3 didelių skaičių dėsnio pasekmės. Čebyševo teoremos reikšmė praktikai

Visiškai natūralu, kad reikia kiekybiškai patikslinti teiginį, kad „didelėse“ testų serijose įvykio pasireiškimo dažniai yra „artimi“ jo tikimybei. Reikėtų aiškiai suprasti tam tikrą šios užduoties subtilumą. Tipiškiausiais tikimybių teorijos atvejais situacija yra tokia, kad savavališkai ilgoje testų serijoje teoriškai galimi abu. kraštutines vertybes dažnius

\frac(\mu)(n)=\frac(n)(n)=1 Ir \frac(\mu)(n)=\frac(0)(n)=0

Todėl, kad ir koks būtų testų skaičius n, negalima visiškai užtikrintai teigti, kad, tarkime, nelygybė bus patenkinta

<\frac{1}{10}

Pavyzdžiui, jei įvykis A yra toks, kad metant kauliuką metamas šešetas, tada su n metimų tikimybe (\left(\frac(1)(6)\right)\^n>0 !} visada gausime tik šešetus, t.y. su tikimybe (\left(\frac(1)(6)\right)\^n !} gauname šešių dažnį, lygus vienam, ir su tikimybe (\left(1-\frac(1)(6)\right)\^n>0 !}šešetukas neatsiranda net vieną kartą, t.y. šešetų atsiradimo dažnis bus lygus nuliui.

Visuose panašias užduotis bet koks netrivialus dažnio ir tikimybės artumo įvertinimas neveikia visiškai patikimai, o tik kai tikimybe, mažesne už vieną. Pavyzdžiui, galima įrodyti, kad nepriklausomų bandymų atveju su pastovi tikimybė p įvykio nelygybės atsiradimas

\vline\,\frac(\mu)(n)-p\,\vline\,<0,\!02

dažniui \frac(\mu)(n) bus įvykdytas esant n=10\,000 (ir bet kuriam p) su tikimybe

P>0,\!9999.

Čia visų pirma norime tai pabrėžti aukščiau pateiktoje formuluotėje kiekybinis įvertinimas dažnio \frac(\mu)(n) artumas tikimybei p yra susijęs su naujos tikimybės P įvedimu.

Tikroji įverčio (8) reikšmė yra tokia: jei atliksime N seriją n bandymų ir suskaičiuosime skaičių M serijų, kuriose tenkinama nelygybė (7), tai pakankamai dideliam N bus apytiksliai.

\frac(M)(N)\apytiksliai P>0,\!9999.

Bet jei norime išsiaiškinti ryšį (9) tiek dėl artumo \frac(M)(N) laipsnio su tikimybe P, tiek su patikimumu, su kuriuo galime teigti, kad toks artumas įvyks, tada mes turės kreiptis į svarstymus, panašius į tuos, kuriuos jau atlikome taikydami \frac(\mu)(n) ir p artumą. Jei pageidaujama, tokie samprotavimai gali būti kartojami neribotą skaičių kartų, tačiau visiškai aišku, kad tai neleis mums visiškai išsivaduoti nuo būtinybės paskutinis etapas nurodo tikimybes primityviai, grubiai suprantant šį terminą.

Nereikėtų manyti, kad tokio pobūdžio sunkumai yra kažkoks tikimybių teorijos ypatumas. Studijuodamas matematiką tikri reiškiniai mes visada juos schematizuojame. Faktinių reiškinių eigos nukrypimai nuo teorinė schema savo ruožtu gali būti tiriamas matematiškai. Tačiau tam patys šie nukrypimai turi būti įtraukti į kokią nors schemą, o pastaroji turi būti naudojama be formalių matematinė analizė nukrypimai nuo jo.

Tačiau atkreipkite dėmesį, kad realiai taikant sąmatą

P\!\left\(\,\vline\,\frac(\mu)(n)-p\,\vline\,<0,\!02\right\}>0,\!9999.

Įvairiose praktinėse situacijose dažniausiai nepaisomos tikimybės yra skirtingos. Aukščiau jau buvo pažymėta, kad atlikdami apytikslius sviedinio sunaudojimo, garantuojančio paskirtos užduoties įvykdymą, skaičiavimus, juos tenkina sviedinio sunaudojimo norma, kuriai esant paskirta užduotis išsprendžiama su 0,95 tikimybe, t. y. nepaisoma tikimybės viršija 0,05. Tai paaiškinama tuo, kad perėjus prie skaičiavimų, pagrįstų nepaisant, tarkime, tik tikimybės, mažesnės nei 0,01, labai padidėtų sviedinių suvartojimo rodikliai, t. y. beveik daugeliu atvejų būtų padaryta išvada, kad neįmanoma užbaigti užduotį per trumpą laiką, kuris yra tam turimas, arba su kevalų atsargomis, kurias iš tikrųjų galima panaudoti.

Kartais moksliniuose tyrimuose jie apsiriboja statistiniais metodais, apskaičiuotais remiantis 0,05 tikimybių nepaisymu. Bet tai turėtų būti daroma tik tais atvejais, kai labai sunku surinkti platesnę medžiagą. Apsvarstykite šią problemą kaip tokių metodų pavyzdį. Tarkime, kad tam tikromis sąlygomis vaistas, naudojamas ligai gydyti, duoda teigiamas rezultatas 50 %, t. y. su 0,5 tikimybe. Siūlomas naujas vaistas ir, siekiant patikrinti jo pranašumą prieš senąjį, planuojama jį vartoti 10 atvejų, nešališkai atrinktų iš pacientų, kurių padėtis yra tokia pati kaip ir tiems, kuriems nustatytas senojo vaisto veiksmingumas. 50 proc. Nustatyta, kad naujo vaisto pranašumas bus laikomas įrodytu, jei jis duos teigiamą rezultatą bent aštuoniais atvejais iš dešimties. Nesunku apskaičiuoti, kad toks sprendimas yra susijęs su tikimybės padaryti klaidingą išvadą (t. y. išvados, kad naujo vaisto nauda yra įrodyta, nors jis yra lygiavertis ar net blogesnis už senąjį) nepaisymu. 0,05. Tiesą sakant, jei kiekviename iš dešimties bandymų teigiamo rezultato tikimybė yra lygi p, tada tikimybė gauti 10,9 arba 8 teigiamus rezultatus per dešimt bandymų yra atitinkamai lygi.

P_(10)=p^(10),\qquad P_9=10p^9(1-p),\qquad P_8=45p^8(1-p)^2.

Iš viso atveju p=\frac(1)(2) gauname P=P_(10)+P_9+P_8=\frac(56)(1024)\approx0,\!05.

Taigi, darydami prielaidą, kad naujasis vaistas iš tikrųjų tiksliai atitinka senąjį, rizikuojame padaryti klaidingą išvadą, kad naujasis vaistas yra pranašesnis už senąjį su maždaug 0,05 tikimybe. Norint sumažinti šią tikimybę iki maždaug 0,01, nedidinant bandymų skaičiaus n = 10, reikėtų nustatyti, kad naujo vaisto pranašumas bus laikomas įrodytu tik tada, kai jo vartojimas duos teigiamą rezultatą bent devyniais atvejais iš dešimt. Jei naujojo vaisto šalininkams šis reikalavimas atrodo per griežtas, reikės priskirti testų skaičių n, žymiai didesnį nei 10. Jei, pavyzdžiui, esant n = 100, bus nustatyta, kad naujojo vaisto nauda bus laikomas įrodytu ties \mu>65, tada klaidos tikimybė bus tik P\approx0,\!0015 .

Jei norma yra 0,05 rimtam moksliniai tyrimai yra aiškiai nepakankamas, tada į 0,001 arba 0,003 paklaidos tikimybę apskritai nepaisoma net atliekant tokius akademinius ir nuodugnius tyrimus kaip astronominių stebėjimų apdorojimas. Tačiau kartais mokslinės išvados, pagrįstos tikimybių dėsnių taikymu, turi ir žymiai didesnį patikimumą (tai yra, jos pagrįstos žymiai mažesnių tikimybių nepaisymu). Tai bus toliau aptariama toliau.

Nagrinėjamuose pavyzdžiuose jau ne kartą naudojome specialius dvinario formulės (6) atvejus.

P_m=C_n^mp^m(1-p)^(n-m)

tikimybei P_m gauti lygiai m teigiamų rezultatų n nepriklausomi testai, kurių kiekvienoje teigiamo rezultato tikimybė yra p. Naudodami šią formulę, panagrinėkime šio skyriaus pradžioje pateiktą klausimą apie tikimybę

<\varepsilon\right\},

kur \mu yra tikrasis teigiamų rezultatų skaičius. Akivaizdu, kad šią tikimybę galima parašyti kaip tų P_m, kurių m tenkina nelygybę, sumą

\vline\,\frac(m)(n)-p\,\vline\,<\varepsilon,

P=\suma_(m=m_1)^(m_2)P_m,

kur m_1 yra mažiausia iš m reikšmių, tenkinančių nelygybę (12), o m_2 yra didžiausia iš tokių m.

Formulė (13) bet kokiam dideliam n yra mažai naudinga tiesioginiams skaičiavimams. Todėl Moivre'o atradimas atveju p=\frac(1)(2) ir Laplaso bet kurio asimptotinės formulės p atradimas buvo labai svarbus, todėl labai lengva rasti ir ištirti tikimybių P_m elgseną didelėms. n. Ši formulė atrodo taip

P\sim\frac(1)(\sqrt(2\pi np(1-p)))\exp\!\left[-\frac((m-np)^2)(2np(1-p)) \teisingai].

Jei p nėra per arti nulio ar vieneto, tai jis yra pakankamai tikslus jau n iš 100 eilės.

T=\frac(m-np)(\sqrt(np(1-p))),

Tada (14) formulė įgaus formą

P\sim\frac(1)(\sqrt(2\pi np(1-p)))\,e^(-t^2/2).

P\sim\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(-T)^(T)e^(-t^2/2)\,dt=F(T),

T=\varepsilon\sqrt(\frac(n)(p(1-p)))

Skirtumas tarp kairiosios ir dešiniosios (17) kraštų, kai p yra pastovus ir skiriasi nuo nulio ir vieneto, linkęs į nulį kaip n\to\infty, lyginant su \varepsilon. Funkcijai F(T) buvo sudarytos išsamios lentelės. Pateikiame trumpą ištrauką iš jų

\begin(masyvas)(c|c|c|c|c)T&1&2&3&4\\\hline F&0,\!68269&0,\!95450&0,\!99730&0,\!99993\end(masyvas)

Tikimybei įvertinti naudokite formulę (17).

P=\mathbf(P)\!\left\(\,\vline\,\frac(\mu)(n)-p\,\vline\,<0,\!02\right\}\approx F\!\left(\frac{2}{\sqrt{p(1-p)}}\right) adresu n=10\,000,~\varepsilon=0,\!02, nes T=\frac(2)(\sqrt(p(1-p))).

Kadangi funkcija F(T) didėja monotoniškai didėjant T, tai mažesniam P įvertinimui, kuris nepriklauso nuo p, turime paimti mažiausią įmanomą (skirtingam p) T reikšmę. Ši mažiausia reikšmė bus gauta esant p=\frac(1)(2) , ir ji bus lygi 4. Todėl apytiksliai

P\geqslant F(4)=0,\!99993.

Nelygybėje (19) neatsižvelgiama į klaidą, kuri atsiranda dėl apytikslės (17) formulės pobūdžio. Įvertinę su šia aplinkybe susijusią paklaidą, bet kuriuo atveju galime nustatyti, kad P>0.\!9999.

Kalbant apie nagrinėjamą (17) formulės taikymo pavyzdį, reikia pažymėti, kad teoriniuose tikimybių teorijos darbuose pateikti likusio (17) formulės nario įverčiai ilgą laiką išliko nepatenkinami. Todėl formulės (17) ir panašių taikymas skaičiuojant ne itin didelius n arba tikimybes p labai artimas 0 ar 1 (o tokios tikimybės daugeliu atvejų yra ypač svarbios) dažnai buvo grindžiamos tik tokių patikrinimų patirtimi. riboto skaičiaus pavyzdžių, o ne pagal patikimus galimos klaidos įverčius. Be to, išsamesnis tyrimas parodė, kad daugeliu praktiškai svarbių atvejų aukščiau pateiktoms asimptotinėms formulėms reikalingas ne tik likusio termino įvertinimas, bet ir patikslinimas (nes be tokio patikslinimo liekanos narys yra per didelis). Abiem kryptimis išsamiausi rezultatai priklauso S. N. Bernsteinui.

Santykius (11), (17) ir (18) galima perrašyti kaip

\mathbf(P)\!\left\(\,\vline\,\frac(\mu)(n)-p\,\vline\,

Esant pakankamai dideliam t, dešinioji (20) formulės pusė, kurioje nėra n, yra savavališkai artima vienetui, t.y. tikimybės reikšmei, atitinkančiai visišką patikimumą. Todėl matome, kad Paprastai dažnio \frac(\mu)(n) nuokrypiai nuo tikimybės p yra maždaug \frac(1)(\sqrt(n)). Šis tikimybių dėsnių tikslumo proporcingumas stebėjimų skaičiaus kvadratinei šaknims būdingas daugeliui kitų klausimų. Kartais jie netgi kalba apie „n kvadratinės šaknies dėsnį“ kaip pagrindinį tikimybių teorijos dėsnį, kaip šiek tiek supaprastintą populiarinimą. Ši idėja gavo visišką aiškumą, nes didysis rusų matematikas P. L. Čebyševas pradėjo sistemingai naudoti įvairių tikimybinių problemų redukavimo metodą iki „matematinių lūkesčių“ ir „atsitiktinių kintamųjų“ „dispersijų“ sumų ir aritmetinių vidurkių skaičiavimų.

Atsitiktinis kintamasis yra dydis, kuris tam tikromis sąlygomis S su tam tikromis tikimybėmis gali įgyti skirtingas reikšmes. Mums pakanka atsižvelgti į atsitiktinius dydžius, kurie gali turėti tik baigtinį skaičių skirtingų reikšmių. Nurodykite, kaip sakoma, tikimybių skirstinys tokio tipo atsitiktinio dydžio \xi , pakanka nurodyti galimas jo reikšmes x_1,x_2,\ldots,x_r ir tikimybės

P_r=\mathbf(P)\(\xi=x_r\).

\sum_(r=1)^(s)P_r=1.

Atsitiktinio kintamojo pavyzdys yra aukščiau ištirtų teigiamų rezultatų skaičius \mu n bandymų metu.

Matematinis lūkestis dydis \xi vadinamas išraiška

M(\xi)=\sum_(r=1)^(s)P_rx_r,

D(\xi)=\suma_(r=1)^(s)P_r(x_r-M(\xi))^2.

\sigma_(\xi)=\sqrt(D(\xi))=\sqrt(\sum_(r=1)^(s)P_r(x_r-M(\xi))^2)

Paprasčiausias dispersijų ir standartinių nuokrypių pritaikymas remiasi garsiuoju Čebyševo nelygybė

\mathbf(P)\(|\xi-M(\xi)|\leqslant t_(\sigma_(\xi))\)\geqslant1-\frac(1)(t^2),

Tai rodo, kad atsitiktinio dydžio \xi nuokrypiai nuo jo matematinio lūkesčio M(\xi), žymiai viršijantys standartinį nuokrypį \sigma_(\xi), yra reti.

Formuojant atsitiktinių dydžių sumas \xi=\xi^((1))+ \xi^((2))+\cdots+\xi^((n)) jų matematiniai lūkesčiai visada yra lygūs

M(\xi)=M(\xi^((1)))+M(\xi^((2)))+\ctaškai+M(\xi^((n))).

D(\xi)=D(\xi^((1)))+D(\xi^((2)))+\cdots+D(\xi^((n))).

tiesa tik laikantis tam tikrų apribojimų. Kad lygybė (23) galiotų, pakanka, pavyzdžiui, kad dydžiai \xi^((i)) ir \xi^((j)) su skirtingais skaičiais, kaip sakoma, nėra „koreliuojami“ su vienas kitą, t.y., kad kai i\ne j galioja lygybė

M\Bigl\((\xi^(i))-M(\xi^((i))))(\xi^((j))-M(\xi^((j))))\ Bigl\)=0

Koreliacijos koeficientas tarp atsitiktinių dydžių \xi^((i)) ir \xi^((j)) yra išraiška

R=\frac(M\Bigl\(\Bigl(\xi^((i))-M(\xi^((i)))\Bigl)\Bigl(\xi^((j))-M( \xi^((j)))\Bigl)\Bigl\))(\sigma_(\xi^((i)))\,\sigma_(\xi^((j)))).

Jeigu \sigma_(\xi^((i)))>0 V \sigma_(\xi^((j)))>0, tada sąlyga (24) lygi tam, kad R=0.

Koreliacijos koeficientas R apibūdina atsitiktinių dydžių priklausomybės laipsnį. Visada |R|\leqslant1 ir R=\pm1 tik jei yra linijinis ryšys

\eta=a\xi+b\quad(a\ne0).

Nepriklausomiems kintamiesiems R=0.

Visų pirma, lygybė (24) yra įvykdyta, jei dydžiai \xi^((i)) ir \xi^((j)) yra nepriklausomi vienas nuo kito. Taigi tarpusavyje nepriklausomiems terminams visada taikoma lygybė (23). Dėl aritmetinių vidurkių

\zeta=\frac(1)(n)\Bigl(\xi^((1))+\xi^((2))+\cdots+\xi^((n))\Bigl) iš (23) seka

D(\zeta_=\frac(1)(n^2)\Bigl(D(\xi^((1)))+ D(\xi^((2)))+\cdots+ D(\xi^( (n)))\Bigl).

Tarkime, kad visų terminų dispersijos neviršija kokios nors konstantos

D(\xi^((i)))\leqslant C^2. Tada iki (25) D(\zeta)\leqslant\frac(C^2)(n),

\mathbf(P)\!\left\(|\zeta-M(\zeta)|\leqslant\frac(tC)(\sqrt(n))\right\)\geqslant1-\frac(1)(t^ 2)

Nelygybėje (26) yra vadinamasis įstatymas dideli skaičiaiČebyševo nustatyta forma: jei dydžiai \xi^((i)) yra vienas nuo kito nepriklausomi ir turi ribotą dispersiją, tai didėjant n jų aritmetiniai vidurkiai \zeta vis rečiau pastebimai nukryps nuo savo matematinių lūkesčių M(\ zeta) .

Tiksliau jie taip sako atsitiktinių dydžių seka

\xi^((1)),\,\xi^((2)),\,\ltaškai\,\xi^((n)),\,\ltaškai

\mathbf(P)\(|\zeta-M(\zeta)|\leqslant \varepsilon\)\to1\quad (n\to\infty).

Norint gauti ribinį ryšį (27) iš nelygybės (26), pakanka nustatyti

T=\varepsilon\cdot\frac(\sqrt(n))(C).

Daugybė tyrimų, kuriuos atliko A.A. Markova, S.N. Bernsteinas, A.Ya. Khinchinas ir kiti yra atsidavę galimo klausimui didesnė plėtra ribinio santykio (27) taikymo sąlygos, t.y., didelių skaičių dėsnio taikymo sąlygos. Šie tyrimai yra labai svarbūs. Tačiau dar svarbiau yra tiksliai ištirti nuokrypių \zeta-M(\zeta) tikimybių pasiskirstymą.

Didelis ruso nuopelnas klasikinė mokykla tikimybių teorijoje yra nustatyti faktą, kad labai plačiomis sąlygomis lygybė yra asimptotiškai (t. y. didėjančiu tikslumu neribotai didėjant n)

\mathbf(P)\!\left\(t_1\sigma_(\zeta)<\zeta-M(\zeta)

Čebyševas pateikė beveik pilną šios formulės įrodymą nepriklausomų ir ribotų terminų atveju. Markovas užpildė trūkstamą Čebyševo samprotavimo grandį ir išplėtė (28) formulės taikymo sąlygas. Dar bendresnes sąlygas davė Lyapunovas. Klausimą apie (28) formulės išplėtimą iki priklausomų terminų sumų ypač išsamiai išnagrinėjo S. N. Bernsteinas.

Formulė (28) apėmė tiek daug konkrečių problemų, kad ilgą laiką buvo vadinama centrine tikimybių teorijos ribine teorema. Nors naujausia tikimybių teorijos raida pasirodė esanti įtraukta į daugybę bendresnių dėsnių, jos svarbos negalima pervertinti ir šiandien.

Laikas.

Jei terminai yra nepriklausomi ir jų dispersijos yra vienodos ir lygios: D(\xi^((i)))=\sigma^2, tada patogu pateikti formulę (28), atsižvelgiant į santykį (25), formą

\mathbf(P)\!\left\(\frac(t_1\sigma)(\sqrt(n))<\zeta-M(\zeta)<\frac{t_2\sigma}{\sqrt{n}}\right\}\sim\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{t_1}^{t_2}e^{-t^2/2}\,dt\,.

Parodykime, kad ryšyje (29) yra išspręstas dažnio \frac(\mu)(n) nukrypimų nuo tikimybės p uždavinys, kurį nagrinėjome anksčiau. Norėdami tai padaryti, įvedame atsitiktinius dydžius \xi^((i)), apibrėžiančius juos tokia sąlyga:

\xi^((i))=0, jei i-asis testas buvo neigiamas,

\xi^((i))=1, jei i-asis testas buvo teigiamas.

Tada nesunku tai patikrinti

\mathbf(P)\!\left\(t_1\sqrt(\frac(p(1-p))(n))<\frac{\mu}{n}-p
kuri t_1=-t, ~t_2=t vėl veda į formulę (20).
Taip pat žr. Ribinės teoremos tikimybių teorijoje „Javascript“ jūsų naršyklėje išjungtas.
Norėdami atlikti skaičiavimus, turite įjungti ActiveX valdiklius!

Kurso pradžioje jau sakėme, kad matematiniai tikimybių teorijos dėsniai gaunami abstrahuojant realius statistinius modelius, būdingus masiniams atsitiktiniams reiškiniams. Šių modelių buvimas yra susijęs būtent su reiškinių masiniu pobūdžiu, ty su dideliu atliktų vienarūšių eksperimentų skaičiumi arba su daugybe kumuliatyvių atsitiktinių poveikių, kurie iš viso sukuria atsitiktinį kintamąjį, kuriam taikomas gerai apibrėžta teisė. Masinių atsitiktinių reiškinių stabilumo savybė žmonijai buvo žinoma nuo seniausių laikų. Kad ir kokioje srityje jis pasireikštų, jo esmė susiveda į štai ką: kiekvieno atskiro atsitiktinio reiškinio specifiniai bruožai beveik nedaro įtakos vidutiniam masių ir tokių reiškinių rezultatui; atsitiktiniai nukrypimai nuo vidurkio, neišvengiami kiekviename atskirame reiškinyje, yra tarpusavyje panaikinami, išlyginami, išlyginami masėje. Būtent šis vidurkių stabilumas atspindi „didelių skaičių dėsnio“, suprantamo plačiąja šio žodžio prasme, fizikinį turinį: esant labai dideliam atsitiktinių reiškinių skaičiui, jų vidutinis rezultatas praktiškai nustoja būti atsitiktinis ir gali būti nuspėjamas. su dideliu tikrumo laipsniu.

Siaurąja to žodžio prasme „didžiųjų skaičių dėsnis“ tikimybių teorijoje suprantamas kaip matematinių teoremų serija, kurių kiekviena tam tikromis sąlygomis nustato faktą, kad daugelio eksperimentų vidutinės charakteristikos artėja prie tam tikrų. tam tikros konstantos.

2.3 jau suformulavome paprasčiausią iš šių teoremų – J. Bernoulli teoremą. Ji teigia, kad atliekant daugybę eksperimentų, įvykio dažnis priartėja (tiksliau, konverguoja į tikimybę) prie šio įvykio tikimybės. Šiame skyriuje susipažinsime su kitomis, bendresnėmis didelių skaičių dėsnio formomis. Visi jie nustato tam tikrų atsitiktinių dydžių tikimybės konvergencijos prie pastovių, neatsitiktinių dydžių faktą ir sąlygas.

Didžiųjų skaičių dėsnis vaidina svarbų vaidmenį praktiškai taikant tikimybių teoriją. Atsitiktinių dydžių savybė tam tikromis sąlygomis elgtis beveik kaip neatsitiktiniai leidžia užtikrintai operuoti su šiais dydžiais ir beveik visiškai tiksliai numatyti masinių atsitiktinių reiškinių rezultatus.

Tokių prognozių galimybes masinių atsitiktinių reiškinių srityje dar labiau išplečia dar viena ribinių teoremų grupė, kuri liečia ne atsitiktinių dydžių ribines vertes, o ribojančius pasiskirstymo dėsnius. Mes kalbame apie teoremų grupę, žinomą kaip „centrinės ribos teorema“. Jau sakėme, kad susumavus pakankamai didelį atsitiktinių dydžių skaičių, sumos pasiskirstymo dėsnis neribotai artėja prie normalaus, esant tam tikroms sąlygoms. Šios sąlygos, kurias matematiškai galima suformuluoti įvairiai – daugiau ar mažiau bendra forma – iš esmės susiveda į reikalavimą, kad įtaka atskirų terminų sumai būtų vienodai maža, tai yra, kad į sumą nebūtų įtraukti nariai, kurie aiškiai dominuoja visumoje likusios pagal savo įtaką kiekio sklaidai. Įvairios centrinės ribos teoremos formos skiriasi viena nuo kitos sąlygomis, kurioms nustatoma ši atsitiktinių dydžių sumos ribinė savybė.

Įvairios didelių skaičių dėsnio formos kartu su įvairiomis centrinės ribos teoremos formomis tikimybių teorijoje sudaro vadinamųjų ribinių teoremų rinkinį. Ribinės teoremos leidžia ne tik daryti mokslines prognozes atsitiktinių reiškinių srityje, bet ir įvertinti šių prognozių tikslumą.

Šiame skyriuje aptarsime tik kai kurias paprasčiausias ribinių teoremų formas. Pirmiausia nagrinėsime teoremas, susijusias su „didžiųjų skaičių dėsnio“ grupe, tada – su „centrinės ribos teoremos“ grupe susijusias teoremas.

„Didžiųjų skaičių dėsnis“ tikimybių teorijoje suprantamas kaip matematinių teoremų serija, kurių kiekviena tam tikromis sąlygomis nustato faktą, kad daugelio eksperimentų vidutinės charakteristikos artėja prie tam tikrų konstantų.

Jis pagrįstas Čebyševo nelygybe:

Tikimybė, kad atsitiktinio dydžio X nuokrypis nuo jo matematinio lūkesčio absoliučia verte yra mažesnis už teigiamą skaičių ε, yra ne mažesnė kaip:

Galioja diskrečiam ir nuolatiniam r.v.

53. Čebyševo teorema.

Tegul yra begalinė nepriklausomų atsitiktinių dydžių seka su tais pačiais matematiniais lūkesčiais ir dispersijomis, kurias riboja ta pati konstanta C:

Tada, kad ir koks būtų teigiamas skaičius, įvykio tikimybė yra viena.

54. Bernulio teorema.

Tegu bus atlikta n nepriklausomų bandymų, kurių kiekviename įvykio A atsiradimo tikimybė lygi p.

55. Liapunovo centrinės ribos teoremos samprata.

Daugelio nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos pasiskirstymas labai bendromis sąlygomis yra artimas normaliajam pasiskirstymui.

Žinoma, kad įprastai paskirstyti atsitiktiniai dydžiai praktikoje yra plačiai paplitę. Tai paaiškino A. M. Lyapunovas centrinėje ribos teoremoje: jei atsitiktinis dydis yra labai daug tarpusavyje nepriklausomų atsitiktinių dydžių, kurių kiekvieno įtaka visai sumai yra nereikšminga, tada jis turi pasiskirstymas artimas normaliam.

56. Bendroji visuma ir imtis: pagrindiniai apibrėžimai ir sąvokos.

Matematinė statistika yra mokslas, nagrinėjantis eksperimentinių duomenų gavimo, aprašymo ir apdorojimo metodų kūrimą, siekiant ištirti atsitiktinių masės reiškinių modelius.

Matematinės statistikos problemos:

Nežinomos pasiskirstymo funkcijos įvertinimas remiantis matavimo rezultatais.

Nežinomų pasiskirstymo parametrų įvertinimas.

Statinių hipotezių tikrinimas.

Panagrinėkime kokią nors kiekybinę charakteristiką x.

Tada visuma suprantama kaip visų galimų jos reikšmių visuma.

Tam tikros charakteristikos savybėms tirti dalis elementų atsitiktinai atrenkama iš bendrosios visumos pagal variantus Xi, kurie sudaro imties populiaciją arba imtį.

Kolekcijos elementų skaičius vadinamas jos objektu n.

Atranka: 1) kartotinė atranka, kurios metu pasirinktas objektas (prieš pasirenkant kitą) grąžinamas bendrajai visumai.

2) nesikartojanti atranka, kurios metu pasirinktas objektas grąžinamas bendrajai visumai.

Kad imties duomenis būtų galima pakankamai patikimai spręsti apie mus dominančias bendros aibės charakteristikas, būtina, kad imtis būtų reprezentatyvi)

Remiantis didelių skaičių dėsniu, galima teigti, kad imtis bus reprezentatyvi, jei ji bus atlikta atsitiktinai: kiekvienas objektas populiacijoje turi turėti vienodą tikimybę būti įtrauktas į imtį.

Jei populiacijos objektas yra pakankamai didelis, o imtis sudaro tik nedidelę šios populiacijos dalį, skirtumas tarp pasikartojančių ir nesikartojančių imčių ištrinamas.

Parinkčių sąrašas, išdėstytas didėjančia tvarka, vadinamas variantų serija.

Tam tikros parinkties stebėjimų skaičius vadinamas jo dažniu ni, o dažnio ni ir imties objekto santykis vadinamas n santykiniu dažniu wi.

Tikimybių teorija tiria masiniams atsitiktiniams reiškiniams būdingus modelius. Kaip ir bet kuris kitas mokslas, tikimybių teorija yra skirta kuo tiksliau numatyti konkretaus reiškinio ar eksperimento baigtį. Jei reiškinys yra izoliuotas, tada tikimybių teorija gali numatyti rezultato tikimybę tik labai plačiose ribose. Dėsningumai atsiranda tik esant daugybei atsitiktinių reiškinių, vykstančių vienarūšėmis sąlygomis.

Grupė teoremų, nustatančių atsitiktinių dydžių ir atsitiktinių įvykių teorines ir eksperimentines charakteristikas su daugybe jų testų, taip pat susijusių su ribojančiais pasiskirstymo dėsniais, yra sujungta bendru pavadinimu. tikimybių teorijos ribinės teoremos.

Yra dviejų tipų ribinės teoremos: didelių skaičių dėsnis ir centrinė ribinė teorema.

Didžiųjų skaičių dėsnis, kuris tikimybių teorijoje užima svarbiausią vietą, yra jungiamoji grandis tarp tikimybių teorijos, kaip matematinio mokslo, ir atsitiktinių reiškinių dėsningumų masinio jų stebėjimo metu.

Įstatymas vaidina labai svarbų vaidmenį praktiškai taikant tikimybių teoriją gamtos reiškiniams ir techniniams procesams, susijusiems su masine gamyba.

Ribiniai pasiskirstymo dėsniai sudaro teoremų grupės dalyką – didelių skaičių dėsnio kiekybinę formą. Tie. didelių skaičių dėsnis – tai eilė teoremų, kurių kiekviena nustato faktą, kad didelio skaičiaus testų vidutinės charakteristikos artėja prie tam tikrų konstantų, t.y. nustatyti kai kurių atsitiktinių dydžių tikimybės konvergencijos faktą su konstantomis. Tai Bernulio, Puasono, Lyapunovo, Markovo, Čebyševo teoremos.

1. A) Bernulio teorema – didelių skaičių dėsnis ( buvo suformuluotas ir įrodytas anksčiau 6 punkto 3 dalyje, nagrinėjant Moivre-Laplace'o ribinę integralo teoremą.)

Neribotai padidėjus vienarūšių nepriklausomų eksperimentų skaičiui, įvykio dažnis skirsis tiek, kiek norima, nuo įvykio tikimybės atskirame eksperimente. Priešingu atveju tikimybė, kad santykinio įvykio dažnio nuokrypis A nuo pastovios tikimybės rįvykius A labai mažai, kai linkęs į 1 bet kuriam: .

b) Čebyševo teorema.

Neribotai padidėjus nepriklausomų bandymų skaičiui, atsitiktinio dydžio, turinčio baigtinę dispersiją, stebimų verčių aritmetinis vidurkis suartėja su jo matematiniais lūkesčiais, kitaip, jei nepriklausomi identiškai pasiskirstę atsitiktiniai dydžiai su matematiniais lūkesčiais ir riboti dispersija , tada bet kuriai iš jų yra teisinga: .

Čebyševo teorema (apibendrinta). Jei sekos atsitiktiniai dydžiai yra poromis nepriklausomi ir jų dispersijos tenkina sąlygą , tada bet kuriam teigiamam ε > 0 teisingas šis teiginys:

ar kas tas pats .

c) Markovo teorema. (didelių skaičių dėsnis bendroje formuluotėje)

Jei atsitiktinių atsitiktinių dydžių dispersijos sekoje tenkina sąlygą: , tada bet kuriam teigiamam ε > 0 galioja Čebyševo teoremos teiginys: .

d) Puasono teorema.

Neribotai didėjant nepriklausomų eksperimentų skaičiui kintamomis sąlygomis, įvykio dažnumas A tikimybe suartėja su duotųjų testų tikimybių aritmetiniu vidurkiu.

komentuoti. Nė vienoje iš didelių skaičių dėsnio formų nenagrinėjame atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsnių. Klausimas, susijęs su sumos ribinio pasiskirstymo dėsnio radimu, kai terminų skaičius didėja neribotai, nagrinėjamas centrine ribine teorema. identiškai pasiskirstę, tada pasiekiame Moivre-Laplace integralų teoremą (6 § 3 skyrius), kuri yra paprasčiausias specialusis centrinės ribos teoremos atvejis.

Čebyševo lema. Jei atsitiktinis dydis X, dėl kurio yra matematinis lūkestis M[x], gali būti tik neneigiamos reikšmės, tada bet kuriam teigiamam skaičiui a galioja nelygybė

Čebyševo nelygybė. Jeigu X– atsitiktinis dydis su matematiniais lūkesčiais M[x] ir dispersija D[x], tada bet kuriai teigiamai e galioja nelygybė

. (2)

Čebyševo teorema.(didelių skaičių dėsnis). Leiskite X 1 , X 2 , …, x n,… - nepriklausomų atsitiktinių dydžių seka su ta pačia matematine lūkesčiu m ir tos pačios konstantos ribojamas dispersijas Su

. (3)

Teoremos įrodymas grindžiamas nelygybe

, (4)

išplaukia iš Čebyševo nelygybės. Iš Čebyševo teoremos kaip išvadą galime gauti

Bernulio teorema. Tegul jis gaminamas n nepriklausomi eksperimentai, kurių kiekviename su tikimybe r gali įvykti koks nors įvykis A, ir leiskite vn– atsitiktinis dydis, lygus įvykio įvykių skaičiui Ašiuose n eksperimentai. Tada bet kuriai e > 0 galioja ribinė lygybė

. (5)

Atkreipkite dėmesį, kad nelygybė (4), susijusi su Bernulio teoremos sąlygomis, suteikia:

. (6)

Čebyševo teoremą galima suformuluoti šiek tiek bendresne forma:

Apibendrinta Čebyševo teorema. Leiskite x 1, x 2, …, x n,… - nepriklausomų atsitiktinių dydžių seka su matematiniais lūkesčiais M[x 1 ] = m 1, M[x 2] = m 2,… o dispersijos apribotos ta pačia konstanta Su. Tada bet kuriam teigiamam skaičiui e galioja ribinė lygybė

. (7)

Tegu x yra 6 taškų atvejų skaičius per 3600 kauliukų metimų. Tada M [ x] = 3600 = 600. Dabar naudokime nelygybę (1) a = 900: .

Naudojame nelygybę (6), kai n = 10000, р = , q = . Tada

Pavyzdys.

Tikimybė, kad įvykis A įvyks kiekviename iš 1000 nepriklausomų eksperimentų, yra 0,8. Raskite tikimybę, kad įvykio A atvejų skaičius šiuose 1000 eksperimentų nukryps nuo jo matematinių lūkesčių absoliučia verte mažiau nei 50.

Tegu x yra įvykio A atvejų skaičius nurodytuose 1000 eksperimentų. Tada M[ x] = 1000 × 0,8 = 800 ir D [ x] = 1000 × 0,8 × 0,2 = 160. Dabar nelygybė (2) suteikia:

Pavyzdys.

Kiekvieno iš 1000 nepriklausomų atsitiktinių dydžių x k (k = 1, 2,..., 1000) dispersija yra lygi 4. Įvertinkite tikimybę, kad šių reikšmių aritmetinio vidurkio nuokrypis nuo jų matematinio vidurkio aritmetinio vidurkio. lūkesčiai absoliučia verte neviršys 0,1.

Pagal nelygybę (4), kai c = 4 ir e = 0,1 turime.