે છે (1.2.2) - (1.2.4).
ઉદાહરણ 1.એક ભઠ્ઠીમાં સમાન કદ અને વજનના 10 બોલ હોય છે, જેમાંથી 4 લાલ અને 6 વાદળી હોય છે. કલગીમાંથી એક બોલ દોરવામાં આવે છે. દોરેલ બોલ વાદળી હશે તેની સંભાવના કેટલી છે?
ઉકેલ. અમે "દોરેલો બોલ વાદળી નીકળ્યો" એ અક્ષર A દ્વારા સૂચિત કરીએ છીએ. આ પરીક્ષણમાં 10 સમાન સંભવિત પ્રાથમિક પરિણામો છે, જેમાંથી 6 ઘટના A તરફેણ કરે છે. સૂત્ર (1.2.1) અનુસાર, અમે મેળવીએ છીએ 
ઉદાહરણ 2. 1 થી 30 સુધીની તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ સમાન કાર્ડ પર લખવામાં આવે છે અને એક કલરમાં મૂકવામાં આવે છે. કાર્ડ્સને સારી રીતે શફલ કર્યા પછી, એક કાર્ડ ભઠ્ઠીમાંથી દૂર કરવામાં આવે છે. લીધેલ કાર્ડ પરનો નંબર 5 નો ગુણાંક હોવાની સંભાવના કેટલી છે?
ઉકેલ.ચાલો આપણે A દ્વારા ઈવેન્ટ દર્શાવીએ “લેવામાં આવેલ કાર્ડ પરની સંખ્યા 5 નો ગુણાંક છે.” આ કસોટીમાં 30 સમાન સંભવિત પ્રાથમિક પરિણામો છે, જેમાંથી ઘટના A ને 6 પરિણામો (સંખ્યા 5, 10, 15, 20, 25, 30) દ્વારા પસંદ કરવામાં આવે છે. આથી, 
ઉદાહરણ 3.બે ડાઇસ ફેંકવામાં આવે છે અને કુલ પોઈન્ટની ગણતરી કરવામાં આવે છે. ઉપલા ચહેરા. ઘટના B ની સંભાવના શોધો જેમ કે ડાઇસના ટોચના ચહેરાઓ પાસે કુલ 9 પોઈન્ટ હોય.
ઉકેલ.આ કસોટીમાં માત્ર 6 2 = 36 સમાન શક્ય પ્રાથમિક પરિણામો છે. ઇવેન્ટ B 4 પરિણામો દ્વારા પસંદ કરવામાં આવે છે: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), તેથી 
ઉદાહરણ 4. રેન્ડમ પર પસંદ કરેલ કુદરતી સંખ્યા, 10 થી વધુ નહીં. આ સંખ્યા અવિભાજ્ય હોવાની સંભાવના કેટલી છે?
ઉકેલ.ચાલો આપણે "પસંદ કરેલ નંબર અવિભાજ્ય છે" ને C અક્ષર સાથે સૂચિત કરીએ. IN આ કિસ્સામાં n = 10, m = 4 ( અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ 2, 3, 5, 7). તેથી, જરૂરી સંભાવના 
ઉદાહરણ 5.બે સપ્રમાણ સિક્કા ફેંકવામાં આવે છે. બંને સિક્કાઓની ઉપરની બાજુઓ પર સંખ્યાઓ હોવાની સંભાવના કેટલી છે?
ઉકેલ.ચાલો આપણે D અક્ષર દ્વારા ઘટનાને સૂચિત કરીએ "દરેક સિક્કાની ઉપરની બાજુએ એક નંબર હોય છે." આ પરીક્ષણમાં 4 સમાન સંભવિત પ્રાથમિક પરિણામો છે: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (નોટેશન (G, C) નો અર્થ એ છે કે પ્રથમ સિક્કામાં હથિયારોનો કોટ છે, બીજામાં સંખ્યા છે). ઘટના D એક પ્રાથમિક પરિણામ (C, C) દ્વારા પસંદ કરવામાં આવે છે. ત્યારથી m = 1, n = 4, પછી 
ઉદાહરણ 6.રેન્ડમ પસંદ કરેલ બે-અંકની સંખ્યા સમાન અંકો ધરાવે છે તેની સંભાવના કેટલી છે?
ઉકેલ. ડબલ ડિજિટ નંબરો 10 થી 99 સુધીની સંખ્યાઓ છે; આવી કુલ 90 સંખ્યાઓ 9 નંબરો સમાન છે (આ સંખ્યાઓ 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 છે). કારણ કે આ કિસ્સામાં m = 9, n = 90, પછી 
,
જ્યાં A એ "સમાન અંકો સાથેનો નંબર" ઇવેન્ટ છે.
ઉદાહરણ 7.શબ્દના અક્ષરોમાંથી વિભેદકએક અક્ષર રેન્ડમ પસંદ થયેલ છે. આ અક્ષર હશે તેવી સંભાવના કેટલી છે: a) સ્વર, b) વ્યંજન, c) અક્ષર h?
ઉકેલ. વિભેદક શબ્દમાં 12 અક્ષરો છે, જેમાંથી 5 સ્વરો છે અને 7 વ્યંજન છે. પત્રો hઆ શબ્દમાં કોઈ નથી. ચાલો ઘટનાઓને સૂચિત કરીએ: A - "સ્વર અક્ષર", B - "વ્યંજન અક્ષર", C - "અક્ષર h". અનુકૂળ પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા: - ઘટના A માટે, - ઘટના B માટે, - ઘટના C માટે. ત્યારથી n = 12, પછી
, અને .
ઉદાહરણ 8.બે ડાઇસ ફેંકવામાં આવે છે અને દરેક ડાઇસની ટોચ પરના પોઇન્ટ્સની સંખ્યા નોંધવામાં આવે છે. બંને ડાઇસ રોલ કરે તેવી સંભાવના શોધો સમાન નંબરપોઈન્ટ
ઉકેલ.ચાલો આ ઘટનાને A અક્ષર દ્વારા દર્શાવીએ. ઘટના A 6 પ્રાથમિક પરિણામો દ્વારા અનુકૂળ છે: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6 ;6). સમાન સંભવિત પ્રાથમિક પરિણામોની કુલ સંખ્યા જે ઘટનાઓનું સંપૂર્ણ જૂથ બનાવે છે, આ કિસ્સામાં n=6 2 =36. આનો અર્થ એ છે કે જરૂરી સંભાવના 
ઉદાહરણ 9.પુસ્તકમાં 300 પાના છે. રેન્ડમલી ખોલેલા પેજની સંભાવના કેટલી છે સીરીયલ નંબર, 5 ના ગુણાંક?
ઉકેલ.સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ પરથી તે અનુસરે છે કે ઘટનાઓના સંપૂર્ણ જૂથની રચના કરતા તમામ સમાન સંભવિત પ્રાથમિક પરિણામો n = 300 હશે. આમાંથી, m = 60 ઉલ્લેખિત ઘટનાની ઘટનાની તરફેણ કરે છે. ખરેખર, જે સંખ્યા 5 નો ગુણાંક છે તેનું સ્વરૂપ 5k છે, જ્યાં k કુદરતી સંખ્યા છે, અને ક્યાંથી 
. આથી, 
, જ્યાં A - "પૃષ્ઠ" ઇવેન્ટનો ક્રમ નંબર છે જે 5 નો ગુણાંક છે".
ઉદાહરણ 10. બે ડાઇસ ફેંકવામાં આવે છે અને ટોચના ચહેરા પરના પોઈન્ટના સરવાળાની ગણતરી કરવામાં આવે છે. શું વધુ સંભાવના છે - કુલ 7 અથવા 8 મેળવવામાં?
ઉકેલ. ચાલો ઘટનાઓ દર્શાવીએ: A - "7 પોઈન્ટ રોલ કરવામાં આવે છે", B - "8 પોઈન્ટ રોલ કરવામાં આવે છે". ઇવેન્ટ A ને 6 પ્રાથમિક પરિણામો દ્વારા પસંદ કરવામાં આવે છે: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), અને ઇવેન્ટ B તરફેણ કરવામાં આવે છે 5 પરિણામો દ્વારા: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). તમામ સમાન રીતે શક્ય પ્રાથમિક પરિણામો n = 6 2 = 36 છે. આનો અર્થ છે અને .
તેથી, P(A)>P(B), એટલે કે, કુલ 8 પોઈન્ટ મેળવવા કરતાં કુલ 7 પોઈન્ટ મેળવવું એ વધુ સંભવિત ઘટના છે.
કાર્યો
1. 30 થી વધુ ન હોય તેવી પ્રાકૃતિક સંખ્યા અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે કે આ સંખ્યા 3 નો ગુણાંક છે?
2. કલરમાં aલાલ અને bવાદળી દડા, કદ અને વજનમાં સમાન. આ કલશમાંથી અવ્યવસ્થિત રીતે દોરવામાં આવેલો દડો વાદળી રંગનો હોવાની સંભાવના કેટલી છે?
3. 30 થી વધુ ન હોય તેવી સંખ્યા અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે કે આ સંખ્યા 30 નો વિભાજક છે તેની સંભાવના કેટલી છે?
4. કલરમાં એવાદળી અને bલાલ દડા, કદ અને વજનમાં સમાન. આ કલશમાંથી એક બોલ લેવામાં આવે છે અને તેને બાજુ પર રાખવામાં આવે છે. આ બોલ લાલ નીકળ્યો. આ પછી, ભઠ્ઠીમાંથી બીજો બોલ દોરવામાં આવે છે. સંભાવના શોધો કે બીજો બોલ પણ લાલ છે.
5. 50 થી વધુ ન હોય તેવી રાષ્ટ્રીય સંખ્યા રેન્ડમ પસંદ કરવામાં આવે છે કે આ સંખ્યા અવિભાજ્ય છે?
6. ત્રણ ડાઇસ ફેંકવામાં આવે છે અને ટોચના ચહેરા પરના પોઈન્ટના સરવાળાની ગણતરી કરવામાં આવે છે. કુલ 9 અથવા 10 પોઈન્ટ મેળવવાની વધુ શક્યતા શું છે?
7. ત્રણ ડાઇસ ફેંકવામાં આવે છે અને વળેલા પોઈન્ટનો સરવાળો ગણવામાં આવે છે. કુલ 11 (ઇવેન્ટ A) અથવા 12 પોઇન્ટ્સ (ઇવેન્ટ B) મેળવવાની વધુ શક્યતા શું છે?
જવાબો
1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - કુલ 9 પોઈન્ટ મેળવવાની સંભાવના; p 2 = 27/216 - કુલ 10 પોઈન્ટ મેળવવાની સંભાવના; p 2 > p 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).
પ્રશ્નો
1. ઘટનાની સંભાવના શું કહેવાય છે?
2. વિશ્વસનીય ઘટનાની સંભાવના શું છે?
3. અશક્ય ઘટનાની સંભાવના શું છે?
4. રેન્ડમ ઘટનાની સંભાવનાની મર્યાદા શું છે?
5. કોઈપણ ઘટનાની સંભાવનાની મર્યાદા શું છે?
6. સંભાવનાની કઈ વ્યાખ્યાને શાસ્ત્રીય કહેવામાં આવે છે?
જટિલ ઘટનાઓની સંભાવનાની ગણતરી
દસ દડાઓ સાથે એક કલશ રાખો, જેમાંથી 6 સફેદ અને 4 કાળા છે. પછી નીચેની ઘટનાઓ શક્ય છે:
એ - બહાર કાઢો સફેદ બોલભઠ્ઠીમાંથી
B - ભઠ્ઠીમાંથી કાળો બોલ દૂર કરો
ઇવેન્ટ A માં ઇવેન્ટ્સ A 1, A 2, A 3, A 4, A 5, A 6 નો સમાવેશ થાય છે. ઇવેન્ટ B માં ઇવેન્ટ્સ B 1, B 2, B 3, B 4 નો સમાવેશ થાય છે. પછી ભઠ્ઠીમાં સફેદ દડાની ટકાવારી ગુણોત્તર તરીકે નક્કી થાય છે, અને કાળા દડાની ટકાવારી છે.
વ્યાખ્યા: ઘટના A ની સંભાવના કહેવાય છે. સંખ્યા ગુણોત્તર સમાનઘટના A ની ઘટના માટે અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા m તમામ પ્રાથમિક પરિણામોની કુલ સંખ્યા n.
- સૂત્ર ક્લાસિક રીતસંભાવનાની ગણતરી
રેન્ડમ ઘટનાની સંભાવના એ શૂન્ય અને એક વચ્ચેની સંખ્યા છે
વ્યાખ્યા: ક્રમચય એ બધાનું બનેલું સંયોજન છે nઆપેલ સમૂહના ઘટકો અને માત્ર તેમની ગોઠવણીના ક્રમમાં અલગ પડે છે. તમામ સંભવિત ક્રમચયોની સંખ્યા
R p = p!
વ્યાખ્યા: પ્લેસમેન્ટ્સ - ના સંયોજનો ટી n વિવિધ તત્વો, તત્વોની રચના અથવા તેમના ક્રમમાં અલગ. બધાની સંખ્યા શક્ય પ્લેસમેન્ટ
વ્યાખ્યા: સંયોજનો ના અક્રમિત સેટ છે ટીસમાવિષ્ટ સમૂહના ઘટકો nવિવિધ તત્વો (એટલે કે, ફક્ત તત્વોની રચનામાં અલગ પડે તેવા સેટ). સંયોજનોની સંખ્યા
ઉદાહરણ 1.ક્વોલિફાઇંગ સ્પર્ધાઓમાં 10 લોકો ભાગ લે છે, જેમાંથી ત્રણ ફાઇનલમાં પહોંચે છે. કેટલા જુદા જુદા ત્રણ ફાઇનલિસ્ટ હોઈ શકે છે?
ઉકેલ. અગાઉના ઉદાહરણથી વિપરીત, ફાઇનલિસ્ટનો ક્રમ અહીં મહત્વપૂર્ણ નથી, તેથી, અમે 10 થી 3 સુધીના સંયોજનોની સંખ્યા શોધી રહ્યા છીએ:
ઉદાહરણ 2.એક ભઠ્ઠીમાં 10 બોલ છે: 6 સફેદ અને 4 કાળા. તેમાંથી બે બોલ લેવામાં આવે છે. સંભાવના શું છે કે: a) 2 સફેદ; b) 2 કાળા; c) 1 સફેદ, 1 કાળો
ઉકેલ:
એ) A – 2 સફેદ બોલ દોરવા દો. ચાલો તમામ પ્રાથમિક પરિણામોની કુલ સંખ્યા n શોધીએ.
b) B - 2 કાળા બોલ દોરવા દો
વી) C – 1 સફેદ અને 1 કાળો બોલ દોરવા દો
-> સંભાવના સિદ્ધાંત. રેન્ડમ ઘટના, તેની આવર્તન અને સંભાવના
રેન્ડમ ઘટના, તેની આવર્તન અને સંભાવના
