Integral pasti sebagai fungsi dari atas. Integrasi berdasarkan bagian

Belum ada versi HTML dari karya tersebut.

Dokumen serupa

Diperlukan dan kondisi cukup adanya integral tertentu. Persamaan integral tertentu dari jumlah aljabar (selisih) dua fungsi. Teorema nilai rata-rata – akibat wajar dan bukti. Arti geometris integral tertentu.

presentasi, ditambahkan 18/09/2013


Mempelajari konsep jumlah integral. Batas atas dan bawah integrasi. Analisis sifat-sifat integral tertentu. Bukti teorema nilai rata-rata. Perubahan variabel dalam integral tertentu. Turunan integral terhadap batas atas variabel.

presentasi, ditambahkan 04/11/2013


Pengenalan konsep dan sifat dasar integral tertentu. Penyajian rumus menghitung jumlah integral fungsi y=f(x) pada ruas [a, b]. Integralnya sama dengan nol, asalkan batas bawah dan atas integrasinya sama.

presentasi, ditambahkan 18/09/2013


Masalah yang mengarah pada konsep integral tertentu. Integral pasti, sebagai limit dari jumlah integral. Hubungan antara integral tertentu dan integral tak tentu. Rumus Newton-Leibniz. Geometris dan pengertian mekanis integral tertentu.

abstrak, ditambahkan 30/10/2010


Metode integrasi pada zaman dahulu. Konsep fungsi antiturunan. Teorema utama kalkulus integral. Sifat-sifat integral tak tentu dan pasti serta metode penghitungannya, konstanta sembarang. Tabel integral fungsi dasar.

presentasi, ditambahkan 09/11/2011


Konsep fungsi antiturunan, teorema antiturunan. Integral tak tentu, sifat-sifatnya dan tabelnya. Konsep integral tertentu, makna geometrinya, dan sifat-sifat dasarnya. Turunan dari integral tertentu dan rumus Newton-Leibniz.

tugas kursus, ditambahkan 21/10/2011


Konsep dan sifat fungsi reflektif. Integral pertama dari sistem diferensial dan kondisi keberadaan. Kondisi gangguan sistem diferensial, yang tidak mengubah simetri waktu. Penentuan hubungan antara sistem integral pertama dan sistem ekuivalennya.

tugas kursus, ditambahkan 21/08/2009


Konsep dan kajian fungsi sumbu relatif genap, ganjil, dan simetris. Konsep interval tanda konstan. Cembung dan cekung, titik belok. Vertikal dan asimtot miring. Setidaknya dan nilai tertinggi fungsi dan integral.

kerja praktek, ditambahkan 25/03/2011


Fungsi satu variabel independen. Properti batas. Fungsi turunan dan diferensial, penerapannya dalam pemecahan masalah. Konsep antiturunan. Rumus Newton-Leibniz. Metode perkiraan untuk menghitung integral tertentu. Teorema nilai rata-rata.

catatan pelajaran, ditambahkan 23/10/2013


Konsep umum urutan nomor. Batas suatu fungsi pada suatu titik. Fungsi yang sangat besar dan kecil. Hubungan antara suatu fungsi, limitnya, dan tak terhingga fungsi kecil. Tanda-tanda adanya batasan. Teorema dasar tentang limit: uraian singkat.

Biarkan fungsinya F(T) terdefinisi dan kontinu pada suatu interval yang memuat titik tersebut A. Lalu setiap nomor X dari interval ini Anda dapat mencocokkan nomornya ,

dengan demikian menentukan interval fungsinya SAYA(X), yang biasa disebut integral tentu dengan batas atas variabel. Perhatikan itu pada intinya x = sebuah fungsi ini sama dengan nol. Mari kita hitung turunan fungsi ini di titik X. Untuk melakukan ini, pertama-tama pertimbangkan kenaikan fungsi pada titik tersebut X saat menambah argumen D X:

D SAYA(X) = SAYA(x+ D X) – SAYA(X) =

.

Seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 4, nilai integral terakhir dalam rumus kenaikan D SAYA(X) sama dengan luas trapesium lengkung yang ditandai dengan arsiran. Pada nilai D yang kecil X(di sini, seperti di bagian lain dalam kursus ini, ketika berbicara tentang peningkatan kecil dalam suatu argumen atau fungsi, yang kami maksud adalah nilai absolut pertambahan, karena pertambahan itu sendiri bisa positif dan negatif), luas ini kira-kira sama dengan luas persegi panjang yang ditandai pada gambar dengan arsiran ganda. Luas persegi panjang diberikan oleh rumus F(X)D X. Dari sini kita mendapatkan hubungannya

.

Pada persamaan perkiraan terakhir, semakin tinggi keakuratan perkiraannya, semakin kecil nilai D X.

Dari rumus di atas berikut rumus turunan fungsi SAYA(X):

.

Turunan integral tertentu terhadap batas atas di titik x sama dengan nilai integral di titik x. Oleh karena itu fungsinya merupakan antiturunan dari fungsi tersebut F(X), dan antiturunan yang tepat sasaran x = sebuah arti, sama dengan nol. Fakta ini memungkinkan untuk merepresentasikan integral tertentu dalam bentuk

. (1)

Membiarkan F(X) juga merupakan antiturunan dari fungsi tersebut F(X), maka dengan teorema tentang pandangan umum semua fungsi antiturunan SAYA(X) = F(X) + C, Di mana C- bukan angka. Di mana bagian kanan rumus (1) berbentuk

SAYA(X) – SAYA(A) = F(X) + C– (F(A) +C) = F(X) – F(A). (2)

Dari rumus (1) dan (2) setelah penggantian X pada B mengikuti rumus untuk menghitung integral tertentu dari fungsi tersebut F(T) sepanjang interval [ A;B]:

,

yang biasa disebut rumus Newton-Leibniz. Di Sini F(X)- setiap fungsi antiturunan F(X).

Untuk menghitung integral tertentu suatu fungsi F(X) sepanjang interval [ A;B], Anda perlu menemukan antiturunan F(X) fungsi F(X) dan hitung selisih antara nilai antiturunan pada titik-titik tersebut B Dan A. Selisih antara nilai antiturunan ini biasanya dilambangkan dengan simbol , ᴛ.ᴇ. .

Mari kita berikan contoh penghitungan integral tertentu menggunakan rumus Newton-Leibniz.

Contoh 1. .

Saat menghitung integral tertentu, Anda dapat menggunakan rumus penggantian variabel:

.

Di Sini A Dan B ditentukan masing-masing dari persamaan J(A) = A; J(B) = B, dan fungsinya F,J, j¢ harus kontinu pada interval yang sesuai.

Contoh 2..

Ayo buat penggantinya: ln x = t atau x = e t, lalu jika x = 1, lalu t = 0, dan jika x = e, Itu t = 1. Hasilnya kita mendapatkan:

.

Namun, ketika menghitung integral tertentu dengan menggunakan perubahan variabel, tidak terlalu penting untuk kembali ke variabel integrasi sebelumnya. Cukup dengan memperkenalkan batas-batas integrasi yang baru.

Biarkan fungsinya F(T) terdefinisi dan kontinu pada suatu interval yang memuat titik tersebut A. Lalu setiap nomor X dari interval ini Anda dapat mencocokkan nomornya

SAYA(X) = SAYA(x+X) – SAYA(X) =

Seperti terlihat pada Gambar 23, nilai integral terakhir pada rumus kenaikan  SAYA(X) sama dengan luasnya trapesium melengkung, ditandai dengan bayangan. Pada nilai kecil  X(di sini, seperti di bagian lain kursus ini, ketika berbicara tentang pertambahan kecil suatu argumen atau fungsi, yang kami maksud adalah besaran absolut dari pertambahan tersebut, karena pertambahan itu sendiri bisa positif atau negatif) luas ini kira-kira sama dengan luas dari persegi panjang yang ditandai pada gambar dengan arsiran ganda. Luas persegi panjang diberikan oleh rumus F(X)X. Dari sini kita mendapatkan hubungannya

.

Pada persamaan perkiraan terakhir, semakin tinggi keakuratan perkiraannya, semakin kecil nilainya  X.

Dari rumus di atas berikut rumus turunan fungsi SAYA(X):

.

Turunan integral tertentu terhadap batas atas pada suatu titikX sama dengan nilai integran di titik tersebutX. Oleh karena itu fungsinya
merupakan antiturunan dari fungsi tersebut F(X), dan antiturunan yang tepat sasaran x = sebuah nilainya sama dengan nol. Fakta ini memungkinkan untuk merepresentasikan integral tertentu dalam bentuk

. (9)

Membiarkan F(X) juga merupakan antiturunan dari fungsi tersebut F(X), kemudian dengan teorema bentuk umum semua antiturunan fungsi SAYA(X) = F(X) + C, Di mana C- nomor tertentu. Dalam hal ini, ruas kanan rumus (9) berbentuk

SAYA(X) – SAYA(A) = F(X) + C– (F(A) +C) = F(X) – F(A). (10)

Dari rumus (9) dan (10) setelah penggantian X pada B mengikuti rumus untuk menghitung integral tertentu dari fungsi tersebut F(T) sepanjang interval [ A;B]:

,

yang disebut rumus Newton-Leibniz. Di Sini F(X)- antiturunan apa pun dari suatu fungsi F(X).

Untuk menghitung integral tertentu suatu fungsi F(X) sepanjang interval [ A;B], Anda perlu menemukan antiturunan F(X) fungsi F(X) dan hitung selisih antara nilai antiturunan pada titik-titik tersebut B Dan A. Selisih antara nilai antiturunan ini biasanya dilambangkan dengan simbol .

Mari kita berikan contoh penghitungan integral tertentu menggunakan rumus Newton-Leibniz.

Contoh. 1.
.

2.
.

Pertama, mari kita hitung integral tak tentu dari fungsi tersebut F(X) = xe X. Dengan menggunakan metode integrasi per bagian, kita memperoleh:
. Sebagai fungsi antiturunan F(X) pilih fungsi e X (X– 1) dan terapkan rumus Newton-Leibniz:

saya = e X (X – 1)= 1.

Saat menghitung integral tertentu, Anda dapat menggunakan rumus untuk mengubah suatu variabel dalam integral tertentu:

.

Di Sini  Dan  ditentukan masing-masing dari persamaan  ( ) = A;  ( ) = B, dan fungsinya F,  ,  harus kontinu pada interval yang sesuai.

Contoh:
.

Ayo buat penggantinya: ln x = t atau x = e T, lalu jika x = 1, lalu t = 0, dan jika x = e, Itu t = 1. Hasilnya kita mendapatkan:

.

Saat mengubah suatu variabel dalam integral tertentu, Anda tidak perlu kembali ke variabel integrasi aslinya.

Integral dengan batas atas variabel. Nilai integral tertentu tidak bergantung pada huruf apa yang dilambangkan dengan variabel integrasi: (untuk memverifikasi ini, cukup dengan menuliskan jumlah integralnya; mereka bertepatan). Di bagian ini variabel integrasi kami akan menunjukkannya dengan huruf T , dan surat itu X mari kita nyatakan batas atas integrasi. Kita asumsikan bahwa batas atas integral dapat berubah, yaitu. Apa X - variabel, alhasil integralnya adalah fungsi ( X ) miliknya batas atas: . Mudah untuk membuktikannya jika F (T ) dapat diintegrasikan, maka Ф( X ) kontinu, namun teorema dasar berikut ini lebih penting bagi kita:
Teorema integral dengan batas atas variabel. Jika fungsinya F (T ) kontinu di sekitar titik tersebut T = X , maka pada titik ini fungsi Ф( X ) terdiferensiasi, dan .
Dengan kata lain, turunan integral tertentu suatu fungsi kontinu terhadap batas atas sama dengan nilai integral pada batas tersebut.
Dokumen. Mari kita beri batas atas X peningkatan. Kemudian , Di mana C - suatu titik di antaranya X dan (keberadaan titik tersebut dinyatakan dengan teorema nilai rata-rata; bilangan di atas tanda sama dengan adalah bilangan sifat integral tertentu yang diterapkan). . Ayo bergegas. Di mana ( C - titik yang terletak di antara X Dan ). Karena F (T ) kontinu pada titik tersebut T = X , Itu . Oleh karena itu ada , Dan . Teorema tersebut telah terbukti.

Mari kita perhatikan yang pertama konsekuensi penting teorema ini. Intinya, kami telah membuktikannya fungsi berkelanjutan F (X ) mempunyai antiturunan, dan antiturunan ini ditentukan oleh rumus

36. Rumus Newton-Leibniz.

Jika F (X ) kontinu pada interval [ A , B ], Dan F (X ) adalah antiturunan dari fungsi tersebut .
Dokter. Kami telah menetapkan bahwa fungsinya - antiturunan kontinu F (X ). Karena F (X ) juga antiturunan, maka Ф( X ) = F (X ) + C . Mari kita terapkan kesetaraan ini X = A . Karena , Itu . Dalam kesetaraan mari kita desain ulang variabelnya: untuk variabel integrasi T mari kita kembali ke notasi X , batas atas X mari kita tunjukkan B . Akhirnya, .
Selisih di sebelah kanan rumus Newton-Leibniz dilambangkan dengan simbol khusus: (di sini dibaca sebagai "substitusi dari A sebelum B "), sehingga rumus Newton-Leibniz biasanya ditulis seperti ini: .

37. Integrasi bagian-bagian dan perubahan variabel dalam integral tertentu.

Jika kamu(X) Dan ay(X) - dua fungsi yang ditentukan pada interval [ A, B] dan memiliki turunan kontinu di sana

Rumus (24) adalah rumus integrasi bagian integral tertentu.

Buktinya sangat sederhana. Tepat,

Karena menurut rumus integrasi per bagian akan menjadi

maka di sinilah (24) mengikuti.

Membiarkan F(zP, Q], A φ (X) adalah fungsi kontinu yang didefinisikan pada interval [ A, B], yang memiliki turunan kontinu di sana φ "(X) dan memenuhi ketimpangan P ≤ φ (X) ≤ Q.

Pada kasus ini

Rumus (22) menyatakan aturan perubahan suatu variabel dalam integral tertentu. Ini mirip dengan aturan penggantian variabel dalam integral tak tentu, tetapi berbeda dari aturan ini karena tidak perlu kembali ke variabel lama, karena rumus (22) mewakili persamaan dua bilangan konstan. Perhatikan juga bahwa untuk integral tertentu, rumus ini menggantikan kedua jenis aturan substitusi dalam integral tak tentu; Hanya saja, saat mengamalkannya, terkadang harus membacanya dari kiri ke kanan, dan terkadang dari kanan ke kiri.

Pindah ke pembuktian teorema, kami menyatakan integral yang termasuk dalam ruas kiri dan kanan rumus (22), masing-masing, dengan SAYA singa dan SAYA Kanan

Membiarkan F(z) adalah fungsi antiturunan untuk F(z). Kemudian menurut rumus Newton-Leibniz/p>

SAYA hak = F[φ (B)] - F[φ (A)]. (23)

Adapun SAYA singa kalau begitu

Tapi menurut teorema itu akan terjadi

SAYA singa = F[φ (B)] - F[φ (A)].

Dari sini dan dari (23) berikut ini SAYA singa = SAYA Kanan

38. Integral fungsi genap, ganjil, dan periodik.

Teori 1. Misalkan f(x) dapat diintegralkan pada interval [-a,a] bahkan berfungsi:

Untuk membuktikannya, mari kita nyatakan integral asal sebagai penjumlahan dua integral:

Pernyataan tersebut terbukti.

Teori 2. Misalkan f(x) adalah fungsi ganjil yang dapat diintegralkan pada interval [-a,a]:

Teorema ini dibuktikan dengan cara yang sama:

tidak bergantung pada λ. Secara khusus,

Mari kita hitung turunannya terhadap λ dari ekspresi di sisi kanan persamaan ini:

Integral tak wajar

Integral tak wajar dengan batas integrasi tak terhingga

Kadang-kadang integral tak wajar juga disebut integral tak wajar jenis pertama. Secara umum, integral tak wajar dengan limit tak hingga paling sering terlihat seperti ini: . Apa bedanya dengan integral tertentu? Di batas atas. Tidak ada habisnya: .

Yang kurang umum adalah integral dengan satu atau dua batas bawah tak terhingga batas tak terbatas: .

Kami akan mempertimbangkan kasus yang paling populer. Teknik untuk mengerjakan varietas lain serupa, dan di akhir paragraf akan ada tautan ke contoh-contoh tersebut.

Apakah integral tak wajar selalu ada? Tidak, tidak selalu. Integran harus kontinu pada interval

Bantuan: sebenarnya, pernyataan tersebut salah: jika terdapat diskontinuitas dalam suatu fungsi, maka dalam beberapa kasus dimungkinkan untuk membagi setengah interval menjadi beberapa bagian dan menghitung beberapa integral tak wajar. Untuk mempermudah, selanjutnya saya akan mengatakan bahwa integral tak wajar tidak ada.

Mari kita gambarkan grafik fungsi integran pada gambar. Grafik tipikal dan trapesium lengkung untuk kasus ini terlihat seperti itu:

Semuanya baik-baik saja di sini, integran kontinu pada setengah interval, dan oleh karena itu, integral tak wajar ada. Harap dicatat bahwa trapesium melengkung kami adalah tak ada habisnya(tidak terbatas pada kanan) gambar.
Integral tak wajar secara numerik sama dengan luas gambar yang diarsir, ada dua kasus yang mungkin terjadi:

1) Pertama, pemikiran yang terlintas di benak: “karena bilangan itu tidak terhingga, maka ", dengan kata lain luasnya juga tidak terbatas. Mungkin saja demikian. Dalam hal ini dikatakan bahwa integral tak wajar divergen.

2) Tapi. Meski terdengar paradoks, luas suatu bangun tak terhingga bisa sama dengan... bilangan berhingga! Misalnya: . Mungkinkah ini benar? Dengan mudah. Dalam kasus kedua, integral tak wajar konvergen.

Dalam kasus apa integral tak wajar menyimpang dan dalam kasus apa integral tak wajar itu konvergen? Itu tergantung pada integran, dan contoh spesifik kami akan segera memeriksanya.

Apa yang terjadi jika trapesium lengkung tak hingga terletak di bawah sumbu? Dalam hal ini, integral tak wajar (divergen) atau sama dengan bilangan negatif berhingga.

Integral tak wajar dapat bernilai negatif.

Penting! Ketika integral tak wajar APA PUN ditawarkan kepada Anda untuk penyelesaian, maka, secara umum, tidak ada pembicaraan tentang bidang apa pun dan tidak perlu membuat gambar. Tugas Anda adalah mencari ANGKA atau membuktikan bahwa integral tak wajar divergen. Pengertian geometri integral tak wajar saya jelaskan hanya untuk memudahkan pemahaman materi.

Karena integral tak wajar sangat mirip dengan integral tertentu, maka ingat kembali rumusnya Newton-Leibniz: . Faktanya, rumus tersebut juga berlaku untuk integral tak wajar, hanya perlu dimodifikasi sedikit. Apa bedanya? Pada batas atas integrasi yang tak terhingga: . Mungkin banyak yang menduga ini sudah berbau penerapan teori limit, dan rumusnya akan ditulis seperti ini: .

Pada perkuliahan hari ini kita akan melanjutkan mempelajari integral tentu dan memperoleh rumus untuk menghitungnya. Seperti yang akan kita lihat nanti, integral tertentu sama dengan pertambahan antiturunan, dan mewakili angka konstan, sama dengan luas trapesium lengkung. Oleh karena itu, semua metode penghitungan integral tak tentu juga berlaku untuk integral tertentu.

Soal 1. Sifat-sifat dasar integral tertentu

Integral

diperkenalkan untuk kasus a< b. Обобщим понятие определенного интеграла на случай, когда пределы интегрирования совпадают или нижний предел больше верхнего.

Properti 1. .

Rumus ini diperoleh dari (1) dengan syarat semua Δx i = 0.

Properti 2. .

Rumus ini diperoleh dari (1) dengan syarat ruas tersebut dijalankan dalam arah yang berlawanan (dari b ke a), yaitu. semua Δx saya< 0.

Properti 3. (properti aditif)

Jika fungsi f(x) dapat diintegralkan pada suatu interval dan a< c < b, то

. (2)

Persamaan (2) berlaku untuk sembarang lokasi titik a, b dan c (kita asumsikan bahwa fungsi f(x) dapat diintegralkan pada segmen hasil yang lebih besar).

Properti 4.

Pengganda konstan dapat diambil sebagai tanda integral tertentu, yaitu.

,

dimana k = konstanta.

Properti 5.

Integral pasti dari jumlah aljabar dua fungsi adalah sama dengan jumlah aljabar integral dari fungsi-fungsi ini, yaitu.

.

Komentar

1. Properti 5 berlaku untuk jumlah berapa pun nomor terbatas ketentuan.
2. Properti 4 dan 5 bersama-sama mewakili properti linearitas integral tertentu.

Soal 2. Estimasi integral. Teorema nilai rata-rata

1. Jika fungsi f(x) ≥ 0 dimanapun pada interval tersebut, maka .

2. Jika f(x) ≥ g(x) di semua titik pada interval, maka .

3. Untuk fungsi f(x) yang terdefinisi pada interval , pertidaksamaan tetap berlaku .

Khususnya, jika di mana-mana pada interval tersebut Dan .

4. Jika m dan M masing-masing merupakan nilai terkecil dan terbesar dari fungsi f(x) pada ruas , maka .

T.2.1. (teorema nilai rata-rata))

Jika fungsi f(x) kontinu pada ruas tersebut, maka pada ruas tersebut terdapat titik c sedemikian rupa sehingga

. (3)

Kesetaraan (3) disebut rumus nilai rata-rata, dan nilai f(c) dipanggil nilai rata-rata fungsi tersebut f(x) pada segmen tersebut.

Soal 3: Integral pasti sebagai fungsi batas atas

Jika fungsi y = f(x) dapat diintegralkan pada interval , maka fungsi tersebut dapat diintegralkan pada interval yang lebih kecil, mis. untuk "xО ada integral

Agar tidak membingungkan penunjukan limit dan variabel integrasi, kami menyatakan variabel integrasi dengan t. Kemudian integral (4) ditulis dalam bentuk. Nilai integral tersebut merupakan fungsi dari batas atas x dan dinotasikan dengan Ф(x):

. (5)

Fungsi Ф(х) dipanggil integral dengan batas atas variabel.

Mari kita perhatikan beberapa sifat fungsi Ф(х).

T.3.1.(kontinuitas fungsi (х))

Jika fungsi f(x) kontinu pada interval tersebut, maka fungsi Ф(x) juga kontinu pada interval tersebut.

T.3.2.(diferensiasi fungsi (х))

Jika fungsi f(x) kontinu pada interval tersebut, maka fungsi Ф(x) terdiferensiasi pada sembarang titik dalam x dari segmen ini, dan persamaannya benar

.

Konsekuensi

Jika fungsi f(x) kontinu pada interval tersebut, maka untuk fungsi tersebut terdapat antiturunan pada segmen ini, dan fungsi Ф(x) - integral dengan batas atas variabel - merupakan antiturunan untuk fungsi f(x).

Karena setiap antiturunan lain untuk fungsi f(x) berbeda dari Ф(x) hanya dengan suku konstan, kita dapat menetapkan