Pavyzdžiui, trinario \(3x^2+2x-7\) diskriminantas bus lygus \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). O trinario \(x^2-5x+11\) jis bus lygus \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

Diskriminantas žymimas raide \(D\) ir dažnai naudojamas sprendžiant. Be to, pagal diskriminanto reikšmę galite suprasti, kaip apytiksliai atrodo grafikas (žr. toliau).

Diskriminantas ir lygties šaknys

Diskriminacinė reikšmė rodo kvadratinių lygčių skaičių:
- jei \(D\) yra teigiamas, lygtis turės dvi šaknis;
- jei \(D\) lygus nuliui – yra tik viena šaknis;
- jei \(D\) yra neigiamas, šaknų nėra.

To nereikia mokyti, nesunku padaryti tokią išvadą, paprasčiausiai žinant, kad iš diskriminanto (ty \(\sqrt(D)\) yra įtraukta į lygties šaknų skaičiavimo formulę : \(x_(1)=\)\(\ frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) ir \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) ))(2a)\) Pažvelkime į kiekvieną atvejį išsamiau.

Jei diskriminantas yra teigiamas

Šiuo atveju jo šaknis yra tam tikra teigiamas skaičius, o tai reiškia, kad \(x_(1)\) ir \(x_(2)\) turės skirtingas reikšmes, nes pirmoje formulėje \(\sqrt(D)\) pridedama, o antroje – atimama. Ir mes turime dvi skirtingas šaknis.

Pavyzdys : Raskite lygties \(x^2+2x-3=0\) šaknis
Sprendimas :

Atsakymas : \(x_(1)=1\); \(x_(2) = -3\)

Jei diskriminantas lygus nuliui

O kiek bus šaknų, jei diskriminantas lygus nuliui? Pamąstykime.

Šakninės formulės atrodo taip: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) ir \(x_(2)=\)\(\frac(-) b- \sqrt(D))(2a)\) . Ir jei diskriminantas yra nulis, tai jo šaknis taip pat yra nulis. Tada paaiškėja:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

Tai yra, lygties šaknų reikšmės sutaps, nes nulio pridėjimas ar atėmimas nieko nekeičia.

Pavyzdys : Raskite lygties \(x^2-4x+4=0\) šaknis
Sprendimas :

Atsakymas : \(x=2\)

Kvadratinės lygtys. Diskriminuojantis. Sprendimas, pavyzdžiai.

Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai…“)

Kvadratinių lygčių tipai

Kas yra kvadratinė lygtis? Kaip tai atrodo? Per terminą kvadratinė lygtis raktinis žodis yra "kvadratas". Tai reiškia, kad lygtyje Būtinai turi būti x kvadratas. Be jo, lygtyje gali būti (arba negali būti!) tik X (iki pirmos laipsnio) ir tik skaičius (laisvas narys). Ir neturėtų būti X laipsnio, didesnio nei du.

Kalbėdamas matematinė kalba, kvadratinė lygtis yra tokios formos lygtis:

Čia a, b ir c- kai kurie skaičiai. b ir c- Visiškai bet koks, bet A– nieko kito nei nulis. Pavyzdžiui:

Čia A =1; b = 3; c = -4

Čia A =2; b = -0,5; c = 2,2

Čia A =-3; b = 6; c = -18

Na, supranti...

Šiose kvadratinėse lygtyse kairėje yra pilna komplektacija narių. X kvadratu su koeficientu A, x iki pirmojo laipsnio su koeficientu b Ir laisvas narys s.

Tokios kvadratinės lygtys vadinamos pilnas.

O jeigu b= 0, ką mes gauname? Turime X bus prarastas pirmajai galiai. Taip atsitinka padauginus iš nulio.) Pasirodo, pavyzdžiui:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x = 0,

-x 2 +4x=0

ir kt. Ir jei abu koeficientai b Ir c yra lygūs nuliui, tada dar paprasčiau:

2x2 =0,

-0,3x2 =0

Tokios lygtys, kur kažko trūksta, vadinamos nepilnos kvadratinės lygtys. Tai gana logiška.) Atkreipkite dėmesį, kad x kvadratas yra visose lygtyse.

Beje, kodėl A negali būti lygus nuliui? Ir jūs vietoj to pakeičiate A nulis.) Mūsų X kvadratas išnyks! Lygtis taps tiesinė. O sprendimas visai kitoks...

Tai visos pagrindinės rūšys kvadratines lygtis. Pilnas ir neišsamus.

Kvadratinių lygčių sprendimas.

Pilnų kvadratinių lygčių sprendimas.

Kvadratines lygtis nesunku išspręsti. Pagal formules ir aišku paprastos taisyklės. Pirmajame etape tai būtina duota lygtis veda prie standartinis vaizdas, t.y. į formą:

Jei lygtis jums jau pateikta šioje formoje, jums nereikia atlikti pirmojo etapo.) Svarbiausia yra teisingai nustatyti visus koeficientus, A, b Ir c.

Kvadratinės lygties šaknų radimo formulė atrodo taip:

Išraiška po šaknies ženklu vadinama diskriminuojantis. Bet daugiau apie jį žemiau. Kaip matote, norėdami rasti X, naudojame tik a, b ir c. Tie. koeficientai iš kvadratinės lygties. Tiesiog atsargiai pakeiskite vertybes a, b ir c Skaičiuojame pagal šią formulę. Pakeiskime su savo ženklais! Pavyzdžiui, lygtyje:

A =1; b = 3; c= -4. Čia mes tai užrašome:

Pavyzdys beveik išspręstas:

Tai yra atsakymas.

Tai labai paprasta. Ir ką, jūs manote, kad neįmanoma suklysti? Na taip, kaip...

Dažniausios klaidos yra painiojimas su ženklų reikšmėmis a, b ir c. O tiksliau ne su jų ženklais (kur susipainioti?), o su pakeitimu neigiamos reikšmėsį šaknų skaičiavimo formulę. Išsaugo čia išsamus įrašas formulės su konkrečiais skaičiais. Jei kyla problemų su skaičiavimais, tai padaryti!

Tarkime, kad turime išspręsti šį pavyzdį:

Čia a = -6; b = -5; c = -1

Tarkime, žinote, kad pirmą kartą retai sulaukiate atsakymų.

Na, netingėk. Tai užtruks apie 30 sekundžių parašyti papildomą eilutę ir klaidų skaičių smarkiai sumažės. Taigi rašome išsamiai, su visais skliaustais ir ženklais:

Atrodo neįtikėtinai sunku taip kruopščiai parašyti. Bet taip tik atrodo. Išbandykite. Na, arba pasirinkti. Kas geriau, greitas ar teisingas?

Be to, aš tave pradžiuginsiu. Po kurio laiko nebereikės visko taip kruopščiai surašyti. Tai išsispręs savaime. Ypač jei naudojate praktinius metodus, kurie aprašyti toliau. Šis blogas pavyzdys su daugybe minusų gali būti išspręstas lengvai ir be klaidų!

Tačiau dažnai kvadratinės lygtys atrodo šiek tiek kitaip. Pavyzdžiui, taip: Ar atpažinote?) Taip! Tai.

nepilnos kvadratinės lygtys

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas. a, b ir c.

Jas taip pat galima išspręsti naudojant bendrą formulę. Jums tereikia teisingai suprasti, kam jie čia prilygsta. Ar išsiaiškinote? Pirmame pavyzdyje a = 1; b = -4; c A ? Jo visai nėra! Na taip, tai tiesa. Matematikoje tai reiškia c = 0 ! Tai viskas. Vietoj to formulėje pakeiskite nulį c, ir mums pasiseks. Tas pats su antruoju pavyzdžiu. Tik pas mus čia nėra nulio Su b !

, A Tačiau nepilnas kvadratines lygtis galima išspręsti daug paprasčiau. Be jokių formulių. Apsvarstykime pirmąjį nepilna lygtis

. Ką galite padaryti kairėje pusėje? Galite ištraukti X iš skliaustų! Išimkime.
Taigi, kas iš to? Ir tai, kad sandauga lygi nuliui tada ir tik tada, kai kuris nors iš veiksnių yra lygus nuliui! Netikite manimi? Gerai, tada sugalvokite du ne nuo nulio skaičius, kuriuos padauginus bus gautas nulis!
Neveikia? tai tiek... Todėl drąsiai galime rašyti:, x 1 = 0.

x 2 = 4 Visi. Tai bus mūsų lygties šaknys. Tinka abu. Pakeičiant bet kurį iš jų į pradinė lygtis , gauname teisingą tapatybę 0 = 0. Kaip matote, sprendimas yra daug paprastesnis nei naudojant bendrą formulę. Beje, atkreipsiu dėmesį, kuris X bus pirmasis, o kuris antras – absoliučiai abejingas. Patogu rašyti eilės tvarka, x 1 - kas mažesnis ir x 2

- kas didesnis. Antrąją lygtį taip pat galima išspręsti paprastai. Perkelti 9 į dešinėje pusėje

Belieka išgauti šaknį iš 9, ir viskas. Tai paaiškės:

Taip pat dvi šaknys . x 1 = -3, x 2 = 3.

Taip išsprendžiamos visos nepilnos kvadratinės lygtys. Arba įdėdami X iš skliaustų arba tiesiog perkeldami skaičių į dešinę ir ištraukdami šaknį.
Labai sunku supainioti šiuos metodus. Vien dėl to, kad pirmu atveju teks ištraukti X šaknį, kuri kažkaip nesuprantama, o antruoju atveju nėra ką ištraukti iš skliaustų...

Diskriminuojantis. Diskriminacinė formulė.

Magiškas žodis diskriminuojantis ! Retas gimnazistas nėra girdėjęs šio žodžio! Frazė „sprendžiame per diskriminantą“ įkvepia pasitikėjimo ir užtikrintumo. Nes nereikia tikėtis gudrybių iš diskriminanto! Juo naudotis paprasta ir be problemų.) Primenu jums labiausiai bendroji formulė išspręsti bet koks kvadratinės lygtys:

Išraiška po šaknies ženklu vadinama diskriminantu. Paprastai diskriminantas žymimas raide D. Diskriminacinė formulė:

D = b 2 - 4ac

Ir kuo ši išraiška tokio nuostabaus? Kodėl nusipelnė specialus vardas? Ką diskriminanto prasmė? Juk juk -b, arba 2ašioje formulėje jie konkrečiai nieko nevadina... Raidės ir raidės.

Štai toks dalykas. Sprendžiant kvadratinę lygtį naudojant šią formulę, tai įmanoma tik trys atvejai.

1. Diskriminantas yra teigiamas. Tai reiškia, kad iš jo galima išgauti šaknį. Ar šaknis išgaunama gerai, ar prastai – kitas klausimas. Svarbu tai, kas išgaunama iš esmės. Tada jūsų kvadratinė lygtis turi dvi šaknis. Du skirtingi sprendimai.

2. Diskriminantas lygus nuliui. Tada turėsite vieną sprendimą. Kadangi nulio pridėjimas ar atėmimas skaitiklyje nieko nekeičia. Griežtai kalbant, tai ne viena šaknis, o du vienodi. Tačiau supaprastintoje versijoje įprasta kalbėti apie vienas sprendimas.

3. Diskriminantas yra neigiamas. Neigiamojo skaičiaus kvadratinė šaknis negali būti paimta. O gerai. Tai reiškia, kad sprendimų nėra.

Atvirai kalbant, kada paprastas sprendimas kvadratines lygtis, diskriminanto sąvoka nėra ypač reikalinga. Mes pakeičiame koeficientų reikšmes į formulę ir suskaičiuojame. Ten viskas vyksta savaime, dvi šaknys, viena ir nė viena. Tačiau sprendžiant daugiau sunkių užduočių, be žinios diskriminanto reikšmė ir formulė negali apsieiti. Ypač lygtyse su parametrais. Tokios lygtys yra akrobatinis skraidis valstybiniam egzaminui ir vieningam valstybiniam egzaminui!)

Taigi, kaip išspręsti kvadratines lygtis per diskriminantą, kurį prisiminėte. Arba išmokote, o tai irgi nėra blogai.) Mokate teisingai nustatyti a, b ir c. Ar žinai kaip? dėmesingai pakeiskite juos į šaknies formulę ir dėmesingai suskaičiuok rezultatą. Ar tu tai supratai raktažodįČia - dėmesingai?

Dabar atkreipkite dėmesį į praktinius metodus, kurie žymiai sumažina klaidų skaičių. Tie patys, kurie dėl neatidumo... Dėl ko vėliau tampa skaudu ir įžeidžiama...

Pirmas susitikimas . Nebūkite tingus prieš išspręsdami kvadratinę lygtį ir įveskite ją į standartinę formą. Ką tai reiškia?
Tarkime, kad po visų transformacijų gausite tokią lygtį:

Neskubėkite rašyti šaknies formulės! Beveik neabejotinai sumaišysite šansus a, b ir c. Teisingai sukonstruokite pavyzdį. Pirma, X kvadratas, tada be kvadrato, tada laisvas terminas. kaip tai:

Ir vėl, neskubėkite! Minusas prieš X kvadratą gali jus tikrai nuliūdinti. Lengva pamiršti... Atsikratykite minuso. Kaip? Taip, kaip mokyta ankstesnėje temoje! Turime padauginti visą lygtį iš -1. Mes gauname:

Bet dabar galite drąsiai užsirašyti šaknų formulę, apskaičiuoti diskriminantą ir baigti spręsti pavyzdį. Spręskite patys.

Dabar turėtumėte turėti šaknis 2 ir -1. Priėmimas antras. Patikrinkite šaknis! Pagal Vietos teoremą. Nebijok, aš viską paaiškinsiu! Tikrinama paskutinis lygtis. Tie. ta, kurią naudojome užrašydami šaknies formulę. Jei (kaip šiame pavyzdyje) koeficientas a = 1 , patikrinti šaknis lengva. Užtenka juos padauginti. Rezultatas turėtų būti nemokamas narys, t.y. mūsų atveju -2. Atkreipkite dėmesį, ne 2, o -2! Laisvas narys su savo ženklu

. Jei nepavyksta, vadinasi, jau kažkur susisukote. Ieškokite klaidos. b Jei tai veikia, turite pridėti šaknis. Paskutinis ir paskutinis patikrinimas. Koeficientas turėtų būti Su priešinga b pažįstamas. Mūsų atveju -1+2 = +1. Koeficientas
, kuris yra prieš X, yra lygus -1. Taigi, viskas teisinga! Gaila, kad tai taip paprasta tik pavyzdžiams, kur x kvadratas yra grynas, su koeficientu a = 1.

Bet bent jau patikrinkite tokias lygtis! Klaidų bus vis mažiau. Trečias priėmimas . Jei jūsų lygtis turi trupmeniniai koeficientai , - atsikratykite trupmenų! Padauginkite lygtį iš bendras vardiklis

, kaip aprašyta pamokoje "Kaip išspręsti lygtis? Identiškos transformacijos". Dirbant su trupmenomis, klaidų kažkodėl vis atsiranda...

Beje, blogą pavyzdį pažadėjau supaprastinti su krūva minusų. Prašau! Štai jis.

Kad nesusipainiotume su minusais, lygtį padauginame iš -1. Mes gauname:

tai viskas! Spręsti yra vienas malonumas!

Taigi, apibendrinkime temą.:

Praktinis patarimas 1. Prieš spręsdami kvadratinę lygtį įvedame į standartinę formą ir ją sudarome.

Teisingai

3. Jeigu koeficientai trupmeniniai, tai trupmenas eliminuojame padauginę visą lygtį iš atitinkamo koeficiento.

4. Jei x kvadratas yra grynas, jo koeficientas lygus vienam, sprendimas gali būti lengvai patikrintas naudojant Vietos teoremą. Padaryk tai!

Dabar galime nuspręsti.)

Išspręskite lygtis:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2)

Atsakymai (netvarkingai):

Todėl drąsiai galime rašyti:
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x – bet koks skaičius

x 1 = -3
x 2 = 3

jokių sprendimų

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Ar viskas tinka? Puiku! Kvadratinės lygtys nėra jūsų reikalas galvos skausmas. Pirmieji trys veikė, o likusieji ne? Tada problema yra ne su kvadratinėmis lygtimis. Problema yra identiškose lygčių transformacijose. Pažiūrėk nuorodą, tai naudinga.

Ne visai pavyksta? O gal visai nesiseka? Tada jums padės 555 skyrius. Visi šie pavyzdžiai yra suskirstyti. Parodyta pagrindinis klaidos sprendime. Žinoma, kalbama ir apie naudojimą tapatybės transformacijos sprendime skirtingos lygtys. Labai padeda!

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)

Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Tikiuosi, kad išstudijavę šį straipsnį sužinosite, kaip rasti visos kvadratinės lygties šaknis.

Naudojant diskriminantą, sprendžiamos tik pilnosios kvadratinės lygtys, sprendžiamos nepilnos kvadratinės lygtys, naudojami kiti metodai, kuriuos rasite straipsnyje „Nepilnių kvadratinių lygčių sprendimas“.

Kokios kvadratinės lygtys vadinamos pilnosiomis? Tai ax 2 + b x + c = 0 formos lygtys, kur koeficientai a, b ir c nėra lygūs nuliui. Taigi, norėdami išspręsti visą kvadratinę lygtį, turime apskaičiuoti diskriminantą D.

D = b 2 – 4ac.

Atsižvelgdami į diskriminanto reikšmę, surašysime atsakymą.

Jei diskriminantas yra neigiamas skaičius (D< 0),то корней нет.

Jei diskriminantas lygus nuliui, tai x = (-b)/2a. Kai diskriminantas yra teigiamas skaičius (D > 0),

tada x 1 = (-b - √D)/2a ir x 2 = (-b + √D)/2a.

Pavyzdžiui. Išspręskite lygtį - kas mažesnis ir– 4x + 4 = 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Atsakymas: 2.

Išspręskite 2 lygtį - kas mažesnis ir + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Atsakymas: nėra šaknų.

Išspręskite 2 lygtį - kas mažesnis ir + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81) / (2 2) = (-5 - 9) / 4 = - 3,5

x 2 = (-5 + √81) / (2 2) = (-5 + 9) / 4 = 1

Atsakymas: – 3,5; 1.

Taigi įsivaizduokime pilnų kvadratinių lygčių sprendimą naudodami 1 paveiksle pateiktą diagramą.

Naudodami šias formules galite išspręsti bet kurią pilną kvadratinę lygtį. Jums tiesiog reikia būti atsargiems lygtis buvo parašyta kaip standartinės formos daugianario

A - kas mažesnis ir + bx + c, kitaip galite padaryti klaidą. Pavyzdžiui, rašydami lygtį x + 3 + 2x 2 = 0, galite klaidingai nuspręsti, kad

a = 1, b = 3 ir c = 2. Tada

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 ir tada lygtis turi dvi šaknis. Ir tai netiesa. (Žr. 2 pavyzdžio sprendimą aukščiau).

Todėl, jei lygtis nėra parašyta kaip standartinės formos daugianomas, pirmiausia visa kvadratinė lygtis turi būti parašyta kaip standartinės formos daugianomas (monomas su aukščiausias rodiklis laipsnių, tai yra A - kas mažesnis ir , tada su mažiau – bx ir tada laisvas narys Su.

Sprendžiant sumažintą kvadratinę lygtį ir kvadratinę lygtį su lyginiu koeficientu antrajame dėme, galite naudoti kitas formules. Susipažinkime su šiomis formulėmis. Jei pilnoje kvadratinėje lygtyje antrasis narys turi lyginį koeficientą (b = 2k), tada lygtį galite išspręsti naudodami 2 paveikslo diagramoje parodytas formules.

Pilna kvadratinė lygtis vadinama redukuota, jei koeficientas at - kas mažesnis ir yra lygi vienetui ir lygtis įgauna formą x 2 + px + q = 0. Tokią lygtį galima pateikti sprendiniui arba ją galima gauti visus lygties koeficientus padalijus iš koeficiento A, stovi prie - kas mažesnis ir .

3 paveiksle parodyta sumažinto kvadrato sprendimo schema
lygtys. Pažvelkime į šiame straipsnyje aptartų formulių taikymo pavyzdį.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį

3- kas mažesnis ir + 6x – 6 = 0.

Išspręskime šią lygtį naudodami 1 paveikslo diagramoje parodytas formules.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = -1 - √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Atsakymas: –1 – √3; –1 + √3

Galite pastebėti, kad x koeficientas šioje lygtyje lyginis skaičius, tai yra b = 6 arba b = 2k, iš kur k = 3. Tada pabandykime išspręsti lygtį naudodamiesi formulėmis, pateiktomis paveikslo diagramoje D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 – 3√3)/3 = (3 (-1 – √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Atsakymas: –1 – √3; –1 + √3. Pastebėję, kad visi šios kvadratinės lygties koeficientai dalijasi iš 3 ir atlikę padalijimą, gauname sumažintą kvadratinę lygtį x 2 + 2x – 2 = 0 Išspręskite šią lygtį naudodami sumažintos kvadratinės formules.
lygtys 3 pav.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 – 2√3)/2 = (2 (-1 – √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Atsakymas: –1 – √3; –1 + √3.

Kaip matome, sprendžiant šią lygtį pagal įvairios formulės gavome tą patį atsakymą. Todėl gerai įsisavinę 1 paveikslo diagramoje parodytas formules, visada galėsite išspręsti bet kurią pilną kvadratinę lygtį.

svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.

Kvadratinė lygtis – lengva išspręsti! *Toliau – KU. Bičiuliai, atrodytų, kad matematikoje negali būti nieko paprasčiau nei išspręsti tokią lygtį. Tačiau kažkas man pasakė, kad daugelis žmonių turi problemų su juo. Nusprendžiau pažiūrėti, kiek parodymų pagal pareikalavimą „Yandex“ pateikia per mėnesį. Štai kas atsitiko, žiūrėk:

Ką tai reiškia? Tai reiškia, kad per mėnesį ieško apie 70 000 žmonių šią informaciją, ką su tuo turi bendra ši vasara ir kas nutiks tarp mokslo metus— prašymų bus dvigubai daugiau. Tai nenuostabu, nes šios informacijos ieško tie vaikinai ir merginos, kurie seniai baigė mokyklą ir ruošiasi vieningam valstybiniam egzaminui, o atmintį atgaivinti stengiasi ir moksleiviai.

Nepaisant to, kad yra daugybė svetainių, kuriose pasakojama, kaip išspręsti šią lygtį, aš nusprendžiau taip pat prisidėti ir paskelbti medžiagą. Pirma, noriu, kad lankytojai į mano svetainę ateitų pagal šį prašymą; antra, kituose straipsniuose, kai iškils tema “KU”, pateiksiu nuorodą į šį straipsnį; trečia, aš jums papasakosiu šiek tiek daugiau apie jo sprendimą, nei paprastai nurodoma kitose svetainėse. Pradėkime! Straipsnio turinys:

Kvadratinė lygtis yra tokios formos lygtis:

kur koeficientai a,bir su savavališki skaičiai, kur a≠0.

IN mokyklos kursas medžiaga pateikiama tokia forma - lygtys sąlyginai suskirstytos į tris klases:

1. Jie turi dvi šaknis.

2. *Turėti tik vieną šaknį.

3. Jie neturi šaknų. Čia ypač verta paminėti, kad jie neturi tikrų šaknų

Kaip apskaičiuojamos šaknys? Tiesiog!

Apskaičiuojame diskriminantą. Po šiuo „siaubingu“ žodžiu slypi labai paprasta formulė:

Šaknies formulės yra tokios:

*Šias formules reikia žinoti mintinai.

Galite iš karto užsirašyti ir išspręsti:

Pavyzdys:

1. Jei D > 0, tai lygtis turi dvi šaknis.

2. Jei D = 0, tai lygtis turi vieną šaknį.

3. Jei D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Pažiūrėkime į lygtį:

Šiuo atžvilgiu, kai diskriminantas yra lygus nuliui, mokyklos kursas sako, kad gaunama viena šaknis, čia ji yra lygi devynioms. Viskas teisinga, taip yra, bet...

Ši mintis yra šiek tiek neteisinga. Tiesą sakant, yra dvi šaknys. Taip, taip, nenustebkite, gausite dvi lygias šaknis, o jei matematiškai tiksliai, tada atsakyme turėtų būti parašytos dvi šaknys:

x 1 = 3 x 2 = 3

Bet taip yra – mažas nukrypimas. Mokykloje gali užsirašyti ir pasakyti, kad yra viena šaknis.

Dabar kitas pavyzdys:

Kaip žinome, neigiamo skaičiaus šaknis negalima paimti, todėl sprendiniai in šiuo atveju Nr.

Tai yra visas sprendimo procesas.

Kvadratinė funkcija.

Tai parodo, kaip sprendimas atrodo geometriškai. Tai nepaprastai svarbu suprasti (ateityje viename iš straipsnių išsamiai išanalizuosime kvadratinės nelygybės sprendimą).

Tai yra formos funkcija:

kur x ir y yra kintamieji

a, b, c - duotus skaičius, kur a ≠ 0

Grafikas yra parabolė:

Tai yra, paaiškėja, kad sprendžiant kvadratinę lygtį "y" lygus nuliui randame parabolės susikirtimo taškus su x ašimi. Šių taškų gali būti du (diskriminantas yra teigiamas), vienas (diskriminantas yra nulis) ir nė vienas (diskriminantas yra neigiamas). Išsami informacija apie kvadratinė funkcija gali pažiūrėti Inna Feldman straipsnis.

Pažiūrėkime į pavyzdžius:

1 pavyzdys: išspręskite 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Atsakymas: x 1 = 8 x 2 = –12

*Galima buvo iš karto padalyti kairę ir dešinę lygties puses iš 2, tai yra supaprastinti. Skaičiavimai bus lengvesni.

2 pavyzdys: Nuspręskite x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 – 4ac = (–22) 2 –4, 1, 121 = 484–484 = 0

Mes nustatėme, kad x 1 = 11 ir x 2 = 11

Atsakyme leidžiama rašyti x = 11.

Atsakymas: x = 11

3 pavyzdys: Nuspręskite x 2 – 8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 -4ac = (-8) 2 -4, 1, 72 = 64 - 288 = -224

Diskriminantas yra neigiamas, realiaisiais skaičiais sprendimo nėra.

Atsakymas: nėra sprendimo

Diskriminantas yra neigiamas. Yra sprendimas!

Čia kalbėsime apie lygties sprendimą tuo atveju, kai paaiškės neigiamas diskriminatorius. Ar žinote ką nors apie kompleksiniai skaičiai? Aš čia nekalbėsiu išsamiai apie tai, kodėl ir kur jie atsirado ir kas jie yra specifinis vaidmuo ir matematikos poreikis, tai didelio atskiro straipsnio tema.

Kompleksinio skaičiaus samprata.

Šiek tiek teorijos.

Kompleksinis skaičius z yra formos skaičius

z = a + bi

kur yra a ir b realūs skaičiai, i yra vadinamasis įsivaizduojamas vienetas.

a+bi – tai VIENAS SKAIČIUS, o ne papildymas.

Įsivaizduojamas vienetas yra lygus minus vieneto šaknei:

Dabar apsvarstykite lygtį:

Gauname dvi konjuguotas šaknis.

Nebaigta kvadratinė lygtis.

Panagrinėkime specialius atvejus, kai koeficientas „b“ arba „c“ yra lygus nuliui (arba abu lygūs nuliui). Jas galima lengvai išspręsti be jokių diskriminacinių priemonių.

1 atvejis. Koeficientas b = 0.

Lygtis tampa tokia:

Transformuokime:

Pavyzdys:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

2 atvejis. Koeficientas c = 0.

Lygtis tampa tokia:

Transformuokime ir faktorizuokime:

* Produktas yra lygus nuliui, kai bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui.

Pavyzdys:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x-5) =0 => x = 0 arba x-5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

3 atvejis. Koeficientai b = 0 ir c = 0.

Čia aišku, kad lygties sprendimas visada bus x = 0.

Naudingos koeficientų savybės ir modeliai.

Yra savybių, kurios leidžia išspręsti lygtis su dideliais koeficientais.

Ax 2 + bx+ c=0 galioja lygybė

a + b+ c = 0, Tai

- jei lygties koeficientams Ax 2 + bx+ c=0 galioja lygybė

a+ c =b, Tai

Šios savybės padeda apsispręsti tam tikro tipo lygtys.

1 pavyzdys: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Šansų suma yra 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, o tai reiškia

2 pavyzdys: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Lygybė galioja a+ c =b, Reiškia

Koeficientų dėsningumai.

1. Jei lygtyje ax 2 + bx + c = 0 koeficientas "b" yra lygus (a 2 +1), o koeficientas "c" yra skaitine prasme lygus koeficientui "a", tai jo šaknys yra lygios

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Pavyzdys. Apsvarstykite lygtį 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Jei lygtyje ax 2 – bx + c = 0 koeficientas „b“ yra lygus (a 2 +1), o koeficientas „c“ skaitine prasme lygus koeficientui „a“, tai jo šaknys yra lygios.

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Pavyzdys. Apsvarstykite lygtį 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Jei lygtyje. ax 2 + bx – c = 0 koeficientas „b“ yra lygus (a 2 – 1), ir koeficientas „c“ yra skaitine prasme lygus koeficientui "a", tada jo šaknys lygios

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Pavyzdys. Apsvarstykite lygtį 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Jei lygtyje ax 2 – bx – c = 0 koeficientas „b“ yra lygus (a 2 – 1), o koeficientas c skaitine prasme lygus koeficientui „a“, tai jo šaknys yra lygios

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Pavyzdys. Apsvarstykite lygtį 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Vietos teorema.

Vietos teorema pavadinta garsiojo vardu prancūzų matematikas Francois Vieta. Naudodamiesi Vietos teorema, galime išreikšti savavališko KU šaknų sumą ir sandaugą jo koeficientais.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Iš viso skaičius 14 duoda tik 5 ir 9. Tai yra šaknys. Turėdami tam tikrų įgūdžių, naudodami pateiktą teoremą, galite iškart žodžiu išspręsti daugybę kvadratinių lygčių.

Vietos teorema, be to. Patogu tuo, kad įprastu būdu (per diskriminantą) išsprendus kvadratinę lygtį galima patikrinti gautas šaknis. Aš rekomenduoju tai daryti visada.

TRANSPORTAVIMO BŪDAS

Taikant šį metodą koeficientas „a“ dauginamas iš laisvojo termino, tarsi „įmetamas“ į jį, todėl jis vadinamas "perdavimo" metodas.Šis metodas naudojamas, kai galite lengvai rasti lygties šaknis naudodami Vietos teoremą ir, svarbiausia, kai diskriminantas yra tikslus kvadratas.

Jeigu A± b+c≠ 0, tada naudojama perdavimo technika, pavyzdžiui:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Naudojant Vietos teoremą (2) lygtyje, nesunku nustatyti, kad x 1 = 10 x 2 = 1

Gautas lygties šaknis reikia padalyti iš 2 (kadangi jos buvo „išmestos“ iš x 2), gauname

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Koks yra loginis pagrindas? Pažiūrėk, kas vyksta.

(1) ir (2) lygčių diskriminantai yra lygūs:

Jei pažvelgsite į lygčių šaknis, jūs tik gausite skirtingus vardiklius, o rezultatas priklauso būtent nuo koeficiento x 2:

Antrasis (modifikuotas) turi 2 kartus didesnes šaknis.

Todėl rezultatą padalijame iš 2.

*Jei persuksime tris, rezultatą padalinsime iš 3 ir t.t.

Atsakymas: x 1 = 5 x 2 = 0,5

kv. ur-ie ir vieningas valstybinis egzaminas.

Trumpai papasakosiu apie jo svarbą – PRIVALAI MESTI greitai ir negalvodamas, reikia mintinai žinoti šaknų ir diskriminuojančių veiksnių formules. Daugelis problemų, įtrauktų į vieningo valstybinio egzamino užduotis, susiveda į kvadratinės lygties sprendimą (taip pat ir geometrines).

Į ką nors verta atkreipti dėmesį!

1. Lygties rašymo forma gali būti „numanoma“. Pavyzdžiui, galimas toks įrašas:

15+ 9x 2 - 45x = 0 arba 15x + 42 + 9x 2 - 45x = 0 arba 15 -5x + 10x 2 = 0.

Turite jį pateikti į standartinę formą (kad nesusipainiotumėte sprendžiant).

2. Atsiminkite, kad x yra nežinomas dydis ir jį galima žymėti bet kuria kita raide – t, q, p, h ir kt.