Bernulli schema. Problemų sprendimo pavyzdžiai

Todėl jūsų tiesioginė pramoga bus labai naudinga. Be to, aš jums pasakysiu, kas negerai didžioji dauguma loterijų ir azartinių lošimų dalyviai. ...Noooo, tikėjimas ar menka viltis „pamušti jackpotą“ visiškai nesusiję

Kas atsitiko nepriklausomi testai ? Beveik viskas aišku iš paties pavadinimo. Leiskite atlikti kelis bandymus. Jeigu kiekvienoje iš jų įvyks tam tikro įvykio tikimybė nepriklauso iš likusių testų rezultatų, tada... užbaigiame sakinį vienbalsiai =) Puiku. Be to, frazė „nepriklausomi testai“ dažnai reiškia kartojo nepriklausomi testai – kai jie atliekami vienas po kito.

Paprasčiausi pavyzdžiai:
– moneta metama 10 kartų;
– kauliukas permetamas 20 kartų.

Visiškai aišku, kad tikimybė gauti galvą ar uodegą bet kuriame bandyme nepriklauso nuo kitų metimų rezultatų. Panašus teiginys, žinoma, galioja ir kubui.

Tačiau nuoseklus kortų pašalinimas iš kaladės nėra nepriklausomų testų serija - kaip prisimenate, tai yra grandinė priklausomi įvykiai. Tačiau jei kiekvieną kartą grąžinsite kortelę, situacija taps „kaip ir turi būti“.

Skubu jus pamaloninti - mūsų svečias dar vienas Terminatorius, kuris visiškai neabejingas savo sėkmei/nesėkmėms, todėl jo šaudymas yra stabilumo pavyzdys =):

1 problema

Šaulys į taikinį paleidžia 4 šūvius. Kiekvieno šūvio pataikymo tikimybė yra pastovi ir lygi. Raskite tikimybę, kad:

a) šaulys pataikys tik vieną kartą;
b) šaulys pataikys 2 kartus.

Sprendimas: suformuluota sąlyga V bendras vaizdas ir tikimybę pataikyti į taikinį kiekvienu šūviu laikomas žinomu. Tai lygu (jei tikrai sunku, priskirkite parametrui kokį nors parametrą specifinę reikšmę, Pavyzdžiui,) .

Kai žinome , nesunku rasti kiekvieno šūvio nepataisymo tikimybę:
, tai yra, „ku“ taip pat yra mums žinomas kiekis.

a) Apsvarstykite įvykį „Šaulys pataikys tik vieną kartą“ ir pažymėkite jo tikimybę (indeksai suprantami kaip „vienas smūgis iš keturių“). Šis įvykis susideda iš 4 nesuderinamų baigčių: šaulys pataikys 1 arba 2-oje arba 3-ioje arba 4-uoju bandymu.

Raskite tikimybę, kad išmetus 10 monetų iškris 3 monetos.

Čia bandymai ne kartojami, o atliekami vienu metu, tačiau, nepaisant to, veikia ta pati formulė: .

Sprendimas skirsis savo prasme ir kai kuriais komentarais, ypač:
naudodamiesi šiais metodais galite pasirinkti 3 monetas, ant kurių bus rodomos galvutės.
– tikimybė, kad ant kiekvienos iš 10 monetų bus galvos
ir tt

Tačiau praktikoje panašias užduotis nėra tokie dažni, ir, matyt, dėl šios priežasties Bernulio formulė beveik stereotipiškai siejama tik su pakartotiniais bandymais. Nors, kaip ką tik parodyta, pakartojamumas visai nebūtinas.

Kita užduotis skirta savarankiškas sprendimas:

3 problema

Kauliukai išmestas 6 kartus. Raskite tikimybę, kad 5 taškai:

a) neiškris (bus rodoma 0 kartų);
b) pasirodys 2 kartus;
c) pasirodys 5 kartus.

Rezultatus suapvalinkite iki 4 skaitmenų po kablelio.

Greitas Sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Akivaizdu, kad nagrinėjamuose pavyzdžiuose kai kurie įvykiai labiau tikėtini, o kai kurie – mažiau tikėtini. Taigi, pavyzdžiui, metant 6 kauliukus, net ir be jokių skaičiavimų, intuityviai aišku, kad įvykių tikimybės taškuose „a“ ir „būti“ yra reikšmingos. labiau tikėtina kad „penki“ pasirodys 5 kartus. Dabar nustatykime užduotį surasti

LABIAUSIAI TIKRINAMAS įvykio įvykių skaičius nepriklausomų bandymų metu

Vėlgi, intuicijos lygmenyje 3 uždavinyje galime daryti išvadą, kad labiausiai tikėtinas „penkių“ pasirodymų skaičius yra lygus vienetui – juk iš viso yra šeši veidai, o metant 6 kauliukus, kiekvienas iš jų turėtų pasirodyti vidutiniškai vieną kartą. Norintieji gali apskaičiuoti tikimybę ir pamatyti, ar ji didesnė už „konkuruojančias“ vertes ir .

Suformuluokime griežtą kriterijų: rasti labiausiai tikėtiną įvykių skaičių atsitiktinis įvykis nepriklausomuose tyrimuose (su tikimybe kiekviename bandyme) vadovaujasi tokia dviguba nelygybe:

ir:

1) jei reikšmė yra trupmeninė, tada yra vienas labiausiai tikėtinas skaičius;
visų pirma, jei yra sveikasis skaičius, tai yra labiausiai tikėtinas skaičius: ;

2) jei ji yra visuma, tada yra du labiausiai tikėtini skaičiai: ir .

Labiausiai tikėtinas „penkių“ atvejų skaičius 6 kauliukų metimo metu ypatingas atvejis pirmas punktas:

Siekdami konsoliduoti medžiagą, išspręsime keletą problemų:

4 problema

Tikimybė, kad krepšininkas mesdamas kamuolį pataikys į krepšį, yra 0,3. Raskite labiausiai tikėtiną pataikymo skaičių iš 8 metimų ir atitinkamą tikimybę.

Ir tai jei ne Terminatorius, tai bent šaltakraujis sportininkas =)

Sprendimas: norėdami įvertinti labiausiai tikėtiną įvykių skaičių, naudojame dvigubą nelygybę . IN šiuo atveju:

– bendri metimai;
– tikimybė pataikyti į krepšį kiekvienu metimu;
– kiekvieno metimo nepataikymo tikimybė.

Taigi labiausiai tikėtinas 8 metimų pataikymo skaičius yra šiose ribose:

Kadangi kairioji siena yra trupmeninis skaičius (taškas Nr. 1), tada yra viena labiausiai tikėtina reikšmė ir, aišku, ji lygi .

Naudojant Bernulio formulę , apskaičiuokime tikimybę, kad su 8 metimais bus lygiai 2 pataikymai:

Atsakymas: – labiausiai tikėtinas pataikimų skaičius 8 metimais,
– atitinkama tikimybė.

Panaši užduotis savarankiškam sprendimui:

5 problema

Moneta metama 9 kartus. Raskite labiausiai tikėtiną erelio atsiradimo tikimybę

Apytikslis pavyzdys sprendimus ir atsakymą pamokos pabaigoje.

Po įspūdingo nukrypimo pažvelkime į dar keletą užduočių, o tada aš pasidalinsiu paslaptimi teisingas žaidimas V azartinių lošimų ir loterijos.

6 problema

Tarp automatinėje mašinoje pagamintų gaminių vidutiniškai 60% gaminių yra pirmos klasės. Kokia tikimybė, kad tarp 6 atsitiktinai atrinktų elementų bus:

a) nuo 2 iki 4 pirmos klasės gaminių;
b) ne mažiau kaip 5 pirmos klasės gaminiai;
c) bent vienas žemesnės kokybės produktas.

Tikimybė pagaminti pirmos klasės gaminį nepriklauso nuo kitų gaminamų gaminių kokybės, todėl čia kalbame apie nepriklausomą testavimą. Stenkitės neapleisti būklės analizės, kitaip tai gali pasirodyti kaip įvykis priklausomas arba užduotis yra visai apie ką nors kita.

Sprendimas: tikimybė užkoduota procentais, kurią, primenu, reikia padalyti iš šimto: - tikimybė, kad pasirinkta prekė bus 1 klasės.
Tada: – tikimybė, kad jis nebus pirmos klasės.

a) Įvykis „Tarp 6 atsitiktinai atrinktų produktų bus nuo 2 iki 4 aukščiausios klasės prekių“ susideda iš trijų nesuderinamų rezultatų:

tarp gaminių bus 2 pirmos klasės arba 3 pirmos klasės arba 4 pirmos klasės.

Patogiau nagrinėti rezultatus atskirai. Bernoulli formulę naudojame tris kartus :

– tikimybė, kad bent 5 iš šešių kompiuterių veiks be gedimų per dieną.

Ši vertė Mums tai taip pat netiks, nes yra mažesnis nei reikalaujamas kompiuterių centro patikimumas:

Taigi šešių kompiuterių taip pat nepakanka. Pridėkime dar vieną:

3) Tegul kompiuterių centre būna kompiuteriai. Tada 5, 6 arba 7 kompiuteriai turėtų veikti nepriekaištingai. Naudojant Bernulio formulę ir nesuderinamų įvykių tikimybių pridėjimo teorema, suraskime tikimybę, kad bent 5 iš septynių kompiuterių veiks be gedimų per dieną.

Gerai žinoma J. Bernoulli teorema, nustatanti ryšį tarp įvykio dažnumo ir jo tikimybės, gali būti įrodyta kaip tiesioginė pasekmėįstatymas dideli skaičiai.

Tegul atliekami nepriklausomi eksperimentai, kurių kiekviename gali atsirasti arba nepasireikšti koks nors įvykis, kurio tikimybė kiekviename eksperimente yra lygi . J. Bernoulli teorema teigia, kad neribotai didėjant eksperimentų skaičiui, įvykio dažnis tikimybe suartėja su jo tikimybe.

Įvykių dažnumą eksperimentuose pažymėkime ir J. Bernoulli teoremą parašykime formulės forma

, (13.5.1)

kur, yra savavališkai maži teigiami skaičiai.

Šios formulės pagrįstumą reikia įrodyti pakankamai dideliam .

Įrodymas. Panagrinėkime nepriklausomus atsitiktinius dydžius:

Įvykio atvejų skaičius pirmame eksperimente;

Įvykio atvejų skaičius antrajame eksperimente ir kt.

Visi šie dydžiai yra nenutrūkstami ir turi tą patį pasiskirstymo dėsnį, išreikštą formos serija:

Kur. Kiekvieno dydžio matematinis lūkestis yra lygus , ir jo dispersija (žr. 10.3).

Dažnis yra ne kas kita, kaip vidutinis aritmetiniai dydžiai :

ir, pagal didelių skaičių dėsnį, tikimybe suartėja su bendru matematiniu šių atsitiktinių dydžių lūkesčiu. Tai reiškia nelygybės (13.5.1) pagrįstumą.

J. Bernoulli teorema teigia dažnio stabilumą pastoviomis eksperimento sąlygomis. Tačiau besikeičiančiomis patirties sąlygomis panašus stabilumas taip pat egzistuoja. Teorema, nustatanti dažnio stabilumo savybę ties kintamos sąlygos patirtis vadinama Puasono teorema ir formuluojama taip:

Jei atliekami nepriklausomi eksperimentai ir įvykio tikimybė tajame eksperimente yra lygi, tai didėjant įvykio dažniui, tikimybė konverguoja į aritmetinį tikimybių vidurkį.

Puasono teorema išvedama iš apibendrintos Čebyševo teoremos taip pat, kaip ir Bernulio teorema iš didelių skaičių dėsnio.

Puasono teorema yra labai svarbi praktinis pritaikymas tikimybių teorija. Esmė ta, kad dažnai tikimybiniai metodai yra naudojami tirti reiškinius, kurie tomis pačiomis sąlygomis neturi galimybės pasikartoti daug kartų, bet kartojasi daug kartų labai skirtingomis sąlygomis. skirtingos sąlygos, o mus dominančių įvykių tikimybė labai priklauso nuo šių sąlygų. Pavyzdžiui, tikimybė pataikyti į taikinį oro mūšyje labai priklauso nuo šaudymo nuotolio, taikinio kampo, skrydžio aukščio, šaudymo orlaivio ir taikinio greičio ir kt. Šių sąlygų kompleksas yra per didelis. tikėtis pakartotinio įgyvendinimo oro kovos būtent tokiomis nustatytomis sąlygomis. Ir vis dėlto, nepaisant to, į šis reiškinys yra tam tikras dažnių stabilumas, ty smūgio į taikinį dažnis realiose oro mūšiuose, vykdomuose įvairiomis sąlygomis, priartės prie vidutinės tikimybės pataikyti į taikinį, būdingą tam tikrai sąlygų grupei. Todėl tokie šaudymo organizavimo metodai, kurie yra pagrįsti maksimalia tikimybe pataikyti į taikinį, šiuo atveju bus pateisinami, nepaisant to, kad negalima tikėtis tikro masinio eksperimentų masto kiekvienoje konkrečioje sąlygų visumoje.

Panaši situacija ir tikimybinių skaičiavimų eksperimentinės patikros srityje. Praktikoje labai dažnai pasitaiko atvejis, kai reikia eksperimentiškai patikrinti, ar skaičiuojama įvykio tikimybė atitinka tikrąjį jo dažnį. Dažniausiai tai daroma siekiant patikrinti vienos ar kitos teorinės schemos, kuria grindžiamas įvykio tikimybės skaičiavimo metodas, teisingumą. Dažnai atliekant tokius eksperimentinius bandymus neįmanoma daug kartų atkurti tų pačių eksperimentinių sąlygų. Ir vis dėlto, šį patikrinimą galima atlikti, jei eksperimentiškai stebimą įvykio dažnį lyginame ne su jo tikimybe esant fiksuotoms sąlygoms, o su įvairioms sąlygoms apskaičiuotu tikimybių aritmetiniu vidurkiu.

Tegul atliekami nepriklausomi testai, kurių kiekviename yra įvykio tikimybė A lygus r . Kitaip tariant, tegul galioja Bernoulli schema. Ar galima numatyti, koks bus apytikslis santykinis įvykio dažnis? Teigiamai į šį klausimą atsako J. Bernoulli 1 įrodyta teorema, kuri buvo pavadinta „didžiųjų skaičių dėsniu“ ir padėjo pamatus tikimybių teorijai kaip mokslui 2.

Bernulio teorema: Jei kiekviename iš nepriklausomi bandymai, atlikti tomis pačiomis sąlygomis, tikimybė r įvykio atsiradimas A yra pastovus, tada santykinis įvykio dažnis A tikimybe suartėja su tikimybe r – išvaizda šio įvykio atskiroje patirtyje, tai yra

.

Įrodymas . Taigi, Bernoulli schema galioja,
. Pažymėkime pagal
diskretinis atsitiktinis dydis – įvykio įvykių skaičius A V – testas. Akivaizdu, kad kiekvienas iš atsitiktinių dydžių gali turėti tik dvi reikšmes: 1 (įvykis A įvyko) su tikimybe r Ir 0 (įvykis A neįvyko) su tikimybe
, tai yra

Nesunku rasti

Ar galima Čebyševo teoremą pritaikyti nagrinėjamiems dydžiams? Tai įmanoma, jei atsitiktiniai dydžiai yra poromis nepriklausomi ir jų dispersijos yra tolygiai ribojamos. Abi sąlygos yra įvykdytos. Iš tiesų, porinė dydžių nepriklausomybė
išplaukia iš to, kad testai yra nepriklausomi. Kitas 3
adresu
ir todėl visų dydžių dispersijos yra ribojamos, pavyzdžiui, skaičiumi
. Be to, atkreipkite dėmesį, kad kiekvienas iš atsitiktinių dydžių
kai įvyksta įvykis A atitinkamame teste paima vertę lygus vienam. Todėl suma
lygus skaičiui
- įvykių įvykiai A V testai, o tai reiškia

,

tai yra trupmena
lygus santykiniam dažniui įvykio įvykiai A V bandymai.

Tada, pritaikę Čebyševo teoremą nagrinėjamiems dydžiams, gauname:

Q.E.D.

komentuoti 1 : Bernulio teorema yra paprasčiausias ypatingas Čebyševo teoremos atvejis.

komentuoti 2 : Praktikoje nežinomos tikimybės dažnai turi būti apytiksliai nustatytos remiantis patirtimi, buvo atlikta daug eksperimentų, kad būtų patikrintas Bernulio teoremos sutapimas su patirtimi. Pavyzdžiui, XVIII amžiaus prancūzų gamtininkas Buffonas monetą išmetė 4040 kartų. Herbas iškrito 2048 kartus. Herbo atsiradimo dažnis Buffono eksperimente yra maždaug 0,507. Anglų statistikas K. Pearsonas monetą išmetė 12 000 kartų ir pastebėjo 6 019 monetų. Herbo dažnis šiame Pearsono eksperimente yra 0,5016. Kitą kartą jis išmetė monetą 24 000 kartų, o herbas iškilo 12 012 kartų; herbo praradimo dažnis šiuo atveju pasirodė lygus 0,5005. Kaip matome, visuose minėtuose eksperimentuose dažnis tik nežymiai nukrypo nuo 0,5 tikimybės – herbo atsiradimo dėl vieno monetos metimo.

komentuoti 3 : Būtų neteisinga iš Bernulio teoremos daryti išvadą, kad didėjant bandymų skaičiui, santykinis dažnis nuolat artėja prie tikimybės. r ; kitaip tariant,
Bernulio teorema nereiškia lygybės . Teoremoje tai tik tikimybės klausimas kad su pakankamai didelis skaičius bandymų, santykinis dažnis skirsis tiek mažai, kiek norima, nuo pastovios įvykio tikimybės kiekviename tyrime. Taigi, konvergencija r santykinis dažnis į tikimybę skiriasi nuo konvergencijos įprastos analizės prasme. Norėdami pabrėžti šį skirtumą, linkęs į
Į r kiek įmanoma įprastos analizės prasme, tada, pradedant nuo kai kurių
ir visoms vėlesnėms reikšmėms , nelygybė nuolat tenkinama
;jei linksta pagal tikimybęĮ r adresu
, tada individualioms vertybėms nelygybė gali nepasitvirtinti.

Puasono ir Markovo teoremos

Pastebėjo, jei keičiasi eksperimentinės sąlygos, tada įvykio santykinio dažnio stabilumo savybė A yra išsaugotas. Šią aplinkybę įrodė Puasonas.

Puasono teorema: neribotai didėjant nepriklausomų bandymų, atliekamų įvairiomis sąlygomis, skaičiui, santykinis įvykio dažnis A tikimybe suartėja su tam tikro įvykio tikimybių aritmetiniu vidurkiu kiekviename eksperimente, ty

.

komentuoti 4 : Nesunku suprasti, kad Puasono teorema yra ypatingas Čebyševo teoremos atvejis.

Markovo teorema: Jei atsitiktinių dydžių seka
(kad ir kaip priklauso) yra toks, kad kada

,

tai,
sąlyga įvykdyta:
.

komentuoti 5 : Akivaizdu, kad atsitiktiniai dydžiai
yra poromis nepriklausomi, tada Markovo sąlyga įgauna formą: kada

.

Tai rodo, kad Čebyševo teorema yra ypatingas Markovo teoremos atvejis.

Centrinės ribos teorema (Lyapunovo teorema)

Nagrinėjamos didelių skaičių dėsnio teoremos susijusios su tam tikrų atsitiktinių dydžių priartinimo prie tam tikrų ribinių dydžių, neatsižvelgiant į jų pasiskirstymo dėsnį, klausimais. Tikimybių teorijoje, kaip jau minėta, yra dar viena teoremų grupė, susijusi su atsitiktinių dydžių sumos pasiskirstymo ribiniais dėsniais. Bendras pavadinimasši teoremų grupė - centrinė ribinė kamera. Įvairios jo formos skiriasi atsitiktinių dydžių komponentų sumai keliamomis sąlygomis. Pirmą kartą vieną iš centrinės ribos teoremos formų įrodė išskirtinis rusų matematikas A. M. Lyapunovas, naudodamas specialiai jo sukurtą būdingų funkcijų metodą.

Liapunovo teorema: Nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos pasiskirstymo dėsnis
artėja prie normalaus paskirstymo dėsnio su neribotu padidėjimu (tai yra, kada
), jei tenkinamos šios sąlygos:

,

Pažymėtina, kad centrinės ribos teorema galioja ne tik tolydžioms, bet ir diskretiesiems atsitiktiniesiems dydžiams. Liapunovo teoremos praktinė reikšmė yra didžiulė. Patirtis rodo, kad nepriklausomų atsitiktinių dydžių, palyginamų jų sklaida, sumos pasiskirstymo dėsnis greitai artėja prie normalaus. Jau naudojant dešimties eilės terminus, sumos pasiskirstymo dėsnį galima pakeisti normaliu (ypač tokios sumos pavyzdys gali būti stebimų atsitiktinių dydžių verčių aritmetinis vidurkis, tai yra
).

Ypatingas centrinės ribos teoremos atvejis yra Laplaso teorema. Jame, kaip prisimenate, nagrinėjamas atvejis, kai atsitiktiniai dydžiai
yra diskretiški, vienodai paskirstyti ir priimti tik du galimas vertes: 0 ir 1.

Toliau – tikimybė, kad esančiame intervale
galima apskaičiuoti naudojant formulę

.

Naudojant Laplaso funkciją, paskutinę formulę galima parašyti skaičiavimams patogia forma:

Kur
.

PAVYZDYS. Išmatuokime kokį nors fizinį dydį. Bet koks matavimas duoda tik apytikslę išmatuotos vertės reikšmę, nes matavimo rezultatą įtakoja daug nepriklausomų atsitiktinių veiksnių (temperatūra, prietaiso svyravimai, drėgmė ir kt.). Kiekvienas iš šių veiksnių sukuria nereikšmingą „dalinę klaidą“. Tačiau kadangi šių veiksnių skaičius yra labai didelis, jų bendras poveikis sukelia pastebimą „visuminę paklaidą“.

Laikydami bendrą paklaidą kaip labai daug vienas nuo kito nepriklausomų dalinių klaidų sumą, turime teisę daryti išvadą, kad bendrosios paklaidos pasiskirstymas artimas normaliajam. Patirtis patvirtina šios išvados pagrįstumą.

2 J. Bernoulli pasiūlytas įrodymas buvo sudėtingas; paprastesnį įrodymą pateikė P. Čebyševas 1846 m.

3 Žinoma, kad dviejų veiksnių sandauga, kurių suma yra pastovi, turi didžiausią reikšmę, kai veiksniai yra lygūs.

Didžiųjų skaičių dėsnis (Čebyševo teorema).

Šiame nr mes įrodysime vieną iš paprasčiausių, bet tuo pačiu ir labiausiai svarbios formosįstatymas didelių skaičių teoremaČebyševa. Ši teorema nustato ryšį tarp stebimų atsitiktinio dydžio verčių aritmetinio vidurkio ir jo matematinio lūkesčio.

Pirmiausia išspręskime šią pagalbinę problemą.

Yra atsitiktinis kintamasis su matematiniais lūkesčiais ir dispersija. Su šiuo kiekiu atliekami nepriklausomi eksperimentai ir apskaičiuojamas visų pastebėtų kiekio verčių aritmetinis vidurkis. Reikia surasti skaitinės charakteristikosšį aritmetinį vidurkį – matematinį lūkestį ir dispersiją – ir sužinokite, kaip jie keičiasi didėjant .

Pažymime:

Kiekio reikšmė pirmame eksperimente;

Kiekio reikšmė antrajame eksperimente ir kt.

Aišku, kiekių rinkinys reiškia nepriklausomus atsitiktinius dydžius, kurių kiekvienas yra paskirstytas pagal tą patį dėsnį kaip ir pati reikšmė. Panagrinėkime šių reikšmių aritmetinį vidurkį:

Atsitiktinis dydis yra tiesinė nepriklausomų atsitiktinių dydžių funkcija . Raskime matematinįšio kiekio lūkesčius ir dispersiją. Pagal savybes matematinis lūkestis ir dispersiją, kad nustatytų tiesinių funkcijų skaitines charakteristikas, gauname:

Taigi matematinis reikšmės lūkestis nepriklauso nuo eksperimentų skaičiaus ir yra lygus stebimos reikšmės matematiniam lūkesčiui. Kalbant apie vertės sklaidą, ji be apribojimų mažėja didėjant eksperimentų skaičiui ir, jei pakankamai didelė, turėtų būti tokia maža, kiek norima. Esame įsitikinę, kad aritmetinis vidurkis yra atsitiktinis dydis su savavališkai maža dispersija ir, atlikus daug eksperimentų, elgiasi beveik kaip neatsitiktinai.

Čebyševo teorema tiksliai nustato kiekybinė forma Tai aritmetinio vidurkio stabilumo savybė. Jis suformuluotas taip:

Esant pakankamai dideliam nepriklausomų eksperimentų skaičiui, atsitiktinio dydžio stebimų verčių aritmetinis vidurkis suartėja su jo matematiniais lūkesčiais.

Parašykime Čebyševo teoremą formulės pavidalu. Norėdami tai padaryti, paaiškinkime termino „konverguoja tikimybė“ reikšmę. Jie sako, kad atsitiktinis kintamasis pagal tikimybę konverguoja į reikšmę e, jei, didėjant tikimybei, kad ir bus savavališkai artimi, neribotai artėja prie vieneto, o tai reiškia, kad su pakankamai dideliu

kur yra savavališkai maži teigiami skaičiai.

Parašykime Čebyševo teoremą panašia forma. Ji teigia, kad didinant aritmetinį vidurkį

Tikimybe konverguoja į , t.y.

(6.7)

Įrodykime šią nelygybę.

Įrodymas. Virš šios vertės buvo parodyta

turi skaitines charakteristikas

Taikyti atsitiktiniam kintamajam Y Čebyševo nelygybė, darant prielaidą, kad:

Kad ir koks mažas skaičius būtų, jį galima paimti tokį didelį, kad galioja nelygybė

kur yra savavališkai mažas skaičius.

iš kur, pereinant prie priešingo įvykio, turime:

Q.E.D.

Gerai žinoma J. Bernoulli teorema, nustatanti ryšį tarp įvykio dažnumo ir jo tikimybės, turi būti įrodyta kaip tiesioginė didelių skaičių dėsnio pasekmė.

Tegul jis gaminamas n nepriklausomi eksperimentai, kurių kiekviename įvykis gali pasirodyti arba nepasireikšti A, kurio tikimybė kiekviename eksperimente yra lygi r . J. Bernoulli teorema teigia, kad atliekant neribotą eksperimentų skaičių n, įvykio A dažnis pagal tikimybę konverguoja į jo tikimybę r.

Įvykio A dažnį n eksperimentuose pažymėkime P ir formulę parašykime Bernulio teoremą

kur ir yra savavališkai maži teigiami skaičiai.

Šios formulės pagrįstumą reikia įrodyti pakankamai dideliam n .

Įrodymas. Panagrinėkime nepriklausomus atsitiktinius dydžius:

X 1 – įvykio atvejų skaičius A pirmame eksperimente;

X 2– įvykio atvejų skaičius A antrajame eksperimente ir kt.

Visi šie dydžiai yra atskiri ir turi tą patį pasiskirstymo dėsnį, išreikštą formos serija

Čia q = 1 – p. Kiekvieno iš šių dydžių X i matematinė lūkestis yra lygi p, o jo dispersija yra pq (žr. L3-p3.2).

Dažnis R yra ne kas kita, kaip dydžių X 1, X 2, ..., X n aritmetinis vidurkis:

P = i /n ,

ir, pagal didelių skaičių dėsnį, tikimybe suartėja su bendru matematiniu šių atsitiktinių dydžių lūkesčiu. Tai reiškia nelygybės pagrįstumą (6. 1) .

Bernulio teorema. - koncepcija ir rūšys. Kategorijos „Bernulio teorema“ klasifikacija ir ypatybės. 2017 m., 2018 m.

13.3 teorema (Bernulio teorema). Jei kiekviename iš n nepriklausomų eksperimentų tikimybė rįvykio atsiradimas A yra pastovi, tada su pakankamai dideliu bandymų skaičiumi tikimybė, kad santykinio įvykių dažnio nuokrypio modulis A V n eksperimentai iš r bus toks mažas, kiek norima, tiek arti 1, kiek pageidaujama:

Įrodymas. Įveskime atsitiktinius kintamuosius X 1 , X 2 , …, X p, Kur Xi – pasirodymų skaičius A V i-m patirties. Tuo pačiu metu X i gali turėti tik dvi reikšmes: 1 (su tikimybe r) ir 0 (su tikimybe q = 1 – p). Be to, nagrinėjami atsitiktiniai dydžiai yra poromis nepriklausomi ir jų dispersijos yra tolygiai apribotos (nes D(X i) = pq, p + q = 1, iš kur pq≤ ¼). Vadinasi, jiems galima pritaikyti Čebyševo teoremą, kai M i = p:

.

Bet , nes X i pasirodžius įgauna 1 reikšmę A V šią patirtį, o reikšmė lygi 0, jei A neįvyko. Taigi,

Q.E.D.

komentuoti. Iš Bernulio teoremos neturėtų, Ką Tai apie tik apie tikimybės kad skirtumas tarp santykinio dažnio ir absoliučios tikimybės gali tapti savavališkai mažas. Skirtumas yra toks: atsižvelgiant į įprastą konvergenciją matematinė analizė, visiems n, pradedant nuo tam tikros reikšmės, nelygybė visada tenkinama; mūsų atveju gali būti tokių vertybių n, kuriai ši nelygybė nėra teisinga. Šis konvergencijos tipas vadinamas tikimybės konvergencija.

Darbo pabaiga -

Ši tema priklauso skyriui:

Didelių skaičių dėsnis. Čebyševo nelygybė. Čebyševo ir Bernulio teoremos

Svetainėje parašyta: "didžiųjų skaičių dėsnis. Čebyševo nelygybė. Čebyševo ir Bernulio teoremos"

Jei reikia papildomos medžiagosšia tema, arba neradote to, ko ieškojote, rekomenduojame pasinaudoti paieška mūsų darbų duomenų bazėje:

Ką darysime su gauta medžiaga:

Jei ši medžiaga jums buvo naudinga, galite ją išsaugoti savo puslapyje socialiniuose tinkluose:

Visos temos šiame skyriuje:

Didelių skaičių dėsnis. Čebyševo nelygybė. Čebyševo ir Bernulio teoremos
Statistinių modelių tyrimas leido nustatyti, kad tam tikromis sąlygomis bendras elgesys didelis kiekis atsitiktiniai dydžiai beveik praranda atsitiktinį pobūdį ir tampa

Čebyševo nelygybė
Čebyševo nelygybė, naudojama tolimesnėms teoremoms įrodyti, galioja tiek nuolatiniams, tiek diskretiesiems atsitiktiniams dydžiams. Įrodykime tai diskretiesiems atsitiktiniams dydžiams.

Čebyševo ir Bernulio teoremos
13.2 teorema (Čebyševo teorema). Jei X1, X2,..., Xn yra poromis nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, kurių dispersijos yra vienodos

Liapunovo centrinės ribos teorema. Moivre-Laplaso ribinė teorema
Didžiųjų skaičių dėsnis formos nenagrinėja limito įstatymas atsitiktinių dydžių sumos pasiskirstymas. Šis klausimas nagrinėjamas teoremų grupėje, vadinamoje centrine ribos teorema. APIE

Dažnio daugiakampis. Mėginio paskirstymo funkcija ir histograma
Norėdami vizualizuoti tiriamo atsitiktinio kintamojo elgesį pavyzdyje, galite sudaryti įvairius grafikus. Vienas iš jų – dažninis daugiakampis: trūkinė linija, kurios atkarpos sujungtos

Dvimatis atsitiktinis vektorius
At statistiniai tyrimai Dvimačių atsitiktinių dydžių atveju pagrindinė užduotis paprastai yra nustatyti ryšį tarp komponentų.

Dvimatis pavyzdys yra rinkinys
Sąmatų sudarymo metodai

1. Didžiausios tikimybės metodas.
1. Tegu X yra diskretusis atsitiktinis kintamasis, kuris n testų rezultatas įgauna reikšmes x1, x Pasitikėjimo intervalų sudarymas Pasitikėjimo intervalasįvertinti matematinį lūkestį