2. Nežinomų pasiskirstymo parametrų nustatymas.
Naudodami histogramą galime apytiksliai nubraižyti pasiskirstymo tankį atsitiktinis kintamasis. Šio grafiko išvaizda dažnai leidžia daryti prielaidą apie atsitiktinio dydžio tikimybės tankio pasiskirstymą. Šio pasiskirstymo tankio išraiška paprastai apima kai kuriuos parametrus, kuriuos reikia nustatyti iš eksperimentinių duomenų.
Apsistokime prie konkretaus atvejo, kai pasiskirstymo tankis priklauso nuo dviejų parametrų.
Taigi tegul x 1 , x 2 , ..., x n- stebimos nuolatinio atsitiktinio dydžio reikšmės ir tegul jo pasiskirstymo tankis priklauso nuo dviejų nežinomų parametrų A Ir B, t.y. atrodo kaip . Vienas iš būdų rasti nežinomus parametrus A Ir B susideda iš to, kad jie parenkami taip, kad matematinis lūkestis ir teorinio skirstinio dispersija sutampa su imties vidurkiu ir dispersija:
 |
(66) |
 |
(67) |
Iš dviejų gautų lygčių () raskite nežinomi parametrai A Ir B. Taigi, pavyzdžiui, jei atsitiktinis kintamasis paklūsta normalus įstatymas tikimybių skirstinys, tada jo tikimybių pasiskirstymo tankis
priklauso nuo dviejų parametrų a Ir . Šie parametrai, kaip žinome, yra atitinkamai matematinis lūkestis ir vidutinis kvadratinis nuokrypis atsitiktinis kintamasis ; todėl lygybės () bus parašytos taip:
 |
(68) |
Todėl tikimybių pasiskirstymo tankis turi formą
1 pastaba.Šią problemą jau išsprendėme . Matavimo rezultatas yra atsitiktinis dydis, kuris paklūsta normaliojo skirstinio su parametrais dėsniui a Ir . Dėl apytikslės vertės a pasirinkome reikšmę , o apytikslei reikšmei - reikšmę .
Užrašas 2. At dideli kiekiai eksperimentai, kiekių radimas ir formulių () naudojimas yra susiję su sudėtingais skaičiavimais. Todėl jie daro tai: kiekviena iš stebimų kiekio verčių patenka į i intervalas ] X i-1 , X i [ statistinės serijos, laikomi apytiksliai lygus viduriui c išis intervalas, t.y. c i =(X i-1 +X i)/2. Apsvarstykite pirmąjį intervalą ] X 0 , X 1 [. Tai jam pataikė m 1 pastebėtos atsitiktinio dydžio reikšmės, kurių kiekvieną pakeičiame skaičiumi nuo 1. Todėl šių verčių suma yra maždaug lygi m 1 s 1. Panašiai reikšmių, patenkančių į antrąjį intervalą, suma yra maždaug lygi m 2 su 2 ir tt Štai kodėl
Panašiu būdu gauname apytikslę lygybę
Taigi, parodykime tai
 |
(71) |
Lygtys su parametrais pagrįstai laikomos viena iš labiausiai sudėtingos užduotys Aš žinau mokyklinė matematika. Būtent šios užduotys metai iš metų patenka į vieningos valstybės B ir C tipo užduočių sąrašą Vieningas valstybinis egzaminas. Tačiau tarp didelis skaičius lygtys su parametrais yra tos, kurias galima lengvai išspręsti grafiškai. Panagrinėkime šį metodą naudodamiesi kelių problemų sprendimo pavyzdžiu.
Raskite skaičiaus a sveikųjų skaičių reikšmių sumą, kuriai lygtis |x 2 – 2x – 3| = a turi keturias šaknis.
Sprendimas.
Norėdami atsakyti į problemos klausimą, remsimės vienu koordinačių plokštuma funkcijų grafikai
y = |x 2 – 2x – 3| ir y = a.
Pirmosios funkcijos grafikas y = |x 2 – 2x – 3| bus gautas iš parabolės y = x 2 – 2x – 3 grafiko, simetriškai rodant x ašies atžvilgiu tą grafiko dalį, kuri yra žemiau Ox ašies. Virš x ašies esanti grafiko dalis išliks nepakitusi.
Padarykime tai žingsnis po žingsnio. Funkcijos y = x 2 – 2x – 3 grafikas yra parabolė, kurios šakos nukreiptos aukštyn. Norėdami sukurti jo grafiką, randame viršūnės koordinates. Tai galima padaryti naudojant formulę x 0 = -b/2a. Taigi, x 0 = 2/2 = 1. Norėdami rasti parabolės viršūnės koordinatę išilgai ordinačių ašies, gautą x 0 reikšmę pakeičiame nagrinėjamos funkcijos lygtimi. Gauname, kad y 0 = 1 – 2 – 3 = -4. Tai reiškia, kad parabolės viršūnė turi koordinates (1; -4).
Toliau reikia rasti parabolės šakų susikirtimo taškus su koordinačių ašimis. Parabolės šakų susikirtimo taškuose su abscisių ašimi funkcijos reikšmė lygi nuliui. Todėl išsprendžiame kvadratinę lygtį x 2 – 2x – 3 = 0. Jos šaknys bus reikalingi taškai. Pagal Vietos teoremą turime x 1 = -1, x 2 = 3.
Parabolės šakų susikirtimo su ordinačių ašimi taškuose argumento reikšmė lygi nuliui. Taigi taškas y = -3 yra parabolės šakų susikirtimo su y ašimi taškas. Gautas grafikas parodytas 1 paveiksle.
Norėdami gauti funkcijos y = |x 2 – 2x – 3| grafiką, pavaizduokime grafiko dalį, esančią žemiau abscisės simetriškai x ašies atžvilgiu. Gautas grafikas parodytas 2 paveiksle.
Funkcijos y = a grafikas yra tiesė, lygiagreti abscisių ašiai. Jis pavaizduotas 3 paveiksle. Naudodamiesi paveikslu, nustatome, kad grafikai turi keturis bendrus taškus (o lygtis turi keturias šaknis), jei a priklauso intervalui (0; 4).
Skaičiaus a sveikosios reikšmės iš gauto intervalo: 1; 2; 3. Norėdami atsakyti į uždavinio klausimą, suraskime šių skaičių sumą: 1 + 2 + 3 = 6.
Atsakymas: 6.
Raskite skaičiaus a, kurio lygtis |x 2 – 4|x|, sveikųjų skaičių reikšmių aritmetinį vidurkį. – 1| = a turi šešias šaknis.
Pradėkime nuo funkcijos y = |x 2 – 4|x| braižymo – 1|. Tam naudojame lygybę a 2 = |a| 2 ir pasirinkite tobulas kvadratas submodulinėje išraiškoje, parašytoje dešinėje funkcijos pusėje:
x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| – 1 = (|x| 2 – 4|x| + 4) – 1 – 4 = (|x | – 2) 2 – 5.
Tada pradinė funkcija turės formą y = |(|x| – 2) 2 – 5|.
Norėdami sukurti šios funkcijos grafiką, sudarome nuoseklius funkcijų grafikus:
1) y = (x – 2) 2 – 5 – parabolė su viršūne taške su koordinatėmis (2; -5); (1 pav.).
2) y = (|x| – 2) 2 – 5 – 1 žingsnyje sukonstruotos parabolės dalis, kuri yra į dešinę nuo ordinačių ašies, simetriškai rodoma Oy ašies kairėje; (2 pav.).
3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| – 2 punkte sudaryta grafiko dalis, esanti žemiau x ašies, rodoma simetriškai x ašies atžvilgiu aukštyn. (3 pav.).
Pažvelkime į gautus brėžinius:
Funkcijos y = a grafikas yra tiesė, lygiagreti abscisių ašiai.
Naudodamiesi paveikslu darome išvadą, kad funkcijų grafikai turi šešis bendrus taškus (lygtis turi šešias šaknis), jei a priklauso intervalui (1; 5).
Tai galima pamatyti toliau pateiktame paveikslėlyje:
Raskime parametro a sveikųjų skaičių reikšmių aritmetinį vidurkį:
(2 + 3 + 4)/3 = 3.
Atsakymas: 3.
svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.
Lygtys su parametrais pagrįstai laikomos viena sunkiausių mokyklinės matematikos problemų. Būtent tokios užduotys metai iš metų patenka į B ir C tipo užduočių sąrašą valstybinis egzaminas Vieningas valstybinis egzaminas. Tačiau tarp daugybės lygčių su parametrais yra tokių, kurias galima lengvai išspręsti grafiškai. Panagrinėkime šį metodą naudodamiesi kelių problemų sprendimo pavyzdžiu.
Raskite skaičiaus a sveikųjų skaičių reikšmių sumą, kuriai lygtis |x 2 – 2x – 3| = a turi keturias šaknis.
Sprendimas.
Norėdami atsakyti į problemos klausimą, sukurkime funkcijų grafikus vienoje koordinačių plokštumoje
y = |x 2 – 2x – 3| ir y = a.
Pirmosios funkcijos grafikas y = |x 2 – 2x – 3| bus gautas iš parabolės y = x 2 – 2x – 3 grafiko, simetriškai rodant x ašies atžvilgiu tą grafiko dalį, kuri yra žemiau Ox ašies. Virš x ašies esanti grafiko dalis išliks nepakitusi.
Padarykime tai žingsnis po žingsnio. Funkcijos y = x 2 – 2x – 3 grafikas yra parabolė, kurios šakos nukreiptos aukštyn. Norėdami sukurti jo grafiką, randame viršūnės koordinates. Tai galima padaryti naudojant formulę x 0 = -b/2a. Taigi, x 0 = 2/2 = 1. Norėdami rasti parabolės viršūnės koordinatę išilgai ordinačių ašies, gautą x 0 reikšmę pakeičiame nagrinėjamos funkcijos lygtimi. Gauname, kad y 0 = 1 – 2 – 3 = -4. Tai reiškia, kad parabolės viršūnė turi koordinates (1; -4).
Toliau reikia rasti parabolės šakų susikirtimo taškus su koordinačių ašimis. Parabolės šakų susikirtimo taškuose su abscisių ašimi funkcijos reikšmė lygi nuliui. Todėl išsprendžiame kvadratinę lygtį x 2 – 2x – 3 = 0. Jos šaknys bus reikalingi taškai. Pagal Vietos teoremą turime x 1 = -1, x 2 = 3.
Parabolės šakų susikirtimo su ordinačių ašimi taškuose argumento reikšmė lygi nuliui. Taigi taškas y = -3 yra parabolės šakų susikirtimo su y ašimi taškas. Gautas grafikas parodytas 1 paveiksle.
Norėdami gauti funkcijos y = |x 2 – 2x – 3| grafiką, pavaizduokime grafiko dalį, esančią žemiau abscisės simetriškai x ašies atžvilgiu. Gautas grafikas parodytas 2 paveiksle.
Funkcijos y = a grafikas yra tiesė, lygiagreti abscisių ašiai. Jis pavaizduotas 3 paveiksle. Naudodamiesi paveikslu, nustatome, kad grafikai turi keturis bendrus taškus (o lygtis turi keturias šaknis), jei a priklauso intervalui (0; 4).
Skaičiaus a sveikosios reikšmės iš gauto intervalo: 1; 2; 3. Norėdami atsakyti į uždavinio klausimą, suraskime šių skaičių sumą: 1 + 2 + 3 = 6.
Atsakymas: 6.
Raskite skaičiaus a, kurio lygtis |x 2 – 4|x|, sveikųjų skaičių reikšmių aritmetinį vidurkį. – 1| = a turi šešias šaknis.
Pradėkime nuo funkcijos y = |x 2 – 4|x| braižymo – 1|. Tam naudojame lygybę a 2 = |a| 2 ir pasirinkite visą kvadratą submodulinėje išraiškoje, parašytoje dešinėje funkcijos pusėje:
x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| – 1 = (|x| 2 – 4|x| + 4) – 1 – 4 = (|x | – 2) 2 – 5.
Tada pradinė funkcija turės formą y = |(|x| – 2) 2 – 5|.
Norėdami sukurti šios funkcijos grafiką, sudarome nuoseklius funkcijų grafikus:
1) y = (x – 2) 2 – 5 – parabolė su viršūne taške su koordinatėmis (2; -5); (1 pav.).
2) y = (|x| – 2) 2 – 5 – 1 žingsnyje sukonstruotos parabolės dalis, kuri yra į dešinę nuo ordinačių ašies, simetriškai rodoma Oy ašies kairėje; (2 pav.).
3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| – 2 punkte sudaryta grafiko dalis, esanti žemiau x ašies, rodoma simetriškai x ašies atžvilgiu aukštyn. (3 pav.).
Pažvelkime į gautus brėžinius:
Funkcijos y = a grafikas yra tiesė, lygiagreti abscisių ašiai.
Naudodamiesi paveikslu darome išvadą, kad funkcijų grafikai turi šešis bendrus taškus (lygtis turi šešias šaknis), jei a priklauso intervalui (1; 5).
Tai galima pamatyti toliau pateiktame paveikslėlyje:
Raskime parametro a sveikųjų skaičių reikšmių aritmetinį vidurkį:
(2 + 3 + 4)/3 = 3.
Atsakymas: 3.
blog.site, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.
KAM užduotys su parametru gali apimti, pavyzdžiui, linijinių ir sprendimų paiešką kvadratines lygtis V bendras vaizdas, turimų šaknų skaičiaus lygties tyrimas, atsižvelgiant į parametro reikšmę.
Be atsivežimo išsamius apibrėžimus, kaip pavyzdžius, apsvarstykite šias lygtis:
y = kx, kur x, y yra kintamieji, k yra parametras;
y = kx + b, kur x, y yra kintamieji, k ir b yra parametrai;
ax 2 + bx + c = 0, kur x yra kintamieji, a, b ir c yra parametras.
Lygties (nelygybės, sistemos) sprendimas su parametru, kaip taisyklė, reiškia sprendimą begalinis rinkinys lygtys (nelygybės, sistemos).
Užduotys su parametru gali būti suskirstytos į du tipus:
A) sąlyga sako: išspręskite lygtį (nelygybę, sistemą) - tai reiškia, kad visoms parametro reikšmėms raskite visus sprendimus. Jei bent vienas atvejis lieka neištirtas, toks sprendimas negali būti laikomas patenkinamu.
b) reikia nurodyti galimas vertes parametrus, kuriems turi lygtis (nelygybė, sistema). tam tikros savybės. Pavyzdžiui, turi vieną sprendimą, neturi sprendimų, turi sprendimus, priklausantis intervalui tt Atliekant tokias užduotis, būtina aiškiai nurodyti, kuriai parametro vertei esant reikalinga sąlyga.
Parametras, būdamas nežinomas fiksuotas skaičius, turi savotišką dvilypumą. Visų pirma, reikia atsižvelgti į tai, kad numanomas populiarumas rodo, kad parametras turi būti suvokiamas kaip skaičius. Antra, laisvę manipuliuoti parametru riboja jo neaiškumas. Taigi, pavyzdžiui, dalijimo iš išraiškos, kurioje yra parametras, arba lyginio laipsnio šaknies ištraukimo iš panaši išraiška reikalauti išankstiniai tyrimai. Todėl su parametru reikia elgtis atsargiai.
Pavyzdžiui, norėdami palyginti du skaičius -6a ir 3a, turite atsižvelgti į tris atvejus:
1) -6a bus didesnis nei 3a, jei a yra neigiamas skaičius;
2) -6a = 3a tuo atveju, kai a = 0;
3) -6a bus mažesnis nei 3a, jei a yra teigiamas skaičius 0.
Sprendimas bus atsakymas.
Tegu pateikta lygtis kx = b. Ši lygtis yra trumpa pastaba begalinis skaičius lygčių su vienu kintamuoju.
Sprendžiant tokias lygtis gali būti:
1. Tegu k yra bet koks tikras numeris nelygus nuliui ir b yra bet koks skaičius iš R, tada x = b/k.
2. Tegul k = 0 ir b ≠ 0, pradinė lygtis bus 0 x = b forma. Akivaizdu, kad ši lygtis neturi sprendimų.
3. Tegul k ir b yra skaičiai, lygus nuliui, tada turime lygybę 0 x = 0. Jos sprendinys yra bet koks realusis skaičius.
Šio tipo lygties sprendimo algoritmas:
1. Nustatykite parametro „kontrolines“ reikšmes.
2. Išspręskite pirminę x lygtį parametrų reikšmėms, kurios buvo nustatytos pirmoje pastraipoje.
3. Išspręskite pradinę x lygtį, kai parametrų reikšmės skiriasi nuo pirmoje pastraipoje pasirinktų.
4. Atsakymą galite parašyti tokia forma:
1) ... (parametrų reikšmės) lygtis turi šaknis ...;
2) ... (parametrų reikšmės) lygtyje nėra šaknų.
1 pavyzdys.
Išspręskite lygtį parametru |6 – x| = a.
Sprendimas.
Nesunku pastebėti, kad čia ≥ 0.
Pagal 6 modulio taisyklę – x = ±a, išreiškiame x:
Atsakymas: x = 6 ± a, kur a ≥ 0.
2 pavyzdys.
Išspręskite lygtį a(x – 1) + 2(x – 1) = 0 kintamojo x atžvilgiu.
Sprendimas.
Atidarykime skliaustus: aх – а + 2х – 2 = 0
Įrašykime lygtį Standartinė forma: x(a + 2) = a + 2.
Jei išraiška a + 2 nėra nulis, tai yra, jei a ≠ -2, turime sprendimą x = (a + 2) / (a + 2), t.y. x = 1.
Jei a + 2 lygus nuliui, t.y. a = -2, tada turime teisingą lygybę 0 x = 0, taigi x yra bet koks realusis skaičius.
Atsakymas: x = 1, jei a ≠ -2 ir x € R, jei a = -2.
3 pavyzdys.
Išspręskite lygtį x/a + 1 = a + x kintamojo x atžvilgiu.
Sprendimas.
Jei a = 0, tai lygtį transformuojame į formą a + x = a 2 + ax arba (a – 1)x = -a(a – 1). Paskutinė a = 1 lygtis yra 0 x = 0, todėl x yra bet koks skaičius.
Jei a ≠ 1, tada paskutinė lygtis bus x = -a.
Šį sprendimą galima pavaizduoti koordinačių tiesėje (1 pav.)
Atsakymas: a = 0 sprendinių nėra; x – bet koks skaičius, kurio a = 1; x = -a, kai a ≠ 0 ir a ≠ 1.
Grafinis metodas
Panagrinėkime kitą lygčių su parametru sprendimo būdą – grafiškai. Šis metodas naudojamas gana dažnai.
4 pavyzdys.
Priklausomai nuo parametro a, kiek šaknų sudaro lygtis ||x| – 2| = a?
Sprendimas.
Norėdami išspręsti grafiniu metodu, sudarome funkcijų y = ||x| grafikus – 2| ir y = a (2 pav.).
Piešinys aiškiai parodo galimi atvejai tiesės y = a vieta ir šaknų skaičius kiekvienoje iš jų.
Atsakymas: lygtis neturės šaknų, jei a< 0; два корня будет в случае, если a >2 ir a = 0; lygtis turės tris šaknis, kai a = 2; keturios šaknys – 0< a < 2.
5 pavyzdys.
Kokia lygtis 2|x| + |x – 1| = a turi vieną šaknį?
Sprendimas.
Pavaizduokime funkcijų y = 2|x| grafikus + |x – 1| ir y = a. Jei y = 2|x| + |x – 1|, išplėtę modulius intervalo metodu, gauname:
(-3x + 1, ties x< 0,
y = (x + 1, jei 0 ≤ x ≤ 1,
(3x – 1, jei x > 1.
Įjungta 3 pav aiškiai matyti, kad lygtis turės vieną šaknį tik tada, kai a = 1.
Atsakymas: a = 1.
6 pavyzdys.
Nustatykite lygties |x + 1| sprendinių skaičių + |x + 2| = a priklausomai nuo parametro a?
Sprendimas.
Funkcijos y = |x + 1| grafikas + |x + 2| bus nutrūkusi linija. Jo viršūnės bus taškuose (-2; 1) ir (-1; 1) (4 pav.).
Atsakymas: jei parametras a yra mažesnis už vieną, tai lygtis neturės šaknų; jei a = 1, tai lygties sprendinys yra begalinė skaičių aibė iš intervalo [-2; -1]; jei parametro a reikšmės yra didesnės nei viena, tada lygtis turės dvi šaknis.
Vis dar turite klausimų? Nežinote, kaip išspręsti lygtis su parametru?
Norėdami gauti pagalbos iš dėstytojo, užsiregistruokite.
Pirma pamoka nemokama!
svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.
