Skirtingo laipsnio nelygybės. Eksponentinės nelygybės

Eksponentinės lygtys ir nelygybės yra tos, kurių eksponente yra nežinomasis.

Sprendžiant eksponentines lygtis dažnai reikia išspręsti lygtį a x = a b, kur a > 0, a ≠ 1, x yra nežinomas. Ši lygtis turi vieną šaknį x = b, nes teisinga ši teorema:

Teorema. Jei a > 0, a ≠ 1 ir a x 1 = a x 2, tai x 1 = x 2.

Pagrįskime svarstytą teiginį.

Tarkime, kad lygybė x 1 = x 2 negalioja, t.y. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, tada eksponentinė funkcija y = a x didėja ir todėl turi būti tenkinama nelygybė a x 1< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >a x 2. Abiem atvejais gavome prieštaravimą sąlygai a x 1 = a x 2.

Panagrinėkime keletą problemų.

Išspręskite lygtį 4 ∙ 2 x = 1.

Sprendimas.

Parašykime lygtį forma 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0, iš kurios gauname x + 2 = 0, t.y. x = -2.

Atsakymas. x = -2.

Išspręskite lygtį 2 3x ∙ 3 x = 576.

Sprendimas.

Kadangi 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, lygtį galima parašyti kaip 8 x ∙ 3 x = 24 2 arba 24 x = 24 2.

Iš čia gauname x = 2.

Atsakymas. x = 2.

Išspręskite lygtį 3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25.

Sprendimas.

Išėmus jį iš skliaustų kairėje pusėje bendras daugiklis 3 x - 2, gauname 3 x - 2 ∙ (3 3 - 2) = 25 - 3 x - 2 ∙ 25 = 25,

iš kur 3 x - 2 = 1, t.y. x – 2 = 0, x = 2.

Atsakymas. x = 2.

Išspręskite lygtį 3 x = 7 x.

Sprendimas.

Kadangi 7 x ≠ 0, lygtį galima parašyti kaip 3 x /7 x = 1, iš kur (3/7) x = 1, x = 0.

Atsakymas. x = 0.

Išspręskite lygtį 9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0.

Sprendimas.

Pakeitus 3 x = a duota lygtis redukuoja į kvadratinę lygtį a 2 – 4a – 45 = 0.

Išspręsdami šią lygtį, randame jos šaknis: a 1 = 9 ir 2 = -5, iš kur 3 x = 9, 3 x = -5.

Lygtis 3 x = 9 turi šaknį 2, o lygtis 3 x = -5 neturi šaknų, nes eksponentinė funkcija negali turėti neigiamų verčių.

Atsakymas. x = 2.

Sprendimas eksponentinės nelygybės dažnai išsprendžiamos nelygybės a x > a b arba a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания eksponentinė funkcija.

Pažvelkime į kai kurias problemas.

Išspręskite nelygybę 3 x< 81.

Sprendimas.

Nelygybę parašykime forma 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, tada funkcija y = 3 x didėja.

Todėl už x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Taigi, ties x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Atsakymas. X< 4.

Išspręskite nelygybę 16 x +4 x – 2 > 0.

Sprendimas.

Pažymime 4 x = t, tada gauname kvadratinė nelygybė t2 + t – 2 > 0.

Ši nelygybė galioja t< -2 и при t > 1.

Kadangi t = 4 x, gauname dvi nelygybes 4 x< -2, 4 х > 1.

Pirmoji nelygybė neturi sprendinių, nes 4 x > 0 visiems x € R.

Antrąją nelygybę rašome forma 4 x > 4 0, iš kur x > 0.

Atsakymas. x > 0.

Grafiškai išspręskite lygtį (1/3) x = x – 2/3.

Sprendimas.

1) Sudarykime funkcijų y = (1/3) x ir y = x – 2/3 grafikus.

2) Remdamiesi savo paveikslu, galime daryti išvadą, kad nagrinėjamų funkcijų grafikai susikerta taške su abscise x ≈ 1. Patikrinus įrodoma, kad

x = 1 yra šios lygties šaknis:

(1/3) 1 = 1/3 ir 1 – 2/3 = 1/3.

Kitaip tariant, mes radome vieną iš lygties šaknų.

3) Raskime kitas šaknis arba įrodykime, kad jų nėra. Funkcija (1/3) x mažėja, o funkcija y = x – 2/3 didėja. Todėl, kai x > 1, pirmosios funkcijos reikšmės yra mažesnės nei 1/3, o antrosios - daugiau nei 1/3; ties x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 ir x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Atsakymas. x = 1.

Atkreipkite dėmesį, kad iš šios problemos sprendimo išplaukia, kad nelygybė (1/3) x > x – 2/3 tenkinama x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.

ir x = b yra paprasčiausias eksponentinė lygtis. Jame a didesnis už nulį Ir A neprilygsta vienam.

Eksponentinių lygčių sprendimas

Iš eksponentinės funkcijos savybių žinome, kad jos verčių diapazonas yra tik teigiamas realūs skaičiai. Tada, jei b = 0, lygtis neturi sprendinių. Ta pati situacija atsiranda lygtyje, kur b

Dabar tarkime, kad b>0. Jei eksponentinėje funkcijoje bazė a yra didesnis už vienybę, tada funkcija didės visoje apibrėžimo srityje. Jei bazės eksponentinė funkcija A baigtas kita sąlyga 0

Remdamiesi tuo ir taikydami šaknies teoremą, nustatome, kad lygtis a x = b turi vieną šaknį, kai b>0 ir teigiama a Ne lygus vienam. Norėdami jį rasti, turite pavaizduoti b formoje b = a c.
Tada aišku, kad Su bus lygties a x = a c sprendimas.

Pasvarstykime sekantis pavyzdys: išspręskite 5 lygtį (x 2 - 2 * x - 1) = 25.

Įsivaizduokime 25 kaip 5 2, gausime:

5 (x 2 - 2 * x - 1) = 5 2 .

Arba kas yra lygiavertė:

x 2 - 2 * x - 1 = 2.

Išspręskite tai, ką gavome kvadratinė lygtis bet kuris iš žinomi metodai. Gauname dvi šaknis x = 3 ir x = -1.

Atsakymas: 3;-1.

Išspręskime lygtį 4 x - 5*2 x + 4 = 0. Pakeiskime: t=2 x ir gaukime tokią kvadratinę lygtį:

t 2 – 5*t + 4 = 0.
Šią lygtį išsprendžiame naudodami bet kurį žinomą metodą. Gauname šaknis t1 = 1 t2 = 4

Dabar išsprendžiame lygtis 2 x = 1 ir 2 x = 4.

Atsakymas: 0;2.

Eksponentinių nelygybių sprendimas

Paprasčiausių eksponentinių nelygybių sprendimas taip pat pagrįstas didėjančių ir mažėjančių funkcijų savybėmis. Jei eksponentinėje funkcijoje bazė a yra didesnė už vieną, tada funkcija didės visoje apibrėžimo srityje. Jei bazės eksponentinė funkcija A tenkinama ši sąlyga 0, tada ši funkcija mažės visoje realiųjų skaičių aibėje.