Sudėtinga funkcija Taip atrodo Weierstrass
kur – kai kurie realus skaičius, bet rašoma kaip , arba kaip . Tikroji ir menamoji funkcijos dalys vadinamos atitinkamai kosinusu ir Weierstrass sinusoidais.
Funkcija yra nuolatinė, bet niekur nesiskirianti. Tačiau formalus jo apibendrinimas atveju yra tęstinis ir diferencijuojamas.
Be pačios funkcijos, šiame skyriuje aptariamos kai kurios jos parinktys; jų pateikimo poreikį lemia nauja prasmė, kurią fraktalų teorija suteikė Weierstrass funkcijai.
Funkcijos dažnių spektras. Terminas „spektras“, mano nuomone, yra perkrautas reikšmių. Dažnių spektras nurodo rinkinį priimtinos vertės dažnius, neatsižvelgiant į atitinkamų komponentų amplitudes.
Periodinės funkcijos dažnių spektras yra teigiamų sveikųjų skaičių seka. Brauno funkcijos dažnių spektras yra . Weierstrass funkcijos dažnių spektras yra diskreti seka nuo iki .
Funkcijos energijos spektras. Subenergijos spektras suprantamas kaip leistinų dažnių verčių rinkinys kartu su atitinkamų komponentų energijos vertėmis (amplitudės kvadratais). Kiekvienai formos dažnio vertei funkcijoje yra formos energijos spektrinė linija 
. Vadinasi, bendra energijos vertė esant dažniams konverguoja ir yra proporcinga 
.
Palyginimas su trupmeniniu Brauno judesiu. Bendra energija yra proporcinga keletu kitų atvejų, kuriuos nagrinėjome anksčiau: trupmeninės periodinės atsitiktinės Furjė–Brauno–Vinerio funkcijos, kurių leistini dažniai turi formą ir atitinkami Furjė koeficientai yra lygūs ; atsitiktiniai procesai kurių ištisinis spektrinis populiacijos tankis proporcingas . Naujausi procesai yra ne kas kita, kaip trupmeninės Brauno funkcijos, aprašytos 27 skyriuje. Pavyzdžiui, galima aptikti kaupiamąjį Weierstrass funkcijos spektrą įprastame Brauno judesyje, kurio spektrinis tankis yra proporcingas . Esminis skirtumas: Brauno spektras yra absoliučiai nenutrūkstamas, o Furjė–Brauno–Vienerio ir Weierstrass funkcijų spektrai yra atskiri.
Nediferencijuojamumas. Norėdamas įrodyti, kad funkcija neturi baigtinės išvestinės jokiai reikšmei, Weierstrassas turėjo sujungti dvi šias sąlygas: yra nelyginis sveikasis skaičius, todėl funkcija yra Furjė serija ir . Būtinas ir pakankamai sąlygų( ir ) mes paėmėme iš Hardy straipsnio.
Energijos suvartojimas. Fizikui, pripratusiam prie spektrų, Hardy sąlygos atrodo akivaizdžios. Taikydamas empirinę taisyklę, kad funkcijos išvestinė apskaičiuojama jos Furjė koeficientą padauginus iš , fizikas formaliai funkcijos išvestinei nustato, kad Furjė koeficiento c kvadratinė amplitudė yra lygi 
. Kadangi bendra energija dažniuose, didesniuose nei θ, yra begalinė, fizikai tampa aišku, kad išvestinės negalima nustatyti.
Įdomu pastebėti, kad Riemann, ieškodamas nediferencijavimo pavyzdžio, sugalvojo funkciją 
, kurio spektrinė energija dažniuose, didesniuose nei , yra proporcinga , Kur . Taigi, naudojant tuos pačius euristinius samprotavimus, galima daryti prielaidą, kad išvestinė yra nediferencijuojama. Ši išvada yra tik iš dalies teisinga, nes esant tam tikroms vertėms išvestinė vis dar egzistuoja (žr.
Ultravioletinė divergencija/katastrofa. Sąvoka „katastrofa“ fizikoje atsirado pirmajame dvidešimtojo amžiaus dešimtmetyje, kai Rayleighas ir Jeansas savarankiškai sukūrė juodojo kūno spinduliuotės teoriją, pagal kurią dažnių diapazono pločio energija šalia dažnio yra proporcinga . Tai reiškia, kad bendra spektro energija yra aukšti dažniai begalinis – tai teorijai pasirodo labai katastrofiška. Kadangi problemų šaltinis kyla iš dažnių, esančių už ultravioletinės spektro dalies, reiškinys vadinamas ultravioletine (UV) katastrofa.
Visi žino, kad Plankas pastatė savo kvantinė teorija ant griuvėsių, kuriais UV katastrofa pavertė radiacijos teoriją.
Istorinis atsitraukimas. Atkreipkime dėmesį (nors nelabai suprantu, kodėl niekas to anksčiau nedarė; bet kuriuo atveju nieko panašaus man turimuose šaltiniuose neradau), kad ir senosios fizikos, ir senosios matematikos mirties priežastis yra ta pati. divergencija, kuri sugriovė jų įsitikinimą, kad nuolatinės funkcijos tiesiog turi būti diferencijuojamos. Fizikai sureagavo paprastas pakeitimasžaidimo taisyklės, matematikai turėjo išmokti gyventi su nediferencijuojančiomis funkcijomis ir formaliosiomis jų išvestinėmis. (Pastarasis yra vienintelis apibendrintos Schwarz funkcijos, dažnai naudojamos fizikoje, pavyzdys.)
Ieškant masto nekintamo diskretiško spektro. Infraraudonųjų spindulių divergencija. Nors dažnių spektras Brauno funkcija yra ištisinė, masto nekintama ir egzistuoja esant , Weierstrass funkcijos dažnių spektras, atitinkantis tą pačią reikšmę, yra diskretus ir apribotas iš apačios reikšme. Apatinės ribos buvimas yra susijęs tik su tuo, kad Weierstrass skaičius iš pradžių buvo sveikasis skaičius, o funkcija buvo periodinė. Norint pašalinti šią aplinkybę, akivaizdu, kad turėtų būti leidžiama įvesti bet kokią reikšmę nuo iki . O kad energijos spektras taptų mastelio nekintamas, užtenka kiekvieną dažnio komponentą susieti su amplitude.
Deja, gautos serijos skiriasi ir dėl to kalti žemo dažnio komponentai. Šis defektas vadinamas infraraudonųjų spindulių (IR) divergencija (arba „katastrofa“). Kad ir kaip būtų, mes turime taikstytis su šiuo skirtumu, nes priešingu atveju apatinė riba prieštarauja energijos spektrui būdingam savęs panašumui.
Modifikuota Weierstrass funkcija, savarankiška židinio laiko atžvilgiu. Paprasčiausia procedūra, leidžianti tęsti Weierstrass funkcijos dažnių spektrą iki vertės ir išvengti katastrofiškų pasekmių, susideda iš dviejų etapų: pirmiausia gauname išraišką. 
, ir tik tada leiskite jam įgauti bet kokią reikšmę nuo iki . Papildomi terminai, atitinkantys reikšmes, susilieja, o jų suma yra ištisinė ir diferencijuojama. Funkcija pakeista tokiu būdu
vis dar yra tęstinis, bet niekur nesiskiriantis.
Be to, jis yra masto nekintamas ta prasme
.
Taigi funkcija 
nepriklauso nuo. Galime pasakyti kitaip: su funkcija 
nepriklauso nuo. Tai yra, funkcija 
, jo tikroji ir įsivaizduojama dalys yra savarankiškos formos ir židinio laiko vertybių atžvilgiu.
Gauso atsitiktinės funkcijos su apibendrintu Weierstrass spektru. Kitas žingsnis link realizmo ir plataus pritaikomumo yra apibendrintos Weierstrass funkcijos atsitiktinės atrankos. Paprasčiausias ir labiausiai natūralus metodas susideda iš jo Furjė koeficientų padauginimo iš nepriklausomo Gauso komplekso atsitiktiniai dydžiai su nuliu matematiniu lūkesčiu ir vieneto dispersija. Tikroji ir įsivaizduojama gautos funkcijos dalys gali būti teisingai vadinamos Weierstrass–Gauss (modifikuotomis) funkcijomis. Tam tikromis prasmėmis šios funkcijos gali būti laikomos apytikslėmis trupmeninėmis Brauno funkcijomis. Kai reikšmės sutampa, jų spektrai yra tokie pat panašūs, kaip tai, kad vienas iš šių spektrų yra ištisinis, o kitas – diskretus. Be to, Orey ir Marcus rezultatai (žr. p. 490) taikytini Weierstrass–Gauss funkcijoms, o jų lygių aibių fraktaliniai matmenys sutampa su trupmeninių Brauno funkcijų lygių aibių fraktaliniais matmenimis.
Atsižvelgiant į precedentą, pavaizduotą trupmena Brauno judesys, galime daryti prielaidą, kad Weierstrass-Rademacher funkcijos nulinių rinkinių matmenys bus lygūs . Ši prielaida patvirtinta , bet tik sveikiesiems skaičiams.
Singhas mini daug kitų Weierstrass funkcijos variantų. Kai kurių iš jų rinkinių nulinį matmenį nesunku įvertinti. Apskritai ši tema neabejotinai nusipelno išsamesnio tyrimo, atsižvelgiant į šiuolaikinės teorinės minties pasiekimus.
„Ar teiginys S yra teisingas?“ tikriausiai yra tipiškiausias matematikos klausimas, kai teiginys yra tokios formos: „Kiekvienas A klasės elementas taip pat priklauso B klasei: A B“. Įrodyti, kad toks teiginys teisingas, reiškia įrodyti A įtraukimą į B. Įrodyti, kad jis klaidingas, reiškia rasti A klasės elementą, kuris nepriklauso B klasei, kitaip tariant, pateikti priešingą pavyzdį. Pavyzdžiui, jei teiginys S yra: „Kiekviena ištisinė funkcija tam tikru momentu yra diferencijuota“, tada aibes A ir B sudaro visos tolydžios funkcijos ir visos funkcijos, kurios tam tikruose taškuose yra diferencijuojamos, kaip žinomas Weierstrass tolydžios, bet niekur nediferencijuojamos funkcijos pavyzdys f yra priešingas pavyzdys A įtraukimui į B, nes f yra A elementas, kuris nepriklauso B. Jei rizikuojame būti pernelyg supaprastinta, galime pasakyti, kad matematika (išskyrus apibrėžimus, teiginius ir skaičiavimus) susideda iš dviejų dalys – įrodymai ir kontrapavyzdžiai, ir matematiniai atradimai susideda iš įrodymų radimo ir priešingų pavyzdžių konstravimo.
Tai lemia priešpriešinių pavyzdžių aktualumą formuojant ir plėtojant matematiką.
Dauguma matematikos knygos yra skirta įrodyti teisingus teiginius.
Paprastai tariant, matematikos pavyzdžiai yra dviejų tipų – iliustruojantys pavyzdžiai ir kontrapavyzdžiai. Pirmieji parodo, kodėl tas ar kitas teiginys turi prasmę, o antrieji – kodėl tas ar kitas teiginys yra beprasmis. Galima teigti, kad bet koks pavyzdys tuo pačiu yra ir priešingas pavyzdys tam tikram teiginiui, būtent teiginiui, kad toks pavyzdys neįmanomas. Nenorime terminui kontrapavyzdys suteikti tokios universalios reikšmės, tačiau pripažįstame, kad jo reikšmė pakankamai plati, kad apimtų visus pavyzdžius, kurių vaidmuo neapsiriboja tikrų teoremų iliustravimu. Taigi, pavyzdžiui, polinomas kaip tolydžios funkcijos pavyzdys nėra priešinis pavyzdys, o daugianomas kaip neribotos arba neperiodinės funkcijos pavyzdys yra priešinis pavyzdys. Panašiai visų monotoniškų funkcijų klasė ribotame uždarame intervale kaip integruojamų funkcijų klasė nėra priešinis pavyzdys, tačiau ta pati klasė kaip funkcinės, bet ne vektorinės erdvės pavyzdys yra priešinis pavyzdys.
Šio darbo tikslas – išnagrinėti funkcijos monotoniškumo analizės priešingus pavyzdžius ir sąlygas.
Norint pasiekti tikslą, buvo iškeltos šios užduotys:
1. Analizuodami apsvarstykite priešingus pavyzdžius
2. Apibrėžkite priešingo pavyzdžio sąvoką
3. Apsvarstykite galimybę naudoti priešpriešinius pavyzdžius diferencijuojant
4. Apibrėžkite funkcijų monotoniškumo sampratą
5. Apibūdinkite funkcijos monotoniškumo sąlygas
6. Apsvarstykite būtiną vietinio ekstremumo sąlygą
7. Apsvarstykite pakankamas sąlygas vietiniam ekstremumui
1. Priešingi pavyzdžiai analizėje
1.1. Priešingo pavyzdžio samprata
Populiarūs posakiai: „mokykis iš pavyzdžių“, „pavyzdžio galia“ turi ne tik kasdienę reikšmę. Žodis „pavyzdys“ turi tą pačią šaknį kaip ir žodžiai „matuoti“, „matuoti“, „matuoti“, tačiau tai nėra vienintelė priežastis, kodėl matematikoje jis yra nuo pat pradžių. Pavyzdys iliustruoja sąvoką, padeda suprasti jos prasmę, patvirtina teiginio tikrumą konkrečia jo apraiška; priešingas pavyzdys, paneigiantis melagingą teiginį, turi įrodomąją galią.
Priešinis pavyzdys yra pavyzdys, paneigiantis tam tikro teiginio teisingumą.
Priešpriešinio pavyzdžio kūrimas yra įprastas būdas paneigti hipotezes. Jei yra toks teiginys, kaip „Bet kuriam X iš aibės M galioja savybė A“, šio teiginio priešinis pavyzdys būtų bet koks objektas X 0 iš aibės M, kurio savybė A negalioja.
Klasikinis skaičiavimo istorijos pavyzdys yra Bernardo Bolzano sukonstruota funkcija, kuri yra ištisinė visoje realioje ašyje ir nėra diferencijuojama jokiame taške. Ši funkcija buvo kaip priešpriešinis pavyzdys hipotezei, kad funkcijos diferencijavimas yra natūrali jos tęstinumo pasekmė.
2.2. Priešingų pavyzdžių naudojimas diferencijuojant
Ši dalis pasirinkta dėl to, kad diferenciacija yra pagrindinis matematinės analizės elementas.
Kai kuriuose šio skyriaus pavyzdžiuose terminas išvestinė taip pat bus taikomas begalinėms riboms.
Tačiau terminas diferencijuojama funkcija vartojamas tik tuo atveju, jei funkcija turi baigtinę išvestinę kiekviename jos apibrėžimo srities taške. Sakoma, kad funkcija yra be galo diferencijuota, jei ji turi bet kokios eilės (baigtinę) išvestinę kiekviename savo srities taške.
Eksponentinė funkcija su baze e bus pažymėta simboliu ex x arba exp(x).
Daroma prielaida, kad visi rinkiniai, įskaitant domenus ir funkcijų reikšmių rinkinius, yra R poaibiai. Priešingu atveju bus atliktas atitinkamas paaiškinimas.
1. Neišvestinė funkcija
Funkcija sgnA: ir apskritai bet kuri funkcija, turinti pertrūkį šuolio pavidalu, neturi primityvumo, t. y. nėra jokios funkcijos išvestinė, nes ji neturi Koši savybės priimti visas tarpines reikšmes, ir tai savybė būdinga ne tik tęstinėms funkcijoms, bet ir išvestinėms (žr. p. 84, b. 40, taip pat, t. I, p. 224). Žemiau pateikiamas nepertraukiamo išvestinio pavyzdys.
2. Diferencijuojama funkcija su nepertraukiama išvestine
Apsvarstykite funkciją
Jo darinys
nenutrūkstamas taške x = 0.
3. Nepertraukiama funkcija, kuri visur turi išvestinę (nebūtinai baigtinę)
Kad toks pavyzdys taptų įmanomas, išvestinės apibrėžimas turi būti išplėstas įtraukiant ± reikšmes. Tada nepertraukiama funkcija sgn x (1 pavyzdys) turi išvestinę
4. Diferencijuojama funkcija, kurios išvestinė neišsaugo ženklo jokioje vienpusėje ekstremalaus taško kaimynystėje
turi absoliutų minimumą taške x = 0. Ir jo išvestinė
bet kurioje vienpusėje nulio kaimynystėje ima ir teigiamą, ir neigiamos reikšmės. Funkcija f nėra monotoniška bet kurioje vienpusėje taško x = 0 kaimynystėje.
5. Diferencijuojama funkcija, kurios išvestinė tam tikru momentu yra teigiama, bet pati funkcija nėra monotoniška nė vienoje šio taško kaimynystėje
turi išvestinę, lygią
Bet kurioje nulio kaimynystėje išvestinė f/(x) turi ir teigiamas, ir neigiamas reikšmes.
6. Funkcija, kurios išvestinė yra baigtinė, bet neapribota uždarame intervale
Apsvarstykite funkciją
Jo darinys
neapsiriboja [-1, 1].
7. Funkcija, kurios išvestinė egzistuoja ir yra ribota, bet neturi (absoliutaus) ekstremumo uždarame intervale
turi išvestinę
Bet kurioje nulio kaimynystėje šios išvestinės vertės yra savavališkai artimos 24 ir -24. Kita vertus, už 0 Todėl iš nelygybės 0< h
1 следует, что 8. Visur ištisinė, bet niekur nesiskirianti funkcija Funkcija | x | yra tolydi visur, bet nediferencijuojama taške x - 0. Naudojant šios funkcijos poslinkį, galima apibrėžti visur tolydiąją funkciją, kuri nėra diferencijuota kiekviename savavališkai duotosios baigtinės aibės taške. Šiame skyriuje pateiksime pavyzdį naudojant begalinį funkcijos | poslinkių skaičių x |. Parodykime, kad funkcija niekur nesiskiria. Tegul a yra savavališkas realusis skaičius, o kiekvienam natūraliajam skaičiui n pasirenkamas skaičius h n, lygus 4 -n arba –4 -n, kad Tada dydis būtų vienodas | h n | visiems m n ir lygus nuliui, kai m > n. Tada skirtumo santykis yra sveikasis skaičius, kuris yra lygus, kai n yra lyginis, ir nelyginis, kai n yra nelyginis. Iš to išplaukia, kad riba neegzistuoja, taigi ir neegzistuoja ir Pateiktas pavyzdys yra B. L. Van der Waerden 1930 m. sukonstruoto pavyzdžio modifikacija (žr., p. 394). Pirmąjį ištisinės, niekur nesiskiriančios funkcijos pavyzdį sukūrė K. W. T. Weierstrassas (vokiečių matematikas, 1815–1897): kur a yra sveikas skaičius nelyginis skaičius, o skaičius b yra toks, kad Šiuo metu žinomi pavyzdžiai nuolatinės funkcijos, kurios jokiame taške neturi net vienpusės baigtinės ar begalinės išvestinės. Šiuos pavyzdžius ir kitas nuorodas galima rasti (p. 392-394), (p. 61-62, 115, 126) ir (t. II, p. 401-412). Šio pavyzdžio funkcija nėra monotoniška jokiu intervalu. Be to, yra visur diferencijuojamos ir niekur ne monotoniškos funkcijos pavyzdys (žr. II t., p. 412–421). Šio pavyzdžio konstrukcija yra labai sudėtinga ir lemia funkciją, kuri visur skiriasi ir turi tankus rinkinys santykiniai maksimumai ir tankus santykinių minimumų rinkinys. 9. Diferencijuojama funkcija, kuriai negalioja vidutinės reikšmės teorema Šiame pavyzdyje vėl esame priversti kreiptis į sudėtingos vertės funkciją. Funkcija tikrojo kintamojo x visur yra tęstinis ir diferencijuotas (žr. p. 509–513). Tačiau nėra tokio intervalo, kuriam kai kuriems būtų taikoma lygybė Jei darysime prielaidą, kad ši lygybė įmanoma, tai sulyginus abiejų jos dalių modulių kvadratus (absoliučiąsias reikšmes) gauname lygybę kuri po elementariųjų transformacijų įgauna formą Tačiau kadangi nėra teigiamo skaičiaus h, kad sin h = h (žr. 78 psl.), gauname prieštaravimą. 13. Be galo diferencijuota monotoninė funkcija f tokia, kad Jei monotoniškumas nereikalingas, tai trivialus tokios funkcijos pavyzdys būtų, pavyzdžiui, (sinx 2)/x. Sukurkime monotoniškos funkcijos, turinčios nurodytą savybę, pavyzdį. Tegul f(x) yra lygus 1 for ir lygus uždaruose intervaluose for Likusiuose tarpiniuose formos intervaluose naudodamiesi funkcija nustatome f(x). taikant horizontalius ir vertikalius poslinkius bei dauginimą iš atitinkamų neigiamų faktorių. 2.1. Funkcijų monotonija Laikoma, kad funkcija f (x) didėja intervale D, jei bet kokie skaičiai x 1 ir x 2 iš intervalo D taip, kad x 1< x 2 , выполняется неравенство
f (x 1) < f (x 2). Laikoma, kad funkcija f (x) mažėja intervale D, jei bet kokie skaičiai x 1 ir x 2 iš intervalo D taip, kad x 1< x
2 , выполняется неравенство f (x 1) >f(x2). 1 pav. Paveiksle pavaizduotame grafike funkcija y = f (x) didėja kiekviename iš intervalų [ a ; x 1) ir (x 2 ; b ] ir mažėja intervale (x 1 ; x 2). Atkreipkite dėmesį, kad funkcija didėja kiekviename intervale [a ; x 1) ir (x 2 ; b ], bet ne sąjungos spragas Jei funkcija didėja arba mažėja tam tikru intervalu, tai šiame intervale ji vadinama monotoniška. Atkreipkite dėmesį, kad jei f yra monotoninė funkcija intervale D (f (x)), tai lygtis f (x) = const negali turėti daugiau nei vienos šaknies šiame intervale. Iš tiesų, jei x 1< x 2 – корни этого
уравнения на промежутке D (f (x)), то f (x 1) = f (x 2) = 0, что противоречит
условию монотонности. Išvardinkime savybes monotoniškos funkcijos(manoma, kad visos funkcijos apibrėžtos tam tikru intervalu D). Panašūs teiginiai gali būti suformuluoti mažėjančiai funkcijai. Ryžiai. 2. Funkcijos savybės. Taškas a vadinamas maksimaliu funkcijos f tašku, jei taško a ε kaimynystė yra tokia, kad bet kuriai x šioje kaimynystėje galioja nelygybė f (a) ≥ f (x). Taškas a vadinamas funkcijos f minimaliu tašku, jei taško a ε kaimynystė yra tokia, kad bet kuriai x šioje kaimynystėje galioja nelygybė f (a) ≤ f (x). Taškai, kuriuose pasiekiamas funkcijos maksimumas arba minimumas, vadinami ekstremumais. Ekstremumo taške pasikeičia funkcijos monotoniškumo pobūdis. Taigi, kairėje nuo ekstremumo taško funkcija gali padidėti, o į dešinę - mažėti. Pagal apibrėžimą ekstremumo taškas turi būti vidinis taškas apibrėžimo sritis. Jei bet kuriai (x ≠ a) galioja nelygybė f (x) ≤ f (a), tada taškas a vadinamas didžiausios funkcijos reikšmės tašku aibėje D: Jei bet kuriai (x ≠ b) nelygybė f (x) > f (b) tenkinama, tai taškas b vadinamas funkcijos minimalios reikšmės tašku aibėje D. Apibrėžimas 1. Funkcija vadinama skiriasi
taške Kur Teorema 1. Funkcija Įrodymas.Būtinybė. Tegul funkcija Tinkamumas. Tegul tai egzistuoja Teorema įrodyta. komentuoti. Iš 1 teoremos išplaukia, kad funkcijos, turinčios baigtinę išvestinę ir diferencijuojamą funkciją, sąvokos yra lygiavertės. Todėl funkcija, kuri turi baigtinę išvestinę, gali būti vadinama diferencijuojama, ką ir daro kai kurių vadovėlių autoriai. Kaip funkcijų tęstinumo ir diferencijavimo savybės yra susijusios viena su kita? Vyksta Teorema 2.
Jei funkcija Įrodymas. Nes taške Teorema įrodyta. Netiesa atvirkščiai, tai yra, yra nenutrūkstamų funkcijų, kurios nėra diferencijuojamos. Pavyzdys 1. Parodykime, kad funkcija Sprendimas. Raskime funkcijos prieaugį taške Matematinės analizės metu yra funkcijų, kurios yra ištisinės kiekviename skaičių linijos taške, bet nediferencijuojamos, pavyzdžių. Jie turi sudėtingą dizainą. Teorema 3. Tegul funkcija arba trumpai tariant, Įrodymas. Suteikime vertę Atkreipkite dėmesį, kad jei Kadangi dešinėje lygybės pusėje yra riba, taip pat yra riba ir kairėje pusėje ir Teorema įrodyta. komentuoti. 3 teorema įrodyta tuo atveju, kai kompleksinė funkcija Teorema 1. Tegul funkcija Įrodymas. Atkreipkite dėmesį, kad teoremos sąlygomis atvirkštinė funkcija Suteikime jam prasmę Pavyzdys Teorema įrodyta. 1. Raskite funkcijų išvestines
arcsin,x
arcsin,arccos
arcsin,arctg
arcsin/ Sprendimas arcctg ir paimkite šaknį su pliuso ženklu). Teorema Lygiai taip pat ) ir formulės galioja) Įrodymas.) ir formulės galioja V A V , b V Teorema įrodyta. . Turime, t.y. formulė galioja . 1) Jei ) ir formulės galioja, Tai 2) Formulė) tinka bet kuriai Įrodymas baigtinis skaičius . 1) Nes , turime. IN bendras atvejis formoje Pagal sudėtingos funkcijos diferenciacijos taisyklę pagal 2 teoremą ir 1 dalies 1 pavyzdį turime Dabar pereikime prie parametrinių funkcijų specifikacijų. Jei funkcijos priklausomybė X iš argumento Apsvarstykite eksponentinę funkciją nėra nustatytas tiesiogiai, o naudojant kokį nors trečiąjį kintamąjį t, vadinamas parametru, formulėmis tada jie sako, kad funkcija X iš Apsvarstykite eksponentinę funkciją nurodyta parametriškai. Jeigu Apsvarstykite eksponentinę funkciją 2. Jei funkcijos adresu laikomos stačiakampėmis plokštumos taško koordinatėmis, tada (3.1) lygtys yra susietos su kiekviena reikšme yra parametrinės elipsės su pusiau ašimis lygtys ) ir formulės galioja 2. Jei funkcijos b. Jei (3.1) lygtis Raskime išvestinę Pavyzdžiui, išvestinė Taške parametriškai apibrėžtos kreivės liestinės lygtis iš čia adresu Panašiai iš (1.5) lygties gauname normaliąją lygtį: Dabar surašykime pagrindinio išvestinių suvestines lenteles elementarios funkcijos ir anksčiau gautos diferenciacijos taisyklės. Diferencijavimo taisyklės 1.
5. Jeigu Tai tada yra atvirkštinė funkcija 1.
3.
5.
7.
9.
11.
, ypač Ir Toliau pataisome parametrą. Pirmajame ir tolesniuose žingsniuose mes nustatysime taškus pagal kita taisyklė : už kiekvienus du anksčiau sukonstruotus taškus, esančius greta x ašies, ir mes statysime du naujus taškus ir centriškai simetriškai taškais apibrėžto stačiakampio centro atžvilgiu ir su koeficientu k ir kt. Įjungta(m+1)- du taškai yra sukonstruoti visose erdvėse išilgai abscisių tarp gretimų jau sukonstruotų taškų. Ši konstrukcija atliekama taip: tarpai išilgai abscisių ašies tarp gretimų taškų (stačiakampiai su šonais aŽingsnis po žingsnio sukurkime pagalbinę segmento funkciją. Nuliniame žingsnyje nustatysime du taškus: b) yra padalinti į 3 lygias dalis. Tada pagal vieną iš šių schemų sukonstruojami du nauji taškai: Priklausomai nuo to, kuris iš gretimų taškų yra aukščiau ar aukščiau, naudojame kairiąją arba dešinę schemą. Pirmajame žingsnyje, kaip parodyta aukščiau, sutinkame a = b = 1. Konstrukciją kartojame suskaičiuojamą skaičių kartų, kai m = 1, 2, 3, …. Dėl to mes gausime fraktalą, kuris bus panašus iki tam tikro afininė transformacija(ištempimas, suspaudimas, sukimas) bet kuriai iš kiekvienoje juostoje esančių jo dalių: Sukūrę fraktalą, gauname funkciją, apibrėžtą taškų aibėje kuris yra tankus visur segmente . Kokias savybes turi sudaryta funkcija? · kiekviename formos (*) taške yra arba griežtas maksimumas, arba griežtas minimumas, t.y. funkcija g(x) niekur nėra monotoniškas, o segmente yra tankūs griežtų ekstremalių taškų rinkiniai; · funkcija g(x) yra ištisinė ir netgi tolygiai tolydi taškų aibėje (*); · funkcija, sudaryta ištisinė atkarpoje, neturi jokiame taške šis segmentas net vienpusiai dariniai; Minėtos savybės buvo įrodytos kurse „Pasirinkti matematinės analizės skyriai“. Nagrinėtame pavyzdyje padarėme prielaidą, kad parametras . Pakeitę šio parametro reikšmę, galite gauti funkcijų šeimas su savo ypatingomis savybėmis. · . Šios funkcijos yra nuolatinės ir griežtai monotoniškai didėjančios. Jie turi nulinius ir begalinius išvestinius (atitinkamai vingio taškus) taškų rinkiniuose, kurie yra tankūs visur atkarpoje. · . Gauta tiesinė funkcija y = x · . Funkcijų šeimos savybės yra tokios pačios kaip ir k reikšmių iš pirmojo diapazono. · . Gavome Cantor funkciją, kurią mes išsamiai ištyrėme anksčiau. · . Šios funkcijos yra ištisinės, niekur nėra monotoniškos, turi griežtus minimumus ir maksimumus, nulį ir begalinį (abiejų ženklų) vienpuses išvestis taškų rinkiniuose, kurie yra tankūs visur atkarpoje. · . Ši funkcija buvome išnagrinėti aukščiau. · . Funkcijos iš šio diapazono turi tokias pačias savybes kaip ir funkcija . Išvada. Savo darbe įgyvendinau keletą pavyzdžių iš kurso „Pasirinkti matematinės analizės skyriai“. IN šis darbas Buvo įterptos mano vizualizuotų programų ekrano kopijos. Tiesą sakant, jie visi yra interaktyvūs, studentas gali matyti funkcijos vaizdą konkretus žingsnis, kurkite juos patys kartotiniu būdu ir priartinkite mastą. Konstravimo algoritmai, taip pat kai kurios bibliotekos funkcijos Skeletas buvo specialiai atrinkti ir patobulinti šio tipo problemų (daugiausia buvo svarstomi fraktalai). Ši medžiaga neabejotinai bus naudinga dėstytojams ir studentams bei puikiai papildys kurso „Rinktiniai matematinės analizės skyriai“ paskaitas. Šių vizualizacijų interaktyvumas padeda geriau suprasti sukonstruotų rinkinių prigimtį ir palengvina mokiniams medžiagos suvokimo procesą. Aprašytos programos yra įtrauktos į projekto www.visualmath.ru vaizdo modulių biblioteką, pavyzdžiui, čia yra Cantor funkcija, kurią jau svarstėme: Ateityje planuojama praplėsti vizualizuotų užduočių sąrašą ir dar labiau tobulinti konstravimo algoritmus efektyvus darbas programas. Darbas www.visualmath.ru projekte neabejotinai atnešė daug naudos ir patirties, komandinio darbo įgūdžių, sugebėjimo kuo aiškiau įvertinti ir pateikti mokomąją medžiagą. Literatūra. 1. B. Gelbaum, J. Olmsted, Analizės priešpavyzdžiai. M.: Mir.1967. 2. B.M. Makarovas ir kt. Pasirinktos problemos realioje analizėje. Nevskio tarmė, 2004 m. 3. B. Mandelbrotas. Fraktalinė gamtos geometrija. Kompiuterių studijų institutas, 2002 m. 4. Yu.S. Ochan, TFDP problemų ir teoremų rinkinys. M.: Nušvitimas. 1963 m. 5. V.M. Shibinsky Pavyzdžiai ir priešingi pavyzdžiai matematinės analizės metu. M.: absolventų mokykla, 2007. 6. R.M. Kronover, Fraktalai ir chaosas dinamines sistemas, M.: Pašto rinka, 2000 m. 7. A. A. Nikitinas, Rinktiniai matematinės analizės skyriai // Maskvos valstybinio universiteto Kompiuterinės matematikos ir matematikos fakulteto jaunųjų mokslininkų straipsnių rinkinys, 2011 / red. S. A. Ložkinas. M.: Maskvos valstybinio universiteto Kompiuterinės matematikos ir matematikos fakulteto Leidybos skyrius. M.V. Lomonosova, 2011. 71-73 p. 8. R.M. Kronover, Fraktalai ir chaosas dinamiškose sistemose, M.: Postmarket, 2000 m. 9. Fraktalas ir visur ištisinės, bet niekur nesiskiriančios funkcijos konstravimas // XVI tarptautiniai Lomonosovo skaitymai: rinkinys mokslo darbai. – Archangelskas: Pomeranijos valstybinis universitetas, 2004. P.266-273. Suskaičiuojamo skaičiaus atvirųjų aibių (gretimų intervalų) sąjunga yra atvira, o atvirosios aibės papildinys yra uždaras. Bet kuri taško kaimynystė ) ir formulės galioja Cantor rinkinys, yra bent vienas taškas nuo , skiriasi nuo A. Uždaryta ir nėra izoliuoti taškai(kiekvienas taškas yra riba). Yra daugiausia skaičiuojamas rinkinys, kuris visur yra tankus. Aibė A niekur nėra tanki erdvėje R, jei tokia yra atviras rinkinysŠioje erdvėje yra dar vienas atviras rinkinys, visiškai laisvas nuo A rinkinio taškų. Taškas, kurio bet kurioje kaimynystėje yra nesuskaičiuojama tam tikros aibės taškų aibė. Sakysime, kad rinkinys lėktuve niekur nėra tankus metrinė erdvė R, jei kuriame nors atvirame šios erdvės apskritime yra kitas atviras apskritimas, visiškai laisvas nuo šios aibės taškų.2. Monotoninės funkcijos
, jei jo prieaugis šiame taške gali būti pavaizduotas kaip
,
(2.1)
ir nepriklauso nuo 
, A 
adresu 
.
, skiriasi taške 
tada ir tik tada, kai jis turi baigtinę išvestinę šiame taške 
.
taške skiriasi 
, t.y. galioja lygybė (2.1). Padalijus jį į 
, gauname 
. Einama iki ribos ties 
, mes tai matome 
, t.y. dešinės pusės riba egzistuoja ir yra lygi A, vadinasi, yra ir kairėje pusėje riba, t.y. 
, ir 
.
. Tada pagal 1 skyriaus 16 punkto 1 teoremą 
, Kur 
- be galo maža funkcija adresu 
. Vadinasi, t.y. funkcija taške yra diferencijuojama 
.
taške skiriasi 
, tada šiuo metu jis yra tęstinis.
, turime, o tai reiškia funkcijos tęstinumą taške 
.
nenutrūkstamas, bet nediferencijuojamas taške 
.
, atitinkantis prieaugį 
argumentas. Turime. Štai kodėl 
, tai yra funkcija 
ištisinis taške 
. Iš kitos pusės, 
, tai yra vienpusės išvestinės taške 
nėra vienodi, todėl ši funkcija šiuo metu nėra diferencijuojama.
turi taške 
išvestinė 
, funkcija 
turi atitinkamame taške 
išvestinė 
. Tada sudėtinga funkcija 
turi taške 
išvestinė
.
prieaugis 
. Tada gauname atitinkamą prieaugį 
funkcijas 
ir prieaugis 
funkcijas 
. Pagal 1 teoremą turime
, Kur 
adresu 
.
.
, tada 
todėl pagal 2 teoremą 
. Vadinasi,.
.
turi vieną tarpinį kintamąjį 
. Jei yra keli tarpiniai kintamieji, tai išvestinė apskaičiuojama panašiai. Pavyzdžiui, jei 
,
,
, Tai.§ 3. Diferencijavimo taisyklės. Pagrindinių elementariųjų funkcijų išvestiniai
, tęstinis, griežtai monotoniškas segmente 
ir skiriasi vidiniame taške 
šis segmentas ir 
. Tada atvirkštinė funkcija 
taške skiriasi 
, ir 
.
egzistuoja, yra nuolatinis ir griežtai monotoniškas intervale 
pagal 1 skyriaus 19 punkto teoremą.
prieaugis 
. Tada 
gaus priedą
(nuo funkcijos 
griežtai monotoniškas). Todėl galime rašyti 
. Nuo kada 
dėl atvirkštinės funkcijos tęstinumo ir 
ir, darant prielaidą, egzistuoja 
, turime 
. Tai reiškia egzistavimą 
ir lygybė 
.
, turime 
. Pagal 1 teoremą turime (nuo
2. Jei funkcijos 
Ir 
taške turi išvestines 
, tada taške 
turi išvestinių ir funkcijų 
(Jei
;A)
;b)
.
) Leisk 
prieaugis 
. Duokim . Tada funkcijos,u,v y 
, ir
gaus priedus 
. ) ir formulės galioja Iš čia
ir lygybė ) ir formulės galioja) buvo įrodyta.
. Tas pats kaip taškas A).
) turime 
,
,
,, t.y. formulė galioja b).
Pasekmės 
.
terminai.
, Kur . Tada funkcijos
2. Jei funkcijos u 2) ir 3) išvados įrodomos matematinės indukcijos metodu. Apsvarstykite eksponentinę funkciją– kai kurios funkcijos iš X. Raskime funkcijos išvestinę . Tada funkcijos
2. Jei funkcijos u adresu X taške, kuriame funkcijos yra diferencijuojamos 
.Norėdami tai padaryti, įsivaizduokite funkciją
Taigi, eksponentinė funkcija, o antrasis – as galios funkcija. Naudojama diferenciacijos technika vadinama logaritminė diferenciacija
. Taip pat gali būti patogu naudoti, kai diferencijuojama funkcija yra kelių veiksnių rezultatas.
,
(3.1)
tašką 
lėktuve. Su pasikeitimu t taškas 
apibūdina tam tikrą plokštumos kreivę. Lygtys (3.1) vadinamos parametrinėmis šios kreivės lygtimis. Pavyzdžiui, lygtys
(3.2)
santykinai leidžiama t,
, Tai parametrinė specifikacija funkcijos gali būti sumažintos iki aiškios:
.
parametriškai nurodyta funkcija. Norėdami tai padaryti, tarkime, kad funkcijos 
2. Jei funkcijos 
yra diferencijuojami ir 
tam tikru intervalu ir funkcijai 
yra atvirkštinė funkcija 
, turintis baigtinę išvestinę 
. Tada pagal diferencijavimo taisyklę kompleksinis ir atvirkštinės funkcijos randame: 
. Taigi,
.
(3.3)
funkcija, apibrėžta lygtimis (3.2), turi formą
.
atitinkanti parametro reikšmę 
, gaunamas iš (1.4) lygties, jei vietoj 
pakaitalas 
:
,
mes turime
.
(3.4)
arba. (3.5)
.
2.
.
3.
.
4.
.
Pasekmės 
. 
6. Jeigu 
.
7. Jeigu 
.
8..
, Kur 
.
2.
Pagrindinių elementariųjų funkcijų išvestinių lentelė 
.
4.
.
.
.
6.
.
.
8.
.
.
10.
.
Pagrindinių elementariųjų funkcijų išvestinių lentelė 
.
12.
Pagrindinių elementariųjų funkcijų išvestinių lentelė 
.
Žingsnis po žingsnio sukurkime pagalbinę segmento funkciją. Nuliniame žingsnyje nustatysime du taškus: 
.
Žingsnis po žingsnio sukurkime pagalbinę segmento funkciją. Nuliniame žingsnyje nustatysime du taškus: 
. Tai yra, pirmame žingsnyje nurodomi du nauji taškai:
,
; 
