1)
Mari kita bahas matriks riil terlebih dahulu. Misalkan akar diekstraksi dari matriks $%A$%, mis. ada matriks $%B$% sehingga $%B \cdot B=A$%. Mari kita asumsikan juga bahwa matriks $%B$% dapat direduksi menjadi bentuk diagonal, yaitu. terdapat matriks $%S$% sehingga $%S^(-1)BS=B"$%, dimana $%B"$% adalah matriks diagonal. Dari persamaan $%B"B"=S^(-1)BSS^(-1)BS=S^(-1)BBS=S^(-1)AS$% maka $%A"=S ^ (-1)AS$% juga merupakan matriks diagonal, yaitu matriks $%A$% dan $%B$% direduksi menjadi bentuk diagonal dengan transformasi yang sama. nilai eigen tidak diarsir, maka kesimpulan berikut mengikuti alasan di atas.
1.1)Jika matriks $%A$% merupakan matriks definit positif simetris, maka akarnya diekstraksi dalam bentuk matriks real.
1.2) Algoritma untuk menghitung akar dari matriks tersebut adalah sebagai berikut: selesaikan masalah nilai eigen, ekstrak akar dari nilai eigen, buat matriks diagonal darinya, terapkan transformasi invers ke transformasi yang mengubah matriks tersebut $%A$% ke bentuk diagonal.
1.3) Banyaknya matriks berbeda $%B$% sama dengan $%2^n$%, karena Untuk setiap nilai eigen terdapat 2 nilai akar - positif dan negatif.
2) Untuk matriks yang kompleks, alasannya akan tetap valid jika kita mengganti simetri dengan kesatuan. Persyaratan kepastian positif dengan sendirinya akan dihilangkan.
3)
Solusi untuk kasus umum. Mari kita asumsikan bahwa transformasi $%S$% membawa matriks $%B$% bukan ke diagonal, tetapi ke bentuk segitiga atas, yaitu. matriks $%B"$% berbentuk segitiga atas. Transformasi seperti itu ada untuk semua matriks persegi. Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa matriks $%A"$% juga akan menjadi segitiga atas, dan elemen diagonal dari matriks $%A"$% akan menjadi kuadrat dari elemen diagonal yang bersesuaian dari matriks $% B"$%. Hal ini memungkinkan kita menemukan semua elemen diagonal dari matriks $ %B"$% dengan mengekstraksi akar elemen diagonal dari matriks $%A"$%, dan kemudian di sepanjang rantai temukan semua elemen lainnya elemen matriks $%B"$%. Hal ini mengarah pada kesimpulan berikut.
3.1) Akar diekstraksi dari matriks kompleks apa pun, in kasus umum akar tersebut adalah $%2^n$%, tetapi di antara akar tersebut mungkin ada (beberapa) yang bertepatan.
3.2) Algoritma penghitungan akar adalah sebagai berikut: ubah matriks $%A$% menjadi bentuk segitiga atas, cari matriks $%B"$% menggunakan algoritma yang telah dirumuskan dan lakukan transformasi invers.
3.3) Diperlukan dan kondisi cukup realitas akar-akar matriks riil adalah unsur-unsur diagonal yang tidak negatif setelah matriks diubah menjadi bentuk segitiga. Non-negatif dari determinan merupakan kondisi yang diperlukan tetapi tidak cukup.
Tambahan 1 (membalas komentar). Maksud Anda "pandangan segitiga". Secara umum, dalam paragraf. 1, 2, semuanya sudah jelas, tetapi poin 3 tampaknya perlu dipikirkan lebih lanjut. Intinya adalah metode Gaussian tidak boleh direduksi menjadi transformasi $%S^(-1)AS$%, dan pembuktiannya didasarkan pada ini. Itu. pembuktiannya hanya berlaku untuk matriks yang dapat direduksi menjadi bentuk segitiga dengan transformasi $%S^(-1)AS$%.
Tambahan 2. Nampaknya pada paragraf 3 secara umum semuanya sudah benar, Anda hanya perlu menggunakan transformasi matriks $%A$% ke bentuk Jordan - untuk transformasi ini selalu ada matriks yang diperoleh dari penyelesaian masalah nilai eigen. Soalnya kuadrat matriks Jordan bukanlah matriks Jordan (walaupun berbentuk segitiga bahkan bidiagonal). Pembenaran yang ketat terhadap algoritme memerlukan bukti teorema berikut: “Jika $%A"=B"^2$% dan $%A"$% adalah matriks Jordan, maka $%B"$%- matriks segitiga". Pernyataan itu sepertinya benar, tapi saya belum tahu bagaimana membuktikannya.
Menggunakan matriks kalkulator daring bisakah kamu melipat, mengurangi, berkembang biak, mengubah urutan matriks, hitung balik matriks, kebalikan semu matriks, pangkat matriks, penentu matriks, m-norma dan l-norma matriks, menaikkan matriks ke kekuasaan, mengalikan matriks dengan angka, Mengerjakan dekomposisi kerangka matriks, menghapus baris-baris yang bergantung linier dari suatu matriks atau kolom bergantung linier, mengadakan Pengecualian Gaussian, selesaikan persamaan matriks AX=B, melakukan dekomposisi LU suatu matriks,menghitung kernel (spasi nol) dari suatu matriks, Mengerjakan Ortogonalisasi Gram-Schmidt dan ortonormalisasi Gram-Schmidt.
Kalkulator matriks online tidak hanya berfungsi dengan bilangan desimal, tetapi juga dengan pecahan. Untuk memasukkan pecahan, Anda perlu memasukkan matriks asli dan memasukkan angka ke dalam formulir A atau A/B, Di mana A Dan B utuh atau angka desimal (B angka positif). Misalnya 12/67, -67.78/7.54, 327.6, -565.
Tombol di sudut kiri atas matriks membuka menu (Gbr. 1) untuk mengubah matriks asli (membuat matriks satuan, matriks nol, atau membersihkan isi sel).
Selama penghitungan, sel kosong diperlakukan sebagai nol.
Untuk operasi matriks tunggal (yaitu transpos, invers, pseudo-invers, dekomposisi kerangka, dll.), pertama-tama pilih matriks tertentu menggunakan tombol radio.
Tombol Fn1, Fn2 dan Fn3 beralih kelompok yang berbeda fungsi.
Dengan mengklik matriks yang dihitung, sebuah menu terbuka (Gbr. 2), yang memungkinkan Anda menulis matriks ini menjadi matriks asal dan , dan juga mengubah elemen matriks pada tempatnya menjadi pecahan biasa, pecahan campuran atau ke angka desimal.
Hitung jumlah, selisih, hasil kali matriks secara online
jumlah, selisih, atau hasil kali matriks. Untuk menghitung jumlah atau selisih matriks, matriks harus berdimensi sama, dan untuk menghitung hasil kali matriks, jumlah kolom matriks pertama harus sama dengan jumlah baris matriks kedua.
Untuk menghitung jumlah, selisih, atau hasil kali matriks:
Perhitungan invers matriks online
Kalkulator matriks online dapat digunakan untuk menghitung matriks invers. Agar matriks invers ada, matriks aslinya harus berupa matriks persegi non-tunggal.
Untuk menghitung matriks invers:
Untuk perhitungan rinci matriks invers langkah demi langkah, gunakan kalkulator ini untuk menghitung matriks invers. Lihat teori penghitungan matriks invers.
Menghitung determinan suatu matriks secara online
Anda dapat menggunakan kalkulator matriks online untuk menghitung determinan suatu matriks. Agar determinan matriks ada, matriks aslinya harus berupa matriks persegi tak tunggal.
Untuk menghitung determinan suatu matriks:
Untuk perhitungan detail determinan suatu matriks langkah demi langkah, gunakan kalkulator ini untuk menghitung determinan suatu matriks. Lihat teori penghitungan determinan suatu matriks.
Hitung peringkat matriks secara online
Kalkulator matriks online dapat digunakan untuk menghitung pangkat suatu matriks.
Untuk menghitung rank suatu matriks:
Untuk menghitung peringkat matriks langkah demi langkah secara detail, gunakan kalkulator peringkat matriks ini. Lihat teori penghitungan pangkat suatu matriks.
Perhitungan matriks pseudoinverse online
Kalkulator matriks online dapat digunakan untuk menghitung matriks pseudoinvers. Invers semu terhadap matriks tertentu selalu ada.
Untuk menghitung matriks pseudoinvers:
Menghapus baris atau kolom matriks yang bergantung linier secara online
Kalkulator matriks online memungkinkan Anda menghapus baris atau kolom yang bergantung linier dari suatu matriks, mis. membuat matriks peringkat penuh.
Untuk menghapus baris atau kolom matriks yang bergantung linier:
Dekomposisi matriks kerangka online
Untuk melakukan dekomposisi matriks kerangka secara online
Menyelesaikan persamaan matriks atau sistem persamaan linear AX=B secara online
Dengan menggunakan kalkulator matriks online, Anda dapat menyelesaikan persamaan matriks AX=B terhadap matriks X. Dalam kasus khusus, jika matriks B adalah vektor kolom, maka X akan menjadi solusi sistem tersebut persamaan linier KAPAK=B.
Untuk menyelesaikan persamaan matriks:
Perlu diketahui bahwa matriks dan harus mempunyai jumlah baris yang sama.
Eliminasi Gaussian atau mereduksi suatu matriks menjadi bentuk segitiga (langkah) secara online
Kalkulator matriks online melakukan eliminasi Gaussian untuk matriks persegi dan matriks persegi panjang dengan peringkat apa pun. Pertama kali dilakukan metode biasa Gauss. Jika pada tahap tertentu elemen utama sama dengan nol, kemudian opsi eliminasi Gaussian lainnya dipilih, dengan memilih elemen utama terbesar di kolom.
Untuk menghilangkan Gaussian atau mereduksi matriks menjadi bentuk segitiga
Dekomposisi LU atau dekomposisi LUP suatu matriks online
Kalkulator matriks ini memungkinkan Anda melakukan dekomposisi LU suatu matriks (A=LU) atau dekomposisi LUP suatu matriks (PA=LU), dimana L adalah matriks segitiga bawah, U adalah matriks segitiga atas (trapesium), P adalah matriks matriks permutasi. Pertama, program melakukan dekomposisi LU, yaitu. dekomposisi seperti itu dimana P=E, dimana E adalah matriks identitas (yaitu PA=EA=A). Jika hal ini tidak memungkinkan, maka dilakukan dekomposisi LUP. Matriks A dapat berupa matriks persegi atau persegi panjang dengan pangkat berapa pun.
Untuk penguraian LU(LUP):
Membangun kernel (spasi nol) dari matriks online
Dengan menggunakan kalkulator matriks, Anda dapat membuat ruang nol (kernel) dari sebuah matriks.
Untuk membangun ruang nol (kernel) dari matriks.
>Halo semuanya!!! Apakah ada rumus yang dapat digunakan untuk menghilangkan penskalaan dari suatu matriks tanpa mengetahui faktor penskalaannya???
Kami segera teringat dekomposisi kutub. Nah, matriks M direpresentasikan sebagai O * P. Dimana O ortogonal, dan P pasti positif, simetris - yaitu matriks kompresi atau ekspansi. Di sini kita akan mengambil matriks O.
Pertanyaan muncul. Dan jika kita memperluas M di sisi lain, kita mendapatkan P' * O'. Dekomposisi dalam urutan berbeda, dengan matriks apriori yang berbeda. Mengapa tidak mengambil O'? Saya bergumul dengan pertanyaan itu selama sekitar lima menit sampai saya ingat bagaimana saya telah memberikan kegagalan kepada siswa dalam masalah ini. Matriks O’ sebenarnya sama dengan matriks O. Jika Anda baru saja lulus universitas atau masih kuliah, Anda bahkan bisa mencoba membuktikan fakta tersebut.
Jadi, perluasan kutub:
Untuk menemukan hal yang positif akar kuadrat dari matriks ke ilmu positif Anda diminta untuk menghitung angka Anda sendiri. Untuk semua orang nomor sendiri temukan subruang Anda sendiri, lalu buatlah akar kuadrat sebenarnya dari operator dengan hati-hati.
Saat saya membayangkan apa yang akan terjadi pada matriks yang dekat dengan matriks identitas, saya bergidik. Semuanya akan mati karena ketidakakuratan float, peringkat matriks akan turun - keruntuhan total akan terjadi.
Mengapa para bangsawan tidak mencoba iterasi yang diketahui ilahi?
Di sini, akar suatu bilangan ditemukan menggunakan metode Newton. Barisan a_(i+1) = 0,5 * (a_i + x / a_i); dengan bangga konvergen ke akar kuadrat dari x. Sebagai ujian, saya mengambil perpustakaan seseorang tentang mat3x3 dan terpaku pada analog matriks.
Analog langsung dari metode Newton dengan cepat menyatu dalam 3-4 iterasi, pengujian lulus sebagai angin sepoi-sepoi. Hal ini menghasilkan dekomposisi polar untuk matriks; kinerja algoritma terlihat jelas dari tingkat dasar teori spektral operator. Jelas setelah setengah jam mencicit otak saya.
Jadi, kami telah menemukan dekomposisi kutub. Pertanyaannya adalah - mengapa? Dan di sini saya terpaksa beralih ke poin utama laporan saya. Mengajar itu jahat. Waktu yang Anda habiskan untuk mengingat teori operator spektral telah berhasil terbuang percuma.
Dekomposisi Scale Shear Rotate dicari pada suatu waktu. Kami menerapkan proses ortogonalisasi dan ortonormalisasi pada matriks. Berdasarkan kolom. Kami mendapatkan matriks yang luar biasa. Dan mengapa hasilnya akan lebih buruk? Tidak ada apa-apa!
Saya melihat posting dengan kode dalam Pascal yang menghitung dekomposisi Putar Geser Skala yang sama, dan tiba-tiba saya menyadari bahwa saya tidak memiliki argumen untuk dekomposisi kutub. Yang membutuhkan siapa yang tahu teknologi komputer seperti apa.
Tentu saja, ada keberatan-keberatan kecil, bahkan hampir berdalih. Misalnya, ruang singgung lebih mudah dianggap ortonormal. Secara komputasi lebih sederhana. Biasanya kita menganggap dPosisi/du, normal, dan vektor ketiga diambil tegak lurus terhadap pasangan ini. Jelas bahwa metode ini asimetris sehubungan dengan koordinat tekstur; mana yang pertama dan mana yang kedua sama sekali tidak jelas. Tampaknya benar untuk menerapkan dekomposisi polar pada matriks transformasi lokal.
Anda mungkin melihat perbedaan antara dekomposisi kutub yang “benar” dan proses ortogonalisasi kolom yang “salah”. Anda mungkin tidak akan menyadarinya. Dan gambarannya pasti tidak akan menjadi lebih baik.
P.S. Menyimpan animasi di Scale Shear Rotate juga sangat keren. Tiga vektor, satu angka empat. Geser hampir selalu 0, Skala hampir selalu 1, jejak konstan dapat dibuang. Dan jika terdapat trek yang tidak konstan, ada cara untuk menghilangkannya dengan mengkhususkan template. Atau sesuatu yang lain.
Tujuan layanan. Kalkulator matriks dirancang untuk menyelesaikan sistem persamaan linear metode matriks(cm. contoh solusi untuk masalah serupa).instruksi. Untuk menyelesaikannya secara online, Anda perlu memilih jenis persamaan dan mengatur dimensi matriks yang sesuai.
dimana A, B, C adalah matriks yang ditentukan, X adalah matriks yang diinginkan. Persamaan matriks bentuk (1), (2) dan (3) diselesaikan melalui matriks terbalik SEBUAH -1 . Jika diberikan ekspresi A·X - B = C, maka matriks C + B harus dijumlahkan terlebih dahulu dan mencari solusi untuk ekspresi A·X = D, di mana D = C + B (). Jika ekspresi A*X = B 2 diberikan, maka matriks B harus terlebih dahulu ada persegi. Anda juga disarankan untuk membaca operasi dasar pada matriks.Contoh No.1. Latihan. Temukan solusi persamaan matriks
Larutan. Mari kita nyatakan:
Maka persamaan matriksnya akan ditulis dalam bentuk: A·X·B = C.
Penentu matriks A sama dengan detA=-1
Karena A tidak matriks tunggal, maka ada matriks invers A -1 . Kalikan kedua ruas persamaan di sebelah kiri dengan A -1: Kalikan kedua ruas persamaan di sebelah kiri ini dengan A -1 dan di sebelah kanan dengan B -1: A -1 ·A·X·B·B -1 = A -1 ·C·B -1 . Karena A A -1 = B B -1 = E dan E X = X E = X, maka X = A -1 C B -1
Matriks terbalik A-1: 
Mari kita cari matriks invers B -1.
Matriks yang dialihkan B T:
Matriks terbalik B -1: 
Kita mencari matriks X dengan rumus: X = A -1 ·C·B -1 
Menjawab:
Contoh No.2. Latihan. Selesaikan persamaan matriks 
Larutan. Mari kita nyatakan:
Maka persamaan matriksnya akan ditulis dalam bentuk: A·X = B.
Penentu matriks A adalah detA=0
Karena A adalah matriks singular (determinannya 0), maka persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian.
Contoh No.3. Latihan. Temukan solusi persamaan matriks
Larutan. Mari kita nyatakan:
Maka persamaan matriksnya akan ditulis dalam bentuk: X A = B.
Penentu matriks A adalah detA=-60
Karena A adalah matriks nonsingular, maka terdapat invers matriks A -1 . Mari kita kalikan kedua ruas persamaan di sebelah kanan dengan A -1: X A A -1 = B A -1, dari situ kita mengetahui bahwa X = B A -1
Mari kita cari matriks invers A -1 .
Matriks yang dialihkan A T: 
Matriks terbalik A -1: 
Kita mencari matriks X dengan rumus: X = B A -1 
Jawaban: > 
