Kvadratinių lygčių sprendimų pavyzdžiai ir detalūs sprendiniai. Kvadratinių lygčių sprendimas, šaknies formulė, pavyzdžiai

“, tai yra, pirmojo laipsnio lygtys. Šioje pamokoje apžvelgsime kas vadinama kvadratine lygtimi ir kaip tai išspręsti.

Kas yra kvadratinė lygtis?

Svarbu!

Lygties laipsnis nustatomas pagal didžiausią nežinomybės laipsnį.

Jeigu maksimalus laipsnis, kuriame nežinomasis yra „2“, o tai reiškia, kad turite kvadratinę lygtį.

Kvadratinių lygčių pavyzdžiai

• 5x 2 – 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Svarbu! Bendra kvadratinės lygties forma atrodo taip:

A x 2 + b x + c = 0

• „a“ yra pirmasis arba didžiausias koeficientas;
• „b“ yra antrasis koeficientas;
• "c" - nemokamas narys.

Norėdami rasti „a“, „b“ ir „c“, turite palyginti savo lygtį su bendrąja kvadratinės lygties „ax 2 + bx + c = 0“ forma.

Pabandykime nustatyti koeficientus „a“, „b“ ir „c“ kvadratinėse lygtyse.

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Kaip išspręsti kvadratines lygtis

Skirtingai nei tiesines lygtis kvadratinėms lygtims išspręsti, specialus šaknų paieškos formulė.

Prisimink!

Norėdami išspręsti kvadratinę lygtį, jums reikia:

• kvadratinę lygtį sumažinkite iki bendra išvaizda"ax 2 + bx + c = 0".
• Tai yra, tik „0“ turėtų likti dešinėje pusėje;

naudokite formulę šaknims:

Pažvelkime į pavyzdį, kaip naudoti formulę kvadratinės lygties šaknims rasti. Išspręskime kvadratinę lygtį.

X 2 - 3x - 4 = 0 Lygtis „x 2 − 3x − 4 = 0“ jau redukuota į bendrą formą „ax 2 + bx + c = 0“ ir nereikalauja papildomų supaprastinimų. Norėdami tai išspręsti, tereikia kreiptis.

kvadratinės lygties šaknų radimo formulė

x 1;2 =

Jis gali būti naudojamas bet kuriai kvadratinei lygčiai išspręsti.
Formulėje “x 1;2 = ” radikali išraiška dažnai pakeičiama

„b 2 – 4ac“ – raidė „D“ ir vadinama diskriminantu. Diskriminanto sąvoka plačiau aptariama pamokoje „Kas yra diskriminantas“.

x 2 + 9 + x = 7x

Šioje formoje gana sunku nustatyti koeficientus „a“, „b“ ir „c“. Pirmiausia sumažinkime lygtį į bendrą formą „ax 2 + bx + c = 0“.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Dabar galite naudoti šaknų formulę.

X 1; 2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

Kartais kvadratinės lygtys neturi šaknų. Tokia situacija susidaro, kai pasirodo esanti formulė po šaknimi neigiamas skaičius.

Tiesiog. Pagal formules ir aišku paprastos taisyklės. Pirmajame etape

būtina duota lygtis veda į standartinę formą, t.y. į formą:

Jei lygtis jums jau pateikta šioje formoje, jums nereikia atlikti pirmojo etapo. Svarbiausia tai padaryti teisingai

nustatyti visus koeficientus, A, b Ir c.

Kvadratinės lygties šaknų radimo formulė.

Išraiška po šaknies ženklu vadinama diskriminuojantis . Kaip matote, norėdami rasti X, mes

mes naudojame tik a, b ir c. Tie. koeficientai nuo kvadratinė lygtis. Tiesiog atsargiai įdėkite

vertybes a, b ir c Skaičiuojame pagal šią formulę. Mes pakeičiame su jųženklai!

Pavyzdžiui, lygtyje:

A =1; b = 3; c = -4.

Pakeičiame reikšmes ir rašome:

Pavyzdys beveik išspręstas:

Tai yra atsakymas.

Dažniausios klaidos yra painiojimas su ženklų reikšmėmis a, b Ir Su. Tiksliau, su pakeitimu

neigiamos reikšmėsį šaknų skaičiavimo formulę. Išsaugo čia išsamus įrašas formules

su konkrečiais skaičiais. Jei turite problemų su skaičiavimais, padarykite tai!

Tarkime, kad turime išspręsti šį pavyzdį:

Čia a = -6; b = -5; c = -1

Viską aprašome išsamiai, kruopščiai, nieko nepraleisdami su visais ženklais ir skliausteliuose:

Kvadratinės lygtys dažnai atrodo šiek tiek kitaip. Pavyzdžiui, taip:

Dabar atkreipkite dėmesį į praktinius metodus, kurie žymiai sumažina klaidų skaičių.

Pirmas susitikimas. Nebūk tingus anksčiau sprendžiant kvadratinę lygtį padėkite jį į standartinę formą.

Ką tai reiškia?

Tarkime, kad po visų transformacijų gausite tokią lygtį:

Neskubėkite rašyti šaknies formulės! Beveik neabejotinai susimaišysite šansus a, b ir c.

Teisingai sukonstruokite pavyzdį. Pirma, X kvadratas, tada be kvadrato, tada laisvas terminas. kaip tai:

Atsikratykite minuso. Kaip? Turime padauginti visą lygtį iš -1. Mes gauname:

Bet dabar galite drąsiai užsirašyti šaknų formulę, apskaičiuoti diskriminantą ir baigti spręsti pavyzdį.

Spręskite patys. Dabar turėtumėte turėti šaknis 2 ir -1.

Priėmimas antras. Patikrinkite šaknis! Autorius Vietos teorema.

Išspręsti pateiktas kvadratines lygtis, t.y. jei koeficientas

x 2 +bx+c=0,

Tadax 1 x 2 =c

x 1 +x 2 =−b

Pilnai kvadratinei lygčiai, kurioje a≠1:

x 2+bx+c=0,

padalykite visą lygtį iš A:

→ →

Kur x 1 Ir x 2 – lygties šaknys.

Trečias priėmimas. Jei jūsų lygtis turi trupmeniniai koeficientai, - atsikratykite trupmenų! Padauginti

lygtis su bendru vardikliu.

Išvada. Praktinis patarimas:

1. Prieš spręsdami kvadratinę lygtį įvedame į standartinę formą ir ją sudarome Teisingai.

2. Jei prieš X kvadratą yra neigiamas koeficientas, jį pašaliname viską padauginę

lygtys -1.

3. Jei koeficientai yra trupmeniniai, pašaliname trupmenas, padauginus visą lygtį iš atitinkamos

veiksnys.

4. Jei x kvadratas yra grynas, jo koeficientas lygus vienam, sprendimą galima lengvai patikrinti

Tikiuosi, kad išstudijavę šį straipsnį sužinosite, kaip rasti visos kvadratinės lygties šaknis.

Naudojant diskriminantą, sprendžiamos tik pilnosios kvadratinės lygtys, sprendžiamos nepilnos kvadratinės lygtys, naudojami kiti metodai, kuriuos rasite straipsnyje „Nepilnių kvadratinių lygčių sprendimas“.

Kokios kvadratinės lygtys vadinamos pilnosiomis? Tai ax 2 + b x + c = 0 formos lygtys, kur koeficientai a, b ir c nėra lygūs nuliui. Taigi, norėdami išspręsti visą kvadratinę lygtį, turime apskaičiuoti diskriminantą D.

D = b 2 – 4ac.

Atsižvelgdami į diskriminanto reikšmę, surašysime atsakymą.

Jei diskriminantas yra neigiamas skaičius (D< 0),то корней нет.

Jei diskriminantas lygus nuliui, tada x = (-b)/2a. Kai diskriminantas yra teigiamas skaičius (D > 0),

tada x 1 = (-b - √D)/2a ir x 2 = (-b + √D)/2a.

Pavyzdžiui. Išspręskite lygtį x 2– 4x + 4 = 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Atsakymas: 2.

Išspręskite 2 lygtį x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Atsakymas: nėra šaknų.

Išspręskite 2 lygtį x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81) / (2 2) = (-5 - 9) / 4 = - 3,5

x 2 = (-5 + √81) / (2 2) = (-5 + 9) / 4 = 1

Atsakymas: – 3,5; 1.

Taigi įsivaizduokime pilnų kvadratinių lygčių sprendimą naudodami 1 paveiksle pateiktą diagramą.

Naudodami šias formules galite išspręsti bet kurią pilną kvadratinę lygtį. Jums tiesiog reikia būti atsargiems lygtis buvo parašyta kaip daugianario standartinis vaizdas

A x 2 + bx + c, kitaip galite padaryti klaidą. Pavyzdžiui, rašydami lygtį x + 3 + 2x 2 = 0, galite klaidingai nuspręsti, kad

a = 1, b = 3 ir c = 2. Tada

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 ir tada lygtis turi dvi šaknis. Ir tai netiesa. (Žr. 2 pavyzdžio sprendimą aukščiau).

Todėl, jei lygtis nėra parašyta kaip standartinės formos daugianomas, pirmiausia visa kvadratinė lygtis turi būti parašyta kaip standartinės formos daugianomas (monomas su aukščiausias rodiklis laipsnių, tai yra A x 2 , tada su mažiau – bx ir tada laisvas narys Su.

Sprendžiant sumažintą kvadratinę lygtį ir kvadratinę lygtį su lyginiu koeficientu antrajame dėme, galite naudoti kitas formules. Susipažinkime su šiomis formulėmis. Jei pilnoje kvadratinėje lygtyje koeficientas antruoju nariu yra lygus (b = 2k), tada lygtį galite išspręsti naudodami 2 paveikslo diagramoje pateiktas formules.

Pilna kvadratinė lygtis vadinama redukuota, jei koeficientas at x 2 yra lygi vienetui ir lygtis įgauna formą x 2 + px + q = 0. Tokią lygtį galima pateikti sprendiniui arba ją galima gauti visus lygties koeficientus padalijus iš koeficiento A, stovi prie x 2 .

3 paveiksle parodyta sumažinto kvadrato sprendimo schema
lygtys. Pažvelkime į šiame straipsnyje aptartų formulių taikymo pavyzdį.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Išspręskime šią lygtį naudodami 1 paveikslo diagramoje parodytas formules.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = -1 - √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Atsakymas: –1 – √3; –1 + √3

Galite pastebėti, kad x koeficientas šioje lygtyje lyginis skaičius, tai yra b = 6 arba b = 2k, iš kur k = 3. Tada pabandykime išspręsti lygtį naudodamiesi formulėmis, pateiktomis paveikslo diagramoje D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 – 3√3)/3 = (3 (-1 – √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Atsakymas: –1 – √3; –1 + √3. Pastebėję, kad visi šios kvadratinės lygties koeficientai dalijasi iš 3 ir atlikę padalijimą, gauname sumažintą kvadratinę lygtį x 2 + 2x – 2 = 0 Išspręskite šią lygtį naudodami sumažintos kvadratinės formules.
lygtys 3 pav.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 – 2√3)/2 = (2 (-1 – √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Atsakymas: –1 – √3; –1 + √3.

Kaip matome, sprendžiant šią lygtį pagal įvairios formulės gavome tą patį atsakymą. Todėl gerai įsisavinę 1 paveikslo diagramoje parodytas formules, visada galėsite išspręsti bet kurią pilną kvadratinę lygtį.

svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.

Tikiuosi, kad išstudijavę šį straipsnį sužinosite, kaip rasti visos kvadratinės lygties šaknis.

Naudojant diskriminantą, sprendžiamos tik pilnosios kvadratinės lygtys, sprendžiamos nepilnos kvadratinės lygtys, naudojami kiti metodai, kuriuos rasite straipsnyje „Nepilnių kvadratinių lygčių sprendimas“.

Kokios kvadratinės lygtys vadinamos pilnosiomis? Tai ax 2 + b x + c = 0 formos lygtys, kur koeficientai a, b ir c nėra lygūs nuliui. Taigi, norėdami išspręsti visą kvadratinę lygtį, turime apskaičiuoti diskriminantą D.

D = b 2 – 4ac.

Atsižvelgdami į diskriminanto reikšmę, surašysime atsakymą.

Jei diskriminantas yra neigiamas skaičius (D< 0),то корней нет.

Jei diskriminantas lygus nuliui, tai x = (-b)/2a. Kai diskriminantas yra teigiamas skaičius (D > 0),

tada x 1 = (-b - √D)/2a ir x 2 = (-b + √D)/2a.

Pavyzdžiui. Išspręskite lygtį x 2– 4x + 4 = 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Atsakymas: 2.

Išspręskite 2 lygtį x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Atsakymas: nėra šaknų.

Išspręskite 2 lygtį x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81) / (2 2) = (-5 - 9) / 4 = - 3,5

x 2 = (-5 + √81) / (2 2) = (-5 + 9) / 4 = 1

Atsakymas: – 3,5; 1.

Taigi įsivaizduokime pilnų kvadratinių lygčių sprendimą naudodami 1 paveiksle pateiktą diagramą.

Naudodami šias formules galite išspręsti bet kurią pilną kvadratinę lygtį. Jums tiesiog reikia būti atsargiems lygtis buvo parašyta kaip standartinės formos daugianario

A x 2 + bx + c, kitaip galite padaryti klaidą. Pavyzdžiui, rašydami lygtį x + 3 + 2x 2 = 0, galite klaidingai nuspręsti, kad

a = 1, b = 3 ir c = 2. Tada

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 ir tada lygtis turi dvi šaknis. Ir tai netiesa. (Žr. 2 pavyzdžio sprendimą aukščiau).

Todėl, jei lygtis parašyta ne kaip standartinės formos daugianario, pirmiausia visa kvadratinė lygtis turi būti parašyta kaip standartinės formos daugianomas (pirmas turėtų būti monomas su didžiausiu eksponentu, t. y. A x 2 , tada su mažiau – bx ir tada laisvas narys Su.

Sprendžiant sumažintą kvadratinę lygtį ir kvadratinę lygtį su lyginiu koeficientu antrajame dėme, galite naudoti kitas formules. Susipažinkime su šiomis formulėmis. Jei pilnoje kvadratinėje lygtyje koeficientas antruoju nariu yra lygus (b = 2k), tada lygtį galite išspręsti naudodami 2 paveikslo diagramoje pateiktas formules.

Pilna kvadratinė lygtis vadinama redukuota, jei koeficientas at x 2 yra lygi vienetui ir lygtis įgauna formą x 2 + px + q = 0. Tokią lygtį galima pateikti sprendiniui arba ją galima gauti visus lygties koeficientus padalijus iš koeficiento A, stovi prie x 2 .

3 paveiksle parodyta sumažinto kvadrato sprendimo schema
lygtys. Pažvelkime į šiame straipsnyje aptartų formulių taikymo pavyzdį.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Išspręskime šią lygtį naudodami 1 paveikslo diagramoje parodytas formules.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = -1 - √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Atsakymas: –1 – √3; –1 + √3

Galite pastebėti, kad x koeficientas šioje lygtyje yra lyginis skaičius, tai yra b = 6 arba b = 2k, iš kur k = 3. Tada pabandykime išspręsti lygtį naudodami D paveikslo diagramoje pateiktas formules. 1 = 3 2 – 3 (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 – 3√3)/3 = (3 (-1 – √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Atsakymas: –1 – √3; –1 + √3. Pastebėję, kad visi šios kvadratinės lygties koeficientai dalijasi iš 3 ir atlikę padalijimą, gauname sumažintą kvadratinę lygtį x 2 + 2x – 2 = 0 Išspręskite šią lygtį naudodami sumažintos kvadratinės formules.
lygtys 3 pav.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 – 2√3)/2 = (2 (-1 – √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Atsakymas: –1 – √3; –1 + √3.

Kaip matote, sprendžiant šią lygtį naudojant skirtingas formules, gavome tą patį atsakymą. Todėl gerai įsisavinę 1 paveikslo diagramoje parodytas formules, visada galėsite išspręsti bet kurią pilną kvadratinę lygtį.

blog.site, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.

Kvadratinės lygtys Jos mokosi 8 klasėje, tad nieko sudėtingo čia nėra. Gebėjimas juos išspręsti yra būtinas.

Kvadratinė lygtis yra ax 2 + bx + c = 0 formos lygtis, kur koeficientai a, b ir c savavališki skaičiai ir a ≠ 0.

Prieš tyrinėdami konkrečius sprendimo būdus, atkreipkite dėmesį, kad visas kvadratines lygtis galima suskirstyti į tris klases:

1. Neturi šaknų;
2. turėti tiksliai vieną šaknį;
3. Jie turi dvi skirtingas šaknis.

Tai yra svarbus skirtumas kvadratines lygtis iš tiesinių, kur šaknis visada egzistuoja ir yra unikali. Kaip nustatyti, kiek šaknų turi lygtis? Tam yra nuostabus dalykas - diskriminuojantis.

Diskriminuojantis

Tegu kvadratinė lygtis ax 2 + bx + c = 0 Tada diskriminantas yra tiesiog skaičius D = b 2 − 4ac.

Šią formulę turite žinoti mintinai. Iš kur jis ateina, dabar nesvarbu. Kitas dalykas yra svarbus: pagal diskriminanto ženklą galite nustatyti, kiek šaknų turi kvadratinė lygtis. Būtent:

1. Jeigu D< 0, корней нет;
2. Jei D = 0, yra lygiai viena šaknis;
3. Jei D > 0, bus dvi šaknys.

Atkreipkite dėmesį: diskriminantas nurodo šaknų skaičių, o ne jų ženklus, kaip dėl kokių nors priežasčių daugelis žmonių tiki. Pažvelkite į pavyzdžius ir patys viską suprasite:

Užduotis. Kiek šaknų turi kvadratinės lygtys:

1. x 2 – 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Išrašykime pirmosios lygties koeficientus ir raskime diskriminantą:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Taigi diskriminantas yra teigiamas, todėl lygtis turi dvi skirtingas šaknis. Antrąją lygtį analizuojame panašiai:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminantas yra neigiamas, nėra šaknų. Paskutinė likusi lygtis yra tokia:
a = 1; b = –6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminantas yra nulis – šaknis bus viena.

Atkreipkite dėmesį, kad kiekvienos lygties koeficientai buvo užrašyti. Taip, jis ilgas, taip, nuobodus, bet nesumaišysite šansų ir nepadarysite kvailų klaidų. Pasirinkite patys: greitis ar kokybė.

Beje, jei susigausite, po kurio laiko nereikės visų koeficientų užrašinėti. Tokias operacijas atliksite savo galva. Dauguma žmonių tai pradeda daryti kažkur po 50–70 išspręstų lygčių – apskritai ne tiek daug.

Kvadratinės lygties šaknys

Dabar pereikime prie paties sprendimo. Jei diskriminantas D > 0, šaknis galima rasti naudojant formules:

Pagrindinė kvadratinės lygties šaknų formulė

Kai D = 0, galite naudoti bet kurią iš šių formulių – gausite tą patį skaičių, kuris ir bus atsakymas. Galiausiai, jei D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Pirmoji lygtis:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = –2; c = –3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ lygtis turi dvi šaknis. Suraskime juos:

Antroji lygtis:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = –2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ lygtis vėl turi dvi šaknis. Suraskime juos

\[\begin(lygiuoti) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(lygiuoti)\]

Galiausiai trečioji lygtis:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ lygtis turi vieną šaknį. Galima naudoti bet kokią formulę. Pavyzdžiui, pirmasis:

Kaip matote iš pavyzdžių, viskas labai paprasta. Jei žinai formules ir moki skaičiuoti, problemų nekils. Dažniausiai klaidos atsiranda pakeičiant neigiamus koeficientus į formulę. Čia vėl padės aukščiau aprašyta technika: pažvelkite į formulę pažodžiui, užsirašykite kiekvieną žingsnį - ir labai greitai atsikratysite klaidų.

Nebaigtos kvadratinės lygtys

Taip atsitinka, kad kvadratinė lygtis šiek tiek skiriasi nuo pateiktos apibrėžime. Pavyzdžiui:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Nesunku pastebėti, kad šiose lygtyse trūksta vieno iš terminų. Tokias kvadratines lygtis dar lengviau išspręsti nei standartines: joms net nereikia skaičiuoti diskriminanto. Taigi, pristatykime naują koncepciją:

Lygtis ax 2 + bx + c = 0 vadinama nepilna kvadratine lygtimi, jei b = 0 arba c = 0, t.y. kintamojo x arba laisvojo elemento koeficientas lygus nuliui.

Žinoma, galimas labai sunkus atvejis, kai abu šie koeficientai lygūs nuliui: b = c = 0. Šiuo atveju lygtis įgauna formą ax 2 = 0. Akivaizdu, kad tokia lygtis turi vieną šaknį: x = 0.

Panagrinėkime likusius atvejus. Tegu b = 0, tada gauname nepilną kvadratinę lygtį formos ax 2 + c = 0. Truputį transformuokime:

Nuo aritmetikos kvadratinė šaknis egzistuoja tik nuo neneigiamas skaičius, paskutinė lygybė turi prasmę tik (-c /a) ≥ 0. Išvada:

1. Jeigu nepilnoje kvadratinėje lygtyje ax 2 + c = 0 tenkinama nelygybė (−c /a) ≥ 0, bus dvi šaknys. Formulė pateikta aukščiau;
2. Jei (-c /a)< 0, корней нет.

Kaip matote, diskriminanto neprireikė - nepilnose kvadratinėse lygtyse nėra sudėtingi skaičiavimai. Tiesą sakant, net nebūtina prisiminti nelygybės (−c /a) ≥ 0. Pakanka išreikšti reikšmę x 2 ir pamatyti, kas yra kitoje lygybės ženklo pusėje. Jei yra teigiamas skaičius, bus dvi šaknys. Jei jis neigiamas, šaknų iš viso nebus.

Dabar pažiūrėkime į ax 2 + bx = 0 formos lygtis, kuriose laisvasis elementas lygus nuliui. Čia viskas paprasta: visada bus dvi šaknys. Pakanka įskaičiuoti daugianarį:

Produktas lygus nuliui, kai bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Štai iš kur kyla šaknys. Apibendrinant, pažvelkime į kelias iš šių lygčių:

Užduotis. Išspręskite kvadratines lygtis:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nėra šaknų, nes kvadratas negali būti lygus neigiamam skaičiui.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = –1,5.