Antiturunan sebagai fungsi integral batas atas. Metode Penggantian Variabel

Belum ada versi HTML dari karya tersebut.

Dokumen serupa

Diperlukan dan kondisi cukup adanya integral tertentu. Persamaan integral tentu dari jumlah aljabar(perbedaan) dua fungsi. Teorema nilai rata-rata – akibat wajar dan bukti. Arti geometris integral tertentu.

presentasi, ditambahkan 18/09/2013

Mempelajari konsep jumlah integral. Batas atas dan bawah integrasi. Analisis sifat-sifat integral tertentu. Bukti teorema nilai rata-rata. Perubahan variabel dalam integral tertentu. Turunan integral terhadap batas atas variabel.

presentasi, ditambahkan 04/11/2013

Pengenalan konsep dan sifat dasar integral tertentu. Penyajian rumus menghitung jumlah integral fungsi y=f(x) pada ruas [a, b]. Integralnya sama dengan nol, asalkan batas bawah dan atas integrasinya sama.

presentasi, ditambahkan 18/09/2013

Masalah yang mengarah pada konsep integral tertentu. Integral tertentu, sebagai limit dari jumlah integral tersebut. Hubungan antara integral tertentu dan integral tak tentu. Rumus Newton-Leibniz. Geometris dan pengertian mekanis integral tertentu.

abstrak, ditambahkan 30/10/2010

Metode integrasi pada zaman dahulu. Konsep fungsi antiturunan. Teorema utama kalkulus integral. Sifat-sifat integral tak tentu dan pasti serta metode penghitungannya, konstanta sembarang. Tabel integral fungsi dasar.

presentasi, ditambahkan 09/11/2011

Konsep fungsi antiturunan, teorema antiturunan. Integral tak tentu, sifat-sifatnya dan tabelnya. Konsep integral tertentu, makna geometrinya, dan sifat-sifat dasarnya. Turunan dari integral tertentu dan rumus Newton-Leibniz.

tugas kursus, ditambahkan 21/10/2011

Konsep dan sifat fungsi reflektif. Integral pertama dari sistem diferensial dan kondisi keberadaan. Kondisi gangguan sistem diferensial, yang tidak mengubah simetri waktu. Penentuan hubungan antara sistem integral pertama dan sistem ekuivalennya.

tugas kursus, ditambahkan 21/08/2009

Konsep dan kajian fungsi sumbu relatif genap, ganjil, dan simetris. Konsep interval tanda konstan. Cembung dan cekung, titik belok. Vertikal dan asimtot miring. Setidaknya dan nilai tertinggi fungsi dan integral.

kerja praktek, ditambahkan 25/03/2011

Fungsi satu variabel independen. Properti batas. Fungsi turunan dan diferensial, penerapannya dalam pemecahan masalah. Konsep antiturunan. Rumus Newton-Leibniz. Metode perkiraan untuk menghitung integral tertentu. Teorema nilai rata-rata.

catatan pelajaran, ditambahkan 23/10/2013

Konsep umum urutan nomor. Batas suatu fungsi pada suatu titik. Fungsi yang sangat besar dan kecil. Hubungan antara suatu fungsi, limitnya, dan tak terhingga fungsi kecil. Tanda-tanda adanya batasan. Teorema dasar tentang limit: uraian singkat.

Biarkan fungsinya F(T) terdefinisi dan kontinu pada suatu interval yang memuat titik tersebut A. Lalu setiap nomor X dari interval ini Anda dapat mencocokkan nomornya ,

dengan demikian menentukan interval fungsinya SAYA(X), yang biasa disebut integral tentu dengan batas atas variabel. Perhatikan itu pada intinya x = sebuah fungsi ini sama dengan nol. Mari kita hitung turunan fungsi ini di titik X. Untuk melakukan ini, pertama-tama pertimbangkan kenaikan fungsi pada titik tersebut X saat menambah argumen D X:

D SAYA(X) = SAYA(x+ D X) – SAYA(X) =

Seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 4, nilai integral terakhir dalam rumus kenaikan D SAYA(X) sama dengan luas trapesium lengkung yang ditandai dengan arsiran. Pada nilai D yang kecil X(di sini, seperti di bagian lain dalam kursus ini, ketika berbicara tentang peningkatan kecil dalam suatu argumen atau fungsi, yang kami maksud adalah nilai absolut pertambahan, karena pertambahan itu sendiri bisa positif dan negatif), luas ini ternyata kira-kira luas yang sama persegi panjang, ditandai pada gambar dengan arsiran ganda. Luas persegi panjang diberikan oleh rumus F(X)D X. Dari sini kita mendapatkan hubungannya

Pada persamaan perkiraan terakhir, semakin tinggi keakuratan perkiraannya, semakin kecil nilai D X.

Dari rumus di atas berikut rumus turunan fungsi SAYA(X):

Turunan integral tertentu terhadap batas atas di titik x sama dengan nilai integral di titik x. Oleh karena itu fungsinya merupakan antiturunan dari fungsi tersebut F(X), dan antiturunan yang tepat sasaran x = sebuah arti, sama dengan nol. Fakta ini memungkinkan untuk merepresentasikan integral tertentu dalam bentuk

. (1)

Membiarkan F(X) juga merupakan antiturunan dari fungsi tersebut F(X), maka dengan teorema tentang pandangan umum semua fungsi antiturunan SAYA(X) = F(X) + C, Di mana C- bukan angka. Pada saat yang sama sisi kanan rumus (1) berbentuk

SAYA(X) – SAYA(A) = F(X) + C– (F(A) +C) = F(X) – F(A). (2)

Dari rumus (1) dan (2) setelah penggantian X pada B mengikuti rumus untuk menghitung integral tertentu dari fungsi tersebut F(T) sepanjang interval [ A;B]:

yang biasa disebut rumus Newton-Leibniz. Di Sini F(X)- setiap fungsi antiturunan F(X).

Untuk menghitung integral tertentu suatu fungsi F(X) sepanjang interval [ A;B], Anda perlu menemukan antiturunan F(X) fungsi F(X) dan hitung selisih nilai antiturunan pada titik-titik tersebut B Dan A. Selisih antara nilai antiturunan ini biasanya dilambangkan dengan simbol , ᴛ.ᴇ. .

Mari kita berikan contoh penghitungan integral tertentu menggunakan rumus Newton-Leibniz.

Contoh 1. .

Saat menghitung integral tertentu, Anda dapat menggunakan rumus penggantian variabel:

Di Sini A Dan B ditentukan masing-masing dari persamaan J(A) = A; J(B) = B, dan fungsinya F,J, j¢ harus kontinu pada interval yang sesuai.

Contoh 2..

Ayo buat penggantinya: ln x = t atau x = e t, lalu jika x = 1, lalu t = 0, dan jika x = e, Itu t = 1. Hasilnya kita mendapatkan:

Namun, ketika menghitung integral tertentu dengan menggunakan perubahan variabel, tidak terlalu penting untuk kembali ke variabel integrasi sebelumnya. Cukup dengan memperkenalkan batas-batas integrasi yang baru.

Jika fungsi y = f(x) dapat diintegralkan pada interval , maka fungsi tersebut dapat diintegralkan pada interval yang lebih kecil, mis. untuk "xО ada integral

Agar tidak membingungkan penunjukan limit dan variabel integrasi, kami menyatakan variabel integrasi dengan t. Maka integral (4) dituliskan dalam bentuk Nilai integral tersebut adalah fungsi batas atas x dan dilambangkan dengan Ф(х):

. (5)

Fungsi Ф(х) dipanggil integral dengan batas atas variabel.

Mari kita perhatikan beberapa sifat dari fungsi Ф(х).

T.3.1.(kontinuitas fungsi (х))

Jika fungsi f(x) kontinu pada interval tersebut, maka fungsi Ф(x) juga kontinu pada interval tersebut.

T.3.2. (diferensiasi fungsi (х))

Jika fungsi f(x) kontinu pada interval tersebut, maka fungsi Ф(x) terdiferensiasi pada sembarang titik dalam x dari segmen ini, dan persamaannya benar

Konsekuensi

Jika fungsi f(x) kontinu pada interval tersebut, maka untuk fungsi tersebut terdapat antiturunan pada segmen ini, dan fungsi Ф(x) - integral dengan batas atas variabel - merupakan antiturunan untuk fungsi f(x).

Karena setiap antiturunan lain untuk fungsi f(x) berbeda dari Ф(x) hanya dengan suku konstan, kita dapat menetapkan hubungan antara integral tak tentu dan integral tertentu:

di mana C adalah konstanta sembarang.

Pertanyaan 4. Perhitungan integral tertentu. Rumus Newton-Leibniz

Perhitungan integral tertentu dengan metode yang didasarkan pada definisi integral sebagai limit jumlah integral biasanya dikaitkan dengan kesulitan besar. Ada metode yang lebih mudah untuk menghitung integral tertentu, yang didasarkan pada hubungan yang ada antara integral tak tentu dan integral tertentu.

T.4.1. Jika fungsi f(x) kontinu pada suatu interval dan F(x) merupakan antiturunan dari fungsi f(x) pada , maka rumus tersebut valid

. (6)

Rumus (6) disebut Rumus Newton–Leibniz.

Jika Anda memasukkan penunjukan maka rumus Newton-Leibniz (6) dapat ditulis ulang menjadi

Rumus Newton – Leibniz memberikan cara yang nyaman perhitungan integral tertentu. Untuk menghitung integral tentu, kita perlu mencari fungsi antiturunan F(x) untuk f(x) dan mengambil selisih F(b) ‒ F(a) pada ujung-ujung ruasnya.

Contoh

Soal 5. Perubahan variabel dan integrasi bagian-bagian dalam integral tertentu

Metode Penggantian Variabel

Saat menghitung integral tertentu, metode substitusi atau metode perubahan variabel banyak digunakan.

T.5.1. (perubahan variabel dalam integral tertentu)

Misalkan fungsi y = f(x) kontinu pada interval tersebut. Lalu jika:

1) fungsi x = j(t) dan turunannya x′ = j′(t) kontinu pada interval;

2) himpunan nilai fungsi x = j(t) adalah segmen ;

3) j(a) = a, j(b) = b,

maka itu adil rumus untuk mengubah suatu variabel dalam integral tertentu:

Komentar

1. Jika menghitung integral tertentu dengan metode substitusi, tidak perlu kembali ke variabel lama.

2. Seringkali, alih-alih substitusi x = j(t), digunakan substitusi t = g(x).

3. Bila menggunakan rumus, perlu dilakukan pengecekan pemenuhan syarat-syarat yang tercantum dalam teorema. Jika kondisi ini dilanggar, maka hasil yang salah dapat diperoleh.

Contoh. Menghitung

Integrasi berdasarkan bagian

T.5.2. (integrasi bagian-bagian dalam integral tertentu)

Jika fungsi u = u(x) dan v = v(x) mempunyai turunan kontinu pada interval , maka rumus integrasi bagian-bagian dalam integral tertentu:

Contoh. Hitung integral

Integral dengan batas atas variabel. Nilai integral tertentu tidak bergantung pada huruf apa yang dilambangkan dengan variabel integrasi: (untuk memverifikasi ini, cukup dengan menuliskan jumlah integralnya; mereka bertepatan). Pada bagian ini variabel integrasi akan dilambangkan dengan huruf T , dan surat itu X mari kita nyatakan batas atas integrasi. Kita asumsikan bahwa batas atas integral dapat berubah, yaitu. Apa X - variabel, alhasil integralnya adalah fungsi ( X ) dari batas atasnya: . Sangat mudah untuk membuktikan bahwa jika F (T ) dapat diintegrasikan, maka Ф( X ) kontinu, namun teorema dasar berikut ini lebih penting bagi kita:
Teorema integral dengan batas atas variabel. Jika fungsinya F (T ) kontinu di sekitar titik tersebut T = X , maka pada titik ini fungsi Ф( X ) terdiferensiasi, dan .
Dengan kata lain, turunan integral tertentu dari suatu fungsi kontinu terhadap batas atas sama dengan nilai integral pada batas tersebut.
Dokumen. Mari kita beri batas atas X peningkatan. Kemudian , Di mana C - suatu titik di antaranya X dan (keberadaan titik tersebut dinyatakan dengan teorema nilai rata-rata; bilangan di atas tanda sama dengan adalah bilangan dari sifat integral tertentu yang diterapkan). . Ayo bergegas. Pada saat yang sama ( C - titik yang terletak di antara X Dan ). Karena F (T ) kontinu pada titik tersebut T = X , Itu . Oleh karena itu ada , Dan . Teorema tersebut telah terbukti.

Mari kita perhatikan yang pertama konsekuensi penting teorema ini. Intinya, kami telah membuktikannya fungsi berkelanjutan F (X ) mempunyai antiturunan, dan antiturunan ini ditentukan oleh rumus

36. Rumus Newton-Leibniz.

Jika F (X ) kontinu pada interval [ A , B ], Dan F (X ) adalah antiturunan dari fungsi tersebut .
Dokter. Kami telah menetapkan bahwa fungsinya - antiturunan kontinu F (X ). Karena F (X ) juga antiturunan, maka Ф( X ) = F (X ) + C . Mari kita terapkan kesetaraan ini X = A . Karena , Itu . Dalam kesetaraan mari kita desain ulang variabelnya: untuk variabel integrasi T mari kita kembali ke notasi X , batas atas X mari kita tunjukkan B . Akhirnya, .
Selisih di sebelah kanan rumus Newton-Leibniz dilambangkan dengan simbol khusus: (di sini dibaca sebagai "substitusi dari A ke B "), sehingga rumus Newton-Leibniz biasanya ditulis seperti ini: .

37. Integrasi bagian-bagian dan perubahan variabel dalam integral tertentu.

Jika kamu(X) Dan ay(X) - dua fungsi yang ditentukan pada interval [ A, B] dan memiliki turunan kontinu di sana

Rumus (24) adalah rumus integrasi bagian integral tertentu.

Buktinya sangat sederhana. Tepat,

Karena menurut rumus integrasi per bagian akan menjadi

maka di sinilah (24) mengikuti.

Membiarkan F(zP, Q], A φ (X) adalah fungsi kontinu yang didefinisikan pada interval [ A, B], yang memiliki turunan kontinu di sana φ "(X) dan memenuhi ketimpangan P ≤ φ (X) ≤ Q.

Kalau begitu

Rumus (22) menyatakan aturan perubahan suatu variabel dalam integral tertentu. Mirip dengan aturan penggantian variabel pada integral tak tentu, namun berbeda dengan di sini tidak perlu kembali ke variabel lama, karena rumus (22) mewakili persamaan dua angka konstan. Perhatikan juga bahwa untuk integral tertentu, rumus ini menggantikan kedua jenis aturan substitusi dalam integral tak tentu; Hanya saja, saat mengamalkannya, terkadang harus membacanya dari kiri ke kanan, dan terkadang dari kanan ke kiri.

Pindah ke pembuktian teorema, kami menyatakan integral yang termasuk dalam ruas kiri dan kanan rumus (22), masing-masing, dengan SAYA singa dan SAYA Kanan

Membiarkan F(z) - fungsi antiturunan untuk F(z). Kemudian menurut rumus Newton-Leibniz/p>

SAYA hak = F[φ (B)] - F[φ (A)]. (23)

Adapun SAYA singa kalau begitu

Tapi menurut teorema itu akan terjadi

SAYA singa = F[φ (B)] - F[φ (A)].

Dari sini dan dari (23) berikut ini SAYA singa = SAYA Kanan

38. Integral fungsi genap, ganjil, dan periodik.

Teori 1. Misalkan f(x) dapat diintegralkan pada interval [-a,a] bahkan berfungsi:

Untuk membuktikannya, mari kita nyatakan integral asal sebagai penjumlahan dua integral:

Pernyataan itu terbukti.

Teori 2. Misalkan f(x) adalah fungsi ganjil yang dapat diintegralkan pada interval [-a,a]:

Teorema ini dibuktikan dengan cara yang sama:

tidak bergantung pada λ. Secara khusus,

Mari kita hitung turunannya terhadap λ dari ekspresi di sisi kanan persamaan ini:

Integral tak wajar

Integral tak wajar dengan batas integrasi tak terhingga

Kadang-kadang integral tak wajar juga disebut integral tak wajar jenis pertama. Secara umum, integral tak wajar dengan limit tak hingga paling sering terlihat seperti ini: . Apa bedanya dengan integral tertentu? Di batas atas. Tidak ada habisnya: .

Yang kurang umum adalah integral dengan satu atau dua batas bawah tak terhingga batas tak terbatas: .

Kami akan mempertimbangkan kasus yang paling populer. Teknik untuk mengerjakan varietas lain serupa, dan di akhir paragraf akan ada tautan ke contoh-contoh tersebut.

Apakah integral tak wajar selalu ada? Tidak, tidak selalu. Integran harus kontinu pada interval

Bantuan: sebenarnya, pernyataan tersebut salah: jika terdapat diskontinuitas dalam suatu fungsi, maka dalam beberapa kasus dimungkinkan untuk membagi setengah interval menjadi beberapa bagian dan menghitung beberapa integral tak wajar. Untuk mempermudah, selanjutnya saya akan mengatakan bahwa integral tak wajar tidak ada.

Mari kita gambarkan grafik fungsi integran pada gambar. Grafik tipikal dan trapesium lengkung untuk kasus ini terlihat seperti ini:

Semuanya baik-baik saja di sini, integran kontinu pada setengah interval, dan oleh karena itu, integral tak wajar ada. Harap dicatat bahwa trapesium melengkung kami adalah tak ada habisnya(tidak terbatas pada kanan) gambar.
Integral tak wajar secara numerik sama dengan luas gambar yang diarsir, ada dua kasus yang mungkin terjadi:

1) Pertama, pemikiran yang terlintas di benak: “karena bilangan itu tidak terhingga, maka ", dengan kata lain luasnya juga tidak terbatas. Mungkin saja demikian. Dalam hal ini dikatakan bahwa integral tak wajar divergen.

2) Tapi. Meski terdengar paradoks, luas bangun tak terhingga bisa sama dengan... nomor terbatas! Misalnya: . Mungkinkah ini benar? Dengan mudah. Dalam kasus kedua, integral tak wajar konvergen.

Dalam kasus apa integral tak wajar menyimpang dan dalam kasus apa integral tak wajar itu konvergen? Itu tergantung pada integran, dan contoh spesifik kami akan segera memeriksanya.

Apa yang terjadi jika trapesium lengkung tak hingga terletak di bawah sumbu? Dalam hal ini, integral tak wajar (divergen) atau sama dengan bilangan negatif berhingga.

Integral tak wajar dapat bernilai negatif.

Penting! Ketika integral tak wajar APAPUN ditawarkan kepada Anda untuk penyelesaian, maka, secara umum, tidak ada pembicaraan tentang bidang apa pun dan tidak perlu membuat gambar. Tugas Anda adalah mencari ANGKA atau membuktikan bahwa integral tak wajar divergen. Pengertian geometri integral tak wajar telah saya jelaskan hanya untuk memudahkan pemahaman materi.

Karena integral tak wajar sangat mirip dengan integral tentu, maka ingat kembali rumusnya Newton-Leibniz: . Faktanya, rumus tersebut juga berlaku untuk integral tak wajar, hanya perlu dimodifikasi sedikit. Apa bedanya? Pada batas atas integrasi yang tak terhingga: . Mungkin banyak yang menduga ini sudah berbau penerapan teori limit, dan rumusnya akan ditulis seperti ini: .

Biarkan fungsinya F(T) terdefinisi dan kontinu pada suatu interval yang memuat titik tersebut A. Lalu setiap nomor X dari interval ini kita dapat mencocokkan nomornya,

dengan demikian menentukan interval fungsinya SAYA(X), yang disebut integral tertentu dengan batas atas variabel. Perhatikan itu pada intinya x = sebuah fungsi ini sama dengan nol. Mari kita hitung turunan fungsi ini di titik X. Untuk melakukan ini, pertama-tama pertimbangkan kenaikan fungsi pada titik tersebut X saat menambah argumen D X:

D SAYA(X) = SAYA(x+ D X) – SAYA(X) =

Seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 4, nilai integral terakhir dalam rumus kenaikan D SAYA(X) sama dengan luasnya trapesium melengkung, ditandai dengan bayangan. Pada nilai D yang kecil X(di sini, seperti di bagian lain kursus ini, ketika berbicara tentang pertambahan kecil suatu argumen atau fungsi, yang kami maksud adalah besaran absolut dari pertambahan tersebut, karena pertambahan itu sendiri bisa positif dan negatif) luas ini kira-kira sama dengan luas persegi panjang yang ditandai pada gambar yang diarsir ganda. Luas persegi panjang diberikan oleh rumus F(X)D X. Dari sini kita mendapatkan hubungannya

Pada persamaan perkiraan terakhir, semakin tinggi keakuratan perkiraannya, semakin kecil nilai D X.

Dari rumus di atas berikut rumus turunan fungsi SAYA(X):

Turunan integral tertentu terhadap batas atas di titik x sama dengan nilai integral di titik x. Oleh karena itu fungsinya merupakan antiturunan dari fungsi tersebut F(X), dan antiturunan yang tepat sasaran x = sebuah nilainya sama dengan nol. Fakta ini memungkinkan untuk merepresentasikan integral tertentu dalam bentuk

. (1)

Membiarkan F(X) juga merupakan antiturunan dari fungsi tersebut F(X), kemudian dengan teorema bentuk umum semua antiturunan fungsi SAYA(X) = F(X) + C, Di mana C- nomor tertentu. Dalam hal ini, ruas kanan rumus (1) berbentuk

SAYA(X) – SAYA(A) = F(X) + C– (F(A) +C) = F(X) – F(A). (2)

Dari rumus (1) dan (2) setelah penggantian X pada B mengikuti rumus untuk menghitung integral tertentu dari fungsi tersebut F(T) sepanjang interval [ A;B]:

yang disebut Rumus Newton-Leibniz. Di Sini F(X)- antiturunan apa pun dari suatu fungsi F(X).

Perubahan variabel dalam integral tertentu. Saat menghitung integral tertentu menggunakan rumus Newton-Leibniz, sebaiknya tidak membedakan secara tegas tahapan penyelesaian masalah (mencari antiturunan dari integran, mencari pertambahan antiturunan). Pendekatan ini, yang khususnya menggunakan rumus perubahan variabel dan integrasi bagian-bagian untuk integral tertentu, biasanya menyederhanakan penulisan penyelesaian.

DALIL. Misalkan fungsi φ(t) mempunyai turunan kontinu pada interval [α,β], a=φ(α), β=φ(β) dan fungsi f(x) kontinu di setiap titik x dalam bentuk x =φ(t), dimana t [α,β].

Maka persamaan berikut ini benar:

Rumus ini disebut rumus perubahan variabel dalam integral tertentu.

Seperti halnya integral tak tentu, penggunaan perubahan variabel memungkinkan kita menyederhanakan integral, mendekatkannya ke integral tabel. Selain itu, berbeda dengan integral tak tentu di dalam hal ini tidak perlu kembali ke variabel integrasi asli. Cukup mencari limit integrasi α dan β pada variabel baru t sebagai solusi variabel t persamaan φ(t)=a dan φ(t)=b. Dalam praktiknya, saat melakukan penggantian variabel, mereka sering kali memulai dengan menunjukkan ekspresi t=ψ(x) dari variabel baru ke dalam variabel lama. Dalam hal ini, mencari limit integrasi variabel t disederhanakan: α=ψ(a), β=ψ(b).

Contoh 19. Hitung

Misalkan t=2-x 2. Maka dt=d(2-x 2)=(2-x 2)"dx=-2xdx dan xdx=- dt. Jika x=0, maka t=2-0 2 =2, dan jika x=1, maka t=2-1 2 =1.

Integrasi berdasarkan bagian. Metode integrasi per bagian memungkinkan kita memperkecil aslinya integral tak tentu ke lebih banyak lagi tampilan sederhana atau ke integral tabel. Metode ini paling sering digunakan jika integran berisi logaritma, eksponensial, invers trigonometri, fungsi trigonometri, serta kombinasinya.

Rumus integrasi bagian adalah sebagai berikut.

Yaitu, integrand f(x)dx merepresentasikannya sebagai produk dari fungsi tersebut kamu(x) pada d(v(x))- fungsi diferensial v(x). Selanjutnya kita temukan fungsinya v(x)(paling sering dengan metode integrasi langsung) Dan d(kamu(x))- fungsi diferensial kamu(x). Kami mengganti ekspresi yang ditemukan ke dalam rumus integrasi per bagian dan integral tak tentu asli direduksi menjadi selisihnya . Integral tak tentu terakhir dapat diambil dengan menggunakan metode integrasi apa saja, termasuk metode integrasi bagian.