Parodykite, kad ši lygtis apibrėžia numanomą funkciją. Netiesiogiai nurodytos funkcijos išvestinė

Netiesioginės funkcijos, apibrėžtos lygčių sistema

Duota lygčių sistema

arba trumpai F(x,y)= 0. (6.7)

Apibrėžimas. Sistema(6.7)apibrėžia numanomą funkciją y=f(x)adresu DÌR n

jei „xÎD:F(x, f(x)) = 0.

Teorema (lygčių sistema netiesiogiai apibrėžto atvaizdavimo egzistavimas ir unikalumas).Leiskite

1) F i(x,y)iš (6.4) yra apibrėžti ir turi pirmos eilės ištisines dalines išvestines, (i= 1,…,p, k= 1,…,n, j= 1,…,p) netoli U(M 0)taškais M 0 (x 0 ,y 0), x 0 = , y 0 =

2) F(M 0)=0,

3) det.

Tada kažkuriame rajone U(x 0)yra unikali funkcija (žemėlapis), apibrėžta šioje kaimynystėje y = f(x), toks

"xО U(x 0) :F(x, f(x))=0ir y 0 =f(x 0).

Ši funkcija yra nuolat diferencijuojama tam tikroje taško x kaimynystėje 0 .

Atsižvelgiant į sistemą

Laikysime, kad šios lygčių sistemos nurodytos numanomos funkcijos egzistavimo ir unikalumo teoremos sąlygos yra tenkinamos. Pažymime šią funkciją y=f(x) . Tada kokioje nors taško kaimynystėje x 0 tapatybės galioja

Atskiriant šias tapatybes pagal x j gauname

= 0.(6.9)

Šios lygybės gali būti įrašytos matricos forma

arba išplėstine forma

Atkreipkite dėmesį, kad perėjimas nuo lygybės F(x, f(x))=0k , atitinka diferenciacijos taisykles tam atvejui, kai x Ir y yra vienmatės erdvės taškai. Pagal sąlygą matrica nėra vienaskaita, todėl matricos lygtis turi sprendimą. Taigi galime rasti pirmos eilės dalinius išvestinius numanomos funkcijos. Norėdami rasti skirtumus, pažymime

dy = , dx =, diferencijuodami lygybes (6.8), gauname

arba matricos pavidalu

Išplėstas

Kaip ir dalinių išvestinių atveju, formulė (6.10) turi tokią pačią formą kaip ir vienmačių erdvių atveju n= 1, p= 1. Sprendimas šiuo klausimu matricos lygtis bus parašyta formoje. Norint rasti antros eilės dalines išvestines, reikės diferencijuoti tapatybes (6.9) (antros eilės skirtumams apskaičiuoti reikia diferencijuoti tapatybes (6.10)). Taigi, mes gauname

per kur A nurodomi terminai, kuriuose nėra būtinų.

Šios sistemos koeficientų matrica išvestinėms nustatyti yra Jakobijos matrica.

Panašią formulę galima gauti diferencialams. Kiekvienu iš šių atvejų bus gauta matricinė lygtis su ta pačia lygčių sistemos koeficientų matrica norimoms išvestinėms arba diferencialams nustatyti. Tas pats atsitiks ir per šiuos diferencijavimus.

1 pavyzdys. Rasti, tam tikru momentu u= 1,v= 1.

Sprendimas. Išskirkite duotąsias lygybes

Atkreipkite dėmesį, kad iš problemos sąlygų išplaukia, kad turėtume atsižvelgti į nepriklausomus kintamuosius x, y. Tada bus funkcijos z, u, v. Taigi sistema (6.11) turi būti išspręsta nežinomųjų atžvilgiu du, dv, dz. Matricos formoje tai atrodo taip

Išspręskime šią sistemą naudodami Cramerio taisyklę. Koeficientų matricos determinantas

Trečiasis „pakeistas“ determinantas dz bus lygus (apskaičiuojame išplėsdami paskutinį stulpelį)

dz = , Ir,.

Dar kartą išskirkime (6.11) x, y – nepriklausomi kintamieji)

Sistemos koeficientų matrica ta pati, trečiasis determinantas

Išspręsdami šią sistemą, gauname išraišką d 2 z kur galite rasti norimą darinį.

6.3. Diferencijuojami žemėlapiai

Išvestiniai žemėlapiai. Įprasti ekranai. Būtinas ir pakankamai sąlygų funkcinė priklausomybė.

Išmoksime rasti funkcijų, nurodytų netiesiogiai, tai yra, nurodytų tam tikromis kintamuosius jungiančiomis lygtimis, išvestines x Ir y. Netiesiogiai nurodytų funkcijų pavyzdžiai:

Netiesiogiai nurodytų funkcijų išvestinės arba implicitinių funkcijų išvestinės randamos gana paprastai. Dabar pažvelkime į atitinkamą taisyklę ir pavyzdį, o tada išsiaiškinkime, kodėl apskritai to reikia.

Norint rasti netiesiogiai nurodytos funkcijos išvestinę, reikia atskirti abi lygties puses x atžvilgiu. Tie terminai, kuriuose yra tik X, pavirs įprastu funkcijos išvestiniu iš X. Ir žaidimo terminai turi būti atskirti naudojant diferenciacijos taisyklę sudėtinga funkcija, nes i yra x funkcija. Paprasčiau tariant, gauta termino išvestinė su x turėtų gautis: funkcijos iš y išvestinė, padauginta iš išvestinės iš y. Pavyzdžiui, termino vedinys bus parašytas kaip , termino vedinys bus parašytas kaip . Toliau iš viso to reikia išreikšti šį „žaidimo taktą“ ir bus gauta norima netiesiogiai nurodytos funkcijos išvestinė. Pažvelkime į tai su pavyzdžiu.

1 pavyzdys.

Sprendimas. Mes išskiriame abi lygties puses x atžvilgiu, darydami prielaidą, kad i yra x funkcija:

Iš čia gauname išvestinę, kurios reikia užduotyje:

Dabar šiek tiek apie neaiškią netiesiogiai nurodytų funkcijų savybę ir kodėl reikalingos specialios jų diferencijavimo taisyklės. Kai kuriais atvejais galite patikrinti, ar pakeitimas duota lygtis(žr. pavyzdžius aukščiau) vietoj y, jo išraiška per x lemia tai, kad ši lygtis virsta tapatybe. Taigi. Aukščiau pateikta lygtis netiesiogiai apibrėžia šias funkcijas:

Pradinėje lygtyje pakeitę žaidimo kvadratu išraišką per x, gauname tapatybę:

Išraiškos, kurias pakeitėme, buvo gautos išsprendus žaidimo lygtį.

Jei atskirtume atitinkamą aiškią funkciją

tada gautume atsakymą kaip 1 pavyzdyje – iš funkcijos, nurodytos netiesiogiai:

Tačiau ne kiekviena netiesiogiai nurodyta funkcija gali būti pavaizduota formoje y = f(x) . Taigi, pavyzdžiui, netiesiogiai nurodytos funkcijos

nėra išreikšti per elementarios funkcijos, tai yra, šios lygtys negali būti išspręstos žaidėjo atžvilgiu. Todėl egzistuoja netiesiogiai nurodytos funkcijos diferencijavimo taisyklė, kurią mes jau ištyrėme ir toliau nuosekliai taikysime kituose pavyzdžiuose.

2 pavyzdys. Raskite netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinę:

Išreiškiame netiesiogiai nurodytos funkcijos pirminį dydį ir – išvestyje – išvestinę:

3 pavyzdys. Raskite netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinę:

Sprendimas. Išskiriame abi lygties puses x atžvilgiu:

4 pavyzdys. Raskite netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinę:

Sprendimas. Išskiriame abi lygties puses x atžvilgiu:

Išreiškiame ir gauname išvestinę:

5 pavyzdys. Raskite netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinę:

Sprendimas. Dešinėje lygties pusėje esančius terminus perkeliame į kairėje pusėje o dešinėje palikite nulį. Išskiriame abi lygties puses x atžvilgiu.

Aukštesnės eilės išvestinės randamos nuosekliai diferencijuojant (1) formulę.

Pavyzdys. Raskite ir jei (x ²+y ²)³-3(x ²+y ²)+1=0.

Sprendimas. Kairiąją šios lygties pusę žymėdami f(x,y) raskite dalines išvestines

f"x(x,y)=3(x²+y²)²∙2x-3∙2x=6x[(x²+y²)-1],

f"y(x,y)=3(x²+y²)²∙2y-3∙2y=6y[(x²+y²)-1].

Iš čia, taikydami (1) formulę, gauname:

Norėdami rasti antrąją išvestinę, atskirkite pagal X pirmasis rastas vedinys, atsižvelgiant į tai adresu yra funkcija x:

2°. Kelių nepriklausomų kintamųjų atvejis. Taip pat, jei lygtis F(x, y, z) = 0, Kur F(x, y, z) – diferencijuojama kintamųjų funkcija x, y Ir z, nustato z kaip nepriklausomų kintamųjų funkcija X Ir adresu Ir Fz(x, y, z)≠ 0, tada netiesiogiai to dalinės išvestinės suteikta funkcija, paprastai kalbant, galima rasti naudojant formules

Kitas būdas rasti funkcijos z išvestinius yra toks: diferencijuojant lygtį F(x, y, z) = 0, gauname:

Iš čia galime nustatyti dz, ir todėl .

Pavyzdys. Raskite ir jei x ² - 2y²+3z² –yz +y = 0.

1-as metodas. Kairiąją šios lygties pusę žymėdami F(x, y, z), suraskime dalines išvestines F"x(x,y,z)=2x, F"y(x,y,z)=-4y-z+1, F"z(x,y,z)=6z-y.

Taikydami formules (2), gauname:

2-as metodas. Diferencijuodami šią lygtį gauname:

2xdx -4ydy +6zdz-ydz-zdy +dy = 0

Iš čia mes nustatome dz, ty bendras numanomos funkcijos skirtumas:

Lyginant su formule , mes tai matome

3°. Numanoma funkcijų sistema. Jei dviejų lygčių sistema

apibrėžia u Ir v kaip kintamųjų x ir y bei Jakobijos funkcijos

tada iš lygčių sistemos galima rasti šių funkcijų diferencialus (taigi ir jų dalines išvestines)

Pavyzdys: lygtys u+v=x+y, xu+yv=1 nustatyti u Ir v kaip funkcijas X Ir adresu; rasti .

Sprendimas. 1-as metodas. Atskirdami abi lygtis x atžvilgiu, gauname:

Panašiu būdu mes randame:

2-as metodas. Diferencijuodami randame dvi lygtis, jungiančias visų keturių kintamųjų diferencialus: du +dv =dx +dy,xdu +udx +ydv+vdy = 0.

Šios diferencialų sistemos sprendimas du Ir dv, gauname:

4°. Parametrinė specifikacija funkcijas. Jei r kintamųjų funkcija X Ir adresu lygtis pateikiama parametriškai x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v) Ir

tada šios funkcijos diferencialą galima rasti iš lygčių sistemos

Žinant skirtumą dz=p dx+q dy, randame dalines išvestines ir .

Pavyzdys. Funkcija z argumentai X Ir adresu pateiktos lygtimis x=u+v, y=u²+v², z=u²+v² (u≠v).

Raskite ir.

Sprendimas. 1-as metodas. Diferencijuodami randame tris lygtis, jungiančias visų penkių kintamųjų diferencialus:

Iš pirmųjų dviejų lygčių nustatome du Ir dv:

Rastas reikšmes pakeiskime trečiąja lygtimi du Ir dv:

2-as metodas. Iš trečiosios pateiktos lygties galime rasti:

Pirmiausia atskirkime pirmąsias dvi lygtis pagal X, tada iki adresu:

Iš pirmosios sistemos randame: .

Iš antrosios sistemos randame: .

Pakeitę išraiškas į formulę (5), gauname:

Kintamųjų pakeitimas

Keičiant kintamuosius diferencialinėse išraiškose, į juos įtrauktos išvestinės turi būti išreikštos kitomis išvestinėmis pagal sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisykles.

1°. Kintamųjų pakeitimas išraiškose, kuriose yra įprastinių išvestinių žodžių.

tikintis .

adresu Autorius X per darinius adresu Autorius t. Turime:

Rastų išvestinių reiškinių pakeitimas į šią lygtį ir pakeitimas X per , gauname:

Pavyzdys. Konvertuoti lygtį

priimdamas tai kaip argumentą adresu, ir funkcijai x.

Sprendimas. Išreikškime išvestinius adresu Autorius X per darinius X Autorius u.

Pakeitę šias išvestines išraiškas į šią lygtį, gauname:

arba pagaliau

Pavyzdys. Konvertuoti lygtį

pereinant prie poliarines koordinates

x=r cos φ, y=r cos φ.

Sprendimas. Atsižvelgiant į r kaip funkcija φ , iš (1) formulių gauname:

dх = сosφ dr – r sinφ dφ, dy=sinφ+r cosφ dφ,

Duota lygčių sistema

arba trumpaiF(x, y)=0 (1)

Apibrėžimas. Sistema (1) apibrėžia netiesiogiai nurodytą funkcijąy= f(x) įjungtaD R n

Jeigu x D : F(x , f(x)) = 0.

Teorema (lygčių sistema netiesiogiai apibrėžto atvaizdavimo egzistavimas ir unikalumas). Leiskite

Tada kažkurioje kaimynystėjeU (x 0 ) šioje kaimynystėje yra apibrėžta unikali funkcija (žemėlapis).y = f(x), toks

 x U (x 0 ) : F(x, f(x))=0 iry 0 = f(x 0 ).

Ši funkcija yra nuolat diferencijuojama tam tikroje taško kaimynystėjex 0 .

5. Netiesioginių funkcijų, nurodytų lygčių sistema, išvestinių skaičiavimas

Atsižvelgiant į sistemą

(1)

Laikysime, kad šios lygčių sistemos nurodytos numanomos funkcijos egzistavimo ir unikalumo teoremos sąlygos yra tenkinamos. Pažymime šią funkciją y= f(x) . Tada kokioje nors taško kaimynystėje x 0 tapatybės galioja

(F(x, f(x)) = 0) (2)

Atskiriant šias tapatybes pagal x j gauname

=0 (3)

Šios lygybės gali būti parašytos matricos forma

, (3)

arba išplėstine forma

Atkreipkite dėmesį, kad perėjimas nuo lygybės F(x, f(x))=0 Į
, atitinka diferenciacijos taisykles tam atvejui, kai x Ir y yra vienmatės erdvės taškai. Matrica pagal sąlygą nėra išsigimusi, todėl matricos lygtis
turi sprendimą
. Tokiu būdu galite rasti implicitinių funkcijų pirmosios eilės dalines išvestines . Norėdami rasti skirtumus, pažymime

dy = ,dx = , diferencijuojant lygybes (2) gauname

=0 ,

arba matricos pavidalu

. (4)

Išplėstas

Kaip ir dalinių išvestinių atveju, formulė (4) turime tokią pat formą kaip ir vienmačių erdvių atveju n=1, p=1. Šios matricos lygties sprendimas bus parašytas formoje
. Norint rasti antros eilės dalinius išvestinius, reikės atskirti tapatybes (3) (norėdami apskaičiuoti antros eilės skirtumus, turite atskirti tapatybes (4) ). Taigi, mes gauname

per kur A nurodomi terminai, kuriuose nėra būtinų
.

Šios sistemos koeficientų matrica išvestinėms išvestinėms nustatyti
tarnauja kaip Jakobijos matrica .

Panašią formulę galima gauti diferencialams. Kiekvienu iš šių atvejų bus gauta matricos lygtis su ta pačia koeficientų matrica lygčių sistemoje norimoms išvestinėms arba diferencialams nustatyti. Tas pats atsitiks ir per šiuos diferencijavimus.

1 pavyzdys. Rasti ,,taške u=1, v=1.

Sprendimas. Išskirkite duotąsias lygybes

(5)

Atkreipkite dėmesį, kad pagal problemos formuluotę turėtume atsižvelgti į nepriklausomus kintamuosius x, y. Tada bus funkcijos z, u, v. Taigi, sistema (5) turėtų būti išspręstas dėl nežinomų dalykų du, dv, dz . Matricos formoje tai atrodo taip