Klasės, rinkiniai, grupės, sistemos. Tas pats objektas gali turėti daug modelių, o skirtingus objektus galima apibūdinti vienu modeliu

Matematinė analizė yra matematikos šaka, nagrinėjanti funkcijas, pagrįstas be galo mažos funkcijos idėja.

Pagrindinės sąvokos matematinė analizė yra dydis, rinkinys, funkcija, begalinis maža funkcija, riba, išvestinė, integralas.

Dydis Viskas, ką galima išmatuoti ir išreikšti skaičiais, vadinama.

Daugelis yra kai kurių elementų, kuriuos vienija kai kurie, rinkinys bendras bruožas. Aibės elementai gali būti skaičiai, figūros, objektai, sąvokos ir kt.

Rinkiniai pažymėti didžiosiomis raidėmis, ir yra daug elementų mažosios raidės. Rinkinių elementai įsegami į garbanotas petnešas.

Jei elementas x priklauso rinkiniui X, tada rašyk x∈X (∈ - priklauso).
Jei rinkinys A yra aibės B dalis, tada parašykite A ⊂ B (⊂ - yra).

Aibę galima apibrėžti vienu iš dviejų būdų: išvardijant ir naudojant apibrėžiančią ypatybę.

• A=(1,2,3,5,7) – skaičių rinkinys
• Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) — kai kurių elementų rinkinys x 1 ,x 2 ,...,x n
• N=(1,2,...,n) — natūraliųjų skaičių aibė
• Z=(0,±1,±2,...,±n) — sveikųjų skaičių aibė

Iškviečiama aibė (-∞;+∞). skaičių eilutė, o bet kuris skaičius yra šios linijos taškas. Leisk a - savavališkas taškas skaičių eilutė irδ – teigiamas skaičius. Intervalas (a-δ; a+δ) vadinamas δ – taško a kaimynystė.

Aibė X yra apribota iš viršaus (iš apačios), jei yra toks skaičius c, kad bet kuriam x ∈ X galioja nelygybė x≤с (x≥c). Šiuo atveju vadinamas skaičius c viršutinis (apatinis) kraštas aibė X. Vadinama aibė, apribota ir aukščiau, ir žemiau ribotas. Mažiausias (didžiausias) iš viršutinių (apatinių) aibės paviršių vadinamas tikslus viršutinis (apatinis) kraštasšios daugybės.

Pagrindiniai skaičių rinkiniai

Jei aibėje nėra vieno elemento, tada ji vadinama tuščias rinkinys ir yra įrašytas Ø .

Loginės simbolizmo elementai

Žymėjimas ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

Rašant matematines išraiškas dažnai naudojami kvantoriai.

Kiekintojas vadinamas loginiu simboliu, kuris kiekybiškai apibūdina po jo einančius elementus.

• ∀- bendras kvantorius, vartojamas vietoj žodžių „visiems“, „bet kam“.
• ∃- egzistavimo kvantorius, naudojamas vietoj žodžių „egzistuoja“, „yra“. Taip pat naudojamas simbolių derinys ∃, kuris skaitomas taip, lyg būtų tik vienas.

Nustatyti operacijas

Du aibės A ir B yra lygios(A=B), jei jie susideda iš tų pačių elementų.
Pavyzdžiui, jei A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2), tada A=B.

Pagal sąjungą (suma) aibės A ir B yra aibė A ∪ B, kurios elementai priklauso bent vienai iš šių aibių.
Pavyzdžiui, jei A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), tada A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

Pagal sankryžą (produktas) aibės A ir B vadinamos aibe A ∩ B, kurios elementai priklauso ir aibei A, ir aibei B.
Pavyzdžiui, jei A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), tada A ∩ B = (2,4)

Pagal skirtumą Aibės A ir B vadinamos aibe AB, kurios elementai priklauso aibei A, bet nepriklauso aibei B.
Pavyzdžiui, jei A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), tada AB = (1,2)

Simetrinis skirtumas aibės A ir B vadinamos aibe A Δ B, kuri yra aibių AB ir BA skirtumų sąjunga, tai yra A Δ B = (AB) ∪ (BA).
Pavyzdžiui, jei A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), tai A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5,6)

Aibinių operacijų savybės

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Suskaičiuojami ir nesuskaičiuojami rinkiniai

Norint palyginti bet kurias dvi aibes A ir B, nustatoma jų elementų atitiktis.

Jei šis atitikimas yra vienas su vienu, tada rinkiniai vadinami lygiaverčiais arba vienodai galingais, A B arba B A.

Taškų aibė ant kojos BC ir trikampio ABC hipotenuzė AC yra vienodos galios.

Pastraipos mokymo elementai:

Istorizmas modelio sampratos raidoje.

Sistema

Savybės

Santykiai tarp elementų.

Koncepcinio modelio apibrėžimas.

Mokslo raidoje modelio samprata patyrė didelių pokyčių.

Iš pradžių modelis buvo vadinamas kokiu nors pagalbiniu įrenginiu, objektu, kuris tam tikroje situacijoje pakeitė kitą objektą. Tuo pačiu metu gamtos dėsnių universalumas ir modeliavimo universalumas, t.y., nebuvo iš karto suprastas. ne tik galimybė, bet ir būtinybė bet kokias žinias pavaizduoti modelių pavidalu.

Pavyzdžiui, senovės filosofai manė, kad natūralių procesų modeliuoti neįmanoma, nes, pagal jų idėjas, natūralūs ir dirbtiniai procesai pakluso skirtingiems dėsniams. Jie tikėjo, kad gamtą galima pavaizduoti tik pasitelkus logiką, diskusiją, samprotavimus, t.y. pagal šiuolaikinę terminiją, kalbos modelius.

Po kelių šimtmečių Anglijos karališkosios mokslo draugijos šūkis tapo šūkiu „nieko žodžiais“. Buvo priimtos tik eksperimentiniais ar matematiniais skaičiavimais paremtos išvados. Dėl to labai ilgą laiką „modelio“ sąvoka buvo taikoma tik materialiems objektams.

Tik vėliau buvo suvokiamos brėžinių, piešinių, žemėlapių – tikrų dirbtinės kilmės objektų, įkūnijančių gana aukšto lygio abstrakcijas – modelinės savybės. Kitas žingsnis buvo pripažinti, kad modeliais gali būti ne tik realūs objektai, bet ir idealios, abstrakčios struktūros, pavyzdžiui, matematiniai modeliai.

Reikėtų priminti, kad bet koks objektas (originalas) yra SISTEMA. Formaliai sistema gali būti pavaizduota tokiu ryšiu:

S= (E, P, R) → C

Sistema sudaryta iš DAUGOS elementų E, su tam tikromis SAVYBĖMIS R o sieja tam tikri SANTYKIAI R. Sistema įgyvendina konkretų tikslą SU.

Tam tikra prasme modelis taip pat yra sistema:

s=(e , p , r )→ s

Santykiu R suprasime dviejų ar daugiau materialių ar abstrakčių objektų ar reiškinių tarpusavio priklausomybę arba sąveiką. Sąveikos santykiai gali būti materialūs, energetiniai ar informaciniai. Išskiriami šie tarpusavio priklausomybės santykiai: panašumas, tapatumas, analogija, homomorfizmas, izomorfizmas, priežastis – pasekmė, tikslas – priemonė, ryšys (nuoseklus, lygiagretus, atvirkštinis, kombinuotas).

Tarpusavio priklausomybė taip pat gali būti funkcinė, loginė, erdvinė ir laikinoji. Be to, gali būti ryšiai tarp objektų A, B, C:

refleksyvumas – A=A

simetrija – A=B, ir B=A

tranzityvumas – A=B, B=C, A=C

lygiavertiškumas – jei tenkinami pirmieji trys santykiai.

Savybė P yra sugriuvęs (vienos vietos) santykis.

Kaip ir sąvokos „sistema“ atveju, yra daug sąvokos „modelis“ apibrėžimų. Mes laikysimės šių dalykų: Modelis

bendrąja prasme yra konkretus objektas, sukurtas siekiant gauti ir (ar) saugoti informaciją mintinio vaizdo, apibūdinimo simbolinėmis priemonėmis (formulėmis, grafika ir kt.) forma arba materialus objektas, atspindintis savavališko pobūdžio pirminio objekto savybės, ypatybės ir ryšiai, būtini asmens sprendžiamai problemai.

Iš šio apibrėžimo matyti, kad modelio sąvoka negali apsiriboti tik tuo, kas tiesiogiai vadinama modeliu.

1.1 pav. diagrama vaizduoja modelį kaip kelių vietų ryšį tarp „subjekto“ - modeliavimo iniciatoriaus ir (arba) jo rezultatų vartotojo; „originalus objektas“ yra modeliavimo objektas; „modelis“ - objekto rodymas; „aplinka“, kurioje yra ir sąveikauja visi šio rinkinio elementai. Trumpai galime pasakyti, kad modelis yra sisteminis originalo atspindys.

Kiekvienas materialus objektas atitinka daugybę skirtingų modelių, susijusių su skirtingomis užduotimis. Todėl yra keli modelių klasifikavimo kriterijai. Klausimai

savikontrolei ir pasiruošimui MK:

Kaip modelio samprata pasikeitė tobulėjant mokslui?

Koks ryšys tarp elementų sistemoje?

Kaip šiuo metu apibrėžiama modelio sąvoka?

Ar originalus objektas gali turėti daug modelių?

Enciklopedijoje raskite tarpusavio priklausomybės santykių tipų ir tipų sąvokų apibrėžimus.

Kokie santykiai buvo svarstomi sistemose, tyrinėjami fizikos, matematikos ir informatikos srityse?

Trijų „Cantor“ dulkių galinių taškų rinkinys yra panašus ir pasižymi tomis pačiomis vertėmis, kaip ir visos „Cantor“ dulkės, t.y. jo panašumo matmuo sutampa su Kantoro dulkių panašumo matmeniu. Tačiau jis yra skaičiuojamas, o tai reiškia, kad jo Hausdorff-Besicovitch matmuo yra lygus nuliui. Jei čia pridėsime ribinius dulkių taškus, gausime pačias Kantoro dulkes, o neatitikimas išnyks „panašumo dimensijos naudai“, kuri šiam rinkiniui yra svarbesnė charakteristika.

Kitas paprastas pavyzdys, kurį aš vadinu Besicovich rinkiniu, yra aptariamas skyriuje apie nelakinius fraktalus, 3.

Furjė dimensija ir euristika

Leisti būti kai kurie nemažėjanti funkcija . Jei maksimalūs atviri intervalai, kuriuose reikšmė yra pastovi, sudaro uždarosios aibės komplementą, tada sakome, kad aibė yra atrama. Funkcijos Furjė-Stieltjeso transformacija turi formą

Sklandžiausios funkcijos užtikrina didžiausią įmanomą mažinimo greitį. Pažymime didžiausiu realiuoju skaičiumi, kurio lygybę tenkina bent viena funkcija su palaikymu

visiems,

bet nė vienas jų netenkina

kai kuriems .

Posakis „prie“ čia reiškia tai . Kai rinkinys užpildo visą intervalą, dydis yra begalinis. Ir atvirkščiai, kai yra vienas – vienintelis taškas, . Įdomu tai, kad kai reiškia nulinio Lebesgue mato aibę, kiekis yra baigtinis ir neviršija šios aibės Hausdorff-Besicovich matmens. Nelygybė rodo, kad fraktalų aibės fraktalinės ir harmoninės savybės yra tarpusavyje susijusios, bet nebūtinai sutampa.

Norėdami įrodyti, kad šie matmenys gali skirtis, tarkime, kad yra eilutės rinkinys, o jo matmuo yra lygus . Jei vertinsime kaip aibę plokštumoje, tada matmuo nepasikeis, o taps nuliu.

Apibrėžimas. Kaip patogų būdą kai kurioms harmoninėms savybėms apibendrinti, kiekį siūlau vadinti aibės Furjė matmeniu.

Salem rinkiniai. Lygybė apibūdina visą aibių kategoriją, vadinamą unikalumo rinkiniais arba Salemo rinkiniais (žr.).

Nykščio taisyklė ir euristika. Fraktalai, kurie mus domina precedentinėse studijose, paprastai yra Salemo rinkiniai. Kadangi vertė daugeliu atvejų lengvai nustatoma iš eksperimentinių duomenų, ji gali būti naudojama įvertinti .

Neatsitiktiniai „Salem“ rinkiniai. Neatsitiktinės Cantor dulkės yra Salemo rinkinys tik tuo atveju, jei koeficientas atitinka tam tikras skaičių teorines savybes.

Salem atsitiktiniai rinkiniai. Atsitiktinės Cantor dulkės yra Salem rinkinys, kai jo atsitiktinumas yra pakankamai didelis, kad pažeistų bet kokį aritmetinį dėsningumą.

Originalus pavyzdys, kurį pasiūlė pats R.Salemas, yra labai sudėtingas. Kaip alternatyvų pavyzdį galima paminėti Levy dulkes: parodyta, kad spektras (čia - Levy kopėčios, žr. 399 pav.) vidutiniškai beveik sutampa su trupmeninės Brauno funkcijos spektru nuo tiesės iki tiesės ir yra išlyginta Gauss-Weierstrass funkcijos spektro versija.

Monografijoje (1 teoremos, p. 165 ir 5, p. 173) parodyta, kad kompaktiškos aibės su matmenimis, palyginti su trupmenine Brauno funkcija nuo linijos iki eilutės su eksponentu, vaizdas yra Salemo aibė su matmenimis. .

„Cantor“ dulkės nėra „Salem“ rinkinys. Trinity Cantor dulkės gimė vienu metu kaip Georgo Cantoro unikalumo rinkinio paieškų (žr. I, p. 196), paieškų, kurios nebuvo vainikuotos sėkme, rezultatas. (Tuomet Kantoras atsisakė harmoninės analizės ir – nesant nieko geresnio – sukūrė aibių teoriją.) Kantoro kopėčias pažymėkime . Spektras turi tokią pačią bendrą formą kaip ir spektras, tačiau, skirtingai nei pastarasis, jame yra keletas atsitiktinai išsidėsčiusių aštrių, nemažėjančio dydžio smailių, iš kurių galime daryti tokią išvadą. cm.

Unikalumo rinkinių teorijoje šių smailių buvimas vaidina lemiamą vaidmenį, tačiau praktikoje jos visai nėra tokios reikšmingos. Daugeliu atvejų, vertinant spektrinį tankį, smailės yra ignoruojamos ir atsižvelgiama tik į bendrą spektro formą, kurią lemia matmenys.

Vidurio taškai ir pertraukiami daugiakampiai

Medžiagos šia tema (susijusią su Peano kreivėmis) galima rasti Fractals 1977 XII skyriuje.

Statistinė analizė naudojant normalizuotą diapazoną

Dar visai neseniai taikomoji statistika laikė savaime suprantamas šias dvi prielaidas apie laiko eilutes: buvo daroma prielaida, kad ir atsitiktinis kintamasis turi trumpalaikę priklausomybę. Tačiau aš parodžiau (žr. 37 skyrių), kad empirinės ilgalaikės duomenų sekos dažnai geriau interpretuojamos atsižvelgiant į prielaidą. Su klausimu, ar ta ar kita duomenų seka yra silpnai (trumpalaikė) ar stipriai (ilgalaikė) priklausoma, pirmą kartą susidūrėme dar tada, kai aiškindamas Hursto fenomeną įvedžiau ilgalaikę priklausomybę (žr. 27 skyrių).

Šis ilgų uodegų ir labai ilgalaikės priklausomybės mišinys gali nuvesti statistikus į aklavietę, nes standartiniai antros eilės metodai, sukurti nuolatinei priklausomybei (koreliacijai, spektrams), vadovaujasi prielaida . Valgyk. Tačiau yra alternatyva.

Galite nepaisyti kiekio pasiskirstymo ir analizuoti ilgalaikę jo priklausomybę naudodami normalizuotą diapazoną; Priešingu atveju ši procedūra vadinama analize. Šis statistinis metodas, pasiūlytas ir matematiškai pagrįstas, yra pagrįstas trumpalaikių ir labai ilgalaikių priklausomybių skirtumu. Taikant šį metodą, įvedama konstanta, kuri vadinama Hursto koeficientu arba - eksponentu ir gali turėti bet kokią reikšmę diapazone nuo 0 iki 1.

Konstantos reikšmę galima apibūdinti dar prieš ją apibrėžiant. Ypač svarbios yra nepriklausomos, Markovo ir kitos atsitiktinės funkcijos, turinčios trumpalaikę priklausomybę. Taigi, norint sužinoti, ar empiriniuose duomenyse ar imties funkcijose yra labai ilgalaikė neperiodinė statistinė priklausomybė, pakanka patikrinti, ar prielaida yra statistiškai priimtina. Jei ne, tada tokia priklausomybė yra, o jos intensyvumo matas nustatomas pagal skirtumą, kurio reikšmę galima įvertinti pagal turimus duomenis.

Pagrindinis šio metodo privalumas yra tai, kad rodiklis yra stabilus ribinio pasiskirstymo atžvilgiu. Tai yra, jis veiksmingas ne tik tais atvejais, kai duomenų sekos arba atsitiktinės funkcijos yra beveik Gauso, bet ir tada, kai skirstinys yra taip toli nuo Gauso, kad skiriasi, tokiu atveju neveikia nė vienas antros eilės metodas.

Statistikos apibrėžimas - apimtis. Nepertraukiamu laiku apibrėžiame , Ir . Diskrečiu laiku apibrėžiame ir ; čia visa dalis. Bet kuriam (vadinkime reikšmės delsą) apibrėžiame koreguotą sumos diapazoną laiko intervale nuo 0 iki formoje

Didumas vadinamas statistiniu diapazonu arba savaime normalizuotu savaime pakoreguotu sumos diapazonu.

Apibrėžimas - indikatorius Tarkime, kad yra tikrasis skaičius, toks, kad kai reikšmė pasiskirstymo konverguoja į kokį nors neišsigimimą ribojantį atsitiktinį kintamąjį. Kaip įrodyta , iš šios prielaidos išplaukia , kad . Šiuo atveju jie sako, kad funkcija turi eksponentą ir pastovų prefaktorių.

Padarykime bendresnę prielaidą: tegul santykis , kur kokia nors funkcija lėtai kinta begalybėje, t.y. funkciją, kuri tenkina sąlygą prie visiems. Paprasčiausias tokios funkcijos pavyzdys yra . Šiuo atveju sakoma, kad funkcija turi rodiklį ir prefaktorių.

Pagrindiniai rezultatai. Kai - baltas Gauso triukšmas, mes taip pat turime nuolatinį prefaktorių. Tiksliau, požiūris yra stacionari atsitiktinė funkcija.

Apskritai lygybė galioja visais atvejais, kai , o normalizuota suma silpnai konverguoja į .

Kada yra diskretiškas trupmeninis Gauso triukšmas (t. y. funkcijos padidėjimo seka, žr. p. 488), turime , kur .

Apskritai, norint gauti pastovų prefaktorių, pakanka to ir kad suma priartėtų prie funkcijos, kad .

Apskritai reikšmė ir prefaktorius vyrauja, jei , ir priartėja prie funkcijos ir patenkina santykį .

Ir galiausiai, jei , bet artėja prie kokios nors ne Gauso skalės nekintamos atsitiktinės funkcijos su eksponentu . Pavyzdžius galima rasti .

Kita vertus, jei yra baltas Levy stabilus triukšmas (t. y.), tada .

Kai funkcija tampa stacionari dėl diferenciacijos, tada .

Stacionarumas. Stacionarumo laipsniai

Vartodami „įprastus“ žodžius moksliniuose tekstuose, turime omenyje arba dažniausiai vartojamas, „pasaulines“ jų reikšmes (kurių pasirinkimas priklauso nuo autoriaus), arba suteikiame jiems formalių apibrėžimų statusą (kuriam išryškiname kokią nors ypatingą reikšmę ir įveskite jį ant – šiuo atveju – matematinių „tablečių“). Sąvokos „stacionarus“ ir „ergodinis“ pasisekė, nes matematikai pasiekė susitarimą dėl jų reikšmės. Tačiau iš savo patirties turėjau galimybę įsitikinti, kad daugelis inžinierių, fizikų ir praktikuojančių statistikų, nors ir priimdami matematinį apibrėžimą žodžiais, iš tikrųjų laikosi siauresnių požiūrių. Priešingai, aš norėčiau išplėsti matematinį apibrėžimą. Žemiau išvardinsiu pagrindinius nesusipratimus, kurie kyla vartojant šiuos terminus ir pabandysiu paaiškinti, kodėl matematinį apibrėžimą reikia išplėsti.

Matematinis apibrėžimas. Procesas yra stacionarus, jei kiekio pasiskirstymas nepriklauso nuo , o bendras pasiskirstymas nepriklauso nuo ; ir tas pats pasakytina apie bendrus paskirstymus visų akivaizdoje.

Pirmas nesusipratimas (filosofija). Remiantis populiariu įsitikinimu, moksline veikla gali būti laikoma ta veikla, kurios objektas yra reiškiniai, paklūstantys nekintančioms taisyklėms. Neteisingas stacionarumo supratimas dažniausiai yra būtent tokio požiūrio į dalykus pasekmė: daugelis mano, kad stacionarumas tiesiog reiškia procesą reglamentuojančių taisyklių nepastovumą laike. Tai toli gražu nėra tiesa. Pavyzdžiui, Brauno judesio padidėjimas yra Gauso atsitiktinis kintamasis, kurio vidurkis ir dispersija nepriklauso nuo . Brauno judėjimo nulių aibės sudarymo taisyklė nepriklauso nei nuo vienos, nei iš kitos. Tačiau stacionarumui svarbios tik tos taisyklės, kurios reglamentuoja paties proceso vertybes. Brauno judėjimo atveju šios taisyklės nėra laikomos nekintančios.

Antras nesusipratimas (taikoma statistika). Statistikai mums siūlo daugybę „laiko eilučių analizės“ metodų (kartais net kompiuterinės programinės įrangos pavidalu); Tiesą sakant, šių metodų galimybių spektras yra daug siauresnis, nei būtų galima tikėtis, sprendžiant iš etiketės. Tai neišvengiama, nes matematinis stacionarumas yra pernelyg bendra sąvoka, kad bet koks vienas metodas būtų taikomas visais įmanomais atvejais. Tačiau taip elgdamiesi statistikai nejučiomis įskiepija savo klientams įsitikinimą, kad „stacionarios laiko eilutės“ sąvoka yra identiška kitoms, siauresnėms sąvokoms, aprėpiamoms vienu ar kitu metodu. Net ir tais atvejais, kai metodų autoriai imasi problemų patikrinti savo kūrinių „stabilumą“, jie atsižvelgia tik į minimalius nukrypimus nuo paprasčiausios būsenos, neatsižvelgdami į labai radikalius, stacionarumui nė kiek neprieštaraujančius nukrypimus.

Trečias nesusipratimas (inžinieriai ir fizikai). Daugelis tyrinėtojų (iš dalies dėl ankstesnių nesusipratimų) mano, kad jei mėginių ėmimo procesas yra stacionarus, tai reiškia, kad jis „gali judėti aukštyn ir žemyn, bet tam tikru būdu statistiškai išlieka toks pat“. Šis aiškinimas buvo gana tinkamas ankstyvoje, „neformalioje“ stadijoje, tačiau šiuo metu jis yra nepriimtinas. Matematinis apibrėžimas aprašo tik generavimo taisykles, tačiau niekaip neįtakoja generuojamų objektų. Kai matematikai pirmą kartą susidūrė su stacionariais procesais su itin atsitiktinėmis imtimis, jie nustebo, kad stacionarumo sąvoka gali apimti tokią gausybę labai skirtingų ir netikėtų elgesio formų. Deja, būtent tokias elgesio formas daugelis praktikuojančių kategoriškai atsisako pripažinti stacionariais.

Pilka zona. Nėra jokių abejonių, kad riba tarp stacionarių ir nestacionarių procesų yra kažkur tarp baltojo Gauso triukšmo ir Brauno judėjimo; Tik tiksli jo vieta yra prieštaringa.

Ribų patikslinimas naudojant masto nekeičiamą triukšmą. Gauso skalės nekintamas triukšmas (žr. 27 skyrių) gali pasitarnauti kaip labai patogi priemonė prieštaringai vertinamai ribai patikslinti, nes jų spektrinis tankis turi formą , kur . Baltajam triukšmui, Brauno judėjimui, riba tarp stacionarių ir nestacionarių procesų priklauso nuo to, kokiais sumetimais vadovaujasi „matininkai“ Reikalingas išskirtinai nestacionarus modelis.

Aš savo ruožtu pastebėjau, kad neįtraukus verčių į svarstymą, stacionarumo apibrėžimas nėra pakankamai bendras daugeliui atvejų tyrimų.

Sąlygiškai stacionarūs sporadiniai procesai. Pavyzdžiui, fraktalinio triukšmo teorija (žr. 9 skyrių) rodo, kad procesas, susidedantis iš Brauno nulių, yra nejudantis susilpnėjusioje formoje. Tiesą sakant, tarkime, kad kažkur tarp ir yra bent vienas nulis. Tokios prielaidos rezultatas bus atsitiktinis procesas, priklausantis nuo papildomo išorinio parametro. Pastebėjau, kad bendras vertybių pasiskirstymas nepriklauso nuo. Renyi taip pat rašė apie begalinį atsitiktinių dydžių matą. Kad priemonė nesukeltų katastrofos, apibendrintų atsitiktinių dydžių teorijoje daroma prielaida, kad šie dydžiai stebimi tik tada, kai juos sąlygoja koks nors įvykis, pvz. .

Nors Renyi atsitiktinių dydžių pritaikomumas yra labai ribotas, sporadinės funkcijos kartais pasirodo labai naudingos: ypač su jų pagalba kai kuriais atvejais pavyko išvengti infraraudonųjų spindulių katastrofos, taip paaiškinant tam tikro masto nekintamo triukšmo egzistavimą. .

Ergodiškumas. Maišymas. Ergodiciškumo sąvoka taip pat yra įvairiai interpretuojama. Matematinėje literatūroje ergodiškumo sąvoka apima įvairias maišymo formas. Yra procesų su stipriu maišymu ir procesų su silpnu maišymu. Skirtumas tarp šių formų (sprendžiant pagal matematinius darbus) gali atrodyti labai nereikšmingas ir toli gražu ne tikri gamtos reiškiniai. Neapsigaukite – tai netiesa. Pavyzdžiui, masto nekintamas triukšmas c arba Juozapo efektas (begalinė priklausomybė, kaip ir triukšmas c). Tačiau reikia pasakyti, kad beveik visas mano atvejo studijas tam tikru etapu a priori kritikavo koks nors „ekspertas“, teigdamas, kad tiriami reiškiniai yra aiškiai nestacionarūs, todėl mano stacionarūs modeliai buvo pasmerkti žlugti. nuo pat pradžių. Samprotavimas klaidingas, bet psichologiškai labai reikšmingas.

Išvada. Smarkūs semantiniai ginčai tęsiasi ties riba tarp matematiškai stacionarių ir nestacionarių procesų. Praktikoje sieną užima procesai, kurie, nors ir neatitinka mūsų intuityvių idėjų apie stacionarius procesus, vis tiek gali veikti kaip mokslinių tyrimų objektai. Šie procesai man buvo labai naudingi tiek šiame rašinyje, tiek atliekant likusį tiriamąjį darbą.

Leksikos problemos. Ir vėl reikia naujų terminų. Pasinaudosiu laisve rekomenduoti terminą, sukurtą kaip sinonimą to, ką matematikai vadina „stacionariu ir tokiu, kad suma susilieja“, ir terminą tos intuityvios sąvokai, kurią praktiniai tyrinėtojai linkę vadinti „stacionarumu“. Priešinga sąvoka gali būti žymima terminais nepastovus arba klajojantis.

Viename iš savo ankstyvųjų darbų (būtent: in) pasiūliau pastovius procesus vadinti laplakišku ir minkštuoju. Paskutinis žodis vartojamas reikšme „saugus, lengvai valdomas“; ši reikšmė man pasirodė visai tinkama, nes sprendžiant tokį atsitiktinį procesą, nereikia bijoti jokių netikėtumų iš jo pusės – nereikėtų iš jo tikėtis tų aštrių nukrypimų ir įvairių konfigūracijų, dėl kurių analizuojama klajojanti atsitiktinė procesai yra sudėtingesni, bet ir daug įdomesnė veikla.

Matematinis rinkinys

Daugelis- vienas iš pagrindinių matematikos objektų, ypač aibių teorijos. „Pipliuralizmu turime omenyje tam tikrų, gana išsiskiriančių mūsų intuicijos ar mąstymo objektų sujungimą į vieną visumą“ (G. Kantor). Visa prasme tai nėra logiškas sąvokų rinkinio apibrėžimas, o tik paaiškinimas (nes apibrėžti sąvoką reiškia rasti bendrą sąvoką, į kurią ši sąvoka įtraukta kaip rūšis, bet rinkinys, ko gero, yra plačiausia matematikos ir logikos samprata).

Teorijos

Yra du pagrindiniai požiūriai į rinkinio sąvoką - naivus Ir aksiominis aibių teorija.

Aksiomatinė aibių teorija

Šiandien rinkinys apibrėžiamas kaip modelis, atitinkantis ZFC aksiomas (Zermelo-Frenkelio aksiomos su pasirinkta aksioma). Taikant šį metodą, kai kuriose matematinėse teorijose susidaro objektų rinkiniai, kurie nėra aibės. Tokios kolekcijos vadinamos klasėmis (įvairių užsakymų).

Nustatyti elementą

Aibę sudarantys objektai vadinami rinkinio elementai arba rinkinio taškai. Rinkiniai dažniausiai žymimi lotyniškos abėcėlės didžiosiomis raidėmis, jo elementai – mažosiomis. Jei a yra aibės A elementas, tai parašykite a ∈ A (a priklauso A). Jei a nėra aibės A elementas, tai parašykite a∉A (a nepriklauso A).

Kai kurie rinkinių tipai

• Užsakytas rinkinys yra rinkinys, kuriame nurodytas užsakymo santykis.
• Rinkinys (konkrečiai užsakyta pora). Skirtingai nuo paprasto rinkinio, jis rašomas skliausteliuose: ( x 1 , x 2 , x 3 , …), o elementai gali būti kartojami.

Pagal hierarchiją:

Aibių rinkinys Pogrupis Superset

Pagal apribojimą:

Nustatyti operacijas

Literatūra

• Stoll R.R. Minios. Logikos. Aksiomatinės teorijos. - M.: Išsilavinimas, 1968. - 232 p.

Taip pat žr

Wikimedia fondas.

2010 m.

Pažiūrėkite, kas yra „matematinis rinkinys“ kituose žodynuose:

Vitali aibė yra pirmasis realiųjų skaičių rinkinio, neturinčio Lebesgue mato, pavyzdys. Šį klasika tapusį pavyzdį 1905 metais paskelbė italų matematikas G. Vitali savo straipsnyje „Sul problema della misura dei gruppi di punti... ... Wikipedia - (vidutinė atsitiktinio dydžio reikšmė) yra atsitiktinio dydžio skaitinė charakteristika. Jei atsitiktinis dydis apibrėžtas tikimybių erdvėje (žr. Tikimybių teoriją), tada jo M. o. MX (arba EX) apibrėžiamas kaip Lebesgue integralas: kur...

Fizinė enciklopedija Atsitiktinis dydis yra jo skaitinė charakteristika. Jeigu atsitiktinis dydis X turi pasiskirstymo funkciją F(x), tai jo M. o. bus: . Jei skirstinys X yra diskretus, tada M.o.: , kur x1, x2, ... galimos diskretinio atsitiktinio dydžio X reikšmės; p1...

Geologijos enciklopedija ACS programinė įranga - , tas pats, kas programinė įranga, programinė įranga, matematinių programų ir algoritmų kompleksas, vienas iš pagalbinių posistemių. Paprastai tai apima daugybę programų, skirtų konkrečioms kompiuterio problemoms spręsti, kurias vienija pagrindinė programa... ...

Ekonominis-matematinis žodynas ACS programinė įranga - tas pats, kas programinė įranga, programinė įranga, matematinių programų ir algoritmų kompleksas, vienas iš pagalbinių posistemių. Paprastai tai apima daugybę programų, skirtų konkrečioms kompiuterio problemoms spręsti, kurias sujungia dispečeris pagrindinė programa.... ...

Techninis vertėjo vadovas

Matematinis modelis yra matematinis tikrovės vaizdas. Matematinis modeliavimas yra matematinių modelių kūrimo ir tyrimo procesas. Visi gamtos ir socialiniai mokslai, kuriuose naudojamas matematinis aparatas, iš esmės... ... Vikipedija

Matematinė disciplina, skirta baigtinių ir netiesinių apribojimų (lygybių ir nelygybių) apibrėžtų funkcijų ekstremalių radimo uždavinių sprendimo teorijai ir metodams. M. p....... Matematinė enciklopedija

Matematinė disciplina, skirta funkcijų ekstremalių nustatymo aibėse, apibrėžtose tiesiniais ir netiesiniais apribojimais (lygybėmis ir nelygybėmis), problemų sprendimo teorijai ir metodams. M.p. mokslo skyrius ... Didžioji sovietinė enciklopedija

Šis terminas turi kitas reikšmes, žr. Įrodymas. Matematikoje įrodymas yra loginių išvadų grandinė, parodanti, kad, atsižvelgiant į tam tikrą aksiomų rinkinį ir išvados taisykles, tam tikras teiginys yra teisingas. Priklausomai nuo... Vikipedijos

Knygos

• Matematinis ekonomikos modeliavimas, Malykhin V.I.. Knygoje aptariami pagrindiniai matematiniai ekonomikos modeliai: individualaus vartotojo modelis (remiantis naudingumo funkcija), gamybinės įmonės modelis (remiantis gamybos funkcija), .. .

Dalyko srities aprašymas (jos ontologijos kūrimas) prasideda nuo objektų parinkimo ir jų klasifikavimo, kuris tradiciškai susideda iš klasių-poklasių medžio sudarymo ir individų priskyrimo jiems. Šiuo atveju terminas „klasė“ iš esmės vartojamas kaip „aibė“: objekto priskyrimas klasei laikomas įtraukimu į atitinkamos aibės elementą. Šio teksto tikslas – parodyti, kad toks vieningas požiūris į dalykinės srities struktūros apibūdinimą yra stiprus supaprastinimas ir neleidžia fiksuoti objektų semantinių santykių įvairovės.

Pažvelkime į tris klaidas klasifikavimo parinktis:

1. Gyvūnas – šuo – haskis – blakė.
2. Aptarnavimas - jodinėjimas - Retas.
3. Veislynas - šunų komanda - Zhuchka.

Pirmoji pavaldžių objektų seka vienareikšmiškai apibūdinama apibrėžiant klases ir poklasius: Klaida yra „Lika“ klasės individas, „Lika“ klasė yra šunų poklasis, o tai yra „gyvūno“ poklasis. klasė. Šiuo atveju klasė „gyvūnai“ interpretuojama kaip visų gyvūnų aibė, o klasė „patinka“ kaip rinkinio „šunys“ poaibis. Tačiau toks aprašymas, nepaisant to, kad jis yra gana vizualus, yra prasmingai tautologiškas, savireferencinis: individą Bug vadiname haskiu, jei jis įtrauktas į haskių rinkinį, o patį haskių rinkinį apibrėžiame kaip visų haskių individų visuma - tai yra, įtraukimas į rinkinį yra prasmingas, dubliuoja vardą. Be to, klasių rinkinio aprašymas yra visiškai išnaudotas aprašant individą, patenkantį į klasę apibrėžiančią sąvoką. Taip pat reikia pažymėti, kad tokių rinkinių klasių veikimas nepriklauso nuo elementų skaičiaus jose: haskis Bug bus haskis net tada, kai liks vienintelis, paskutinis haskis Žemėje. Be to, su tokiomis klasėmis-rinkiniais galime dirbti net ir nesant individų: galime sukurti jau išnykusių dinozaurų ontologiją, įsivaizduoti klasę, kurioje bus tik ateityje kuriamas unikalus įrenginys, arba sukurti jų modelį. mitinių gyvūnų, pasakų herojų dalykinė sritis, nors tuo pačiu metu visų klasių-rinkinių kardinalumas bus lygus nuliui.

Taigi, jei kalbėtume apie analizuojamos klasifikacijos turinio pusę (gyvūnas – šuo – haskis – blakė), tai jos (turinio pusė) jokiu būdu negalima išreikšti aibių ir poaibių ryšiu. Šiuo atveju mes susiduriame su konceptualizavimu – sąvokų išskyrimu ir genties ir rūšių santykių užmezgimas tarp jų. Be to, tikrasis konceptualios klasės elementų skaičius, ty sąvokos apimtis, jos apibrėžime nėra nurodytas ir minimas (ir net tada nereikšmingai) tik tada, kai viena sąvoka („panašu“) patenka į kitą ( „šuo“), tai yra, kai jis veikia kaip genties rūšis. Taip, galime teigti, kad sąvokos „šuo“ apimtis yra didesnė už sąvokos „panašų“ apimtį, tačiau tikrasis skaitinis šių aibių ryšys neturi ontologinės reikšmės. Kai klasės apimtis viršija poklasio apimtį pagal genties ryšius, tai tik atspindi tai, kad pagal genties apibrėžimą ji turi apimti kelias rūšis – kitaip ši klasifikacija netenka prasmės. Tai yra, genties ir rūšių konceptualioje klasifikacijoje mus domina būtent sąvokų turinys - kuo rūšis „šuo“ skiriasi nuo rūšies „katė“ (kuri jiems taip pat patenka į bendrąją sąvoką „gyvūnas“), o ne kaip susiję genties ir rūšių aibių tūriai ir juo labiau rūšių sąvokų ("šuo" ir "katė") apimtys. O norint atskirti konceptualias klases nuo tikrai suskaičiuojamų aibių, teisingiau būtų kalbėti apie tai ar individas patenka į sąvoką, ne apie įtraukimasį klasę/rinkinį. Akivaizdu, kad formaliajame žymėjime teiginiai „patenka į X sąvoką“ ir „yra X klasės elementas“ gali atrodyti taip pat, tačiau nesuvokus esminio skirtumo tarp šių dviejų apibūdinimų, gali atsirasti rimtų klaidų konstruojant ontologija.

Antrajame variante (paslauga - jojimas - Zhuchka) mums taip pat neįdomu lyginti bet kurio rinkinio sąvoką „jojimas“: teiginio „Zhuchka - jodinėjimas“ semantinis turinys nepriklauso nuo to, ar jis vienintelis, ar ten. jų yra daug. Atrodytų, kad čia kalbama apie bendrinius ir specifinius santykius: sąvoka „jojimas“ gali būti laikoma specifine, palyginti su bendrine „paslaugos“ sąvoka. Tačiau individo „Blakės“ ryšys su „jojimo“ sąvoka gerokai skiriasi nuo ryšio su „patinka“ sąvoka: antroji, konceptuali, sąvoka yra imanentiška ir visada būdinga individui, o pirmoji atspindi vietos laiku specializacija. Klaida negimė kinkiniu šuo ir galbūt su amžiumi gali nustoti juo būti ir patekti į sarginio šuns kategoriją, o senatvėje gali visai netekti „profesijos“. Tai yra, kalbėdami apie specializaciją, visada galime pabrėžti ryšio su konkrečia sąvoka įgijimo ir praradimo įvykius. Pavyzdžiui, Žučka gali būti pripažinta absoliučia veislės čempione, o vėliau prarasti šį titulą, o tai iš esmės neįmanoma pagal konceptualias koncepcijas: Žučka nuo gimimo iki mirties, tai yra per visą jos, kaip individo, egzistavimo laikotarpį, yra šuo ir haskis. Taip pat žmogus visą gyvenimą išlieka sąvoka „asmuo“, tačiau situacijoje (nuo įvykio iki įvykio) jis gali patekti į specializuotas sąvokas „moksleivis“, „studentas“, „gydytojas“, „vyras“ ir kt. kaip jau buvo pažymėta, ryšys su šiomis sąvokomis visai nereiškia įtraukimo į tam tikrą rinkinį (nors tai gali atrodyti taip) – specializuotos sąvokos priskyrimas visada yra individo specifinio santykio su kitais asmenimis rezultatas: įstojimas į mokyklą, universitetas, diplomo gavimas, santuokos registravimas ir tt Todėl galima vadinti ir specializuotas sąvokas santykinis. Iš aukščiau pateiktų pavyzdžių išplaukia dar vienas reikšmingas skirtumas tarp konceptualios klasifikacijos ir specializacijos: asmuo gali turėti kelias specializacijas (Žučka gali būti rogių šuo ir veislės čempionas, žmogus yra studentas ir vyras), bet negali vienu metu būti įtrauktas į daugiau. nei viena konceptuali hierarchija (Žučka negali būti šuo ir katė).

Ir tik trečiajame Žučkos aprašymo variante – kaip priklausančio tam tikram veislynui ir kaip konkrečios komandos nario, tempiančio roges per tundrą – tiesiog būtina paminėti gausybę. Tik šiuo atveju turime teisę teigti, kad individas yra konkrečios aibės elementas, turintis suskaičiuojamą elementų skaičių, ir nepatenka į sąvoką, kurią galima pavaizduoti kaip abstrakčią aibę, kuri sutartinai nustato šios apimties apimtį. koncepcija. Ir čia labai svarbu, kad individas būtų kito individo dalis, iš pradžių apibrėžta kaip rinkinys: veislynas ir komanda būtinai yra netuščias šunų rinkinys, o šio rinkinio elementų skaičius tikrai įtrauktas į jų apibrėžimus kaip. asmenys. Tai yra, šiuo atveju turėtume kalbėti apie santykius dalis-visa: Klaida yra veislyno ir komandos dalis. Be to, Bugo įtraukimas ar nepatekimas į konkrečią komandą keičia jos (komandos) turinį: jei turėjome dvigubą komandą, tai pašalinus Bugą, komanda virsta viena komanda. Tokiais atvejais turime reikalą ne tik su skaičiuojamu rinkiniu (šunys veislyne), bet su individu, kurio esmė keičiasi keičiantis elementų sudėčiai ir yra nulemta šios sudėties, t.y. sistema. Jei veislynas yra tiesiog individas-grupė, aprašyta per daugybę į jį įtrauktų elementų, tai komanda yra sistema, kurios esmė priklauso nuo jos dalių skaičiaus ir specifikos.

Vadinasi, kuriant dalykinės srities ontologiją, galima identifikuoti realius objektus-aibes, tiksliai apibrėžtas kaip tam tikro skaičiaus individų rinkinys. Tai yra: klasė mokykloje, prekės sandėlyje esančioje dėžėje, elektroninių prietaisų bloko dalys ir tt O šie rinkiniai gali būti kitų realių skaičiuojamų rinkinių poaibiai: visi mokiniai mokykloje, visos prekės sandėlyje, visos prietaiso dalys. Identifikuojant šiuos rinkinius, būtina, kad jie (šie rinkiniai) veiktų kaip savarankiški individai (komanda, prekių partija, dalių rinkinys), kurių pagrindinis atributas yra būtent juose esančių elementų skaičius. Be to, pakeitus šį požymį, gali pasikeisti objekto būsena, tarkime, padidėjus elementų skaičiui, kvartetas paverčiamas kvintetu arba pulkas – brigada. Taip pat svarbu, kad šių objektų rinkinių, kompleksinių objektų aprašymas nebūtų redukuojamas į juose esančių individų aprašymą, nors gali būti nurodytas pastarųjų leistinas tipas (styginių kvartetas, žirgų komanda). . Ir tokie ryšiai – ne tarp abstrakčių aibių, o tarp aibių, kurios yra individai, sudėtingi objektai – tiksliau apibūdinami kaip ryšiai su visuma, o ne kaip klasė-poklasis.

Taigi tradicinė asmenų klasifikacija priskiriant juos vienai ar kitai klasių aibe negali būti laikoma vienalyte. Būtina atskirti (1) individų, kaip dalių, įtraukimą į kompleksinį objektą (visumą), kurio semantinis specifiškumas neapsiriboja jo elementų aprašymu. Šiuo atveju (1.1.) objektas-visuma gali būti laikoma tik įvardytu individų rinkiniu (dalių pakuotėje, paveikslų kolekcijoje), kuriai faktiškai svarbus tik dalių skaičius. Tokius objektus galima vadinti grupės (arba kolekcijos)). Taip pat (1.2.) objektas-visuma gali būti prasmingai (o ne tik kiekybiškai) nulemta jos dalių ir dėl to turėti atributų, kurių dalys neturi. Toks vientisumas tradiciškai vadinamas sistemos, o sistemų dalys – elementai. Antrasis objektų aprašymo, priskiriant juos klasėms-poklasiams, variantas yra (2) individų įtraukimas į sąvoką, kurią tik formaliai, tautologiškai galima apibūdinti kaip individų įtraukimą į aibę, kurios galia lygi koncepcija. Savo ruožtu konceptualus individų aprašymas gali būti suskirstytas į (2.1) konceptualus, bendrai nustatantis asmens tipą ir (2.2) specializacija (santykinis), lokaliai laike ir erdvėje (galiausiai) jungiantis individą su kitais objektais.

Aukščiau pateikti svarstymai, visų pirma, kelia klausimą dėl tradicinio požiūrio aprašant dalykinę sritį naudojant klasifikaciją, pagrįstą aibių teorija, pakankamumo ir adekvatumo. Ir siūloma išvada: norint užfiksuoti visą objektų ryšių įvairovę ontologijose, reikia diferencijuotų klasifikavimo priemonių (grupių, sistemų, konceptualių ir specializuotų sąvokų). Aibių teorijos formalizmas gali būti naudojamas tik kaip lokalus supaprastinimas loginių išvadų poreikiams, o ne kaip pagrindinis aprašymo metodas.