Garis lurus y = f(x) bersinggungan dengan grafik yang ditunjukkan pada gambar di titik x0 asalkan melalui titik ini dengan koordinat (x0; f(x0)) dan memiliki lereng f"(x0). Menemukan koefisien ini, dengan mempertimbangkan fitur garis singgung, tidaklah sulit.
Anda akan membutuhkan
- - buku referensi matematika;
- - buku catatan;
- - pensil sederhana;
- - pena;
- - busur derajat;
- - kompas.
instruksi
- Perlu diketahui bahwa grafik fungsi terdiferensiasi f(x) di titik x0 tidak berbeda dengan garis singgung. Oleh karena itu, ia cukup dekat dengan ruas l, melewati titik (x0; f(x0)) dan (x0+Δx; f(x0 + Δx)). Untuk menentukan garis lurus yang melalui titik A dengan koefisien (x0; f(x0)), tunjukkan kemiringannya. Selain itu, sama dengan garis singgung garis potong Δy/Δx (Δх→0), dan juga cenderung ke bilangan f'(x0).
- Jika tidak ada nilai f'(x0), maka mungkin tidak ada garis singgung, atau mungkin berjalan vertikal. Berdasarkan hal tersebut, keberadaan turunan fungsi di titik x0 dijelaskan oleh adanya garis singgung non vertikal yang bersinggungan dengan grafik fungsi di titik (x0, f(x0)). DI DALAM dalam hal ini koefisien sudut garis singgung sama dengan f" (x0). Menjadi jelas makna geometris turunan yaitu menghitung kemiringan garis singgung.
- Artinya, untuk mencari kemiringan garis singgung, Anda perlu mencari nilai turunan fungsi di titik singgung tersebut. Contoh: carilah koefisien sudut garis singgung grafik fungsi y = x³ di titik dengan absis X0 = 1. Penyelesaian: Carilah turunan dari fungsi ini y΄(x) = 3x²; tentukan nilai turunannya di titik X0 = 1. у΄(1) = 3 × 1² = 3. Koefisien sudut garis singgung di titik X0 = 1 adalah 3.
- Gambarkan garis singgung tambahan pada gambar sehingga menyentuh grafik fungsi di titik berikut: x1, x2 dan x3. Tandai sudut yang dibentuk oleh garis singgung ini dengan sumbu absis (sudut dihitung dalam arah positif - dari sumbu ke garis singgung). Misalnya, sudut pertama α1 akan lancip, sudut kedua (α2) tumpul, dan sudut ketiga (α3) sama dengan nol, karena garis singgung yang ditarik sejajar dengan sumbu OX. Dalam hal ini, garis singgung sudut tumpul Ada nilai negatif, dan bersinggungan sudut lancip– positif, pada tg0 dan hasilnya nol.
Anda sudah familiar dengan konsep garis singgung grafik suatu fungsi. Grafik fungsi terdiferensiasi f di titik x 0 dekat x 0 praktis tidak berbeda dengan garis singgung, artinya dekat dengan garis potong l yang melalui titik (x 0 ; f (x 0)) dan ( x 0 +Δx; f ( x 0 + Δx)). Salah satu garis potong ini melalui titik A (x 0 ; f (x 0)) pada grafik (Gbr. 1). Untuk mendefinisikan secara unik suatu garis yang melalui suatu titik A tertentu, cukup dengan menunjukkan kemiringannya. Koefisien sudut Δy/Δx garis potong sebagai Δх→0 cenderung ke bilangan f '(x 0) (kita anggap sebagai koefisien sudut garis singgung) Mereka mengatakan bahwa garis singgung adalah posisi pembatas garis potong di Δх→0.
Jika f'(x 0) tidak ada, maka garis singgungnya juga tidak ada (seperti fungsi y = |x| di titik (0; 0), lihat gambar) atau vertikal (seperti grafik fungsi di titik (0 ; 0), Gambar 2).
Jadi, keberadaan turunan fungsi f di titik xo setara dengan keberadaan garis singgung (non-vertikal) di titik (x 0, f (x 0)) pada grafik, sedangkan kemiringan tangen sama dengan f" (x 0). Ini adalah arti geometris turunan
Garis singgung grafik suatu fungsi terdiferensiasi f di titik xo adalah garis lurus yang melalui titik (x 0 ; f (x 0)) dan mempunyai koefisien sudut f’(x 0).
Mari kita menggambar garis singgung grafik fungsi f di titik x 1, x 2, x 3 (Gbr. 3) dan perhatikan sudut yang dibentuknya terhadap sumbu absis. (Ini adalah sudut yang diukur dalam arah positif dari arah sumbu positif ke garis lurus.) Kita melihat bahwa sudut α 1 lancip, sudut α 3 tumpul, dan sudut α 2 adalah nol, karena garis lurus l adalah sejajar dengan sumbu Sapi. Garis singgung sudut lancip adalah positif, garis singgung sudut tumpul adalah negatif, tan 0 = 0. Oleh karena itu
F"(x 1)>0, f'(x 2)=0, f'(x 3)
Membangun garis singgung pada masing-masing titik memungkinkan Anda membuat sketsa grafik dengan lebih akurat. Jadi, misalnya, untuk membuat sketsa grafik fungsi sinus, pertama-tama kita cari bahwa di titik 0; π/2 dan π turunan sinus sama dengan 1; 0 dan -1 masing-masing. Mari kita buat garis lurus yang melalui titik (0; 0), (π/2,1) dan (π, 0) dengan koefisien sudut masing-masing 1, 0 dan -1 (Gbr. 4). trapesium yang dihasilkan dibentuk oleh garis-garis lurus dan garis Ox, grafik sinus sehingga untuk x sama dengan 0, π/2 dan π menyentuh garis-garis yang bersesuaian.
Perhatikan bahwa grafik sinus di sekitar nol secara praktis tidak dapat dibedakan dari garis lurus y = x. Misalkan, skala sepanjang sumbu dipilih sehingga satuannya sesuai dengan segmen 1 cm. Kita mempunyai sin 0.5 ≈ 0.479425, yaitu |sin 0.5 - 0.5| ≈ 0,02, dan pada skala yang dipilih, ini sesuai dengan segmen yang panjangnya 0,2 mm. Oleh karena itu, grafik fungsi y = sin x pada interval (-0,5; 0,5) akan menyimpang (dalam arah vertikal) dari garis lurus y = x tidak lebih dari 0,2 mm, yang kira-kira sama dengan ketebalan dari garis yang ditarik.
Garis singgung adalah garis lurus , yang menyentuh grafik fungsi di satu titik dan semua titiknya berada pada jarak terpendek dari grafik fungsi. Oleh karena itu, garis singgung tersebut bersinggungan dengan grafik fungsi pada sudut tertentu dan beberapa garis singgung pada sudut tertentu tidak dapat melalui titik singgung tersebut. sudut yang berbeda. Persamaan tangen dan persamaan normal grafik suatu fungsi dibuat menggunakan turunan.
Persamaan tangen diturunkan dari persamaan garis .
Mari kita turunkan persamaan garis singgung, lalu persamaan normal grafik fungsinya.
kamu = kx + B .
Di dalamnya k- koefisien sudut.
Dari sini kita mendapatkan entri berikut:
kamu - kamu 0 = k(X - X 0 ) .
Nilai turunan F "(X 0 ) fungsi kamu = F(X) pada intinya X0 sama dengan kemiringannya k= tg φ bersinggungan dengan grafik suatu fungsi yang melalui suatu titik M0 (X 0 , kamu 0 ) , Di mana kamu0 = F(X 0 ) . Ini arti geometris turunan .
Jadi, kita bisa menggantinya k pada F "(X 0 ) dan dapatkan yang berikut ini persamaan garis singgung grafik suatu fungsi :
kamu - kamu 0 = F "(X 0 )(X - X 0 ) .
Dalam soal-soal yang melibatkan penyusunan persamaan garis singgung grafik suatu fungsi (dan kita akan segera membahasnya), persamaan yang diperoleh dari rumus di atas harus direduksi menjadi persamaan garis lurus dalam bentuk umum. Untuk melakukan ini, Anda perlu mentransfer semua huruf dan angka ke sisi kiri persamaan, dan tinggalkan nol di ruas kanan.
Sekarang tentang persamaan normal. Normal - ini adalah garis lurus yang melalui titik singgung grafik fungsi yang tegak lurus garis singgung. Persamaan biasa :
(X - X 0 ) + F "(X 0 )(kamu - kamu 0 ) = 0
Untuk pemanasan, Anda diminta untuk menyelesaikan sendiri contoh pertama, lalu melihat solusinya. Ada banyak alasan untuk berharap bahwa tugas ini tidak akan menjadi “mandi air dingin” bagi pembaca kami.
Contoh 0. Buatlah persamaan tangen dan persamaan normal grafik fungsi di suatu titik M (1, 1) .
Contoh 1. Tuliskan persamaan tangen dan persamaan normal grafik suatu fungsi 
, jika absisnya bersinggungan .
Mari kita cari turunan dari fungsi tersebut:
Sekarang kita memiliki semua yang perlu disubstitusikan ke dalam entri yang diberikan dalam bantuan teoritis untuk mendapatkan persamaan tangen. Kami mengerti
Dalam contoh ini, kami beruntung: ternyata kemiringannya sama dengan nol, oleh karena itu, tidak perlu membawa persamaan tersebut ke bentuk umum secara terpisah. Sekarang kita dapat membuat persamaan normal:
Pada gambar di bawah ini: grafik suatu fungsi berwarna merah anggur, garis singgung hijau, oranye biasa.
Contoh selanjutnya juga tidak rumit: fungsinya, seperti pada contoh sebelumnya, juga merupakan polinomial, tetapi kemiringannya tidak akan sama dengan nol, sehingga akan ditambahkan satu langkah lagi - membawa persamaan ke bentuk umum.
Contoh 2.
Larutan. Mari kita cari ordinat titik singgungnya:
Mari kita cari turunan dari fungsi tersebut:
.
Mari kita cari nilai turunannya pada titik singgung, yaitu kemiringan garis singgung:
Kami mengganti semua data yang diperoleh ke dalam “rumus kosong” dan mendapatkan persamaan tangen:
Kami membawa persamaan ke bentuk umum (kami mengumpulkan semua huruf dan angka selain nol di sisi kiri, dan meninggalkan nol di sebelah kanan):
Kami membuat persamaan normal:
Contoh 3. Tuliskan persamaan garis singgung dan persamaan normal grafik fungsi jika absisnya adalah titik singgungnya.
Larutan. Mari kita cari ordinat titik singgungnya:
Mari kita cari turunan dari fungsi tersebut:
.
Mari kita cari nilai turunannya pada titik singgung, yaitu kemiringan garis singgung:
.
Kami menemukan persamaan tangen:
Sebelum membawa persamaan ke bentuk umum, Anda perlu “menyisirnya” sedikit: mengalikan suku demi suku dengan 4. Kita melakukan ini dan membawa persamaan ke bentuk umum:
Kami membuat persamaan normal:
Contoh 4. Tuliskan persamaan garis singgung dan persamaan normal grafik fungsi jika absisnya adalah titik singgungnya.
Larutan. Mari kita cari ordinat titik singgungnya:
.
Mari kita cari turunan dari fungsi tersebut:
Mari kita cari nilai turunannya pada titik singgung, yaitu kemiringan garis singgung:
.
Kami mendapatkan persamaan tangen:
Kami membawa persamaan tersebut ke bentuk umum:
Kami membuat persamaan normal:
Kesalahan umum saat menulis persamaan tangen dan persamaan normal adalah tidak memperhatikan bahwa fungsi yang diberikan dalam contoh adalah fungsi kompleks dan menghitung turunannya sebagai turunan dari fungsi sederhana. Contoh berikut- sudah sejak itu fungsi yang kompleks(pelajaran terkait akan terbuka di jendela baru).
Contoh 5. Tuliskan persamaan garis singgung dan persamaan normal grafik fungsi jika absisnya adalah titik singgungnya.
Larutan. Mari kita cari ordinat titik singgungnya:
Perhatian! Fungsi ini- kompleks, karena argumen singgung (2 X) itu sendiri merupakan sebuah fungsi. Oleh karena itu, kita mencari turunan suatu fungsi sebagai turunan dari fungsi kompleks.
Dalam matematika, salah satu parameter yang menggambarkan posisi suatu garis Pesawat Cartesius koordinat adalah kemiringan garis ini. Parameter ini mencirikan kemiringan garis lurus terhadap sumbu absis. Untuk memahami cara mencari kemiringan, ingat dulu bentuk umum persamaan garis lurus pada sistem koordinat XY.
DI DALAM pandangan umum setiap garis lurus dapat diwakili oleh ekspresi ax+by=c, di mana a, b dan c adalah sembarang bilangan real, tapi tentu saja a 2 + b 2 ≠ 0.
Dengan menggunakan transformasi sederhana, persamaan tersebut dapat diubah menjadi bentuk y=kx+d, dengan k dan d adalah bilangan real. Bilangan k adalah kemiringan, dan persamaan garis seperti ini disebut persamaan kemiringan. Ternyata untuk mencari kemiringannya tinggal dibawa saja persamaan asli ke tipe di atas. Untuk pemahaman yang lebih lengkap, perhatikan contoh spesifik:
Soal: Tentukan gradien garis yang diberikan oleh persamaan 36x - 18y = 108
Solusi: Mari kita ubah persamaan aslinya.
Jawaban: Kemiringan garis yang diperlukan adalah 2.
Jika, selama transformasi persamaan, kita menerima ekspresi seperti x = const dan sebagai hasilnya kita tidak dapat menyatakan y sebagai fungsi dari x, maka kita berhadapan dengan garis lurus yang sejajar dengan sumbu X. Koefisien sudutnya garis lurus sama dengan tak terhingga.
Untuk garis yang dinyatakan dengan persamaan seperti y = const, kemiringannya nol. Hal ini khas untuk garis lurus yang sejajar dengan sumbu absis. Misalnya:
Soal: Tentukan gradien garis yang diberikan oleh persamaan 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4
Solusi: Mari kita bawa persamaan awal ke bentuk umum
24x + 12 tahun - 12 tahun + 28 = 4
Tidak mungkin untuk menyatakan y dari ekspresi yang dihasilkan, oleh karena itu koefisien sudut garis ini sama dengan tak terhingga, dan garis itu sendiri akan sejajar dengan sumbu Y.
Arti geometris
Untuk lebih memahaminya, mari kita lihat gambarnya:
Pada gambar kita melihat grafik fungsi seperti y = kx. Untuk menyederhanakannya, ambil koefisien c = 0. Pada segitiga OAB, perbandingan sisi BA dan AO akan sama dengan koefisien sudut k. Pada saat yang sama, rasio VA/AO adalah garis singgung sudut lancip α in segitiga siku-siku OAV. Ternyata koefisien sudut suatu garis lurus sama dengan garis singgung sudut yang dibuat garis lurus tersebut dengan sumbu absis kisi-kisi koordinat.
Memecahkan masalah bagaimana mencari koefisien sudut suatu garis lurus, kita mencari garis singgung sudut antara garis tersebut dan sumbu X dari kisi koordinat. Kasus batas, ketika garis yang dimaksud sejajar dengan sumbu koordinat, konfirmasikan hal di atas. Memang benar, untuk garis lurus yang dijelaskan oleh persamaan y=const, sudut antara garis tersebut dan sumbu absis adalah nol. Garis singgung sudut nol juga nol dan kemiringannya juga nol.
Untuk garis lurus yang tegak lurus sumbu absis dan dijelaskan dengan persamaan x=konstanta, sudut antara garis tersebut dengan sumbu X adalah 90 derajat. Garis singgung sudut kanan sama dengan tak terhingga, dan koefisien sudut garis lurus yang sebangun juga sama dengan tak terhingga, yang menegaskan apa yang ditulis di atas.
Kemiringan singgung
Tugas umum yang sering ditemui dalam praktik juga adalah mencari kemiringan garis singgung grafik suatu fungsi pada suatu titik tertentu. Garis singgung adalah garis lurus, oleh karena itu konsep kemiringan juga dapat diterapkan padanya.
Untuk mengetahui cara mencari kemiringan garis singgung, kita perlu mengingat kembali konsep turunan. Turunan suatu fungsi pada suatu titik adalah suatu konstanta, secara numerik sama dengan garis singgung sudut yang terbentuk antara garis singgung pada suatu titik tertentu terhadap grafik fungsi ini dan sumbu absis. Ternyata untuk menentukan koefisien sudut garis singgung di titik x 0, kita perlu menghitung nilai turunan fungsi awal di titik ini k = f"(x 0). Mari kita lihat contohnya:
Soal: Tentukan gradien garis singgung fungsi y = 12x 2 + 2xe x di x = 0,1.
Solusi: Temukan turunan dari fungsi aslinya dalam bentuk umum
y"(0,1) = 24.0.1 + 2.0.1.e 0.1 + 2.e 0.1
Jawab: Kemiringan yang diperlukan pada titik x = 0,1 adalah 4,831
Misalkan suatu fungsi f diberikan, yang pada titik tertentu x 0 memiliki turunan berhingga f (x 0). Maka garis lurus yang melalui titik (x 0 ; f (x 0)), yang mempunyai koefisien sudut f’(x 0), disebut garis singgung.
Apa jadinya jika turunannya tidak ada di titik x 0? Ada dua pilihan:
- Grafiknya juga tidak ada garis singgungnya. Contoh klasik- fungsi y = |x | pada titik (0; 0).
- Garis singgungnya menjadi vertikal. Hal ini berlaku, misalnya, untuk fungsi y = arcsin x di titik (1; π /2).
Persamaan tangen
Setiap garis lurus non-vertikal diberikan oleh persamaan berbentuk y = kx + b, dengan k adalah kemiringannya. Tidak terkecuali garis singgung, dan untuk membuat persamaannya di suatu titik x 0, cukup mengetahui nilai fungsi dan turunannya di titik tersebut.
Jadi, diberikan suatu fungsi y = f (x) yang mempunyai turunan y = f '(x) pada ruas tersebut. Kemudian di sembarang titik x 0 ∈ (a ; b) dapat ditarik garis singgung grafik fungsi ini, yang diberikan oleh persamaan:
kamu = f'(x 0) (x − x 0) + f (x 0)
Di sini f’(x 0) adalah nilai turunan di titik x 0, dan f(x 0) adalah nilai fungsi itu sendiri.
Tugas. Diketahui fungsinya y = x 3 . Tuliskan persamaan garis singgung grafik fungsi ini di titik x 0 = 2.
Persamaan tangen: y = f’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Intinya x 0 = 2 diberikan kepada kita, tetapi nilai f (x 0) dan f '(x 0) harus dihitung.
Pertama, mari kita cari nilai fungsinya. Semuanya mudah di sini: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Sekarang mari kita cari turunannya: f ’(x) = (x 3)’ = 3x 2;
Kita substitusikan x 0 = 2 ke dalam turunan: f '(x 0) = f '(2) = 3 2 2 = 12;
Totalnya kita peroleh: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Ini adalah persamaan tangen.
Tugas. Tuliskan persamaan garis singgung grafik fungsi f (x) = 2sin x + 5 di titik x 0 = π /2.
Kali ini kami tidak akan menjelaskan setiap tindakan secara detail - kami hanya akan menunjukkan langkah-langkah kuncinya. Kami memiliki:
f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f '(x) = (2sin x + 5)' = 2cos x;
f '(x 0) = f '(π /2) = 2cos (π /2) = 0;
Persamaan tangen:
y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7
DI DALAM kasus terakhir garis lurusnya ternyata mendatar, karena koefisien sudutnya k = 0. Tidak ada yang salah dengan ini - kita baru saja menemukan titik ekstrem.
