Jei kuri nors seka susilieja į baigtinį skaičių a, tada parašykite
.
Anksčiau mes įtraukėme be galo dideles sekas. Darėme prielaidą, kad jie yra konvergentiški, ir pažymėjome jų ribas simboliais ir . Šie simboliai reprezentuoja taškai begalybėje

. Jie nepriklauso realiųjų skaičių aibei. Tačiau ribos sąvoka leidžia mums įvesti tokius taškus ir suteikia įrankį jų savybėms tirti naudojant realius skaičius.
Apibrėžimas Be galo nuotolinis taškas
, arba beženklė begalybė, yra riba, iki kurios linksta be galo didelė seka. Taškas begalybėje plius begalybė
, yra riba, iki kurios linksta be galo didelė seka su teigiamais terminais. Taškas iš begalybės atėmus begalybę

, yra riba, iki kurios linksta be galo didelė seka su neigiamais terminais. Bet kam realus skaičius
;
.

a galioja šios nelygybės: Naudodami realius skaičius, pristatėme sąvoką.
taško kaimynystėje begalybėje
Taško kaimynystė yra aibė.
Galiausiai taško kaimynystė yra aibė.

Čia M yra savavališkas, savavališkai didelis realusis skaičius. Taigi mes išplėtėme realiųjų skaičių aibę, įtraukdami į ją naujų elementų. Šiuo atžvilgiu yra:

sekantį apibrėžimą Išplėstinė skaičių eilutė arba išplėstinė realiųjų skaičių aibė
.

yra realiųjų skaičių rinkinys, papildytas elementais ir : Pirma, mes užrašysime savybes, kurias taškai ir . Toliau svarstome griežtumo klausimą

matematinis apibrėžimas

šių taškų operacijos ir šių savybių įrodymai..
; ;
; ;

Taškų begalybėje savybės.
; ; ;
;
;
; ; .

Suma ir skirtumas.
Produktas ir koeficientas
; ;
; ; ; .
Ryšys su realiais skaičiais > 0 Tegu a yra savavališkas realusis skaičius. Tada
; ; .
Ryšys su realiais skaičiais < 0 Tegu a yra savavališkas realusis skaičius. Tada
; .

Tegul a.
; ; ; ;
; ; ;
; ;
.

.

Tada

Mes jau pateikėme begalybės taškų apibrėžimus. Dabar jiems reikia apibrėžti matematines operacijas. Kadangi šiuos taškus apibrėžėme naudodami sekas, operacijos su šiais taškais taip pat turėtų būti apibrėžtos naudojant sekas.

Taigi, dviejų taškų suma
c = a + b,
priklausantys išplėstinei realiųjų skaičių aibei,
,
vadinsime ribą
,
kur ir yra savavališkos sekos, turinčios ribas
Ir .

Panašiai apibrėžiamos atimties, daugybos ir dalybos operacijos. Tik dalybos atveju trupmenos vardiklyje esantys elementai neturėtų būti lygūs nuliui.
Tada dviejų taškų skirtumas:
- tai yra riba: .
Taškų produktas:
- tai yra riba: .
Privatus:
- tai yra riba: .
Čia ir yra savavališkos sekos, kurių ribos yra atitinkamai a ir b . IN pastarasis atvejis, .

Savybių įrodymai

Norėdami įrodyti begalybės taškų savybes, turime naudoti be galo didelių sekų savybes.

Apsvarstykite turtą:
.
Norėdami tai įrodyti, turime tai parodyti
,

Kitaip tariant, turime įrodyti, kad dviejų sekų, kurios susilieja į plius begalybę, suma susilieja su plius begalybe.

1 tenkinamos šios nelygybės:
;
.
Tada už ir mes turime:
.
Padėkime.
Tada
,
Kur.

Tai reiškia, kad.

Panašiai galima įrodyti ir kitas savybes. Kaip pavyzdį, pateikime kitą įrodymą.
.
Įrodykime, kad:
,
Norėdami tai padaryti, turime tai parodyti

kur ir yra savavališkos sekos, su ribomis ir .

Tai reiškia, kad turime įrodyti, kad dviejų be galo didelių sekų sandauga yra be galo didelė seka. 1 tenkinamos šios nelygybės:
;
.
Tada už ir mes turime:
.
Padėkime.
Tada
,
Kur.

Įrodykime tai. Kadangi ir , tada yra keletas funkcijų ir , taigi bet kuriam teigiamam skaičiui M

Neapibrėžtos operacijos dalis matematines operacijas

su taškais begalybėje nėra apibrėžti. Norint parodyti jų neapibrėžtumą, reikia pateikti keletą ypatingų atvejų, kai operacijos rezultatas priklauso nuo į juos įtrauktų sekų pasirinkimo.
.
Apsvarstykite šią operaciją:

Nesunku parodyti, kad jei ir , tai sekų sumos riba priklauso nuo sekų pasirinkimo ir .

Tikrai, imkim.

Šių sekų ribos yra .

Sumos limitas.

lygi begalybei. Dabar paimkime.Šių sekų ribos taip pat lygios.

Tačiau jų kiekio riba

Taškas begalybėje.

Tegul funkcija yra analitinė kurioje nors be galo nutolusio taško kaimynystėje (išskyrus patį tašką). Jie sako, kad taipnuimamas vienaskaitos taškas, polius arba iš esmės vienaskaita taškasveikia priklausomai nuobaigtinis, begalinis arba neegzistuojantis .

Įdėkime ir tada jis bus analitinis tam tikroje taško kaimynystėje. Pastarasis bus skirtas to paties tipo vienaskaitos taškui kaip ir. Laurent kaimynystės išplėtimas gali būti gautas paprasčiausiai pakeitus Laurent kaimynystės plėtrą. Tačiau su tokiu pakeitimu teisinga dalis pakeičiama pagrindine ir atvirkščiai. Taigi, tai yra sąžininga

1 teorema. Nuimamo singuliarumo atveju be galo nuotolinis taškas, funkcijos Laurent išplėtimas, esantis šalia šio taško, neapima teigiami laipsniai, stulpo atvejuyra baigtinis jų skaičius, o bylojeesminis požymis – begalinis.

Jei jis turi tašką nuimamas funkcija, paprastai sakoma, kad taianalitinė begalybėje, ir priimti. Šiuo atveju funkcija akivaizdžiai ribojama tam tikroje taško kaimynystėje.

Tegul funkcija yra analitinė pilnoje plokštumoje. Iš funkcijos analitiškumo taške begalybėje išplaukia, kad ji yra ribojama šio taško kaimynystėje; leisti at. Kita vertus, nuo analitiškumo iki užburtas ratas laikosi savo apribojimų šiame rate; tegul būna jame. Bet tada funkcija yra ribota visoje plokštumoje: visiems, kuriuos turime. Taigi Liuvilio teoremagali būti pateikta tokia forma.

2 teorema. Jei funkcija yra analitinė visoje plokštumoje, tada ji yra pastovi.

Dabar pristatykime koncepcijąlikutis begalybėje. Tegul funkcija yra analitinė kurioje nors taško kaimynystėje (išskyrus, galbūt, patį tašką); pagalatimant funkciją begalybėje suprasti

kur yra pakankamai didelis apskritimas, sukamas pagal laikrodžio rodyklę (kad taško apskritimas liktų kairėje).

Iš šio apibrėžimo iš karto išplaukia, kad funkcijos liekana begalybėje yra lygi jos Laurento plėtimosi koeficientui taško kaimynystėje, paimtam su priešingu ženklu:

3 teorema. Jei funkcija turi baigtinį skaičių vienaskaitos taškų pilnoje plokštumoje, tai visų jos likučių suma, įskaitant likutį begalybėje, yra lygi nuliui.

Įrodymas. Tiesą sakant, tegul a 1,…a n funkcijos galutiniai vienaskaitos taškai ir - apskritimas, kuriame jie visi yra viduje. Pagal integralų savybę, liekanos teoremą ir liekanos begalybės taške apibrėžimą, turime:

ir kt.

Likučių teorijos taikymas integralams skaičiuoti.

Tegul reikia apskaičiuoti integralą tikroji funkcija palei tam tikrą (baigtinį arba begalinį) segmentą ( a, b) x ašis. Pridėkime (a, b ) tam tikra kreivė, ribojanti kartu su ( a, b ) regione ir tęsti analitiškai.

Sukonstruotam analitiniam tęsiniui taikome liekanos teoremą:

(1)

Jei integralas gali būti apskaičiuotas arba išreikštas norimu integralu, tada skaičiavimo uždavinys išspręstas.

Begalinių segmentų atveju ( a, b ) paprastai laikomos be galo besiplečiančių integravimo kontūrų šeimomis, kurios sukonstruotos taip, kad perėjus prie ribos gauname integralą per ( a, b ). Šiuo atveju (1) santykio integralas negali būti apskaičiuotas, tačiau galima rasti tik jo ribą, kuri dažnai būna lygi nuliui.

Tai labai naudinga:

Lemma (Jordanija). Jei tam tikroje apskritimo lankų sekoje,(, A fiksuota) funkcija linkusi į nulį tolygiai, tada už

. (2)

Įrodymas. Pažymėkime

Pagal lemos sąlygas, kai taip pat linksta į nulį, ir tegul a > 0; ant lankų AB ir CD turime.

Vadinasi, lanko integralas AB, CD linkęs į nulį ties.

Kadangi nelygybė galioja, tada ant lanko BE

Todėl ir taip pat linkęs į nulį. Jei ant lanko SE Jei polinis kampas skaičiuojamas pagal laikrodžio rodyklę, bus gautas tas pats įvertinimas. Tuo atveju, kai įrodinėjimas yra supaprastintas, nes nereikėtų vertinti integralo per lankus AB ir CD. Lema įrodyta.

1 pastaba. Apskritimo lankų seka lemoje gali būti pakeista lankų šeima

tada, jei funkcija ties linkusi į nulį tolygiai tada atžvilgiu

. (3)

Įrodymas tebegalioja.

2 pastaba. Pakeiskime kintamąjį: iz=p , tada lemos apskritimų lankai bus pakeisti lankais ir tai gauname bet kuriai funkcijai F(p ), linkę į nulį kaip tolygiai santykinį ir bet kokį teigiamą t

. (4)

P pakeitimas (4) į (-p ) gauname tomis pačiomis sąlygomis

, (5)

kur yra apskritimo lankas (žr. pav.).

Pažvelkime į integralų skaičiavimo pavyzdžius.

1 pavyzdys.

Pasirinkime pagalbinę funkciją. Nes funkcija tenkina nelygybę, tada ji vienodai linkusi į nulį kaip ir pagal Jordano lemą, kaip

Nes mes turime pagal liekanos teoremą

Riboje gauname:

Atskirdami realiąsias dalis ir naudodami funkcijos paritetą, randame

2 pavyzdys. Integralui apskaičiuoti

Paimkime pagalbinę funkciją. Integravimo kontūras apeina vienaskaitos tašką z =0. Pagal Koši teoremą

Iš Jordano lemos aišku, kad. Norėdami įvertinti, apsvarstykite Laurent išplėtimą taško kaimynystėje z = 0

kur taške yra taisyklinga z =0 funkcija. Iš to aišku, kad

Taigi Koši teoremą galima perrašyti kaip

Pakeitimas pirmuoju integralu x x , mes nustatome, kad jis yra lygus, todėl turime

Riboje ir galiausiai:

. (7)

3 pavyzdys. Apskaičiuokite integralą

Įveskime pagalbinę funkciją ir parinksime integravimo kontūrą taip pat, kaip ir ankstesniame pavyzdyje. Šiame kontūre logaritmas leidžia identifikuoti vienos vertės šaką. Pažymime šaką, kurią lemia nelygybė. Funkcija turi tašką z=i antros eilės stulpas su likučiais

Pagal liekanos teoremą.

Kai, pradedant nuo kai kurių pakankamai didelių R , vadinasi,.

Panašiai, pradedant nuo kai kurių pakankamai mažų r, todėl

Pirmame integrale po pakeitimo z=-x gauname:

taigi mes turime:

Palyginus tikrąją ir įsivaizduojamą dalis gaunama:

, .

4 pavyzdys. Integralui

Pasirinkime pagalbinę funkciją ir kontūrą, pavaizduotą paveikslėlyje. Viduje kontūras yra nedviprasmiškas, jei manome, kad tai.

Viršutiniame ir apatiniame pjūvio krantuose, įtrauktuose į šį kontūrą, įgyjamos reikšmės, todėl integralai vienas kitą panaikina, o tai leidžia apskaičiuoti reikiamą integralą. Kontūro viduje yra du pirmos eilės funkcijos poliai, kurių likučiai atitinkamai lygūs:

Kur. Taikydami likučių teoremą, gauname:

Remdamiesi tuo, kas išdėstyta aukščiau, turime:

Kaip ir ankstesniame pavyzdyje, mes tai įrodome, o tada limite turėsime:

Iš čia, lyginant įsivaizduojamas dalis, gauname:

5 pavyzdys. Apskaičiuokite specialiojo integralo pagrindinę reikšmę

Pasirinkime pagalbinę funkciją ir kontūrą, pavaizduotą paveikslėlyje. Kontūro viduje funkcija yra taisyklinga. Apatiniame pjūvio krante išilgai teigiamos pusašies. Taigi, pagal Koši teoremą:

(8).

Aišku, kada ir kada. Kartu mes turime atitinkamai ir kur atitinkamai keičiasi iš 0 į ir iš į. Vadinasi,

Pereinant (8) iki ribos ties gauname, todėl

iš kur reikalingas integralas yra lygus

6 pavyzdys. Apskaičiuokite integralą

Panagrinėkime funkciją. Padarykime pjūvį*) .

Padėkime. Važiuodami prieš laikrodžio rodyklę uždaru keliu (žr. pav., punktyrinė linija) ir gaukite prieaugį,

todėl arg f (z )=( 1 +2  2 )/3 taip pat didinamas. Taigi pjūvio išvaizdoje funkcija skyla į 3 taisyklingas šakas, viena nuo kitos besiskiriančias pradinio funkcijos elemento pasirinkimu, t.y. vertę tam tikru momentu.

Atsižvelgsime į funkcijos šaką, kurią užima viršutinė pjūvio pusė (-1,1). teigiamas vertes ir paimkite kontūrą,

___________________

*) Tiesą sakant, buvo padaryti du pjūviai: ir, tačiau, ašyje x į dešinę nuo taško x =1 funkcija yra ištisinė: virš pjūvio, po pjūviu.

parodyta paveiksle. Krante mes turime, t.y. , II krante (apvažiavus tašką z =1 pagal laikrodžio rodyklę) (t.y.), t.y. , integralai virš apskritimų ir, aišku, linkę į nulį**) adresu. Todėl pagal Cauchy teoremą daugybiškai sujungtoms domenoms

Skaičiavimui naudojame 1/ šakos išplėtimą begalybės taško kaimynystėje. Išimkime jį iš po šaknies ženklo, tada gausime, kur ir yra šių funkcijų šakos, teigiamos segmente (1,) tikroji ašis.

tikrosios ašies segmente. Pastarąjį išplečiant naudojant binominę formulę:

randame pasirinktos šakos 1/ likutį taške begalybėje: (koeficientas ties 1/ z su priešingu ženklu). Bet integralas lygus šiai liekanai, padaugintai iš, t.y. pagaliau turime kur

7 pavyzdys. Apsvarstykite integralą.

__________________

**) Apsvarstykite, pavyzdžiui, integralą per. Ant mes turime, t.y.

Padėkime tada taip,

Apskritimo viduje integrandas turi vieną polių II nutartis su atskaitymu

Pagal likučių teoremą turime

8 pavyzdys. Panašiai apskaičiuokime integralą

Po pakeitimo turime:

Vienas iš integrando polių yra viduje vieneto ratas, o kitas yra už jos ribų, nes pagal šaknų savybes kvadratinė lygtis, ir dėl šios sąlygos šios šaknys yra tikros ir skirtingos. Taigi pagal liekanos teoremą

(9)

kur yra stulpas, esantis apskritimo viduje. Nes dešinėje pusėje(9) galioja, tada jis pateikia reikiamą integralą

Apibrėžimas. Taškas į begalybę sudėtinga plokštuma paskambino izoliuotas vienaskaitos taškas nedviprasmiškas analitinė funkcijaf(z), Jei lauke tam tikro spindulio apskritimas R,

tie. už , nėra baigtinio funkcijos vienaskaitos taško f(z).

Norėdami ištirti funkciją begalybės taške, atliekame pakeitimą
Funkcija

taške turės singuliarumą ζ = 0, ir šis taškas bus izoliuotas, nes

apskritimo viduje
Kitų specialių taškų pagal būklę nėra. Būdamas analitiškas šiuo klausimu

ratas (išskyrus vadinamąjį ζ = 0), funkcija
gali būti išplėsta Laurent serijoje ζ . Ankstesnėje pastraipoje aprašyta klasifikacija lieka visiškai nepakitusi.

Tačiau jei grįšime prie pradinio kintamojo z, tada serijos teigiamomis ir neigiamomis galiomis z„pakeisti“ vietas. Tie. Taškų klasifikacija begalybėje atrodys taip:

Pavyzdžiai. 1.
. z = Taškas i

2.
− III eilės stulpas. z = ∞ . Taškas − reikšmingai.

vienaskaitos taškas

§18. Analitinės funkcijos liekana izoliuotame vienaskaitos taške. z Tegul taškas

f(z 0 yra izoliuotas vienos vertės analitinės funkcijos vienaskaitos taškas f(z) gali būti unikaliai pavaizduotas Laurent serijos:
Kur

Apibrėžimas.Išskaičiavimas analitinė funkcija f(z) izoliuotame vienaskaitos taške z 0

paskambino kompleksinis skaičius, lygus integralo reikšmei
, paimtas teigiama kryptimi išilgai bet kurio uždaro kontūro, esančio funkcijos analitiškumo srityje ir turintį vieną vienintelį tašką z 0 .

Išskaitymas žymimas simboliu Res [f(z),z 0 ].

Nesunku pastebėti, kad likutis įprastame arba nuimamame vienaskaitos taške yra lygus nuliui.

Poliuje arba iš esmės vienaskaitoje liekana yra lygi koeficientui Su-1 eilutė Laurent:

.

Pavyzdys. Raskite funkcijos likutį
.

(Tegul tai lengva pamatyti

koeficientas Su-1 gaunamas dauginant terminus iš n= 0:Res[ f(z),Taškas ] =
}

Dažnai galima apskaičiuoti funkcijų likučius paprastu būdu. Tegul funkcija f(z) turi įsk. z 0 pirmos eilės polių. Šiuo atveju Laurent serijos funkcijos išplėtimas turi formą (§16):. Padauginkime šią lygybę iš (z−z 0) ir pereikime prie ribos ties
. Rezultate gauname: Res[ f(z),z 0 ] =
Taigi, į

Paskutiniame pavyzdyje turime Res[ f(z),Taškas ] =
.

Norėdami apskaičiuoti likučius aukštesnės eilės poliuose, padauginkite funkciją

įjungta
(m− polių tvarka) ir atskirkite gautas eilutes ( m − 1) kartus.

Šiuo atveju turime: Res[ f(z),z 0 ]

Pavyzdys. Raskite funkcijos likutį
ties z= −1.

{Res[ f(z), −1] }

. Jie nepriklauso realiųjų skaičių aibei. Tačiau ribos sąvoka leidžia mums įvesti tokius taškus ir suteikia įrankį jų savybėms tirti naudojant realius skaičius.
Realaus taško x kaimynystė 0 Bet koks atviras intervalas, kuriame yra šis taškas, vadinamas:
.
Čia ε 1 ir ε 2 - savavališki teigiami skaičiai.

Epsilonas – taško x kaimynystė 0 yra taškų, nuo kurių iki taško x, rinkinys 0 mažiau nei ε:
.

Pramušta taško x kaimynystė 0 yra šio taško kaimynystė, iš kurios neįtraukiamas pats taškas x 0 :
.

Galinių taškų apylinkės

Pačioje pradžioje buvo pateiktas taško kaimynystės apibrėžimas. Jis žymimas kaip.
(1) .
Bet jūs galite aiškiai nurodyti, kad kaimynystė priklauso nuo dviejų skaičių, naudodami atitinkamus argumentus:

Tai yra, kaimynystė yra taškų, priklausančių atviram intervalui, rinkinys. 1 Prilyginant ε 2 iki ε
(2) .
, gauname epsilon - kaimynystė:
Epsiloninė kaimynystė yra taškų, priklausančių atviram intervalui su vienodais galais, rinkinys.

Žinoma, raidę epsilon galima pakeisti bet kuria kita ir atsižvelgti į δ - kaimynystę, σ - kaimynystę ir kt.

Ribų teorijoje galima naudoti kaimynystės apibrėžimą, pagrįstą ir aibėmis (1), ir aibėmis (2). Naudojant bet kurį iš šių rajonų gaunami lygiaverčiai rezultatai (žr.). Tačiau (2) apibrėžimas yra paprastesnis, todėl dažnai naudojamas epsilonas – taško kaimynystė, nustatyta iš (2). Taip pat plačiai vartojamos sąvokos „kairės pusės“, „dešinės pusės“ ir „pradurtos“ apylinkės. galutiniai taškai

Kairioji tikrojo taško x kaimynystė 0 yra pusiau atviras intervalas, esantis tikrojoje ašyje į kairę nuo x taško 0 , įskaitant patį tašką:
;
.

Dešinioji tikrojo taško x kaimynystė 0 yra pusiau atviras intervalas, esantis taško x dešinėje 0 , įskaitant patį tašką:
;
.

Pramuštos galinių taškų apylinkės

Pramuštos taško x apylinkės 0 - tai tie patys rajonai, iš kurių neįtraukiamas pats taškas. Jie pažymėti apskritimu virš raidės. Štai jų apibrėžimai.

Pramušta taško x kaimynystė 0 :
.

Pramuštas epsilonas – taško x kaimynystė 0 :
;
.

Kairės pusės auskaras:
;
.

Pramušta dešinės pusės kaimynystė:
;
.

Taškų kaimynystės begalybėje

Kartu su galutiniais taškais taip pat pristatomos begalybės taškų apylinkės. Jie visi yra pradurti, nes begalybėje nėra tikrojo skaičiaus (taškas begalybėje apibrėžiamas kaip riba begalybėje didelė seka).

.
;
;
.

Buvo galima nustatyti begalybės taškų apylinkes taip:
.
Tačiau vietoj M mes naudojame , kad kaimynystė su mažesniu ε būtų kaimynystės su didesniu ε poaibis, kaip ir galutinio taško apylinkėse.

Kaimynystės turtas

Toliau naudojame akivaizdžią taško kaimynystės savybę (baigtinėje arba begalinėje). Tai slypi tame, kad taškų apylinkės su mažesnės vertėsε yra apylinkių poaibiai su didelėmis ε reikšmėmis.

Čia yra griežtesnės formuluotės.
Tegul būna galutinis arba be galo tolimas taškas. Ir tegul būna.
;
;
;
;
;
;
;
.

Tada

Priešingai irgi tiesa.

Funkcijos ribos apibrėžimų ekvivalentiškumas pagal Koši

Dabar parodysime, kad nustatydami funkcijos ribą pagal Koši, galite naudoti ir savavališką kaimynystę, ir kaimynystę su vienodais galais.
Teorema

Košiniai funkcijos ribos apibrėžimai, kuriuose naudojami savavališki rajonai ir rajonai su vienodais galais, yra lygiaverčiai.

Įrodymas Suformuluokime.
pirmasis funkcijos ribos apibrėžimas Skaičius a yra funkcijos riba taške (baigtiniame arba be galo nutolusiame), jei toks yra teigiami skaičiai
.

Įrodymas yra skaičiai, priklausantys nuo ir kad visiems , priklauso atitinkamai taško a kaimynystei:.
antrasis funkcijos ribos apibrėžimas
.

Skaičius a yra funkcijos riba taške, jei bet kurio teigiamo skaičiaus skaičius priklauso nuo to visiems:

Įrodymas 1 ⇒ 2

Tegul pirmasis apibrėžimas tenkinamas. Tai reiškia, kad yra funkcijos ir , todėl bet kokiems teigiamiems skaičiams galioja:
adresu, kur.

Kadangi skaičiai yra savavališki, juos sulyginame:
.
Tada yra tokios funkcijos ir , taigi bet kuriai galioja šie:
adresu, kur.

Atkreipkite dėmesį, kad.
Leisti būti mažiausias iš teigiamų skaičių ir .
.
Tada, remiantis tuo, kas buvo pažymėta aukščiau,

Jei, tada.
adresu, kur.
Tai reiškia, kad radome tokią funkciją, todėl galioja bet kuri toliau nurodyta:

Tai reiškia, kad skaičius a yra funkcijos riba pagal antrąjį apibrėžimą.

2 įrodymas ⇒ 1

Įrodykime, kad jei skaičius a yra funkcijos riba pagal 2-ąjį apibrėžimą, tai jis taip pat yra riba pagal 1-ąjį apibrėžimą.
.

Tebūnie patenkintas antrasis apibrėžimas. Paimkime du teigiamus skaičius ir .
.

Ir tegul tai būna mažiausias iš jų. Tada pagal antrąjį apibrėžimą yra tokia funkcija , kad bet kuriam teigiamam skaičiui ir visiems , išplaukia, kad
.

Tačiau, pasak .

Todėl iš to, kas seka

Tada bet kokiems teigiamiems skaičiams ir , radome du skaičius, taigi visiems:
Tai reiškia, kad skaičius a yra riba pagal pirmąjį apibrėžimą. Teorema įrodyta. Naudota literatūra:

L.D. Kudrjavcevas. Na matematinė analizė (∞, ε ) = {z ∈ | |. 1 tomas. Maskva, 2003 m. Šio taško kaimynystę apibrėžėme kaip apskritimų, kurių centras yra ištakoje, išorę: z U z = f (z | > ε). Taškas z = ∞ yra izoliuotas analitinės funkcijos vienaskaitos taškas z w z = f (z ), jei kurioje nors šio taško kaimynystėje nėra kitų šios funkcijos vienaskaitų taškų. Norėdami nustatyti šio vienaskaitos taško tipą, pakeičiame kintamąjį ir tašką = ∞ eina į tašką z 1 = 0, funkcija z = f (z ) bus tokia forma z . Vienaskaitos taško tipas z = φ (z = ∞ funkcijos z = f (z ) vienaskaitos taško tipą vadinsime z 1 = 0 funkcijų z 1). Jei funkcijos išplėtimas z ) pagal laipsnius z netoli taško z = ∞, t.y. esant pakankamai didelėms modulio vertėms z 1 = 0 funkcijų z , turi formą , tada pakeičiama
, mes gausime . Taigi, pasikeitus kintamajam, pagrindinė ir reguliari Laurent serijos dalys keičiasi vietomis, o vienaskaitos taško tipas. z = ∞ yra nustatomas pagal žodžių skaičių teisingoje funkcijos išplėtimo dalyje Laurento eilėje laipsniais = 0. Todėl 0);
1. Taškas z = ∞ yra nuimamas vienaskaitos taškas, jei šiame išplėtime nėra tinkamos dalies (išskyrus galbūt terminą n A 2. Taškas · = ∞ - polius ;
-toji eilė, jei dešinioji dalis baigiasi terminu z A n

z n z= ∞ yra nuimamas vienaskaitos taškas, tada ši riba egzistuoja ir yra baigtinė, jei z= ∞ yra polius, tada ši riba yra begalinė, jei z= ∞ yra iš esmės vienaskaitos taškas, tada ši riba neegzistuoja (nei baigtinė, nei begalinė).

Pavyzdžiai: 1. f (z ) = -5 + 3. 1 tomas. Maskva, 2003 m. 2 - z 6. Funkcija jau yra daugianario laipsniai z , aukščiausias laipsnis yra šeštasis, todėl z
Tą patį rezultatą galima gauti ir kitu būdu. Mes pakeisime z tada . Dėl funkcijos φ (z 1) taškas z 1 = 0 yra šeštos eilės polius, todėl už f (z ) tašką z = ∞ – šeštos eilės polius.
2. . Norėdami atlikti šią funkciją, gaukite galios išplėtimą z sunku, todėl suraskime: ; riba egzistuoja ir yra baigtinė, taigi taškas z
3. . Teisinga galios išplėtimo dalis z yra be galo daug terminų, todėl z = ∞ yra iš esmės vienaskaitos taškas. Priešingu atveju šis faktas gali būti nustatytas remiantis tuo, kad jo nėra.

Funkcijos liekana be galo nutolusiame vienaskaitos taške.

Dėl paskutinio vienaskaitos taško a , Kur γ - grandinė, kurioje nėra kitų, išskyrus a , vienaskaitos taškai, kertami taip, kad jo apribota sritis, kurioje yra vienaskaitos taškas, liktų kairėje (prieš laikrodžio rodyklę).

Apibrėžkime panašiai: , kur Γ − yra kontūras, ribojantis tokią kaimynystę matematinė analizė (∞, r ) taškais z = ∞, kuriame nėra kitų vienaskaitos taškų ir kurį galima pereiti taip, kad ši kaimynystė liktų kairėje (ty pagal laikrodžio rodyklę). Taigi visi kiti (galutiniai) funkcijos vienaskaitos taškai turi būti kontūro Γ − viduje. Pakeiskime kontūro važiavimo kryptį Γ − : . Pagal pagrindinę likučių teoremą , kur sumavimas atliekamas per visus baigtinius vienaskaitos taškus. Todėl pagaliau

,

tie. liekana be galo nutolusiame vienaskaitos taške lygi sumai liekanos per visus baigtinius vienaskaitos taškus, paimtus su priešingu ženklu.

Dėl to yra bendrosios sumos teorema: jei funkcija z = f (z ) yra analitinis visur plokštumoje SU , išskyrus baigtinis skaičius vienetiniai taškai z 1 , z 2 , z 3 , …,z k , tada likučių suma visuose baigtiniuose vienaskaitos taškuose ir likučių begalybėje yra lygi nuliui.

Atkreipkite dėmesį, kad jei z = ∞ yra nuimamas vienaskaitos taškas, tada likutis jame gali skirtis nuo nulio. Taigi funkcijai, aišku, ; z = 0 yra vienintelis baigtinis šios funkcijos vienaskaitos taškas, taigi , nepaisant to, kad, t.y. z = ∞ yra nuimamas vienaskaitos taškas.