Atgal Pirmyn
Dėmesio! Skaidrių peržiūros yra skirtos tik informaciniams tikslams ir gali neatspindėti visų pristatymo funkcijų. Jei jus domina šis darbas, atsisiųskite pilną versiją.
Pamokos tipas: kartojimas ir apibendrinimas.
Pamokos formatas: pamoka-konsultacija.
Pamokos tikslai:
- edukacinis: pakartokite ir apibendrinkite teorinių žinių temomis: „Geometrinė išvestinės reikšmė“ ir „Išvestinės taikymas funkcijų tyrimui“; apsvarstykite visų tipų B8 problemas, su kuriomis susiduriama per vieningą valstybinį matematikos egzaminą; suteikti studentams galimybę pasitikrinti savo žinias savarankiškas sprendimas užduotys; išmokyti užpildyti
- egzamino forma atsakymai; besivystantis: skatinti komunikacijos kaip metodo plėtrą mokslo žinių, semantinė atmintis ir savanoriškas dėmesys; tokių pagrindinių kompetencijų, kaip palyginimas, palyginimas, formavimas, objektų klasifikacija, apibrėžimas
- tinkamų būdų ugdymo problemos sprendimas pagal duotus algoritmus, gebėjimas savarankiškai veikti netikrumo situacijose, kontroliuoti ir vertinti savo veiklą, rasti ir pašalinti sunkumų priežastis; edukacinis (: ugdyti mokiniuose bendravimo įgūdžiai
bendravimo kultūra
, gebėjimas dirbti grupėse); skatinti saviugdos poreikio ugdymą. Technologijos: vystomasis švietimas, IKT.
Mokymo metodai:žodinis, vizualus, praktinis, probleminis.
Darbo formos:
individualus, frontalinis, grupinis.
Mokomoji ir metodinė pagalba:
3. 1. Algebra ir matematinės analizės pradžia 11 klasė: vadovėlis. Dėl bendrojo išsilavinimo Institucijos: pagrindinė ir profilis. lygiai / (Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin); redagavo A. B. Žižčenka. – 4-asis leidimas. – M.: Švietimas, 2011 m. 2. Vieningas valstybinis egzaminas: 3000 matematikos uždavinių su atsakymais. Visos B/A.L grupės užduotys. Semenovas, I. V. Jaščenka ir kiti; redagavo A.L. Semjonova, I.V. Jaščenka. – M.: Leidykla „Egzaminas“, 2011 m.
Įranga ir medžiaga pamokai: projektorius, ekranas, kompiuteris kiekvienam mokiniui su jame įdiegtu pristatymu, atmintinės visiems mokiniams spausdinimas (1 priedas) Ir balų lapelis (2 priedas) .
Preliminarus pasiruošimasį pamoką: kaip namų darbai mokinių prašoma pakartoti teorinę medžiagą iš vadovėlio temomis: „Geometrinė išvestinės reikšmė“, „Išvestinės taikymas funkcijoms tirti“; Klasė suskirstyta į grupes (po 4 žmones), kurių kiekvienoje mokosi skirtingo lygio mokiniai.
Pamokos paaiškinimas:Ši pamoka dėstoma 11 klasėje kartojimo ir pasirengimo vieningam valstybiniam egzaminui etape. Pamoka skirta kartojimui ir apibendrinimui teorinė medžiaga, panaudoti sprendžiant egzamino uždavinius. Pamokos trukmė – 1,5 val .
Ši pamoka nėra pridedama prie vadovėlio, todėl ją galima vesti dirbant su bet kokia mokymo medžiaga. Šią pamoką taip pat galima padalyti į dvi atskiras pamokas ir dėstyti kaip paskutinę pamoką nagrinėjamomis temomis.
Pamokos eiga
I. Organizacinis momentas.
II. Tikslų nustatymo pamoka.
III. Kartojimas tema „Išvestinių geometrinė reikšmė“.
Burnos frontalinis darbas projektoriumi (skaidrės Nr. 3-7)
Darbas grupėse: uždavinių sprendimas su užuominomis, atsakymais, su mokytojo konsultacija (skaidr. Nr. 8-17)
IV. Savarankiškas darbas 1.
Mokiniai dirba individualiai kompiuteriu (skaidrės Nr. 18-26), atsakymus įveda į vertinimo lapą. Jei reikia, galite pasikonsultuoti su mokytoju, tačiau tokiu atveju mokinys praras 0,5 balo. Jei mokinys darbą atlieka anksčiau, jis gali pasirinkti spręsti papildomas užduotis iš rinkinio, p. 242, 306-324 (papildomos užduotys vertinamos atskirai).
V. Abipusis patikrinimas.
Mokiniai keičiasi vertinimo lapais, patikrina draugo darbus ir skiria taškus (skaidr. Nr. 27)
VI. Žinių koregavimas.
VII. Kartojimas tema „Išvestinės taikymas funkcijų tyrimui“
Burnos frontalinis darbas projektoriumi (skaidrės Nr. 28-30)
Darbas grupėse: uždavinių sprendimas su užuominomis, atsakymais, su mokytojo konsultacija (skaidr. Nr. 31-33)
VIII. Savarankiškas darbas 2.
Mokiniai dirba individualiai kompiuteriu (skaidrės Nr. 34-46), atsakymus įveda į atsakymų formą. Jei reikia, galite pasikonsultuoti su mokytoju, tačiau tokiu atveju mokinys praras 0,5 balo. Jei mokinys darbą atlieka anksčiau, jis gali pasirinkti spręsti papildomas užduotis iš rinkinio, p. 243-305 (papildomos užduotys vertinamos atskirai).
IX. Tarpusavio peržiūra.
Mokiniai keičiasi vertinimo lapais, patikrina draugo darbus ir skiria taškus (skaidr. Nr. 47).
X. Žinių taisymas.
Mokiniai vėl dirba savo grupėse, aptaria sprendimą ir taiso klaidas.
XI. Apibendrinant.
Kiekvienas mokinys suskaičiuoja savo taškus ir pažymi balų lape.
Mokiniai pateikia mokytojui vertinimo lapą ir papildomų problemų sprendimus.
Kiekvienas mokinys gauna atmintinę (skaidr. Nr. 53-54).
XII. Atspindys.
Mokinių prašoma įvertinti savo žinias pasirenkant vieną iš frazių:
- Man pavyko!!!
- Turime išspręsti dar porą pavyzdžių.
- Na, kas sugalvojo šią matematiką!
XIII. Namų darbai.
Už namų darbai Mokiniai kviečiami rinktis spręsti užduotis iš rinkinio 242-334 p., taip pat nuo atviras bankas 2. Vieningas valstybinis egzaminas: 3000 matematikos uždavinių su atsakymais. Visos B/A.L grupės užduotys. Semenovas, I. V. Jaščenka ir kiti; redagavo A.L. Semjonova, I.V. Jaščenka. – M.: Leidykla „Egzaminas“, 2011 m.
Funkcijos $y = f(x)$ išvestinė duotame taške $x_0$ yra funkcijos prieaugio santykio su atitinkamu argumento prieaugiu riba, jei pastarasis linkęs į nulį:
$f"(x_0)=(lim)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$
Diferenciacija yra išvestinės paieškos operacija.
Kai kurių elementariųjų funkcijų išvestinių lentelė
| Funkcija | Darinys |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n$ | $nx^(n-1)$ |
| $(1)/(x)$ | $-(1)/(x^2)$ |
| $√x$ | $(1)/(2√x)$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $lnx$ | $(1)/(x)$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx $ |
| $tgx$ | $(1)/(cos^2x)$ |
| $ctgx$ | $-(1)/(sin^2x)$ |
Pagrindinės diferenciacijos taisyklės
1. Sumos (skirtumo) išvestinė yra lygi išvestinių sumai (skirtumui)
$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$
Raskite funkcijos $f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$ išvestinę
Sumos (skirtumo) išvestinė yra lygi išvestinių sumai (skirtumui).
$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$
2. Produkto darinys
$(f(x) g(x)"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$
Raskite išvestinę $f(x)=4x cosx$
$f"(x)=(4x)"·cosx+4x·(cosx)"=4·cosx-4x·sinx$
3. Dalinio išvestinė
$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $
Raskite išvestinę $f(x)=(5x^5)/(e^x)$
$f"(x)=((5x^5)"·e^x-5x^5·(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4·e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$
4. Išvestinė sudėtinga funkcija yra lygus išorinės funkcijos išvestinės ir vidinės funkcijos išvestinės sandaugai
$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$
$f"(x)=cos"(5x)·(5x)"=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$
Išvestinio fizinė reikšmė
Jeigu materialusis taškas juda tiesia linija ir jo koordinatė keičiasi priklausomai nuo laiko pagal dėsnį $x(t)$, tai momentinis greitis duoto taško yra lygus funkcijos išvestinei.
Taškas juda koordinačių linija pagal dėsnį $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$, kur $x(t)$ yra koordinatė momentu $t$. Kuriuo momentu taško greitis bus lygus $12$?
1. Greitis yra $x(t)$ išvestinė, todėl suraskime duotosios funkcijos išvestinę
$v(t) = x"(t) = 1,5 2t -3 = 3t -3$
2. Norėdami sužinoti, kuriuo momentu $t$ greitis buvo lygus $12$, sukuriame ir išsprendžiame lygtį:
Geometrinė išvestinės reikšmė
Prisiminkite, kad tiesės, kuri nėra lygiagreti koordinačių ašims, lygtis gali būti parašyta forma $y = kx + b$, kur $k$ yra tiesės nuolydis. Koeficientas $k$ lygus tangentei pasvirimo kampas tarp tiesės ir teigiamos $Ox$ ašies krypties.
Funkcijos $f(x)$ išvestinė taške $x_0$ lygi nuolydis$k$ grafiko liestinė tam tikrame taške:
Todėl galime sukurti bendrą lygybę:
$f"(x_0) = k = tanα$
Paveiksle funkcijos $f(x)$ liestinė didėja, todėl koeficientas $k > 0$. Kadangi $k > 0$, tai $f"(x_0) = tanα > 0$. Kampas $α$ tarp liestinės ir teigiamos krypties $Ox$ yra smailusis.
Paveiksle funkcijos $f(x)$ liestinė mažėja, todėl koeficientas $k< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.
Paveiksle funkcijos $f(x)$ liestinė yra lygiagreti $Ox$ ašiai, todėl koeficientas $k = 0$, taigi $f"(x_0) = tan α = 0$. taškas $x_0$, kuriame $f "(x_0) = 0$, iškviestas ekstremumas.
Paveikslėlyje parodytas funkcijos $y=f(x)$ grafikas ir šio grafiko liestinė, nubrėžta taške su abscise $x_0$. Raskite funkcijos $f(x)$ išvestinės reikšmę taške $x_0$.
Diagramos liestinė didėja, todėl $f"(x_0) = tan α > 0$
Norėdami rasti $f"(x_0)$, randame polinkio kampo liestinę tarp liestinės ir teigiamos $Ox$ ašies krypties. Tam statome trikampio $ABC$ liestinę.
Raskime kampo $BAC$ liestinę. (Tangencialus aštrus kampas V stačiakampis trikampis vadinamas santykiu priešinga pusėį gretimą koją.)
$tg BAC = (BC) / (AC) = (3) / (12) = (1) / (4) = 0,25 USD
$f"(x_0) = tg BAC = 0,25 $
Atsakymas: 0,25 USD
Išvestinė taip pat naudojama funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalams rasti:
Jei intervale $f"(x) > 0$, tai funkcija $f(x)$ šiame intervale didėja.
Jei $f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.
Paveiksle pavaizduotas funkcijos $y = f(x)$ grafikas. Raskite tarp taškų $х_1,х_2,х_3...х_7$ tuos taškus, kuriuose funkcijos išvestinė yra neigiama.
Atsakydami užrašykite šių taškų skaičių.
\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)
TurinysTurinio elementai
Išvestinė, liestinė, antiderivatinė, funkcijų grafikai ir išvestinės.
Darinys Tegul funkcija \(f(x)\) yra apibrėžta tam tikroje taško \(x_0\) kaimynystėje.
Funkcijos \(f\) išvestinė taške \(x_0\) vadinamas limitu
\(f"(x_0)=\lim_(x\rightarrow x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)
jei ši riba egzistuoja.
Funkcijos išvestinė taške apibūdina šios funkcijos kitimo greitį tam tikrame taške.
| Funkcija | Darinys |
| \(konst.\) | \(0\) |
| \(x\) | \(1\) |
| \(x^n\) | \(n\cdot x^(n-1)\) |
| \(\dfrac(1)(x)\) | \(-\dfrac(1)(x^2)\) |
| \(\sqrt(x)\) | \(\dfrac(1)(2\sqrt(x))\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) |
| \(a^x\) | \(a^x\cdot \ln(a)\) |
| \(\ln(x)\) | \(\dfrac(1)(x)\) |
| \(\log_a(x)\) | \(\dfrac(1)(x\ln(a))\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) |
| \(\tg x\) | \(\dfrac(1)(\cos^2 x)\) |
| \(\ctg x\) | \(-\dfrac(1)(\sin^2x)\) |
Diferencijavimo taisyklės\(f\) ir \(g\) yra funkcijos, priklausančios nuo kintamojo \(x\); \(c\) yra skaičius.
2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)
3) \((f+g)"= f"+g"\)
4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)
5) \(\left(\dfrac(f)(g)\right)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)
6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) – sudėtingos funkcijos išvestinė
Geometrinė išvestinės reikšmė Linijos lygtis- ne lygiagrečiai ašiai \(Oy\) galima parašyti \(y=kx+b\) forma. Koeficientas \(k\) šioje lygtyje vadinamas tiesios linijos nuolydis. Jis lygus tangentui pasvirimo kampasši tiesi linija.
Tiesus kampas- kampas tarp teigiamos \(Ox\) ašies krypties ir šios tiesės, matuojamas ta kryptimi teigiami kampai(ty mažiausio sukimosi kryptimi nuo \(Ox\) ašies iki \(Oy\) ašies).
Funkcijos \(f(x)\) išvestinė taške \(x_0\) yra lygi funkcijos grafiko liestinės nuolydžiui šiame taške: \(f"(x_0)=\tg\ alfa.\)
Jei \(f"(x_0)=0\), tada funkcijos \(f(x)\) grafiko liestinė taške \(x_0\) yra lygiagreti ašiai \(Ox\).
Tangento lygtis
Funkcijos \(f(x)\) grafiko liestinės lygtis taške \(x_0\):
\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)
Funkcijos monotoniškumas Jei funkcijos išvestinė yra teigiama visuose intervalo taškuose, tai funkcija didėja šiame intervale.
Jei funkcijos išvestinė yra neigiama visuose intervalo taškuose, tai funkcija šiame intervale mažėja.
Minimalus, maksimalus ir posūkio taškai teigiamasįjungta neigiamasšiuo metu \(x_0\) yra maksimalus funkcijos \(f\) taškas.
Jei funkcija \(f\) yra ištisinė taške \(x_0\), o šios funkcijos išvestinės reikšmė \(f"\) pasikeičia neigiamasįjungta teigiamasšiuo metu \(x_0\) yra mažiausias funkcijos \(f\) taškas.
Iškviečiami taškai, kuriuose išvestinė \(f"\) yra lygi nuliui arba neegzistuoja kritinius taškus funkcijos \(f\).
Funkcijos \(f(x)\) apibrėžimo srities vidiniai taškai, kuriuose \(f"(x)=0\) gali būti minimalus, maksimalus arba vingio taškai.
Išvestinio fizinė reikšmė Jeigu materialusis taškas juda tiesia linija, o jo koordinatė keičiasi priklausomai nuo laiko pagal dėsnį \(x=x(t)\), tai šio taško greitis yra lygus koordinatės išvestinei laiko atžvilgiu:
Pagreitis materialus taškas lygi šio taško greičio išvestinei laiko atžvilgiu:
\(a(t)=v"(t).\)
Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = f(x) grafikas ir jos liestinė taške, kurio abscisė x 0. Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5 0 K = -0,5 K = 0,5"> 0 K = -0,5 K = 0,5"> 0 K = -0,5 K = 0,5" title="Paveikslėlyje parodytas funkcijos y = f(x) grafikas ) ir jo liestinė taške, kurio abscisė x 0. Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5"> title="Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = f(x) grafikas ir jos liestinė taške, kurio abscisė x 0. Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5"> !}
Paveikslėlyje pavaizduotas intervale (-1;17) apibrėžtos funkcijos f(x) išvestinės grafikas. Raskite funkcijos f(x) mažėjimo intervalus. Atsakyme nurodykite didžiausio iš jų ilgį. f(x) 
0 intervale, tada funkcija f(x)" title="Paveiksle parodytas funkcijos y = f(x) grafikas. Raskite tarp taškų x 1, x 2, x 3, x 4 , x 5, x 6 ir x 7 yra taškai, kuriuose funkcijos f(x) išvestinė yra teigiama funkcija f(x)" class="link_thumb"> 8 !} Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = f(x) grafikas. Tarp taškų x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 ir x 7 raskite tuos taškus, kuriuose funkcijos f(x) išvestinė yra teigiama. Atsakydami užrašykite rastų taškų skaičių. Jei intervale f (x) > 0, tai funkcija f (x) šiame intervale didėja. Atsakymas: 2 0 intervale, tada funkcija f(x)"> 0 intervale, tada funkcija f(x) didėja šiame intervale. Atsakymas: 2"> 0 intervale, tada funkcija f(x)" title= "On) Paveikslėlyje parodytas funkcijos y = f(x) grafikas. Raskite tarp taškų x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 ir x 7 tuos taškus, kuriuose Funkcijos f(x) išvestinė užrašykite rastų taškų skaičių."> title="Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = f(x) grafikas. Tarp taškų x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 ir x 7 raskite tuos taškus, kuriuose funkcijos f(x) išvestinė yra teigiama. Atsakydami užrašykite rastų taškų skaičių. Jei intervale f (x) > 0, tada funkcija f(x)"> !}
Paveikslėlyje pavaizduotas intervale (-9; 2) apibrėžtos funkcijos f(x) išvestinės grafikas. Kuriame atkarpos taške -8; -4 funkcija f(x). didžiausia vertė? Segmente -8; -4 f(x) 
Funkcija y = f(x) yra apibrėžta intervale (-5; 6). Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = f(x) grafikas. Tarp taškų x 1, x 2, ..., x 7 raskite tuos taškus, kuriuose funkcijos f(x) išvestinė lygi nuliui. Atsakydami užrašykite rastų taškų skaičių. Atsakymas: 3 taškai x 1, x 4, x 6 ir x 7 yra ekstremalūs taškai. Taške x 4 nėra f (x)
Literatūra 4 Algebra ir analizės pradžia. Vadovėlis švietimo įstaigoms bazinis lygis/ Sh. A. Alimov ir kiti, - M.: Prosveshchenie, Semenov A. L. Vieningas valstybinis egzaminas: 3000 matematikos uždavinių. – M.: Leidykla „Egzaminas“, Gendenshtein L. E., Ershova A. P., Ershova A. S. Vizualus algebros ir analizės pradžios vadovas su pavyzdžiais 7-11 klasei. – M.: Ileksa, Elektroninis šaltinis Atidarykite Vieningo valstybinio egzamino užduočių banką.
