Reikalingas ženklas eilučių konvergencija (įrodyti).
1 teorema.(būtina konvergencijos sąlyga skaičių serija). Jei skaičių serija susilieja, Tai .
Įrodymas. Serija suartėja, t.y. yra riba. Pastebėti, kad .
Pasvarstykime. Tada . Iš čia, .
1 išvada.Jei sąlyga neįvykdyta, tada serija skiriasi.
1 pastaba. Sąlygos nepakanka skaičių eilučių konvergencijai. Pavyzdžiui, harmonikų serija skiriasi, nors pasitaiko.
1 apibrėžimas. Skaičių serija a n +1 +a n+2 +…=, gauta iš tam tikros eilutės atmetus pirmąją P nariai kviečiami n- m priminimasšios eilutės ir yra pažymėtas Rn.
2 teorema.Jei skaičių serija susilieja, tada bet koks likutis suartėja. Atgal:Jei bent viena serijos likutis susilieja, tada pati serija suartėja. Be to, bet kuriai nĮJUNGTA lygybė S=S n+Rn .
2 išvada. Skaičių eilučių konvergencija arba divergencija nepasikeis, jei pašalinsite arba pridėsite keletą pirmųjų terminų.
3 išvada..
32. Teigiamų eilučių palyginimo kriterijai ir ženklas
1 teorema(ženklas lyginant eilutes su teigiamais nelygybės terminais) . LeistiIr - serijos su neneigiamais terminais, ir kiekvienam nĮJUNGTA tenkinama sąlyga a n£ mlrd. Tada:
1) nuo serijų konvergencijossu dideliais terminais serija suartėjasu mažesniais nariais;
2) nuo serijos skirtumosu mažesniais terminais serija skiriasisu dideliais peniais.
1 pastaba. Teorema teisinga, jei sąlyga a n£ b nįvykdytas iš kažkokio skaičiaus NÎ N .
2 teorema(serialų palyginimo su teigiamais terminais ženklas ribinėje formoje) .
LeistiIr - serijos su neneigiamais terminais ir yra 
. Tada šios serijos susilieja arba skiriasi vienu metu .
33. D'Alemberto testas teigiamų ženklų eilučių konvergencijai
1 teorema(D'Alemberto ženklas). Leisti - yra serija su teigiamais terminais .
Tada serija susilieja ties q<1 ir skiriasi ties q>1 .
Įrodymas. Leisti q<1. Зафиксируем число R toks kad q<p< 1. По определению
skaičių sekos riba, nuo kurio nors skaičiaus NÎ N nelygybė galioja a n +1
/a n<p, tie. a n +1 <p×a n . Tada a N +1 < p×a N , a N +2 <p 2 ×a N . Indukcija lengva parodyti, kad bet kuriai kÎ N nelygybė tiesa , a N + k<p k ×a N . Tačiau serija susilieja kaip geometrinė serija ( p<1). Следовательно, по признаку сравнения рядов с неотрицательными членами, ряд 
taip pat susilieja. Vadinasi, eilutės taip pat susilieja (pagal 2.2 teoremą).
Leisti q>1. Tada iš kažkokio skaičiaus NÎ N nelygybė tiesa a n +1 /a n>1, t.y. a n +1 >a n. Todėl iš skaičiaus N seka ( a n) didėja ir sąlyga netenkinama. Iš čia pagal 2.1 išvadą išplaukia, kad serija skiriasi q>1.
1 pastaba. Naudojant integralinį testą, nesunku patikrinti, ar skaičių serija susilieja, jei A>1, o skiriasi, jei a£1. Eilė paskambino harmonikų serija , ir serialas su savavališkai aÎ R paskambino apibendrinta harmoninė serija.
34. Eilių kaitaliojimas. Leibnizo testas kintamų eilučių ženklų konvergencijai
Eilių su savavališkų ženklų terminais tyrimas yra sunkesnė užduotis, tačiau dviem atvejais yra patogūs ženklai: kintamų ženklų serijoms - Leibnizo teorema; Absoliučiai konvergencinėms eilutėms taikome bet kokį tiriamųjų eilučių ženklą su neneigiamais terminais.
1 apibrėžimas. Skaičių serija vadinama signalinis, jei bet kurie du gretimi terminai turi priešingus ženklus, t.y. serija turi formą arba , kur a n>0 kiekvienam nÎ N .
1 teorema(Leibnicas). Kintamoji serija susilieja, jei:
1) (a n) - nedidėjanti seka;
2) adresu.
Šiuo atveju kintamųjų eilučių sumos modulis neviršija jos pirmojo nario modulio, t.y.|S|£ a 1 .
1.1. Skaičių serija ir jos suma
1 apibrėžimas. Tegu pateikiama skaičių seka. Suformuokime išraišką
(1)
kuris vadinamas skaičių serija.
Skaičiai 
yra vadinami skaičiaus nariai, ir išraiška 
bendras narys eilė .
1 pavyzdys. Raskite bendrą serijos terminą 
.
adresu 
,
adresu 
Nesunku pastebėti, kad bendras serialo terminas .
Todėl reikiamas serijas galima parašyti taip
.
Sukurkime seką iš (1) serijos sąlygų tokiu būdu :
;
;
;
Kiekvienas šios sekos narys reiškia atitinkamo skaičiaus pirmųjų skaičių serijos narių sumą.
2 apibrėžimas. Pirmojo suma P vadinami serijos (1) nariais n - dalinė suma skaičių serija .
3 apibrėžimas. Skaičių serija 
paskambino susiliejantis, Jei 
, kur numeris 
paskambino serijos suma, ir rašyti 
.
Jeigu
dalinių sumų riba yra begalinė arba jos nėra, tada serija vadinama skiriasi.
2 pavyzdys.
Patikrinkite eilutes dėl konvergencijos 
.
Norint apskaičiuoti n- dalinė suma 
įsivaizduokime bendrą terminą 
serijos paprastųjų trupmenų sumos pavidalu
Lyginant koeficientus tais pačiais laipsniais n, gauname nežinomų koeficientų tiesinių algebrinių lygčių sistemą A Ir IN
Iš čia mes tai randame 
, A 
.
Todėl bendras serijos terminas turi formą 
Tada dalinė suma 
gali būti pavaizduotas formoje
Atidarius skliaustus ir atsinešus panašius terminus, jis įgaus formą
.
Apskaičiuokime serijos sumą
Kadangi riba yra lygi baigtiniam skaičiui, ši eilutė suartėja .
2 pavyzdys. Patikrinkite eilutes dėl konvergencijos
- begalinė geometrinė progresija.
Kaip žinoma, pirmojo suma P geometrinės progresijos nariai ties q
1 yra lygus 
.
Tada turime tokius atvejus :
1. Jeigu 
, Tai
2. Jei 
, Tai 
, t.y. eilė išsiskiria.
3. Jeigu 
, tada serialą reikia pamatyti tada 
, t.y. eilė išsiskiria.
4. Jei 
, tada serialą reikia pamatyti tada 
, jei dalinė suma turi lyginį skaičių terminų ir 
, jei skaičius nelyginis, t.y. 
neegzistuoja, todėl serija skiriasi.
4 apibrėžimas. Skirtumas tarp serijų sumos S ir dalinė suma 
paskambino likusią seriją ir yra paskirtas 
, t.y. 
.
Kadangi konvergencinėms serijoms 
, Tai 
,
tie. 
bus b.m.v. adresu 
. Taigi vertė 
yra apytikslė serijos sumos reikšmė.
Iš eilučių sumos apibrėžimo išplaukia konvergencinių eilučių savybės:
1.
Jei eilutės 
Ir 
suartėti, t.y. turi atitinkamas sumas S Ir K, tada serija susilieja, kur 
, o jo suma lygi A
S
+
B
K.
2.
Jei serija susilieja 
, tada iš to gautos eilutės suartėja
seriją išmesdami arba pridėdami baigtinį terminų skaičių. Taip pat yra priešingai.
1.2. Būtinas konvergencijos ženklas. Harmoninė serija
Teorema. Jei eilė 
suartėja, tada bendras serijos terminas linkęs į nulį as 
, t.y. 
.
Tikrai, turime
Tada , ką reikėjo įrodyti.
Pasekmė. Jeigu 
, tada serija skiriasi .
Priešingai, paprastai kalbant, nėra tiesa, kaip bus parodyta toliau.
5 apibrėžimas.Žiūrėti serijas 
paskambino harmoninė.
Šios serijos reikalingos charakteristikos yra patenkintos, nes 
.
Tuo pačiu metu jis skiriasi.
Parodykime
Taigi harmonikų serija skiriasi. 2 tema
: pakanka eilučių konvergencijos ženklų
su teigiamomis sąlygomis
2.1. Palyginimo ženklai
Tegu pateikiamos dvi serijos su teigiamais terminais: Palyginimo ženklas. 
Jei visiems (1) ir (2) eilučių nariams, pradedant nuo tam tikro skaičiaus, nelygybė 
ir (2) eilutė suartėja, tada (1) eilutė taip pat suartėja. Taip pat, jei
Leisti 
Ir 
ir serija (2) skiriasi, tada serija (1) taip pat skiriasi. K atitinkamai, dalinės eilučių sumos (1-2) ir P serijų suma (2). Tada pakankamai dideliam
mes turime 
Nes 
ir tada ribota
, t.y. serija (1) susilieja.
Panašiai įrodyta ir antroji ženklo dalis. 3 pavyzdys.
.
Išnagrinėkite eilutes konvergencijai 
.
Palyginkite su serijos nariais 
Pradedant nuo 
.
, mes turime 
Nuo serijos 
susilieja
, tada ši serija taip pat susilieja.
Praktikoje dažnai yra patogiau naudoti vadinamąjį ribojantį palyginimo kriterijų, kuris išplaukia iš ankstesnio. Palyginimo riba 
. Jei dviejų serijų (1-2) su teigiamais terminais sąlyga yra įvykdyta
, Tai , iš eilučių (1) konvergencijos seka eilučių (2) konvergencija, o iš (1) eilučių konvergencijos seka eilučių (2) divergencija.
tie. eilutės elgiasi taip pat. 4 pavyzdys. 
.
Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos
Palyginimui paimkime harmonines serijas,
kuri yra divergentiška.
ir todėl mūsų serijos skiriasi. Dažnai patogu naudoti vadinamąjį apibendrinta harmonika eilė 
, kuris, kaip bus parodyta toliau, susilieja ties 
ir skiriasi ties 
.
arba
arba
Iš ankstesnės aišku, kad harmonikų serija yra divergentinė serija, t.y. jo pirmųjų n narių suma be apribojimų didėja atsižvelgiant į paimtų terminų skaičių. Tačiau, skirtingai nuo kitų skirtingų eilučių, sumos augimo tempas lėtėja didėjant terminų skaičiui. Teigiama, kad harmonikų serija yra silpnai besiskirianti, palyginti su n augimu. Įrodykime šią harmonines eilutes šiuo atžvilgiu apibūdinančią teoremą.
Teorema. Bet kuriai n yra apytikslė lygybė
kur 0< g
n < 1.
Įrodymas. Tegu yra kreivinės trapecijos aABb plotas, apribotas lygiakraštės hiperbolės, susijusios su asimptotais, kurios lygtis yra y = 1/x pagal dvi ordinates aA ir bB, kurių lygtys yra x = 1 ir x = n ir abscisių ašis. Naudodami „stačiakampių formules“ apskaičiuojame šį plotą su trūkumu (2 pav.) ir su pertekliumi (1 pav.). Padalinę bazę į n lygių dalių, gauname, kad plotas aABb lygus
arba
|
|
|
|
Didėjant harmonikų serijos narių skaičiui, g n reikšmė didėja. Bet 0< g n < 1- 1/n. Поэтому существует предел g n , меньший или равный единицы, т.е.
Ši riba vadinama „Eulerio konstanta“. Naudojant skaičiavimus H n- 1 ir ln(n), buvo galima labai tiksliai rasti šio skaičiaus reikšmę ir gauti C = 0,57721566490...
Harmoninė serija- suma, kurią sudaro begalinis skaičius terminai, atvirkštiniai nuosekliems natūraliosios serijos skaičiams:
texvc nerastas; Žr. math/README – pagalba atliekant sąranką.): \sum_(k=1)^\mathcal(\infty) \frac(1)(k)=1 + \frac(1)(2) + \frac(1 ) (3) + \frac(1)(4) + \cdots +\frac(1)(k) + \cdots
.
Pirmųjų n serijos narių suma
Atskiri serijos nariai linkę į nulį, tačiau jų suma skiriasi. n-oji harmonikų serijos dalinė suma s n yra n-asis harmoninis skaičius:
Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failastexvc nerastas; Žr. matematiką / README – pagalba nustatant.): s_n=\sum_(k=1)^n \frac(1)(k)=1 + \frac(1)(2) + \frac(1)(3) + \frac(1)(4) + \cdots +\frac(1)(n)
Kai kurios dalinės sumos reikšmės
Eulerio formulė
At Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc prasmė Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematiką / README – pagalba nustatant.): \varepsilon _n \rightarrow 0, todėl dideliems Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc
:
texvc nerastas; Žr. matematiką / README – pagalba nustatant.): s_n\approx \ln(n) + \gamma- Eulerio formulė pirmojo sumos Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbos.): n harmonikų serijos nariai. Tikslesnė asimptotinė harmoninių eilučių dalinės sumos formulė:
Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failastexvc nerastas; Žr. matematiką / README – pagalba nustatant.): s_n \asymp \ln(n) + \gamma + \frac(1)(2n) - \frac(1)(12n^2) + \frac(1)( 120n ^4) - \frac(1)(252n^6) \taškai = \ln(n) + \gamma + \frac(1)(2n) - \sum_(k=1)^(\infty) \frac ( B_(2k))(2k\,n^(2k)), Kur Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematiką / README – pagalba nustatant.): B_(2k)- Bernulio skaičiai. Ši serija skiriasi, tačiau jo skaičiavimų paklaida niekada neviršija pusės pirmojo atmesto termino.
Dalinių sumų skaičių-teorinės savybės
Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. math/README – pagalba nustatant.): \forall n>1\;\;\;\;s_n\notin\mathbb(N)
Serijų skirtumai
Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failastexvc nerastas; Žr. matematiką / README – pagalba nustatant.): s_n\rightarrow \infty adresu Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbos.): n\rightarrow \infty
Harmonikų serija skiriasi labai lėtai (kad dalinė suma viršytų 100, reikia apie 10 43 serijos elementus).
Harmonikos serijos skirtumą galima parodyti palyginus ją su teleskopine serija:
Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failastexvc nerastas; Žr. matematiką / README – pagalba nustatant.): v_n = \ln(n+1)-\ln n = \ln \left(1+\frac(1)(n)\right)\underset(+\infty ) (\sim)\frac (1) (n)
,
kurių dalinė suma akivaizdžiai lygi:
Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failastexvc nerastas; Žr. matematiką / README – pagalba nustatant.): \sum_(i=1)^(n-1) v_i= \ln n \sim H_n
.
Oresmės įrodymas
Skirtumo įrodymas gali būti sudarytas sugrupuojant terminus taip:
Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failastexvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbą.): \begin(align) \sum_(k=1)^\infty \frac(1)(k) & () = 1 + \left[\frac(1)( 2) \right] + \left[\frac(1)(3) + \frac(1)(4)\right] + \left[\frac(1)(5) + \frac(1)(6) + \ frac(1)(7) + \frac(1)(8)\right] + \left[\frac(1)(9)+\cdots\right] +\cdots \\ & () > 1 + \left [\frac(1)(2)\right] + \left[\frac(1)(4) + \frac(1)(4)\right] + \left[\frac(1)(8) + \ frac(1)(8) + \frac(1)(8) + \frac(1)(8)\right] + \left[\frac(1)(16)+\cdots\right] +\ ctaškai \ \ & () = 1 + \ \frac(1) (2)\ \ \ + \quad \frac(1) (2) \ \quad + \ \qquad\quad\frac(1) (2)\ qquad\ \quad \ + \quad \ \ \frac(1)(2) \ \quad + \ \cdots. \end(lygiuoti)
Paskutinė eilutė akivaizdžiai skiriasi. Šis įrodymas kilęs iš viduramžių mokslininko Nikolajaus Oremo (apie 1350 m.).
Alternatyvus skirtumo įrodymas
Skirtumas tarp Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbos.): n harmoninis skaičius ir natūralusis logaritmas Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbos.): n suartėja su Eulerio – Mascheroni konstanta.
Skirtumas tarp skirtingų harmoninių skaičių niekada nėra lygus sveikam skaičiui ir jokiam harmoniniam skaičiui, išskyrus Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematiką / README – pagalba nustatant.): H_1=1, nėra sveikasis skaičius.
Susijusios serijos
Dirichlet serija
Apibendrinta harmoninė serija (arba Dirichlet serija) yra serija
Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failastexvc nerastas; Žr. matematiką / README – pagalba nustatant.): \sum_(k=1)^\infty \frac(1)(k^\alpha)=1 + \frac(1)(2^\alpha) + \frac ( 1)(3^\alpha) + \frac(1)(4^\alpha) + \cdots +\frac(1)(k^\alpha) + \cdots
.
Apibendrinta harmonikų serija skiriasi ties Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematiką / README – pagalba nustatant.): \alpha \leqslant 1 ir susilieja ties Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbos.): \alpha > 1
.
Apibendrintų harmoninių eilių eilės suma Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbos.): \alpha lygi Riemann zeta funkcijos reikšmei:
texvc nerastas; Žr. math/README – pagalba nustatant.): \sum_(k=1)^\mathcal(1) \frac(1)(k^\alpha)=\zeta(\alpha)
Lyginiams skaičiams ši reikšmė aiškiai išreiškiama pi, pavyzdžiui, Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Norėdami gauti pagalbos dėl sąrankos, žr. math / README.): \zeta(2)=\frac(\pi^2)(6), o jau α=3 jo reikšmė analitiškai nežinoma.
Kitas harmoninių serijų skirtumo pavyzdys gali būti santykis Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Norėdami gauti pagalbos dėl sąrankos, žr. matematikos / README.): \zeta(1+\frac(1)(n)) \sim n
.
Kintamos serijos
Skirtingai nuo harmoninių serijų, kuriose visi terminai imami su „+“ ženklu, serija
Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failastexvc nerastas; Žr. math/README – pagalba nustatant.): \sum_(n = 1)^\infty \frac((-1)^(n + 1))(n) \;=\; 1 \,-\, \frac(1)(2) \,+\, \frac(1)(3) \,-\, \frac(1)(4) \,+\, \frac(1) (5) \,-\, \cdots
Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Norėdami gauti pagalbos dėl sąrankos, žr. matematikos/README.): 1 \,-\, \frac(1)(2) \,+\, \frac(1)(3) \,-\, \frac(1)(4) \,+\, \frac(1)(5) \,-\, \cdots \;=\; \ln 2.
Ši formulė yra ypatinga byla Mercator serija ( Anglų), Taylor serija natūraliam logaritmui.
Panašią seriją galima gauti iš Taylor serijos arktangentui:
Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failastexvc nerastas; Žr. math/README – pagalba nustatant.): \sum_(n = 0)^\infty \frac((-1)^(n))(2n+1) \;\;=\;\; 1 \,-\, \frac(1)(3) \,+\, \frac(1)(5) \,-\, \frac(1)(7) \,+\, \cdots \;\ ;=\;\; \frac(\pi)(4).
Šis ryšys žinomas kaip Leibnizo serija.
Atsitiktinės harmoninės serijos
2003 metais buvo ištirtos savybės atsitiktinės serijos
Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failastexvc nerastas; Žr. matematiką / README – pagalba nustatant.): \sum_(n=1)^(\infty)\frac(s_(n))(n),
Kur Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematiką / README – pagalba nustatant.): s_n- nepriklausomi, identiškai paskirstyti atsitiktiniai dydžiai, kurių reikšmės yra +1 ir -1 su ta pačia ½ tikimybe. Parodyta, kad ši eilutė konverguoja su 1 tikimybe, o serijos suma yra atsitiktinis kintamasis su įdomių savybių. Pavyzdžiui, tikimybės tankio funkcija, apskaičiuota taškuose +2 arba –2, turi tokią reikšmę:
skiriasi nuo ⅛ mažiau nei 10 –42.
„Skiestos“ harmonikų serijos
Kempnerio serija ( Anglų)Jei laikysime harmonines eilutes, kuriose liko tik tie nariai, kurių vardikliuose nėra skaičiaus 9, tada paaiškėja, kad likusi suma susilieja su skaičiumi<80 . Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, так как с ростом разрядов в числе Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbos.): n, vis mažiau terminų imama „plonėtų“ eilučių sumai. Tai reiškia, kad galiausiai didžioji dalis harmoninių eilučių sumą sudarančių terminų yra atmetami, kad nebūtų viršyta geometrinė progresija, ribojanti iš viršaus.
Parašykite apžvalgą apie straipsnį "Harmoninė serija"
Pastabos
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ištrauka, apibūdinanti Harmonic seriją
Baisi diena ėjo į pabaigą. Sėdėjau prie atviro lango, nieko nejaučiau ir negirdėjau. Pasaulis man tapo sustingęs ir be džiaugsmo. Atrodė, kad jis egzistavo atskirai, neįsileisdamas į mano pavargusias smegenis ir niekaip manęs neliesdamas... Ant palangės žaisdami vis dar svirduliavo neramūs „romėnų“ žvirbliai. Žemiau pasigirdo žmonių balsų garsai ir įprastas triukšmingo miesto dienos triukšmas. Bet visa tai man atėjo per kažkokią labai tankią „sieną“, kuri beveik neleido garsams praeiti... Mano įprastas vidinis pasaulis buvo tuščias ir kurčias. Jis tapo visiškai svetimas ir tamsus... Mielo, meilaus tėvo nebeliko. Jis sekė Girolamo...Bet aš vis tiek turėjau Aną. Ir aš žinojau, kad turiu gyventi, kad bent ją išgelbėčiau nuo įmantraus žudiko, pasivadinusio „Dievo vietininku“, šventuoju popiežiumi... Sunku net įsivaizduoti, kad Caraffa būtų tik jo „vicekaralius, “ tai koks žvėris turi pasirodyti šis jo mylimas Dievas?!. Bandžiau išsivaduoti iš savo „sušalusios“ būsenos, bet, kaip paaiškėjo, tai nebuvo taip paprasta - kūnas visai nepakluso, nenorėdamas atgyti, o pavargusi Siela ieškojo tik ramybės. Tada, matydama, kad nieko gero neišeina, tiesiog nusprendžiau palikti save ramybėje, leisdamas viskam eiti savo vaga.
Nieko daugiau negalvodama ir nieko neapsisprendusi, tiesiog „išskridau“ ten, kur siekė mano sužeista Siela, kad būčiau išgelbėta... Pailsėti ir bent šiek tiek užsimiršti, nukeliaudama toli nuo piktojo „žemiškojo“ pasaulio. ten, kur karaliavo tik šviesa...
Žinojau, kad Caraffa nepaliks manęs ramybėje ilgam, nepaisant to, ką ką tik išgyvenau, priešingai – manys, kad skausmas mane susilpnino ir nuginklavo, ir galbūt šią akimirką bandys priversti mane pasiduoti. duoti kažkokį - dar vieną bauginantį smūgį...
Dienos bėgo. Bet, mano didžiausiai nuostabai, Caraffa neatsirado... Tai buvo didžiulis palengvėjimas, bet, deja, neleido atsipalaiduoti. Nes kiekvieną akimirką tikėjausi, kokios naujos niekšybės man sugalvos jo tamsi, pikta siela...
Skausmas pamažu nyko kiekvieną dieną, daugiausia dėl netikėto ir džiaugsmingo atsitikimo, įvykusio prieš porą savaičių ir visiškai pribloškusio mane – turėjau galimybę išgirsti savo mirusį tėvą!..
Aš jo nemačiau, bet labai aiškiai girdėjau ir supratau kiekvieną žodį, tarsi tėvas būtų šalia manęs. Iš pradžių netikėjau, manydamas, kad tiesiog kliedu nuo visiško išsekimo. Bet skambutis pasikartojo... Tai tikrai buvo tėvas.
Iš džiaugsmo negalėjau susivokti ir vis dar bijojau, kad staiga, kaip tik dabar, jis tiesiog pakils ir dings!.. Bet tėvas nedingo. Ir šiek tiek nurimusi, pagaliau galėjau jam atsakyti...
– Ar tai tikrai tu!? Kur tu dabar?.. Kodėl aš tavęs nematau?
– Mano dukra... Tu nematai, nes esi visiškai išsekusi, brangioji. Ana mato, kad aš buvau su ja. Ir tu pamatysi, brangioji. Jums tiesiog reikia laiko nusiraminti.
Tyra, pažįstama šiluma pasklido po visą mano kūną, apgaubdama džiaugsmu ir šviesa...
- Kaip tu, tėve!? Pasakyk man, kaip tai atrodo, šis kitas gyvenimas?.. Koks jis?
– Ji nuostabi, brangioji!.. Tik ji vis tiek neįprasta. Ir taip skiriasi nuo mūsų buvusio žemiškojo!.. Čia žmonės gyvena savo pasauliuose. Ir jie tokie gražūs, šitie „pasauliai“!.. Bet aš vis tiek to negaliu. Matyt, man dar per anksti... - balsas sekundei nutilo, tarsi spręsdamas, ar kalbėti toliau.
– Tavo Girolamo sutiko mane, dukra... Jis toks pat gyvas ir mylintis, kaip ir Žemėje... Jis labai tavęs ilgisi ir ilgisi. Ir prašė, kad pasakyčiau, kad ten tave taip pat myli... Ir laukia tavęs, kai tik ateini... Ir tavo mama taip pat su mumis. Mes visi mylime ir laukiame tavęs, brangioji. Labai tavęs pasiilgome... Rūpinkis savimi, dukrele. Neleisk Karaffai džiaugtis iš tavęs tyčiotis.
– Ar dar ateisi pas mane, tėve? Ar dar išgirsiu? – bijodama, kad staiga dingtų, meldžiausi.
- Nusiramink, dukrele. Dabar tai yra mano pasaulis. Ir Caraffa valdžia jam neapsiriboja. Niekada nepaliksiu nei tavęs, nei Anos. Ateisiu pas tave, kai tik paskambinsi. Nusiramink, brangioji.
- Kaip jautiesi, tėve? Ar ką nors jauti?.. – kiek susigėdęs nuo savo naivaus klausimo vis tiek paklausiau.
– Jaučiu viską, ką jaučiau Žemėje, tik daug šviesiau. Įsivaizduokite pieštuko piešinį, kuris staiga prisipildo spalvų – visi mano jausmai, visos mintys daug stipresnės ir spalvingesnės. Ir dar vienas dalykas... Laisvės jausmas nuostabus!.. Atrodo, kad esu tokia, kokia buvau visada, bet kartu ir visiškai kitokia... Nežinau kaip tau tai paaiškinti tiksliau, brangioji... Tarsi iš karto galiu apkabinti viską, kas pasaulis, arba tiesiog nuskristi toli, toli, į žvaigždes... Viskas atrodo įmanoma, tarsi galiu padaryti viską, ką noriu! Labai sunku nupasakoti, nusakyti žodžiais... Bet patikėk, dukra, tai nuostabu! Ir dar vienas dalykas... Dabar prisimenu visą savo gyvenimą! Prisimenu viską, kas man kažkada nutiko... Visa tai nuostabu. Šis „kitas“ gyvenimas, kaip paaiškėjo, nėra toks jau blogas... Todėl nebijok, dukrele, jei tau reikės čia ateiti, mes visi tavęs lauksime.
– Sakyk, tėve... Ar tikrai ten irgi laukia nuostabus gyvenimas tokių kaip Caraffa?.. Bet, tokiu atveju, tai vėl baisi neteisybė!.. Ar tikrai vėl viskas bus kaip Žemėje?!. . Ar jis tikrai niekada negaus atpildo?!!
– O ne, mano džiaugsmas, Karafai čia ne vieta. Girdėjau, kaip tokie žmonės kaip jis patenka į baisų pasaulį, bet aš ten dar nebuvau. Jie sako, kad to jie nusipelnė!.. Norėjau tai pamatyti, bet dar nespėjau. Nesijaudink, dukra, čia atvykęs jis gaus tai, ko nusipelnė.
„Ar gali man padėti, tėve?“ – paklausiau su paslėpta viltimi.
– Nežinau, brangioji... Dar nesupratau šio pasaulio. Esu kaip vaikas, žengiantis pirmuosius žingsnius... Pirmiausia turiu „išmokti vaikščioti“, kad galėčiau tau atsakyti... O dabar turiu eiti. Atleisk, mieloji. Pirmiausia turiu išmokti gyventi tarp mūsų dviejų pasaulių. Ir tada aš ateisiu pas tave dažniau. Būk drąsus, Izidora, ir niekada nepasiduok Karafai. Jis tikrai gaus tai, ko nusipelnė, patikėkite manimi.
Tėvo balsas vis tylėjo ir tylėjo, kol visiškai suplonėjo ir dingo... Mano siela nurimo. Tai tikrai buvo JIS!.. Ir vėl gyveno, tik dabar savo, man dar nepažįstamame, pomirtiniame pasaulyje... Bet vis tiek galvojo ir jautė, kaip pats ką tik pasakė - net daug šviesiau nei tada, kai gyveno toliau. Žemė. Nebegalėjau bijoti, kad niekada apie jį nesužinosiu... Kad jis mane paliko amžiams.
Bet mano moteriška siela, nepaisant visko, vis tiek jo sielojosi... Apie tai, kad negalėjau tiesiog apkabinti jo kaip žmogaus, kai jaučiausi vieniša... Kad negalėjau nuslėpti savo melancholijos ir baimės plati krūtinė, trokštanti ramybės... Kad jo stiprus, švelnus delnas nebegalėjo paglostyti pavargusios galvos, tarsi sakydamas, kad viskas susitvarkys ir tikrai viskas bus gerai... Beviltiškai pasiilgau šių mažyčių ir, atrodytų, nereikšmingų, bet tokie brangūs, grynai „žmogiški“ džiaugsmai, o siela jų alko, nerasdama ramybės. Taip, aš buvau karė... Bet buvau ir moteris. Jo vienintelė dukra, kuri visada žinojo, kad net jei atsitiktų blogiausia, tėtis visada bus šalia, visada bus su manimi... O aš viso šito skaudžiai pasiilgau...
Kažkaip nusikratęs užplūstančio liūdesio, prisiverčiau susimąstyti apie Karafą. Tokios mintys mane iš karto išblaivino ir privertė susikaupti viduje, nes puikiai supratau, kad ši „ramybė“ tėra laikinas atokvėpis...
Tačiau mano didžiausiai nuostabai Caraffa vis tiek nepasirodė...
Bėgo dienos, o nerimas augo. Bandžiau sugalvoti kokį nors jo nebuvimo paaiškinimą, bet, deja, nieko rimto į galvą neatėjo... Jaučiau, kad jis kažką ruošia, bet negalėjau atspėti ką. Išsekę nervai pasidavė. O kad visiškai neišprotėčiau nuo laukimo, pradėjau kasdien vaikščioti po rūmus. Man nebuvo uždrausta išeiti, bet ir nepatvirtinta, todėl nenorėdamas toliau būti uždarytas, pats nusprendžiau, kad eisiu pasivaikščioti...nepaisant to, kad galbūt kažkam nepatiks. Rūmai pasirodė didžiuliai ir neįprastai turtingi. Kambarių grožis stebino vaizduotę, bet asmeniškai aš niekada negalėjau gyventi tokioje akį rėžiančioje prabangoje... Slegiojo sienų ir lubų auksavimas, pažeidžiantis nuostabių freskų meistriškumą, uždusęs auksu žėrinčioje aplinkoje. tonai. Su malonumu atidaviau duoklę menininkų, tapusių šiuos nuostabius namus, talentą, valandų valandas grožėdamiesi jų kūriniais ir nuoširdžiai žavėdamiesi geriausiu meistriškumu. Iki šiol man niekas netrukdė, niekas niekada nestabdė. Nors visada atsirasdavo žmonių, kurie susitikę pagarbiai nusilenkdavo ir judėdavo toliau, kiekvienas verždamasis savo reikalais. Nepaisant tokios netikros „laisvės“, visa tai kėlė nerimą ir kiekviena nauja diena keldavo vis daugiau nerimo. Ši „ramybė“ negalėjo tęstis amžinai. Ir buvau beveik tikra, kad tai tikrai „pagimdys“ kokią nors baisią ir skaudžią man nelaimę...
Planas:
- Įvadas
- 1
Pirmųjų n serijos narių suma
- 1.1 Kai kurios dalinės sumos reikšmės
- 1.2 Eilerio formulė
- 1.3 Dalinių sumų skaičių-teorinės savybės
- 2 Eilučių konvergencija
- 2.1 Oresmės įrodymas
- 2.2 Alternatyvus skirtumo įrodymas
- 3 Dalinės sumos
- 4 susietos eilutės
- 4.1 Dirichlet serija
- 4.2 Kintamos serijos
- 4.3 Atsitiktinės harmoninės serijos
- 4.4 „Skiestos“ harmonikų serijos
Pastabos
Įvadas
Matematikoje harmoninė eilutė yra suma, sudaryta iš begalinio skaičiaus terminų, iš eilės einančių natūraliosios serijos skaičių atvirkštinės reikšmės:
.Serialas pavadintas harmoninė, nes kiekvienas jo narys, pradedant nuo antrojo, yra dviejų gretimų harmoninis vidurkis.
1. Pirmųjų n serijos narių suma
Atskiri serijos nariai linkę į nulį, tačiau jų suma skiriasi. n-oji harmonikų serijos dalinė suma s n yra n-asis harmoninis skaičius:
1.1. Kai kurios dalinės sumos reikšmės
1.2. Eulerio formulė
1740 m. L. Euleris gavo asimptotinę išraišką pirmųjų n serijos narių sumos:
,kur yra Eulerio-Mašeronio konstanta, o ln yra natūralusis logaritmas.
Taigi, kai reikšmė yra , kai didelė n:
- Eulerio formulė harmonikų serijos pirmųjų n narių sumai.1.3. Dalinių sumų skaičių-teorinės savybės
2. Eilučių konvergencija
adresuHarmonikų serija skiriasi labai lėtai (kad dalinė suma viršytų 100, reikia apie 10 43 serijos elementus).
Harmonikos serijos skirtumą galima parodyti palyginus ją su teleskopine serija:
,kurių dalinė suma akivaizdžiai lygi:
.2.1. Oresmės įrodymas
Skirtumo įrodymas gali būti sudarytas sugrupuojant terminus taip:
Paskutinė eilutė akivaizdžiai skiriasi. Šis įrodymas kilęs iš viduramžių mokslininko Nikolajaus Oremo (apie 1350 m.).
2.2. Alternatyvus skirtumo įrodymas
Tarkime, kad harmonikų serija konverguoja į sumą:
Tada, pertvarkę trupmenas, gauname:
Išimkime jį iš antrojo skliausto:
Pakeiskite antrąjį laikiklį taip:
Perkelkime jį į kairę pusę:
Pakeiskime serijos sumą:
Ši lygtis akivaizdžiai klaidinga, nes vienas yra didesnis nei pusė, trečdalis yra didesnis nei ketvirtadalis ir pan. Taigi mūsų prielaida apie eilučių konvergenciją yra klaidinga ir serijos skiriasi.
nelygu 0, nes kiekvienas skliaustelis yra teigiamas.Tai reiškia, kad S yra begalybė ir mūsų operacijos, kai ją pridedame arba atimame iš abiejų lygybės pusių, yra nepriimtinos.
3. Dalinės sumos
n dalinė harmonikų serijos suma,
paskambino n-th harmoninis skaičius.
Skirtumas tarp n harmoninis skaičius ir natūralusis logaritmas n suartėja su Eulerio-Mašeronio konstanta.
Skirtumas tarp skirtingų harmoninių skaičių niekada nėra lygus sveikam skaičiui ir jokiam harmoniniam skaičiui, išskyrus H 1 = 1 nėra sveikas skaičius.
4. Susietos eilutės
4.1. Dirichlet serija
Apibendrinta harmoninė serija (arba Dirichlet serija) yra serija
.Apibendrinta harmoninė eilutė skiriasi, kai α≤1, ir konverguoja, kai α>1.
α eilės apibendrintų harmoninių eilučių suma yra lygi Riemann zeta funkcijos reikšmei:
Lyginiams skaičiams ši reikšmė aiškiai išreiškiama per skaičių pi, pavyzdžiui, , o jau α=3 jo reikšmė analitiškai nežinoma.
4.2. Kintamos serijos
Pirmosios 14 dalinių kintamųjų harmonikų serijų sumų (juodų segmentų), rodančių konvergenciją natūralusis logaritmas nuo 2 (raudona linija).
Skirtingai nuo harmoninių serijų, kuriose visi terminai imami su „+“ ženklu, serija
konverguoja pagal Leibnizo testą. Todėl jie sako, kad tokia serija turi sąlyginė konvergencija . Jo suma lygi natūraliajam logaritmui 2:
Ši formulė yra ypatingas Mercator serijos atvejis ( Anglų), Taylor serija natūraliam logaritmui.
Panašią arktangento seriją galima gauti iš Taylor serijos:
Tai žinoma kaip Leibnizo serija.
4.3. Atsitiktinės harmoninės serijos
Bironas Shmulandas iš Albertos universiteto ištyrė atsitiktinės serijos savybes
Kur s n nepriklausomi, identiškai paskirstyti atsitiktiniai dydžiai, kurių reikšmės yra +1 ir –1 su ta pačia ½ tikimybe. Parodyta, kad šios sumos tikimybė yra 1, o eilutės suma yra atsitiktinė vertė su įdomiomis savybėmis. Pavyzdžiui, tikimybės tankio funkcija, apskaičiuota taškuose +2 arba –2, turi 0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7642 ... reikšmę, kuri skiriasi nuo –4 mažiau nei 10. Shmulando darbe paaiškinama, kodėl ši vertė yra artima 1/8, bet nelygi jai.
4.4. „Skiestos“ harmonikų serijos
Kempnerio serija ( Anglų)Jei laikysime harmonines eilutes, kuriose liko tik tie nariai, kurių vardikliuose nėra skaičiaus 9, tada paaiškėja, kad likusi suma susilieja su skaičiumi<80. , точнее - к 22,92067 66192 64150 34816. Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, т.к. с ростом разрядов в числе n, все меньше слагаемых берется для суммы "истонченного" ряда. Т.е. в конечном счете мы отбрасываем подавляющее большинство членов образующих сумму гармонического ряда, чтобы не превзойти ограничивающую сверху геометрическую прогрессию.
