Atvirosios ir uždarosios aibės bei jų savybės. Atviri ir uždari rinkiniai

Savo gerą darbą pateikti žinių bazei lengva. Naudokite žemiau esančią formą

Studentai, magistrantai, jaunieji mokslininkai, kurie naudojasi žinių baze savo studijose ir darbe, bus jums labai dėkingi.

Paskelbta http://www.allbest.ru/

Rusijos Federacijos švietimo ir mokslo ministerija

Federalinė valstybės biudžetinė švietimo įstaiga

aukštasis profesinis išsilavinimas

„Pietų Uralo valstybinis universitetas

(nacionalinis mokslinių tyrimų universitetas)"

Prietaisų inžinerijos fakultetas (KTUR)

Informacinės ir matavimo technologijos katedra

Anotacija tema

"Kas yra atsitiktinis kintamasis?"

disciplinoje „Tikimybių teorija ir matematinė statistika“

Patikrinta:

__________________/ A.P. Lapinas

Užbaigta:

PS-236 grupės mokinys

_______________/Zagoskin Y.S./

Čeliabinskas 2015 m

ĮVADAS

1. ATSITIKTINIS KINTAMASIS

IŠVADA

BIBLIOGRAFINIS SĄRAŠAS

ĮVADAS

Tikimybių teorija yra palyginti jauna, bet jau klasikinė matematikos šaka. Jo, kaip atskiro mokslo, raida įvyko m vidurio XVII a amžiaus, o prasidėjo nuo dviejų pasaulinio garso susirašinėjimo prancūzų matematikai: Blaise'as Pascalis ir Pierre'as de Fermatas. Tačiau užduotys, susijusios su tikimybių skaičiavimu azartinių lošimų, mokslininkai pradėjo domėtis daug anksčiau. Pavyzdžiui, italų matematikas Luca Pacioli dar 1494 m. savo darbe „Summa de arithmetica, geometria,proporcioni et proporcionalita“ svarstė vieną iš tikimybės problemų, bet, deja, priėmė klaidingą sprendimą.

Šiandien tikimybių teorijos ir matematinės statistikos metodai yra neatsiejama beveik bet kurios disciplinos – tiek techninės, tiek humanitarinės – dalis. Atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsniai pasirodė taikytini ne tik matematikai, fizikai, chemijai ir pan., bet ir iš dalies nuspėjamoms disciplinoms, tokioms kaip sociologija, ekonomika, politikos mokslai ir kt.

Šiame darbe susipažinsime su pagrindinėmis tikimybių teorijos ir matematinės statistikos sąvokomis, terminais ir dėsniais bei su pastarosios taikymu praktikoje.

1. ATSITIKTINIS KINTAMASIS

1.1 Apibrėžimas atsitiktinis kintamasis

Atsitiktinis kintamasis yra pamatinė koncepcija tikimybių teorija ir matematinė statistika.

Kiekvienas autorius atsitiktinio dydžio sąvoką formuluoja savaip. E.S. Pavyzdžiui, Wentzelis atsitiktinį kintamąjį apibrėžia kaip reikšmę, kuri dėl eksperimento gali įgyti vienokią ar kitokią reikšmę, ir iš anksto nežinoma, kurią.

Kitaip tariant, atsitiktinis kintamasis yra reikšmė, turinti visą rinkinį priimtinos vertės, bet jis priima tik vieną dalyką, o kurio neįmanoma tiksliai pasakyti iš anksto.

Oficialus matematinis apibrėžimas Atsitiktinis kintamasis skamba taip:

Tegu (Ш, F, P) – tikimybių erdvė, tada funkcija X vadinama atsitiktiniu dydžiu: Ш > R.

Atsitiktinis dydis praktikoje paprastai žymimas didžiosiomis raidėmis, pavyzdžiui: X, Y, Z, tada galimos paties kiekio reikšmės nustatomos mažosiomis raidėmis: x, y, z.

1.2 Atsitiktinių dydžių tipai ir pavyzdžiai

Yra dviejų tipų atsitiktiniai dydžiai: diskretieji ir nuolatiniai.

Diskretūs yra tie atsitiktiniai dydžiai, kurių reikšmių rinkinys yra baigtinis arba fiksuotas. Diskretaus atsitiktinio dydžio pavyzdžiu galima laikyti pataikymų į taikinį skaičių kada tam tikras skaičiusšūvių.

Nuolatinis atsitiktinis kintamasis yra tas, kurio reikšmių rinkinys yra neskaičiuojamas arba begalinis. Kaip ištisinio atsitiktinio dydžio pavyzdį galite paimti apskritimų skaičių vandenyje, atsitrenkus į akmenį, arba atstumą, kurį rodyklė nuskris prieš krisdama ant žemės.

Visi atsitiktiniai dydžiai, be kita ko, turi dar vieną svarbi savybė- leistinų verčių diapazonas, kuris savo ruožtu gali būti ribotas arba neribotas. Taigi, priklausomai nuo leistinų reikšmių skaičiaus, turime ribotus atsitiktinius dydžius, kurių leistinų dydžių skaičius yra baigtinis arba fiksuotas ir neribotas, kurių leistinų verčių skaičius yra begalinis.

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai gali turėti ribotą ir neribotą galimų reikšmių diapazoną, o ištisiniai gali turėti tik neribotą diapazoną.

Praktikoje tikimybių teorijoje ir matematinė statistika, kaip taisyklė, dirba tik su nuolatiniais atsitiktiniais dydžiais.

2. ATSITIKTINIO KINTAMO PASKIRSTYMO DĖSNIAI

2.1 Diskrečiojo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis

Bet koks ryšys tarp leistinų atsitiktinio dydžio verčių ir jų atsiradimo tikimybių vadinamas diskretiškojo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsniu.

Yra du būdai nurodyti platinimo įstatymą:

· Analitiškai, kai pasiskirstymo dėsnis nurodomas atsitiktinių dydžių verčių ir jų tikimybės atitikmenų lentelės forma, vadinama pasiskirstymo serija:

1 lentelė – atsitiktinių dydžių pasiskirstymo eilutės

Čia pirmoje eilutėje yra galimos atsitiktinio dydžio reikšmės, o antroje eilutėje yra jų tikimybės, kurių visų tikimybių suma yra lygi vienetui:

· Grafiškai, kai atsitiktinių reikšmių paskirstymo lentelė priima paskirstymo daugiakampį:

1 paveikslas – atsitiktinių dydžių pasiskirstymo daugiakampis

Kai visų daugiakampio ordinačių suma yra visų leistinų atsitiktinio dydžio reikšmių tikimybė, todėl taip pat lygi vienetui.

Taip pat yra dvinarinis diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis arba, antra, Bernulio pasiskirstymo dėsnis.

Apibrėžimas: diskretinis atsitiktinis kintamasis o paskirstomas pagal dvinarį dėsnį, jei tikimybė, kad įvykis A įvyks tiksliai m kartų n bandymų serijoje pagal Bernulio schemą, yra lygi:

Arba lentelės forma:

2 lentelė – dvinario skirstinio eilutė

Pavyzdys – atrankinė gamybos produkcijos kokybės kontrolė, kurios metu produktų atranka tyrimams vykdoma pagal atsitiktinės kartotinės atrankos schemą, t.y. kai patikrintos prekės grąžinamos į pradinę partiją. Tada nestandartinių gaminių skaičius tarp pasirinktų yra atsitiktinis dydis su dvinario dėsnis tikimybių skirstiniai.

Diskretusis atsitiktinis dydis vadinamas paskirstytu pagal Puasono dėsnį, jei jis turi neribotą skaičiuojamą leistinų verčių rinkinį 0, 1, 2, ..., m, ... Tada atitinkamos tikimybės nustatomos pagal (3) formulę:

M = 0, 1, 2,…; (3)

Reiškinio, paskirstyto pagal Puasono dėsnį, pavyzdys yra seka radioaktyvus skilimas dalelių.

2.2 Ištisinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsniai

atsitiktinių dydžių teorijos tikimybė

Pirmiau aptartos atsitiktinio dydžio skirstymo taisyklės galioja tik santykyje su diskretūs kiekiai, dėl to, kad visi išvardyti dėsniai yra sudaryti tik atsižvelgiant į tai, kad galimų atsitiktinio dydžio reikšmių skaičius yra baigtinis ir griežtai fiksuotas. Štai kodėl, pavyzdžiui, nebus įmanoma paskirstyti nuolatinio atsitiktinio dydžio pagal Puasono arba Bernulio dėsnį, nes neįmanoma išvardyti tam tikros vertės leistinų verčių skaičiaus - jis yra begalinis.

Yra šie dėsniai, apibūdinantys nuolatinių atsitiktinių dydžių pasiskirstymą:

Apsvarstykite atsitiktinio dydžio X reikšmes taip, kad X<х. Вероятность события X<х зависит от x, т.е. является функцией x. Эта функция и называется интегральной функцией распределения и обозначается через F(x):

Lygybė (4) parašyta:

Tikimybę, kad atsitiktinė reikšmė X yra į kairę nuo reikšmės x, nustatoma skirstymo funkcija F(x).

2 paveikslas – grafinis r.v pasiskirstymo funkcijos vaizdas.

Verta paminėti, kad pasiskirstymo funkcijos pavidalu galima apibūdinti tiek nuolatinius, tiek diskretuosius atsitiktinius dydžius – tai universali charakteristika.

Ištisiniams atsitiktiniams dydžiams praktikoje kartu su pasiskirstymo funkcija F(x) taip pat įprasta naudoti kitą pasiskirstymo dėsnį - atsitiktinio dydžio tikimybių pasiskirstymo tankį:

Lygybė (5) – atsitiktinio dydžio diferencinio skirstinio dėsnis, išreiškiantis skirstinio funkcijos F(x) nuolydį.

3 paveikslas – r.v diferencinio pasiskirstymo dėsnio grafinis vaizdas.

Atkreipkite dėmesį, kad diferencialinis atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsnis nėra universalus – jis taikomas tik nuolatiniams atsitiktiniams dydžiams.

Vienas iš praktikoje dažnai naudojamų dėsnių yra normalusis skirstymo dėsnis – Gauso pasiskirstymo dėsnis. Įstatymas apibūdina normaliai paskirstyto atsitiktinio dydžio X tikimybės tankį ir turi tokią formą:

Kur a ir y pasiskirstymo parametrai turi šias reikšmes:

Pasiskirstymo kreivė (4a pav.), arba Gauso kreivė, gaunama simetriškai taško x = a – maksimalaus taško atžvilgiu. Mažėjant y reikšmei, didžiausio taško ordinatė didėja be galo, o kreivė proporcingai skiriasi išilgai abscisių ašies, išlaikant grafiko plotą pastovų, lygų vienetui (4b pav.).

4 pav. Pasiskirstymo kreivės:

4a – Gauso kreivė,

4b - Gauso kreivės elgsena, kai keičiasi parametras y;

Praktikoje normalusis skirstinys vaidina reikšmingą vaidmenį daugelyje žinių sričių, tačiau fizikoje jam skiriamas ypatingas dėmesys. Fizinis dydis paklūsta Gauso dėsniui, kai jį veikia daug atsitiktinių trikdžių, o tai yra itin dažna situacija, dėl kurios normalusis skirstinys dažniausiai randamas gamtoje, iš čia ir kilęs jo pavadinimas.

Nuolatinis atsitiktinis dydis vadinamas tolygiai paskirstytu intervale (a, b), jei visos galimos jo reikšmės priklauso šiam intervalui, o tikimybių pasiskirstymo tankis yra pastovus - nuolatinio atsitiktinio dydžio vienodo pasiskirstymo dėsnis, kurio forma yra :

Atsitiktinio dydžio X, tolygiai paskirstyto intervale (a, b) (5 pav.), tikimybė patekti į bet kurį intervalą (x1, x2), esantį intervale (a, b) yra lygi:

5 pav. Vienodo pasiskirstymo tankio grafikas

Kaip tolygiai paskirstytų dydžių pavyzdį galime paimti apvalinimo klaidas. Taigi, jei visos tam tikros funkcijos lentelės reikšmės yra suapvalintos iki to paties skaitmens, tada atsitiktinai pasirinkę lentelės reikšmę, manome, kad pasirinkto skaičiaus apvalinimo paklaida yra atsitiktinis dydis, tolygiai paskirstytas intervale kur.

Ištisinis atsitiktinis dydis X vadinamas eksponentiniu pasiskirstymu, jei jo pasiskirstymo tankis yra toks:

Kaip pavyzdį paimkime kompiuterinės sistemos veikimo be gedimų trukmę T, kur T yra atsitiktinis dydis, turintis eksponentinį pasiskirstymą su parametru l, kurio fizinė reikšmė yra vidutinis gedimų skaičius per laiko vienetą, neskaičiuojant sistemos prastovos remontui.

6 pav. – Eksponentinio pasiskirstymo tankio grafikas

IŠVADA

Tikimybių teorijos ir matematinės statistikos metodai, įrankiai ir dėsniai visuose disciplinos formavimosi etapuose buvo aktualūs, išlikę iki šių dienų. Pagrindinis metodų principas, leidžiantis paliesti tokį didžiulį skaičių pramonės šakų ir žinių sričių, yra universalumas. Jie gali būti lengvai pritaikomi bet kurioje disciplinoje, o tuo pačiu nepraranda savo galios ir išlieka sąžiningi.

Tačiau niekada anksčiau tikimybių teorija nebuvo tokia paklausi kaip šiandien. Tai visų pirma lemia neįtikėtini kompiuterinių technologijų vystymosi ir augimo tempai. Kiekvienais metais tai darosi vis sudėtingesnė, didėja našumas, didėja operacijų, atliekamų per sekundę, skaičius, ir visa tai vyksta ne be matematinės statistikos dalyvavimo, kuri savo ruožtu padeda optimizuoti kompiuterinių sistemų ir kompleksų veikimą, padidina skaičiavimų tikslumą ir atlieka nuspėjamąją funkciją.

Šis darbas iš dalies padeda suprasti disciplinos pagrindus. Pristato pagrindines sąvokas, tokias kaip diskretieji ir nuolatiniai atsitiktiniai dydžiai, ir paaiškina pastarųjų skirtumą. Supažindina su jų pasiskirstymo dėsniais, toliau taikant visas įgytas žinias praktikoje.

BIBLIOGRAFINIS SĄRAŠAS

1. Ventzel, E.S. Tikimybių teorija / E.S. Ventzel - M.: Nauka, 1969 m.

2. Smirnovas, N.V. Tikimybių teorijos ir matematinės statistikos kursas techninėms reikmėms./ N.V. Smirnovas, I.V. Duninas-Barkovskis - M.: „Mokslas“, 1969 m.

3. Pustylnikas, E.I. Statistiniai stebėjimų analizės ir apdorojimo metodai: vadovėlis / E.I. Leonūras. - M.: „Mokslas“, 1968 m.

4. Johnson, N. Mokslo ir technologijų statistika ir planavimas / N. Johnson, F. Lyon - M.: „Mir“, 1969 m.

5. http://www.wikipedia.org/

Anotacija

Zagoskin Y.S. "Kas yra atsitiktinis kintamasis?"

Čeliabinskas: Yuurgu

Bibliografija Sąrašas – 5 vardai.

Santraukos tikslas: Susipažinti su pagrindiniais tikimybių teorijos ir matematinės statistikos terminais.

Abstraktūs tikslai: Suprasti atsitiktinio dydžio sąvoką.

Nagrinėjama atsitiktinio dydžio samprata, nustatoma atsitiktinių dydžių klasifikacija, nagrinėjami jų pasiskirstymo dėsniai, dėsnių ir metodų taikymo praktikoje pavyzdžiai, disciplinos perspektyvos.

Paskelbta Allbest.ru

Panašūs dokumentai

Tikimybė, kad atsitiktinis dydis X pateks į tam tikrą intervalą. Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcijos braižymas. Tikimybės, kad atsitiktinai paimtas produktas atitinka standartą, nustatymas. Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis.

testas, pridėtas 2013-01-24


Nuolatinis atsitiktinis dydis ir skirstinio funkcija. Tolydinio atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis. Standartinis nuokrypis. Ištisinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo kreivė. Vienpusės dispersinės analizės samprata.

testas, pridėtas 2012-03-01


Atsitiktinių paklaidų aprašymas tikimybių teorijos metodais. Nuolatiniai atsitiktiniai dydžiai. Atsitiktinių dydžių skaitinės charakteristikos. Normalaus paskirstymo dėsnis. Atsitiktinio dydžio funkcijos samprata. Centrinės ribos teorema. Didelių skaičių dėsnis.

santrauka, pridėta 2015-08-19


Atsitiktiniai kintamieji. Diskretinio atsitiktinio dydžio funkcijos ir tikimybių pasiskirstymo tankis. Vienetiniai atsitiktiniai dydžiai. Atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis. Čebyševo nelygybė. Momentai, kumuliantai ir charakteristika.

santrauka, pridėta 2007-12-03


Matematinės statistikos problemos. Atsitiktinio dydžio pasiskirstymas remiantis eksperimentiniais duomenimis. Empirinė pasiskirstymo funkcija. Statistiniai pasiskirstymo parametrų įverčiai. Atsitiktinio dydžio normaliojo skirstinio dėsnis, hipotezių tikrinimas.

kursinis darbas, pridėtas 2009-10-13


Atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis. Matematinės lūkesčių savybės, atsitiktinio dydžio sklaida, jų sumos. Atsitiktinių dydžių funkcija, jos matematinis lūkestis. Koreliacijos koeficientas, atsitiktinių dydžių sekos konvergencijos tipai.

paskaita, pridėta 2010-12-17


Diskrečios dviejų atsitiktinių dydžių sistemos. Į sistemą įtrauktų paskirstymo dėsnių sudėtis. Atsitiktinio dydžio patekimo į intervalą tikimybės nustatymas; funkcijos skaitinės charakteristikos; atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis ir dispersija.

testas, pridėtas 2013-11-22


Ištisinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankis. Tolygaus ir normaliojo pasiskirstymo požymių charakteristikos. Tikimybė, kad atsitiktinis dydis pateks į intervalą. Paskirstymo funkcijos savybės. Bendroji regresinės analizės samprata.

testas, pridėtas 2013-04-26


Atsitiktinio dydžio matematinių lūkesčių, dispersijos, pasiskirstymo funkcijos ir standartinio nuokrypio skaičiavimas. Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis. Klasikinis įvykio tikimybės apibrėžimas. Pasiskirstymo tankio radimas.

testas, pridėtas 2015-03-25


Ištisinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija. Matematinis nenutrūkstamo atsitiktinio dydžio lūkestis, sistemos tikimybių pasiskirstymo tankis. Kovariacija. Koreliacijos koeficientas.

Atsitiktinio dydžio samprata

Atsitiktinis yra dydis, kuris dėl testavimo įgauna vienokią ar kitokią (bet tik vieną) galimą reikšmę, iš anksto nežinomą, kintančią nuo testo iki testo ir priklausomai nuo atsitiktinių aplinkybių. Skirtingai nuo atsitiktinio įvykio, kuris yra atsitiktinio testo rezultato kokybinė charakteristika, atsitiktinis kintamasis kiekybiškai apibūdina testo rezultatą. Atsitiktinio dydžio pavyzdžiai yra ruošinio dydis, bet kurio gaminio ar aplinkos parametro matavimo rezultato paklaida. Tarp praktikoje sutinkamų atsitiktinių dydžių galima išskirti du pagrindinius tipus: diskretuosius ir tęstinius.

Diskretus yra atsitiktinis kintamasis, kuris turi baigtinę arba begalinę skaičiuojamą reikšmių rinkinį. Pavyzdžiui: pataikymas trimis šūviais; nekokybiškų gaminių skaičius n vienetų partijoje; per dieną telefono stotyje gautų skambučių skaičius; įrenginio elementų gedimų skaičius per tam tikrą laikotarpį, kai tikrinamas jo patikimumas; šūvių skaičius iki pirmojo pataikymo į taikinį ir kt.

Nuolatinis yra atsitiktinis kintamasis, kuris gali gauti bet kokią reikšmę iš kokio nors baigtinio ar begalinio intervalo. Akivaizdu, kad nuolatinio atsitiktinio dydžio galimų reikšmių skaičius yra begalinis. Pavyzdžiui: klaida matuojant radaro atstumą; mikroschemos veikimo laikas; dalių gamybos klaida; druskos koncentracija jūros vandenyje ir kt.

Atsitiktiniai dydžiai paprastai žymimi raidėmis X,Y ir t.t., o galimos jų reikšmės – x,y ir t.t. Atsitiktiniam dydžiui apibrėžti neužtenka išvardyti visas galimas jo reikšmes. Taip pat būtina žinoti, kaip dažnai tam tikros jo reikšmės gali pasirodyti atlikus bandymus tomis pačiomis sąlygomis, t.y., būtina nustatyti jų atsiradimo tikimybę. Visų galimų atsitiktinio dydžio reikšmių ir jas atitinkančių tikimybių rinkinys sudaro atsitiktinio dydžio pasiskirstymą.

Atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsniai

Paskirstymo dėsnis Atsitiktinis dydis yra galimų atsitiktinio dydžio reikšmių ir jų atitinkamų tikimybių atitikimas. Sakoma, kad atsitiktinis kintamasis paklūsta tam tikram pasiskirstymo dėsniui. Vadinami du atsitiktiniai dydžiai nepriklausomas, jei vieno iš jų pasiskirstymo dėsnis nepriklauso nuo to, kokias galimas vertes įgavo kitas dydis. Priešingu atveju vadinami atsitiktiniais dydžiais priklausomas. Vadinami keli atsitiktiniai dydžiai tarpusavyje nepriklausomi, jei bet kurio jų skaičiaus pasiskirstymo dėsniai nepriklauso nuo to, kokias galimas vertes turėjo kiti dydžiai.

Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį galima nurodyti lentelės, pasiskirstymo funkcijos arba pasiskirstymo tankio pavidalu. Lentelė, kurioje yra galimos atsitiktinio dydžio reikšmės ir atitinkamos tikimybės, yra paprasčiausia atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnio nustatymo forma.

\begin(masyvas)(|c|c|c|c|c|c|c|)\hline(X)&x_1&x_2&x_3&\cdots&x_(n-1)&x_n\\\hline(P)&p_1&p_2&p_3&\cdots&p_(n-1) )&p_n\\\hline\end(masyvas)

Lentelinis skirstinio dėsnio apibrėžimas gali būti naudojamas tik diskrečiam atsitiktiniam dydžiui, turinčiam baigtinį galimų reikšmių skaičių. Atsitiktinių dydžių dėsnio patikslinimo lentelės forma dar vadinama skirstinio seka.

Aiškumo dėlei platinimo serija pateikiama grafiškai. Grafiškai atvaizduojant stačiakampėje koordinačių sistemoje, visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės brėžiamos išilgai abscisių ašies, o atitinkamos tikimybės – išilgai ordinačių ašies. Vadinami taškai (x_i,p_i), sujungti tiesių atkarpomis paskirstymo daugiakampis(5 pav.). Reikėtų prisiminti, kad taškų (x_i,p_i) sujungimas atliekamas tik aiškumo sumetimais, nes intervaluose tarp x_1 ir x_2, x_2 ir x_3 ir tt nėra reikšmių, kurias atsitiktinis dydis X gali gauti , todėl jo atsiradimo tikimybė šiuose intervaluose yra lygi nuliui.

Pasiskirstymo daugiakampis, kaip ir skirstinio serija, yra viena iš diskrečiųjų atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsnio patikslinimo formų. Jie gali turėti skirtingas formas, tačiau jie visi turi vieną bendrą savybę: pasiskirstymo daugiakampio viršūnių ordinačių suma, kuri yra visų galimų atsitiktinio dydžio dydžių tikimybių suma, visada yra lygi vienetui. . Ši savybė išplaukia iš to, kad visos galimos atsitiktinio dydžio X reikšmės sudaro visą nesuderinamų įvykių grupę, kurios tikimybių suma lygi vienetui.

Tikimybių skirstinio funkcija ir jos savybės

Paskirstymo funkcija yra pati bendriausia paskirstymo dėsnio patikslinimo forma. Jis naudojamas tiek diskretiesiems, tiek nuolatiniams atsitiktiniams dydžiams nurodyti. Paprastai jis žymimas F(x) . Paskirstymo funkcija nustato tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis X įgis mažesnes reikšmes nei fiksuotas realusis skaičius x, t.y. F(x)=P\(X kumuliacinio pasiskirstymo funkcija.

Geometrinis skirstymo funkcijos aiškinimas yra labai paprastas. Jeigu atsitiktinis dydis laikomas atsitiktiniu Ox ašies tašku X (6 pav.), kuris bandymo rezultate gali užimti vieną ar kitą ašies padėtį, tai pasiskirstymo funkcija F(x) yra tikimybė, kad atsitiktinis taškas X dėl bandymo nukris į kairiuosius taškus x.

Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui X, kuris gali turėti reikšmes, pasiskirstymo funkcija turi formą

F(x)=\sum\limits_(x_i
kur nelygybė x_i

Ištisinis atsitiktinis dydis turi ištisinio skirstinio funkciją, šios funkcijos grafikas turi lygiosios kreivės formą (8 pav.).

Panagrinėkime bendrąsias paskirstymo funkcijų savybes.

Savybė 1. Paskirstymo funkcija yra neneigiama, funkcija tarp nulio ir vieneto:

0\leqslant(F(x))\leqslant1

Šios savybės pagrįstumas išplaukia iš to, kad pasiskirstymo funkcija F(x) apibrėžiama kaip atsitiktinio įvykio tikimybė, susidedanti iš to, kad X

Savybė 2. Tikimybė, kad atsitiktinis dydis pateks į intervalą [\alpha;\beta), yra lygi skirtumui tarp skirstinio funkcijos reikšmių šio intervalo galuose, t.y.

P\(\alpha\leqslant(X)<\beta\}=F(\beta)-F(\alpha)

Iš to išplaukia, kad bet kurios individualios nuolatinio atsitiktinio dydžio reikšmės tikimybė yra lygi nuliui.

Savybė 3. Atsitiktinio dydžio skirstinio funkcija yra nemažėjanti funkcija, t.y. F(\beta)\geqslant(F(\alpha)).

Savybė 4. Esant minus begalybei pasiskirstymo funkcija lygi nuliui, o pliusinėje begalybėje lygi vienetui, t.y. \lim_(x\to-\infty)F(x)=0 Ir \lim_(x\to+\infty)F(x)=1.

Pavyzdys 1. Ištisinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija pateikiama išraiška

F(x)=\begin(cases)0,&x\leqslant1\\a(x-1)^2,&1 0\end(atvejai).

Raskite koeficientą a ir nubrėžkite F(x) . Nustatykite tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis X atlikus eksperimentą įgis intervalo reikšmę.

Sprendimas. Kadangi nuolatinio atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo funkcija yra tolydi, tai esant x=3 gauname a(3-1)^2=1. Taigi a=\frac(1)(4) . Funkcijos F(x) grafikas parodytas pav. 9.

Remdamiesi antrąja paskirstymo funkcijos savybe, turime

P\(1\leqslant(X)<2\}=F(2)-F(1)=\frac{1}{4}.

Tikimybių pasiskirstymo tankis ir jo savybės

Ištisinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija yra jo tikimybinė charakteristika. Tačiau jis turi trūkumą, kad iš jo sunku spręsti apie atsitiktinio dydžio pasiskirstymą mažoje vieno ar kito skaitinės ašies taško kaimynystėje. Aiškesnę idėją apie nuolatinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo pobūdį suteikia funkcija, vadinama tikimybės pasiskirstymo tankiu arba atsitiktinio dydžio diferencinio pasiskirstymo funkcija.

Pasiskirstymo tankis f(x) lygus skirstinio funkcijos F(x) išvestinei, t.y.

F(x)=F"(x).

Pasiskirstymo tankio f(x) reikšmė yra ta, kad jis parodo, kaip dažnai atsitiktinis dydis X atsiranda kokioje nors taško x kaimynystėje kartojant eksperimentus. Kreivė, vaizduojanti atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankį f(x), vadinama pasiskirstymo kreivė.

Pasvarstykime pasiskirstymo tankio savybės.

Savybė 1. Pasiskirstymo tankis yra neneigiamas, t.y.

F(x)\geqslant0.

Savybė 2. Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija lygi tankio integralui intervale nuo -\infty iki x, t.y.

F(x)=\int\limits_(-\infty)^(x)f(x)\,dx.

Savybė 3. Tikimybė, kad ištisinis atsitiktinis dydis X pateks į atkarpą (\alpha;\beta), lygi šios atkarpos perimtam pasiskirstymo tankio integralui, t.y.

P\(\alpha\leqslant(X)\leqslant\beta\)=\int\limits_(\alpha)^(\beta)f(x)\,dx.

Savybė 4. Integralas virš begalinių pasiskirstymo tankio ribų yra lygus vienybei:

\int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x)\,dx=1.

2 pavyzdys. Atsitiktiniam kintamajam X taikomas tankio pasiskirstymo dėsnis

F(x)=\begin(cases)0,&x<0\\a\sin{x},&0\pi\end(atvejai)

Nustatyti koeficientą a; sudaryti pasiskirstymo tankio grafiką; rasti tikimybę atsitiktiniam dydžiui patekti į sritį nuo 0 iki \frac(\pi)(2), nustatyti skirstinio funkciją ir sudaryti jos grafiką.

\int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x)\,dx=a\int\limits_(0)^(\pi)\sin(x)\,dx=\Bigl.(- a\cos(x))\Bigl|_(0)^(\pi)=2a.

Atsižvelgdami į pasiskirstymo tankio 4 savybę, randame a=\frac(1)(2) . Todėl pasiskirstymo tankis gali būti išreikštas taip:

F(x)=\begin(cases)0,&x<0\\\dfrac{1}{2}\sin{x},&0\pi\end(atvejai).

Pasiskirstymo tankio grafikas pav. 10. Pagal 3 savybę mes turime

P\!\left\(0

Norėdami nustatyti paskirstymo funkciją, naudojame 2 savybę:

F(x)=\frac(1)(2)\int\limits_(0)^(x)\sin(x)\,dx=\Bigl.(\-\frac(1)(2)\cos( x))\Bigl|_(0)^(x)=\frac(1)(2)-\frac(1)(2)\cos(x).

Taip mes turime

F(x)=\begin(cases)0,&x<0\\\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cos{x},&0\pi\end(atvejai).

Pasiskirstymo funkcijos grafikas parodytas fig. 11

Atsitiktinių dydžių skaitinės charakteristikos

Pasiskirstymo dėsnis visiškai apibūdina atsitiktinį kintamąjį tikimybiniu požiūriu. Tačiau sprendžiant daugybę praktinių problemų, nereikia žinoti visų galimų atsitiktinio dydžio reikšmių ir atitinkamų tikimybių, bet patogiau naudoti kai kuriuos kiekybinius rodiklius. Tokie rodikliai vadinami skaitiniais atsitiktinio dydžio charakteristikos. Pagrindiniai yra matematinis lūkestis, sklaida, įvairios eilės momentai, režimas ir mediana.

Matematinis lūkestis kartais vadinamas vidutine atsitiktinio dydžio verte. Apsvarstykite diskrečiąjį atsitiktinį kintamąjį X, paimtą reikšmes x_1,x_2,\ldots,x_n atitinkamai su tikimybėmis p_1,p_2,\ldots,p_n Nustatykime atsitiktinio dydžio reikšmių aritmetinį vidurkį, įvertintą pagal jų atsiradimo tikimybes. Taigi apskaičiuojame atsitiktinio dydžio vidutinę reikšmę arba jo matematinę lūkesčius M(X) :

M(X)=\frac(x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n)(p_1+p_2+\cdots+p_n)=\frac(\sum\limits_(i=1)^(n)x_ip_i)(\sum\limits_( i=1)^(n)p_i).

Atsižvelgiant į tai \sum\limits_(i=1)^(n)p_i=1 gauname

M(X)=\sum\limits_(i=1)^(n)x_ip_i).~~~~~~~(4.1)

Taigi, matematinis lūkestis Diskretusis atsitiktinis dydis yra visų jo galimų reikšmių ir atitinkamų tikimybių sandaugų suma.

Ištisiniam atsitiktiniam dydžiui matematinis lūkestis

M(X)=\int\limits_(-\infty)^(\infty)xf(x)\,dx.

Ištisinio atsitiktinio dydžio lūkestis X, kurio galimos reikšmės priklauso segmentui,

M(X)=\int\limits_(a)^(b)xf(x)\,dx.~~~~~~~(4.2)

Naudojant tikimybių skirstinio funkciją F(x), atsitiktinio dydžio matematinį lūkestį galima išreikšti taip:

M(X)=\int\limits_(-\infty)^(\infty)x\,d(F(x)).

Matematinės lūkesčių savybės

Savybė 1. Dviejų atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sumai:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Savybė 2. Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai:

M(XY)=M(X)M(Y).

Savybė 3. Matematinis pastovios reikšmės lūkestis yra lygus pačiai konstantai:

M(c)=c.

Savybė 4. Atsitiktinio dydžio pastovųjį daugiklį galima paimti iš matematinio lūkesčio ženklo:

M(cX)=cM(X).

Savybė 5. Atsitiktinio dydžio nuokrypio nuo jo matematinio lūkesčio matematinis lūkestis yra lygus nuliui:

M(X-M(X))=0.

3 pavyzdys. Raskite sugedusių gaminių skaičiaus matematinį lūkestį penkių gaminių imtyje, jei atsitiktinis dydis X (produktų su trūkumais skaičius) pateikiamas pasiskirstymo eilute.

\begin(masyvas)(|c|c|c|c|c|c|c|)\hline(X)&0&1&2&3&4&5\\\hline(P)&0,\!2373&0,\!3955&0,\!2637&0,\ !0879&0,\!0146&0,\!0010\\\hline\end(masyvas)

Sprendimas. Naudodami (4.1) formulę randame

M(X)=0\cdot0,\!2373+1\cdot0,\!3955+2\cdot0,\!2637+3\cdot0,\!0879+4\cdot0,\!0146+5\cdot0,\ !0010 =1,\!25.

Diskretaus atsitiktinio dydžio M_0 režimas vadinama labiausiai tikėtina jo vertė.

Nuolatinio atsitiktinio dydžio M_0 režimas vadinama jo reikšmė, kuri atitinka didžiausią pasiskirstymo tankio reikšmę. Geometriškai režimas interpretuojamas kaip globalinio maksimalaus pasiskirstymo kreivės taško abscisė (12 pav.).

Atsitiktinio dydžio mediana M_e jo vertė vadinama, kuriai lygybė yra teisinga

P\(X M_e\).

Geometriniu požiūriu mediana yra taško, kuriame figūros plotas, apribotas tikimybių pasiskirstymo kreivės ir abscisių ašies, abscisė yra padalinta per pusę (12 pav.). Kadangi visas plotas, kurį riboja pasiskirstymo kreivė ir x ašis, yra lygus vienetui, pasiskirstymo funkcija taške, atitinkančiame medianą, lygi 0,5, t.y.

F(M_e)=P\(X

Naudojant dispersiją ir standartinį nuokrypį, galima spręsti apie atsitiktinio dydžio sklaidą pagal matematinį lūkestį. Kaip atsitiktinio dydžio sklaidos matas naudojamas atsitiktinio dydžio kvadratinio nuokrypio nuo jo matematinio lūkesčio matematinis lūkestis, kuris vadinamas atsitiktinio dydžio dispersija X ir žymi D[X]:

D[X]=M((X-M(X))^2).

Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui dispersija yra lygi atsitiktinio dydžio reikšmių nuokrypių nuo jo matematinių lūkesčių kvadratų sandaugų ir atitinkamų tikimybių sumai:

D[X]=\suma\ribos_(i=1)^(n)(x_i-M(X))^2p_i.

Ištisiniam atsitiktiniam dydžiui, kurio pasiskirstymo dėsnį nurodo tikimybių pasiskirstymo tankis f(x), dispersija

D[X]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)(x-M(X))^2f(x)\,dx.

Dispersijos matmuo yra lygus atsitiktinio dydžio matmenų kvadratui, todėl negali būti interpretuojamas geometriškai. Atsitiktinio dydžio standartinis nuokrypis, kuris apskaičiuojamas pagal formulę, šių trūkumų neturi

\sigma=\sqrt(D[X]).

Atsitiktinių dydžių sklaidos savybės

Savybė 1. Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos dispersija yra lygi šių kintamųjų dispersijų sumai:

D=D[X]+D[Y].

Savybė 2. Atsitiktinio dydžio dispersija yra lygi skirtumui tarp atsitiktinio dydžio X kvadrato matematinio lūkesčio ir jo matematinio lūkesčio kvadrato:

D[X]=M(X^2)-(M(X))^2.~~~~~~~~(4,3).

3 savybė. Pastovios reikšmės dispersija lygi nuliui:

D[c]=0.

Savybė 4. Atsitiktinio dydžio pastovųjį daugiklį galima išimti iš dispersijos ženklo, pirmiausia jį padalijus kvadratu:

D=c^2D[X].

Savybė 5. Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių X ir Y sandaugos dispersija nustatoma pagal formulę

D=D[X]D[Y]+(M(X))^2D[Y]+(M(X))^2D[X].

4 pavyzdys. Apskaičiuokite nekokybiškų gaminių skaičiaus dispersiją 3 pavyzdžio paskirstymui.

Sprendimas. Pagal dispersijos apibrėžimą

Atsitiktinio dydžio pagrindinių skaitmeninių charakteristikų apibendrinimas yra atsitiktinio dydžio momentų samprata.

Pradinis q-osios eilės momentas atsitiktinis kintamasis yra matematinė reikšmės X^q tikėtis:

Pirmosios eilės pradinis momentas reiškia matematinį lūkestį, o centrinis antrosios eilės momentas – atsitiktinio dydžio dispersiją.

Trečiosios eilės normalizuotas centrinis momentas apibūdina skirstinio iškrypimą arba asimetriją ( asimetrijos koeficientas):

A_s=\frac(\mu_(()_3))(\sigma^3).

Normalizuotas ketvirtos eilės centrinis momentas yra pasiskirstymo smailumo ar plokštumo charakteristika ( perteklius):

E=\frac(\mu_(()_4))(\sigma^4)-3.

5 pavyzdys. Atsitiktinis kintamasis X nurodomas tikimybių pasiskirstymo tankiu

F(x)=\begin(cases)0,&x<0;\\ax^2,&02.\end(atvejai).

Raskite koeficientą a, matematinį lūkestį, sklaidą, pasvirumą ir kurtozę.

Sprendimas. Pasiskirstymo kreivės ribojamas plotas yra skaitiniu būdu lygus

\int\limits_(0)^(2)f(x)\,dx=a\int\limits_(0)^(2)x^2\,dx=\left.(a\,\frac(x^ 3)(3))\right|_(0)^(2)=\frac(8)(3)\,a.

Atsižvelgiant į tai, kad ši sritis turėtų būti lygi vienetui, randame a=\frac(3)(8) . Naudodami (4.2) formulę randame matematinį lūkestį:

M(X)=\int\limits_(0)^(2)xf(x)\,dx=\frac(3)(8)\int\limits_(0)^(2)x^3\,dx= \left.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^4)(4))\right|_(0)^(2)=1,\!5.

Dispersiją nustatykime pagal (4.3) formulę. Norėdami tai padaryti, pirmiausia randame matematinį atsitiktinio dydžio kvadrato lūkestį:

M(X^2)=\int\limits_(0)^(2)x^2f(x)\,dx=\frac(3)(8)\int\limits_(0)^(2)x^4 \,dx=\left.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^5)(5))\right|_(0)^(2)=2,\!4.

Taigi,

\begin(lygiuotas)D(X)&=M(X^2)-(M(X))^2=2,\!4-(1,\!5)^2=0,\!15;\ \ \sigma(X)&=\sqrt(D(X))=\sqrt(0,\!15)\approx0,\!3873.\end(sulygiuotas)

Naudodami pradinius momentus apskaičiuojame trečios ir ketvirtos eilės centrinius momentus:

\begin(lygiuotas)\nu_1&=M(X)=1,\!5;\quad\nu_2=M(X^2)=2,\!4.\\ \nu_3&=M(X^3)=\ int\limits_0^2(x^3f(x)\,dx)=\frac(3)(8)\int\limits_0^2(x^5\,dx)=\left.(\frac(3)( 8)\cdot\frac(x^6)(6))\right|_0^2=4;\\ \nu_4&=M(X^4)=\int\limits_0^2(x^4f(x)\ ,dx)=\frac(3)(8)\int\limits_0^2(x^6\,dx)=\left.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^7)(7 ))\right|_0^2\approx6,\!8571;\\ \mu_3&=\nu_3-3\nu_1\nu_2+2\nu_1^3=4-3\cdot1,\!5\cdot2,\!4 +2\cdot(1,\!5)^3=-0,\!05.\\ \mu_4&=\nu_4-4\nu_1\nu_3+6\nu_1^2\nu_2-3\nu_1^4=\ \&=6,\!8571-4\cdot1,\!5\cdot4+6\cdot(1,\!5)^2\cdot2,\!4-3\cdot(1,\!5)^4 =0,\!0696.\\ A_s&=\frac(\mu_3)(\sigma^3)=-\frac(0,\!05)((0,\!3873)^3)=-0,\ !86.\\ E&=\frac(\mu_4)(\sigma^4)-3=\frac(0,\!0696)((0,\!3873)^4)-3=-0,\! 093.\pabaiga (sulygiuota)

N nepriklausomų atsitiktinių dydžių aritmetinio vidurkio skaitinės charakteristikos

Leiskite x_1,x_2,\ldots,x_n- atsitiktinio dydžio X reikšmės, gautos atliekant n nepriklausomų testų. Atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis yra M(X) , o jo dispersija D[X] . Šios reikšmės gali būti laikomos nepriklausomais atsitiktiniais dydžiais X_1,X_2,\ltaškai,X_n su tais pačiais matematiniais lūkesčiais ir dispersijomis:

M(X_i)=M(X); \quad D=D[X],~~i=1,2,\ldots,n.

Šių atsitiktinių dydžių aritmetinis vidurkis

\overline(X)=\sum\limits_(i=1)^(n)\frac(X_i)(n).

Naudodami matematinio lūkesčio ir atsitiktinio dydžio sklaidos savybes, galime parašyti:

\begin(lygiuotas)M(\overline(X))&=M\!\left(\frac(1)(n)\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right)=\frac( 1)(n)\sum\limits_(i=1)^(n)M(X_i)=M(X).~~~~~~~(4.4)\\ D[\overline(X)]&= D\!\left[\frac(1)(n)\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right]=\frac(1)(n^2)\sum\limits_(i=1) )^(n)D=\frac(D[X])(n).~~~~~~~(4.5)\pabaiga (sulygiuota)

Viena iš svarbiausių pagrindinių tikimybių teorijos sąvokų yra atsitiktinio dydžio sąvoka.

Atsitiktinis dydis – tai dydis, kuris eksperimento rezultatu gali įgyti vienokią ar kitokią reikšmę, o iš anksto nežinia kurią.

Atsitiktinių kintamųjų pavyzdžiai:

1) smūgių trimis šūviais skaičius;

2) telefono stotyje gautų skambučių skaičius per dieną;

3) pataikymas 10 metimų.

Visuose trijuose šiuose pavyzdžiuose atsitiktiniai dydžiai gali įgyti atskiras, izoliuotas reikšmes, kurias galima surašyti iš anksto.

Taigi, 1 pavyzdyje šios reikšmės yra:

2 pavyzdyje):

3 pavyzdyje)

0; 0,1; 0,2; …; 1,0.

Tokie atsitiktiniai dydžiai, kurie turi tik atskiras reikšmes, kurias galima suskaičiuoti iš anksto, vadinami nenutrūkstamais arba diskrečiais atsitiktiniais dydžiais.

Yra ir kitų tipų atsitiktinių dydžių, pavyzdžiui:

1) smūgio taško abscisė šaudant;

2) paklaida sveriant kūną ant analitinių svarstyklių;

3) orlaivio greitis tuo metu, kai jis pasiekia nurodytą aukštį;

4) atsitiktinai paimto kviečių grūdo svoris.

Galimos tokių atsitiktinių dydžių reikšmės nėra atskirtos viena nuo kitos; jie nuolat užpildo tam tikrą spragą, kuri kartais turi aiškiai apibrėžtas, o dažniau – neaiškias, neaiškias ribas.

Tokie atsitiktiniai dydžiai, kurių galimos reikšmės nuolat užpildo tam tikrą intervalą, vadinami nuolatiniais atsitiktiniais dydžiais.

Atsitiktinio dydžio samprata tikimybių teorijoje vaidina labai svarbų vaidmenį. Jei „klasikinė“ tikimybių teorija pirmiausia veikė su įvykiais, tai šiuolaikinė tikimybių teorija, kur tik įmanoma, teikia pirmenybę atsitiktiniams dydžiams.

Pateiksime tikimybių teorijai būdingų perėjimo nuo įvykių prie atsitiktinių dydžių metodų pavyzdžių.

Atliekamas eksperimentas, dėl kurio koks nors įvykis gali pasirodyti arba ne. Vietoj įvykio galime laikyti atsitiktinį kintamąjį, kuris yra lygus 1, jei įvykis įvyksta, ir lygus 0, jei įvykis neįvyksta. Atsitiktinis kintamasis akivaizdžiai yra nenutrūkstamas; jis turi dvi galimas reikšmes: 0 ir 1. Šis atsitiktinis dydis vadinamas būdingu įvykio atsitiktiniu dydžiu. Praktikoje dažnai pasirodo patogiau operuoti su jiems būdingais atsitiktiniais dydžiais, o ne įvykiais. Pavyzdžiui, jei atliekama serija eksperimentų, kurių kiekviename yra įmanomas įvykio įvykis, tai bendras įvykio įvykių skaičius yra lygus būdingų įvykio atsitiktinių dydžių sumai visuose eksperimentuose. Sprendžiant daugelį praktinių problemų, naudoti šią techniką yra labai patogu.

Kita vertus, labai dažnai, norint apskaičiuoti įvykio tikimybę, šį įvykį patogu susieti su kokiu nors nuolatiniu atsitiktiniu dydžiu (arba nuolatinių kintamųjų sistema).

Pavyzdžiui, išmatuokite kokio nors objekto O koordinates, kad būtų sukurtas taškas M, vaizduojantis šį objektą vietovės panoramoje (scan). Mus domina, kad paklaida R taško M padėtyje neviršytų nurodytos reikšmės (2.4.1 pav.). Pažymime atsitiktines paklaidas matuojant objekto koordinates. Akivaizdu, kad įvykis yra lygiavertis atsitiktiniam taškui M, kurio koordinatės patenka į spindulio apskritimą, kurio centras yra taške O. Kitaip tariant, kad įvykis įvyktų, atsitiktiniai dydžiai ir turi atitikti nelygybę.

Įvykio tikimybė yra ne kas kita, kaip nelygybės (2.4.1) įvykdymo tikimybė. Šią tikimybę galima nustatyti, jei žinomos atsitiktinių dydžių savybės.

Toks organiškas įvykių ir atsitiktinių dydžių ryšys labai būdingas šiuolaikinei tikimybių teorijai, kuri, kur tik įmanoma, pereina nuo „įvykių schemos“ prie „atsitiktinių dydžių schemos“. Pastaroji schema, lyginant su pirmąja, yra daug lankstesnis ir universalesnis aparatas su atsitiktiniais reiškiniais susijusioms problemoms spręsti.

Atsitiktinis kintamasis- tai dydis, kuris dėl eksperimento įgauna vieną iš daugelio reikšmių, o vienos ar kitos šio dydžio reikšmės atsiradimo negalima tiksliai numatyti prieš jį išmatuojant.

Formalus matematinis apibrėžimas yra toks: tegul yra tikimybių erdvė, tada atsitiktinis dydis yra funkcija, kurią galima išmatuoti Borelio σ-algebros atžvilgiu. Individualaus (nepriklausomo nuo kitų) atsitiktinio dydžio tikimybinį elgesį visiškai apibūdina jo pasiskirstymas.

Apibrėžimas [taisyti]

Elementarių įvykių erdvė [taisyti]

Elementarių įvykių erdvė kauliuko metimo atveju

Kai metamas kauliukas, gaunamas viršutinis paviršius gali būti vienas iš šešių veidų su taškų skaičiumi nuo vieno iki šešių. Bet kurios briaunos praradimas tikimybių teorijoje šiuo atveju vadinamas elementariu įvykiu, t

Visų veidų rinkinys formuoja elementariųjų įvykių erdvę, kurių poaibiai vadinami atsitiktiniais įvykiais. Kai mesti kauliuką vieną kartą, įvykių pavyzdžiai yra

Įvykių algebra [taisyti]

Atsitiktinių įvykių rinkinys sudaro įvykių algebrą, jei tenkinamos šios sąlygos:

Jei vietoj trečios sąlygos ji tenkina kitą sąlygą: skaičiuojamos pošeimos sąjunga taip pat priklauso , tai atsitiktinių įvykių aibė sudaro įvykių σ-algebrą.

Įvykių algebra yra ypatingas aibių σ-algebros atvejis.

Mažiausia iš visų galimų -algebrų, kurių visi elementai yra tikrosios tiesės intervalai, realiųjų skaičių aibėje vadinama Borelio σ-algebra.

Tikimybė [taisyti]

Jei kiekvienas elementarus įvykis yra susietas su skaičiumi, kurio sąlyga yra įvykdyta:

tada laikoma, kad pateiktos elementariųjų įvykių tikimybės. Įvykio tikimybė, kaip suskaičiuojama elementariųjų įvykių erdvės poaibis, apibrėžiama kaip tų elementariųjų įvykių, kurie priklauso šiam įvykiui, tikimybių suma. Skaičiavimo reikalavimas yra svarbus, nes kitaip suma nebus nustatyta.

Panagrinėkime įvairių atsitiktinių įvykių tikimybės nustatymo pavyzdį. Pavyzdžiui, jei įvykis yra tuščias rinkinys, tada jo tikimybė lygi nuliui:

Jei įvykis yra elementariųjų įvykių erdvė, tai jo tikimybė lygi vienetui:

Įvykio tikimybė (elementariųjų įvykių erdvės poaibis) lygi tų elementariųjų įvykių, kuriuos apima aptariamas įvykis, tikimybių sumai.

Atsitiktinio dydžio apibrėžimas [taisyti]

Atsitiktinis dydis yra funkcija, kurią galima išmatuoti Borelio σ-algebros atžvilgiu.

Atsitiktinis dydis gali būti apibrėžtas kitu lygiaverčiu būdu. Funkcija vadinama atsitiktiniu dydžiu, jei bet kokiems realiesiems skaičiams ir įvykių rinkiniui, kad , priklauso .

Pavyzdžiai [taisyti]

lygus visų priimtų reikšmių aritmetiniam vidurkiui.

.

,

tai matematinis lūkestis nėra apibrėžtas.

Klasifikacija [taisyti]

Atsitiktiniai kintamieji gali turėti atskiras, tęstines ir diskretiškas tęstines reikšmes. Atitinkamai atsitiktiniai dydžiai skirstomi į diskrečius, tęstinius ir diskrečius-nepertraukiamus (mišrius).

Testo schemoje galima apibrėžti ir atskirą atsitiktinį dydį (vienmatis/skaliarinis), ir visa vienmačių tarpusavyje susijusių atsitiktinių dydžių sistema (daugiamatis/vektorinis).

• Mišraus atsitiktinio dydžio pavyzdys yra laukimo laikas kertant kelią mieste nekontroliuojamoje sankryžoje.
• Begalinėse schemose (diskrečiose arba tolydžiose) patogu iš pradžių elementarius rezultatus apibūdinti kiekybiškai. Pavyzdžiui, eismo įvykių tipų gradacijų skaičius analizuojant eismo įvykius; įrenginio veikimo laikas kokybės kontrolės metu ir kt.
• Skaitinės vertės, apibūdinančios eksperimentų rezultatus, nebūtinai gali apibūdinti atskirus pagrindinius rezultatus bandymo schemoje, bet ir atitikti kai kuriuos sudėtingesnius įvykius.

Viena vertus, kelias skaitines reikšmes, kurias reikia analizuoti kartu, galima vienu metu susieti su viena bandymo schema ir atskirais įvykiais joje.

• Pavyzdžiui, kokio nors sviedinio sprogimo koordinatės (abscisės, ordinatės) šaudant į antžeminį taikinį; detalių metriniai matmenys (ilgis, plotis ir kt.) kokybės kontrolės metu; medicininės apžiūros (temperatūros, slėgio, pulso ir kt.) rezultatai diagnozuojant pacientą; gyventojų surašymo duomenys (pagal amžių, lytį, pajamas ir kt.).

Kadangi testo schemų skaitinių charakteristikų reikšmės atitinka kai kuriuos atsitiktinius schemoje esančius įvykius (su tam tikromis jų tikimybėmis), tai pačios šios reikšmės yra atsitiktinės (su tomis pačiomis tikimybėmis). Todėl tokios skaitinės charakteristikos dažniausiai vadinamos atsitiktiniais dydžiais. Šiuo atveju tikimybių pasiskirstymas pagal atsitiktinio dydžio reikšmes vadinamas atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsniu.

Aprašymo metodai [taisyti]

Galite iš dalies nurodyti atsitiktinį kintamąjį, taip aprašydami visas jo tikimybines savybes kaip atskirą atsitiktinį dydį, naudodami pasiskirstymo funkciją, tikimybių tankį ir charakteristikos funkciją, nustatydami jo galimų reikšmių tikimybes. Pasiskirstymo funkcija F(x) yra tikimybė, kad atsitiktinio dydžio reikšmės yra mažesnės už realųjį skaičių x. Iš šio apibrėžimo išplaukia, kad tikimybė, kad atsitiktinis dydis pateks į intervalą

Atsitiktinis dydis, paprastai kalbant, gali turėti reikšmes bet kurioje išmatuojamoje erdvėje. Tada jis dažniau vadinamas atsitiktiniu vektoriumi arba atsitiktiniu elementu. Pavyzdžiui,

Taip pat žiūrėkite [taisyti]

• Atsitiktinis procesas
• Paskirstymo funkcija
• Laukimas

Pastabos [taisyti]

1. 1 2 Černova N. I. 1 skyrius. § 2. Elementarioji tikimybių teorija // Tikimybių teorija. - Studijų vadovas. - Novosibirskas: Novosibirsko valstija. univ., 2007. - 160 p.
2. Černova N. I. 3 skyrius. § 1. Įvykių algebra ir sigma-algebra // Tikimybių teorija. - Studijų vadovas. - Novosibirskas: Novosibirsko valstija. univ., 2007. - 160 p.
3. Černova N. I. 1 SKYRIUS § 2. Elementarioji tikimybių teorija // Tikimybių teorija. - Studijų vadovas. - Novosibirskas: Novosibirsko valstija. univ., 2007. - 160 p.
4. 1 2 Černova N. I. 6 skyrius. Atsitiktiniai dydžiai ir jų skirstiniai § 1. Atsitiktiniai dydžiai // Tikimybių teorija. - Studijų vadovas. - Novosibirskas: Novosibirsko valstija. univ., 2007. - 160 p.

Literatūra [taisyti]

• Gnedenko B.V. Tikimybių teorijos kursas. – 8-asis leidimas. pridėti. ir korr. - M.: Redakcija URSS, 2005. - 448 p.
• Matematinis enciklopedinis žodynas / Ch. red. Prokhorov Yu.. – 2 leidimas. - M.: „Tarybų enciklopedija“, 1998. - 847 p.
• Tikhonovas V.I., Charisovas V.N. Radiotechnikos prietaisų ir sistemų statistinė analizė ir sintezė. - Vadovėlis universitetams. - M.: Radijas ir ryšiai, 1991. - 608 p. - ISBN 5-256-00789-0
• Černova N. I. Tikimybių teorija. - Studijų vadovas. - Novosibirskas: Novosibirsko valstija. univ., 2007. - 160 p.

Atsitiktinio dydžio apibrėžimas. Daugelis atsitiktinių įvykių gali būti kiekybiškai įvertinti atsitiktiniais dydžiais.

Atsitiktinis yra dydis, kurio reikšmės priklauso nuo atsitiktinių aplinkybių derinio.

Atsitiktiniai dydžiai yra: pacientų skaičius pas gydytoją, studentų skaičius auditorijoje, gimdymų skaičius mieste, asmens gyvenimo trukmė, molekulės greitis, oro temperatūra, matavimo paklaida. reikšmę ir tt Jei urnoje sunumeruosite kamuoliukus panašiai, kaip tai daroma lošiant loteriją, atsitiktinai išėmus rutulį iš urnos bus parodytas skaičius, kuris yra atsitiktinis kintamasis.

Yra diskretieji ir nuolatiniai atsitiktiniai dydžiai.

Atsitiktinis kintamasis vadinamas diskrečiu, jei jis turi skaičiuojamą reikšmių rinkinį: raidžių skaičius savavališkame knygos puslapyje, elektrono energija atome, plaukų skaičius ant žmogaus galvos, grūdų skaičius kukurūzų varpose, molekulių skaičius tam tikrame dujų tūryje, ir tt

Nuolatinis atsitiktinis kintamasis tam tikrame intervale įgauna bet kokias reikšmes: kūno temperatūra, grūdų svoris V kviečių varpos, kulkos smūgio į taikinį vietos koordinatė (kulką laikome materialiu tašku) ir kt.

Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymas. Diskretusis atsitiktinis dydis laikomas duotu, jei nurodytos galimos jo reikšmės ir atitinkamos tikimybės. Pažymime diskrečiąjį atsitiktinį kintamąjį X, jo reikšmės x 1 x 2,…., ir tikimybės P(x 1)= p 1, P (x 2)= 2 p ir tt X kolekcija Ir P vadinamas diskretinio atsitiktinio dydžio skirstiniu(1 lentelė).

1 lentelė

Atsitiktinis dydis yra žaidimo „Sportlo-10“ sporto šakos numeris. Bendras rūšių skaičius – 49. Nurodykite šio atsitiktinio dydžio pasiskirstymą (3 lentelė).

3 lentelė

Nuo kada l = 1 taip pat įvyksta du kiti sudėtingi įvykiai: (A ir A ir A) ir (A ir A ir A), tada, naudojant tikimybių sudėjimo teoremą (2.4), reikia gauti bendrą tikimybę l = 1, pridedant ankstesnę išraišką tris kartus:

Reikšmė aš = 2 atitinka atvejį, kai įvykis A įvyko dviejuose iš trijų bandymų. Naudodami argumentus, panašius į pateiktus aukščiau, gauname bendrą šio atvejo tikimybę:

At 1 = 3 įvykis A pasirodo visuose trijuose bandymuose. Naudodamiesi tikimybių daugybos teorema, randame

Remiantis ilgalaikiais stebėjimais, gydytojo iškvietimas į tam tikrus namus yra įvertintas 0,5 tikimybe. Raskite tikimybę, kad per šešias dienas bus iškviesti keturi gydytojai; P(A)= 0,5, n = 6,1 = 4. T Naudokime formulę (2.10):

Diskretaus atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos. Daugeliu atvejų kartu su atsitiktinio dydžio pasiskirstymu arba vietoj jo informaciją apie šiuos dydžius galima pateikti skaitiniais parametrais, vadinamais atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos. Pažvelkime į dažniausiai pasitaikančius iš jų.

Atsitiktinio dydžio matematinė lūkestis (vidutinė vertė) yra visų jo galimų dydžių sandaugų suma
apie šių verčių tikimybes:

Leiskite, su daugybe bandymų n diskrečiųjų atsitiktinių dydžių X paima vertybes x v x 2,..., x n atitinkamai m 1, m g,..., t p vieną kartą. Vidutinė vertė yra

Jeigu n yra didelis, tada santykiniai dažniai t 1 / p, t 2 / p,... bus linkęs į tikimybes, o vidutinė vertė – į matematinius lūkesčius. Štai kodėl matematinis lūkestis dažnai tapatinamas su vidutine verte.

Raskite matematinį diskretinio atsitiktinio dydžio lūkestį, kuris nurodomas skaičiumi ant veido metant kauliuką (žr. 2 lentelę).

Mes naudojame formulę (2.11):

Raskite matematinį diskretinio atsitiktinio dydžio lūkestį, kurį lemia Sportloto cirkuliacija (žr. 3 lentelę). Pagal (2.11) formulę randame

Galimos diskretinio atsitiktinio dydžio reikšmės yra išsklaidytos aplink jo matematinį lūkesčius, kai kurios iš jų viršija M(X), dalis – mažiau M(X). Kaip įvertinti atsitiktinio dydžio sklaidos laipsnį, palyginti su jo vidutine verte? Gali atrodyti, kad norint išspręsti tokią problemą, reikia apskaičiuoti visų atsitiktinių dydžių nuokrypius nuo jo matematinio lūkesčio X – M(X), ir tada suraskite šių nuokrypių matematinį tikėjimą (vidutinę vertę): M[X - M(X)]. Atsižvelgdami į įrodymą, pažymime, kad ši reikšmė lygi nuliui, nes atsitiktinių dydžių nuokrypiai nuo matematinio lūkesčio turi ir teigiamas, ir neigiamas reikšmes. Todėl patartina atsižvelgti į absoliučias nuokrypių vertes M[X - M(X)] arba jų kvadratus M[X - M(X)] 2 . Antrasis variantas yra priimtinesnis, ir taip pasiekiame atsitiktinio dydžio sklaidos koncepciją.

Atsitiktinio dydžio dispersija yra matematinė atsitiktinio dydžio nuokrypio kvadratu nuo jo matematinio lūkesčio tikėtis:

Tai reiškia, kad dispersija yra lygi skirtumui tarp matematinio atsitiktinio dydžio kvadrato lūkesčio X ir jo matematinio lūkesčio kvadratas.

Raskite atsitiktinio dydžio dispersiją, kurią suteikia skaičius ant briaunos metant kauliuką (žr. 2 lentelę).

Šio skirstinio matematinė lūkestis yra 3,5. Užrašykime atsitiktinių dydžių nuokrypio nuo matematinio lūkesčio kvadratų reikšmes: (1 - 3,5) 2 = 6,25; (2 - 3,5) 2 = 2,25; (3 - 3,5) 2 = 0,25; (4 - 3,5) 2 = 0,25; (5 - 3,5) 2 = 2,25; (6 - 3,5) 2 = 6,25. Naudodami (2.12) formulę, atsižvelgdami į (2.11), randame dispersiją:

Kaip matyti iš (2.12), dispersija turi atsitiktinio dydžio kvadrato matmenį. Norint įvertinti atstumą nuo atsitiktinio dydžio tos pačios dimensijos vienetais, įvedama sąvoka standartinis nuokrypis, kuri suprantama kaip dispersijos kvadratinė šaknis:

Ištisinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymas ir charakteristikos. Ištisinio atsitiktinio dydžio negalima nurodyti pagal tą patį pasiskirstymo dėsnį kaip ir diskrečiųjų. Tokiu atveju elkitės taip.

Tegul dP yra tolydžio atsitiktinio dydžio tikimybė X paima vertes tarp X Ir X+ dx. Akivaizdu, kad Irm yra ilgesnis intervalas dx, tuo didesnė tikimybė dP: dP ~ dx. Be to, tikimybė taip pat turi priklausyti nuo paties atsitiktinio kiekio, šalia kurio yra intervalas

Kur f(x)- tikimybių tankis, arba tikimybių pasiskirstymo funkcija. Tai parodo, kaip keičiasi intervalui priskirta tikimybė dx atsitiktinis kintamasis, priklausomai nuo paties šio kintamojo reikšmės:

Integruodami išraišką (2.15) atitinkamose ribose, randame tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis įgaus bet kokią reikšmę intervale (ab):

Nepertraukiamo atsitiktinio dydžio normalizavimo sąlyga turi tokią formą

Kaip matyti iš (2.19), ši funkcija yra lygi tikimybei, kad atsitiktinis kintamasis įgis reikšmes, mažesnes nei X:

Ištisiniam atsitiktiniam dydžiui matematinė tikėtis ir dispersija atitinkamai užrašomos formoje