Panagrinėkime kreivąją trapeciją, kurią riboja Ox ašis, kreivė y=f(x) ir dvi tiesės: x=a ir x=b (85 pav.). Paimkime savavališką x reikšmę (tik ne a ir ne b). Suteikime jam prieaugį h = dx ir apsvarstykime juostą, ribojamą tiesių AB ir CD, Ox ašies ir lanko BD, priklausančių nagrinėjamai kreivei. Šią juostelę vadinsime elementaria juostele. Elementariosios juostos plotas skiriasi nuo stačiakampio ACQB ploto kreiviniu trikampiu BQD, o pastarojo plotas mažiau ploto stačiakampis BQDM su kraštinėmis BQ = =h = dx) QD = Ay ir plotas lygus hay = Ay dx. Mažėjant h pusei, pusė Du taip pat mažėja ir kartu su h linksta į nulį. Todėl BQDM plotas yra antros eilės be galo mažas. Elementariosios juostos plotas yra ploto prieaugis, o stačiakampio ACQB plotas, lygus AB-AC ==/(x) dx> yra ploto skirtumas. Todėl aš pats susiraskime sritį, integruojant jo diferencialą. Nagrinėjamo paveikslo viduje nepriklausomas kintamasis l: keičiasi iš a į b, todėl reikalingas plotas 5 bus lygus 5= \f(x) dx. (I) Pavyzdys 1. Apskaičiuokime plotą, kurį riboja parabolė y - 1 -x*, tiesės X =--Fj-, x = 1 ir O* ašis (86 pav.). prie Fig. 87. pav. 86. 1 Čia f(x) = 1 - l?, integravimo ribos yra a = - ir £ = 1, todėl J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Pavyzdys 2. Apskaičiuokime plotą, apribotą sinusoidės y = sinXy, Ox ašies ir tiesės (87 pav.). Taikant (I) formulę, gauname A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf 3 pavyzdys. Apskaičiuokite plotą, kurį riboja sinusoido lankas ^у = sin jc, uždarytas tarp dviejų gretimų susikirtimo su Ox ašimi taškų (pavyzdžiui, tarp pradžios ir taško su abscise i). Atkreipkite dėmesį, kad iš geometrinių sumetimų aišku, kad ši sritis bus dvigubai didesnė daugiau ploto ankstesnis pavyzdys. Tačiau atlikime skaičiavimus: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Iš tiesų, mūsų prielaida pasirodė teisinga. 4 pavyzdys Apskaičiuokite plotą, apribotą sinusoidės ir Ox ašies vienu periodu (88 pav.). Preliminarūs skaičiavimai rodo, kad plotas bus keturis kartus didesnis nei 2 pavyzdyje. Tačiau atlikus skaičiavimus gauname „i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. Šį rezultatą reikia patikslinti. Siekdami išsiaiškinti reikalo esmę, taip pat apskaičiuojame plotą, kurį riboja ta pati sinusoidė y = sin l: ir Ox ašis intervale nuo l iki 2i. Taikant (I) formulę, gauname 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Taigi matome, kad ši sritis pasirodė neigiama. Palyginę jį su plotu, apskaičiuotu 3 užduotyje, matome, kad jų absoliučios vertės yra vienodi, bet ženklai skiriasi. Jei pritaikysime savybę V (žr. XI skyrių, § 4), gausime 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Tai, kas atsitiko šiame pavyzdyje, nėra atsitiktinumas. Visada sritis, esanti žemiau Ox ašies, jei nepriklausomas kintamasis keičiasi iš kairės į dešinę, gaunamas skaičiuojant naudojant integralus. Šiame kurse visada apsvarstysime sritis be ženklų. Todėl ką tik aptartame pavyzdyje atsakymas bus toks: reikalingas plotas yra 2 + |-2| = 4. 5 pavyzdys. Apskaičiuokime BAB plotą, parodytą pav. 89. Šią sritį riboja Ox ašis, parabolė y = - xr ir tiesė y - = -x+\. Kvadratas lenkta trapecija Reikiamą OAB plotą sudaro dvi dalys: OAM ir MAV. Kadangi taškas A yra parabolės ir tiesės susikirtimo taškas, jo koordinates rasime išsprendę lygčių sistemą 3 2 Y = mx. (reikia rasti tik taško A abscisę). Išspręsdami sistemą, randame l; = ~. Todėl plotas turi būti skaičiuojamas dalimis, pirmasis kvadratas. OAM ir tada pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x kv. vienetų 2 = 2 kv. vienetų
5 pavyzdys. Apskaičiuokite figūros plotą, apribotas linijomis:y 2 = x, yx = 1, x = 4
Čia reikia apskaičiuoti kreivinės trapecijos plotą, kurį riboja viršutinė parabolės šaka 2 = x, Ox ašis ir tiesės x = 1 ir x = 4 (žr. pav.)
Pagal (1) formulę, kur f(x) = a = 1 ir b = 4, turime = (= kv. vnt.).
6 pavyzdys . Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos: y = sinx, y = 0, x = 0, x = .
Reikiamą plotą riboja sinusoidės pusbangis ir Ox ašis (žr. pav.).
Mes turime - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 kv. vienetų
7 pavyzdys. Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos: y = - 6x, y = 0 ir x = 4.
Paveikslas yra po Jaučio ašimi (žr. pav.).
Todėl jo plotą randame naudodami formulę (3)
= =
8 pavyzdys. Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja tiesės: y = ir x = 2. Iš taškų sukonstruokite y = kreivę (žr. pav.). Taigi figūros plotą randame naudodami formulę (4)
9 pavyzdys .
X 2 + y 2 = r 2 .
Čia reikia apskaičiuoti plotą, kurį sudaro apskritimas x 2 + y 2 = r 2 , ty apskritimo, kurio spindulys yra r, kurio centras yra ištakoje, plotas. Raskime ketvirtąją šios srities dalį imdami integracijos ribas iš 0
prieš; mes turime: 1 = = [
Vadinasi, 1 =
10 pavyzdys. Apskaičiuokite figūros, apribotos tiesėmis, plotą: y= x 2 ir y = 2x
Šį skaičių riboja parabolė y = x 2 ir tiesė y = 2x (žr. pav.) Susikirtimo taškams nustatyti duotomis eilutėmis išspręskite lygčių sistemą: x 2 – 2x = 0 x = 0 ir x = 2
Naudodami (5) formulę, norėdami rasti plotą, gauname
= }
