Raskite funkcijų reikšmių rinkinį internete naudodami sprendimą. Leistinų verčių diapazonas - ODZ

Kaip rasti funkcijos domeną? Vidurinės mokyklos mokiniai dažnai turi susidoroti su šia užduotimi.

Tėvai turėtų padėti savo vaikams suprasti šią problemą.

Nurodant funkciją.

Prisiminkime pagrindinius algebros terminus. Matematikoje funkcija yra vieno kintamojo priklausomybė nuo kito. Galima sakyti, kad tai griežtas matematinis dėsnis, tam tikru būdu jungiantis du skaičius.

Matematikoje, analizuojant formules, skaitiniai kintamieji pakeičiami abėcėlės simboliais. Dažniausiai naudojami x („x“) ir y („y“). Kintamasis x vadinamas argumentu, o kintamasis y – priklausomu kintamuoju arba x funkcija.

Egzistuoti įvairių būdų kintamųjų priklausomybių nustatymas.

Išvardinkime juos:

1. Analitinis tipas.
2. Lentelinis vaizdas.
3. Grafinis ekranas.

Analizės metodas pavaizduotas formule. Pažiūrėkime į pavyzdžius: y=2x+3, y=log(x), y=sin(x). Formulė y=2x+3 būdinga tiesinė funkcija. Pakeitimas į duota formulė skaitinė reikšmė argumentą, gauname y reikšmę.

Lentelės metodas yra lentelė, susidedanti iš dviejų stulpelių. Pirmasis stulpelis skiriamas X reikšmėms, o kitame stulpelyje įrašomi žaidėjo duomenys.

Grafinis metodas laikomas vizualiausiu. Grafikas yra visų plokštumos taškų aibės atvaizdas.

Norėdami sukurti grafiką, naudokite Dekarto sistema koordinates Sistema susideda iš dviejų statmenų linijų. Ant ašių dedamos identiškos vertės pavieniai segmentai. Skaičiavimas atliekamas nuo centrinio tiesių susikirtimo taško.

Nepriklausomas kintamasis rodo horizontali linija. Ji vadinama abscisių ašimi. Vertikali linija (y ašis) rodo priklausomo kintamojo skaitinę reikšmę. Statmenų sankirtoje su šiomis ašimis pažymėti taškai. Sujungę taškus vienas su kitu, gauname ištisinę liniją. Tai yra grafiko pagrindas.

Kintamųjų priklausomybių tipai

Apibrėžimas.

IN bendras vaizdas priklausomybė pateikiama kaip lygtis: y=f(x). Iš formulės matyti, kad kiekvienai skaičiaus x reikšmei yra tam tikras skaičius u. Žaidimo reikšmė, atitinkanti skaičių x, vadinama funkcijos reikšme.

Visos galimos reikšmės, kurias įgyja nepriklausomas kintamasis, sudaro funkcijos apibrėžimo sritį. Atitinkamai, visas priklausomo kintamojo skaičių rinkinys nustato funkcijos reikšmių diapazoną. Apibrėžimo sritis yra visos argumento reikšmės, kurioms f(x) yra prasminga.

Pradinė tyrimo užduotis matematinius dėsnius susideda iš apibrėžimo srities radimo. Šis terminas turi būti teisingai apibrėžtas. Priešingu atveju visi tolesni skaičiavimai bus nenaudingi. Galų gale, reikšmių apimtis formuojama remiantis pirmojo rinkinio elementais.

Funkcijos apimtis tiesiogiai priklauso nuo apribojimų. Apribojimai atsiranda dėl nesugebėjimo atlikti tam tikrų operacijų. Taip pat yra skaitinių reikšmių naudojimo apribojimai.

Jei nėra apribojimų, apibrėžimo sritis atspindi visumą skaičių erdvė. Begalybės ženklas turi horizontalų aštuonių skaičių simbolį. Visa skaičių rinkinys parašytas taip: (-∞; ∞).

IN tam tikrais atvejais duomenų masyvas susideda iš kelių pogrupių. Skaitinių intervalų arba tarpų apimtis priklauso nuo parametrų kitimo dėsnio tipo.

Čia yra veiksnių, turinčių įtakos apribojimams, sąrašas:

• atvirkštinis proporcingumas;
• aritmetinė šaknis;
• didinimas;
• logaritminė priklausomybė;
• trigonometrinės formos.

Jei tokių elementų yra keli, tai apribojimų paieška skirstoma kiekvienam iš jų. Didžiausia problema reiškia identifikaciją kritinius taškus ir intervalus. Problemos sprendimas bus sujungti visus skaitinius poaibius.

Skaičių aibė ir poaibis

Apie rinkinius.

Apibrėžimo sritis išreiškiama kaip D(f), o jungties ženklas vaizduojamas simboliu ∪. Visi skaitiniai intervalai skliausteliuose. Jei sklypo riba nėra įtraukta į rinkinį, tada dedamas pusapvalis laikiklis. Kitu atveju, kai skaičius įtraukiamas į poaibį, naudojami laužtiniai skliaustai.

Atvirkštinis proporcingumas išreiškiamas formule y=k/x. Funkcijų grafikas yra lenkta linija, susidedanti iš dviejų šakų. Paprastai tai vadinama hiperbole.

Kadangi funkcija išreiškiama trupmena, apibrėžimo srities radimas tenka vardiklio analizei. Gerai žinoma, kad matematikoje dalyti iš nulio draudžiama. Problemos sprendimas reiškia vardiklio išlyginimą iki nulio ir šaknų radimą.

Štai pavyzdys:

Duota: y=1/(x+4). Raskite apibrėžimo sritį.

1. Vardiklį prilyginame nuliui.
   x+4=0
2. Lygties šaknies radimas.
   x=-4
3. Apibrėžkite visų rinkinį galimas vertes argumentas.
   D(f)=(-∞ ; -4)∪(-4; +∞)

Atsakymas: Funkcijos sritis yra visi realieji skaičiai, išskyrus -4.

Skaičiaus po ženklu reikšmė kvadratinė šaknis negali būti neigiamas. Šiuo atveju funkcijos apibrėžimas su šaknimi sumažinamas iki nelygybės sprendimo. Radikali išraiška turėtų būti Virš nulio.

Šaknies nustatymo sritis yra susijusi su šaknies rodiklio paritetu. Jei rodiklis dalijasi iš 2, tada išraiška turi prasmę tik tada, jei ji teigiama vertė. Nelyginis skaičius indikatorius rodo bet kokios radikalios išraiškos reikšmės leistinumą: tiek teigiamą, tiek neigiamą.

Nelygybės sprendžiamos taip pat, kaip ir lygtys. Yra tik vienas skirtumas. Abi nelygybės puses padauginus iš neigiamas skaičiusženklas turėtų būti apverstas.

Jei vardiklyje yra kvadratinė šaknis, turi būti nustatyta papildoma sąlyga. Skaičiaus reikšmė neturi būti nulis. Nelygybė pereina į griežtos nelygybės kategoriją.

Logaritminės ir trigonometrinės funkcijos

Logaritminė forma yra prasminga teigiamiems skaičiams. Taigi apibrėžimo sritis logaritminė funkcija panašus į kvadratinės šaknies funkciją, išskyrus nulį.

Panagrinėkime logaritminės priklausomybės pavyzdį: y=log(2x-6). Raskite apibrėžimo sritį.

• 2x-6>0
• 2x>6
• x>6/2

Atsakymas: (3; +∞).

Y=sin x ir y=cos x apibrėžimo sritis yra visų aibė realūs skaičiai. Tangentui ir kotangentui taikomi apribojimai. Jie siejami su padalijimu iš kampo kosinuso arba sinuso.

Kampo liestinė nustatoma pagal sinuso ir kosinuso santykį. Nurodykime kampo reikšmes, kuriose liestinės reikšmės nėra. Funkcija y=tg x turi prasmę visoms argumento reikšmėms, išskyrus x=π/2+πn, n∈Z.

Funkcijos y=ctg x apibrėžimo sritis yra visa realiųjų skaičių aibė, neįskaitant x=πn, n∈Z. Jei argumentas lygus skaičiui π arba π kartotiniui, kampo sinusas lygus nuliui. Šiuose taškuose (asimptotuose) kotangentas negali egzistuoti.

Pirmosios užduotys apibrėžimo sričiai nustatyti pradedamos 7 klasės pamokose. Pirmą kartą susipažinęs su šia algebros dalimi, studentas turėtų aiškiai suprasti temą.

Reikėtų pažymėti, kad Šis terminas lydės studentą, o vėliau ir studentą per visą studijų laikotarpį.

Trupmenų lygtys. ODZ.

Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai...“)

Mes ir toliau įvaldome lygtis. Mes jau žinome, kaip dirbti su tiesinėmis ir kvadratinėmis lygtimis. Liko paskutinis vaizdas - trupmenines lygtis . Arba jie taip pat vadinami daug garbingiau - trupmeninis racionalios lygtys . Tai tas pats.

Trupmenų lygtys.

Kaip rodo pavadinimas, šiose lygtyse būtinai yra trupmenų. Bet ne tik trupmenos, bet ir trupmenos, kurios turi vardiklis nežinomas. Bent jau viename. Pavyzdžiui:

Leiskite jums priminti, kad jei vardikliai yra tik skaičių, tai tiesinės lygtys.

Kaip nuspręsti trupmenines lygtis? Visų pirma, atsikratykite trupmenų! Po to lygtis dažniausiai virsta tiesine arba kvadratine. Ir tada mes žinome, ką daryti... Kai kuriais atvejais tai gali virsti tapatybe, pvz., 5=5 arba neteisinga išraiška, pavyzdžiui, 7=2. Tačiau taip nutinka retai. Tai paminėsiu žemiau.

Bet kaip atsikratyti trupmenų!? Labai paprasta. Taikant tas pačias identiškas transformacijas.

Turime padauginti visą lygtį iš tos pačios išraiškos. Kad visi vardikliai būtų sumažinti! Viskas iš karto taps lengviau. Leiskite paaiškinti pavyzdžiu. Turime išspręsti lygtį:

Kaip mokoma jaunesniųjų klasių? Viską perkeliame į vieną pusę, suvedame į bendrą vardiklį ir t.t. Pamiršk tai kaip blogą sapną! Tai reikia padaryti, kai pridedate arba atimate. trupmeninės išraiškos. Arba dirbate su nelygybėmis. O lygtyse iš karto padauginame abi puses iš išraiškos, kuri suteiks galimybę sumažinti visus vardiklius (t. y. iš esmės Bendras vardiklis). Ir kas yra ši išraiška?

Kairėje pusėje, norint sumažinti vardiklį, reikia padauginti iš x+2. O dešinėje reikia dauginti iš 2 Tai reiškia, kad lygtis turi būti padauginta iš 2 (x+2). Padauginti:

Tai įprastas dauginimas trupmenomis, bet parašysiu smulkiai:

Atkreipkite dėmesį, kad aš dar neatidarau laikiklio (x + 2)! Taigi, visą tai rašau:

Kairėje pusėje jis visiškai susitraukia (x+2), o dešinėje 2. Ko ir reikėjo! Po sumažinimo gauname linijinis lygtis:

Ir kiekvienas gali išspręsti šią lygtį! x = 2.

Išspręskime kitą pavyzdį, šiek tiek sudėtingesnį:

Jei prisiminsime, kad 3 = 3/1, ir 2x = 2x/ 1, galime rašyti:

Ir vėl atsikratome to, kas mums nelabai patinka – trupmenomis.

Matome, kad norėdami sumažinti vardiklį su X, turime trupmeną padauginti iš (x – 2). O kelios mums netrukdo. Na, padauginkime. Visi kairė pusė Ir visi dešinioji pusė:

Vėl skliausteliuose (x – 2) Aš neatskleisiu. Aš dirbu su skliaustu kaip visuma taip, lyg tai būtų vienas skaičius! Tai turi būti daroma visada, kitaip niekas nesumažės.

Su gilaus pasitenkinimo jausmu sumažiname (x – 2) ir gauname lygtį be jokių trupmenų, su liniuote!

Dabar atidarykime skliaustus:

Atvežame panašius, perkeliame viską į kairę pusę ir gauname:

Bet prieš tai išmoksime spręsti kitas problemas. Dėl palūkanų. Beje, tai grėblys!

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)

Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Jei reiškinyje \(\sqrt(x-2)\) kintamojo reikšmė yra \(0\), pažeidžiama taisyklė: radikali išraiška neturi būti neigiama. Tai reiškia, kad čia \(x\) negali būti \(0\), taip pat \(1, -3, -52,7\) ir kt. Tai reiškia, kad x turi būti didesnis arba lygus 2, o ODZ bus: \(x\geq2\);

Tačiau reiškinyje \(4x+1\) vietoj X galime pakeisti bet kurį skaičių ir jokios taisyklės nebus pažeistos. Todėl sritis priimtinos vertėsčia - viskas skaičių ašis. Tokiais atvejais DZ neįrašoma, nes jame nėra naudingos informacijos.

Galite rasti visas taisykles, kurių reikia laikytis.

ODZ lygtyse

Priimant sprendimą svarbu atsiminti apie priimtinų verčių diapazoną ir dėl to Ten mes tik ieškome kintamųjų reikšmių ir netyčia galime rasti tų, kurios pažeidžia matematikos taisykles.

Norėdami suprasti ODZ svarbą, palyginkime du lygties sprendimus: su ODZ ir be ODZ.

Pavyzdys: Išspręskite lygtį
Sprendimas :

Ar matote skirtumą? Pirmajame sprendime mūsų atsakyme buvo neteisingas, papildomas! Kodėl negerai? Pabandykime jį pakeisti pradine lygtimi.

\(\frac((-3)^2-(-3))((-3)+3)\)\(=\)\(\frac(12)((-3)+3)\)
\(\frac(12)(0)\) \(=\)\(\frac(12)(0)\)

Matote, tiek kairėje, tiek dešinėje gavome neskaičiuojamų, beprasmių posakių (juk iš nulio negalima dalyti). Ir tai, kad jie yra vienodi, nebeturi jokio vaidmens, nes šios vertybės neegzistuoja. Taigi „\(-3\)“ netinka, pašalinė šaknis, o priimtinų verčių diapazonas apsaugo mus nuo tokių rimtų klaidų.

Štai kodėl pirmąjį sprendimą gausite D, o antrąjį - A. Ir tai nėra nuobodūs mokytojo šleifai, nes neatsižvelgimas į ODS yra ne smulkmena, o labai konkreti klaida, tas pats, kas pamestas ženklas ar neteisingos formulės taikymas. Juk galutinis atsakymas neteisingas!

Norint rasti priimtinų verčių diapazoną, dažnai reikia išspręsti lygtis, todėl jūs turite sugebėti tai padaryti gerai.

Pavyzdys : Raskite išraiškos domeną \(\sqrt(5-2x)+\) \(\frac(1)(\sqrt(14+5x-x^(2)))\)

Sprendimas : Išraiškoje yra dvi šaknys, iš kurių viena yra vardiklyje. Kas neprisimena šiuo atveju taikomų apribojimų,... Kas prisimena, užrašo, kad po pirmąja šaknimi esanti išraiška yra didesnė arba lygi nuliui, o po antrąja – didesnė už nulį. Ar suprantate, kodėl apribojimai yra tokie, kokie yra?

Matematikoje begalinis rinkinys funkcijas. Ir kiekvienas turi savo charakterį.) Norint dirbti su įvairiausiomis funkcijomis, kurių jums reikia vienišas požiūris. Kitaip, kokia čia matematika?!) Ir yra toks požiūris!

Dirbdami su bet kokia funkcija, ją pristatome su standartinis rinkinys klausimus. Ir pirmasis, labiausiai svarbus klausimas- Tai funkcijos apibrėžimo sritis. Kartais ši sritis vadinama galiojančių argumentų reikšmių rinkiniu, sritimi, kurioje nurodyta funkcija ir pan.

Kas yra funkcijos sritis? Kaip jį rasti? Šie klausimai dažnai atrodo sudėtingi ir nesuprantami... Nors iš tikrųjų viskas be galo paprasta. Tuo galite įsitikinti perskaitę šį puslapį. Eiti?)

Na, ką aš galiu pasakyti... Tik pagarba.) Taip! Natūrali funkcijos sritis (kuri čia aptariama) degtukai Su ODZ išraiškosįtraukta į funkciją. Atitinkamai, jų ieškoma pagal tas pačias taisykles.

Dabar pažvelkime į ne visiškai natūralią apibrėžimo sritį.)

Papildomi funkcijos apimties apribojimai.

Čia kalbėsime apie apribojimus, kuriuos nustato užduotis. Tie. užduotyje yra keletas papildomos sąlygos, kuriuos išrado kompiliatorius. Arba apribojimai kyla iš paties funkcijos apibrėžimo metodo.

Kalbant apie užduoties apribojimus, viskas paprasta. Dažniausiai nieko ieškoti nereikia, viskas jau pasakyta užduotyje. Priminsiu, kad užduoties autoriaus parašyti apribojimai neatšaukiami esminiai matematikos apribojimai. Tik reikia nepamiršti atsižvelgti į užduoties sąlygas.

Pavyzdžiui, ši užduotis:

Raskite funkcijos domeną:

teigiamų skaičių aibėje.

Aukščiau radome natūralią šios funkcijos apibrėžimo sritį. Ši vieta:

D(f)=( -∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪

IN žodinis būdas Nurodydami funkciją, turite atidžiai perskaityti sąlygą ir rasti X apribojimus. Kartais akys ieško formulių, bet žodžiai švilpia pro sąmonę taip...) Pavyzdys iš ankstesnės pamokos:

Funkcija nurodoma sąlyga: kiekviena natūralaus argumento x reikšmė yra susieta su skaitmenų, sudarančių x reikšmę, suma.

Čia reikia pažymėti, kad mes kalbame tik O gamtos vertybes X. Tada D(f) iš karto įrašyta:

D(f): x ∈ N

Kaip matote, funkcijos apimtis nėra tokia sudėtinga koncepcija. Norint rasti šią sritį, reikia ištirti funkciją, parašyti nelygybių sistemą ir išspręsti šią sistemą. Žinoma, yra visokių sistemų, paprastų ir sudėtingų. Bet...

aš atidarysiu maža paslaptis. Kartais funkcija, kuriai reikia rasti apibrėžimo sritį, atrodo tiesiog bauginanti. Noriu išbalti ir verkti.) Bet kai tik užsirašau nelygybių sistemą... Ir, staiga, sistema pasirodo elementari! Be to, dažnai kuo baisesnė funkcija, tuo paprastesnė sistema...

Moralas: akys bijo, galva sprendžia!)

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai svetainėje pateikiate užklausą, galime surinkti įvairios informacijos, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą El. paštas ir tt

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų surinkta Asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei artėjančius renginius.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, tokiais kaip auditas, duomenų analizė ir įvairūs tyrimai siekdami pagerinti mūsų teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Esant poreikiui – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismine tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.