Vadinamas atsitiktinis dydis, kurio galimos reikšmės susidaro. Atsitiktiniai kintamieji

Kartais dirbama su dokumentais Microsoft Word laimei, programos galimybės tai leidžia. Jau rašėme apie lentelių, grafikų, diagramų kūrimą, grafinių objektų pridėjimą ir panašiai. Taip pat kalbėjome apie simbolių įterpimą ir matematines formules. Šiame straipsnyje apžvelgsime susijusią temą, būtent, kaip įterpti kvadratinę šaknį į Word, tai yra, įprastą šaknies ženklą.

Šaknies ženklas įterpiamas taip pat, kaip ir bet kokia matematinė formulė ar lygtis. Tačiau vis dar yra keletas niuansų, todėl ši tema nusipelno išsamaus svarstymo.

1. Dokumente, kuriame turite įdėti šaknį, eikite į skirtuką "Įterpti" ir spustelėkite toje vietoje, kur turėtų būti šis ženklas.

2. Spustelėkite mygtuką "Objektas" esantis grupėje "Tekstas".

3. Priešais jus pasirodžiusiame lange pasirinkite „Microsoft Equation 3.0“.

4. Programos lange atsidarys matematinių formulių rengyklė, išvaizda programos visiškai pasikeis.

5. Lange "Formulė" spustelėkite mygtuką „Drupiniai ir radikalūs modeliai“.

6. Išskleidžiamajame meniu pasirinkite šakninį ženklą, kurį norite pridėti. Pirma - kvadratinė šaknis, antrasis - bet kuris kitas aukštesnis laipsnis (vietoj „x“ piktogramos galite įvesti laipsnį).

7. Pridėję šaknies ženklą, po juo įveskite reikiamą skaitinę reikšmę.

8. Uždarykite langą "Formulė" ir spustelėkite tuščią vietą dokumente, kad pereitumėte prie įprasto veikimo.

Šakninis ženklas su skaitmeniu arba skaičiumi po juo bus lauke, panašiame į teksto lauką arba objekto lauką "WordArt", kurį galima perkelti po dokumentą ir pakeisti jo dydį. Norėdami tai padaryti, tiesiog patraukite vieną iš žymeklių, įrėminančių šį lauką.

Norėdami išeiti iš darbo su objektais režimo, tiesiog spustelėkite tuščia vieta dokumentas.

Patarimas: Norėdami grįžti į darbo su objektu režimą ir vėl atidaryti langą "Formulė", dukart spustelėkite kairiuoju pelės klavišu lauke, kuriame yra jūsų pridėtas objektas

Tai viskas, dabar jūs žinote, kaip pridėti šakninį ženklą „Word“. Įvaldykite naujas šios programos funkcijas, o mūsų pamokos jums tai padės.

Jeigu klasikinis tikimybių teorija daugiausia tyrė įvykius ir jų atsiradimo (įvykimo) tikimybę, tada modernus tikimybių teorija tiria atsitiktinius reiškinius ir jų modelius naudodama atsitiktinius dydžius. Taigi atsitiktinio dydžio sąvoka yra esminė tikimybių teorijoje. Dar anksčiau buvo rengiami renginiai, susidedantys iš vieno ar kito numerio pasirodymo. Pavyzdžiui, metant kauliuką, gali pasirodyti skaičiai 1, 2, 3, 4, 5, 6. Neįmanoma iš anksto nustatyti rodomų taškų skaičiaus, nes tai priklauso nuo daugelio atsitiktinių priežasčių, kurių negalima visiškai paimti atsižvelgti. Šia prasme taškų skaičius yra atsitiktinė reikšmė, o skaičiai 1, 2, 3, 4, 5 ir 6 yra galimas vertesšią vertę.

Atsitiktinis kintamasis yra dydis, kuris eksperimento rezultatu įgauna vienokią ar kitokią (ir vieną ir tik vieną) galimą skaitinę reikšmę, iš anksto nežinomą ir priklausomą nuo atsitiktinių priežasčių, į kurias iš anksto negalima atsižvelgti.

Atsitiktiniai kintamieji paprastai žymimi didžiosiomis raidėmis, o galimos jų reikšmės - atitinkamomis mažosiomis raidėmis. Pavyzdžiui, jei atsitiktinis kintamasis turi tris galimas reikšmes, jie atitinkamai žymimi taip: Patogumui parašysime: .

1 PAVYZDYS. Berniukų, gimusių tarp šimto naujagimių, skaičius yra atsitiktinė reikšmė, kurios galimos reikšmės yra 0, 1, 2, ..., 100.

2 PAVYZDYS. Atstumas, kurį sviedinys nuvažiuos, kai šaunamas iš ginklo, taip pat yra atsitiktinė reikšmė. Išties, atstumas priklauso ne tik nuo taikiklio įrengimo, bet ir nuo daugelio kitų priežasčių (vėjo stiprumo ir krypties, temperatūros ir kt.), į kurias negalima visiškai atsižvelgti. Galimos šio dydžio reikšmės akivaizdžiai priklauso tam tikram intervalui (intervalui).

Atkreipkite dėmesį, kad kiekvienas atsitiktinis įvykis gali būti susietas su tam tikru atsitiktiniu kintamuoju, kuris gauna reikšmes iš R. Pavyzdžiui, patirtį - šauta į taikinį; įvykis - pataikyti į taikinį; atsitiktinis kintamasis - smūgių į taikinį skaičius.

Grįžkime prie aukščiau pateiktų pavyzdžių. Pirmajame atsitiktinis dydis gali turėti vieną iš šių galimų reikšmių: 0, 1, 2,..., 100. Šios reikšmės viena nuo kitos atskirtos intervalais, kuriuose nėra galimų reikšmių. Taigi, šiame pavyzdyje atsitiktinis kintamasis ima individualų, izoliuotą, galimas vertes.

Antrajame pavyzdyje atsitiktinis kintamasis gali turėti bet kurią intervalo reikšmes. Čia neįmanoma atskirti vienos galimos reikšmės nuo kitos intervalu, kuriame nėra galimų atsitiktinio dydžio reikšmių.

Jau iš to, kas pasakyta, galime daryti išvadą, kad patartina atskirti atsitiktinius dydžius, kurie ima tik atskiras, izoliuotas reikšmes, ir atsitiktinius dydžius, kurių galimos reikšmės visiškai užpildo tam tikrą spragą.

Diskretus ( su pertrūkiais ) Atsitiktinis dydis yra atsitiktinis dydis, kuris įgyja baigtinę arba skaičiuojamą 1 skirtingos reikšmės rinkinį. Kitaip tariant, tai yra atsitiktinis kintamasis, kuris su tam tikromis tikimybėmis įgauna atskiras, izoliuotas galimas reikšmes.

Galimų diskrečiųjų verčių skaičius atsitiktinis kintamasis gali būti baigtinis arba begalinis.

Nuolatinis vadinamas atsitiktiniu dydžiu, kuris gali paimti visas reikšmes iš kokio nors baigtinio ar begalinio realybės intervalo skaičių ašis.

Akivaizdu, kad, pirma, nuolatinio atsitiktinio dydžio galimų reikšmių skaičius yra begalinis. Antra, diskretusis atsitiktinis dydis yra ypatingas nuolatinio atsitiktinio dydžio atvejis.

Tikimybių skirstymo dėsnis

aš.

Diskretinio atsitiktinio dydžio tikimybių skirstinio dėsnis

Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kad norint apibrėžti diskrečiąjį atsitiktinį kintamąjį, pakanka išvardyti visas galimas jo reikšmes. Iš tikrųjų taip nėra: skirtingi atsitiktiniai dydžiai kartais gali turėti tuos pačius galimų reikšmių sąrašus, tačiau atitinkamos šių reikšmių tikimybės gali būti skirtingos. Todėl norint visapusiškai apibūdinti, neužtenka žinoti atsitiktinio dydžio reikšmes, taip pat reikia žinoti, kaip dažnai šios reikšmės atsiranda eksperimente, kai jis kartojamas, t.y. taip pat reikia nurodyti jų atsiradimo tikimybę. Apsvarstykite atsitiktinį kintamąjį . Kiekvienos galimos jų vertės atsiradimas rodo, kad vienas iš įvykių, kurie sudaro pilna grupė

, . . . , ,

2. Tarkime, kad šių įvykių tikimybė yra žinoma: Tada:vadinamas atitikmuo, nustatantis ryšį tarp galimų atsitiktinio dydžio reikšmių ir jų tikimybių atsitiktinio dydžio tikimybių skirstinio dėsnis

, arba tiesiog – atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis.

Duoto atsitiktinio dydžio tikimybių pasiskirstymo dėsnį galima nurodyti lentelėmis (paskirstymo eilutėmis), analitiškai (formulės pavidalu) ir grafiškai.

Aiškumo sumetimais diskrečiųjų atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsnį taip pat galima pavaizduoti grafiškai, kurio taškai sudaromi stačiakampėje koordinačių sistemoje ir sujungiami tiesių atkarpomis. Gauta figūra vadinama pasiskirstymo daugiakampiu. Šiuo atveju sudaryto daugiakampio ordinačių suma lygi vienetui.

Analitiškai diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį galima parašyti, pavyzdžiui, naudojant Bernulli formulę nepriklausomų eksperimentų kartojimo schemai. Taigi, jei atsitiktinį kintamąjį, kuris yra sugedusių dalių skaičius imtyje, pažymėsime , tai galimos jo reikšmės bus 0, 1, 2, . . . ,. Tada akivaizdu, kad Bernulli formulė nustatys ryšį tarp reikšmių ir jų atsiradimo tikimybės (), kur

kas lemia tam tikro atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį.

II. Ištisinio atsitiktinio dydžio tikimybių skirstinio dėsnis

Prisiminkite, kad diskretinis atsitiktinis kintamasis nurodomas visų galimų jo reikšmių ir jų tikimybių sąrašu. Šis nustatymo metodas nėra bendras: jis netaikomas, pavyzdžiui, nuolatiniams atsitiktiniams dydžiams.

Iš tiesų, apsvarstykite atsitiktinį kintamąjį, kurio galimos reikšmės visiškai užpildo intervalą. Ar galima išvardyti visas galimas vertybes? Akivaizdu, kad to padaryti negalima. Šis pavyzdys rodo dovanojimo tikslingumą bendras metodas bet kokio tipo atsitiktinių dydžių priskyrimas (kaip jau minėta, diskretusis atsitiktinis dydis yra ypatingas nuolatinio atsitiktinio dydžio atvejis). Šiuo tikslu jie pristato integrali funkcija paskirstymus.

Tegul yra kintamasis, turintis savavališkas realias reikšmes (ašyje:). Apsvarstykite įvykį, kai atsitiktinis kintamasis įgis mažesnę reikšmę. Tada tikimybė įvykis priklauso nuo, t.y. yra funkcija.

Ši funkcija paprastai žymima ir vadinama atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija arba, taip pat, integraliąja pasiskirstymo funkcija. Kitaip tariant: kumuliacinio pasiskirstymo funkcija

vadinama funkcija, kuri kiekvienai reikšmei R nustato tikimybę, kad atsitiktinis dydis įgis mažesnę reikšmę, t.y.

Geometriškai ši lygybė gali būti aiškinama taip: yra tikimybė, kad atsitiktinis dydis įgis reikšmę, kuri skaičių ašyje atvaizduojama tašku, esančiu kairėje nuo taško.

Integralinės funkcijos savybės:

Iš tiesų, tegul atsitiktinis kintamasis įgauna mažesnę reikšmę; panašiai,
– įvykis, susidedantis iš to, kad atsitiktinis dydis įgis mažesnę reikšmę. Kitaip tariant:

Todėl, jei , tai . Taigi (paaiškinkite - kodėl?)

arba, kuris yra tas pats:

Tai ir reikėjo parodyti.

Ši savybė yra gana akivaizdi. Taigi, jei - patikimas renginys ir tai neįmanomas įvykis

Apsvarstykite šiuos įvykius: . Matome, kad – t.y. įvykiai nesuderinami. Tada

Bet ,Dėl to galime parašyti:, ką mums ir reikėjo parodyti.

Daugiausia tirsime tokius nuolatinius atsitiktinius dydžius, kurių pasiskirstymo funkcijos yra tolydžios.

Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcijos grafikas yra pakopinis nutrūkusi linija(žr. paveikslėlį). Šuolio dydis pertrūkių taškuose yra lygus atsitiktinio dydžio reikšmės šiame taške tikimybei. Žinodami atsitiktinio kintamojo pasiskirstymo eilutę, galite pavaizduoti jo pasiskirstymo funkciją:

Ištisiniam atsitiktiniam dydžiui akivaizdžiau ne integralas, o diferencinio pasiskirstymo funkcija arba vadinamasis atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankis.

PASKIRSTYMO DĖSNIS IR CHARAKTERISTIKOS

ATSITIKTINIAI KINTAMAI

Atsitiktiniai dydžiai, jų klasifikacija ir aprašymo metodai.

Atsitiktinis dydis – tai dydis, kuris eksperimento rezultatu gali įgyti vienokią ar kitokią reikšmę, bet kuris iš anksto nėra žinomas. Todėl atsitiktiniam dydžiui galite nurodyti tik reikšmes, kurių vienos tikrai reikės kaip eksperimento rezultatą. Toliau šias reikšmes vadinsime galimomis atsitiktinio dydžio reikšmėmis. Kadangi atsitiktinis dydis kiekybiškai charakterizuoja atsitiktinis rezultatas patirtį, tai gali būti laikoma kiekybine atsitiktinio įvykio charakteristika.

Paprastai žymimi atsitiktiniai kintamieji didžiosiomis raidėmis Lotynų abėcėlė, pavyzdžiui, X..Y..Z, o galimos jų reikšmės nurodytos atitinkamomis mažomis raidėmis.

Yra trijų tipų atsitiktiniai dydžiai:

Diskretus; Nepertraukiamas; Mišrus.

Diskretus yra atsitiktinis dydis, kurio galimų reikšmių skaičius sudaro skaičiuojamą aibę. Savo ruožtu aibė, kurios elementus galima sunumeruoti, vadinama skaičiuojama. Žodis „diskretus“ kilęs iš lotyniško žodžio discretus, reiškiančio „nepertraukiamas, susidedantis iš“. atskiros dalys» .

1 pavyzdys. Diskretusis atsitiktinis dydis yra sugedusių dalių X skaičius nproduktų partijoje. Iš tiesų, galimos šio atsitiktinio dydžio reikšmės yra sveikųjų skaičių nuo 0 iki n.

2 pavyzdys. Diskretusis atsitiktinis dydis yra šūvių skaičius prieš pirmąjį pataikymą į taikinį. Čia, kaip ir 1 pavyzdyje, galimos reikšmės gali būti sunumeruotos, nors ribiniu atveju galima reikšmė yra be galo didelis skaičius.

Nuolatinis yra atsitiktinis dydis, kurio galimos reikšmės nuolat užpildo tam tikrą skaitinės ašies intervalą, kartais vadinamą šio atsitiktinio dydžio egzistavimo intervalu. Taigi bet kuriame baigtiniame egzistavimo intervale nuolatinio atsitiktinio dydžio galimų reikšmių skaičius yra be galo didelis.

3 pavyzdys. Nuolatinis atsitiktinis dydis yra įmonės elektros energijos suvartojimas per mėnesį.

4 pavyzdys. Nuolatinis atsitiktinis dydis yra paklaida matuojant aukštį naudojant aukščiamatį. Iš aukščiamačio veikimo principo aišku, kad paklaida yra intervale nuo 0 iki 2 m. Todėl šio atsitiktinio dydžio egzistavimo intervalas yra intervalas nuo 0 iki 2 m.

Atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsnis.

Atsitiktinis dydis laikomas visiškai apibrėžtu, jei jo galimos reikšmės nurodytos skaitinėje ašyje ir nustatytas skirstymo dėsnis.

Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis yra ryšys, nustatantis ryšį tarp galimų atsitiktinio dydžio verčių ir atitinkamų tikimybių.

Sakoma, kad atsitiktinis kintamasis yra paskirstytas šis įstatymas, arba jam taikomas tam tikras platinimo įstatymas. Kai kurie tikimybių, pasiskirstymo funkcijos, tikimybių tankio ir charakteristikų funkcijos yra naudojami kaip pasiskirstymo dėsniai.

Pasiskirstymo dėsnis pateikia išsamų tikėtiną atsitiktinio dydžio aprašymą. Pagal pasiskirstymo dėsnį, prieš eksperimentą galima nuspręsti, kurios galimos atsitiktinio dydžio reikšmės pasirodys dažniau, o kurios rečiau.

Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui pasiskirstymo dėsnį galima nurodyti lentelės pavidalu, analitiškai (formulės pavidalu) ir grafiškai.

Paprasčiausia forma apibrėžiantis diskretiškojo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį yra lentelė (matrica), kurioje visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės ir jas atitinkančios tikimybės surašytos didėjimo tvarka, t.y.

Tokia lentelė vadinama diskretiškojo atsitiktinio dydžio skirstinio seka. 1

Įvykiai X 1, X 2,..., X n, susidedantys iš to, kad atlikus testą atsitiktinis dydis X atitinkamai įgis x 1, x 2,...x n reikšmes. nenuoseklūs ir vieninteliai galimi (kadangi lentelėje pateikiamos visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės), t.y. sudaryti pilną grupę. Todėl jų tikimybių suma lygi 1. Taigi bet kuriam diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui

(Šis vienetas kažkaip paskirstomas tarp atsitiktinio dydžio reikšmių, taigi ir terminas „paskirstymas“).

Pasiskirstymo eilutes galima pavaizduoti grafiškai, jei atsitiktinio dydžio reikšmės brėžiamos išilgai abscisių ašies, o jų atitinkamos tikimybės – išilgai ordinačių ašies. Sujungus gautus taškus, susidaro trūkinė linija, vadinama tikimybių skirstinio daugiakampiu arba daugiakampiu (1 pav.).

PavyzdysĮ loteriją įeina: automobilis, kurio vertė 5000 den. vnt., 4 televizoriai, kainuojantys 250 den. vnt., 5 vaizdo registratoriai, kurių vertė 200 den. vienetų Iš viso 7 dienoms parduodama 1000 bilietų. vienetų Sudarykite loterijos dalyvio, įsigijusio vieną bilietą, grynųjų laimėjimų paskirstymo įstatymą.

Sprendimas. Galimos atsitiktinio dydžio X reikšmės - grynasis laimėjimas už bilietą - yra lygios 0-7 = -7 pinigai. vienetų (jei bilietas nelaimėjo), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. vienetų (jei biliete yra atitinkamai vaizdo grotuvo, televizoriaus ar automobilio laimėjimai). Atsižvelgiant į tai, kad iš 1000 bilietų nelaimėjusiųjų skaičius yra 990, o nurodyti laimėjimai yra atitinkamai 5, 4 ir 1, ir naudojant klasikinis apibrėžimas tikimybės, gauname.

Koncepcijos išplėtimas atsitiktiniai įvykiai, susidedantis iš kai kurių išvaizdos skaitinės reikšmės kaip eksperimento rezultatas, yra atsitiktinis kintamasis X.

Apibrėžimas. Atsitiktinis Jie vadina dydžiu, kuris dėl eksperimento įgauna tik vieną reikšmę iš dalies jų visumos ir iš anksto nežinoma, kurią.

Atsitiktinis kintamasis Pavyzdžiui, yra tinkamas modelis geologiniams duomenims apibūdinti, atsižvelgiant į įtaką įvairių veiksniųį fizinį lauką.

Kaip atskiro eksperimento rezultatas, tikslią vertę Neįmanoma numatyti atsitiktinio dydžio, galima tik nustatyti jo statistinius modelius, t.y. nustatyti atsitiktinių dydžių dydžių tikimybes. Pavyzdžiui, išmatavimai fizines savybes akmenys yra atitinkamų atsitiktinių dydžių stebėjimai.

Tarp atsitiktinių dydžių, su kuriais susiduria geologas, galima išskirti du pagrindinius tipus: kintamuosius diskretiškas ir dydis tęstinis.

Apibrėžimas. Diskretus Atsitiktinis kintamasis yra tas, kuris gali įgyti baigtinę arba begalinę skaičiuojamą reikšmių rinkinį.

Kaip tipinių pavyzdžių diskrečiu atsitiktiniu dydžiu gali būti visi lauko darbų rezultatai, visi eksperimentų rezultatai, iš lauko atvežti mėginiai ir kt.

Visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės sudaro visą įvykių grupę, t.y. , kur yra baigtinis arba begalinis. Todėl galime tai pasakyti atsitiktinis kintamasis apibendrina atsitiktinio įvykio sampratą.

Tegul tyrimo metu gaunama tokia duomenų serija: kiekybinė sudėtis kai kurios veislės: 4; 3; 1; 2; 5; 4; 2; 2; 3; 1; 5; 4; 3; 5; 5; 2; 5; 5; 6; 1. Iš viso buvo atlikta 20 bandymų. Kad būtų patogu dirbti su duomenimis, jie buvo transformuojami: gautos reikšmės išdėliotos didėjančia tvarka ir skaičiuojamas kiekvienos reikšmės pasikartojimų skaičius. Dėl to gavome (7.1 lentelė):

Apibrėžimas. Vadinamas didėjantis duomenų skirstinys reitingą.

Apibrėžimas. Stebėta kokio nors atsitiktinio kintamojo požymio reikšmė vadinama variantu.

Apibrėžimas. Serija, sudaryta iš variantų, vadinama variacijų serija.

Apibrėžimas. Vadinamas kai kurių atsitiktinių dydžių atributų pokytis įvairus.

Apibrėžimas. Skaičius, rodantis, kiek kartų kinta tam tikra parinktis, vadinamas dažniu ir žymimas .

Apibrėžimas. Tikimybėšios parinkties išvaizda yra lygi dažnio santykiui su bendra suma variacijų serija

(1)

Atsižvelgdami į įvestus apibrėžimus, perrašysime 7.1 lentelę.

7.2 lentelė.