Lygtys su parametrais: grafinis sprendimo būdas

8-9 klasės

Straipsnyje aptariamas grafinis kai kurių lygčių su parametrais sprendimo būdas, kuris yra labai efektyvus, kai reikia nustatyti, kiek šaknų lygtis turi priklausomai nuo parametro. a.

1 uždavinys. Kiek šaknų turi lygtis? | | x | – 2 | = a priklausomai nuo parametro a?

Sprendimas. Koordinačių sistemoje (x; y) sudarysime funkcijų y = | grafikus | x | – 2 | ir y = a. Funkcijos y = | grafikas | x | – 2 | parodyta paveiksle.

Funkcijos y = a grafikas yra tiesė, lygiagreti Ox ašiai arba su ja sutampanti (jei a = 0).

Iš piešinio matyti, kad:

Jeigu a= 0, tada tiesė y = a sutampa su Ox ašimi ir turi funkcijos y = | grafiką | x | – 2 | du bendrų taškų ; Tai reiškia, kad pradinė lygtis turi dvi šaknis (inšiuo atveju
galima rasti šaknis: x 1.2 = d 2).< a < 2, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | четыре общие точки и, следовательно, Jei 0 pradinė lygtis
turi keturias šaknis. a Jeigu
turi keturias šaknis. a= 2, tada tiesė y = 2 turi tris bendrus taškus su funkcijos grafiku. Tada pradinė lygtis turi tris šaknis. a> 2, tada tiesė y =

turės du taškus su pradinės funkcijos grafiku, tai yra, ši lygtis turės dvi šaknis. a < 0, то корней нет;
Jeigu a = 0, a Jeigu
Jeigu a> 2, tada yra dvi šaknys;
= 2, tada trys šaknys;< a < 2, то четыре корня.

jei 0 2 uždavinys. Kiek šaknų turi lygtis? a priklausomai nuo parametro a?

| x 2 – 2| x | – 3 | = a.

Sprendimas. Koordinačių sistemoje (x; y) sudarysime funkcijų y = | grafikus x 2 – 2| x | – 3 | ir y = a = 0).

Funkcijos y = | grafikas x 2 – 2| x | – 3 | parodyta paveiksle. Funkcijos y = a grafikas yra tiesė, lygiagreti su Ox arba su ja sutampanti (kai

Jeigu a= 0, tada tiesė y = a Iš piešinio matote: a sutampa su Ox ašimi ir turi funkcijos y = | grafiką x2 – 2| x | – 3 | du bendri taškai, taip pat tiesė y = a turės su funkcijos y = | grafiku x 2 – 2| x | – 3 | du bendri taškai a> 4. Taigi, kada a= 0 ir
galima rasti šaknis: x 1.2 = d 2).< a < 3, то прямая y = a> 4 pradinė lygtis turi dvi šaknis. a turi su funkcijos y = | grafiku x 2 – 2| x | – 3 | a keturi bendri taškai, taip pat tiesė y=< a < 3, a turės keturis bendrus taškus su sukurtos funkcijos at grafiku
turi keturias šaknis. a= 4. Taigi, esant 0 a= 4 pradinė lygtis turi keturias šaknis.
= 3, tada tiesi linija y =< a < 4, прямая y = a пересекает график построенной функции в шести точках; значит, при этих значениях параметра исходное уравнение имеет шесть корней.
turi keturias šaknis. a < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = a не пересекает график функции y = | x 2 – 2| x | – 3 |.

turės du taškus su pradinės funkcijos grafiku, tai yra, ši lygtis turės dvi šaknis. a < 0, то корней нет;
Jeigu a = 0, a kerta funkcijos grafiką penkiuose taškuose; todėl lygtis turi penkias šaknis.
= 2, tada trys šaknys;< a < 3, a Jei 3
Jeigu a> 4, tada dvi šaknys;
= 4, tada keturios šaknys;< a < 4, то шесть корней.

= 3, tada penkios šaknys;

jei 3 a?

Sprendimas. Sukurkime funkcijos grafiką koordinačių sistemoje (x; y) bet pirmiausia pateiksime jį tokia forma:

Tiesės x = 1, y = 1 yra funkcijos grafiko asimptotės. Funkcijos y = | grafikas x | + a gautas iš funkcijos y = | grafiko x | poslinkis vienetais išilgai Oy ašies.

Funkcijų grafikai susikerta viename taške a> – 1; Tai reiškia, kad (1) šių parametrų verčių lygtis turi vieną sprendimą.

At a = – 1, a= – 2 grafikai susikerta dviejuose taškuose; Tai reiškia, kad šioms parametrų reikšmėms (1) lygtis turi dvi šaknis.
-2 val< a < – 1, a < – 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

turės du taškus su pradinės funkcijos grafiku, tai yra, ši lygtis turės dvi šaknis. a> – 1, tada vienas sprendimas;
Jeigu a = – 1, a= – 2, tada yra du sprendiniai;
jei – 2< a < – 1, a < – 1, то три решения.

komentuoti. Sprendžiant 3 uždavinio (1) lygtį, ypatingas dėmesys turėtų būti skiriamas tuo atveju, kai a= – 2, nes taškas (– 1; – 1) nepriklauso funkcijos grafikui bet priklauso funkcijos y = | grafikui x | + a.

Pereikime prie kitos problemos sprendimo.

4 uždavinys. Kiek šaknų turi lygtis?

x + 2 = a| x – 1 |

jei 3 a?

(2) Sprendimas. Atminkite, kad x = 1 nėra šaknis duota lygtis a, nes lygybė 3 = a· 0 negali būti teisinga jokiai parametro vertei . Abi lygties puses padalinkime iš | x – 1 |(| x – 1 | Nr. 0), tada (2) lygtis įgis tokią formą

Koordinačių sistemoje xOy nubraižysime funkciją aŠios funkcijos grafikas parodytas paveikslėlyje. Funkcijos y = grafikas a = 0).

turės du taškus su pradinės funkcijos grafiku, tai yra, ši lygtis turės dvi šaknis. a yra tiesi linija, lygiagreti Ox ašiai arba su ja sutampanti (jei
Ј – 1, tada nėra šaknų;< a jei – 1
Jeigu aЈ 1, tada viena šaknis;

> 1, tada yra dvi šaknys.

Panagrinėkime sudėtingiausią lygtį. a 5 uždavinys. Kokiomis parametro reikšmėmis

a lygtis

x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

turi tris sprendimus? a Sprendimas. 1. Šios lygties parametro kontrolinė vertė bus skaičius a= 0, kai (3) lygtis yra 0 + | x – 1 | = 0, iš kur x = 1. Taigi, kada

= 0, (3) lygtis turi vieną šaknį, kuri neatitinka uždavinio sąlygų. a № 0.

2. Apsvarstykite atvejį, kai a Perrašykime (3) lygtį tokia forma: a < 0.

x 2 = – | x – 1 |. Atkreipkite dėmesį, kad lygtis turės sprendinius tik tada, kai a Koordinačių sistemoje xOy sudarysime funkcijų y = | grafikus x – 1 | ir y = a x 2 . Funkcijos y = | grafikas x – 1 | parodyta paveiksle. Funkcijos y = grafikas a < 0. Вершина параболы - точка (0; 0).

x 2 yra parabolė, kurios šakos nukreiptos žemyn, nes a(3) lygtis turės tris sprendinius tik tada, kai tiesė y = – x + 1 yra funkcijos y= grafiko liestinė

x 2 . a Tegul x 0 yra tiesės y = – x + 1 su parabole y = liesties taško abscisė

x 2 . Tangento lygtis turi formą

y = y(x 0) + y "(x 0)(x – x 0).

Užrašykime lietimo sąlygas:

Panagrinėkime kitą metodą. Pasinaudokime tuo, kad jei tiesė y = kx + b turi vieną bendrą tašką su parabole y = a x 2 + px + q, tada lygtis a x 2 + px + q = kx + b turi turėti unikalų sprendimą, tai yra, jo diskriminantas yra lygus nuliui. Mūsų atveju turime lygtį a x 2 = – x + 1 ( a Nr. 0). Diskriminacinė lygtis

Problemos, kurias reikia spręsti savarankiškai

6. Kiek šaknų turi lygtis priklausomai nuo parametro a?

1)| | x | – 3 | = a;
2)| x + 1 | + | x + 2 | = a;
3)| x 2 – 4| x | + 3 | = a;
4)| x 2 – 6| x | + 5 | = a.

1) jei a<0, то корней нет; если a=0, a>3, tada dvi šaknys; Jeigu a=3, tada trys šaknys; jei 0<a<3, то четыре корня;
2) jei a<1, то корней нет; если a=1, tada yra begalinė aibė sprendinių iš intervalo [– 2; a– 1]; Jeigu
> 1, tada yra du sprendiniai; a<0, то корней нет; если a=0, a<3, то четыре корня; если 0<a<1, то восемь корней; если a 3) jei a=1, tada šešios šaknys; Jeigu a=3, tada yra trys sprendiniai; Jeigu
>3, tada yra du sprendiniai; a<0, то корней нет; если a=0, 4<a<5, то четыре корня; если 0<a< 4, то восемь корней; если a 4) jei a=4, tada šešios šaknys; Jeigu a=5, tada trys šaknys; Jeigu

>5, tada yra dvi šaknys. a 7. Kiek šaknų turi lygtis | x + 1 | = a?

(x – 1) priklausomai nuo parametro .

Pastaba. Kadangi x = 1 nėra lygties šaknis, šią lygtį galima redukuoti į formą a Atsakymas: jei a > 1, a J-1,<a<0, то два корня; если 0<a=0, tada viena šaknis; jei – 1

Ј 1, tada nėra šaknų. a 8. Kiek šaknų turi lygtis x + 1 =? a?

| x – 1 |priklausomai nuo parametro

Pastaba. Kadangi x = 1 nėra lygties šaknis, šią lygtį galima redukuoti į formą a Nubraižykite grafiką (žr. pav.).<aЈ –1, tada nėra šaknų; jei – 1 aЈ 1, tada viena šaknis; Jeigu

>1, tada yra dvi šaknys.

9. Kiek šaknų turi lygtis?

jei 3 a?

2| x | – 1 = a(x – 1)

Pastaba. Kadangi x = 1 nėra lygties šaknis, šią lygtį galima redukuoti į formą a Pastaba. Sumažinkite lygtį, kad susidarytumėte a>2, a J-2,<a<1, то два корня; если 1<a=1, tada viena šaknis; jei – 2

Ј 2, tada nėra šaknų.

jei 3 a?

Pastaba. Kadangi x = 1 nėra lygties šaknis, šią lygtį galima redukuoti į formą aЈ 0, a 10. Kiek šaknų turi lygtis?<a<2, то два корня.

i 2, tada viena šaknis; jei 0 a 5 uždavinys. Kokiomis parametro reikšmėmis

11. Kokiomis parametro reikšmėmis a x 2+

x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

| x – 2 | = 0 a Pastaba. Sumažinkite lygtį iki formos x 2 = –

| x – 2 |. a Atsakymas: kada

J – 8. a 5 uždavinys. Kokiomis parametro reikšmėmis

a 12. Kokiomis parametro reikšmėmis

x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

x 2 + | x + 1 | = 0 a Pastaba. Naudokite 5 uždavinį. Ši lygtis turi tris sprendinius tik tuo atveju, jei lygtis a x 2 + x + 1 = 0 turi vieną sprendinį ir atvejį

= 0 netenkina uždavinio sąlygų, tai yra, atvejis išlieka, kai

13. Kiek šaknų turi lygtis? a

jei 3 a?

x | x – 2 | = 1 – Pastaba. Sumažinkite lygtį iki formos –x |x – 2| + 1 =

jei 3 a?

a

Pastaba. Kadangi x = 1 nėra lygties šaknis, šią lygtį galima redukuoti į formą a<0, a Pastaba. Sukurkite šios lygties kairės ir dešinės pusės grafikus. a>2, tada yra dvi šaknys; jei 0Ј

Ј 2, tada viena šaknis.

jei 3 a?

16. Kiek šaknų turi lygtis? Pastaba. Sukurkite šios lygties kairiosios ir dešiniosios pusės grafikus. Norėdami pavaizduoti funkciją

Pastaba. Kadangi x = 1 nėra lygties šaknis, šią lygtį galima redukuoti į formą a Raskime reiškinių x + 2 ir x pastovaus ženklo intervalus: a>– 1, tada vienas sprendimas; Jeigu<a<–1, то четыре решения; если a= – 1, tada yra du sprendiniai; jei – 3

Ј –3, tada yra trys sprendiniai.

Pirmiausia išspręskime pagalbinę problemą. Laikykime šią nelygybę nelygybe su dviem kintamaisiais x x ir a a ir koordinačių plokštumoje x O a xOa nubrėžkime visus taškus, kurių koordinatės tenkina nelygybę.

Jei 2 x + a ≥ 0 2x+a \geq 0 (t. y. tiesėje a = - 2 x a=-2x ir daugiau), tada gauname 2 x + a ≤ x + 2 ⇔ a ≤ 2 - x 2x+ a \leq x+2 \Rodyklė į kairę į dešinę a \leq 2-x .

Rinkinys parodytas fig. 11.

Dabar išspręskime pradinę problemą naudodami šį piešinį. Jei pataisysime a a , tada gausime horizontalią liniją a = const a = \textrm(const) . Norėdami nustatyti x x reikšmes, turite rasti šios linijos susikirtimo taškų su nelygybės sprendimų rinkiniu abscisę. Pavyzdžiui, jei a = 8 a=8, tai nelygybė neturi sprendinių (tiesė nekerta aibės); jei a = 1 a=1 , tai visi sprendiniai yra x x iš intervalo [ - 1 ; 1 ] [-1;1] ir tt Taigi, galimi trys variantai.

1) Jei $$a>4$$, tada sprendimų nėra.

2) Jei a = 4 a=4, tai x = - 2 x=-2.

ATSAKYTI

už $$a

jei a = 4 a = 4 - x = - 2 x = -2 ;

už $$a>4$$ – sprendimų nėra.

Raskite visas parametro a reikšmes, kurioms nelygybė $$3-|x-a| > x^2$$ a) turi bent vieną sprendimą; b) turi bent vieną teigiamą sprendimą.

Perrašykime nelygybę į formą $$3-x^2 > |x-a)$$. Sukurkime x O y xOy plokštumos kairiosios ir dešiniosios dalių grafikus. Grafas kairėje yra parabolė su žemyn nukreiptomis šakomis, kurių viršūnė yra taške (0; 3) (0;3). Grafikas kerta x ašį taškuose (± 3 ; 0) (\pm \sqrt(3);0) . Dešinės pusės grafikas yra kampas su viršūne x ašyje, kurios kraštinės nukreiptos į viršų 45 ° 45^ (\circ) kampu su koordinačių ašimis. Viršūnės abscisė yra taškas x = a x=a .

a) Kad nelygybė turėtų bent vieną sprendinį, būtina ir pakanka, kad bent viename taške parabolė būtų virš grafiko y = | x - a | y=|x-a| . Tai daroma, jei kampo viršūnė yra tarp abscisių ašies taškų A A ir B B (žr. 12 pav. – taškai A A ir B B neįtraukti). Taigi reikia nustatyti, kurioje viršūnės padėtyje viena iš kampo šakų liečia parabolę.

Panagrinėkime atvejį, kai kampo viršūnė yra taške A A . Tada dešinioji kampo šaka paliečia parabolę. Jo nuolydis lygus vienetui. Tai reiškia, kad funkcijos y = 3 - x 2 y = 3-x^2 išvestinė liesties taške yra lygi 1 1, t.y. - 2 x = 1 -2x=1, iš kur x = - 1 2 x = -\frac( 1)(2) . Tada liestinės taško ordinatė yra y = 3 - (1 2) 2 = 11 4 y = 3 - (\frac(1)(2))^2 = \frac(11)(4) . Tiesės, kurios kampo koeficientas k = 1 k=1, ir einančios per tašką su koordinatėmis (- 1 2 ; 11 4) lygtis (-\frac(1)(2); \frac(11)(4) ) yra šis * ( \^* : y - 11 4 = 1 · (x + 1 2) y - \frac{11}{4} = 1 \cdot (x+ \frac{1}{2}) , откуда y = x + 13 4 y = x + \frac{13}{4} .!}

Tai yra dešinės kampo šakos lygtis. Susikirtimo su x ašimi taško abscisė lygi - 13 4 -\frac(13)(4), t.y. taškas A A turi koordinates A (- 13 4 ; 0) A(-\frac(13)(4) ) ). Simetrijos sumetimais taškas B B turi koordinates: B (13 4 ; 0) B(\frac(13)(4); 0) .

Iš čia gauname, kad a ∈ (- 13 4 ; 13 4) a\in (-\frac(13)(4); \frac(13)(4)) .

b) Nelygybė turi teigiamus sprendinius, jei kampo viršūnė yra tarp taškų F F ir B B (žr. 13 pav.). Rasti taško F F padėtį nėra sunku: jei kampo viršūnė yra taške F F, tai jo dešinioji atšaka (tiesė, pateikta lygybe y = x - a y = x-a eina per tašką (0; 3). ) (0;3) Iš čia matome, kad a = - 3 a=-3 ir taškas F F turi koordinates (- 3 ; 0) (-3;0) \in (-3; \frac(13)(4) ) .

ATSAKYTI

a) a ∈ (- 13 4 ; 13 4) ,       a\in (-\frac(13)(4); \frac(13)(4)),\:\:\: b) a ∈ (- 3) 13 4) a \in (-3; \frac(13)(4)) .

* {\^* Полезные формулы: !}

- \-- tiesė, einanti per tašką (x 0 ; y 0) (x_0;y_0) ir turinti kampinį koeficientą k k, pateikiama lygtimi y - y 0 = k (x - x 0) y-y_0= k(x-x_0 ) ;

- \-- tiesės, einančios per taškus (x 0 ; y 0) (x_0;y_0) ir (x 1 ; y 1) (x_1;y_1), kur x 0 ≠ x 1 x_0 \neq x_1, apskaičiuojamas pagal formulę k = y 1 - y 0 x 1 - x 0 k = \dfrac(y_1-y_0)(x_1-x_0) .

komentuoti. Jei reikia rasti parametro reikšmę, kuriai esant tiesė y = k x + l y=kx+l ir parabolė y = a x 2 + b x + c y = ax^2+bx+c, galite parašyti sąlyga, kad lygtis k x + l = a x 2 + b x + c kx+l = ax^2+bx+c turi tiksliai vieną sprendinį Tada kitą būdą rasti parametro a a reikšmes, kurioms yra kampo viršūnė yra taške A A yra tokia: lygtis x - a = 3 - x 2 x-a = 3-x^2 turi tiksliai vieną sprendinį ⇔ D = 1 + 4 (a + 3) = 0 ⇔ a = - 13 4 \Rodyklė į kairę D = 1 + 4(a+3) = 0 \Rodyklė kairėn dešinėn a = -\ dfrac(13)(4) .

Atkreipkite dėmesį, kad tokiu būdu neįmanoma užrašyti sąlygos, kad linija paliestų savavališką grafiką. Pavyzdžiui, tiesė y = 3 x - 2 y = 3x - 2 paliečia kubinę parabolę y = x 3 y=x^3 taške (1 ; 1) (1; 1) ir kerta ją taške (- 2 ; - 8) (-2;-8), t.y. lygtis x 3 = 3 x + 2 x^3 = 3x+2 turi du sprendinius.

Raskite visas parametro a a reikšmes, kurių kiekvienos lygtis (a + 1 - | x + 2 |) (x 2 + 4 x + 1 - a) = 0 (a+1-|x+2| )(x^2 +4x+1-a) = 0 turi a) tiksliai dvi skirtingas šaknis; b) lygiai trys skirtingos šaknys.

Darykime taip pat, kaip 25 pavyzdyje. Pavaizduokime šios lygties sprendinių aibę plokštumoje x O a xOa . Jis prilygsta dviejų lygčių deriniui:

1) a = | x + 2 | - 1 a = |x+2| -1 yra kampas su šakomis į viršų ir viršūne taške (- 2 ; - 1) (-2; -1) .

2) a = x 2 + 4 x + 1 a = x^2 + 4x + 1 - tai parabolė su šakomis į viršų ir viršūnė taške (- 2 ; - 3) (-2; -3) . Žr. pav. 14.

Randame dviejų grafikų susikirtimo taškus. Dešinioji kampo šaka pateikiama lygtimi y = x + 1 y=x+1 . Lygties sprendimas

x + 1 = x 2 + 4 x + 1 x+1 = x^2+4x+1

nustatome, kad x = 0 x=0 arba x = - 3 x=-3 . Tinka tik reikšmė x = 0 x=0 (kadangi dešiniajai šakai x + 2 ≥ 0 x+2 \geq 0). Tada a = 1 a = 1 . Panašiai randame ir antrojo susikirtimo taško koordinates - (- 4 ; 1) (-4; 1) .

Grįžkime prie pradinės problemos. Lygtis turi lygiai du sprendinius tiems a a, kurių horizontali linija a = const a=\textrm(const) kerta lygties sprendinių aibę dviejuose taškuose. Iš grafiko matome, kad tai teisinga a ∈ (- 3 ; - 1) ∪ ( 1 ) a\in (-3;-1)\bigcup\(1\) . Trijų susikirtimo taškų atveju bus lygiai trys sprendiniai, o tai įmanoma tik tada, kai a = - 1 a=-1 .

ATSAKYTI

a) a ∈ (- 3 ; - 1) ∪ ( 1 );      

a\in (-3;-1)\bigcup\(1\);\:\:\: b) a = - 1 a=-1 .

$$\begin(cases) x^2-x-a \leq 0,\\ x^2+2x-6a \leq 0 \end(atvejai) $$

turi tiksliai vieną sprendimą.

Pirmąją nelygybę tenkina taškai, esantys ant parabolės a = - x 2 + x a = -x^2+x ir žemiau jos, o antrąją tenkina taškai, esantys ant parabolės a = x 2 + 6 x 6 a = \dfrac(x^2 +6x)(6) ir naujesni. Surandame parabolių viršūnių ir jų susikirtimo taškų koordinates ir sudarome grafiką. Pirmosios parabolės viršus yra (1 2 ; 1 4) (\dfrac(1)(2);\dfrac(1)(4)), antrosios parabolės viršus yra (- 1 ; - 1 6) ( -1; -\dfrac(1)(6)), susikirtimo taškai yra (0; 0) (0;0) ir (4 7; 12 49) (\dfrac(4)(7); \dfrac(12) )(49)). Sistemą tenkinančių taškų rinkinys parodytas fig. 15. Matyti, kad horizontali linija a = const a=\textrm(const) turi lygiai vieną bendrą tašką su šia aibe (tai reiškia, kad sistema turi tiksliai vieną sprendimą), kai a = 0 a=0 ir a = 1 4 a= \dfrac(1)(4) .

ATSAKYTI

A = 0,  a = 1 4 a=0,\: a=\dfrac(1)(4)

Raskite mažiausią parametro a a reikšmę, kiekvienam iš kurių sistema

$$\begin(atvejai) x^2+y^2 + 3a^2 = 2y + 2\sqrt(3)ax,\\ \sqrt(3)|x|-y=4 \end(atvejai) $$

turi unikalų sprendimą.

Transformuokime pirmąją lygtį, išryškinant užbaigtus kvadratus:

(x 2 - 2 3 a x + 3 a 2) + (y 2 - 2 y + 1) = 1 ⇔ (x - a 3) 2 + (y - 1) 2 = 1.      

18 (x^2- 2\sqrt(3)ax+3a^2)+(y^2-2y+1)=1 \rodyklė į kairę (x-a\sqrt(3))^2+(y-1)^2 =1. \:\:\:\left(18\right)

Skirtingai nuo ankstesnių problemų, čia geriau pavaizduoti brėžinį x O y xOy plokštumoje (brėžinys plokštumoje „kintamasis - parametras“ paprastai naudojamas problemoms su vienu kintamuoju ir vienu parametru - rezultatas yra rinkinys plokštumoje Šioje užduotyje mes susiduriame su dviem kintamaisiais ir parametru nubrėžti taškų aibę (x; y; a) (x;y;a), be to, toks piešimas yra mažai tikėtinas būti vizualiai). (18) lygtis nurodo apskritimą, kurio centras (a 3 ; 1) (a\sqrt(3);1), kurio spindulys 1. Šio apskritimo centras, priklausomai nuo a reikšmės, gali būti bet kuriame taške eilutė y = 1 y = 1.

Ši lygčių sistema turi tiksliai vieną sprendimą, jei apskritimas liečia vieną iš kampo šakų. Tai įmanoma keturiais atvejais (16 pav.): apskritimo centras gali būti viename iš taškų A A, B B, C C, D D. Kadangi reikia rasti mažiausią parametro a a reikšmę, mus domina taško D D abscisė. Apsvarstykite stačiąjį trikampį D H M DHM. Atstumas nuo taško D D iki tiesės H M HM lygus apskritimo spinduliui, todėl D H = 1 DH=1. Taigi, D M = D H sin 60 ° = 2 3 DM=\dfrac(DH)(\textrm(sin)(60^(\circ))) = \dfrac(2)(\sqrt(3)) . Taško M M koordinatės randamos kaip dviejų tiesių y = 1 y=1 ir y = - 3 x - 4 y=-\sqrt(3)x-4 (kairioji kampo pusė) susikirtimo taško koordinatės. .

Gauname M (- 5 3) M(-\dfrac(5)(\sqrt(3))) . Tada taško D D abscisė yra lygi - 5 3 - 2 3 = - 7 3 -\dfrac(5)(\sqrt(3))-\dfrac(2)(\sqrt(3))=-\dfrac( 7)(\ sqrt(3)) .

Kadangi apskritimo centro abscisė lygi a 3 a\sqrt(3) , iš to išplaukia, kad a = - 7 3 a=-\dfrac(7)(3) .

ATSAKYTI

A = -7 3 a=-\dfrac(7)(3)

Raskite visas parametro a a reikšmes, kurių kiekvienai sistema

$$\begin(atvejai) |4x+3m| \leq 12a,\\ x^2+y^2 \leq 14ax +6ay -57a^2+16a+64 \end(atvejai) $$

$$\begin(cases) x^2-x-a \leq 0,\\ x^2+2x-6a \leq 0 \end(atvejai) $$

Pavaizduokime kiekvienos nelygybės sprendinių aibes plokštumoje x O y xOy .

Antroje nelygybėje pasirenkame tobulus kvadratus:

x 2 - 14 a x + 49 + y 2 - 6 a y + 9 a 2 ≤ a 2 + 16 a + 64 ⇔ (x - 7 a) 2 + (y - 3 a) 2 ≤ (a + 8) 2        ) x^2-14ax+49 + y^2-6ay + 9a^2 \leq a^2 + 16a + 64 \Rodyklė į kairę (x-7a)^2+(y-3a)^2 \leq (a+8 )^2 \:\:\:\: (19)

Kai a + 8 = 0 a+8=0 (a = - 8 a=-8), nelygybė (19) nurodo tašką su koordinatėmis (7 a ; 3 a) (7a;3a), t.y. (- 56 ; - 24) (-56;-24) . Visoms kitoms a reikšmėms a (19) apibrėžia apskritimą, kurio centras yra spindulio taške (7 a ; 3 a) (7a; 3a) | a + 8 | |a+8| .

Panagrinėkime pirmąją nelygybę.
1) Neigiamam a a jis neturi sprendimų. Tai reiškia, kad sistema neturi sprendimų.

2) Jei a = 0 a=0, tai gauname tiesę 4 x + 3 y = 0 4x+3y=0. Iš antrosios nelygybės gauname apskritimą, kurio centras (0; 0) (0; 0), kurio spindulys yra 8. Akivaizdu, kad sprendinių yra ne vienas.

3) Jei $$a>0$$, tai ši nelygybė lygi dvigubai nelygybei - 12 a ≤ 4 x + 3 y ≤ 12 a -12a \leq 4x+3y \leq 12a . Ji apibrėžia juostą tarp dviejų tiesių y = ± 4 a - 4 x 3 y=\pm 4a -\dfrac(4x)(3) , kurių kiekviena yra lygiagreti tiesei 4 x + 3 y = 0 4x+ 3y=0 (17 pav.).

Kadangi svarstome $$a>0$$, apskritimo centras yra pirmajame ketvirtyje tiesėje y = 3 x 7 y = \dfrac(3x)(7) . Iš tiesų centro koordinatės yra x = 7 a x=7a , y = 3 a y=3a ; išreiškę a a ir prilyginę, gauname x 7 = y 3 \dfrac(x)(7)=\dfrac(y)(3) , iš kur y = 3 x 7 y = \dfrac(3x)(7) . Tam, kad sistema turėtų būtent vieną sprendinį, būtina ir pakanka, kad apskritimas liestų tiesę a 2 a_2 . Taip atsitinka, kai apskritimo spindulys lygus atstumui nuo apskritimo centro iki linijos a 2 a_2. Pagal atstumo nuo taško iki tiesės formulę * (\^{*} получаем, что расстояние от точки (7 a ; 3 a) (7a;3a) до прямой 4 x + 3 y - 12 a = 0 4x+3y-12a=0 равно | 4 · 7 a + 3 · 3 a - 12 a | 4 2 + 3 2 = 5 a \dfrac{|4\cdot 7a + 3\cdot 3a -12a|}{\sqrt{4^2+3^2}} = 5\left|a\right| . Приравнивая к радиусу круга, получаем 5 a = | a + 8 | 5{a} = |a+8| . Так как $$a>0$$, опускаем модули и находим, что a = 2 a=2 .!}

ATSAKYTI

A = 2 a = 2

* {\^{*} Пусть даны точка M (x 0 ; y 0) M (x_0;y_0) и прямая l l , заданная уравнением a x + b y + c = 0 ax+by+c=0 . Тогда расстояние от точки M M до прямой l l определяется формулой ρ = | a x 0 + b x 0 + c | a 2 + b 2 \rho = \dfrac{|ax_0+bx_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} . !}

Kokiomis parametro a reikšmėmis sistema veikia

$$\begin(cases) |x|+|y|=1,\\ |x+a|+|y+a|=1 \end(cases)$$ neturi sprendimų?

Pirmoji sistemos lygtis apibrėžia kvadratą A B C D ABCD plokštumoje x O y xOy (norėdami jį sukurti, svarstykime x ≥ 0 x\geq 0 ir y ≥ 0 y\geq 0 . Tada lygtis įgauna formą x + y = 1 x+y=1 Gauname atkarpą – tiesės x + y = 1 x+y=1 dalį, esančią pirmajame ketvirtyje. Toliau atspindime šį atkarpą O x Ox ašies atžvilgiu atspindi gautą aibę O y Oy ašies atžvilgiu (žr. 18 pav.). Antroji lygtis apibrėžia kvadratą P Q R S PQRS , lygų kvadratui A B C D ABCD , bet kurio centras yra taške (- a ; - a) (-a;-a). Fig. Kaip pavyzdys, 18 pav. parodytas šis kvadratas a = - 2 a=-2. Sistema neturi sprendimų, jei šie du kvadratai nesikerta.

Nesunku pastebėti, kad jei atkarpos P Q PQ ir B C BC sutampa, tai antrojo kvadrato centras yra taške (1; 1) (1;1). Mums tinka tos a reikšmės, kuriose centras yra „viršuje“ ir „dešinėje“, t.y. $$a1$$.

ATSAKYTI

A ∈ (- ∞ ; - 1) ∪ (1 ; + ∞) a\in (-\infty;-1)\bigcup(1;+\infty) .

Raskite visas parametro b b reikšmes, kurioms taikoma sistema

$$\begin(atvejai) y=|b-x^2|,\\ y=a(x-b) \end(atvejai) $$

turi bent vieną bet kurios a reikšmės sprendimą.

Panagrinėkime keletą atvejų.

1) Jei $$b2) Jei b = 0 b=0 , tada sistema įgauna formą $$\begin(cases) y=x^2,\\ y=ax .\end(cases) $$

Bet kuriai a a skaičių pora (0 ; 0) (0;0) yra šios sistemos sprendimas, todėl tinka b = 0 b=0.

3) Pataisykime kai kuriuos $$b>0$$. Pirmąją lygtį tenkina taškų aibė, gauta iš parabolės y = x 2 - b y=x^2-b, atspindint dalį šios parabolės O x Ox ašies atžvilgiu (žr. 19a, b pav.). Antroji lygtis nurodo tiesių šeimą (pakeitus skirtingas a a reikšmes, galite gauti visų rūšių tiesių, einančių per tašką (b ; 0) (b;0) , išskyrus vertikalią), einančių per tašką (b ; 0) (b;0) . Jei taškas (b ; 0) (b;0) yra atkarpoje [ - b ; b ] [-\sqrt(b);\sqrt(b)] . abscisių ašį, tada tiesė kerta bet kurio nuolydžio pirmosios funkcijos grafiką (19a pav.). Priešingu atveju (19b pav.) bet kuriuo atveju bus tiesė, kuri nekerta šio grafiko. Išsprendę nelygybę - b ≤ b ≤ b -\sqrt(b)\leq b \leq \sqrt(b) ir atsižvelgę ​​į tai, kad $$b>0$$, gauname, kad b ∈ (0 ; 1 ] b \ į ( 0;1] .

Sujungiame rezultatus: $$b \in $$.

ATSAKYTI

$$b \in $$

Raskite visas a reikšmes, kurių kiekvienai funkcija f (x) = x 2 - | x - a 2 | - 3 x f(x) = x^2-|x-a^2|-3x turi bent vieną didžiausią tašką.

Išplėtę modulį, tai ir gauname

$$f(x) = \begin(cases) x^2-4x+a^2, \:\:\: x\geq a^2 ,\\ x^2-2x-a^2, \:\ :\: x\leq a^2 . \end(atvejai) $$

Kiekviename iš dviejų intervalų funkcijos y = f (x) y=f (x) grafikas yra parabolė su šakomis į viršų.

Kadangi parabolės su į viršų nukreiptomis šakomis negali turėti didžiausių taškų, vienintelė galimybė yra ta, kad didžiausias taškas yra šių intervalų ribinis taškas – taškas x = a 2 x=a^2 . Šiuo metu bus maksimumas, jei parabolės y = x 2 - 4 x + a 2 y=x^2-4x+a^2 viršūnė patenka į intervalą $$x>a^2$$, ir parabolės viršūnė y = x 2 - 2 x - a 2 y=x^2-2x-a^2 - intervalui $$x\lt a^2$$ (žr. 20 pav.). Šią sąlygą pateikia nelygybės ir $$2 \gt a^2$$ ir $$1 \lt a^2$$, išsprendę, kad a ∈ (- 2 ; 1) ∪ (1 ; 2) a\in (-\ sqrt(2);1)\bigcup(1;\sqrt(2)) .

ATSAKYTI

A ∈ (- 2 ; 1) ∪ (1 ; 2) a\in (-\sqrt(2);1)\bigcup(1;\sqrt(2))

Raskite visas a reikšmes, kurių kiekvienai bendrieji nelygybių sprendiniai

y + 2 x ≥ a y+2x \geq a ir y - x ≥ 2 a             (20) y-x \geq 2a \:\:\:\:\:\:\:\: (20)

yra nelygybės sprendimai

$2y-x>a+3 \:\:\:\:\:\:\:\:\: (21)$$

Norint naršyti situaciją, kartais naudinga atsižvelgti į vieną parametro reikšmę. Padarykime brėžinį, pavyzdžiui, jei a = 0 a=0 . Nelygybes (20) (tiesą sakant, kalbame apie nelygybių (20) sistemą) tenkina kampo B A C BAC taškai (žr. 21 pav.) – taškai, kurių kiekvienas yra virš abiejų tiesių y = - 2 x y=-2x ir y = x y =x (arba šiose eilutėse). Nelygybę (21) tenkina taškai, esantys virš tiesės y = 1 2 x + 3 2 y = \dfrac(1)(2)x + \dfrac(3)(2) . Matyti, kad kai a = 0 a=0 uždavinio sąlyga netenkinama.

Kas pasikeis, jei pasirinksime kitą parametro a a reikšmę? Kiekviena iš tiesių judės ir virs sau lygiagrečia linija, nes linijų kampiniai koeficientai nepriklauso nuo a. Kad uždavinio sąlyga būtų įvykdyta, visas kampas B A C BAC turi būti virš tiesės l l . Kadangi tiesių A B AB ir A C AC kampiniai koeficientai absoliučia verte yra didesni už tiesės l l kampinį koeficientą, būtina ir pakanka, kad kampo viršūnė būtų virš tiesės l l .

Lygčių sistemos sprendimas

$$\begin(cases) y+2x=a,\\ y-x=2a, \end(cases)$$

raskite taško A koordinates (- a 3 ; 5 a 3) A(-\dfrac(a)(3);\dfrac(5a)(3)) . Jie turi atitikti nelygybę (21), taigi $$\dfrac(10a)(3)+\dfrac(a)(3) > a+3$$, iš kur $$a>\dfrac(9)(8)$$ .

ATSAKYTI

$$a>\dfrac(9)(8)$$

KAM užduotys su parametru Tai gali apimti, pavyzdžiui, tiesinių ir kvadratinių lygčių bendrosios formos sprendimų paiešką, galimų šaknų skaičiaus lygčių tyrimą, atsižvelgiant į parametro reikšmę.

Nepateikdami išsamių apibrėžimų, kaip pavyzdžius apsvarstykite šias lygtis:

y = kx, kur x, y yra kintamieji, k yra parametras;

y = kx + b, kur x, y yra kintamieji, k ir b yra parametrai;

ax 2 + bx + c = 0, kur x yra kintamieji, a, b ir c yra parametras.

Lygties (nelygybės, sistemos) sprendimas su parametru, kaip taisyklė, reiškia begalinės lygčių (nelygybių, sistemų) aibės sprendimą.

Užduotys su parametru gali būti suskirstytos į du tipus:

A) sąlyga sako: išspręskite lygtį (nelygybę, sistemą) - tai reiškia, kad visoms parametro reikšmėms raskite visus sprendimus. Jei bent vienas atvejis lieka neištirtas, toks sprendimas negali būti laikomas patenkinamu.

b) reikia nurodyti galimas parametro reikšmes, kuriose lygtis (nelygybė, sistema) turi tam tikrų savybių. Pavyzdžiui, turi vieną sprendinį, neturi sprendinių, turi intervalui priklausančius sprendinius ir tt Tokiose užduotyse būtina aiškiai nurodyti, prie kokios parametro reikšmės tenkinama reikiama sąlyga.

Parametras, būdamas nežinomas fiksuotas skaičius, turi savotišką dvilypumą. Visų pirma, reikia atsižvelgti į tai, kad numanoma šlovė rodo, kad parametras turi būti suvokiamas kaip skaičius. Antra, laisvę manipuliuoti parametru riboja jo neaiškumas. Pavyzdžiui, dalijimo iš išraiškos, kurioje yra parametras, arba lyginio laipsnio šaknies iš tokios išraiškos ištraukimo operacijos reikalauja išankstinio tyrimo. Todėl su parametru reikia elgtis atsargiai.

Pavyzdžiui, norėdami palyginti du skaičius -6a ir 3a, turite atsižvelgti į tris atvejus:

1) -6a bus didesnis nei 3a, jei a yra neigiamas skaičius;

2) -6a = 3a tuo atveju, kai a = 0;

3) -6a bus mažesnis nei 3a, jei a yra teigiamas skaičius 0.

Sprendimas bus atsakymas.

Tegu pateikta lygtis kx = b. Ši lygtis yra trumpa begalinio skaičiaus lygčių su vienu kintamuoju forma.

Sprendžiant tokias lygtis gali būti tokių atvejų:

1. Tegul k yra bet koks realusis skaičius, nelygus nuliui, o b bet koks skaičius iš R, tada x = b/k.

2. Tegul k = 0 ir b ≠ 0, pradinė lygtis bus 0 x = b. Akivaizdu, kad ši lygtis neturi sprendimų.

3. Tegul k ir b yra skaičiai lygūs nuliui, tada gauname lygybę 0 x = 0. Jos sprendinys yra bet koks realusis skaičius.

Šio tipo lygties sprendimo algoritmas:

1. Nustatykite parametro „kontrolines“ reikšmes.

2. Išspręskite pirminę x lygtį parametrų reikšmėms, kurios buvo nustatytos pirmoje pastraipoje.

3. Išspręskite pradinę x lygtį, kai parametrų reikšmės skiriasi nuo pirmoje pastraipoje pasirinktų.

4. Atsakymą galite parašyti tokia forma:

1) ... (parametrų reikšmės) lygtis turi šaknis ...;

2) ... (parametrų reikšmės) lygtyje nėra šaknų.

1 pavyzdys.

Išspręskite lygtį parametru |6 – x| = a.

Sprendimas.

Nesunku pastebėti, kad čia ≥ 0.

Pagal 6 modulio taisyklę – x = ±a, išreiškiame x:

Atsakymas: x = 6 ± a, kur a ≥ 0.

2 pavyzdys.

Išspręskite lygtį a(x – 1) + 2(x – 1) = 0 kintamojo x atžvilgiu.

Sprendimas.

Atidarykime skliaustus: aх – а + 2х – 2 = 0

Parašykime lygtį standartine forma: x(a + 2) = a + 2.

Jei išraiška a + 2 nėra nulis, ty jei a ≠ -2, turime sprendimą x = (a + 2) / (a ​​+ 2), t.y. x = 1.

Jei a + 2 lygus nuliui, t.y. a = -2, tada turime teisingą lygybę 0 x = 0, taigi x yra bet koks realusis skaičius.

Atsakymas: x = 1, jei a ≠ -2 ir x € R, jei a = -2.

3 pavyzdys.

Išspręskite lygtį x/a + 1 = a + x kintamojo x atžvilgiu.

Sprendimas.

Jei a = 0, tai lygtį transformuojame į formą a + x = a 2 + ax arba (a – 1)x = -a(a – 1). Paskutinė a = 1 lygtis yra 0 x = 0, todėl x yra bet koks skaičius.

Jei a ≠ 1, tada paskutinė lygtis bus x = -a.

Šį sprendimą galima pavaizduoti koordinačių tiesėje (1 pav.)

Atsakymas: a = 0 sprendinių nėra; x – bet koks skaičius, kurio a = 1; x = -a, kai a ≠ 0 ir a ≠ 1.

Grafinis metodas

Panagrinėkime kitą lygčių su parametru sprendimo būdą – grafiškai. Šis metodas naudojamas gana dažnai.

4 pavyzdys.

Priklausomai nuo parametro a, kiek šaknų sudaro lygtis ||x| – 2| = a?

Sprendimas.

Norėdami išspręsti grafiniu metodu, sudarome funkcijų y = ||x| grafikus – 2| ir y = a (2 pav.).

Brėžinyje aiškiai pavaizduoti galimi tiesės y = a vietos ir šaknų skaičiaus kiekvienoje iš jų atvejai.

Atsakymas: lygtis neturės šaknų, jei a< 0; два корня будет в случае, если a >2 ir a = 0; lygtis turės tris šaknis, kai a = 2; keturios šaknys – 0< a < 2.

5 pavyzdys.

Kokia lygtis 2|x| + |x – 1| = a turi vieną šaknį?

Sprendimas.

Pavaizduokime funkcijų y = 2|x| grafikus + |x – 1| ir y = a. Jei y = 2|x| + |x – 1|, išplėtę modulius intervalo metodu, gauname:

(-3x + 1, ties x< 0,

y = (x + 1, jei 0 ≤ x ≤ 1,

(3x – 1, jei x > 1.

Įjungta 3 pav Aiškiai matyti, kad lygtis turės vieną šaknį tik tada, kai a = 1.

Atsakymas: a = 1.

6 pavyzdys.

Nustatykite lygties |x + 1| sprendinių skaičių + |x + 2| = a priklausomai nuo parametro a?

Sprendimas.

Funkcijos y = |x + 1| grafikas + |x + 2| bus nutrūkusi linija. Jo viršūnės bus taškuose (-2; 1) ir (-1; 1) (4 pav.).

Atsakymas: jei parametras a yra mažesnis už vieną, tai lygtis neturės šaknų; jei a = 1, tai lygties sprendinys yra begalinė skaičių aibė iš intervalo [-2; -1]; jei parametro a reikšmės yra didesnės nei viena, tada lygtis turės dvi šaknis.

Vis dar turite klausimų? Nežinote, kaip išspręsti lygtis su parametru?
Norėdami gauti pagalbos iš dėstytojo, užsiregistruokite.
Pirma pamoka nemokama!

svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.

Olga Otdelkina, 9 klasės mokinė

Ši tema yra neatskiriama mokyklinio algebros kurso dalis. Šio darbo tikslas – nuodugniau išnagrinėti šią temą, rasti racionaliausią sprendimą, kuris greitai atveda prie atsakymo. Šis rašinys padės kitiems studentams suprasti grafinio metodo naudojimą sprendžiant lygtis su parametrais, sužinoti apie šio metodo kilmę ir raidą.

Parsisiųsti:

Peržiūra:

Įvadas2

1 skyrius. Lygtys su parametru

Lygčių su parametru3 atsiradimo istorija

Vietos teorema4

Pagrindinės sąvokos5

2 skyrius. Lygčių su parametrais tipai.

Tiesinės lygtys6

Kvadratinės lygtys………………………………………………………………......7

3 skyrius. Lygčių su parametru sprendimo metodai

Analizės metodas………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Grafinis metodas. Kilmės istorija………………………………9

Sprendimo algoritmas grafiniu metodu..………………………………….10

Modulio lygties sprendimas………………………………………………….11

Praktinė dalis……………………………………………………………12

Išvada………………………………………………………………………………….19

Literatūra……………………………………………………………………………………………

Įvadas.

Pasirinkau šią temą, nes ji yra neatskiriama mokyklinio algebros kurso dalis. Rengdama šį darbą išsikėliau tikslą giliau išnagrinėti šią temą, identifikuojant racionaliausią sprendimą, kuris greitai atveda prie atsakymo. Mano rašinys padės kitiems studentams suprasti grafinio metodo naudojimą sprendžiant lygtis su parametrais, sužinoti apie šio metodo kilmę ir raidą.

Šiuolaikiniame gyvenime daugelio fizinių procesų ir geometrinių modelių tyrimas dažnai leidžia išspręsti parametrų problemas.

Norint išspręsti tokias lygtis, grafinis metodas yra labai efektyvus, kai reikia nustatyti, kiek šaknų lygtis turi priklausomai nuo parametro α.

Problemos, susijusios su parametrais, yra tik matematinio intereso, prisideda prie mokinių intelektualinio tobulėjimo ir yra gera medžiaga lavinti įgūdžius. Jie turi diagnostinę vertę, nes jais galima patikrinti pagrindinių matematikos šakų žinias, matematinio ir loginio mąstymo lygį, pradinius tyrimo įgūdžius ir perspektyvias galimybes sėkmingai įsisavinti matematikos kursą aukštosiose mokyklose.

Mano rašinyje aptariamos dažnai sutinkamos lygčių rūšys ir tikiuosi, kad darbo metu įgytos žinios man padės išlaikyti mokyklinius egzaminus, neslygtys su parametraisyra pagrįstai laikomi viena iš sunkiausių mokyklinės matematikos problemų. Būtent šios užduotys yra įtrauktos į Vieningo valstybinio egzamino užduočių sąrašą.

Lygčių su parametru atsiradimo istorija

Su lygčių su parametru problemomis jau buvo susidurta astronominiame traktate „Aryabhattiam“, kurį 499 m. sudarė Indijos matematikas ir astronomas Aryabhatta. Kitas indų mokslininkas Brahmagupta (VII a.) išdėstė bendrą kvadratinių lygčių, sumažintų iki vienos kanoninės formos, sprendimo taisyklę:

αx 2 + bx = c, α>0

Koeficientai lygtyje, išskyrus parametrą, taip pat gali būti neigiamas.

Al-Khwarizmi kvadratinės lygtys.

Algebriniame traktate al-Khwarizmi pateikia tiesinių ir kvadratinių lygčių su parametru a klasifikaciją. Autorius suskaičiuoja 6 lygčių tipus, jas išreikšdamas taip:

1) „Kvadratai lygūs šaknims“, ty αx 2 = bx.

2) „Kvadratai lygūs skaičiams“, ty αx 2 = c.

3) „Šaknys lygios skaičiui“, ty αx = c.

4) „Kvadratai ir skaičiai lygūs šaknims“, ty αx 2 + c = bx.

5) „Kvadratai ir šaknys lygūs skaičiui“, ty αx 2 + bx = c.

6) „Šaknys ir skaičiai lygūs kvadratams“, ty bx + c = αx 2 .

Kvadratinių lygčių sprendimo formulės pagal al-Khwarizmi Europoje pirmą kartą buvo pateiktos „Abako knygoje“, kurią 1202 m. parašė italų matematikas Leonardo Fibonacci.

Kvadratinės lygties su parametru bendrosios formos sprendimo formulę galima rasti Vietoje, tačiau Vieta atpažino tik teigiamas šaknis. Italų matematikai Tartaglia, Cardano, Bombelli buvo vieni pirmųjų XII a. Be teigiamų, atsižvelgiama ir į neigiamas šaknis. Tik XVII a. Girardo, Dekarto, Niutono ir kitų mokslininkų darbų dėka kvadratinių lygčių sprendimo metodas įgavo šiuolaikinę formą.

Vietos teorema

Teoremą, išreiškiančią ryšį tarp kvadratinės lygties parametrų, koeficientų ir jos šaknų, pavadintos Vietos vardu, jis pirmą kartą suformulavo 1591 m. Taip: „Jei b + d padauginus iš α atėmus α 2 , yra lygus bc, tada α yra lygus b ir lygus d.

Norėdami suprasti Vietą, turėtume prisiminti, kad α, kaip ir bet kuri balsių raidė, reiškė nežinomybę (mūsų x), o balsės b, d yra nežinomybės koeficientai. Šiuolaikinės algebros kalba aukščiau pateikta Vieta formuluotė reiškia:

Jei yra

(α + b)x - x 2 = αb,

Tai yra, x 2 - (α -b)x + αb =0,

tada x 1 = α, x 2 = b.

Išreikšdama ryšį tarp lygčių šaknų ir koeficientų bendromis formulėmis, parašytomis naudojant simbolius, Vieta nustatė lygčių sprendimo metodų vienodumą. Tačiau Vieto simbolika vis dar toli nuo šiuolaikinės formos. Jis nepripažino neigiamų skaičių, todėl spręsdamas lygtis nagrinėjo tik tuos atvejus, kai visos šaknys buvo teigiamos.

Pagrindinės sąvokos

Parametras - nepriklausomas kintamasis, kurio reikšmė laikomas fiksuotu arba savavališku skaičiumi, arba skaičiumi, priklausančiu uždavinio sąlygos nurodytam intervalui.

Lygtis su parametru– matematinėlygtis, kurio išvaizda ir sprendimas priklauso nuo vieno ar kelių parametrų verčių.

Nuspręskite lygtis su kiekvienos reikšmės parametrų vidurkiuRaskite x reikšmes, kurios tenkina šią lygtį, taip pat:

1. 1. Ištirkite, kokiose parametrų reikšmėse lygtis turi šaknis ir kiek jų yra skirtingoms parametrų reikšmėms.
2. 2. Raskite visas šaknų išraiškas ir kiekvienai iš jų nurodykite tas parametrų reikšmes, kuriose ši išraiška iš tikrųjų nustato lygties šaknį.

Apsvarstykite lygtį α(x+k)= α +c, kur α, c, k, x yra kintamieji dydžiai.

Kintamųjų α, c, k, x leistinų verčių sistemayra bet kokia kintamųjų reikšmių sistema, kurioje tiek kairioji, tiek dešinė šios lygties pusės turi tikrąsias reikšmes.

Tegul A yra visų leistinų α reikšmių rinkinys, K - visų leistinų k reikšmių rinkinys, X - visų leistinų x reikšmių rinkinys, C - visų c leistinų reikšmių rinkinys. Jei kiekvienai iš aibių A, K, C, X atitinkamai pasirenkame ir fiksuojame po vieną reikšmę α, k, c ir pakeičiame jas į lygtį, tai gauname x lygtį, t.y. lygtis su vienu nežinomu.

Kintamieji α, k, c, kurie sprendžiant lygtį laikomi pastoviais, vadinami parametrais, o pati lygtis – lygtimi, kurioje yra parametrų.

Parametrai žymimi pirmosiomis lotyniškos abėcėlės raidėmis: α, b, c, d, ..., k, l, m, n, o nežinomieji – x, y, z raidėmis.

Vadinamos dvi lygtys, turinčios tuos pačius parametrus lygiavertis, jei:

a) jie turi prasmę toms pačioms parametrų reikšmėms;

b) kiekvienas pirmosios lygties sprendimas yra antrosios lygties sprendimas ir atvirkščiai.

Lygčių su parametrais tipai

Lygtys su parametrais yra: tiesinės ir kvadratas.

1) Tiesinė lygtis. Bendras vaizdas:

α x = b, kur x nežinomas;α, b – parametrai.

Šioje lygtyje specialioji arba kontrolinė parametro reikšmė yra ta, kuriai esant nežinomo koeficientas išnyksta.

Sprendžiant tiesinę lygtį su parametru, nagrinėjami atvejai, kai parametras yra lygus jo specialiajai reikšmei ir skiriasi nuo jo.

Ypatinga parametro α reikšmė yra reikšmėα = 0.

1.Jei ir ≠0, tada bet kuriai parametrų poraiα ir b jis turi unikalų sprendimą x = .

2.Jei ir =0, tada lygtis įgauna formą:0 x = b . Šiuo atveju vertė b = 0 yra speciali parametro reikšmė b.

2.1. Prie b ≠ 0 lygtis neturi sprendinių.

2.2. Prie b =0 lygtis bus tokia:0 x =0.

Šios lygties sprendimas yra bet koks realusis skaičius.

Kvadratinė lygtis su parametru.

Bendras vaizdas:

α x 2 + bx + c = 0

kur parametras α ≠0, b ir c - savavališki skaičiai

Jei α =1, tada lygtis vadinama sumažinta kvadratine lygtimi.

Kvadratinės lygties šaknys randamos naudojant formules

Išraiška D = b 2 - 4 α c vadinamas diskriminantu.

1. Jei D> 0, lygtis turi dvi skirtingas šaknis.

2. Jei D< 0 — уравнение не имеет корней.

3. Jei D = 0, lygtis turi dvi lygias šaknis.

Lygčių su parametru sprendimo būdai:

1. Analitinis – tiesioginio sprendimo metodas, kartojantis standartines procedūras, ieškant atsakymo lygtyje be parametrų.
2. Grafinis – priklausomai nuo uždavinio sąlygų, nagrinėjama atitinkamos kvadratinės funkcijos grafiko padėtis koordinačių sistemoje.

Analitinis metodas

Sprendimo algoritmas:

1. Prieš pradėdami spręsti parametrų problemą naudodami analitinį metodą, turite suprasti konkrečios skaitinės parametro vertės situaciją. Pavyzdžiui, paimkite parametro reikšmę α =1 ir atsakykite į klausimą: ar šiai užduočiai reikalinga parametro reikšmė α =1.

1 pavyzdys. Išspręskite santykinai X tiesinė lygtis su parametru m:

Pagal uždavinio reikšmę (m-1)(x+3) = 0, tai yra m= 1, x = -3.

Abi lygties puses padauginę iš (m-1)(x+3), gauname lygtį

Mes gauname

Vadinasi, esant m = 2,25.

Dabar turime patikrinti, ar yra kokių nors m reikšmių

rasta x reikšmė yra -3.

išsprendę šią lygtį, nustatome, kad x yra lygus -3, kai m = -0,4.

Atsakymas: kai m=1, m =2,25.

Grafinis metodas. Kilmės istorija

Bendrosios priklausomybės pradėtos tirti XIV a. Viduramžių mokslas buvo mokslinis. Dėl šios prigimties neliko vietos kiekybinių priklausomybių tyrinėjimui, buvo kalbama tik apie objektų savybes ir jų tarpusavio ryšius. Tačiau tarp scholastų atsirado mokykla, kuri teigė, kad savybės gali būti daugiau ar mažiau intensyvios (į upę įkritusio žmogaus apranga yra drėgnesnė nei to, kurį ką tik pateko į lietų).

Prancūzų mokslininkas Nikolajus Oresme intensyvumą pradėjo vaizduoti segmentų ilgiais. Kai jis pastatė šias atkarpas statmenai tam tikrai tiesei, jų galai suformavo liniją, kurią jis pavadino „intensyvumo linija“ arba „viršutinio krašto linija“ (atitinkamos funkcinės priklausomybės grafikas Oresme netgi tyrinėjo „plokštumą“. “ ir „fizines“ savybes, t. y. funkcijas, priklausomai nuo dviejų ar trijų kintamųjų.

Svarbus Oresme pasiekimas buvo jo bandymas klasifikuoti gautus grafikus. Jis išskyrė tris savybių tipus: vienodą (su pastoviu intensyvumu), vienodą-nelygią (su pastoviu intensyvumo kitimo greičiu) ir nelygią-nelygią (visos kitos), taip pat būdingas tokių savybių grafikų savybes.

Norint sukurti matematinį aparatą funkcijų grafikui tirti, prireikė kintamojo sąvokos. Šią sąvoką į mokslą įvedė prancūzų filosofas ir matematikas Renė Dekartas (1596-1650). Būtent Dekartas iškėlė idėjas apie algebros ir geometrijos vienovę ir kintamųjų vaidmenį.

Taigi, funkcijų grafikai per visą jų egzistavimo laikotarpį patyrė daugybę esminių transformacijų, dėl kurių jie tapo tokia forma, prie kurios esame įpratę. Kiekvienas funkcijų grafikų kūrimo etapas ar etapas yra neatsiejama šiuolaikinės algebros ir geometrijos istorijos dalis.

Grafinis lygties šaknų skaičiaus nustatymo metodas, priklausomai nuo į jį įtraukto parametro, yra patogesnis nei analitinis.

Sprendimo algoritmas grafiniu metodu

Funkcijos grafikas - taškų, kuriuoseabscisėyra galiojančios argumentų reikšmės, A ordinatės- atitinkamos reikšmėsfunkcijas.

Grafinio lygčių sprendimo su parametru algoritmas:

1. Raskite lygties apibrėžimo sritį.
2. Išreiškiame α kaip x funkcija.
3. Koordinačių sistemoje sudarome funkcijos grafikąα (x) toms x reikšmėms, kurios yra įtrauktos į šios lygties apibrėžimo sritį.
4. Tiesės susikirtimo taškų radimasα =с, su funkcijos grafiku

α(x). Jei tiesė α =с kerta grafikąα (x), tada nustatome susikirtimo taškų abscises. Norėdami tai padaryti, pakanka išspręsti lygtį c = α (x) palyginti su x.

1. Užsirašykite atsakymą

Spręsti lygtis su moduliu

Sprendžiant lygtis su moduliu, kuriame yra parametras, grafiškai, būtina sudaryti funkcijų grafikus ir atsižvelgti į visus galimus skirtingų parametro reikšmių atvejus.

Pavyzdžiui, │х│= a,

Atsakymas: jei a < 0, то нет корней, a > 0, tai x = a, x = - a, jei a = 0, tai x = 0.

Problemų sprendimas.

1 uždavinys. Kiek šaknų turi lygtis?| | x | - 2 | =a priklausomai nuo parametro a?

Sprendimas. Koordinačių sistemoje (x; y) sudarysime funkcijų y = | grafikus | x | - 2 | ir y = a . Funkcijos y = | grafikas | x | - 2 | parodyta paveiksle.

Funkcijos y = grafikasα a = 0).

Iš grafiko matyti, kad:

Jei a = 0, tai tiesė y = a sutampa su Ox ašimi ir turi funkcijos y = | grafiką | x | - 2 | du bendri taškai; tai reiškia, kad pradinė lygtis turi dvi šaknis (šiuo atveju šaknis galima rasti: x 1,2 = + 2).
Jei 0< a < 2, то прямая y = α turi su funkcijos y = | grafiku | x | - 2 | keturi bendri taškai, todėl pradinė lygtis turi keturias šaknis.
Jeigu a = 2, tada tiesė y = 2 turi tris bendrus taškus su funkcijos grafiku. Tada pradinė lygtis turi tris šaknis.
Jeigu a > 2, tada tiesė y = a turės du taškus su pradinės funkcijos grafiku, tai yra, ši lygtis turės dvi šaknis.

Atsakymas: jei a < 0, то корней нет;
jei a = 0, a > 2, tai yra dvi šaknys;
jei a = 2, tada yra trys šaknys;
jei 0< a < 2, то четыре корня.

2 uždavinys. Kiek šaknų turi lygtis?| x 2 - 2| x | - 3 | =a priklausomai nuo parametro a?

Sprendimas. Koordinačių sistemoje (x; y) sudarysime funkcijų y = | grafikus x 2 - 2| x | - 3 | ir y = a.

Funkcijos y = | grafikas x 2 - 2| x | - 3 | parodyta paveiksle. Funkcijos y = grafikasα yra tiesi linija, lygiagreti su Ox arba sutampanti su juo (kai a = 0).

Iš grafiko galite pamatyti:

Jei a = 0, tai tiesė y = a sutampa su Ox ašimi ir turi funkcijos y = | grafiką x2 - 2| x | - 3 | du bendri taškai, taip pat tiesė y = a turės su funkcijos y = | grafiku x 2 - 2| x | - 3 | du bendri taškai a > 4. Taigi, jei a = 0 ir a > 4 pradinė lygtis turi dvi šaknis.
Jei 0< a< 3, то прямая y = a turi su funkcijos y = | grafiku x 2 - 2| x | - 3 | keturi bendri taškai, taip pat tiesė y= a turės keturis bendrus taškus su sukurtos funkcijos at grafiku a = 4. Taigi, esant 0< a < 3, a = 4 pradinė lygtis turi keturias šaknis.
Jeigu a = 3, tada tiesė y = a kerta funkcijos grafiką penkiuose taškuose; todėl lygtis turi penkias šaknis.
Jei 3< a< 4, прямая y = α šešiuose taškuose susikerta sukonstruotos funkcijos grafiką; Tai reiškia, kad šioms parametrų reikšmėms pradinė lygtis turi šešias šaknis.
Jeigu a < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = α nekerta funkcijos y = | grafiko x 2 - 2| x | - 3 |.

Atsakymas: jei a < 0, то корней нет;
jei a = 0, a > 4, tai yra dvi šaknys;
jei 0< a < 3, a = 4, tada keturios šaknys;

jei a = 3, tada penkios šaknys;
jei 3< a < 4, то шесть корней.

3 uždavinys. Kiek šaknų turi lygtis?

priklausomai nuo parametro a?

Sprendimas. Sukurkime funkcijos grafiką koordinačių sistemoje (x; y)

bet pirmiausia pateiksime jį tokia forma:

Tiesės x = 1, y = 1 yra funkcijos grafiko asimptotės. Funkcijos y = | grafikas x | + a gautas iš funkcijos y = | grafiko x | poslinkis vienetais išilgai Oy ašies.

Funkcijų grafikai susikerta viename taške a > - 1; Tai reiškia, kad (1) šių parametrų verčių lygtis turi vieną sprendimą.

Kai a = - 1, a = - 2 grafikai susikerta dviejuose taškuose; Tai reiškia, kad šioms parametrų reikšmėms (1) lygtis turi dvi šaknis.
-2 val< a< - 1, a < - 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

Atsakymas: jei a > - 1, tada vienas sprendimas;
jei a = - 1, a = - 2, tada yra du sprendiniai;
jei - 2< a < - 1, a < - 1, то три решения.

komentuoti. Sprendžiant uždavinio lygtį ypatingas dėmesys turėtų būti skiriamas atvejams, kai a = - 2, nes taškas (- 1; - 1) nepriklauso funkcijos grafikuibet priklauso funkcijos y = | grafikui x | + a.

4 uždavinys. Kiek šaknų turi lygtis?

x + 2 = a | x - 1 |

priklausomai nuo parametro a?

Sprendimas. Atkreipkite dėmesį, kad x = 1 nėra šios lygties šaknis, nes lygybė 3 = a 0 negali būti teisinga jokiai parametro vertei a . Abi lygties puses padalinkime iš | x - 1 |(| x - 1 |0), tada lygtis įgauna formąKoordinačių sistemoje xOy nubraižysime funkciją

Šios funkcijos grafikas parodytas paveikslėlyje. Funkcijos y = grafikas a yra tiesi linija, lygiagreti Ox ašiai arba su ja sutampanti (jei a = 0).