figūra, ribojamas pagal tvarkaraštį ištisinė neneigiama funkcija $f(x)$ atkarpoje $$ ir tiesėse $y=0, \ x=a$ ir $x=b$ vadinama kreivine trapecija.
Atitinkama sritis lenkta trapecija apskaičiuojamas pagal formulę:
$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)
Kreivinės trapecijos ploto radimo problemas sąlygiškai suskirstysime į $4$ tipus. Pažvelkime į kiekvieną tipą išsamiau.
I tipas: lenkta trapecija yra aiškiai nurodyta. Tada nedelsdami pritaikykite formulę (*).
Pavyzdžiui, raskite kreivinės trapecijos plotą, kurį riboja funkcijos $y=4-(x-2)^(2)$ grafikas ir linijos $y=0, \ x=1$ ir $x. = 3 USD.
Nubraižykime šią išlenktą trapeciją.
Naudodami formulę (*) randame šios kreivinės trapecijos plotą.
$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\right|_(1)^(3)=$
$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\right)=4 \cdot 2 – \frac (1)(3)\kairė((1)^(3)-(-1)^(3)\dešinė) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$
$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (vnt.$^(2)$).
II tipas: lenkta trapecija nurodoma netiesiogiai.Šiuo atveju tiesės $x=a, \ x=b$ dažniausiai nenurodomos arba nurodytos iš dalies. Tokiu atveju reikia rasti funkcijų $y=f(x)$ ir $y=0$ susikirtimo taškus. Šie taškai bus $a$ ir $b$ taškai.
Pavyzdžiui, raskite figūros plotą, kurį riboja funkcijų $y=1-x^(2)$ ir $y=0$ grafikai.
Raskime susikirtimo taškus. Norėdami tai padaryti, sulyginame dešiniąsias funkcijų puses.
Taigi $a=-1$ ir $b=1$. Nubraižykime šią išlenktą trapeciją.
Raskime šios lenktos trapecijos plotą.
$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \left.\frac(x^(3))(3)\right|_ (-1)^(1)=$
$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\right)=2 – \frac(1)(3) \left(1+1\right) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (vnt.$^(2)$).
III tipas: figūros plotas, apribotas dviejų ištisinių neneigiamų funkcijų susikirtimo.Ši figūra nebus išlenkta trapecija, o tai reiškia, kad negalite apskaičiuoti jos ploto pagal formulę (*). Kaip tai gali būti? Pasirodo, šio paveikslo plotą galima rasti kaip skirtumą tarp kreivių trapecijos plotų, apribotų viršutinės funkcijos ir $y=0$ ($S_(uf)$), ir žemesnė funkcija ir $y=0$ ($S_(lf)$), kur $x=a, \ x=b$ yra šių funkcijų susikirtimo taškų $x$ koordinatės, t.y.
$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)
Skaičiuojant tokias sritis svarbiausia „nepraleisti“ pasirenkant viršutinę ir apatinę funkcijas.
Pavyzdžiui, raskite figūros plotą, kurį riboja funkcijos $y=x^(2)$ ir $y=x+6$.
Raskime šių grafikų susikirtimo taškus:
Pagal Vietos teoremą,
$x_(1)=-2,\ x_(2)=3.$
Tai yra $a=-2,\b=3$. Nubraižykime figūrą:
Taigi, aukščiausia funkcija– $y=x+6$, o apatinis – $y=x^(2)$. Tada randame $S_(uf)$ ir $S_(lf)$, naudodami formulę (*).
$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\kairė.\frac(x^(2))(2)\right|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 .5$ (vnt.$^(2)$).
$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\left.\frac(x^(3))(3)\right|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (vnt.$^(2)$).
Pakeiskime tai, ką radome, į (**) ir gaukime:
$S=32.5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (vnt.$^(2)$).
IV tipas: figūros sritis, ribota funkcija s), kurie neatitinka neneigiamumo sąlygos. Norėdami rasti tokios figūros plotą, turite būti simetriški $Ox$ ašies atžvilgiu ( kitaip tariant, prieš funkcijas įdėkite „minusus“) parodykite plotą ir, naudodami I – III tipuose aprašytus metodus, raskite rodomos srities plotą. Ši sritis bus reikalinga. Pirmiausia gali tekti rasti funkcijų grafikų susikirtimo taškus.
Pavyzdžiui, raskite figūros plotą, kurį riboja funkcijų $y=x^(2)-1$ ir $y=0$ grafikai.
Raskime funkcijų grafikų susikirtimo taškus:
tie. $a=-1$ ir $b=1$. Nubraižykime plotą.
Pavaizduokime sritį simetriškai:
$y=0 \ \Rightarrow \ y=-0=0$
$y=x^(2)-1 \ \Rightrow \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.
Rezultatas yra kreivinė trapecija, kurią riboja funkcijos $y=1-x^(2)$ ir $y=0$ grafikas. Tai yra problema ieškant antrojo tipo išlenktos trapecijos. Jau išsprendėme. Atsakymas buvo toks: $S= 1\frac(1)(3)$ (vienetai $^(2)$). Tai reiškia, kad reikiamos kreivinės trapecijos plotas yra lygus:
$S=1\frac(1)(3)$ (vnt.$^(2)$).
Tema: Ploto skaičiavimas plokščia figūra naudojant apibrėžtąjį integralą
Tikslai: išmokti kreivinės trapecijos ploto apibrėžimą ir formules;
apsvarstykite įvairius kreivinės trapecijos ploto radimo atvejus;
Mokėti apskaičiuoti lenktos trapecijos plotą.
Planas:
Kreivinė trapecija.
Kreivės trapecijos ploto apskaičiavimo formulės.
Kreivinė trapecija yra figūra, kurią riboja ištisinės, neneigiamos funkcijos f(x) grafikas intervale, tiesės atkarpos x=a ir x=b, taip pat x ašies atkarpa tarp taškų a ir b .
Lenktų trapecijų vaizdai:
Dabar pereikime prie galimi variantai figūrų, kurių plotas turi būti skaičiuojamas, vieta koordinačių plokštumoje.
Pirma
bus pats paprasčiausias variantas (pirmas paveikslas), įprastas lenkta trapecija, kaip ir apibrėžime. Čia nereikia nieko išradinėti, tiesiog paimkite integralą aį b nuo funkcijos f(x). Jei rasime integralą, žinosime ir šios trapecijos plotą. 
Į antra
parinktis, mūsų figūrą ribos ne x ašis, o kita funkcija g(x). Todėl norėdami rasti sritį CEFD, pirmiausia turime rasti sritį AEFB(naudojant integralą f(x)), tada raskite sritį ACDB(naudojant integralą g(x)). Ir reikalingas figūros plotas CEFD, bus skirtumas tarp pirmosios ir antrosios kreivosios trapecijos sritys. Kadangi integracijos ribos čia vienodos, visa tai galima parašyti po vienu integralu (žr. formules žemiau paveiksle), viskas priklauso nuo funkcijų sudėtingumo, tokiu atveju integralą rasti bus lengviau. 
Trečia
labai panašus į pirmąjį, bet tik mūsų trapecija dedama, o ne aukščiau x ašis, ir po juo. Todėl čia reikia imti tą patį integralą, tik su minuso ženklu, nes integralo reikšmė bus neigiama, o ploto – teigiama. Jei vietoj funkcijos f(x) imtis funkcijos –f(x), tada jo grafikas bus toks pat, tiesiog simetriškai rodomas x ašies atžvilgiu. 
IR ketvirta parinktis, kai dalis mūsų figūros yra virš x ašies, o dalis žemiau jos. Todėl pirmiausia turime rasti figūros plotą AEFB, kaip ir pirmajame variante, o tada figūros plotą ABCD, kaip ir trečiajame variante, tada juos sulenkite. Dėl to gauname figūros plotą DEFC. Kadangi integracijos ribos čia vienodos, visa tai galima parašyti po vienu integralu (žr. formules žemiau paveiksle), viskas priklauso nuo funkcijų sudėtingumo, tokiu atveju integralą rasti bus lengviau. 
Savitikros klausimai:
Kokia figūra vadinama lenkta trapecija?
Kaip rasti išlenktos trapecijos plotą?
1 pavyzdys . Apskaičiuokite figūros plotą, apribotas linijomis: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3 ir x = 2
Sukonstruokime figūrą (žr. pav.) Nustatome tiesę x + 2y – 4 = 0, naudodami du taškus A(4;0) ir B(0;2). Išreikšdami y per x, gauname y = -0,5x + 2. Naudodami (1) formulę, kur f(x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2, randame
S = = [-0,25 = 11,25 kv. vienetų
2 pavyzdys. Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja tiesės: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 ir y = 0.
Sprendimas. Sukonstruokime figūrą.
Sukonstruokime tiesę x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).
Sukonstruokime tiesę x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).
Išspręsdami lygčių sistemą, raskime tiesių susikirtimo tašką:
x = 2, y = 3; M(2; 3).
Norint apskaičiuoti reikiamą plotą, trikampį AMC padalijame į du trikampius AMN ir NMC, nes kai x keičiasi iš A į N, plotas ribojamas tiesia linija, o kai x keičiasi iš N į C - tiese.
Trikampiui AMN turime: ; y = 0,5x + 2, t.y. f(x) = 0,5x + 2, a = -4, b = 2.
Trikampiui NMC turime: y = - x + 5, ty f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.
Apskaičiavę kiekvieno trikampio plotą ir sudėję rezultatus, gauname:
kv. vienetų
kv. vienetų
9 + 4, 5 = 13,5 kv. vienetų Patikrinkite: = 0,5 AC = 0,5 kv. vienetų
3 pavyzdys. Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.
IN šiuo atveju reikia apskaičiuoti išlenktos trapecijos plotą, kurį riboja parabolė y = x 2 , tiesės x = 2 ir x = 3 ir Ox ašis (žr. pav.) Naudodami formulę (1) randame kreivinės trapecijos plotą
= = 6 kv. vienetų
4 pavyzdys. Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos: y = - x 2 + 4 ir y = 0
Sukonstruokime figūrą. Reikalingas plotas yra tarp parabolės y = - x 2 + 4 ir Jaučio ašis.
Raskime parabolės susikirtimo taškus su Jaučio ašimi. Darant prielaidą, kad y = 0, randame x = Kadangi šis skaičius yra simetriškas Oy ašiai, apskaičiuojame figūros, esančios dešinėje Oy ašies, plotą ir gautą rezultatą padvigubiname: = +4x] kv. vienetų 2 = 2 kv. vienetų
5 pavyzdys. Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą: y 2 = x, yx = 1, x = 4
Čia reikia apskaičiuoti kreivinės trapecijos plotą, kurį riboja viršutinė parabolės šaka 2 = x, ašis Ox ir tiesės x = 1 и x = 4 (žr. pav.)
Pagal (1) formulę, kur f(x) = a = 1 ir b = 4, turime = (= kv. vnt.).
6 pavyzdys . Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos: y = sinx, y = 0, x = 0, x = .
Reikiamą plotą riboja sinusoidės pusbangis ir Ox ašis (žr. pav.).
Mes turime - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 kv. vienetų
7 pavyzdys. Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos: y = - 6x, y = 0 ir x = 4.
Paveikslas yra po Jaučio ašimi (žr. pav.).
Todėl jo plotą randame naudodami formulę (3)
= =
8 pavyzdys. Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja tiesės: y = ir x = 2. Iš taškų sukonstruokite y = kreivę (žr. pav.). Taigi figūros plotą randame naudodami formulę (4)
9 pavyzdys .
X 2 + y 2 = r 2 .
Čia reikia apskaičiuoti plotą, kurį sudaro apskritimas x 2 + y 2 = r 2 , ty apskritimo, kurio spindulys yra r, kurio centras yra ištakoje, plotas. Raskime ketvirtąją šios srities dalį imdami integracijos ribas iš 0
prieš; mes turime: 1 = = [
Vadinasi, 1 =
10 pavyzdys. Apskaičiuokite figūros, apribotos tiesėmis, plotą: y= x 2 ir y = 2x
Šį skaičių riboja parabolė y = x 2 ir tiesė y = 2x (žr. pav.) Susikirtimo taškams nustatyti duotomis eilutėmis išspręskite lygčių sistemą:x 2 – 2x = 0 x = 0 ir x = 2
Naudodami (5) formulę, norėdami rasti plotą, gauname
= = 
[pakeitimas:
] = 
Reiškia, netinkamas integralas suartėja ir jo reikšmė lygi .
