Pandangan kanonik dari matriks. Jenis matriks

Setiap bentuk kuadrat menggunakan transformasi linier non-degenerasi dapat direduksi menjadi bentuk kanonik , ditentukan oleh rumus

dimana bentuknya F peringkat dari N tidak dikenal; bilangan, , dianggap positif, tetapi beberapa suku rumus (VII.5) bisa negatif.

Dalam kondisi ini, menggantikan , ; dan , tidak merosot transformasi linier mereduksi bentuk kuadrat menjadi normal pikiran, itu

Jumlah keseluruhan kuadrat sama dengan pangkat bentuk kuadrat.

Banyak sekali transformasi linier yang mereduksi bentuk kuadrat menjadi bentuk normal (VII.6), namun sampai pada letak tandanya, reduksi seperti itu adalah satu-satunya.

Untuk bentuk nyata kuadrat, hal ini berlaku hukum inersia . Banyaknya kuadrat positif dan negatif dalam bentuk normal dimana bentuk kuadrat tertentu dengan koefisien real direduksi dengan transformasi linier nyata tidak bergantung pada pilihan transformasi ini.

Jumlah kotak positif (negatif) di bentuk biasa formulir F ditelepon indeks inersia positif (negatif). (dalam rumus (VII.6) begini k), perbedaan antara indeks inersia positif dan negatif disebut tanda tangan formulir F(dalam rumus (VII.6) sama dengan R-k).

Biarkan itu diberikan matriks persegi ukuran N bentuk kuadrat F. Minor yang terletak di sepanjang diagonal utama matriks ini berorde 1, 2, ..., N, yang terakhir bertepatan dengan determinan matriks , , yaitu

dipanggil utama bentuk-bentuk kecil F.

Teorema VII.1. Bentuk kuadrat F dari N yang tidak diketahui dengan koefisien riil akan terdiri dari suku-suku positif jika dan hanya jika semua minor di depannya adalah positif.

Contoh VII.3. Bentuk kuadrat

adalah pasti positif, karena semua minor utama dari matriks tersebut adalah positif:

, , .

Seperti telah disebutkan, dimungkinkan untuk membawa bentuk kuadrat ke bentuk kanonik dengan banyak cara, tetapi tampilan biasa satu. Mari kita tunjukkan ini dengan sebuah contoh.

Contoh VII.4. Ubah bentuk kuadrat menjadi bentuk kanonik.

Larutan. Mari kita atur transformasi liniernya:

1) lalu kita dapatkan .

Untuk transformasi lain yang kita miliki

2) lalu kita dapatkan .

Bentuk normal dari bentuk kuadrat, yang sesuai dengan kedua bentuk kanonik, .

Latihan. Periksa keabsahan rumus yang dihasilkan dengan langsung mensubstitusikan transformasi 1) dan 2) ke dalam bentuk kuadrat aslinya.

Pertanyaan yang wajar muncul: “Bagaimana mencari matriks transformasi linier (operator)?”

Sebelum kita melihat contoh berikut, mari kita beri beberapa penjelasan. Tanpa merusak esensinya pendekatan umum, kami membatasi diri pada persamaan tersebut

Di mana sisi kanan adalah bentuk kuadrat yang diberikan sistem kartesius koordinat Di sisi lain, ungkapan ini mendefinisikan garis orde kedua. Jelas jika ruas kanan persamaan terakhir diwakili oleh jumlah kuadrat variabel

,

maka kita mempunyai bentuk kanonik dari bentuk kuadrat.

Kedua persamaan tersebut akan menggambarkan garis orde kedua yang sama jika berbentuk H skala yang sama dipertahankan. Untuk mendapatkan bentuk kanonik H Biasanya persamaan karakteristik digunakan. Kerugian dari pendekatan ini adalah hubungan antara sistem koordinat dan . Secara kiasan, kita tidak mengetahui lokasi garis tersebut L dalam sistem koordinat, jika ditulis dalam bentuk kanonik H. Transisi seperti itu dapat dicapai dengan memutar sumbu sistem koordinat sebesar suatu sudut J(Gbr. VII.1), yaitu berangkat dari koordinat X, kamu Ke X 1 , kamu 1 dengan rumus

Untuk konversi terbalik sudut perlu diganti J
pada - J.

Untuk mengetahui letak garis, kita harus mencari transformasi koordinat yang memberikan persamaan H dalam pikiran H. Perhatikan bahwa untuk mempertahankan skala, kita harus beralih ke sistem koordinat ortonormal.

Contoh VII.5. Diberikan bentuk kuadrat dalam sistem koordinat kartesius

Diperlukan untuk membawanya ke bentuk kanonik, yaitu menuliskan bentuknya dalam sistem dan mencari transformasi linier. Dapatkan bentuk normal dari bentuk kuadrat.

Larutan. Mari kita buat matriks transformasi linier simetris (operator) A

.

Mari kita membangun polinomial karakteristik dan temukan nilai eigen dan vektor eigennya. Kemudian kita akan melaksanakan tugas contoh secara berurutan. Kita punya

Persamaan karakteristik tampaknya kesetaraan

.

Setelah menghitung determinan matriks, kita memperoleh polinomial yang akar-akarnya adalah nilai eigen. Mari kita tuliskan bentuk kanoniknya (VII.7):

Mari kita cari transformasi linier, yaitu kita akan membuat hubungan antara sistem dan . Karena akar-akarnya nyata dan berbeda serta tidak ada angka nol, maka transformasinya tidak merosot. Mari kita cari vektor eigen di basisnya (kita akan merepresentasikan vektor dalam kolom). Untuk melakukan ini, kita menyelesaikan sistem persamaan

didefinisikan untuk masing-masing nilai eigen.

Sebab, dari (VII.8) kita punya persamaan matriks

.

Dengan asumsi, tentu saja, kita memperoleh

di, kita punya. Vektor eigen pertama ditemukan , panjangnya.

Ketika kita punya

atau

Menambahkan persamaan kedua ke persamaan pertama dan mencatat bahwa jika persamaan yang dihasilkan diselesaikan sebagai sistem dengan persamaan ketiga, maka kita harus melanjutkan ke persamaan pertama vektor eigen. Tinggal membuat sistem persamaan dari penjumlahan dua persamaan pertama dan persamaan kedua, lalu kita peroleh

Dengan asumsi, setelah penyederhanaan kita memperoleh sistemnya

1. Kita cari tahu dulu yang mana yang komparatif tampilan sederhana matriks polinomial persegi panjang dapat direduksi hanya dengan menerapkan operasi elementer kiri.

Mari kita asumsikan bahwa kolom pertama matriks berisi elemen-elemen yang tidak identik dengan nol. Mari kita ambil polinomial dengan derajat terkecil di antara polinomial tersebut dan, dengan mengatur ulang baris-barisnya, menjadikannya sebuah elemen. Setelah itu, bagi polinomial tersebut dengan ; kami menyatakan hasil bagi dan sisanya dengan dan

Sekarang mari kita kurangi dari baris ke-th baris pertama, yang sebelumnya dikalikan dengan . Jika tidak semua sisanya sama dengan nol, maka sisa yang tidak sama dengan nol dan mempunyai derajat terkecil dapat diganti dengan menyusun ulang baris-barisnya. Akibat semua operasi ini, derajat polinomial akan berkurang.

Sekarang kita akan mengulangi proses ini lagi, dan seterusnya. Karena derajat polinomialnya berhingga, pada tahap tertentu proses ini tidak dapat dilanjutkan lagi, yaitu pada tahap ini semua elemen akan sama dengan nol.

Setelah itu, ambil elemennya dan terapkan prosedur yang sama pada baris dengan angka. Kemudian kita akan mencapai apa dan . Melanjutkan seperti ini, pada akhirnya kita akan mereduksi matriks menjadi bentuk berikut:

(5)

Jika polinomialnya tidak identik dengan nol, maka dengan menggunakan operasi dasar kiri tipe kedua, kita akan membuat derajat suatu elemen lebih kecil dari derajatnya (jika ia memiliki derajat nol, maka ia akan menjadi sama dengan nol). Dengan cara yang sama, jika , maka dengan menggunakan operasi dasar kiri tipe kedua kita akan membuat derajat elemen lebih kecil dari derajat , tanpa mengubah elemen , dan seterusnya.

Kami telah menetapkan teorema berikut:

Teorema 1. Persegi panjang sembarang matriks polinomial dengan dimensi yang menggunakan operasi dasar kiri selalu dapat direduksi menjadi bentuk (5), dengan polinomial yang mempunyai derajat lebih rendah dari , jika saja , dan semuanya identik nol, jika .

Hal ini dibuktikan dengan cara yang persis sama

Teorema 2. Matriks multinilai persegi panjang sembarang yang berdimensi selalu dapat direduksi menjadi bentuk menggunakan operasi dasar biasa

(6)

dimana polinomialnya mempunyai derajat yang lebih rendah dari , jika saja , dan semuanya identik dengan nol, jika .

2. Berikut ini dari Teorema 1 dan 2

Konsekuensi. Jika determinan suatu matriks persegi multinilai tidak bergantung pada dan bukan nol, maka matriks tersebut dapat direpresentasikan sebagai hasil kali nomor terbatas matriks dasar.

Memang, menurut Teorema 1, dengan menggunakan operasi elementer kiri, matriks dapat direduksi menjadi bentuk

(7)

di mana orde matriksnya. Karena ketika menerapkan operasi dasar pada matriks polinomial persegi, determinan matriks ini hanya dikalikan dengan faktor konstanta bukan nol, maka determinan matriks (7), seperti determinan, tidak bergantung dan berbeda dari nol, yaitu

.

Namun kemudian, berdasarkan Teorema 1 yang sama, matriks (7) mempunyai bentuk diagonal dan oleh karena itu dapat direduksi menggunakan operasi elementer kiri tipe 1 ke matriks identitas . Kemudian dan sebaliknya, matriks identitas dapat direduksi menjadi menggunakan operasi elementer kiri dengan matriks. Karena itu,

Dari akibat wajar yang telah terbukti kita memperoleh (lihat hal. 137 – 138) kesetaraan dua definisi 2 dan 2" dari kesetaraan matriks polinomial.

3. Mari kita kembali ke contoh sistem persamaan diferensial (4). Mari kita terapkan Teorema 1 pada matriks koefisien operator. Kemudian, sebagaimana tertera pada halaman 138, sistem (4) akan digantikan oleh sistem yang setara

(4")

Di mana . Dalam sistem ini, kita dapat memilih fungsi secara sembarang, setelah itu fungsi ditentukan secara berurutan, dan pada setiap tahap definisi ini kita harus mengintegrasikan satu fungsi. persamaan diferensial dengan satu fungsi yang tidak diketahui.

4. Sekarang mari kita beralih ke pembentukan bentuk “kanonik” yang dapat mereduksi matriks polinomial persegi panjang dengan menerapkan operasi dasar kiri dan kanan padanya.

Di antara semua elemen matriks yang tidak identik dengan nol, kita ambil elemen yang mempunyai derajat terkecil terhadap , dan dengan penataan ulang baris dan kolom yang tepat kita menjadikannya sebuah elemen. Setelah ini, kita akan mencari hasil bagi dan sisa pembagian polinomial dan dengan:

Jika setidaknya salah satu dari sisanya , misalnya, tidak sama dengan nol, maka dengan mengurangkan kolom pertama dari kolom ke-, yang sebelumnya dikalikan dengan , kita mengganti elemen tersebut dengan sisanya, yang derajatnya lebih rendah dari . Kemudian kita mempunyai kesempatan untuk kembali menurunkan derajat elemen di sebelah kiri sudut atas matriks, letakkan di tempat ini elemen dengan derajat terkecil relatif terhadap .

Jika semuanya tersisa ; sama dengan nol, maka dengan mengurangkan baris pertama dari baris ke-th, yang sebelumnya dikalikan dengan , dan dari kolom ke-th – baris pertama, yang sebelumnya dikalikan dengan , kita akan mereduksi matriks polinomial kita menjadi bentuk

Jika setidaknya salah satu elemen tidak habis dibagi , maka dengan menambahkan kolom yang berisi elemen ini ke kolom pertama, kita akan sampai pada kasus sebelumnya dan, oleh karena itu, kita dapat mengganti elemen tersebut lagi dengan polinomial yang derajatnya lebih rendah matriks (8) untuk membentuk baris-baris menjadi faktor numerik yang berbeda dari nol, kita akan dapat memastikan bahwa koefisien utama dari polinomial, dan membuat rumus yang menghubungkan polinomial ini dengan elemen-elemen matriks.

Matriks adalah alat yang mudah digunakan untuk menyelesaikan berbagai macam permasalahan masalah aljabar. Mengetahui beberapa aturan sederhana untuk beroperasi dengan mereka memungkinkan Anda untuk mengurangi matriks ke tempat yang nyaman dan diperlukan saat ini formulir. Seringkali berguna untuk menggunakan bentuk matriks kanonik.

instruksi

Ingatlah bahwa bentuk kanonik matriks tidak mengharuskan adanya matriks di sepanjang diagonal utama. Inti dari definisi tersebut adalah bahwa satu-satunya elemen matriks yang bukan nol dalam bentuk kanoniknya adalah satu. Jika ada, maka letaknya berada pada diagonal utama. Selain itu, jumlahnya dapat bervariasi dari nol hingga jumlah baris dalam matriks.

Jangan lupa bahwa transformasi dasar mengizinkan apa pun matriks mengarah ke kanonik pikiran. Kesulitan terbesar adalah menemukan rangkaian tindakan yang paling sederhana secara intuitif dan tidak membuat kesalahan dalam perhitungan.

Pelajari sifat dasar operasi baris dan kolom dalam matriks. Transformasi dasar mencakup tiga transformasi standar. Ini adalah perkalian suatu baris matriks dengan bilangan bukan nol, penjumlahan baris-baris (termasuk penjumlahan satu sama lain, dikalikan dengan suatu bilangan) dan penataan ulangnya. Tindakan seperti itu memungkinkan Anda mendapatkan matriks setara dengan yang ini. Oleh karena itu, Anda dapat melakukan operasi tersebut pada kolom tanpa kehilangan kesetaraan.

Usahakan untuk tidak melakukan beberapa hal sekaligus transformasi dasar: Pindah dari tahap ke tahap untuk mencegah kesalahan acak.

Temukan pangkat matriks untuk menentukan jumlah matriks pada diagonal utama: ini akan memberi tahu Anda seperti apa bentuk akhir dari bentuk kanonik yang Anda cari, dan menghilangkan kebutuhan untuk melakukan transformasi jika Anda hanya ingin menggunakannya untuk solusinya.

Gunakan metode bordering minors untuk mengikuti rekomendasi sebelumnya. Hitung minor orde ke-k, serta semua minor derajat di sekitarnya (k+1). Jika sama dengan nol, maka pangkat matriksnya adalah bilangan k. Jangan lupa bahwa minor Mij adalah determinan matriks yang diperoleh dengan menghapus baris i dan kolom j dari matriks aslinya.

Semuanya menarik

Matriks, yang merupakan bentuk tabel pencatatan data, banyak digunakan saat bekerja dengan sistem persamaan linier. Selain itu, jumlah persamaan menentukan jumlah baris matriks, dan jumlah variabel menentukan urutan kolomnya. Sebagai akibat...

Pangkat matriks S adalah ordo minor terbesar yang berbeda dari nol. Minor adalah determinan matriks persegi, yang diperoleh dari matriks asli dengan memilih baris dan kolom sembarang. Pangkat tersebut dilambangkan dengan Rg S, dan perhitungannya...

Matriks adalah suatu objek matematika yang berbentuk tabel berbentuk persegi panjang. Di perpotongan kolom dan baris tabel ini, terdapat elemen matriks - bilangan bulat, real atau bilangan kompleks. Besar kecilnya suatu matriks ditentukan oleh banyaknya...

Komplemen aljabar adalah elemen matriks atau aljabar linier, salah satu konsepnya matematika yang lebih tinggi beserta determinan, matriks minor dan inversnya. Namun, meskipun tampak rumit, menemukan komplemen aljabar tidaklah sulit. instruksi...

Matriks adalah kumpulan bilangan-bilangan yang terurut dalam meja persegi panjang, memiliki dimensi m baris kali n kolom. Larutan sistem yang kompleks persamaan linear didasarkan pada perhitungan matriks yang terdiri dari koefisien tertentu. DI DALAM kasus umum pada…

Aljabar matriks adalah cabang matematika yang dikhususkan untuk mempelajari sifat-sifat matriks, penerapannya untuk menyelesaikan sistem persamaan yang kompleks, serta aturan pengoperasian matriks, termasuk pembagian. Petunjuk 1 Ada tiga operasi pada matriks: penjumlahan,...

Komplemen aljabar adalah salah satu konsepnya aljabar matriks, diterapkan pada elemen matriks. Temuan penjumlahan aljabar adalah salah satu tindakan algoritma untuk menentukan matriks invers, serta operasi pembagian matriks. ...

Matriks B dianggap invers dari matriks A jika perkaliannya menghasilkan matriks identitas E. Konsep “matriks invers” hanya ada untuk matriks persegi, yaitu matriks “dua per dua”, “tiga per tiga”, dst....

Untuk setiap matriks persegi A yang non-singular (dengan determinan |A| tidak sama dengan nol) terdapat matriks unik matriks terbalik, dinotasikan A^(-1), sehingga (A^(-1))A=A, A^(-1)=E. Instruksi 1E disebut matriks identitas. Terdiri dari…

Matriks matematika adalah tabel elemen terurut dengan jumlah baris dan kolom tertentu. Untuk menemukan solusi suatu matriks, Anda perlu menentukan tindakan apa yang perlu dilakukan terhadap matriks tersebut. Setelah itu bertindak sesuai dengan yang tersedia...

Matematika, tentu saja, adalah “ratu” sains. Tidak semua orang mampu memahami esensinya secara utuh. Matematika menggabungkan banyak bagian, dan masing-masing merupakan mata rantai unik dalam rantai matematika. Dasar yang sama...

Jika dalam suatu matriks A kita mengambil k baris dan kolom sembarang dan membuat submatriks berukuran k kali k dari elemen-elemen baris dan kolom tersebut, maka submatriks tersebut disebut minor dari matriks A. Banyaknya baris dan kolom di yang terbesar minor seperti itu, berbeda...

Т" = с (i), Т" = 1………….(i), Т"" = 0…1……….(i) b(λ)……….(j) 1…0… …….(J) .

Sebagai hasil penerapan operasi dasar yang benar, matriks A(λ) dikalikan di sebelah kanan dengan matriks T yang bersesuaian.

Perhatikan bahwa matriks T" berimpit dengan matriks S", dan matriks T", T"" berimpit dengan matriks S", S"", jika indeks i dan j ditukar pada matriks terakhir. Matriks bertipe S", S", S"" (atau, yang sama, tipe T", T", T"") disebut matriks dasar.

Dua matriks λ A(λ) dan B(λ) ukuran yang sama m x n disebut ekuivalen, A(λ) ~ B(λ), jika seseorang dapat berpindah dari matriks A(λ) ke B(λ) menggunakan rantai transformasi elementer yang jumlahnya terbatas. Relasi ekuivalen mempunyai tiga sifat utama:

1) refleksivitas: setiap matriks ekuivalen dengan dirinya sendiri A(λ) ~ B(λ);

2) simetri: jika A(λ) ~ B(λ), maka B(λ) ~ A(λ);

3) transitivitas: jika A(λ) ~ B(λ), dan B(λ) ~ C(λ), maka A(λ) ~ C(λ).

§2. Bentuk kanonik dari matriks λ

Telah ditunjukkan di atas bahwa hubungan ekivalensi bersifat transitif, simetris dan refleksif. Oleh karena itu, himpunan semua matriks λ dengan ukuran tertentu m x n dibagi menjadi kelas-kelas yang saling lepas matriks yang setara, yaitu. ke dalam kelas-kelas sedemikian rupa sehingga dua matriks dari kelas yang sama adalah ekuivalen, dan dari kelas yang berbeda- tidak setara satu sama lain. Timbul pertanyaan tentang bentuk kanonik Karakterisasi matriks-λ kelas ini ekuivalen λ-matriks.

Matriks λ diagonal kanonik berdimensi m x n adalah matriks λ yang diagonal utamanya berisi polinomial E1(λ), ​​​​​​E2(λ), ..., Ep(λ), dengan p adalah bilangan terkecil m dan n, dan tidak sama dengan nol di antara polinomial-polinomial ini mempunyai koefisien terdepan sama dengan satu, dan setiap polinomial berikutnya dibagi dengan polinomial sebelumnya, namun elemen-elemen di luar diagonal utama sama dengan nol.

Teorema 1. Setiap matriks λ dapat direduksi menjadi bentuk diagonal kanonik dengan sejumlah transformasi dasar yang terbatas.

Bukti. Misalkan A(λ) adalah matriks polinomial persegi panjang. Menerapkan operasi dasar kiri dan kanan pada A(λ) kita menghasilkan bentuk diagonal kanonik.

Di antara semua elemen bukan nol аіј(λ) pada matriks A(λ), kita ambil elemen yang mempunyai derajat terkecil terhadap λ, dan dengan menyusun ulang baris dan kolom secara tepat kita menjadikannya elemen a11(λ). Setelah ini, kita akan mencari hasil bagi dan sisa pembagian polinomial аі1(λ) dan а1ј(λ) dengan а11(λ):

аі1(λ) = а11(λ) qі1(λ) + rі1 (λ), а1ј(λ) = а11(λ) q1ј(λ) + r1ј(λ)

(i = 2, 3, …, m; j = 2, 3, …, n).

Jika paling sedikit salah satu sisa rі1(λ), ​​​​r1ј(λ) (i = 2, …, m; j = 2, …, n), misalnya r1ј (λ), tidak identik dengan nol, maka, mengurangkan j- kolom pertama, yang sebelumnya dikalikan dengan q1ј(λ), kita mengganti elemen a1ј(λ) dengan sisa r1ј(λ), yang derajatnya lebih rendah dari a11(λ). Kemudian kita mempunyai kesempatan untuk kembali mengurangi derajat elemen di sudut kiri atas matriks dengan menempatkan di tempat ini elemen dengan derajat terendah relatif terhadap λ.

Jika seluruh sisanya adalah r21(λ),​…rm1(λ); r12(λ), …, r1n(λ) identik dengan nol, lalu mengurangkan baris pertama dari baris ke-i, dikalikan sebelumnya dengan qі1(λ) (i = 2, …, m), dan dari baris ke-j kolom - yang pertama, sebelumnya dikalikan dengan q1ј(λ) (j = 2, …, n), kita turunkan matriks kita menjadi bentuk

а11(λ) 0 … 0

0 а22(λ) … а2n(λ)

….…………………… .

0 pagi2(λ) … amn(λ)

Jika pada saat yang sama paling sedikit salah satu unsur аіј(λ) (i = 2, …, m; j = 2, …, n) tidak habis dibagi а11(λ) tanpa sisa, maka dengan menjumlahkan unsur pertama kolom kolom yang berisi elemen ini, kita akan sampai pada kasus sebelumnya dan, oleh karena itu, kita dapat kembali mengganti elemen a11(λ) dengan polinomial berderajat lebih rendah.

Karena unsur asal a11(λ) mempunyai derajat tertentu dan proses penurunan derajat ini tidak dapat berlangsung terus-menerus, maka setelah sejumlah operasi dasar yang terbatas kita harus memperoleh matriks berbentuk

(*) 0 b22(λ) … b 2n(λ)

….…………………… ,

0 bm2 (λ) …bmn (λ)

dimana semua elemen bіј(λ) habis dibagi а1(λ) tanpa sisa. Jika di antara unsur-unsur bіј(λ) terdapat bilangan nol yang tidak identik, maka melanjutkan proses reduksi yang sama untuk baris berangka 2, …, m dan kolom berbilangan 2, …, n, kita akan mereduksi matriks (*) menjadi bentuk

Jadi, kita telah membuktikan bahwa matriks polinomial persegi panjang sembarang A(λ) ekuivalen dengan beberapa diagonal kanonik.

Matriks merupakan suatu benda khusus dalam matematika. Ditampilkan dalam bentuk persegi panjang atau meja persegi, terdiri dari sejumlah tertentu baris dan kolom. Dalam matematika terdapat berbagai macam jenis matriks, dengan ukuran dan isi yang berbeda-beda. Jumlah baris dan kolomnya disebut ordo. Objek-objek ini digunakan dalam matematika untuk mengatur pencatatan sistem persamaan linear dan dengan mudah mencari hasilnya. Persamaan menggunakan matriks diselesaikan dengan menggunakan metode Carl Gauss, Gabriel Cramer, minor dan penjumlahan aljabar, serta banyak metode lainnya. Keterampilan dasar saat bekerja dengan matriks adalah reduksi menjadi tampilan standar. Namun, pertama-tama, mari kita cari tahu jenis matriks apa yang dibedakan oleh para ahli matematika.

Tipe nol

Semua komponen matriks jenis ini adalah nol. Sedangkan jumlah baris dan kolomnya berbeda-beda.

Tipe persegi

Jumlah kolom dan baris matriks jenis ini sama. Dengan kata lain, ini adalah meja berbentuk “persegi”. Jumlah kolom (atau baris) disebut urutan. Kasus khusus antara lain adanya matriks orde kedua (matriks 2x2), urutan keempat(4x4), kesepuluh (10x10), ketujuh belas (17x17) dan seterusnya.

Vektor kolom

Ini adalah salah satu jenis matriks paling sederhana, hanya berisi satu kolom, yang mencakup tiga kolom nilai numerik. Dia mewakili sebuah seri anggota gratis(angka yang tidak bergantung pada variabel) dalam sistem persamaan linier.

Tampilannya mirip dengan yang sebelumnya. Terdiri dari tiga elemen numerik, yang disusun secara bergantian menjadi satu baris.

Tipe diagonal

Nilai numerik dalam bentuk diagonal matriks hanya mengambil komponen diagonal utama (disorot hijau). Diagonal utama diawali dengan elemen di pojok kanan atas dan diakhiri dengan angka pada kolom ketiga baris ketiga. Komponen lainnya sama dengan nol. Tipe diagonal hanyalah matriks persegi dengan orde tertentu. Di antara matriks diagonal, matriks skalar dapat dibedakan. Ambil semua komponennya nilai-nilai yang sama.

Subtipe matriks diagonal. Semuanya dia nilai numerik adalah unit. Dengan menggunakan satu jenis tabel matriks, seseorang melakukan transformasi dasar atau menemukan invers matriks dari matriks aslinya.

Tipe kanonik

Bentuk kanonik dari matriks dianggap sebagai salah satu yang utama; Menguranginya seringkali diperlukan untuk bekerja. Jumlah baris dan kolom dalam matriks kanonik bervariasi; tipe persegi. Ini agak mirip dengan matriks identitas, tetapi dalam kasus ini tidak semua komponen diagonal utama mempunyai nilai sama dengan satu. Mungkin ada dua atau empat satuan diagonal utama (semuanya bergantung pada panjang dan lebar matriks). Atau mungkin tidak ada satuannya sama sekali (maka dianggap nol). Komponen tipe kanonik lainnya, serta elemen diagonal dan satuan, sama dengan nol.

Tipe segitiga

Salah satu jenis matriks yang paling penting, digunakan saat mencari determinannya dan saat melakukan operasi sederhana. Tipe segitiga berasal dari tipe diagonal, sehingga matriksnya juga berbentuk persegi. Jenis matriks segitiga dibagi menjadi segitiga atas dan segitiga bawah.

Dalam matriks segitiga atas (Gbr. 1), hanya elemen yang berada di atas diagonal utama yang bernilai nol. Komponen diagonal itu sendiri dan bagian matriks yang terletak di bawahnya mengandung nilai numerik.

Sebaliknya, pada matriks segitiga bawah (Gbr. 2), elemen-elemen yang terletak di bagian bawah matriks sama dengan nol.

Tampilan ini diperlukan untuk mencari pangkat suatu matriks, serta untuk operasi dasar pada matriks tersebut (bersama tipe segitiga). Matriks langkah dinamakan demikian karena mengandung "langkah" karakteristik nol (seperti yang ditunjukkan pada gambar). Pada tipe langkah, terbentuk diagonal nol (belum tentu yang utama), dan semua elemen di bawah diagonal ini juga memiliki nilai sama dengan nol. Prasyaratnya adalah sebagai berikut: jika terdapat baris nol pada matriks langkah, maka baris sisa di bawahnya juga tidak mengandung nilai numerik.

Jadi kami melihat tipe yang paling penting matriks yang diperlukan untuk bekerja dengannya. Sekarang mari kita lihat masalah mengubah matriks menjadi bentuk yang diperlukan.

Mengecil menjadi bentuk segitiga

Cara mereduksi matriks menjadi pandangan segitiga? Paling sering dalam tugas Anda perlu mengubah matriks menjadi bentuk segitiga untuk menemukan determinannya, atau disebut determinan. Saat melakukan prosedur ini, sangat penting untuk “mempertahankan” diagonal utama matriks, karena determinan matriks segitiga sama dengan hasil kali komponen-komponen diagonal utamanya. Izinkan saya juga mengingat metode alternatif untuk mencari determinan. Penentu tipe persegi ditemukan dengan menggunakan rumus khusus. Misalnya, Anda bisa menggunakan metode segitiga. Untuk matriks lain digunakan metode penguraian menurut baris, kolom, atau elemen-elemennya. Anda juga dapat menggunakan metode minor dan penjumlahan matriks aljabar.

Mari kita menganalisis secara rinci proses mereduksi matriks menjadi bentuk segitiga menggunakan contoh beberapa tugas.

Tugas 1

Menentukan determinan matriks yang disajikan perlu dilakukan dengan cara mereduksinya menjadi bentuk segitiga.

Matriks yang diberikan kepada kita adalah matriks persegi orde ketiga. Oleh karena itu, untuk mengubahnya menjadi bentuk segitiga kita perlu mengubah dua komponen kolom pertama dan satu komponen kolom kedua menjadi nol.

Untuk mengubahnya menjadi bentuk segitiga, kita memulai transformasi dari sudut kiri bawah matriks - dari angka 6. Untuk mengubahnya menjadi nol, kalikan baris pertama dengan tiga dan kurangi dari baris terakhir.

Penting! Baris paling atas tidak berubah, tetapi tetap sama seperti matriks aslinya. Tidak perlu menulis string empat kali lebih besar dari string aslinya. Namun nilai string yang komponennya perlu disetel ke nol terus berubah.

Yang tersisa hanyalah nilai terakhir- elemen baris ketiga kolom kedua. Ini adalah angka (-1). Untuk mengubahnya menjadi nol, kurangi baris kedua dari baris pertama.

Mari kita periksa:

detA = 2 x (-1) x 11 = -22.

Artinya jawaban tugas tersebut adalah -22.

Tugas 2

Kita perlu mencari determinan matriks dengan mereduksinya menjadi bentuk segitiga.

Matriks yang disajikan termasuk dalam tipe persegi dan merupakan matriks orde keempat. Artinya tiga komponen kolom pertama, dua komponen kolom kedua, dan satu komponen kolom ketiga perlu diubah menjadi nol.

Mari kita mulai mengonversinya dari elemen yang terletak di pojok kiri bawah - dari angka 4. Kita perlu membalikkannya nomor yang diberikan ke nol. Cara termudah untuk melakukannya adalah dengan mengalikan baris teratas dengan empat, lalu menguranginya dengan baris keempat. Mari kita tuliskan hasil transformasi tahap pertama.

Jadi komponen baris keempat disetel ke nol. Mari kita beralih ke elemen pertama dari baris ketiga, ke nomor 3. Kami melakukan operasi serupa. Kalikan baris pertama dengan tiga, kurangi dari baris ketiga dan tuliskan hasilnya.

Kami berhasil mengubah semua komponen kolom pertama matriks persegi ini menjadi nol, kecuali angka 1 - elemen diagonal utama yang tidak memerlukan transformasi. Sekarang penting untuk mempertahankan angka nol yang dihasilkan, jadi kita akan melakukan transformasi dengan baris, bukan dengan kolom. Mari beralih ke kolom kedua dari matriks yang disajikan.

Mari kita mulai lagi dari bawah - dengan elemen kolom kedua dari baris terakhir. Angka ini adalah (-7). Namun, di dalam hal ini Lebih mudah memulai dengan angka (-1) - elemen kolom kedua dari baris ketiga. Untuk mengubahnya menjadi nol, kurangi baris kedua dari baris ketiga. Kemudian kita mengalikan baris kedua dengan tujuh dan menguranginya dari baris keempat. Kami mendapat nol, bukan elemen yang terletak di baris keempat kolom kedua. Sekarang mari kita beralih ke kolom ketiga.

Di kolom ini kita hanya perlu mengubah satu angka menjadi nol - 4. Ini tidak sulit dilakukan: cukup tambahkan baris terakhir yang ketiga dan kita melihat angka nol yang kita butuhkan.

Setelah semua transformasi dilakukan, kami membawa matriks yang diusulkan ke bentuk segitiga. Sekarang, untuk mencari determinannya, Anda hanya perlu mengalikan elemen hasil diagonal utama. Kami mendapatkan: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160. Jadi penyelesaiannya adalah 160.

Jadi, sekarang pertanyaan tentang mereduksi matriks menjadi bentuk segitiga tidak akan mengganggu Anda.

Direduksi menjadi bentuk berundak

Untuk operasi dasar pada matriks, bentuk bertahap kurang “diminati” dibandingkan bentuk segitiga. Hal ini paling sering digunakan untuk mencari pangkat suatu matriks (yaitu, jumlah baris yang bukan nol) atau untuk menentukan baris yang bergantung linier dan bebas. Namun, tipe matriks bertahap lebih universal, karena cocok tidak hanya untuk tipe persegi, tetapi juga untuk semua tipe lainnya.

Untuk mereduksi matriks menjadi pandangan melangkah, pertama-tama Anda perlu mencari determinannya. Metode di atas cocok untuk ini. Tujuan mencari determinan adalah untuk mengetahui apakah determinannya dapat diubah menjadi matriks langkah. Jika determinannya lebih besar atau kurang dari nol, lalu Anda dapat memulai tugas dengan tenang. Jika sama dengan nol, matriks tidak dapat direduksi menjadi bentuk bertahap. Dalam hal ini, Anda perlu memeriksa apakah ada kesalahan dalam pencatatan atau transformasi matriks. Jika tidak ada ketidakakuratan seperti itu, maka masalahnya tidak dapat diselesaikan.

Mari kita lihat cara mereduksi matriks menjadi bentuk bertahap menggunakan contoh beberapa tugas.

Tugas 1. Temukan peringkat tabel matriks yang diberikan.

Di depan kita ada matriks persegi orde ketiga (3x3). Kita tahu bahwa untuk mencari pangkat perlu direduksi menjadi bentuk bertahap. Oleh karena itu, pertama-tama kita perlu mencari determinan matriks tersebut. Mari kita gunakan metode segitiga: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.

Penentu = 12. Dia lebih besar dari nol, yang berarti matriks dapat direduksi menjadi bentuk bertahap. Mari kita mulai mengubahnya.

Mari kita mulai dengan elemen kolom kiri baris ketiga - angka 2. Kalikan baris atas dengan dua dan kurangi dari baris ketiga. Berkat operasi ini, baik elemen yang kita perlukan maupun angka 4 - elemen kolom kedua dari baris ketiga - berubah menjadi nol.

Kami melihat bahwa sebagai akibat dari pengurangan tersebut, matriks segitiga. Dalam kasus kami, kami tidak dapat melanjutkan transformasi, karena komponen lainnya tidak dapat direduksi menjadi nol.

Artinya kita menyimpulkan bahwa banyaknya baris yang memuat nilai numerik dalam matriks ini (atau pangkatnya) adalah 3. Jawaban tugas: 3.

Tugas 2. Tentukan banyaknya baris bebas linier dari matriks tersebut.

Kita perlu menemukan string yang tidak dapat diubah menjadi nol dengan transformasi apa pun. Faktanya, kita perlu mencari jumlah baris bukan nol, atau pangkat dari matriks yang disajikan. Untuk melakukan ini, mari kita sederhanakan.

Kita melihat matriks yang bukan termasuk tipe persegi. Ukurannya 3x4. Mari kita mulai pengurangan juga dengan elemen sudut kiri bawah - angka (-1).

Transformasi lebih lanjut tidak mungkin dilakukan. Artinya kita menyimpulkan bahwa banyak garis bebas linier dan jawaban soal adalah 3.

Sekarang mereduksi matriks menjadi bentuk bertahap bukanlah tugas yang mustahil bagi Anda.

Dengan menggunakan contoh tugas ini, kami memeriksa reduksi matriks menjadi bentuk segitiga dan bentuk berundak. Untuk menjadikannya nol nilai-nilai yang diperlukan tabel matriks, in dalam beberapa kasus Anda perlu menggunakan imajinasi Anda dan mengonversi kolom atau barisnya dengan benar. Semoga berhasil dalam matematika dan bekerja dengan matriks!