Tegu duota tiesinė nelygybė su dviem kintamaisiais ir 
(1)
Jei vertybės 
Ir 
laikoma taškų koordinatėmis plokštumoje, tada plokštumos taškų, kurių koordinatės tenkina nelygybę (1), aibė vadinama sprendimo sritimi šios nelygybės. Vadinasi, nelygybės (1) sprendinių sritis yra pusplokštuma su ribine tiese 
.
1 pavyzdys.
.
Sprendimas. Tiesios linijos tiesimas 
dviem taškais, pavyzdžiui, susikirtimo su koordinačių ašimis (0; 4) ir (6; 0) taškais. Ši linija padalija plokštumą į dvi dalis, t.y. į dvi pusiau plokštumas. Mes paimame bet kurį plokštumos tašką, kuris nėra ant pastatytos linijos. Jei taško koordinatės tenkina nurodytą nelygybę, tada sprendimo sritis yra pusplokštuma, kurioje yra šis taškas. Jei gausime neteisingą skaitinę nelygybę, tai sprendinio plotas yra pusplokštuma, kuriai šis taškas nepriklauso. Paprastai taškas (0; 0) imamas kontrolei.
Pakeiskime 
Ir 
į pateiktą nelygybę. Mes gauname 
. Vadinasi, pusplokštuma „link nulio“ yra šios nelygybės sprendinių sritis (1 pav. tamsesnė dalis).
2 pavyzdys. Raskite nelygybe apibrėžtą pusplokštumą
.
Sprendimas. Tiesios linijos tiesimas 
, pavyzdžiui, taškais (0; 0) ir (1; 3). Nes tiesė eina per koordinačių pradžią, tašką (0; 0), tada jūs negalite jos valdyti. Paimkite, pavyzdžiui, tašką (– 2; 0) ir pakeiskite jo koordinates duota nelygybe. Mes gauname 
. Tai netiesa. Tai reiškia, kad šios nelygybės sprendinių sritis bus pusplokštuma, kuriai nepriklauso kontrolinis taškas (2 pav. užtamsinta dalis).
2. Tiesinių nelygybių sistemos sprendimo sritis.
Pavyzdys. Raskite nelygybių sistemos sprendimo sritį:
Sprendimas. Randame pirmosios nelygybės (1 pav.) ir antrosios nelygybės (2 pav.) sprendinių sritį.
Visi tos plokštumos dalies, kurioje yra išbridimas, taškai tenkins ir pirmąją, ir antrąją nelygybę. Taip gaunamas duotosios nelygybių sistemos sprendimo plotas (3 pav.).
Jei reikia duota sistema nelygybės prideda sąlygas 
Ir 
, tada nelygybių sistemos sprendimo sritis 
išsidėstys tik I koordinačių kvartale (4 pav.).
Tiesinių nelygybių sistemos sprendimo paieškos principas nepriklauso nuo į sistemą įtrauktų nelygybių skaičiaus.
Pastaba : Regionas priimtini sprendimai(ODR), jei yra, tai yra uždaras arba atviras išgaubtas daugiakampis.
3. Grafinio uždavinių sprendimo būdo algoritmas
Jei užduotis linijinis programavimas yra tik du kintamieji, jį galima išspręsti grafiškai, atliekant šias operacijas:
Pavyzdys. Išspręskite linijinio programavimo uždavinį grafiškai
maks
Sprendimas. Trečiasis ir ketvirtasis sistemos apribojimai yra dvigubos nelygybės, transformuokime jas į tokioms problemoms labiau pažįstamą formą 
, Šis 
Ir 
, Tai. pirmoji iš susidariusių nelygybių 
(arba 
) nurodo neneigiamumo sąlygą, o antroji 
į apribojimų sistemą. Lygiai taip pat 
Tai 
Ir 
.
Tai. problema įgaus formą
maks
,
Pakeitę nelygybės ženklus tiksliais lygybės ženklais, sukonstruojame leistinų sprendinių sritį, naudodami tiesias lygtis:
;
;
;
.
Nelygybių sprendimo sritis yra penkiakampis ABCDE.
Sukurkime vektorių 
.
Per pradžią statmenai vektoriui 
nubrėžkite lygią liniją 
. Ir tada mes perkelsime jį lygiagrečiai sau vektoriaus kryptimi 
iki išėjimo iš galimų sprendimų srities. Tai bus esmė SU. Raskime šio taško koordinates išspręsdami sistemą, susidedančią iš pirmosios ir ketvirtosios eilučių lygčių:
.
Pakeiskime taško koordinates SU V tikslo funkcija ir raskite jo maksimalią vertę 
Pavyzdys. Sukurkite lygių linijas 
Ir 
linijinio programavimo problemai:
maks
(min)
Sprendimas. Įmanomų sprendimų sritis yra atvira sritis (6 pav.). Lygio linija 
eina per tašką IN. Funkcija Zšiuo metu turi minimumą. Lygio linija 
negali būti sukonstruotas, nes nėra išėjimo taško iš galimų sprendimų srities, tai reiškia, kad 
.
Savarankiško darbo užduotys.
Raskite nelygybių sistemos sprendimo sritį:
A) 
b) 
Išspręskite linijinio programavimo uždavinį grafiškai
min
Sukurti ekonominį-matematinį modelį ir grafiškai išspręsti linijinio programavimo uždavinį
Įmonė gamina dviejų rūšių – A ir B – gaminius. Kiekvienos rūšies gaminiai apdorojami dviem staklėmis (I ir II). Kiekvienos rūšies vieno gaminio apdorojimo mašinose laikas, mašinų darbo laikas per darbo pamainą, įmonės pelnas pardavus vieną A ir B tipo gaminį yra surašyti lentelėje:
Prekybos rinkos tyrimas parodė, kad B tipo produktų paros poreikis niekada neviršija A tipo produktų paklausos daugiau nei 40 vienetų, o A tipo produktų paklausa neviršija 90 vienetų per dieną.
Nustatykite produkto gamybos planą, kuris duoda didžiausią pelną.
Sistema susideda iš dviejų kintamųjų nelygybių:
Norėdami išspręsti sistemą, jums reikia:
1. Kiekvienai nelygybei užrašykite šią nelygybę atitinkančią lygtį.
2. Sukonstruoti tieses, kurios yra lygtimis nurodytų funkcijų grafikai.
3. Kiekvienai tiesei nustatykite pusplokštumą, kurią suteikia nelygybė. Norėdami tai padaryti, paimkite savavališkas taškas, negulinti ant tiesės, jos koordinates pakeiskite į nelygybę. jei nelygybė teisinga, tai pusplokštuma, kurioje yra pasirinktas taškas, yra pradinės nelygybės sprendimas. Jei nelygybė klaidinga, tai pusplokštuma kitoje tiesės pusėje yra šios nelygybės sprendinių rinkinys.
4. Norint išspręsti nelygybių sistemą, reikia rasti visų pusplokštumų, kurios yra kiekvienos sistemos nelygybės sprendimas, susikirtimo plotą.
Ši sritis gali pasirodyti tuščia, tada nelygybių sistema neturi sprendimų ir yra nenuosekli. Priešingu atveju sakoma, kad sistema yra nuosekli. Gali būti sprendimų galutinis skaičius Ir begalinis rinkinys. Plotas gali būti uždaras daugiakampis arba neapribotas.
3 pavyzdys. Išspręskite sistemą grafiškai: 
Apsvarstykite lygtis x + y–1 = 0 ir –2x – 2y + 5 = 0, atitinkančias nelygybes. Sukonstruokime tieses, pateiktas šiomis lygtimis (3 pav.).
3 paveikslas – tiesių linijų vaizdas
Apibrėžkime nelygybių apibrėžtas pusplokštumas. Paimkime savavališką tašką, tegul (0; 0). Apsvarstykite x+ y– 1 ≤ 0, pakeiskite tašką (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. Tai reiškia, kad pusiau plokštumoje, kurioje yra taškas (0; 0), x + y – 1 ≤ 0 , t.y. po linija esanti pusplokštuma yra pirmosios nelygybės sprendimas. Šį tašką (0; 0) pakeitę antruoju, gauname: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, t.y. pusplokštumoje, kurioje yra taškas (0; 0), –2x – 2y + 5≥ 0, o mūsų paklausė, kur –2x – 2y + 5 ≤ 0, todėl kitoje pusplokštumoje – vienoje virš tiesios linijos.
Raskime šių dviejų pusiau plokštumų sankirtą. Tiesės lygiagrečios, todėl plokštumos niekur nesikerta, vadinasi, šių nelygybių sistema neturi sprendinių ir yra nenuosekli.
4 pavyzdys. Raskite grafinius nelygybių sistemos sprendimus:
1. Išrašykime nelygybes atitinkančias lygtis ir sukonstruokime tieses (4 pav.).
x + 2y– 2 = 0 x 2 0
y – x – 1 = 0 x 0 2
y + 2 = 0; y = –2.
4 paveikslas – tiesių linijų vaizdas
2. Pasirinkę tašką (0; 0), nustatome nelygybių požymius pusplokštumose:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, t.y. x + 2y– 2 ≤ 0 pusiau plokštumoje žemiau tiesės;
0 – 0 – 1 ≤ 0, t.y. y –x– 1 ≤ 0 pusplokštumoje žemiau tiesės;
0 + 2 =2 ≥ 0, t.y. y + 2 ≥ 0 pusplokštumoje virš tiesės.
3. Šių trijų pusiau plokštumų sankirta bus sritis, kuri yra trikampis. Nesunku rasti srities viršūnes kaip atitinkamų tiesių susikirtimo taškus
Taigi, A(–3; –2), B(0; 1), C(6; –2).
Panagrinėkime kitą pavyzdį, kuriame sistemos sprendimo sritis yra neribota.
5 pavyzdys. Išspręskite sistemą grafiškai
Išrašykime nelygybes atitinkančias lygtis ir sukonstruokime tieses (5 pav.).
5 paveikslas – tiesių linijų vaizdas
x + y – 1 = 0 x 0 1
y – x – 1 = 0 x 0–1
Apibrėžkime ženklus pusiau plokštumose. Pažymime tašką (0; 0):
0 – 0 – 1 ≤ 0, t.y. y – x – 1 ≤ 0 žemiau tiesės;
0 + 0 – 1 ≤ 0, t.y. x + y – 1 ≤ 0 žemiau tiesės.
Dviejų pusplokštumų sankirta yra kampas su jos viršūne taške A(0;1). Ši neapribota sritis yra pradinės nelygybių sistemos sprendimas.
