PAMOKA: „NELYGUMŲ SPRENDIMAS VIENU KINTAMOJIU“
Prekė: Algebra
Tema: Nelygybių su vienu kintamuoju sprendimas
Pamokos tikslai:
Švietimas:
organizuoti mokinių veiklą, siekiant suvokti, suvokti ir iš pradžių įtvirtinti tokias sąvokas kaip nelygybių sprendimas vienu kintamuoju, ekvivalentinė nelygybė, nelygybės sprendimas; patikrinti mokinių gebėjimą pritaikyti ankstesnėse pamokose įgytas žinias ir įgūdžius sprendžiant šios pamokos problemas.
Švietimas:
ugdyti domėjimąsi matematika praktiškai naudojant IRT; ugdyti pažintinius mokinių poreikius; formuoti tokias asmenines savybes kaip atsakingumas, atkaklumas siekiant tikslų, savarankiškumas.
Pamokos eiga
I. Organizacinis momentas
II. Apžiūra namų darbai(Pagrindinių žinių atnaujinimas)
1. Naudodami koordinačių tiesę raskite intervalų sankirtą: a) (1;8) ir (5;10); b) (-4;4) ir [-6;6]; c) (5;+∞) ir [-∞;4]
Atsakymas: a) (1;5); b) (-4;4); c) nėra sankryžų
2. Užrašykite paveikslėlyje pavaizduotus intervalus:
2) 
3) 
Atsakymas: 1) (2; 6); b) (-1;7]; c) .
3 pavyzdys, išspręskite nelygybę 3(x-1)<-4+3х.
Atverkime skliaustus kairėje nelygybės pusėje: 3x-3<-4+3х.
Perkelkime terminą 3x su priešingais ženklais iš dešinės pusės į kairę, o terminą -3 iš kairės pusės į dešinę ir pateiksime panašius terminus: 3x-3x<-4+3,
Kaip matome, ši skaitinė nelygybė nėra teisinga jokioms x reikšmėms. Tai reiškia, kad mūsų nelygybė su vienu kintamuoju neturi sprendimo.
Simuliatorius
Išspręskite nelygybę ir pažymėkite jos sprendimą:
f) 7x-2,4<0,4;
h) 6b-1<12-7b;
i) 16x-44>x+1;
k) 5(x-1)+7≤1-3(x+2);
l) 6y-(y+8)-3(2-y)>2.
Atsakymas: a) (-8; +∞); b) [-1,5; +∞ ); c) (5; +∞); d) (-∞; 3); e) (-∞; -0,25); f) (-∞; 0,4); g) [-5; +∞); h) (-∞; 1); i) (3; +∞); j) ; l) (2; +∞).
IV. Išvados
Vieno kintamojo nelygybės sprendimas yra kintamojo reikšmė, paverčianti ją tikra skaitine nelygybe. Išspręsti nelygybę reiškia rasti visus jos sprendimus arba įrodyti, kad sprendimų nėra. Nelygybės, turinčios tuos pačius sprendinius, vadinamos ekvivalentinėmis. Nelygybės, kurios neturi sprendimų, taip pat laikomos lygiavertėmis. Jei abi nelygybės pusės padauginamos arba dalijamos iš to paties neigiamo skaičiaus, o nelygybės ženklą keičiame į priešingą. Kitais atvejais jis išlieka toks pat.
V. Galutinis testavimas
1) Nelygybės sprendimas viename kintamajame vadinamas...
a) kintamojo reikšmė, kuri paverčia jį tikrąja nelygybe;
b) kintamojo reikšmė, kuri paverčia jį teisingu skaitiniu
nelygybė;
c) kintamasis, paverčiantis jį tikra skaitine nelygybe.
2) Kurie iš skaičių yra nelygybės 8+5y>21+6y sprendinys:
a) 2 ir 5 b) -1 ir 8 c) -12 ir 1 d) -15 ir -30?
3) Nurodykite nelygybės 4(x+1)>20 sprendinių aibę:
a) (- ∞; 4); b) (4; +∞); V) .
Įgijus darbo su tiesinėmis nelygybėmis įgūdžių, jų sprendinius galima parašyti trumpai be paaiškinimo. Tokiu atveju pirmiausia užrašykite pradinę tiesinę nelygybę, o žemiau - ekvivalentines nelygybes, gautas kiekviename sprendimo žingsnyje:
3 x+12≤0;
3 x≤−12;
x≤−4 .
Atsakymas:
x≤−4 arba (−∞, −4] .
Pavyzdys.
Išvardykite visus tiesinės nelygybės −2,7·z>0 sprendinius.
Sprendimas.
Čia kintamojo z koeficientas a lygus −2,7. Ir koeficiento b nėra aiškios formos, tai yra, jis yra lygus nuliui. Todėl pirmojo tiesinės nelygybės su vienu kintamuoju sprendimo algoritmo veiksmo atlikti nereikia, nes perkeliant nulį iš kairės į dešinę pradinės nelygybės forma nepasikeis.
Belieka abi nelygybės puses padalyti iš −2,7, nepamirštant nelygybės ženklo pakeisti į priešingą, nes −2,7 yra neigiamas skaičius. Turime (–2,7 z): (–2,7)<0:(−2,7) , tada z<0 .
O dabar trumpai:
−2,7·z>0;
z<0
.
Atsakymas:
z<0 или (−∞, 0) .
Pavyzdys.
Išspręskite nelygybę 
.
Sprendimas.
Turime išspręsti tiesinę nelygybę, kurios koeficientas a kintamajam x lygus −5, o koeficientas b atitinka trupmeną −15/22. Mes tęsiame pagal gerai žinomą schemą: pirmiausia perkeliame −15/22 į dešinę pusę su priešingas ženklas, po kurio abi nelygybės puses padalijame iš neigiamo skaičiaus −5, keičiant nelygybės ženklą: 
Paskutinis perėjimas dešinėje pusėje naudoja 
, tada įvykdytas 
.
Atsakymas:
Dabar pereikime prie atvejo, kai a=0. Tiesinės nelygybės a x+b sprendimo principas<0 (знак, естественно, может быть и другим) при a=0 , то есть, неравенства 0·x+b<0 , заключается в рассмотрении числового неравенства b<0 и выяснении, верное оно или нет.
Kuo tai pagrįsta? Labai paprasta: nustatant nelygybės sprendimą. Kaip? Taip, štai kaip: nesvarbu, kokią kintamojo x reikšmę pakeisime pradine tiesine nelygybe, gausime b formos skaitinę nelygybę<0 (так как при подстановке любого значения t вместо переменной x мы имеем 0·t+b<0 , откуда b<0 ). Если оно верное, то это означает, что любое число является решением исходного неравенства. Если же числовое неравенство b<0 оказывается неверным, то это говорит о том, что исходное линейное неравенство не имеет решений, так как не существует ни одного значения переменной, которое обращало бы его в верное числовое равенство.
Suformuluokime aukščiau pateiktus argumentus formoje tiesinių nelygybių sprendimo algoritmas 0 x+b<0 (≤, >, ≥) :
- Apsvarstykite skaitinę nelygybę b<0 (≤, >, ≥) ir
- jei tai tiesa, tai pradinės nelygybės sprendimas yra bet koks skaičius;
- jei ji klaidinga, tai pradinė tiesinė nelygybė sprendinių neturi.
Dabar supraskime tai pavyzdžiais.
Pavyzdys.
Išspręskite nelygybę 0·x+7>0.
Sprendimas.
Bet kuriai kintamojo x reikšmei tiesinė nelygybė 0 x+7>0 virs skaitine nelygybe 7>0. Paskutinė nelygybė yra teisinga, todėl bet koks skaičius yra pradinės nelygybės sprendimas.
Atsakymas:
sprendinys yra bet koks skaičius arba (−∞, +∞) .
Pavyzdys.
Ar tiesinė nelygybė 0·x−12,7≥0 turi sprendinius?
Sprendimas.
Jei vietoj kintamojo x pakeisime bet kurį skaičių, pradinė nelygybė virsta skaitine nelygybe −12,7≥0, o tai neteisinga. Tai reiškia, kad nei vienas skaičius nėra tiesinės nelygybės 0·x−12,7≥0 sprendinys.
Atsakymas:
ne, taip nėra.
Baigdami šį skyrių išanalizuosime dviejų tiesinių nelygybių, kurių abiejų koeficientai lygūs nuliui, sprendinius.
Pavyzdys.
Kuri iš tiesinių nelygybių 0·x+0>0 ir 0·x+0≥0 neturi sprendinių, o kuri turi be galo daug sprendinių?
Sprendimas.
Jei vietoj kintamojo x pakeisite bet kurį skaičių, pirmoji nelygybė bus 0>0, o antroji – 0≥0. Pirmasis iš jų yra neteisingas, o antrasis yra teisingas. Vadinasi, tiesinė nelygybė 0·x+0>0 neturi sprendinių, o nelygybė 0·x+0≥0 turi be galo daug sprendinių, būtent jos sprendinys yra bet koks skaičius.
Atsakymas:
nelygybė 0 x+0>0 neturi sprendinių, o nelygybė 0 x+0≥0 turi be galo daug sprendinių.
Intervalinis metodas
Paprastai intervalų metodas mokykliniame algebros kurse mokomas vėliau nei tiesinių nelygybių viename kintamajame sprendimo tema. Tačiau intervalų metodas leidžia išspręsti įvairias nelygybes, įskaitant tiesines. Todėl apsistokime ties juo.
Iš karto atkreipkime dėmesį, kad tiesinėms nelygybėms su nuliniu koeficientu kintamajam x spręsti patartina naudoti intervalų metodą. Kitu atveju greičiau ir patogiau padaryti išvadą apie nelygybės sprendimą ankstesnės pastraipos pabaigoje aptartu metodu.
Intervalų metodas reiškia
- įvedant funkciją, atitinkančią kairę nelygybės pusę, mūsų atveju – tiesinė funkcija y=a x+b ,
- rasti nulius, kurie padalija apibrėžimo sritį į intervalus,
- ženklų, turinčių funkcijų reikšmes šiuose intervaluose, nustatymas, kurio pagrindu daroma išvada apie tiesinės nelygybės sprendimą.
Surinkime šias akimirkas algoritmas, atskleidžiantis, kaip išspręsti tiesines nelygybes a x+b<0 (≤, >, ≥) a≠0 naudojant intervalų metodą:
- Rasti funkcijos y=a·x+b nuliai, kuriai išspręsta a·x+b=0. Kaip žinoma, a≠0 jis turi vieną šaknį, kurią žymime kaip x 0 .
- Jis sukonstruotas ir ant jo pavaizduotas taškas, kurio koordinatė x 0. Be to, jei bus nuspręsta griežta nelygybė(su ženklu< или >), tada šis taškas daromas skyrybos ženklu (su tuščiu centru), o jei jis nėra griežtas (su ženklu ≤ arba ≥), tada dedamas įprastas taškas. Šis taškas padalija koordinačių liniją į du intervalus (−∞, x 0) ir (x 0, +∞).
- Nustatomi funkcijos y=a·x+b ženklai šiuose intervaluose. Norėdami tai padaryti, šios funkcijos reikšmė apskaičiuojama bet kuriame intervalo taške (-∞, x 0), o šios reikšmės ženklas bus norimas ženklas intervale (-∞, x 0). Panašiai intervalo (x 0 , +∞) ženklas sutampa su funkcijos y=a·x+b reikšmės ženklu bet kuriame šio intervalo taške. Bet jūs galite apsieiti be šių skaičiavimų ir daryti išvadas apie ženklus pagal koeficiento a reikšmę: jei a>0, tada intervaluose (−∞, x 0) ir (x 0, +∞) bus atitinkamai ženklai − ir +, o jei a >0, tai + ir −.
- Jei sprendžiamos nelygybės su ženklais > arba ≥, tada virš tarpo dedamas liukas su pliuso ženklu, o jei sprendžiamos nelygybės su ženklais< или ≤, то – со знаком минус. В результате получается , которое и является искомым решением линейного неравенства.
Panagrinėkime tiesinės nelygybės sprendimo intervalo metodu pavyzdį.
Pavyzdys.
Išspręskite nelygybę −3·x+12>0.
Sprendimas.
Kadangi mes analizuojame intervalų metodą, mes jį naudosime. Pagal algoritmą pirmiausia randame lygties šaknį −3·x+12=0, −3·x=−12, x=4. Toliau nubrėžiame koordinačių liniją ir pažymime joje tašką koordinate 4, o šį tašką padarome pradurtu, nes sprendžiame griežtą nelygybę: 
Dabar nustatome intervalų ženklus. Norėdami nustatyti intervalo (−∞, 4) ženklą, galite apskaičiuoti funkcijos y=−3·x+12 reikšmę, pavyzdžiui, esant x=3. Turime −3·3+12=3>0, o tai reiškia, kad šiame intervale yra + ženklas. Norėdami nustatyti ženklą kitame intervale (4, +∞), galite apskaičiuoti funkcijos y=−3 x+12 reikšmę, pavyzdžiui, taške x=5. Turime −3·5+12=−3<0
, значит, на этом промежутке знак −. Эти же выводы можно было сделать на основании значения коэффициента при x
: так как он равен −3
, то есть, он отрицательный, то на промежутке (−∞, 4)
будет знак +, а на промежутке (4, +∞)
знак −. Проставляем определенные знаки над соответствующими промежутками:
Kadangi nelygybę sprendžiame su > ženklu, per tarpą nubrėžiame atspalvį + ženklu, brėžinys įgauna formą 
Remdamiesi gautu vaizdu, darome išvadą, kad norimas sprendimas yra (-∞, 4) arba kitu žymėjimu x<4 .
Atsakymas:
(−∞, 4) arba x<4 .
Grafiškai
Naudinga suprasti vieno kintamojo tiesinių nelygybių sprendimo geometrinę interpretaciją. Norėdami jį gauti, panagrinėkime keturias tiesines nelygybes su ta pačia kairiąja puse: 0,5 x−1<0
, 0,5·x−1≤0
, 0,5·x−1>0 ir 0,5 x−1≥0 , jų sprendiniai yra x<2
, x≤2
, x>2 ir x≥2, taip pat nubraižykite tiesinės funkcijos y=0,5 x−1 grafiką. 
Tai lengva pastebėti
- nelygybės 0,5 x−1 sprendimas<0 представляет собой промежуток, на котором график функции y=0,5·x−1 располагается ниже оси абсцисс (эта часть графика изображена синим цветом),
- nelygybės 0,5 x−1≤0 sprendinys reiškia intervalą, kuriame funkcijos y=0,5 x−1 grafikas yra žemiau Ox ašies arba sutampa su ja (kitaip tariant, ne aukščiau abscisių ašies),
- panašiai, nelygybės 0,5 x−1>0 sprendimas yra intervalas, kuriame funkcijos grafikas yra virš Ox ašies (ši grafiko dalis pavaizduota raudonai),
- o nelygybės 0,5·x−1≥0 sprendinys yra intervalas, kuriame funkcijos grafikas yra aukščiau arba sutampa su abscisių ašimi.
Grafinis nelygybių sprendimo metodas, ypač tiesinė, ir reiškia, kad reikia rasti intervalus, kuriuose funkcijos grafikas, atitinkantis kairę nelygybės pusę, yra aukščiau, žemiau, ne žemiau arba ne aukščiau funkcijos, atitinkančios dešinę nelygybės pusę, grafiko. Mūsų tiesinės nelygybės atveju funkcija, atitinkanti kairę pusę, yra y=a·x+b, o dešinioji – y=0, sutampanti su Ox ašimi.
Atsižvelgiant į pateiktą informaciją, ją lengva suformuluoti tiesinių nelygybių grafinio sprendimo algoritmas:
- Sudaromas funkcijos y=a x+b grafikas (schemiškai įmanoma) ir
- sprendžiant nelygybę a x+b<0 определяется промежуток, на котором график ниже оси Ox ,
- sprendžiant nelygybę a x+b≤0, nustatomas intervalas, kuriame grafikas yra žemesnis arba sutampa su Ox ašimi,
- sprendžiant nelygybę a x+b>0, nustatomas intervalas, kuriame grafikas yra virš Ox ašies,
- sprendžiant nelygybę a·x+b≥0, nustatomas intervalas, kuriame grafikas yra aukštesnis arba sutampa su Ox ašimi.
Pavyzdys.
Išspręskite nelygybę 
grafiškai.
Sprendimas.
Nubraižykime tiesinės funkcijos grafiką 
. Tai tiesi linija, kuri mažėja, nes x koeficientas yra neigiamas. Mums taip pat reikia jo susikirtimo su x ašimi taško koordinatės, tai yra lygties šaknis 
, kuris yra lygus . Mūsų poreikiams net nereikia vaizduoti Oy ašies. Taigi mūsų schematinis brėžinys atrodys taip 
Kadangi sprendžiame nelygybę su > ženklu, mus domina intervalas, kuriame funkcijos grafikas yra virš Ox ašies. Aiškumo dėlei šią grafiko dalį paryškinkime raudona spalva, o norėdami lengvai nustatyti šią dalį atitinkantį intervalą, paryškinkime dalį raudonai koordinačių plokštuma, kurioje yra pasirinkta grafiko dalis, kaip parodyta paveikslėlyje žemiau: 
Mus dominantis tarpas yra raudonai paryškinta Jaučio ašies dalis. Akivaizdu, kad tai atviras skaičių pluoštas 
. Tai yra sprendimas, kurio mes ieškome. Atkreipkite dėmesį, kad jei nelygybę spręstume ne ženklu >, o negriežtos nelygybės ženklu ≥, tada atsakyme turėtume pridėti, nes šioje vietoje funkcijos grafikas sutampa su Ox ašimi .y=0·x+7, kuri yra tokia pati kaip y=7, apibrėžia tiesę koordinačių plokštumoje, lygiagrečią Ox ašiai ir gulinčią virš jos. Todėl nelygybė 0 x+7<=0
не имеет решений, так как нет промежутков, на которых график функции y=0·x+7
ниже оси абсцисс.
O funkcijos y=0·x+0, kuri yra tokia pati kaip y=0, grafikas yra tiesė, sutampanti su Ox ašimi. Todėl nelygybės 0·x+0≥0 sprendinys yra visų realiųjų skaičių aibė.
Atsakymas:
antroji nelygybė, jos sprendimas yra bet koks realusis skaičius.
Nelygybės, kurios redukuojasi į tiesinę
Didžiulis skaičius nelygybių gali būti pakeistas lygiavertėmis tiesinėmis nelygybėmis, naudojant lygiavertes transformacijas, kitaip tariant, sumažintas iki tiesinės nelygybės. Tokios nelygybės vadinamos nelygybės, kurios redukuojasi į tiesinę.
Mokykloje beveik kartu sprendžiant tiesines nelygybes, svarstomos ir paprastos nelygybės, kurios redukuojasi į tiesines. Tai ypatingi atvejai visos nelygybės, būtent jų kairėje ir dešinėje dalyse yra ištisos išraiškos, kurios atstovauja arba tiesiniai dvinariai, arba į juos konvertuoja ir . Aiškumo dėlei pateikiame keletą tokių nelygybių pavyzdžių: 5−2·x>0, 7·(x−1)+3≤4·x−2+x, 
.
Nelygybės, kurios savo forma yra panašios į pirmiau nurodytas, visada gali būti sumažintos iki tiesinių. Tai galima padaryti atidarant skliaustus, pateikiant panašius terminus, pertvarkant terminus ir perkeliant terminus iš vienos nelygybės pusės į kitą su priešingu ženklu.
Pavyzdžiui, kad nelygybę 5−2 x>0 sumažintume iki tiesinės, užtenka perstatyti jos kairėje pusėje esančius terminus, turime −2 x+5>0. Norint sumažinti antrąją nelygybę 7·(x−1)+3≤4·x−2+x iki tiesinės, reikia šiek tiek daugiau veiksmo: kairėje pusėje atidarome skliaustus 7 x−7+3≤4 x−2+x , po kurių pateikiame panašius terminus abiejose pusėse 7 x−4≤5 x−2 , tada terminus iš dešinės pusės perkeliame į kairę pusę 7 x−4−5 x+2≤0 , galiausiai panašius terminus pateikiame kairėje pusėje 2 x –2 ≤0. Panašiai trečioji nelygybė gali būti sumažinta iki tiesinės nelygybės.
Dėl to, kad tokias nelygybes visada galima redukuoti iki tiesinių, kai kurie autoriai netgi vadina jas ir tiesinėmis. Bet mes vis tiek laikysime juos redukuojamais į linijinius.
Dabar tampa aišku, kodėl tokios nelygybės nagrinėjamos kartu su tiesinėmis nelygybėmis. O jų sprendimo principas absoliučiai tas pats: atlikus lygiavertes transformacijas, jas galima redukuoti iki elementariųjų nelygybių, reprezentuojančių norimus sprendinius.
Norėdami išspręsti tokio tipo nelygybę, pirmiausia galite ją sumažinti iki tiesinės, o tada išspręsti šią tiesinę nelygybę. Tačiau tai padaryti yra racionaliau ir patogiau:
- atidarę skliaustus, surinkite visus terminus su kintamuoju kairėje nelygybės pusėje ir visus skaičius dešinėje,
- tada pateikti panašias sąlygas,
- ir tada padalykite abi gautos nelygybės puses iš x koeficiento (jei jis, žinoma, skiriasi nuo nulio). Tai duos atsakymą.
Pavyzdys.
Išspręskite nelygybę 5·(x+3)+x≤6·(x−3)+1.
Sprendimas.
Pirmiausia atidarykime skliaustus, todėl gauname nelygybę 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1 . Dabar pateikime panašius terminus: 6 x+15≤6 x−17. Toliau perkeliame sąlygas iš kairėje pusėje, gauname 6 x+15−6 x+17≤0 ir vėl pateikiame panašius terminus (tai veda į tiesinę nelygybę 0 x+32≤0) ir gauname 32≤0. Taigi mes priėjome ne taip skaitinė nelygybė, iš kurio darome išvadą, kad pradinė nelygybė neturi sprendinių.
Atsakymas:
jokių sprendimų.
Apibendrinant pažymime, kad yra daug kitų nelygybių, kurias galima redukuoti į tiesines nelygybes arba į aukščiau aptarto tipo nelygybes. Pavyzdžiui, sprendimas eksponentinė nelygybė 5 2 x−1 ≥1 redukuoja iki tiesinės nelygybės 2 x−1≥0 sprendimo. Bet apie tai kalbėsime analizuodami atitinkamo tipo nelygybių sprendimus.
Nuorodos.
- Algebra: vadovėlis 8 klasei. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; redagavo S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2008. - 271 p. : serga. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Algebra: 9 klasė: mokomoji. bendrajam lavinimui institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; redagavo S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2009. - 271 p. : serga. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- Mordkovičius A. G. Algebra. 8 klasė. 14 val. 1 dalis. Vadovėlis mokiniams švietimo įstaigų/ A. G. Mordkovičius. - 11 leidimas, ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Mordkovičius A. G. Algebra. 9 klasė. Per 2 valandas 1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. – 13 leid., ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01752-3.
- Mordkovičius A. G. Algebra ir pradžia matematinė analizė. 11 klasė. 14 val. 1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams ( profilio lygis) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenovas. - 2 leidimas, ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01027-2.
