OPTIMALIOS PAKANKAMS SĄLYGOS
Optimalumą užtikrinančios sąlygos šį sprendimą pasirinktos palyginimo kreivių klasės variacijų skaičiavimo problemos.
O.d.u. silpnas minimumas (žr.): siekiant užtikrinti silpną funkcionalumą
(1) val ribines sąlygas. y .
(x 0) = y 0 ,y(x 1) = y 1, pakanka, kad būtų įvykdytos šios sąlygos.
1) Kreivė turi būti ekstremali, tai yra patenkinti Eilerio lygtis
2) Išilgai kreivės, įskaitant jos galus, sustiprinta Legendre būklė
Fy "y"(x, y, y") >
0.
3) Kreivė turi tenkinti sustiprintą Jacobi būklė reikalaujant, kad Jacobi lygtys
(2) su pradines sąlygas
h(x 0) = 0, h" (x 0) = 1
Weierstrass funkcija, a ir ( x, y) -
lauko šlaitas.
aplinkiniai kraštutinumai
) ekstremaliuose taškuose (žr.). Neklasikinėms variacijų problemoms, nagrinėjamoms optimalus matematikos valdymas teorijos,
Yra keletas požiūrių į O. d.u. absoliutus kraštutinumas.
Pateikiame optimalaus valdymo problemą, kurioje reikia nustatyti funkcinio minimumą
sąlygomis Kur U- duota uždaras komplektas.
p-dimensinė erdvė
Naudojant dinaminio programavimo metodą O.d.u. yra suformuluoti taip. Kad valdiklis u(t) būtų optimalus uždavinyje (5)-(8), pakanka: ,
1) buvo toks S(x) kraštas turi ištisinius dalinius išvestinius visiems X, išskyrus, galbūt, tam tikrą sklandų matmenų rinkinį p, lygus nuliui colio pabaigos taškas(x 1, S)=0,
ir tenkina Belmano lygtį
2) u(t) =v(x(t)) , ties , kur v(x) - sintezės funkcija, nustatyta pagal Belmano lygtį:
Tiesą sakant, naudojant dinaminį metodą. programavimo pasirodo daugiau stiprus rezultatas: O.d.u. įvairiems skirtingiems valdikliams, kurie fazės tašką perkelia iš savavališkos pradinės būsenos į tam tikrą galutinę būseną x 1 .
Bendresniu atveju, kai kalbama apie neautonominę sistemą, t.y. integrando funkcija ir dešiniųjų pusių vektorinė funkcija taip pat priklauso nuo laiko. t, funkcija S turi priklausyti nuo t, o terminas turi būti įtrauktas į kairę (9) lygties pusę. Yra (žr.), kurioje buvo galima pašalinti labai suvaržytą ir daugumoje problemų neįvykdytą, bet dažniausiai tariamą funkcijos S(x) nuolatinio diferencijavimo sąlygą. X.
O.d.u. gali būti sukonstruotas remiantis Pontriagino maksimalaus principu. Jei tam tikrame G fazės erdvės regione atliekama reguliari sintezė, tai visos trajektorijos, gautos naudojant maksimalų principą statant įprastą sintezę, yra optimalios regione. G.
Reguliarios sintezės apibrėžimas, nors ir gana sudėtingas, iš esmės nenustato jokių specialių apribojimų (5)–8 problemai.
Yra ir kitas požiūris į O. d.u. (cm. ). Tegul j(x) yra funkcija, kuri yra ištisinė kartu su jos dalinėmis išvestinėmis visomis leistinomis kraštas turi ištisinius dalinius išvestinius visiems priklausantis tam tikram regionui G ir
Kad pora , pateiktų absoliutų minimumą uždavinyje (5) - (8), pakanka, kad egzistuoja funkcija j(x), kad
Leidžiami atitinkami pateiktos O. d.u formuluotės pakeitimai. daugiau bendrieji atvejai neautonominė sistema, problemos su Mayer ir Boltz tipo funkcijomis (žr. Bolzos problema),
taip pat stumdomiems optimaliems režimams (žr.).
Tyrinėjo variacinės problemos su funkciniais kelių integralų pavidalu ir diferencialiniais ryšiais dalinių diferencialinių lygčių pavidalu, kuriose nagrinėjamos kelių kintamųjų funkcijos (žr.).
Lit.: Lavrentiev M. A., Lyusternik L. A., Variacijų skaičiavimo kursas, 2 leidimas, M.-L., 1950; Bliss G. A. Paskaitos apie variacijų skaičiavimą, vert. iš anglų k., M., 1950; Bellman R., Dinaminis, vert. iš anglų k., M., 1960; Boltyansky V. G., Matematiniai metodai optimali kontrolė, M., 1966; Krotovas V.F., „Automatika ir telemechanika“, 1962, t. 23, Nr. 1571-83; 1963, t. 5, p. 581-98; Butkovskis A.G., Sistemų su paskirstytais parametrais optimalaus valdymo teorija, M., 1965 m. I. B. Vapnyarskis.
Matematinė enciklopedija. - M.: Tarybinė enciklopedija.
I. M. Vinogradovas.
1977–1985 m.
Pažiūrėkite, kas yra „OPTIMALIOS PAKANKAMAS SĄLYGOS“ kituose žodynuose: Optimizavimo teorijoje Karush Kuhn Tucker sąlygos (KKT) yra būtinos sąlygos netiesinio programavimo uždaviniui išspręsti. Kad sprendimas būtų optimalus, reikia atlikti tam tikrus dalykus... ... Vikipedija Optimalaus valdymo problemos sprendimas matematinė teorija, būryje kontrolės veiksmas
u=u(t).susidaro kaip laiko funkcija (todėl daroma prielaida, kad proceso metu į sistemą nepatenka jokia kita informacija, išskyrus tą, kuri buvo pateikta pačioje pradžioje... ...
Matematinė enciklopedija Vikipedijoje yra straipsnių apie kitus žmones su šia pavarde, žr. Krotovas. Vadimas Fedorovičius Krotovas Gimimo data: 1932 m. vasario 14 d. (1932 02 14) (80 m.) Gimimo vieta ... Vikipedija Skaitiniai metodai skaičiavimo matematikos šaka, skirta ekstremalių funkcinių verčių nustatymo metodams. Skaitiniai metodai V. ir. paprastai skirstomi į dvi dalis kontrolės veiksmas
didelė klasė : netiesioginiai ir tiesioginiai metodai. Netiesioginiai metodai yra pagrįsti...... C core (tariama tse core) yra optimalumo principas kooperacinių žaidimų teorijoje, kuris yra aibė
efektyvus paskirstymas
laimėjimai, atsparūs bet kokios žaidėjų koalicijos nukrypimams, tai yra vektorių rinkinys, kuris: ir ... ... Vikipedija kontrolės veiksmas
Pagrindinis optimalumo principas kooperacinių žaidimų teorijoje, kuris yra efektyvių išmokėjimo paskirstymų rinkinys, atsparus bet kurios žaidėjų koalicijos nukrypimams, tai yra vektorių rinkinys, toks, kad: ir bet kuriai koalicijai galioja šie dalykai. Vikipedija Mažiausia funkcinės J(y) reikšmė kreivėje yra tokia, kad (1) visoms palyginimo kreivėms y(x), atitinkančioms nulinės eilės artumo sąlygą e: (2) visame intervale . Daroma prielaida, kad kreivės tenkina ... ...- (g. 1926 m. spalio 21 d., Novosibirskas) rusų matematikas. Sankt Peterburgo Matematikos ir mechanikos fakulteto Teorinės kibernetikos katedros vedėjas valstybinis universitetas, narys korespondentas
Rusijos akademija
Būdingos savybės, kurias turi optimalus taškas (vektorius) matematinio programavimo uždavinyje. Forma O.n. u. nustatoma pagal formą, kuria nurodytas leistinas rinkinys. Pirmą kartą generolas O. n. u. Lagrange'as suformuluotas ekstremalioms problemoms, kai yra apribojimų lygybių pavidalu (žr. Lagrange'o daugiklių taisyklę). 1951 metais Amer. matematikai G. Kuhnas ir A. Tuckeris suformulavo būtinus ir pakankamai sąlygų taško x optimalumas išgaubtame programavimo uždavinyje, t.y. radimo uždavinyje
kur funkcija yra įgaubta, o visos funkcijos yra išgaubtos. Tam, kad vektorius x būtų problemos (1) sprendimas, kai leistinoje aibėje yra vidinis. taškas, t.y., būtina ir pakanka rasti neneigiamą vektorių u, kuris kartu su vektoriumi x yra Lagranžo funkcijos balno taškas vektoriaus x optimalumas būtina ir pakanka, kad būtų rastas neneigiamas vektorius u, kuris kartu su vektoriumi x tenkina kita sistema lygtys ir nelygybės
Jei funkcija ir aibė Q nėra išgaubtos, tai sąlygos (2) yra tik būtinos sąlygos vektoriaus x optimalumui. Nurodyta O. n. u. yra tiesioginis klasikinės Lagranžo daugiklių taisyklės apibendrinimas į funkcijos ekstremumo radimo problemą esant apribojimams nelygybių pavidalu.
Pagrindinis matematika. aparatai, naudojami statant O. n. u. matematikos uždaviniams. programavimas baigtinių matmenų erdvėje yra atskyrimo teoremos išgaubti rinkiniai ir teorija tiesinės nelygybės. Matematikos uždavinių ekstremumo būtinų sąlygų tyrimas. programavimas begalinių matmenų erdvėse. įgytas ypatinga prasmė susiję su optimizavimo užduotimis. valdymas. Pirmą kartą būtinos sąlygos funkcinio ekstremumui Banacho erdvių rinkinyje. suformulavo Sov. matematikas L. V. Kantorovičius 1940 m. 50-ųjų viduryje sovietų. matematikas L. S. Pontriaginas suformulavo forma
maksimalus principas būtinos ekstremalios sąlygos optimalioms problemoms spręsti. kontrolė (žr. Iontryagino maksimalaus principą). 60-ųjų pradžioje Sov. Mokslininkai A. Ya ir A. A. Milyutinas sukūrė bendrą būtinų sąlygų teoriją ir sukūrė metodą, kaip sudaryti tokias sąlygas daugeliui matematikos problemų. programavimas. Visų pirma, jiems pavyko optimalią valdymo teoriją integruoti į bendrą teoriją
Esmė bendroji teorija Jis. u. yra taip. Tarkime, mums reikia rasti
kur – nustatyta Banacho erdvėje. tam tikra šios erdvės įvairovė. Tegul kiekvienam egzistuoja išgaubtas kūgis K. toks, kad kiekvienam
esant pakankamai mažam t ir kuriam Toliau darysime prielaidą, kad yra poerdvės liestinė L. , tai yra, kiekvienam yra toks vektorius, kad esant pakankamai mažam t ir Be to, tebūnie išgaubtas kūgis Ko, kurio bet kuris elementas, kurio sąlyga (4) tenkinama tada kitas pareiškimas(Dubovitsky-Miliutin teorema): kad taškas x būtų (3) uždavinio sprendimas, būtina
kur B yra erdvės konjugatas su Banacho erdve. tuščias skaičius Kad kūgiai nesikirstų, būtina ir pakanka, kad egzistuoja funkciniai , tarp kurių bent vienas skiriasi nuo 0 ir toks, kad Dubovitsky-Milyutin teorema). Remiantis šia teorema, galima vienodai gauti įvairius rezultatus, pradedant nuo klasikinių dvilypumo teoremų tiesiniame programavime iki Pontriagino maksimalaus principo.
Be savarankiškos reikšmės, O. n. u. žaisti svarbus vaidmuo kuriant skaičiavimo algoritmus efektyviam optimalių sprendimų paieškai. taškai x. Remdamasis O. n. u. pavyko su naujas taškas vizija suvokti kai kuriuos klasikinius Čebyševo aproksimacijų teorijos rezultatus, momentų problemą ir kt. R. A. Polyak, M. E. Primak.
Sąlygos, užtikrinančios pasirinktos palyginimo kreivių klasės variacijų skaičiavimo problemos sprendimo optimalumą.
O.d.u. silpnas minimumas (žr.): tam, kad kreivė pateiktų silpną minimumą funkcinei
(1) ribinėmis sąlygomis. y .
(x 0) = y 0 ,y(x 1) = y 1, pakanka, kad būtų įvykdytos šios sąlygos.
1) Kreivė turi būti ekstremali, tai yra patenkinti Eilerio lygtis
2) Išilgai kreivės, įskaitant jos galus, sustiprinta Legendre būklė
Fy "y"(x, y, y") >
0.
3) Kreivė turi tenkinti sustiprintą Jacobi būklė reikalaujantis, kad Jacobi lygties sprendimas
(2) su pradinėmis sąlygomis
h(x 0) = 0, h" (x 0) = 1
neišnyko dešinėje uždaryto intervalo taškuose
Jacobi lygties (2), kuri yra tiesinė, koeficientai diferencialinė lygtis 2 eilės, apskaičiuojami išilgai ekstremalaus ir atstovauja žinomos funkcijos iš X.
Norint pasiekti stiprų minimumą, pakanka, kad, be aukščiau išvardytų, kita sąlyga.
4) Kiekviename taške (x, y) yra kreivės kaimynystė. y" nelygybė galioja
Weierstrass funkcija, a ir ( x, y) -
lauko šlaitas. aplinkiniai kraštutinumai
Pačiame kraštutinume sąlyga (3) įgauna formą
Sąlyga (4) būtina stipriam minimumui; tai vadinama būtina Weierstrass sąlyga. Taigi, priešingai nei pakankamos sąlygos silpnam minimumui, kurios reikalauja įvykdyti tam tikras sustiprintas būtinas sąlygas paties ekstremalaus taškuose, pakankamos stipraus minimumo sąlygos reikalauja, kad tam tikroje ekstremalaus kaimynystėje būtų įvykdyta būtinoji Weierstrass sąlyga. Bendru atveju neįmanoma susilpninti pakankamų stipriojo minimumo sąlygų formuluotės, pakeičiant reikalavimą, kad Weierstrass sąlyga būtų tenkinama ekstremalaus kaimynystėje, sustiprinta Weierstrass sąlyga (sąlyga (4) su griežtu nelygybės ženklu ) ekstremalaus taškuose (žr.).
) ekstremaliuose taškuose (žr.). Neklasikinėms variacijų problemoms, nagrinėjamoms optimalus matematikos valdymas teorijos,
Yra keletas požiūrių į O. d.u. absoliutus kraštutinumas.
Pateikiame optimalaus valdymo problemą, kurioje reikia nustatyti funkcinio minimumą
sąlygomis Kur duotas uždaras p-dimensinės erdvės rinkinys.
p-dimensinė erdvė
1) buvo toks nuolatinė funkcija S(x) ,
1) buvo toks S(x) kraštas turi ištisinius dalinius išvestinius visiems X, išskyrus, galbūt, tam tikrą sklandų matmenų rinkinį lygus nuliui galutiniame taške pabaigos taškas(x 1, S)=0,
ir tenkina Belmano lygtį
2) u(t) =v(x(t)) , ties , kur v(x) - sintezės funkcija, nustatyta pagal Belmano lygtį:
Tiesą sakant, naudojant dinaminį metodą. programavimas duoda stipresnį rezultatą: O.d.u. įvairiems skirtingiems valdikliams, kurie fazės tašką perkelia iš savavališkos pradinės būsenos į tam tikrą galutinę būseną x 1 .
Bendresniu atveju, kai kalbama apie neautonominę sistemą, t.y. integrando funkcija ir dešiniųjų pusių vektorinė funkcija taip pat priklauso nuo laiko. t, funkcija S turi priklausyti nuo t, o terminas turi būti įtrauktas į kairę (9) lygties pusę. Yra įrodymas (žr.), kuriame buvo galima pašalinti labai varžančią ir daugumoje uždavinių neįvykdytą, bet dažniausiai suponuojamą funkcijos S(x) nuolatinio diferencijavimo sąlygą. X.
O.d.u. gali būti sukonstruotas remiantis Pontriagino maksimalaus principu. Jei tam tikrame G fazės erdvės regione atliekama reguliari sintezė, tai visos trajektorijos, gautos naudojant maksimalų principą statant įprastą sintezę, yra optimalios regione. G.
Reguliarios sintezės apibrėžimas, nors ir gana sudėtingas, iš esmės nenustato jokių specialių apribojimų (5)–8 problemai.
Yra ir kitas požiūris į O. d.u. (cm. ). Tegul j(x) yra funkcija, kuri yra ištisinė kartu su jos dalinėmis išvestinėmis visomis leistinomis kraštas turi ištisinius dalinius išvestinius visiems priklausantis tam tikram regionui G ir
Kad pora , pateiktų absoliutų minimumą uždavinyje (5) - (8), pakanka, kad egzistuoja funkcija j(x), kad
Leidžiami atitinkami pateiktos O. d.u formuluotės pakeitimai. bendresniems neautonominių sistemų atvejams, problemų su Mayer ir Boltz tipo funkcijomis (žr. Bolzos problema),
taip pat stumdomiems optimaliems režimams (žr.).
Buvo tiriamos variacinės problemos su funkciniais kelių integralų pavidalu ir diferencialiniais ryšiais dalinių diferencialinių lygčių pavidalu, kuriuose nagrinėjamos kelių kintamųjų funkcijos (žr.).
Lit.: Lavrentiev M. A., Lyusternik L. A., Variacijų skaičiavimo kursas, 2 leidimas, M.-L., 1950; Bliss G. A. Paskaitos apie variacijų skaičiavimą, vert. iš anglų k., M., 1950; Bellman R., Dinaminis programavimas, vert. iš anglų k., M., 1960; Boltyansky V.G., Matematiniai optimalaus valdymo metodai, M., 1966; Krotovas V.F., „Automatika ir telemechanika“, 1962, t. 23, Nr. 1571-83; 1963, t. 5, p. 581-98; Butkovskis A.G., Sistemų su paskirstytais parametrais optimalaus valdymo teorija, M., 1965 m. I. B. Vapnyarskis.
- - teiginio A teisingumo sąlygos, kurių neįvykdžius teiginys Žinomai negali būti teisingas, o atitinkamai įvykdžius teiginys Žinomai yra teisingas...
Matematinė enciklopedija
- - formalūs aprašymai skirtingi požiūriai apie optimalų. Dažniausiai O. daiktai atspindi tam tikrus intuityvaus tvarumo, pelningumo ir teisingumo supratimo bruožus...
Matematinė enciklopedija
- - sąlygos, nustatančios tiesos priklausomybę...
Logikos žodynas
- - Žiūrėti: būtinos ir pakankamos sąlygos...
- - bausmių sušvelninimo ir bausmių sumavimo principų taikymas reglamentuotas BPK 2 ir 3 dalyse. Rusijos Federacijos baudžiamojo kodekso 69 str. Tačiau įstatymas nereglamentuoja bausmių skyrimo klausimo už nusikaltimų kompleksą, į kurį įeina...
Baudžiamosios teisės žodynas-žinynas
- - matematikoje žr. Būtinosios ir pakankamos sąlygos...
-
Gamtos mokslas. Enciklopedinis žodynas
- - dauguma esminis požymis vertinimai, lemiantys sąlygas bet kokios veiklos tikslui pasiekti...
Statybos žodynas
- - Anglų kalba: Darbo sąlygos Elektros įrangos parametrų verčių rinkinys, apibūdinantis jos veikimą tam tikru momentu ir tuo metu duotomis sąlygomis operacija Šaltinis: terminai ir apibrėžimai elektros energijos pramonėje...
Statybos žodynas
- - kriterijus, pagal kurį sistemos funkcionavimas pripažįstamas geriausiu iš visų galimų variantų...
Verslo terminų žodynas
- - ženklas, pagal kurį sistemos funkcionavimas pripažįstamas geriausiu įmanomu variantu...
Puikus apskaitos žodynas
- - žr. Būtinos ir pakankamos sąlygos...
- - ženklas, kurio pagrindu atliekamas lyginamasis vertinimas galimi sprendimai ir pasirinkti geriausią. Turinys K. o. objektyviai nulemta daugelio veiksnių: socialinės sistemos prigimties,...
Didžioji sovietinė enciklopedija
- - Būtinosios teiginio A teisingumo sąlygos yra tos sąlygos, be kurių teiginys A akivaizdžiai negali būti teisingas, ir pakankamos sąlygos teiginio A teisingumui...
Didžioji sovietinė enciklopedija
- - kiekybinis arba eilinis rodiklis, išreiškiantis didžiausią priimto sprendimo ekonominio efekto matą, skirtą lyginamajam galimų sprendimų įvertinimui ir geriausių...
Didelis enciklopedinis žodynas
- - matematikoje...
Didelis enciklopedinis žodynas
„OPTIMALIOS PAKANKAMAS SĄLYGOS“ knygose
83. Ekonominių ir matematinių metodų klasifikavimas pagal optimalumo kriterijus
Iš knygos Ekonominė analizė. Apgaulės lapeliai autorius Olševskaja Natalija83. Ekonominių ir matematinių metodų klasifikavimas pagal optimalumo kriterijus Pagal klasifikavimo kriterijus optimalumas, visi ekonominiai ir matematiniai metodai (uždaviniai) skirstomi į dvi grupes: optimizavimą ir neoptimizavimą. Jei metodas ar užduotis leidžia
Pakankamos priežastys, kurias vienija „arba-arba“ logika
Iš Goldratto knygos Apribojimų teorija. Sistemingas požiūrisį nuolatinį tobulėjimą pateikė Detmer WilliamPakankamos priežastys, kurias vienija „arba-arba“ logika Alternatyvios priežasties buvimo kriterijus teigia, kad reiškinys gali turėti kelias nepriklausomas, viena nuo kitos nepriklausomas priežastis, t. y. kiekvienos priežasties pakanka, kad rezultatas pasirodytų visapusiškai.
4 skyrius. Būtinos ir pakankamos sąlygos gyvybei Visatoje atsirasti
Iš knygos Heterogeninė visata autorius Levašovas Nikolajus Viktorovičius4 skyrius. Būtinos ir pakankamos sąlygos gyvybei Visatoje atsirasti 4.1. Klausimo teiginys Gyvybės atsiradimo mūsų planetoje klausimas visada buvo „kliūtis“. Nuo seniausių laikų filosofai ir mokslininkai bandė įminti gyvenimo paslaptį. Įvairūs
Trečioji gamybos revoliucija. Būtinos ir pakankamos sąlygos
Iš autorės knygosTrečioji gamybos revoliucija. Būtinos ir pakankamos sąlygos Nepaisant technologinių aspektų svarbos, su finansais susijusi gyvenimo proza išlieka, organizacinė parama Trečioji gamybos revoliucija Pati trečioji gamybos revoliucija
Iš knygos Big Sovietinė enciklopedija(NE) autorius TSB11.4. Pastabos dėl grafiko paieškos, optimalumo ir sudėtingumo
Iš knygos Programing in Prolog for dirbtinis intelektas autorius Bratko Ivanas11.4. Pastabos dėl grafų paieškos, optimalumo iki sudėtingumo Dabar tikslinga pateikti keletą pastabų dėl iki šiol sukurtų paieškos programų: pirma, apie grafų paiešką, antra, apie gautų sprendimų optimalumą ir, trečia, apie
Sėkmė: būtinos ir pakankamos sąlygos
Iš knygos Laiko organizavimas. Nuo asmeninio efektyvumo iki įmonės plėtros autorius Archangelsko GlebasBūtinos ir pakankamos savybės
Iš knygos Įvadas į psichologinė teorija autizmas pateikė Appe FrancescaBūtinos ir pakankamos savybės Kai klausiame, kokie yra sutrikimo požymiai, iš esmės klausiame apie simptomus, būtinus ir pakankamus diagnozei nustatyti. Bet koks sutrikimas turi pagrindinių požymių, kurių buvimas suteikia
Tiriant bet kokio tipo optimizavimo problemą svarbi vieta susijęs su klausimu optimalumo sąlygos arba, kaip sakoma, ekstremaliomis sąlygomis. Yra būtina sąlyga optimalumui, t.y. sąlygos, kurias turi tenkinti taškas, kuris yra problemos sprendimas, ir pakankamos optimalumo sąlygos, t.y. sąlygos, iš kurių tai išplaukia duotas taškas yra problemos sprendimas.
Pastabos:
1. Jei funkcija turi vienarūšiškumo savybę, tai lokalus minimumas automatiškai yra globalus minimumas.
2. Jei funkcija nėra unimodalinė, tai gali būti keletas lokalinių optimalų, o globalų minimumą galima nustatyti suradus visus lokalinius optimalus ir pasirinkus mažiausią iš jų.
4.1 teorema.(būtina pirmos eilės minimumo sąlyga): Tegul funkcija ¦ taške yra diferencijuojama. Jei yra vietinis problemos (4.1) sprendimas, tada
(4.5)
,
kur yra funkcijos gradientas.
Taškas X* vadinama tenkinimo sąlyga (4.5). stacionarus taškas funkcijos ar problemos (4.1). Tai aišku stacionarus taškas neturi būti sprendimas, t.y. (4.5) nėra pakankama optimalumo sąlyga. Tokie taškai yra įtartini, nes jie yra optimalūs.
4.1 pavyzdys. Apsvarstykite, pavyzdžiui, funkciją f(x) = x 3 (4.4 pav.). Ši funkcija tenkina būtiną optimalumo sąlygą, tačiau neturi nei maksimumo, nei minimumo X* = 0, t.y. ir laikotarpis X* – stacionarus taškas.
Jei stacionarus taškas neatitinka vietinio optimalumo (minimalus arba maksimalus), tada jis yra vingio taškas arba balno taškas. Norint atskirti atvejus, kai stacionarus taškas atitinka lokalinį minimumą, lokalų maksimumą arba yra vingio taškas, būtina sukonstruoti pakankamas optimalumo sąlygas.
x*x
Ryžiai. 4.6. Funkcijos, turinčios vingio tašką, grafikas
4.2 teorema.(būtina antros eilės minimumo sąlyga): Tegul funkcija ¦ yra du kartus diferencijuojama taške . Jeigu X* yra lokalus problemos (4.1) sprendimas, tada matrica yra neneigiamai apibrėžta, t.y.
h E n, (4.6)
sąlygomis 
yra funkcijos ¦ Hesenas taške .
Pakankama vietinio optimalumo sąlyga apima būdingą matricos reikalavimų stiprinimą.
4.3 teorema.(pakankama antros eilės minimumo sąlyga): Tegul funkcija ¦ yra du kartus diferencijuojama taške . Tarkime, kad , o matrica yra teigiama apibrėžtoji, t.y.
, h E n, h≠
0. (4.7)
Tada X* – griežtas lokalus problemos sprendimas (4.1). Dėl funkcijos skaitinis argumentas (n= 1) sąlygos (4.6) ir (4.7) reiškia, kad antroji išvestinė as skaliarinis dydis atitinkamai ne neigiamas ir teigiamas.
Taigi, funkcijai ¦ skaitmeninis argumentas negarantuoja, kad bus optimalus, jei tenkinamos sąlygos 
− minimumas; − maksimalus.
Kad stacionarus taškas būtų ekstremalus taškas, turi būti įvykdytos pakankamos sąlygos vietinis ekstremumas. Pakankama sąlyga yra tokia teorema.
4.4 teorema. Tegul taške X* pirmas ( n−1) funkcijos išvestiniai išnyksta, o išvestinė n tvarka skiriasi nuo nulio:
1) Jeigu n– taigi keista X* – vingio taškas;
2) Jeigu n− net tada X* – vietinis optimalus taškas.
Be to:
A) jei ši išvestinė yra teigiama, tada X* – taškas vietinis minimumas;
b) jei ši išvestinė yra neigiama, tada X* – vietinio maksimumo taškas.
Norėdami pritaikyti šią 4.4 teoremą funkcijai f(x) = x 3 (4.1 pavyzdys), apskaičiuokime:
.
Kadangi pirmosios nenulinės išvestinės eilė yra 3 ( nelyginis skaičius), taškas X= 0 yra vingio taškas.
4.2 pavyzdys. Apsvarstykite visoje apibrėžtą funkciją tikroji ašis ir nustatyti vienetiniai taškai:
.
Optimalumo sąlygos
Nagrinėjant bet kokio tipo optimizavimo problemą, svarbią vietą užima klausimas optimalumo sąlygos arba, kaip sakoma, ekstremaliomis sąlygomis. Yra nepaprastai svarbi optimalumo sąlyga ᴛ.ᴇ. sąlygos, kurias turi tenkinti taškas, kuris yra problemos sprendimas, ir pakankamos optimalumo sąlygos, ᴛ.ᴇ. sąlygos, iš kurių išplaukia, kad tam tikras taškas yra problemos sprendimas.
Pastabos:
1. Jei funkcija turi vienarūšiškumo savybę, tai lokalus minimumas automatiškai yra globalus minimumas.
2. Jei funkcija nėra unimodalinė, tai gali būti keletas lokalinių optimalų, o globalų minimumą galima nustatyti suradus visus lokalinius optimalus ir pasirinkus mažiausią iš jų.
4.1 teorema.(labai svarbi pirmos eilės minimumo sąlyga): Tegul funkcija ¦ taške yra diferencijuojama. Jei yra vietinis problemos (4.1) sprendimas, tada
(4.5)
,
kur yra funkcijos gradientas.
Taškas X* paprastai vadinama tenkinimo sąlyga (4.5). stacionarus taškas funkcijos ar problemos (4.1). Aišku, kad stacionarus taškas neturi būti sprendimas, ᴛ.ᴇ. (4.5) nėra pakankama optimalumo sąlyga. Tokie taškai yra įtartini, nes jie yra optimalūs.
4.1 pavyzdys. Apsvarstykite, pavyzdžiui, funkciją f(x) = x 3 (4.4 pav.). Ši funkcija tenkina itin svarbią optimalumo sąlygą, tačiau neturi nei maksimumo, nei minimumo X* = 0, ᴛ.ᴇ. ir laikotarpis X* – stacionarus taškas.
Jei stacionarus taškas neatitinka vietinio optimalumo (minimalus arba maksimalus), tada jis yra vingio taškas arba balno taškas. Norint atskirti atvejus, kai stacionarus taškas atitinka lokalinį minimumą, lokalų maksimumą arba yra vingio taškas, itin svarbu sukonstruoti pakankamas optimalumo sąlygas.
x*x
Ryžiai. 4.6. Funkcijos, turinčios vingio tašką, grafikas
4.2 teorema.(labai svarbi antros eilės minimumo sąlyga): Tegul funkcija ¦ yra du kartus diferencijuojama taške . Tuo atveju X* yra lokalus problemos (4.1) sprendimas, tada matrica yra neneigiama apibrėžtoji, ᴛ.ᴇ.
h E n, (4.6)
sąlygomis 
yra funkcijos ¦ Hesenas taške .
Pakankama vietinio optimalumo sąlyga apima būdingą matricos reikalavimų stiprinimą.
4.3 teorema.(pakankama antros eilės minimumo sąlyga): Tegul funkcija ¦ yra du kartus diferencijuojama taške . Tarkime, kad , o matrica yra teigiama apibrėžtoji, ᴛ.ᴇ.
, h E n, h≠
0. (4.7)
Tada X* – griežtas lokalus problemos sprendimas (4.1). Funkcijai su skaitiniu argumentu ( n= 1) sąlygos (4.6) ir (4.7) reiškia, kad antroji išvestinė kaip skaliarinis dydis nėra atitinkamai neigiamas ir teigiamas.
Taigi, funkcijai ¦ skaitmeninis argumentas negarantuoja, kad bus optimalus, jei tenkinamos sąlygos 
− minimumas; − maksimalus.
Kad stacionarus taškas būtų ekstremumo taškas, nepaprastai svarbu, kad būtų sudarytos pakankamos sąlygos lokaliam ekstremumui. Pakankama sąlyga yra tokia teorema.
4.4 teorema. Tegul taške X* pirmas ( n−1) funkcijos išvestiniai išnyksta, o išvestinė n tvarka skiriasi nuo nulio:
1) Tuo atveju n– taigi keista X* – vingio taškas;
2) Tuo atveju n− net tada X* – vietinis optimalus taškas.
Be to:
A) jei ši išvestinė yra teigiama, tada X* – vietinis minimumas;
b) jei ši išvestinė yra neigiama, tada X* – vietinio maksimumo taškas.
Norėdami pritaikyti šią 4.4 teoremą funkcijai f(x) = x 3 (4.1 pavyzdys), apskaičiuokime:
.
Kadangi pirmosios nenulinės išvestinės eilė yra 3 (nelyginis skaičius), taškas X= 0 yra vingio taškas.
4.2 pavyzdys. Apsvarstykite funkciją, apibrėžtą visoje realioje ašyje, ir nustatykite vienaskaitos taškus:
.
Optimalumo sąlygos – samprata ir rūšys. Kategorijos „Optimalumo sąlygos“ klasifikacija ir ypatumai 2017, 2018 m.
