Vieningo valstybinio egzamino procentų teorija. Medžiaga pasiruošimui vieningam valstybiniam egzaminui (GIA) algebroje (11 klasė) tema: Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui „Paprastos ir sudėtinės palūkanos“

Jau dvejus metus prie antrosios dalies pridedama užduotis c ekonominis turinys, t. y. sudėtingų banko palūkanų problemos.

Sakoma, kad mes kalbame apie „sudėtines palūkanas“ tuo atveju, kai tam tikra vertė palaipsniui keičiasi. Be to, kiekvieną kartą, kai ji keičiasi tam tikras skaičius procentų vertės, kurią ši vertė turėjo ankstesniame etape.

Kiekvieno etapo pabaigoje vertė pasikeičia į tą pačią pastovus kiekis procentai –p%. Tada pabaigojen th etape tam tikro dydžio vertėA , kurios pradinė vertė buvo lygiA 0 , nustatoma pagal formulę:

Didėjant ir

Kai mažėja

Žinodami, kad indėlio metinė palūkanų norma yra 12 proc

lygiavertę mėnesinę palūkanų normą.

Sprendimas:

Jei įdėsite A rublį į banką, tada po metų gausime:A 1 = A 0 (1 +0,12)

Jei palūkanos buvo skaičiuojamos kiekvieną mėnesį pagal palūkanų normąX , tada pagal formulę sudėtines palūkanas per metus (12 mėnesių)A n = A 0 (1 + 0,01x) 12

Sulyginę šias reikšmes, gauname lygtį, kurios sprendimas leis nustatyti mėnesio palūkanų normąA(1 +0,12) = A(1 +0,01x) 12

1,12 = (1 + 0,01x) 12

x = (-1) 100 % ≈ 0,9488792934583046 %

Atsakymas: mėnesinė palūkanų norma yra0.9488792934583046%.

Iš šios problemos sprendimo matote, kad mėnesinė palūkanų norma nėra lygi metinei normai, padalytai iš 12.

2013 m. gruodžio 31 d. Sergejus iš banko paėmė 9 930 000 rublių kreditą su 10% per metus. Paskolos grąžinimo grafikas yra toks: kiekvienos gruodžio 31 d kitais metais bankas ima palūkanas už likusią skolos sumą (tai yra padidina skolą 10%), tada Sergejus perveda ją bankui tam tikra suma metinė išmoka. Kokia turėtų būti metinė įmoka, kad Sergejus sumokėtų skolą trimis lygiomis metinėmis išmokomis?

Sprendimas:

Tegul paskolos suma būnaA , metinė įmoka lygiX rublių, o metinė suma yra k % . Tada kiekvienų metų gruodžio 31 d. likusi skolos suma dauginama iš koeficiento m =1+ 0,01 k . Po pirmo įmokos skolos suma bus: A 1 = am – X. Po antrojo mokėjimo skolos suma

bus:

A 2 = a 1 m – x=(at-x)t-x=a 2 -th-x=at 2 -(1+t)x

Pagal sąlygą Sergejus turi grąžinti visą paskolą trimis mokėjimais, todėl

kur

Ata = 9930000 Irk =10 , gaunameT =1,1 ir

Atsakymas : 3 993 000 rublių.

Dabar, kai išnagrinėjome šį sprendimą, siūlomą visuose sprendiniuose, pažvelkime į kitą sprendimą.

LeiskiteF = 9 930 000 - paskolos suma,x – reikalinga metinės įmokos suma.

Pirmieji metai:

Pareiga:1.1F ;

Mokėjimas:X ;

Likusi dalis:1.1F-x .

Antri metai:

Pareiga:1.1 (1.1F-x) ;

Mokėjimas:X ;

Likusi dalis:1.1(1.1F-x)-x .

Treti metai:

Pareiga:1.1(1.1F-x)-x );

Mokėjimas:X ;

Likutis: 0, nes pagal sąlygą buvo tik trys mokėjimai.

Vienintelė lygtis

1.1(1.1(1.1F-x)-x)-x=0 . 1,331 F = 3,31x, x = 3993000

Atsakymas: 3 993 000 rublių.

Tačiau – 1 ! Darant prielaidą, kad palūkanų norma yra ne gražūs 10%, o baisūs 13,66613%. Labai išaugo tikimybė kur nors numirti per dauginimą arba išprotėti detalizuojant kiekvienų metų skolos sumos daugiklį. Pridėkime ne tik 3 metus, bet ir 25 metus. Šis sprendimas neveiks.

2014 m. gruodžio 31 d. Andrejus iš banko paėmė tam tikrą sumą 10% metinių paskolų. Paskolos grąžinimo schema yra tokia: kiekvienų kitų metų gruodžio 31 dieną bankas ima palūkanas už likusią skolos sumą (tai yra padidina skolą 10%), o tada Andrejus perveda bankui 3 460 600 rublių. Kokią sumą Andrejus paėmė iš banko, jei sumokėjo skolą trimis vienodais mokėjimais (tai yra per 3 metus)?

Sprendimas.

LeiskiteA - reikiamą kiekį,k% - paskolos palūkanų norma,X – metinė išmoka. Tada kiekvienų metų gruodžio 31 d. likusi skolos suma bus dauginama iš koeficientom = 1 + 0,01 tūkst . Po pirmo įmokos skolos suma bus:A 1 = esu – x . Po antrojo mokėjimo skolos suma bus:

A 2 = a 1 m – x=(at-x)t-x=a 2 -th-x=at 2 -(1+t)x

Po trečio mokėjimo likusios skolos suma:

Pagal sąlygas Andrejus sumokėjo skolą per trejus metus,

tai yraA 3 = 0 , kur.

Atx = 3 460 600, k% = 10 % , gauname:m = 1,1 Ir=8 606 000 (rubliai).

Atsakymas: 8 606 000 rublių.

2013 m. gruodžio 31 d. Igoris iš banko paėmė 100 000 rublių kreditą. Paskolos grąžinimo schema yra tokia: kiekvienų kitų metų gruodžio 31 dieną bankas ima palūkanas už likusią skolos sumą (tai yra padidina skolą tam tikra palūkanų suma), tada Igoris perveda kitą dalį. Igoris paskolą grąžino dviem dalimis, pirmą kartą pervesdamas 51 000 rublių, o antrą kartą – 66 600 rublių. Kiek procentų bankas išdavė paskolą Igoriui?

Sprendimas

Leiskitek % – reikalinga paskolos norma;m = (1 + 0,01 k ) – likusios skolos daugiklis;a = 100 000 – iš banko pasiskolinta suma;x 1 = 51 000, x 2 = 66 600 – pirmosios ir paskutinės tranšėjos matmenys.

Po pirmo įmokos skolos suma bus:a 1 = mama – x 1 .

Po antrojo mokėjimo skolos suma bus:a 2 =ma 1 – x 2 = a m 2 –m x 1 – x 2 . Pagal būklę,a 2 = 0 . Pirmiausia reikės išspręsti lygtį atsižvelgiant įm , žinoma, turint tik teigiamą šaknį:

100 000 m 2 – 51 000 m – 66 600 = 0; 500 m 2 – 255 m – 333 = 0.

Čia ir prasideda sunkumai.

D = 255 2 + 4∙500∙333= 15 2 ∙ 17 2 + 15 2 ∙37∙80= 15 2 (289+ 2 960) = 15 2 ∙3249=15 2 ∙3 2 ∙19 2 .

Tada.

Atsakymas: 11 proc.

2013 m. gruodžio 31 d. Masha iš banko paėmė tam tikrą sumą už tam tikrą procentą per metus. Paskolos grąžinimo schema yra tokia: kiekvienų kitų metų gruodžio 31 dieną bankas ima palūkanas už likusią skolos sumą (tai yra, padidina skolą tam tikra palūkanų suma), tada Maša perveda kitą dalį. Jei kasmet sumokės 2 788 425 rublius, skolą grąžins per 4 metus. Jei po 4 991 625, tai per 2 metus. Kiek procentų Maša paėmė pinigus iš banko?

Sprendimas

Po dvejų metų grąžinimo paimamos paskolos suma apskaičiuojama pagal formulę:

Po ketverių metų grąžinimo paimamos paskolos suma apskaičiuojama pagal formulę:

Kur

Tada.

Atsakymas: 12,5 proc.

2013 m. gruodžio 31 d. Vanya iš banko paėmė 9 009 000 rublių kreditą su 20% per metus. Paskolos grąžinimo schema yra tokia: kiekvienų kitų metų gruodžio 31 dieną bankas ima palūkanas už likusią skolos sumą (tai yra padidina skolą 20%), tada Vanya perveda mokėjimą bankui. Vanya sumokėjo visą skolą 3 vienodais mokėjimais. Kiek rublių jis duotų mažiau bankui, jei galėtų sumokėti skolą 2 lygiomis išmokomis?

Sprendimas

Naudokime 2 uždavinio rezultatą.

Reikalingas skirtumasX 3 -X 2 =34 276 800 – 25896800= 1 036 800 rublių

Atsakymas: 1 036 00 rublių.

2013 m. birželio 1 d. Vsevolodas Jaroslavovičius iš banko paėmė 900 000 rublių. Paskolos grąžinimo schema yra tokia: kiekvieno kito mėnesio 1 dieną bankas ima 1 procentą likusios skolos sumos (tai yra padidina skolą 1%), tada Vsevolodas Jaroslavovičius perveda mokėjimą bankui. Už ką minimalus kiekis mėnesių Vsevolodas Jaroslavovičius gali imti paskolą, kad mėnesinės įmokos būtų ne didesnės kaip 300 000 rublių?

Turite suprasti paprastą tiesą – kuo didesnė paskolos įmoka, tuo mažiau skolų turėsite. Kuo mažiau skolų turėsite, tuo greičiau ją grąžinsite. Didžiausia mėnesinė įmoka, kurią skolintojas gali sau leisti, yra 300 000 rublių pagal sąlygas. Jei Vsevolodas Jaroslavovičius sumokės didžiausią įmoką, jis skolą grąžins greičiausiai. Kitaip tariant, galės pasiimti paskolą už trumpiausias laikotarpis laiko, kaip reikalauja sąlyga.

Pabandykime išspręsti problemą iš karto.

Praėjo mėnuo. 2013 m. liepos 1 d.: skola (1 + 0,01) 900 000 – 300 000 = 609 000.

Praėjo mėnuo. 2013 m. rugpjūčio 1 d.: skola (1+ 0,01)609 000 – 300 000 = 315 090.

Praėjo mėnuo. 2013 m. rugsėjo 1 d.: skola (1 +0,01)315 090 – 300 000= 18 240,9. Praėjo mėnuo. 2013 m. spalio 1 d.: skola (1 0,01) 1 240,9 = 18 423,309<300 000, кредит погашен. Итого прошло 4 месяца.

Atsakymas: 4 mėnesiai.

Išspręskime problemą naudodami standartinį metodą.

3 uždavinio rezultatus naudosiu atsižvelgdamas į tokį samprotavimą: likusios skolos dalies nelygybė turi formąa x ≤ 0 .

Leiskitex - reikiamą kiekį,a = 900 000 - iš banko pasiskolinta suma,k% = 1% - paskolos palūkanų norma,y = 300 000 - mėnesinė įmoka,m = (1 + 0,01 tūkst.) – likusios skolos mėnesinis daugiklis. Tada pagal jau žinomą formulę gauname nelygybę: ≤0 ;

Gavome nemalonią nelygybę, bet tikra.

Mes paimame sveikąją skaičiaus dalį, nes mokėjimų skaičius negali būti ne sveikasis skaičius. Imame artimiausią didesnį sveikąjį skaičių, o mažesnio negalime (nes tada bus skola) ir aišku, kad gautas logaritmas nėra sveikasis skaičius. Pasirodo, 4 mokėjimai, 4 mėn.

Ūkininkas gaudavo paskolą iš banko tam tikru procentu per metus. Po metų ūkininkas, norėdamas grąžinti paskolą, grąžino bankui visą sumą, kurią iki tol buvo skolingas bankui, o po metų, norėdamas visiškai grąžinti paskolą, įnešė į banką sumą, buvo 21% didesnė nei gauta paskolos suma. Kokios metinės palūkanos už paskolą iš šio banko?

Sprendimas:

Paskolos suma situacijai įtakos neturi. Paimkime iš banko 4 rublius (dalijasi iš 4).

Per metus skola bankui padidės tiksliaiX kartų ir taps lygūs4x rublių

Padalijame į 4 dalis ir grąžiname3x rublių ir mes turime liktiX rublių

Žinoma, kad iki kitų metų pabaigos turėsime sumokėti4 1.21 rublių

Yra žinoma, kad metų skolos suma virto iš skaičiausX skaičiumiX 2 .

Kadangi ūkininkas skolą visiškai grąžino po dvejų metų, tuomet

X 2 = 4 1,21 x = 2 1,1 x = 2,2

KoeficientasX reiškia, kad 100 % per metus virsta 220 %.

Tai reiškia, kad banko metinis procentas yra: 220% - 100%

Atsakymas: 120%

3900 tūkstančių rublių suma buvo įdėta į banką su 50% per metus. Kiekvienų pirmųjų ketverių saugojimo metų pabaigoje, apskaičiavęs palūkanas, indėlininkas į sąskaitą papildomai įnešė tokios pat fiksuotos sumos. Iki penktų metų pabaigos, sukaupus palūkanas, paaiškėjo, kad indėlio dydis, palyginti su pradiniu, padidėjo 725%. Kokią sumą investuotojas kasmet pridėdavo prie indėlio?

Sprendimas:

Tegul deponuota suma būna fiksuotaX rublių

Tada, atlikus visas operacijas, po pirmų metų tapo suma ant užstato

+x

Po 2 metų

Po to3 metų

Po to4 metų

Po to5 metų

Kadangi penktų metų pabaigoje po palūkanų kaupimo paaiškėjo, kad indėlio dydis, palyginti su pradiniu, padidėjo 725%, sudarysime lygtį:

3900 ·8,25=3900·1,5 5 +x·(1.5 4 +1,5 3 +1,5 2 +1,5) /:1,5

3900·5,5=3900·1,5 4 +x(1.5 3 +1,5 2 +1,5+1)

Atsakymas: 210 rublių.

Bankas priėmė tam tikrą sumą už tam tikrą procentą. Po metų iš sąskaitos buvo nuimtas ketvirtadalis sukauptos sumos. Tačiau bankas padidino metinę palūkanų normą 40%. Iki kitų metų pabaigos sukaupta suma buvo 1,44 karto didesnė už pradinį įnašą. Koks yra naujasis APR procentas?

Sprendimas:

Situacija nesikeis priklausomai nuo indėlio sumos. Padėkime į banką 4 rublius (padalijus iš 4).

Per metus suma sąskaitoje padidės tiksliaip kartų ir taps lygūs4p rublių

Padalijame į 4 dalis ir parsinešame namop rublių, paliksime banke3p rublių

Yra žinoma, kad kitų metų pabaigoje banke buvo 4·1,44 = 5,76 rublio.

Taigi skaičius3p virto skaičiumi 5,76. Kiek kartų jis padidėjo?

Taigi rastas antras didėjimo koeficientasx stiklainis.

Įdomu tai, kad abiejų koeficientų sandauga yra 1,92:

Iš sąlygos išplaukia, kad antrasis koeficientas yra 0,4 didesnis už pirmąjį.

p · x = p ·( p +0,4)=1,92

Jau dabar galima pasirinkti koeficientus: 1,2 ir 1,6.

Tačiau toliau spręskime lygtį:

10p ·(10p+4)=192 tegul 10p=k

k ·(k+4)=192

k =12, t.y. p=1,2; ir x = 1,6

Atsakymas: 60 proc.

Šioje pamokoje apžvelgsime, kaip išspręsti sudėtingiausias užduotis apie kreditus iš vieningo valstybinio matematikos egzamino – laikas juose nežinomas. Pirmiausia prisiminkite formulę, jungiančią bendrą paskolos sumą, palūkanas, terminą ir mėnesines įmokas:

$C\cdot ((x)^(n))=P\cdot \frac(((x)^(n))-1)(x-1)$.

Kur $C$ - bendra suma paskola, $x$ – palūkanos, $P$ – mėnesinė įmoka, o skaičius $n$ – terminas, kuriam imama paskola. Štai ko mes ieškosime šiandien, todėl turėsime atlikti du veiksmus:

1. Apytiksliai įvertinkite laikotarpį. Norėdami tai padaryti, tiesiog padalinkite paskolą iš mokėjimo ir gautą skaičių suapvalinkite aukštyn. Jei padalijus gaunamas sveikasis skaičius, tiesiog padidinkite jį vienu.
2. Įsitikinkite, kad šis skaičius yra atsakymas. Norėdami tai padaryti, turėsite suskaičiuoti keletą gana bjaurių skaičių galių: 1,1; 1.03 ir kt.

Spręsdami šią problemą, visada atsiminkite termino ir mėnesinės įmokos dydžio santykį:

Kuo ilgesnis terminas, tuo mažesnė mėnesinė įmoka. Ir atvirkščiai: kuo trumpesnis terminas, tuo didesnis mokėjimas.

Be to, yra svarbi taisyklė, kuri žymiai sumažins skaičiavimų apimtį. Užuot ieškoję reikšmės, tarkime, $((1.03)^(7))$, galite rasti tam tikrą tarpinę galią (viskas didesnis už kubą šiam skaičiui jau laikoma problemiška), o tada tęsti darbą su viršutinėmis ir apatinės šio skaičiaus ribos. Kokie yra šie skaičiavimai ir kaip juos panaudoti norint išspręsti 17 problemą dvigubai greičiau – žiūrėkite video pamoką :)

Sunkiausia užduotis apie paskolas iš vieningo valstybinio egzamino

Šiandien pažvelgsime į tai, apie ką žadėjau kalbėti praėjusiais mokslo metais, kai pirmą kartą susipažinome su ekonominio turinio problemomis iš Vieningo valstybinio matematikos egzamino. Apskritai nuo šios užduoties pasirodymo Vieningame valstybiniame egzamine praėjo nemažai laiko ir nuo to laiko tokios užduotys tapo įvairesnės nei iš pradžių, tačiau sunkiausia ir dažniausiai sutinkama užduotis liko nepakitusi. Būtent apie tai šiandien ir kalbėsime. Tiksliau, pakalbėsime apie sunkiausią šios problemos variantą – mokėjimų ir paskolų problemą, kai suveikia universali sudėtinių palūkanų formulė, gauta ankstesnėje video pamokoje, tačiau šį kartą ne paskola ar mokėjimas. nežinomas, bet būtent laikas, už kurį tai buvo paimta daugiausiai nuopelnų.

Sudėtinių palūkanų formulė matematikoje

Iš kur atsiranda ši sudėtinių palūkanų skaičiavimo formulė ir kaip visa tai veikia, išsamiai paaiškinau ankstesnėje vaizdo pamokoje, todėl jei jos nežiūrėjote, labai rekomenduoju pažiūrėti. Tačiau iš tos pačios vaizdo pamokos kilo daug klausimų ir, visų pirma, sunkiausios problemos analizę palikome vėlesniam laikui. Būtent tai ir darysime šiandien.

Prieš spręsdami šią problemą, užrašykite mūsų klasikinę sudėtinių palūkanų skaičiavimo formulę, būtent:

Šią formulę išvedėme vienoje iš ankstesnių vaizdo pamokų, ją be jokios abejonės galima panaudoti ir atliekant tikrąjį egzaminą, prieš tai pagrįsdami ją maždaug taip pat, kaip ir ankstesnėje vaizdo pamokoje.

Užduotis Nr.1

Taigi, ekonominė problema, kurioje nežinomas nežinomas dydis yra laikas:

2015 metų sausio 1 dieną pensininkė iš banko paėmė 1,5 mln. Paskolos grąžinimo schema yra tokia: kiekvieno kito mėnesio 1 dieną bankas ima 10 procentų nuo likusios skolos sumos (tai yra padidina skolą 10%), o tada pensininkas perveda įmoką bankui. . Kokiam minimaliam mėnesių skaičiui pensininkas gali imti paskolą, kad mėnesinės įmokos neviršytų 350 tūkstančių rublių?

Taigi, pradėkime spręsti savo problemą. Pirmiausia užsirašykime viską, ką žinome. Visų pirma, mums suteikiama visa paskolos suma:

Kreditas = 1 500 000

Yra žinoma, kad mėnesinė įmoka neturėtų viršyti 350 tūkstančių rublių. Parašykime taip:

Mokėjimas = 350 000

Be to, procentas yra žinomas. Žinome, kad jei 10% parašyta kaip koeficientas, tai bus:

Antras žingsnis: sukurkite lygtį naudodami sudėtinių palūkanų formulę

Tai, ko mes nežinome, yra skaičius $n$ šioje lygtyje. Sujunkite viską, ką žinome, į sudėtinių palūkanų formulę ir pažiūrėkime, kas atsitiks:

Pristatome pakaitalą:

\[((1,1)^(n))=t\]

Šiuo atveju gauname:

Prisiminkime, kas yra $t$. Turime išspręsti šią lygtį:

\[((1,1)^(n))=1,75\]

Trečias žingsnis: suraskite mažiausią vertę

Jei bandysite išspręsti šią lygtį naudodami skaičiuotuvą, jums nepavyks – skaičiai bus arba didesni, arba mažesni, bet tikslios reikšmės negausite. Todėl dar kartą grįžkime prie problemos teiginio ir perskaitykime, kad mėnesinės įmokos neturėtų viršyti 350 tūkstančių rublių. Pagalvokime: kuo ilgesniam terminui imama ta pati paskola, tuo mažesnės mėnesinės įmokos. Ir kadangi mes reikalaujame, kad mėnesinės įmokos būtų ne didesnės kaip 350 tūkstančių rublių, tai reiškia, kad laikotarpis turi būti ne mažesnis nei nurodytas laikotarpis. Tiesą sakant, atsižvelgiant į tai, kad mūsų vertė negali būti lygi šiam tikslui laikotarpiui, mes pastebime, kad turime išspręsti ne lygtį, o formos nelygybę.

\[((1,1)^(n))>1,75\]

Dar kartą atidžiai pažiūrėkite į šį perėjimą – tai esminė svarbus punktas visos užduoties metu. Negalime rasti tikslaus gamtos vertybė$n$ yra tokia, kad $1,1$ šiai galiai duoda $1.75$, taigi dabar mūsų užduotis yra rasti minimalų natūralų $n$, kad ši nelygybė galiotų. Kyla klausimas: kodėl minimumas? Juk galima pasiimti paskolą 100 metų ir tada tikrai viskas susitvarkys, t.y. $((1,1)^(n))$ bus didesnis nei 1,75 $. Tačiau užduotyje turime rasti tiksliai minimalų kiekį. Todėl iš visų $n$, kurie tenkina šią nelygybę, pasirinksime mažiausią, o iš tikrųjų dabar patys rasime šį mažiausią.

Padarykime nedidelį staliuką.

Ir pirmą kartą peržengėme reikiamus limitus – 1,75$. Atkreipkite dėmesį: mums neužtenka penkių mėnesių, nes koeficientas nepasieks norimos vertės, bet šešių mėnesių jau pakanka, nes jis ne tik pasieks, bet ir viršys norimą reikšmę. Taigi galutinis atsakymas yra šeši mėnesiai.

Sprendimo niuansai

Kaip matote, čia nėra nieko sudėtingo, net jei iš mūsų reikalaujama tiksliai nustatyti terminą. Vienintelis dalykas, kuris galėjo mus suklaidinti, buvo gana didelis skaičiavimų kiekis pačioje pabaigoje, kai suskaičiavome 1,1 USD galias. Tačiau tai nenuostabu, nes tai vienas naujausių ir labiausiai sudėtingos užduotys iš Vieningo valstybinio matematikos egzamino, tad jei čia viskas būtų visiškai paprasta, tai už tai trijų pirminių balų neduotų.

Be to, norėčiau atkreipti jūsų dėmesį į galutinį atsakymo pagrindimą. Priminsiu, kad problemą sprendžiame iš antrosios dalies: čia neužtenka parašyti atsakymą, reikia pateikti išsamų ir kompetentingą pagrindimą. Taigi, kėlimas į galias, tam tikru momentu gauname tokias reikšmes: $1.61051$ ir $1.771561$. Kyla klausimas: kodėl pasirinkome antrąjį numerį? Mes išsprendžiame šią nelygybę, kuri buvo pagrįsta anksčiau, o antroji reikšmė jau atitinka mūsų nelygybę, nes

\[{{1,1}^{6}}=1,771561\]

O 1,75 USD antrasis skaitmuo yra „penki“, t.y. skaičius yra mažesnis, todėl skaičius yra mažesnis. Bet jei bandysime kaip atsakymą pasirinkti penkis mėnesius ir su šia reikšme susietas koeficientas yra $1.61051$, tai toks variantas mums tikrai netiks. Kodėl? Nes jei pakeisime ją į pradinę sudėtinių palūkanų formulę ir bandysime pagal šiuos duomenis apskaičiuoti galutinę mėnesinę įmoką, ji bus didesnė nei reikalaujama 350 tūkstančių rublių.

Norint sėkmingai išspręsti šią problemą, įskaitant kai reikia rasti terminą, reikia atsižvelgti į du dalykus:

1. Prisiminkite sudėtinių palūkanų sprendimo formulę ir patartina mokėti ją išvesti egzamine.
2. Prisiminkite ryšį tarp mokėjimo terminų ir sumų. Santykis yra atvirkščiai proporcingas: kuo ilgesnis terminas, tuo mažesnė mėnesinė įmoka ir atvirkščiai – kuo didesnė mėnesinė įmoka, tuo trumpesnis laikotarpis, per kurį teks grąžinti tą pačią paskolą.

2 problema

2015 metų sausio 1 dieną pensininkė iš banko paėmė 1,1 mln. Paskolos grąžinimo schema yra tokia: kiekvieno kito mėnesio 1 dieną bankas ima 3 procentus nuo likusios skolos sumos (tai yra padidina skolą 3%), o tada pensininkas perveda įmoką bankui. . Kokiam minimaliam mėnesių skaičiui pensininkas gali imti paskolą, kad mėnesinės įmokos neviršytų 220 tūkstančių rublių?

Iš pirmo žvilgsnio užduotis niekuo nesiskiria nuo ankstesnės. Nebent pensininkė tapo protingesnė, tai ji paėmė tik 1,1 milijono, o be to, palūkanos per mėnesį yra tik 3%, o ne 10%, o mėnesinės įmokos turėtų būti ne didesnės kaip 220 tūkstančių rublių.

Pirmas žingsnis: užsirašykite žinomus duomenis

Perrašykime sudėtinių palūkanų formulę:

Kur $C$ – visa paskolos suma, $x$ – palūkanos, $P$ – mėnesinė įmoka, $n$ – terminas, kuriam imama paskola.

Užsirašykime žinomus duomenis:

Kreditas = 1100000

Mokėjimas = 220 000

Antras žingsnis: sukurkite lygtį naudodami sudėtinių palūkanų formulę

Visus šiuos duomenis pakeičiame į formulę. Vėlgi, mes nežinome termino, t.y. $n$:

\[((1,3)^(n))=2\cdot \left(1,03-1 \right)\cdot \frac(10)(3)\left| 3\dešinė.\]

Pristatome pakaitalą:

\[((1.03)^(n))=t\]

Ir čia susiduriame su pirmąja problema, kurios nebuvo ankstesnėje užduotyje: $\frac(20)(17)$ nevirsta į „gražią“ dešimtainę trupmeną, o mums reikia dešimtainės trupmenos, nes kai padarome lentelę, tada padidinsime 1,03 USD skirtingais laipsniais, ir tai yra dešimtainė trupmena skirtingų laipsnių, taip pat duos po kablelio. Tiesą sakant, sprendimas yra paprastas: tiesiog padalinkite ir palikite pirmuosius keturis simbolius:

\[\frac(20)(17)=1,17647...\]

Grįžę prie problemos, gauname:

Sulyginkime abi dalis:

\[((1,03)^(n))=1,17647...\]

Pagal analogiją su ankstesnė užduotis Nesunku pastebėti, kad nėra natūralaus $n$, kad 1,03$ šiai galiai duotų 1,17647$...$, todėl savo lygybę ramiai pakeičiame nelygybės ženklu:

\[((1.03)^(n))>1.17647...\]

Tuo pačiu sprendžiant šios nelygybės atsakymas bus mažiausias $n$. Dar kartą padarykime lentelę, kurioje kairėje vėl parašysime mėnesius, o dešinėje – koeficientą:

Ketvirtas žingsnis: suraskite viršutinę ir apatinę ribas naudodami „įvertinimo metodą“

Susidūrėme su dar viena problema: augant mėnesio skaičiui, skaičiavimų apimtys tampa tiesiog katastrofiškos, todėl tolimesni skaičiavimai turi būti atliekami naudojant kokį nors kitą įrankį, kitaip tiesiog paskęsime skaičiavimų apimtyje. Ši problema būdinga visoms problemoms, kuriose procentas yra mažesnis nei dešimt. Taigi, kai tik pamatysite mažus procentus, nemanykite, kad turite problemų. lengva užduotis Priešingai, bus problemų. Tačiau visas šias problemas galima nesunkiai išspręsti pasitelkus nuostabų įrankį, vadinamą vertinimo metodu. Dabar aš jums pasakysiu, kas tai yra ir kaip jį naudoti, naudodamas šios užduoties pavyzdį.

Taigi, turime rasti ketvirtąją, penktąją ir šeštąją 1,03 USD laipsnius. Mes jį radome naudodami ankstesnįjį, padaugindami jį iš 1,03 USD. Tačiau jau trečiame žingsnyje skaičiavimų apimtis pasirodė gana didelė. Todėl, kad nepaskęstume skaičiavimuose, atlikime tokią manipuliaciją: pažiūrėkime į skaičius, kuriuos gavome kvadratuodami ir į trečią laipsnį. Pirmiausia pažiūrėkime, kas nutiko aikštėje:

\[{{1,03}^{2}}=1,0609\]

Nukirskime du skaitmenis po kablelio ir tiesiog parašykime 1,06 USD. Tą patį padarysime su trečiąja galia, kurioje gavome tokią išraišką:

\[{{1,03}^{3}}=1,092727\]

Nukirskime du skaitmenis po kablelio ir gaukime 1,09 USD. Abiem atvejais imame tik pirmuosius du ženklus. Ką tai mums duos? Esmė ta, kad bet kuriuo atveju 1,0609$, t.y. tikroji prasmė antroji galia bus didesnė už ką tik rastą reikšmę:

Tą patį galima pasakyti apie trečiąjį laipsnį:

Dabar paimkime jį ir pridėkime „vieną“ prie šių skaičių paskutiniame skaitmenyje. Mes gauname:

Nepaprasta šių skaičių savybė yra ta, kad pirmuoju atveju

Tačiau antruoju atveju bus tokia nelygybė:

Parašykime taip:

Gautos vertės vadinamos viršutiniais ir apatiniais įverčiais arba apvalinimu žemyn ir aukštyn. Ir užuot kovoję su didžiuliu skaičiavimų kiekiu, mes tiesiog padauginsime šiuos skaičius. Kaip ir kuo remiantis? Atkreipkime dėmesį į šiuos dalykus:

\[((1.03)^(4))=((1.03)^(2))\cdot ((1.03)^(2))\]

\[((1.03)^(5))=((1.03)^(3))\cdot ((1.03)^(2))\]

\[((1.03)^(6))=((1.03)^(3))\cdot ((1.03)^(3))\]

Penktas žingsnis: suraskite mažiausią vertę

Užpildykime lentelę iki galo:

Ką mums sako visi šie viršutiniai ir apatiniai įverčiai? Pirma, ženkliai sumažėja skaičiavimų kiekis, antra, pažvelkime į naujausias reikšmes:\[((1,1)^(2))=1,21\]

\[{{1,09}^{2}}=1,1881\]

Ką tai reiškia? O faktas tas, kad už $n=6$ tikrai viršysime reikiamą vertę. Mes tai jau žinome

\[((1,03)^(n))=1,17647<1,1881<{{1,03}^{6}}<1,21\]

Iš esmės jau esame patenkinti „šešiu“ - tai kandidatas į atsakymą. Tačiau problema ta, kad problema reikalauja, kad rastume minimalų mėnesių skaičių. Ką daryti, jei minimalus mėnesių skaičius buvo „penki“? Suskaičiuokime ir pakartokime visus tuos pačius „penkių“ skaičiavimus:

Bet tokie vertinimai mums nieko neduos. Kodėl? Nes jei nubrėžiame skaičių tiesę ir pažymime joje apatinę ir viršutinę ribas, gauname štai ką: tarp $1.1554$ ir $1.177$ yra $((1.03)^(5))$. Tačiau tarp jų taip pat yra 1,17647 USD, kuriuos turime pranokti. Jei šis skaičius yra dešinėje nuo $1,17647 $, mes esame viskuo patenkinti ir atsakymas bus "penki". Tačiau jei jis yra kairėje, tada „penki“ mums netinka ir atsakymas bus „šeši“. Kaip galime patikrinti, kuris skaičius mums tinka? Deja, į šį klausimą neįmanoma atsakyti pagal mūsų užrašytus viršutinius ir apatinius įverčius – mums tiesiog trūksta tikslumo. Taigi dar kartą užsirašykime $n=2$ ir $n=3$ reikšmes.

Taigi, kad ir kas $n$ būtų reiškinyje $((1,03)^(n))$, jis bet kuriuo atveju bus didesnis nei $1.06\cdot 1092$, bet bet kuriuo atveju mažesnis nei $1.061 \cdot $1.093.

Užsirašykime skaičiavimus:

Tai reiškia, kad mūsų prielaidos yra teisingos. Norimą reikšmę, jei dar kartą bandysime nubrėžti skaičių eilutėje, žemiau bus apribota $1,1554 $, o aukščiau - $ 1,159673 $. Tie. $((1.03)^(5))$ tikrai bus mažiau nei $1.159673$ ir tuo labiau mažiau nei $1.17647...$O tai reiškia, kad mūsų pradinė prielaida, kad esant $ n=5$, mes jau viršysime vertę $1,17647...$ yra neteisingas. Tai reiškia, kad penktas mėnuo mums vis tiek netiks. Tačiau šeštas mėnuo, apie kurį pirmiausia pagalvojome, tikrai toks. Taigi galutinis atsakymas yra šeši. Problema išspręsta ir visiškai pagrįsta.

Naudingi patarimai, kaip išspręsti problemas naudojant sudėtinių palūkanų formulę

Svarbiausias dalykas atliekant šią užduotį yra suprasti, kuo įverčiai skiriasi nuo apvalinimo. Paimame du skaitmenis po kablelio, nupjauname viską, kas yra po jų, ir užrašome tuos skaičius kairėje. Akivaizdu, kad toliau yra keletas skaitmenų realiame skaičiuje, šis skaičius bus tas, kurį gavome kairėje (žr. lentelę). Šie skaičiai, esantys kairėje, vadinami mažais balais. Tada prie jų paskutiniame skaitmenyje (iki paskutinio skaitmens) pridedame „vieną“ ir gauname skaičių, kuris pabaigoje yra vienu didesnis, pavyzdžiui, 1,06 USD tapo 1,07 USD ir pan. Tai bus geriausi įvertinimai. Ir toliau, nesvarbu, ką mes darome, nesvarbu, kokį laipsnį ir mėnesio skaičių apskaičiuosime, tikroji mūsų vertės reikšmė vis tiek bus tarp viršutinio ir apatinio įverčių laipsnių.

Tačiau yra viena problema: tam tikru momentu pastebime, kad ir skaičius, ir norima reikšmė yra tose pačiose ribose. Žinoma, ribos buvo gautos skaičiuojant įverčių laipsnius. Mūsų situacijoje ši problema iškilo skaičiuojant penkto mėnesio vertę: kairioji sąmata mums davė 1,1554 $, o dešinė - 1,177 $. Tarp šių dviejų skaičių slypi ir norima reikšmė, kurios mes nežinome, ir mūsų norima reikšmė, t.y. $((1,03)^(n))$. Išeitį iš šios situacijos pasiūlo pati: jei mums trūksta tikslumo, tai tiesiog reikia padidinti pirminių įverčių tikslumą, t.y. po kablelio imame ne du, o tris skaitmenis. Bet kadangi mus visų pirma domina viršutinės ribos, kiekvieną iš šių skaičių padidinsime vienu skaitmeniu, užrašysime ir padauginsime. Dėl to gauname taip: naujas viršutinis mūsų skaičiaus įvertinimas penktam mėnesiui bus nuo 1,1554 USD iki 1,159673 USD.

Tiesą sakant, penktasis mėnuo duos koeficientą, kuris bus aukščiau nurodytame diapazone, kuris yra aiškiai mažesnis nei norima 1,174647 USD vertė... Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kad visų šių skaičiavimų sudėtingumas ir apimtis bus žymiai didesnis nei tuo atveju, jei skaičius tiesiog pakeltume kvadrato, kubo ir pan. Tiesą sakant, tai netiesa. Jau trečiame ir ketvirtame laipsniais pasirodo dideli skaičiai, bet penkto ir šešto mėnesio jūs tiesiog nepasieksite.

Kaip nustatyti kandidato atsakymą pagal užduoties sąlygas

Baigiant šios dienos vaizdo pamoką, norėčiau papasakoti dar vieną gana protingą įrankį, kuris leis net iš pirmo žvilgsnio į užduotį apytiksliai įvertinti, kuris mėnuo turi būti skaičiuojamas ir kuris mėnuo greičiausiai tinkamas. atsakymas.

Pažvelkime į pradinę formulę. Bendra grąžintinos paskolos suma – 1,1 mln., kas mėnesį mokėtina 220 tūkst. Visą skolą padalinkime iš mėnesinės įmokos. Tokiu atveju gausime mėnesių skaičių, kurį reikėtų skirti paskolai grąžinti, jei mums nepriskaičiuotų palūkanų. Tačiau pačios palūkanos nedidelės – mūsų atveju vos 3% per mėnesį. Tai reiškia, kad mažai tikėtina, kad skola kaupsis ilgiau nei vieną mėnesį, todėl prie gautos vertės reikia pridėti dar vieną vienetą ir gausime labiausiai tikėtiną atsakymą.

Mūsų atveju, jei 1,1 mln. padalinus iš 220 tūkst., tada gauname penkis mėnesius, bet neįskaitant sukauptų palūkanų. Atitinkamai, palūkanoms sumokėti prireiks dar mėnesio. Ir mes gausime tą patį atsakymą.

Tačiau noriu perspėti, kad jokiu būdu nenaudokite šios technikos kaip vienintelio įmanomo atsakymo, kurį gausite iškilus problemai, pateisinimo! Nes sprendžiame vieną sunkiausių Vieningo valstybinio egzamino problemų: reikia pateikti ne tik atsakymą, bet ir visus detalius skaičiavimus bei pagrindimus. Ši technika yra tik užuomina mums patiems, kad suprastume, kuriuos mėnesius, kokius laipsnius skaičiuoti. Kitas žingsnis – įrodyti, kad, pavyzdžiui, skaičius, lygus penkiems mėnesiams, mums netinka, bet šeši mėnesiai mums tikrai tinka. Kaip tai galima padaryti? Pavyzdžiui, naudojant skaičių eilutę, tikslesnius skaičiavimus, įvertinimo metodą ar bet ką jums patogesnio. Bet kuriuo atveju, aš ir mano mokiniai neseniai įsitikinome, kad ši užuomina labai palengvina skaičiavimus ir bent jau leidžia suprasti, koks turėtų būti atsakymas.

Praktikuokite, spręskite problemas, tobulinkite savo įgūdžius skaičiuodami viršutinį ir apatinį balus. Tai ne paskutinė pamoka sprendžiant ekonominio turinio problemas, nes pačių problemų atsirado gana daug, o jų sąlygos tapo įvairesnės. Taigi sekite naujienas!

Matematikos uždavinių sprendimas naudojant pagrindines procentines sąvokas.

Uždavinius, susijusius su procentais, mokoma spręsti nuo 5 klasės.

Šio tipo problemų sprendimas yra glaudžiai susijęs su trimis algoritmais:

1. rasti skaičiaus procentą,
2. rasti skaičių pagal jo procentą,
3. rasti procentą.

Per pamokas su mokiniais jie supranta, kad šimtoji metro dalis yra centimetras, šimtoji rublio dalis – centas, šimtoji centnerio dalis – kilogramas. Žmonės jau seniai pastebėjo, kad šimtieji kiekiai yra patogūs praktikoje. Todėl jiems buvo sugalvotas specialus pavadinimas – procentas.

Tai reiškia, kad viena kapeika yra vienas procentas vieno rublio, o vienas centimetras yra vienas procentas vieno metro.

Vienas procentas yra viena šimtoji skaičiaus. Matematiniais simboliais vienas procentas rašomas taip: 1%.

Vieno procento apibrėžimą galima parašyti taip: 1% = 0,01. A

5 % = 0,05, 23 % = 0,23, 130 % = 1,3 ir kt.

Kaip rasti 1% skaičiaus?

Kadangi 1% yra viena šimtoji dalis, skaičių reikia padalyti iš 100. Padalijimas iš 100 gali būti pakeistas padauginus iš 0,01. Todėl norėdami rasti 1% nurodyto skaičiaus, turite jį padauginti iš 0,01. Ir jei jums reikia rasti 5% skaičiaus, padauginkite šį skaičių iš 0,05 ir pan.

Pavyzdys. Rasti: 25 % iš 120.

1. 25% = 0,25;
2. 120 . 0,25 = 30.

Taisyklė 1. Norėdami rasti nurodytą skaičiaus procentą, turite parašyti procentus kaip dešimtainę trupmeną, o tada skaičių padauginti iš šios dešimtainės trupmenos.

Pavyzdys. Tekotojas per valandą pavertė 40 dalių. Naudodamas pjaustytuvą, pagamintą iš tvirtesnio plieno, jis pradėjo sukti dar 10 dalių per valandą. Kiek procentų išaugo tekintojo darbo našumas?

Norėdami išspręsti šią problemą, turime išsiaiškinti, kiek procentų 10 dalių yra nuo 40. Norėdami tai padaryti, pirmiausia išsiaiškinkite, kokia dalis yra skaičius 10 iš skaičiaus 40. Žinome, kad 10 reikia padalyti iš 40. 0.25. Dabar užrašykime procentais – 25%.

Atsakymas: tekinimo staklių našumas padidėjo 25%.

Taisyklė 2. Norėdami sužinoti, kiek procentų vienas skaičius yra kito, turite padalyti pirmąjį skaičių iš antrojo ir parašyti gautą trupmeną procentais.

Pavyzdys. Planuojama, kad per dieną bus pagaminta 60 automobilių, gamykla pagamino 66 automobilius. Kiek procentų gamykla įvykdė planą?

66: 60 = 1,1 - šią dalį sudaro pagaminti automobiliai iš automobilių skaičiaus pagal planą. Parašykime kaip procentą = 110%.

Atsakymas: 110 proc.

Pavyzdys. Bronza yra alavo ir vario lydinys. Kiek procentų lydinio sudaro varis bronzos gabale, kurį sudaro 6 kg alavo ir 34 kg vario?

1. 6+ 34 =40 (kg) – viso lydinio masė.
2. 34: 40 = 0,85 = 85 (%) - lydinys yra varis.

Atsakymas: 85 proc.

Pavyzdys. Dramblys numetė 20 % svorio pavasarį, vėliau per vasarą priaugo 30 %, rudenį vėl numetė 20 %, o per žiemą priaugo 10 % svorio. Ar šiais metais jo svoris išliko toks pat? Jei pasikeitė, kiek procentų ir kokia kryptimi?

1. 100 - 20 = 80 (%) - po pavasario.
2. 80 + 80 . 0,3 = 104 (%) – po vasaros.
3. 104–104. 0,2 = 83,2 (%) – po rudens.
4. 83,2 + 83,2. 0,1 = 91,52 (%) – po žiemos.

Atsakymas: numetė 8,48% svorio.

Pavyzdys. Saugymui palikome 20 kg agrastų, kurių uogose yra 99% vandens. Vandens kiekis uogose sumažėjo iki 98%. Kiek agrastų gausite dėl to?

1. 100 - 99 = 1 (%) = 0,01 - pirmiausia agrastų sausųjų medžiagų dalis.
2. 20. 0,01 = 0,2 (kg) - sausoji medžiaga.
3. 100 - 98 = 2 (%) = 0,02 - sausųjų medžiagų dalis agrastuose po laikymo.
4. 0,2: 0,02 = 10 (kg) - tapo agrastais.

Atsakymas: 10 kg.

Pavyzdys. Kas atsitiks su prekės kaina, jei ji iš pradžių bus padidinta 25%, o vėliau sumažinta 25%?

Tegul prekės kaina bus x rub., tada po padidinimo prekė kainuoja 125% ankstesnės kainos, t.y. 1,25x, o sumažinus 25%, jo savikaina yra 75% arba 0,75 padidintos kainos, t.y.

0,75 x 1,25 x 0,9375 x,

tuomet prekės kaina sumažėjo 6,25 proc., nes

x - 0,9375x = 0,0625x;
0,0625 . 100% = 6,25%

Atsakymas: Pradinė prekės kaina sumažėjo 6,25%.

Taisyklė 3. Norint rasti dviejų skaičių A ir B procentinį santykį, reikia šių skaičių santykį padauginti iš 100%, tai yra, apskaičiuoti (A: B). 100 proc.

Pavyzdys. Raskite skaičių, jei 15% jo yra 30.

1. 15% = 0,15;
2. 30: 0,15 = 200.

x - duotas skaičius;
0.15. x = 300;
x = 200.

Atsakymas: 200.

Pavyzdys. Žalia medvilnė gamina 24% pluošto. Kiek žaliavinės medvilnės reikia norint gauti 480 kg pluošto?

Parašykime 24% kaip dešimtainę trupmeną 0,24 ir gaukime užduotį rasti skaičių iš žinomos jo dalies (trupumos).
480: 0,24= 2000 kg = 2 t

Atsakymas: 2 t.

Pavyzdys. Kiek kg kiaulienos grybų reikia surinkti norint gauti 1 kg džiovintų grybų, jei apdorojant šviežius grybus lieka 50 % jų masės, o džiovinant – 10 % apdorotų grybų masės?

1 kg džiovintų grybų yra 10% arba 0,01 dalis apdorota, t.y.
1 kg: 0,1=10 kg perdirbtų grybų, tai yra 50% arba 0,5 surinkto grybo, t.y.
10 kg: 0,05=20 kg.

Atsakymas: 20 kg.

Pavyzdys. Šviežiuose grybuose vandens buvo 90 %, o sausuose – 12 %. Kiek džiovintų grybų gausite iš 22 kg šviežių grybų?

1. 22. 0,1 = 2,2 (kg) - grybų masė šviežiuose grybuose; (0,1 yra 10% sausosios medžiagos);
2. 2,2: 0,88 = 2,5 (kg) - sausi grybai, gauti iš šviežių (sausųjų medžiagų kiekis nepasikeitė, tačiau pasikeitė jos procentas grybuose ir dabar 2,2 kg yra 88% arba 0,88 sausų grybų).

Atsakymas: 2,5 kg.

4 taisyklė. Norėdami rasti skaičių su jo procentais, turite išreikšti procentą trupmena, o tada procentinę reikšmę padalyti iš šios trupmenos.

Problemos, susijusios su banko skaičiavimais, dažniausiai susiduria su paprastosiomis ir sudėtinėmis palūkanomis. Kuo skiriasi paprastų ir sudėtinių palūkanų augimas? Taikant paprastą augimą, procentas kiekvieną kartą apskaičiuojamas pagal pradinę vertę, o kompleksinio augimo atveju – pagal ankstesnę vertę. Paprasto augimo atveju 100% yra pradinė suma, o sudėtingo augimo atveju 100% kiekvieną kartą yra nauja ir lygi ankstesnei vertei.

Pavyzdys. Nuo indėlio sumos bankas kas mėnesį moka 4% pajamų. Į sąskaitą buvo įnešta 300 tūkstančių rublių, pajamos kaupiamos kiekvieną mėnesį. Užstato dydį apskaičiuokite po 3 mėn.

1. 100 + 4 = 104 (%) = 1,04 - indėlio padidėjimo dalis, palyginti su praėjusiu mėnesiu.
2. 300. 1,04 = 312 (tūkstantis rublių) - užstato suma po 1 mėnesio.
3. 312. 1,04 = 324,48 (tūkstantis rublių) - užstato suma po 2 mėnesių.
4. 324,48. 1,04 = 337,4592 (tūkstantis rublių) = 337 459,2 (r) - indėlio suma po 3 mėnesių.

Arba galite pakeisti 2-4 taškus vienu, kartojant laipsnio sąvoką su vaikais: 300,1 043 = 337,4592 (tūkstantis rublių) = 337 459,2 (r) - įmokos suma po 3 mėnesių.

Atsakymas: 337 459,2 rubliai

Pavyzdys. Vasja laikraštyje perskaitė, kad per pastaruosius 3 mėnesius maisto kainos kas mėnesį vidutiniškai didėjo 10 proc. Kiek procentų kainos padidėjo per 3 mėnesius?

Pavyzdys. Pinigai, investuoti į žinomos įmonės akcijas, kasmet atneša 20% pajamų. Per kiek metų investuota suma padvigubės?

Pažvelkime į panašų užduočių planą naudodami konkrečius pavyzdžius.

Pavyzdys. (1 variantas Nr. 16. OGE-2016. Matematika. Tipinis testas. Užduotys_red. Jaščenka_2016 -80s)

Sporto parduotuvėje vyksta akcija. Bet koks megztinis kainuoja 400 rublių. Perkant du džemperius, antram džemperiui taikoma 75% nuolaida. Kiek rublių turėsite sumokėti, norint įsigyti du džemperius akcijos laikotarpiu?

Pagal problemos sąlygas paaiškėja, kad pirmasis džemperis perkamas už 100% pradinės savikainos, o antrasis už 100 - 75 = 25 (%), t.y. Iš viso pirkėjas turi sumokėti 100 + 25 = 125 (%) pradinės kainos. Tada sprendimas gali būti svarstomas trimis būdais.

1 būdas.

Mes priimame 400 rublių kaip 100%. Tada 1% yra 400: 100 = 4 (rub.) ir 125%
4. 125 = 500 (rub.)

2 metodas.

Skaičiaus procentas randamas skaičių padauginus iš procentą atitinkančios trupmenos arba padauginus skaičių iš nurodyto procento ir padalijus iš 100.
400. 1,25 = 500 arba 400. 125/100 = 500.

3 būdas.

Taikant proporcijos ypatybę:
400 rub. – 100 proc.
x trinti. - 125%, gauname x = 125. 400 / 100 = 500 (rub.)

Atsakymas: 500 rublių.

Pavyzdys. (4 variantas Nr. 16. OGE-2016. Matematika. Tipinis testas. užduotys_red. Jaščenka_2016 -80s)

Vidutinis berniukų, kurių amžius yra Goša, svoris yra 57 kg. Gošos svoris yra 150% vidutinio svorio. Kiek kilogramų sveria Goša?

Panašiai kaip ir aukščiau aptartame pavyzdyje, galite sukurti proporciją:

57 kg – 100 proc.
x kg - 150%, gauname x = 57. 150 / 100 = 85,5 (kg)

Atsakymas: 85,5 kg.

Pavyzdys. (7 variantas Nr. 16. OGE-2016. Matematika. Tipinis testas. Užduotys_sud. Jaščenka_2016 – 80 m.)

Nuvertinus televizorių, jo nauja kaina buvo 0,52 senojo. Kiek procentų kaina sumažėjo dėl sumažinimo?

1 būdas.

Pirmiausia suraskime kainos sumažėjimo dalį. Jei pradinė kaina laikoma 1, tai 1 - 0,52 = 0,48 yra kainos sumažinimo dalis. Tada gauname 0,48. 100 % = 48 %. Tie. Dėl sumažinimo kaina sumažėjo 48%.

2 metodas.

Jei pradinė kaina imta kaip A, tai po nukainojimo nauja televizoriaus kaina bus lygi 0,52A, t.y. jis sumažės A – 0,52A = 0,48A.

Padarykime proporciją:
A – 100 proc.
0,48A - x%, gauname x = 0,48A. 100/A = 48 (%).

Atsakymas: dėl sumažinimo kaina sumažėjo 48%.

Pavyzdys. (9 variantas Nr. 16. OGE-2016. Matematika. Tipinis testas. Užduotys_sud. Jaščenka_2016 – 80 m.)

Parduodama prekė buvo nukainota 15%, o dabar ji kainavo 680 rublių. Kiek rublių kainavo prekė prieš pardavimą?

Prieš sumažinant kainą prekė buvo verta 100%. Prekės kaina po pardavimo sumažėjo 15 proc., t.y. tapo 100 - 15 = 85 (%), rubliais ši vertė lygi 680 rublių.

1 būdas.

680: 85 = 8 (rub.) – 1 proc.
8. 100 = 800 (rub.) - prekės kaina prieš pardavimą.

2 metodas.

Ši problema rasti skaičių pagal jo procentą sprendžiama skaičių padalijus iš atitinkamo procento ir gautą trupmeną paverčiant procentais, padauginus iš 100 arba padalijus iš trupmenos, gautos konvertuojant iš procentų.
680:85. 100 = 800 (rub.) arba 680: 0,85 = 800 (rub.)

3 būdas.

Naudojant proporcijas:
680 rub. – 85 proc.
x patrinti. - 100%, gauname x = 680. 100 / 85 = 800 (rub.)

Atsakymas: Prieš pardavimą prekė kainavo 800 rublių.

Mišinių ir lydinių uždavinių sprendimas, naudojant sąvokas „procentas“, „koncentracija“, „% tirpalas“.

Žemiau pateikiamos paprasčiausios tokio tipo užduotys.

Pavyzdys. Kiek kg druskos yra 10 kg sūraus vandens, jei druskos procentas yra 15%.

10. 0,15 = 1,5 (kg) druskos.

Atsakymas: 1,5 kg.

Medžiagos procentinė dalis tirpale (pavyzdžiui, 15 %) kartais vadinama % tirpalu (pavyzdžiui, 15 % druskos tirpalu).

Pavyzdys. Lydinyje yra 10 kg alavo ir 15 kg cinko. Koks yra alavo ir cinko procentas lydinyje?

Medžiagos procentinė dalis lydinyje yra dalis, kurią tam tikros medžiagos svoris sudaro viso lydinio masė.

1. 10 + 15 = 25 (kg) - lydinys;
2. 10:25. 100% = 40% - alavo procentas lydinyje;
3. 15:25. 100% = 60% - cinko procentas lydinyje.

Atsakymas: 40%, 60%.

Tokio tipo užduotyse pagrindinė sąvoka yra „koncentracija“. Kas tai yra?

Apsvarstykite, pavyzdžiui, rūgšties tirpalą vandenyje.

Tegul inde yra 10 litrų tirpalo, kurį sudaro 3 litrai rūgšties ir 7 litrai vandens. Tada santykinis (viso tūrio atžvilgiu) rūgšties kiekis tirpale yra lygus. Šis skaičius nustato rūgšties koncentraciją tirpale. Kartais jie kalba apie rūgšties procentą tirpale. Pateiktame pavyzdyje procentas būtų toks: . Kaip matote, perėjimas nuo koncentracijos prie procentų ir atvirkščiai yra labai paprastas.

Taigi, tegul masės M mišinyje yra medžiagos, kurios masės m.

• tam tikros medžiagos koncentracija mišinyje (lydinyje) vadinama kiekiu;
• procentinis tam tikros medžiagos kiekis vadinamas reikšme c×100 %;

Iš paskutinės formulės matyti, kad esant žinomoms medžiagos koncentracijos ir bendros mišinio (lydinio) masės vertėms, šios medžiagos masė nustatoma pagal formulę m = c × M.

Problemas, susijusias su mišiniais (lydiniais), galima suskirstyti į du tipus:

1. Pavyzdžiui, nurodomi du mišiniai (lydiniai), kurių masės m1 ir m2 ir kai kurių medžiagų koncentracija juose atitinkamai lygi c1 ir c2. Mišiniai (lydiniai) nusausinami (lydomi). Būtina nustatyti šios medžiagos masę naujame mišinyje (lydinyje) ir naują jos koncentraciją. Aišku, kad naujame mišinyje (lydinyje) šios medžiagos masė lygi c1m1 + c2m2, o koncentracija.
2. Nurodomas tam tikras mišinio (lydinio) tūris ir nuo šio tūrio pradedama pilti (pašalinti) tam tikrą mišinio (lydinio) kiekį, o po to įpilti (įpilti) tokį pat arba kitokį mišinio (lydinio) kiekį. su ta pačia tam tikros medžiagos koncentracija arba skirtinga koncentracija. Ši operacija atliekama keletą kartų.

Sprendžiant tokias problemas, būtina kontroliuoti šios medžiagos kiekį ir jos koncentraciją kiekvieno atoslūgio metu, taip pat kiekvieną kartą pridedant mišinio. Tokio valdymo dėka gauname sprendžiamąją lygtį. Pažvelkime į konkrečias užduotis.

Jei medžiagos koncentracija junginyje yra P%, tai reiškia, kad šios medžiagos masė yra P% viso junginio masės.

Pavyzdys. Sidabro koncentracija 300 g lydinyje yra 87%. Tai reiškia, kad lydinyje yra 261 g gryno sidabro.

300. 0,87 = 261 (g).

Šiame pavyzdyje medžiagos koncentracija išreiškiama procentais.

Grynojo komponento tūrio tirpale santykis su visu mišinio tūriu vadinamas šio komponento tūrine koncentracija.

Visų mišinį sudarančių komponentų koncentracijų suma lygi 1.

Jei žinomas medžiagos procentas, tada jos koncentracija randama pagal formulę:
K = P/100 %
čia K yra medžiagos koncentracija;
P – medžiagos procentinė dalis (procentais).

Pavyzdys. (8 variantas Nr. 22. OGE-2016. Matematika. Tipinis testas. Užduotys_red. Jaščenka_2016 – 80s)

Šviežiuose vaisiuose vandens yra 75%, o džiovintuose - 25%. Kiek šviežių vaisių reikia norint paruošti 45 kg džiovintų vaisių?

Jei šviežiuose vaisiuose vandens yra 75%, tai sausųjų medžiagų bus 100 - 75 = 25 (%), o džiovintuose vaisiuose - 25%, tada sausųjų medžiagų bus 100 - 25 = 75 (%).

Formuluodami problemos sprendimą galite naudoti lentelę:

Švieži vaisiai x 25% = 0,25 0,25. X

Džiovinti vaisiai 45 75% = 0,75 0,75. 45 = 33,75

Nes šviežių ir džiovintų vaisių sausųjų medžiagų masė nekinta, gauname lygtį:

0.25. x = 33,75;
x = 33,75: 0,25;
x = 135 (kg) – reikia šviežių vaisių.

Atsakymas: 135 kg.

Pavyzdys. (8 variantas Nr. 11. Vieningas valstybinis egzaminas-2016. Matematika. Tipinis testas. Red. Jaščenka 2016 -56s)

Sumaišę 70% ir 60% rūgšties tirpalus ir įpylę 2 kg gryno vandens, gavome 50% rūgšties tirpalą. Jei vietoj 2 kg vandens įpiltume 2 kg 90% tos pačios rūgšties tirpalo, gautume 70% rūgšties tirpalą. Kiek kilogramų 70% tirpalo buvo sunaudota mišiniui gauti?

Bendras svoris, kg | Sausųjų medžiagų koncentracija | Sausas svoris
I x 70 % = 0,7 0,7. X
II 60 % = 0,6 0,6. adresu
vanduo 2 - -
I + II + vanduo x + y + 2 50% = 0,5 0,5. (x + y + 2)
III 2 90 % = 0,9 0,9. 2 = 1,8
I + II + III x + y + 2 70% = 0,7 0,7. (x + y + 2)

Naudodami paskutinį lentelės stulpelį sukuriame 2 lygtis:

0.7. x + 0,6. y = 0,5. (x + y + 2) ir 0,7. x + 0,6. y + 1,8 = 0,7. (x + y + 2).

Sujungę juos į sistemą ir ją išsprendę, gauname, kad x = 3 kg.

Atsakymas: mišiniui gauti buvo panaudoti 3 kilogramai 70 % tirpalo.

Pavyzdys. (2 variantas Nr. 11. Vieningas valstybinis egzaminas-2016. Matematika. Tipinis testas. Red. Jaščenka 2016 -56s)

Trys kilogramai vyšnių kainuoja tiek pat, kiek penki kilogramai vyšnių, trys kilogramai vyšnių – tiek pat, kiek du kilogramai braškių. Kiek procentų kilogramas braškių pigesnis už kilogramą vyšnių?

Iš pirmo uždavinio sakinio gauname tokias lygybes:

3h = 5v,
3v = 2k.
Iš kurių galime išreikšti: h = 5v/3, k = 3v/2.

Tokiu būdu galite sukurti proporciją:
5v/3 – 100 %
3v/2 - x%, gauname x = (3.100.v.3)/(2.5.v), x = 90% yra kilogramo braškių savikaina nuo vyšnių kilogramo savikainos.

Tai reiškia, kad kilogramas braškių yra 100 - 90 = 10 (%) pigesnis nei kilogramas vyšnių.

Atsakymas: kilogramas braškių yra 10 procentų pigesnis nei kilogramas vyšnių.

Problemų, susijusių su „sudėtinėmis“ palūkanomis, sprendimas, naudojant padidėjimo (sumažėjimo) koeficiento sąvoką.

Norėdami padidinti teigiamą skaičių A p procentais, skaičių A turėtumėte padauginti iš padidėjimo koeficiento K = (1 + 0,01p).

Norėdami sumažinti teigiamą skaičių A p procentais, turėtumėte skaičių A padauginti iš redukcijos koeficiento K = (1 - 0,01p).

Pavyzdys. (29 variantas Nr. 22. OGE-2015. Matematika. Tipiniai egzamino variantai: 36 variantai / redagavo Jaščenka, 2015 - 224c)

Prekės kaina buvo sumažinta du kartus tuo pačiu procentu. Kiek procentų kiekvieną kartą mažėjo prekės kaina, jei jo pradinė kaina buvo 5000 rublių, o galutinė kaina - 4050 rublių?

1 būdas.

Nes prekės kaina sumažėjo tiek pat %, % skaičių pažymėkime x. Tegul pirmą ir antrą kartą prekės kaina sumažinama x%, tada po pirmo sumažinimo prekės kaina tapo (100 - x)%.

Padarykime proporciją
5000 rub. – 100 proc.
rubliais - (100 - x)%, gauname y = 5000. (100 – x) / 100 = 50. (100 - x) rubliai - prekės kaina po pirmojo sumažinimo.

Sukurkime naują proporciją už naują kainą:
50. (100 - x) patrinti. – 100 proc.
z patrinti. - (100 - x)%, gauname z = 50. (100 – x) (100 – x) / 100 = 0,5. (100 - x) 2 rubliai - prekės kaina po antrojo sumažinimo.

Gauname lygtį 0,5. (100 - x)2 = 4050. Jį išsprendę, nustatome, kad x = 10%.

2 metodas.

Nes prekės kaina sumažėjo tuo pačiu skaičiumi %, skaičių % pažymėkime x, x % = 0,01 x.

Naudodamiesi redukcijos koeficiento sąvoka, iš karto gauname lygtį:
5000. (1 - 0,01x)2 = 4050.

Atsakymas: kiekvieną kartą prekės kaina mažėjo po 10%.

Pavyzdys. (30 variantas Nr. 22. OGE-2015. Matematika. Tipiniai egzamino variantai: 36 variantai / redagavo Jaščenka, 2015 m. – 224s)

Prekės kaina buvo padidinta du kartus tiek pat procentų. Kiek procentų kiekvieną kartą didėjo produkto kaina, jei jo pradinė kaina buvo 3000 rublių, o galutinė kaina - 3630 rublių?

Nes prekės kaina padidėjo tuo pačiu skaičiumi, skaičių% pažymėkime x, x% = 0,01 x.

Naudodamiesi padidinimo koeficiento sąvoka, iš karto gauname lygtį:
3000. (1 + 0,01x)2 = 3630.

Ją išsprendę, nustatome, kad x = 10%.

Atsakymas: kiekvieną kartą prekės kaina didėjo 10%.

Pavyzdys. (4 variantas Nr. 11. Vieningas valstybinis egzaminas-2016. Matematika. Tipinis testas. Red. Jaščenka 2016 -56s)

Ketvirtadienį bendrovės akcijos pabrango tam tikru procentų skaičiumi, o penktadienį tiek pat atpigo. Dėl to jie pradėjo kainuoti 9% pigiau nei ketvirtadienį atidarius prekybą. Kiek procentų ketvirtadienį pabrango bendrovės akcijos?

Tegul įmonės akcijos pabrangsta ir pabrangsta x%, x% = 0,01 x, o pradinė akcijų kaina buvo A. Naudodami visas uždavinio sąlygas gauname lygtį:

(1 + 0,01 x) (1 - 0,01 x) A = (1 - 0,09) A,
1 – (0,01 x) 2 = 0,91,
(0,01 x) 2 = (0,3) 2,
0,01 x = 0,3,
x = 30 %.

Atsakymas: Ketvirtadienį bendrovės akcijos pabrango 30 proc.

„Bankų“ uždavinių sprendimas naujoje „Vieningojo valstybinio egzamino 2016“ versijoje matematikoje.

Pavyzdys. (2 variantas Nr. 17. Vieningas valstybinis egzaminas-2016. Matematika. 50 rūšių. Red. Jaščenka 2016)

Sausio 15 d. planuojama paimti banko paskolą 15 mėnesių. Jo grąžinimo sąlygos yra šios:

Yra žinoma, kad aštunta įmoka siekė 108 tūkstančius rublių. Kokią sumą reikia grąžinti bankui per visą paskolos laikotarpį?

Nuo 2 iki 14 dienos mokama A/15 +0,01A.

Po to skolos suma bus 1,01A - A/15 - 0,01A = 14A/15.

Po 2 mėnesių gauname: 1.01. 14A/15.

Antra įmoka A/15 + 0,01. 14A/15.

Tada skola po antro mokėjimo yra 13A/15.

Panašiai matome, kad aštuntasis mokėjimas atrodys taip:

A/15 + 0,01. 8A/15 = A/15. (1 + 0,08) = 1,08A/15.

Ir pagal sąlygą tai yra 108 tūkstančiai rublių. Tai reiškia, kad galime sukurti ir išspręsti lygtį:

1.08A/15 = 108,

A=1500 (tūkstantis rublių) – pradinė skolos suma.

2) Norėdami rasti sumą, kurią reikia grąžinti bankui per visą paskolos laikotarpį, turime rasti visų įmokų už paskolą sumą.

Visų paskolos įmokų suma bus:

(A/15 + 0,01A) + (A/15 + 0,01. 14A/15) + (A/15 + 0,01. 13A/15) + … + (A/15 + 0,01. A /15) = A + 0,01 A/15 (15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1) = A + (0,01. 120A)/15 = 1,08A.

Taigi, 1.08. 1500 = 1620 (tūkstantis rublių) = 1 620 000 rublių turi būti grąžinta bankui per visą paskolos laikotarpį.

Atsakymas: 1 620 000 rublių.

Pavyzdys. (6 variantas Nr. 17. Vieningas valstybinis egzaminas-2016. Matematika. 50 rūšių. versija red. Jaščenka 2016)

Sausio 15 d. planuojama paimti banko paskolą 24 mėnesiams. Jo grąžinimo sąlygos yra šios:

• Kiekvieno mėnesio 1 dieną skola, palyginti su praėjusio mėnesio pabaiga, padidėja 1 proc.;
• nuo kiekvieno mėnesio 2 iki 14 dienos reikia grąžinti dalį skolos;
• Kiekvieno mėnesio 15 dieną skola turi būti tokia pat suma mažesnė nei praėjusio mėnesio 15 dienos skola.

Yra žinoma, kad per pirmuosius 12 mėnesių reikia sumokėti bankui 177,75 tūkst. Kiek planuojate skolintis?

1) Tegul A yra paskolos suma, 1% = 0,01.

Tada 1,01A skola po pirmo mėnesio.

Nuo 2 iki 14 dienos mokama A/24 +0,01A.

Po to skolos suma bus 1,01A - A/24 - 0,01A = A - A/24 = 23A/24.

Taikant šią schemą, skola tampa ta pačia suma mažesnė nei skola praėjusio mėnesio 15 dieną.

Po 2 mėnesių gauname: 1.01. 23A/24.

Antra įmoka A/24 + 0,01. 23A/24.

Tada skola po antrojo mokėjimo yra 1,01. 23A/24 – A/24 – 0,01. 23A/24 = 23A/24(1,01–0,01) – A/24 = 23A/24 – A/24 = 22A/24.

Taigi, mes gauname, kad pirmus 12 mėnesių turite sumokėti bankui šią sumą:
A/24 +0,01A. 24/24 + A/24 + 0,01. 23A/24 + A/24 + 0,01. 22A/24 + … + A/24 + 0,01. 13A/24 =12A/24 + 0,01A/24 (24+23+22+21+20+19+18+17+16+15+14+13) = A/2 + 222A/2400 = 711A/1200 .

Ir pagal sąlygą tai lygu 177,375 tūkst. Tai reiškia, kad galime sukurti ir išspręsti lygtį:
711A/1200 = 177,75,
A = 300 (tūkstantis rublių) = 300 000 rublių - planuojama imti kreditą.

Atsakymas: 300 000 rublių.

„Paprastos ir sudėtinės palūkanos»

Temos aktualumas.

Supratimas apie palūkanas ir mokėjimas skaičiuoti palūkanas šiuo metu yra būtinas kiekvienam žmogui: šios temos taikomoji reikšmė yra labai didelė ir daro įtaką finansiniams, demografiniams, aplinkosauginiams, sociologiniams ir kitiems mūsų gyvenimo aspektams.

Medžiaga aktuali visiems šiemet besimokantiems 11 klasėje.

Spalio mėnesį į mūsų seminarą atvykęs Jaščenka, kuris tiesiogiai dalyvauja matematikos CIM rengime, jis pasakė, kad visi 19 užduoties prototipai bus patalpinti į atvirą indelį, nes užduotis buvo nauja.

Mano ne itin stipriai klasei sprendžiama užduotis, kurią būtų galima pasitreniruoti.

Šiek tiek teorijos...

„Susidomėjimas“.

1 užduotis

a) Kaip vadinamos palūkanos? (Procentas yra viena šimtoji skaičiaus dalis.)

b) Kas nurodytas 1%? ( 1%? = 0,01 )

c) Kaip vadinamas 1% šimtsvorio? ( kg. ) Metras? (žr.) Hektaras? (ar arba šimtasis)

d) Kas vadinama 1% procentų tam tikro skaičiaus a? (Duoto skaičiaus a procentinė dalis yra skaičius 0,01 a, t.y. 1 % (a) = 0,01*a)

e) Kaip nustatyti duoto skaičiaus a p%? (rasti skaičių 0,01 p a, t.y.р% = 0,01*р*а)

f) Kaip dešimtainę trupmeną paversti procentine dalimi? ( padauginti iš 100 ). O kaip procentai po kablelio? (padalinti iš šimto, t.y. padauginkite iš 0,01)

g) Kaip rasti skaičiaus procentą? (Norėdami rasti dalį iš skaičiaus x procentais šią dalį reikia padalyti iš skaičiaus ir padauginti iš 100, t.y. a(%)=(w/x)*100)

e) Kaip randamas skaičius pagal jo procentą?(Jei žinoma, kad a% x yra lygus b, tada x galima rasti naudojant formulę x = (v/a)*100)

2 užduotis

Pateikite šias dešimtaines trupmenas procentais:

A)1; 0,5; 0,763; 1,7; 256.

b) Procentus išreikškite dešimtainėmis trupmenomis: 2 %; 12 %; 12,5 %; 0,1 %; 200 proc.

3 užduotis

Raskite skaičiaus %:

c) 0,1% skaičiaus 1200?(1,2)

d) 15% skaičiaus 2? (0,30)

4 užduotis

Raskite skaičių pagal jo procentą:

e) Kiek centnerių sveria granuliuoto cukraus maišelis, jei 13% yra 6,5 ​​kg?(50 kg. = 0,5 c.)

c) Kiek procentų iš 10 yra 9?

Atsakymai: a) 9%, b) 0,09%, c) 90%;

d) 900%?.

Paprastos ir sudėtinės palūkanos

Bankai pritraukia lėšas (indėlius) tam tikromis palūkanomis. Priklausomai nuo palūkanų normos, skaičiuojamos pajamos.

Praktikoje naudojami du palūkanų pajamų vertinimo būdai – paprastosios ir sudėtinės palūkanos.

Taikant paprastas palūkanas, pajamos skaičiuojamos nuo pradinės investuotų lėšų sumos, neatsižvelgiant į investavimo laikotarpį. Finansinėse operacijose paprastos palūkanos pirmiausia naudojamos trumpalaikiams finansiniams sandoriams.

Tegul tam tikras kiekis palaipsniui keičiasi. Be to, kiekvieną kartą jo pokytis yra tam tikras procentų skaičius šios vertės vertėspradiniame etape. Taip jie skaičiuojamipaprastas palūkanas.

Taikant sudėtines palūkanas, sukaupta palūkanų suma pridedama prie indėlio kito kaupimo laikotarpio pabaigoje. Be to, kiekvieną kartą jos pokytis yra tam tikras procentų skaičius šios vertės vertėsankstesniame etape. Šiuo atveju mes susiduriame su „sudėtines palūkanas“ (t. y. naudojami „palūkanų palūkanų“ skaičiavimai)

Pradinė suma ir gautos palūkanos bendrai vadinamos sukaupta (sukaupta) suma.

Taigi, jei banko palūkanų norma yra 10%, o pradinė suma yra 100 rublių, tada per penkerius metus sukaupta suma, naudojant paprastas ir sudėtines palūkanas, atrodys taip:

1 lentelė. Sukaupta suma naudojant paprastas ir sudėtines palūkanas.

Paprastų ir sudėtinių palūkanų formulės.

I. Tegul tam tikra reikšmė A padidėja n kartų (n metų) ir kiekvieną kartą p%.

Pristatome užrašą: A 0 – pradinė dydžio A vertė;

r – pastovi palūkanų suma;

a palūkanų norma; a=р/100 = 0,01*р

A n – sukaupta suma n kartų (iki n-tųjų metų pabaigos) - pagal paprastą palūkanų formulę;

S n - n kartų sukaupta suma (iki n-tųjų metų pabaigos) - pagal sudėtinių palūkanų formulę.

Tada jo vertė A 1 paprastosios palūkanos po pirmojo padidinimo (iki pirmųjų metų pabaigos) apskaičiuojamos pagal formulę: A 1 = A 0 + A 0 * (0,01 p) = A 0 (1 + (0,01 p) = A 0 (1 + p)

Antrojo etapo pabaigoje A 2 = A 1 + A 0 * (0,01r) = A 0 (1 + a) + A 0 * a = A 0 (1 + 2 a).

Trečiojo etapo pabaigoje A 3 = A 2 + A 0 * (0,01r) = A 0 (1 + 2 a) + A 0 * a = A 0 (1 + 3 a).

Tada paprastų palūkanų suma per metus yra lygi:

A n = A 0 (1 + 0,01р*n) arba A n = A 0 (1 + ?* n) (1)

Sudėtinės palūkanos atrodo kitaip:

Tegul kiek S 0 padidėja n kartų (n metų) ir kiekvieną kartą po p%.

Tada jo prasmė S 1 sudėtinės palūkanos po pirmojo padidinimo (iki pirmųjų metų pabaigos) apskaičiuojamos pagal formulę:

S1 = S0 + S0 (0,01 r) = S0 * (1 + 0,01 r) = S0 * (1 + ?).

Antrojo etapo pabaigoje S 2 = S 1 + S 1 (0,01 р) = S 1 * (1 + 0,01 р) = S 0 (1 + ????р) 2 = S 0 (1 + ?) 2.

Trečiojo etapo pabaigoje S 3 = S 2 + S 2 (0,01 r) = S 2 * (1 + 0,01 r) = S 0 (1 + 0,01 r) 2 * (1 + 0,01 r) = S 0 (1 +0, 01 r) 3 = S 0 (1 + a) 3.

Tada sudėtinių palūkanų suma per metus yra lygi:

S n = S 0 (1 + 0,01р) n arba S n = S 0 (1 + a ) n (2)

1 pavyzdys.

Bankas atidarė 50 tūkstančių rublių terminuotąjį indėlį. 12% 3 metus. Apskaičiuokite sukauptą sumą, jei palūkanos:

a) paprastas; b) kompleksas.

1 sprendimas.

Naudojant paprastą palūkanų formulę

Sn=(1+3*0,12)*50 000 = 68 000 rub. (rez. 68 000 rub.)

Naudojant paprastą palūkanų formulę

Sn=(1+0,12) 3 *50 000 = 70 246 rubliai. (rez. 70246 rub.)

Sudėtinių palūkanų formulė siejasi su keturiais dydžiais: pradiniu indėliu, sukaupta suma (būsima indėlio vertė), metine palūkanų norma ir laiku metais. Todėl, žinodami tris kiekius, visada galite rasti ketvirtąjį:

S n = S 0 * (1+0,01р) n

Norint nustatyti procentų p skaičių, būtina:

р = 100 * ((S n / S 0 ) 1/n – 1) (2,1)

Pradinio indėlio radimo operacija S 0 , jei žinoma, kad po n metų ji turėtų sudaryti sumą S n , vadinamas nuolaida:

S 0 = S n * (1 + 0,01р) –n (2,2)

Kiek metų yra įnašas S 0 turi gulėti banke po p% per metus, kad būtų pasiekta S vertė n.

n = (lnS n – lnS 0 ) / (ln(1 + 0,01р) (2,3)

Bankų praktikoje palūkanos gali būti kaupiamos dažniau nei kartą per metus. Tokiu atveju banko kursas dažniausiai nustatomas metiniais terminais. Sudėtinių palūkanų formulė atrodys taip:

S n = (1 + ?/t) n t S 0 (3)

čia t – palūkanų reinvesticijų skaičius per metus.

2 pavyzdys.

Bankas atidarė 50 tūkstančių rublių terminuotąjį indėlį. 12% 3 metus. Apskaičiuokite sukauptą sumą, jei palūkanos skaičiuojamos kas ketvirtį.

2 sprendimas.

n=3

t = 4 (per metus – 4 ketvirčiai)

Naudojant sudėtinių palūkanų formulę

S 3 = (1+0,12/4) 3*4 *50 000 = 1,03 12 *50000 = 71288 rub. Rep. 71 288 RUB

Kaip matyti iš 1 ir 2 pavyzdžių, sukaupta suma didės greičiau, tuo dažniau bus skaičiuojamos palūkanos.

Pateiksime (2) formulės apibendrinimą, kai S reikšmės padidėjimas kiekviename etape yra skirtingas. Tegul S O , pradinė S reikšmė pirmojo etapo pabaigoje pasikeičia p 1 %, antrojo pabaigoje p 2 %, o trečiojo etapo pabaigoje ant p 3 % ir kt. Pasibaigus n-tajam etapui, S reikšmė nustatoma pagal formulę

S n = S 0 (1 + 0,01 р 1 ) (1 + 0,01 р 2 )... (1 + 0,01 р n ) (4)

3 pavyzdys.

Prekybos bazė iš gamintojo įsigijo prekių partiją ir pristatė į parduotuvę didmenine kaina, kuri yra 30% didesnė už gamintojo kainą. Parduotuvė mažmeninę prekės kainą nustatė 20% didesnę nei didmeninė kaina. Išpardavimo metu parduotuvė šią kainą sumažino 10 proc. Kiek rublių daugiau sumokėjo pirkėjas, palyginti su gamintojo kaina, jei išpardavimo metu pirko prekę už 140 rublių? 40 kapeikų

3 sprendimas.

Tegul pradinė kaina yra S rub., tada pagal (4) formulę turime:

S 0 (1 + 0,01*30)(1 + 0,01*20)***(1 – 0,01*10) = 140,4

S 0 *1,3*1,2*0,9 = S 0 *1,404 = 140,4

S 0 = 140,4: 1,404 = 100 (rub.)

Raskite skirtumą tarp paskutinės ir pradinės kainos

140,4 – 100 = 40,4 Atsakymas. 40,4 rub.

Problemų su sprendimais pavyzdžiai

1 variantas

1 užduotis. Degalinės savininkas benziną pabrangino 10 proc. Pastebėjęs, kad klientų skaičius smarkiai sumažėjo, kainą sumažino 10 proc. Kaip po to pasikeitė pradinė benzino kaina? (padidėjo arba sumažėjo ir kiek %?)

Sprendimas: tegul S 0 - pradinė kaina, S 2 – galutinė kaina, x – norimas procentinio pokyčio skaičius, kur x = (1 – S 2 /S 0 )*100 % (*)

Tada pagal formulę S n = S 0 (1 + 0.01р 1 )(1 + 0.01р 2 )***(1 + 0.01р n ) (4), gauname

S 2 = S 0 (1 + 0,01 * 10 ) (1 - 0,01 * 10) = S 0 * 1,1 * 0,9 = 0,99 * S 0.

S2 = 0,99*S0; 0,99 = 99%, S vertė 2 yra 99% pradinės kainos, o tai reiškia, kad 100% mažesnė – 99% = 1%.

Arba naudojant formulę (*) gauname: x = (1 – 0,99)*100% = 1%.

Atsakymas: sumažėjo 1 proc.

2 užduotis. Per metus įmonė du kartus padidino gamybos apimtį tiek pat procentų. Raskite šį skaičių, jei žinoma, kad metų pradžioje įmonė pagamino 600 gaminių per mėnesį, o metų pabaigoje pradėjo gaminti 726 gaminius per mėnesį.

Sprendimas: tegul S 0 - pradinė kaina, S 2 – galutinė kaina, p – pastovi palūkanų suma.

Pagal (2.1) formulę gauname: p = 100 * ((726/ 600 ) 1/2 – 1) = 10%.

Atsakymas: 10 proc.

3 užduotis. Kompiuterinės technikos kaina padidinta 44 proc. Po to dėl dviejų iš eilės vienodų procentų sumažinimo kompiuterių kaina buvo 19% mažesnė nei pradinė kaina. Kiek procentų jie kiekvieną kartą sumažino kainą?

Sprendimas: Naudodami (4) formulę sudarome lygtį

S 3 = S 0 (1 + 0,01 * 44) (1 - 0,01 r) (1 - 0,01 r) = S0 * 1,44 * (1 - 0,01 r) 2 = S0 * (1-0,01*19). Išspręsdami lygtį, gauname 2 šaknis: 175 ir 25, kur 175 neatitinka uždavinio sąlygų. Todėl p = 25%.

Atsakymas: 25 proc.

4 užduotis. Siekdama nustatyti optimalų kainų didinimo režimą, bendrovė nusprendė nuo sausio 1 dienos dviem būdais didinti tos pačios prekės kainą dviejose parduotuvėse. Vienoje parduotuvėje - kiekvieno mėnesio pradžioje (pradedant vasario mėn.) po 2%, kitoje - kas du mėnesius, trečio pradžioje (nuo kovo mėn.) tiek pat procentų ir tokia, kad po šešių mėnesių. (liepos 1 d.) kainos vėl tapo tos pačios. Kiek procentų reikėtų didinti prekės kainą kas du mėnesius antroje parduotuvėje?

Sprendimas: tegul S 0 - pradinė kaina,p – pastovus procentas.

Tada po 6 mėnesių (po šešių padidinimų 2%) pirmoje parduotuvėje prekės kaina bus lygi S 0 (1 + 0,01*2) 6 , o antroje parduotuvėje (po trijų padidinimų p proc.) prekės kaina bus lygi S 0 (1 + 0,01 r) 3 . Gauname lygtį S 0 (1 + 0,01*2) 6 = S 0 (1 + 0,01 r) 3 . Išsprendę, gauname

(1 + 0,01 * 2) 2 = (1 + 0,01 r); 1,02 2 = (1 + 0,01 r); p = 4,04

Atsakymas: 4,04 proc.

2 variantas.

1 užduotis. Automobilis važiavo greitkeliu tam tikru greičiu. Įvažiavęs į užmiesčio kelią, greitį sumažino 20 proc., o po to stačioje įkalnėje atkarpoje – 30 proc. Kiek procentų šis naujas greitis yra mažesnis nei originalus?

Sprendimas: tegul V 0 - pradinis greitis,V – naujas greitis, gaunamas po dviejų skirtingų pakeitimų, p – reikiamas procentas.

Tada, naudodami (4) formulę, sudarome lygtį V 0 (1 - 0,01 * 20) (1 - 0,01 * 30) = V 0 (1 - 0,01 r). Ją išsprendę gauname V 0 *0,8*0,7 = V 0 (1 - 0,01r); p = 44

Atsakymas: 44 proc.

2 užduotis. Tarkime, kad kambario temperatūroje vanduo išgaruoja 3% per dieną. Kiek litrų vandens liks po 2 dienų iš 100 litrų? Kiek vandens išgaruos?

Sprendimas: n=2; p = 3 %; S 0 = 100lt. Tada pagal (2) formulę gauname

S 2 = S 0 (1 - 0,01 p) 2 = 100 * (1 - 0,01 * 3) 2 = 100 * 0,97 2 = 94,09; S 0 – S 2 = 100 – 94,09 = 5,91

Atsakymas: 94,09l.; 5,91l.

3 užduotis. Prieš 2 metus banke įdėtas indėlis siekė 11 449 rublius. Kokia buvo pradinė 7% metinė įmoka? Kas yra pelnas?

Sprendimas: n=2; p = 7 %; S2 = 11449; S0 = ?

(2.2) formulėje S 0 = S n * (1 + 0,01р) –n pakeičiame šias reikšmes, gauname:

S 0 = 11449* (1 + 0.01*7) –2 = 11449/ (1.07)2 =11449/ 1.1449 = 10000.

11449 – 10000 = 1449

Atsakymas: 10 000 rublių; 1449 rubliai.

4 užduotis. Sberkassa kasmet sukaupia 3% indėlio sumos. Po kiek metų suma padvigubės?

Sprendimas: p=3%; S 0 – pradinė suma; n=?

Padarykime lygtį: 2*S 0 = S 0 (1 + 0,01р) n ; 2*S 0 = S 0 (1 + 0,03) n ; 2 = 1,03 n n = log 1,03 2; n?23.

Savarankiškas darbas

1 lygis. Po rekonstrukcijos gamykla padidino gamybos apimtį 10 proc., o pakeitus įrangą dar 30 proc. Kiek procentų padidėjo pradinė produkcija?

(Atsakymas: 43%)

2-as lygis. Skaičius 50 tuo pačiu procentų skaičiumi buvo padidintas tris kartus, o vėliau tiek pat procentų sumažintas. Rezultatas – 69,12. Kiek procentų padidinote, o po to sumažinote šį skaičių?

(Atsakymas: 20%)

3 lygis. Bankas kasmet taiko 7% indėlio sumos. Raskite mažiausią metų skaičių, per kurį investicijos išauga daugiau nei 20%.

(Atsakymas: 3 metai)

Nr. 1. Taupomasis bankas kasmet už indėlius sukaupia 5,5% per metus. Indėlininkas į banką įnešė 150 tūkst. Kokia bus indėlio suma po 2 metų?

(Atsakymas: 166 953,75 RUB)

Nr. 3. Bankas siūlo du indėlio variantus

1) 120 % su palūkanomis, sukauptomis metų pabaigoje;

2) 100 % su palūkanomis, sukauptomis kiekvieno ketvirčio pabaigoje.

Nustatykite pelningesnį indėlių įdėjimo vieneriems metams variantą.

Sprendimas.

Pelningesnis yra tas variantas, kai per metus padidinta suma bus didesnė. Norėdami įvertinti galimybes, imsime pradinę sumą, lygią 100 rublių.

Pagal pirmąjį variantą sukaupta suma bus lygi (1+1,2)*100 rublių. = 220 rub.

Pagal antrąjį variantą palūkanos kaupiamos kas ketvirtį. Pirmojo ketvirčio pabaigoje sukaupta suma yra (1+1,0/4)*100 rublių. = 125 rub.

2-ojo ketvirčio pabaigoje (1+1,0/4) 2 * 100 rub. = 156 rub.

Sukaupta suma per metus yra (1+1,0/4) 4 * 100 rub. = 244 rub.

Kaip matyti iš skaičiavimų, antrasis variantas yra daug pelningesnis (244 > 220). Tiesa, tik tuo atveju, jei naudojamos sudėtinės palūkanos.

Vieningo valstybinio matematikos egzamino 2015 m. profilio lygiu prototipų pasirinkimas Nr.19 užduoties.

19. 2012 m. gruodžio 31 d. Jekaterina iš banko paėmė 850 000 rublių kreditą su 15% per metus. Paskolos grąžinimo schema yra tokia: kiekvienų kitų metų gruodžio 31 dieną bankas ima palūkanas už likusią skolos sumą (tai yra padidina skolą 15%), tada Jekaterina perveda tam tikrą metinės įmokos sumą. į banką. Kokia turėtų būti metinės įmokos suma, kad Catherine sumokėtų skolą trimis lygiomis metinėmis išmokomis?

19. Jaunai šeimai bankas išduoda 20% metinę paskolą butui įsigyti.

Paskolos grąžinimo schema yra tokia: lygiai vieneri metai po paskolos išdavimo banko

ima palūkanas už likusią skolos sumą (tai yra padidina skolą 20 proc.),

tada ši šeima per kitus metus tam tikrą sumą perveda į banką

(fiksuota) metinė mokėjimo suma. Ivanovų šeima planuoja atsilyginti

paskola su vienodomis įmokomis per 4 metus. Kiek pinigų jis gali jiems duoti?

bankas, jei Ivanovai sugebės kasmet grąžinti paskolą 810 tūkst

rublių?

19. 8 litrų kolboje yra azoto ir deguonies mišinys, kuriame yra 32 % deguonies. Iš kolbos buvo išleistas tam tikras kiekis mišinio ir pridėta tiek pat azoto; tada jie vėl išleido tokį pat kiekį naujo mišinio kaip ir pirmą kartą ir įpylė tiek pat azoto. Dėl to deguonies procentas mišinyje buvo 12,5%. Kiek litrų mišinio išsiskyrė kiekvieną kartą?

19. Į banką buvo pervestas indėlis su 10% banko palūkanomis. Po metų indėlio savininkas iš sąskaitos nuėmė 2000 rublių, o po metų vėl įnešė 2000 rublių. Tačiau dėl šių veiksmų, praėjus trejiems metams po pradinio indėlio investavimo, jis gavo mažesnę sumą nei planuota (jei nebuvo tarpinių sandorių su indėliu). Kiek rublių mažiau nei planuota investuotojas galiausiai gavo?

19. Pirmąją mėnesio darbo dieną nuo gamyklos surinkimo linijos nuriedėjo nemažai traktorių. Kiekvieną sekančią darbo dieną jų gamyba didėjo 3 traktoriais kasdien, o mėnesinis planas – 55 traktoriai buvo įvykdytas anksčiau nei numatyta ir per visą dienų skaičių. Po to kasdien buvo pagaminama 11 traktorių. Nustatykite, kiek traktorių buvo pagaminta pirmąją darbo dieną ir kiek procentų viršytas mėnesio planas, jei žinoma, kad mėnesį buvo 26 darbo dienos, o suplanuoti darbai truko ne mažiau 3 ir ne daugiau 10 dienų.

19. Kovo 8 d. Lenya Golubkovas iš banko paėmė 53 680 rublių kreditą 4 metams už 20% metinį mokestį, kad nupirktų savo žmonai Ritai naują kailinį. Paskolos grąžinimo schema yra tokia: kitų metų kovo 8 d. ryte bankas skaičiuoja palūkanas nuo likusios skolos sumos (tai yra padidina skolą 20 proc.), o tos pačios dienos vakare. diena Lenya perveda bankui tam tikrą metinės įmokos sumą (ši suma yra vienoda visus ketverius metus). Kokią sumą, viršijančią paimtus 53 680 rublių, Lenija Golubkovas turės sumokėti bankui per šiuos ketverius metus?

19. Semjonas Kuznecovas planavo visas santaupas 500% investuoti į taupomąją sąskaitą Navrodos banke, tikėdamasis per metus atsiimti A rublį. Tačiau „Navrode“ banko žlugimas pakeitė jo planus ir užkirto kelią neapgalvotam poelgiui. Dėl to ponas Kuznecovas dalį pinigų įdėjo į Pirmąjį savivaldybės banką, o likusius – į makaronų indelį. Po metų „First Municipal“ mokėjimo procentą padidino du su puse karto, o M. Kuznecovas nusprendė užstatą palikti dar metams. Dėl to First Municipal gauta suma buvoIr rubliai. Nustatykite, kokias palūkanas pirmasis savivaldybės bankas sukaupė pirmaisiais metais, jei Semjonas „investavo“ į makaronų skardinę Ir rubliai.

19. Bankas 30% klientų lėšų planuoja investuoti į aukso kasybos gamyklos akcijas 1 metams, o likusius 70% – į prekybos komplekso statybas. Priklausomai nuo aplinkybių, pirmasis projektas bankui gali atnešti nuo 32% iki 37% pelno per metus, o antrasis projektas – nuo ​​22% iki 27% per metus. Metų pabaigoje bankas privalo grąžinti pinigus klientams ir mokėti jiems iš anksto nustatyto dydžio palūkanas, kurių dydis turėtų svyruoti nuo 10% iki 20% per metus. Nustatykite, koks yra mažiausias ir didžiausias grynasis pelnas procentais per metus nuo visų investicijų į akcijų pirkimą ir prekybos komplekso statybą, kurią bankas gali gauti.

„Geras mokytojas turi suprasti, kad jokia užduotis negali būti išnaudota iki galo. Šį požiūrį jis turi įskiepyti savo mokiniams.
D. Polė.

Įvadas.

Ypatingą dėmesį skiriu žodinėms problemoms, susijusioms su procentais, kurios dažnai pasitaiko stojamųjų egzaminų praktikoje į ekonomikos universitetus, tačiau nėra iki galo apgalvotos mokykloje. Gebėjimas atlikti procentinius skaičiavimus tikrai yra viena būtiniausių matematinių kompetencijų. Tačiau ne tik seniai mokyklą baigusieji nedrąsūs, pamatę susidomėjimą. Net ir laikant vieningą valstybinį egzaminą, problemų, susijusių su procentais, išsprendžiamumas neviršija 20%. Tai rodo, kad tokio tipo problemas reikėtų spręsti ne tik žemesnėse klasėse, kuriose nagrinėjama ši tema, bet ir visus mokymosi metus.

1. Sprendžiant uždavinius, susijusius su procentais, naudojamos šios pagrindinės formulės:

1% a yra lygus a.

p% skaičiaus a yra lygus a.

Jei žinoma, kad tam tikras skaičius a yra p% x, tai x galima rasti iš proporcijos

A− р%

X − 100%,

iš kur x=a.

Tegul yra skaičiai a, b ir a

Skaičius b yra 100 % didesnis už skaičių a.

Skaičius a yra 100 % mažesnis už skaičių b.

2. Sudėtinių palūkanų formulė.

Jei indėlyje yra piniginių vienetų suma, bankas ima p% per metus, tada po n metų indėlio suma bus lygi

a piniginių vienetų

3. Problemos, susijusios su procentais.

1 užduotis.

Protingų žmonių yra 45% mažiau nei gražių žmonių, 36% protingų žmonių turi gražią išvaizdą. Koks procentas protingų žmonių tarp gražių žmonių?

Sprendimas: tegul x yra gražių žmonių skaičius, tada protingų žmonių skaičius:

x − 0,45x = 0,55x.

Tarp protingų žmonių 36% yra gražūs žmonės, todėl protingų ir tuo pačiu gražių žmonių skaičius:

0,36 · 0,55x = 0,198x.

Padarykime proporciją:

Iš čia gauname:

Atsakymas: 19,8%

Mokiniams įdomu spręsti tekstinius uždavinius, susijusius su procentais, kurie yra artimesni realiame gyvenime. Ypatingas „linksmas“ – problemų pateikimas ne iš probleminės knygos, o tiesiai iš laikraščio puslapio. Čia nekyla minčių apie matematikos nenaudingumą. O „interesų žurnalistika“ tiesiogine prasme klesti laikraščių puslapiuose, susijusiais su ekonominės krizės protrūkiu.

2 užduotis.

Ekskursijų kainos jau išaugo: pavyzdžiui, kelionės į Prancūziją – 20 proc. Ar galima pasakyti, kiek procentų anksčiau kelionė į Prancūziją buvo pigesnė?

Sprendimas: tegul x yra senoji kaina, o n – nauja kaina.

1) Padarykime pirmąją proporciją:

Gauname n=1,2x.

2) Padarykime antrąją proporciją:

x − (100-a%)

(100-a) 1,2x = 100x

Išsprendę lygtį, gauname: a ≈17%.

Atsakymas: 17%.

4. Naudojant sudėtinių palūkanų formulę.

3 užduotis.

Į banko sąskaitą buvo įnešta 10 tūkst. Pinigams išgulėjus vienerius metus, iš sąskaitos buvo nuimta 1 tūkst. Po metų sąskaitoje buvo 11 tūkst. Nustatykite, kiek procentų per metus ima bankas.

Sprendimas: Tegul bankas apmokestina p% per metus.

1) 10 000 rublių suma, įnešama į banko sąskaitą p% per metus, per metus padidės iki sumos

2) Kai iš sąskaitos bus nuimta 1000 rublių, jie ten ir liks 9000+100 rub patrinti.

3) Kitais metais pastaroji vertė dėl susikaupusių palūkanų išaugs iki vertės

Pagal sąlygą ši vertė yra lygi 11 000:

Išspręsdami šią lygtį gauname: =10, =−200 - neigiama šaknis netinka.

Atsakymas: 10%

4 užduotis (Vieningas valstybinis egzaminas-2015)

Bankas priėmė tam tikrą sumą už tam tikrą procentą. Po metų iš sąskaitos buvo nuimtas ketvirtadalis sukauptos sumos. Tačiau bankas padidino palūkanas per metus 40 proc.. Iki kitų metų pabaigos suma sukaupta 1,44 karto viršijo pradines investicijas. Koks yra naujasis APR procentas?

Sprendimas: Situacija nesikeis priklausomai nuo indėlio sumos. Įdėkime į banką 4 rublis (skirstomas į 4 ). Per metus suma sąskaitoje tiksliai padidės p kartų ir taps lygūs (4p) rublių

Padalinkime iš 4 dalių, parvešime namo (p) rublių, paliksime banke (3p) rublių

Yra žinoma, kad iki kitų metų pabaigos bankas sulaikė 4 1,44 = 5,76 rublių Taigi skaičius (3p) virto skaičiumi (5,76) . Kiek kartų jis padidėjo?

Taigi rastas antras didėjimo koeficientas k stiklainis.

Įdomu tai, kad abiejų koeficientų sandauga yra lygi 1,92 :

Iš tos sąlygos išplaukia, kad antrasis koeficientas ant 0,4 daugiau nei pirmasis.

Atsikratę kablelių, pakeiskime t = 10r:

Iš tokios lygties gana lengva gauti 12.

Taigi p = 1,2, k = 1,6.

Indėlio suma pirmą kartą padidėjo 1,2 karto, antrą kartą – 1,6 karto.

Buvo 100%, tapo 160%. Naujas procentas per metus yra 160% -100% = 60%.

Atsakymas: 60%.

5 užduotis. (USE-2015)

Suma, įnešta į banką 3900 tūkstančius rublių žemiau 50% per metus. Kiekvienų pirmųjų ketverių saugojimo metų pabaigoje, apskaičiavęs palūkanas, indėlininkas į sąskaitą papildomai įnešė tokios pat fiksuotos sumos. Penktų metų pabaigoje, paskaičiavus palūkanas, paaiškėjo, kad

Indėlio dydis, palyginti su pradiniu, padidėjo 725% .

Kokią sumą investuotojas kasmet pridėdavo prie indėlio?

Sprendimas: Tegul indėlininkas prie indėlio kasmet prideda x rublių.

50% per metus reiškia, kad kiekvienais metais suma indėlininko sąskaitoje padidėja 1,5 karto. Jeigu investuotojas prie pradinės sumos nieko nepridėtų, tai po metų būtų 3900·1,5, po dvejų metų - 3900 · 1,52 ir taip toliau.

Paskaičiuokime, kiek pajamų atnešė visi keturi priedai.

x∙1,5 4 + x∙1,5 3 + x∙1,5 2 +x∙1,5

Norėdami tai padaryti, išimkime X skliausteliuose ir apskaičiuokite geometrinės progresijos, kurioje b = 1,5 Ir q = 1,5.

Yra žinoma, kad indėlio dydis, palyginti su pradiniu, padidėjo 725% .