1-р зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл. Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл: шийдлийн ерөнхий схем

Энэхүү видео хичээлээр оюутнууд нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийн сэдвийг судлах боломжтой болно.

Тодорхойлолтуудыг өгье:

1) нэгдүгээр зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл нь sin x + b cos x = 0 шиг харагдаж байна;

2) хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл нь sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 шиг харагдаж байна.

a sin x + b cos x = 0 тэгшитгэлийг авч үзье. Хэрэв a нь тэгтэй тэнцүү бол тэгшитгэл нь b cos x = 0 шиг харагдана; Хэрэв b нь тэгтэй тэнцүү бол тэгшитгэл нь sin x = 0 шиг харагдах болно. Эдгээр нь бидний хамгийн энгийн гэж нэрлэсэн тэгшитгэлүүд бөгөөд өмнөх сэдвүүдэд шийдэгдсэн.

Одоо a ба b нь тэгтэй тэнцүү биш байх үеийн сонголтыг авч үзье. Тэгшитгэлийн хэсгүүдийг косинус x-д хуваах замаар бид хувиргалтыг гүйцэтгэдэг. Бид tg x + b = 0-ийг авна, тэгвэл tg x нь - b/a-тай тэнцүү болно.

Дээрхээс харахад a sin mx + b cos mx = 0 тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн байна. тригонометрийн тэгшитгэл I зэрэгтэй. Тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд түүний хэсгүүдийг cos mx-д хуваана.

1-р жишээг харцгаая. 7 sin (x/2) - 5 cos (x/2) = 0-ийг шийд. Эхлээд тэгшитгэлийн хэсгүүдийг косинус (x/2)-д хуваа. Косинусыг хуваасан синус тангенс гэдгийг мэдвэл бид 7 tan (x/2) - 5 = 0 болно. Илэрхийлэлийг хувиргаснаар бид tan (x/2) утга нь 5/7-тэй тэнцүү болохыг олж мэднэ. Шийдэл өгөгдсөн тэгшитгэл x = arctan a + πn хэлбэртэй, манай тохиолдолд x = 2 арктан (5/7) + 2πn байна.

a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 тэгшитгэлийг авч үзье.

1) a тэгтэй тэнцүүтэгшитгэл нь b sin x cos x + c cos 2 x = 0 шиг харагдах болно. Хувиргаснаар бид cos x (b sin x + c cos x) = 0 илэрхийлэлийг олж аваад хоёр тэгшитгэлийг шийдэж эхэлнэ. Тэгшитгэлийн хэсгүүдийг косинус x-д хуваасны дараа бид b tg x + c = 0 болно, энэ нь tg x = - c/b гэсэн үг юм. x = arctan a + πn гэдгийг мэдвэл шийдэл нь энэ тохиолдолд x = arctan (- c/b) + πn байх болно.

2) хэрэв a нь тэгтэй тэнцүү биш бол тэгшитгэлийн хэсгүүдийг косинусын квадратад хуваах замаар бид шүргэгч агуулсан тэгшитгэлийг олж авах бөгөөд энэ нь квадрат байх болно. Энэ тэгшитгэлийг шинэ хувьсагч оруулах замаар шийдэж болно.

3) c нь тэгтэй тэнцүү байх үед тэгшитгэл нь sin 2 x + b sin x cos x = 0 хэлбэртэй болно. Хэрэв бид x-ийн синусыг хаалтнаас гаргаж авбал энэ тэгшитгэлийг шийдэж болно.

1. тэгшитгэлд нүгэл 2 х байгаа эсэхийг харах;

2. Хэрэв тэгшитгэл нь sin 2 x гэсэн нэр томьёог агуулж байвал хоёр талыг косинусын квадратад хувааж, дараа нь шинэ хувьсагч оруулах замаар тэгшитгэлийг шийдэж болно.

3. Хэрэв тэгшитгэлд sin 2 x агуулаагүй бол хаалтнаас cosx-ыг авч тэгшитгэлийг шийдэж болно.

2-р жишээг авч үзье. Хаалтанд байгаа косинусыг аваад хоёр тэгшитгэл гаргая. Эхний тэгшитгэлийн үндэс нь x = π/2 + πn байна. Хоёр дахь тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид энэ тэгшитгэлийн хэсгүүдийг косинус х-д хувааж, хувиргах замаар бид x = π/3 + πn-ийг авна. Хариулт: x = π/2 + πn ба x = π/3 + πn.

3 sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 2 2x = 2 хэлбэрийн тэгшитгэл болох жишээ 3-ыг шийдэж, - π-ээс π хүртэлх хэрчимд хамаарах язгууруудыг олъё. Учир нь Энэ тэгшитгэл нь нэг төрлийн бус тул үүнийг багасгах шаардлагатай нэгэн төрлийн харагдах байдал. Ашиглаж байна гэмийн томъёо 2 x + cos 2 x = 1, бид олж авна гэмийн тэгшитгэл 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + cos 2 2x = 0. Тэгшитгэлийн бүх хэсгийг cos 2 x-т хуваахад бид tan 2 2x + 2tg 2x + 1 = 0 болно. z = tan 2x шинэ хувьсагчийн оролтыг ашиглан. , язгуур нь z = 1 байх тэгшитгэлийг шийднэ. Дараа нь tan 2x = 1, энэ нь x = π/8 + (πn)/2 гэсэн үг юм. Учир нь асуудлын нөхцлийн дагуу та - π-ээс π хүртэлх сегментэд хамаарах үндсийг олох хэрэгтэй, шийдэл нь - π хэлбэртэй байна.< x <π. Подставляя найденное значение x в данное выражение и преобразовывая его, получим - 2,25 < n < 1,75. Т.к. n - это целые числа, то решению уравнения удовлетворяют значения n: - 2; - 1; 0; 1. При этих значениях n получим корни решения исходного уравнения: x = (- 7π)/8, x = (- 3π)/8, x =π/8, x = 5π/8.

Текстийг тайлах:

Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлүүд

Өнөөдөр бид "Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл" хэрхэн шийдэгддэгийг авч үзэх болно. Эдгээр нь тусгай төрлийн тэгшитгэлүүд юм.

Тодорхойлолттой танилцацгаая.

Маягтын тэгшитгэл мөн нүгэл x+бcosx = 0 (мөн синус x нэмэх косинус x нь тэгтэй тэнцүү) нэгдүгээр зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг;

хэлбэрийн тэгшитгэл мөн гэм 2 х+бгэм хcosx+scos 2 x= 0 (мөн синусын квадрат х нэмэх нь синус x косинус x нэмэх se косинусын квадрат х нь тэгтэй тэнцүү) хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Хэрэв a=0, тэгвэл тэгшитгэл хэлбэрийг авна бcosx = 0.

Хэрэв б = 0 , тэгвэл бид авна ба нүгэл x= 0.

Эдгээр тэгшитгэлүүд нь энгийн тригонометр бөгөөд тэдгээрийн шийдлийг бид өмнөх сэдвүүддээ авч үзсэн

Ингээд авч үзьекоэффициент хоёулаа тэгтэй тэнцүү биш тохиолдолд. Тэгшитгэлийн хоёр талыг хувааж үзье Анүгэлx+ бcosx = 0 гишүүнээр cosx.

x-ийн косинус тэгээс ялгаатай тул бид үүнийг хийж чадна. Эцсийн эцэст, хэрэв cosx = 0 , дараа нь тэгшитгэл Анүгэлx+ бcosx = 0 хэлбэрийг авна Анүгэлx = 0 , А≠ 0, тиймээс нүгэлx = 0 . Энэ нь боломжгүй, учир нь үндсэн тригонометрийн шинж чанарын дагуу гэм 2 х+cos 2 x=1 .

Тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваах Анүгэлx+ бcosx = 0 гишүүнээр cosx, бид авна: + =0

Өөрчлөлтүүдийг хийцгээе:

1. оноос хойш = tg x, тэгвэл =ба tg x

2 -аар багасгах cosx, Дараа нь

Тиймээс бид дараах илэрхийллийг олж авна ба tg x + b =0.

Өөрчлөлтийг хийцгээе:

1.b-г эсрэг тэмдэгтэй илэрхийллийн баруун талд шилжүүлнэ

ба tg x =- b

2. Үржүүлэгчээс салцгаая тэгшитгэлийн хоёр талыг а-д хуваах

бор х= -.

Дүгнэлт: Маягтын тэгшитгэл нүгэлмx+бcosmx = 0 (мөн синус эм x нэмэх нь косинус em x нь тэгтэй тэнцүү) -ийг нэгдүгээр зэрэглэлийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Үүнийг шийдэхийн тулд хоёр талыг хуваах хэрэгтэй cosmx.

ЖИШЭЭ 1. 7 sin - 5 cos = 0 тэгшитгэлийг шийд (долоон синус х хоёрыг хасах таван косинус х хоёрыг тэгтэй тэнцүү)

Шийдэл. Тэгшитгэлийн гишүүний хоёр талыг cos-д хуваавал бид гарна

1. = 7 тан (синус ба косинусын харьцаа нь шүргэгч тул долоон синус х-ийг косинусыг хоёроор хуваавал 7 тан х хоёр-той тэнцүү байна)

2. -5 = -5 (cos товчлолтой)

Ингэснээр бид тэгшитгэлийг олж авсан

7tg - 5 = 0, Илэрхийлэлийг өөрчилье, хасах тавыг баруун тал руу шилжүүлж, тэмдгийг өөрчилье.

Бид тэгшитгэлийг tg t = a, t=, a = хэлбэрт оруулав. Мөн энэ тэгшитгэл нь ямар ч утгын шийдэлтэй тул А мөн эдгээр шийдлүүд нь хэлбэртэй байна

x = arctan a + πn, тэгвэл бидний тэгшитгэлийн шийдэл дараах хэлбэртэй байна.

Arctg + πn, х-г ол

x=2 арктан + 2πn.

Хариулт: x=2 арктан + 2πn.

Хоёр дахь зэрэглэлийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл рүү шилжье

Аsin 2 x+b sin x cos x +-тайcos 2 x= 0.

Хэд хэдэн тохиолдлыг авч үзье.

I. Хэрэв a=0, тэгвэл тэгшитгэл хэлбэрийг авна бнүгэлxcosx+scos 2 x= 0.

шийдвэрлэх үед eДараа нь бид тэгшитгэлийн хүчин зүйлчлэлийг ашигладаг. Бид үүнийг гаргана cosxхаалтны цаана байгаа бөгөөд бид дараахь зүйлийг авна. cosx(бнүгэлx+scosx)= 0 . Хаана cosx= 0 эсвэл

b sin x +-тайcos x= 0.Мөн бид эдгээр тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхээ аль хэдийн мэддэг болсон.

Тэгшитгэлийн гишүүний хоёр талыг cosх-д хуваая, бид олж авна

1 (синус ба косинусын харьцаа нь шүргэгч учраас).

Тиймээс бид тэгшитгэлийг олж авна: б tg x+c=0

Бид тэгшитгэлийг tg t = a, t= x, a = хэлбэртэй болгож бууруулсан. Мөн энэ тэгшитгэл нь ямар ч утгын шийдэлтэй тул Амөн эдгээр шийдлүүд нь хэлбэртэй байна

x = arctan a + πn, тэгвэл бидний тэгшитгэлийн шийдэл нь:

x = арктан + πn, .

II. Хэрэв a≠0, дараа нь тэгшитгэлийн хоёр талыг гишүүнээр нь хуваана cos 2 x.

(Эхний зэрэгтэй нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийн хувьд косинус х тэг рүү явж чадахгүй байгаатай адил аргаар маргаж байна).

III. Хэрэв c=0, тэгвэл тэгшитгэл хэлбэрийг авна Анүгэл 2 x+ бнүгэлxcosx= 0. Энэ тэгшитгэлийг хүчин зүйлчлэлийн аргаар шийдэж болно (бид гаргаж авдаг нүгэлxхаалтаас цааш).

Энэ нь тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед гэсэн үг юм Анүгэл 2 x+ бнүгэлxcosx+scos 2 x= 0 Та алгоритмыг дагаж болно:

ЖИШЭЭ 2. sinxcosx - cos 2 x= 0 тэгшитгэлийг шийднэ (синус х үржүүлсэн косинус х язгуурыг 3 дахин үржүүлсэн косинусын квадрат x тэгтэй тэнцүү).

Шийдэл. Үүнийг хүчин зүйлээр ангилъя (cosx-ийг хаалтнаас гарга). Бид авдаг

cos x(sin x - cos x)= 0, i.e. cos x=0 эсвэл sin x - cos x= 0.

Хариулт: x =+ πn, x= + πn.

ЖИШЭЭ 3. 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 (гурван синусын квадрат хоёр х хасах синусын үржвэрийг хоёр х үржүүлсэн косинус хоёр х нэмэх гурван косинусын квадрат хоёр х) тэгшитгэлийг шийдэж, хамаарах язгуурыг ол. интервал (- π;

Шийдэл. Энэ тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн биш тул зарим өөрчлөлтийг хийцгээе. Бид тэгшитгэлийн баруун талд байгаа 2-ын тоог 2 1 бүтээгдэхүүнээр солино

Учир нь үндсэн тригонометрийн ижилсэлээр sin 2 x + cos 2 x =1, тэгвэл

2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = хаалтуудыг нээвэл: 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) =2 sin 2 x + 2 cos 2 x

Энэ нь 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 тэгшитгэл дараах хэлбэртэй байна гэсэн үг.

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x - 2 sin 2 x - 2 cos 2 x=0,

sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +cos 2 2x =0.

Бид хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг олж авлаа. Cos 2 2x-ээр гишүүнээр нь хуваах аргыг хэрэглэцгээе.

тг 2 2х - 2тг 2х + 1 = 0.

z= tan2х шинэ хувьсагчийг оруулъя.

Бидэнд z 2 - 2 z + 1 = 0 байна. Энэ бол квадрат тэгшитгэл юм. Зүүн талд байгаа товчилсон үржүүлэх томъёог анзаарч - ялгааны квадрат (), бид (z - 1) 2 = 0, i.e. z = 1. Урвуу орлуулалт руу буцъя:

Бид тэгшитгэлийг tg t = a, t= 2x, a =1 хэлбэртэй болгож буурууллаа. Мөн энэ тэгшитгэл нь ямар ч утгын шийдэлтэй тул Амөн эдгээр шийдлүүд нь хэлбэртэй байна

x = arctan x a + πn, тэгвэл бидний тэгшитгэлийн шийдэл нь:

2х= арктан1 + πn,

x = + , (х нь pi үрийг найм, pi en хоёрыг үржүүлсэн нийлбэртэй тэнцүү).

Бидний хийх ёстой зүйл бол интервалд байгаа x утгуудыг олох явдал юм

(- π; π), i.e. π x π давхар тэгш бус байдлыг хангана. Учир нь

x= +, дараа нь - π + π. Энэ тэгш бус байдлын бүх хэсгийг π-д хувааж, 8-аар үржүүлбэл бид олж авна

нэгийг баруун, зүүн тийш шилжүүлж, тэмдгийг хасах нэг болгон өөрчил

дөрөв хуваах нь

Тохиромжтой болгохын тулд бид бүхэл бүтэн хэсгүүдийг бутархайгаар тусгаарладаг

-

Энэ тэгш бус байдлыг дараах бүхэл n тоогоор хангана: -2, -1, 0, 1

Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:

• Таныг сайт дээр өргөдөл гаргах үед бид таны нэр, утасны дугаар, имэйл хаяг гэх мэт янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

• Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар тантай холбогдох боломжийг олгодог.
• Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээдэг.
• Мөн бид үзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, танд үйлчилгээнийхээ талаар зөвлөмж өгөх зорилгоор аудит хийх, мэдээллийн дүн шинжилгээ хийх, төрөл бүрийн судалгаа хийх зэрэг хувийн мэдээллийг дотоод зорилгоор ашиглаж болно.
• Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

• Шаардлагатай бол - хууль тогтоомжийн дагуу, шүүхийн журмаар, шүүхийн журмаар, ба/эсвэл олон нийтийн хүсэлт, ОХУ-ын төрийн байгууллагуудын хүсэлтийн үндсэн дээр - өөрийн хувийн мэдээллийг задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
• Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

Хоёр үл мэдэгдэх шугаман бус тэгшитгэл

Тодорхойлолт 1. А хэсэг байг хос тооны багц (x; y). тоон функц z хоёр хувьсагчаас x ба y , хэрэв А олонлогийн хос тоо бүр тодорхой тоотой холбоотой байх дүрмийг зааж өгсөн бол.

x ба y хоёр хувьсагчийн z тоон функцийг зааж өгөх нь ихэвчлэн байдаг тэмдэглэнэТэгэхээр:

Хаана е (x , y) – функцээс бусад аливаа функц

е (x , y) = ax+by+c ,

Үүнд a, b, c тоонууд өгөгдсөн.

Тодорхойлолт 3. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх (2)хос дугаар руу залгах ( x; y) , энэ томъёо (2) нь жинхэнэ тэгш байдал юм.

Жишээ 1. Тэгшитгэлийг шийд

Аливаа тооны квадрат нь сөрөг биш тул (4) томъёоноос x ба y үл мэдэгдэх нь тэгшитгэлийн системийг хангана гэсэн үг.

шийдэл нь хос тоо (6; 3).

Хариулт: (6; 3)

Жишээ 2. Тэгшитгэлийг шийд

Тиймээс (6) тэгшитгэлийн шийдэл нь байна хязгааргүй тооны хос тоотөрлийн

(1 + y ; y) ,

энд y нь дурын тоо.

шугаман

Тодорхойлолт 4. Тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх

хос дугаар руу залгах ( x; y) , тэдгээрийг энэ системийн тэгшитгэл бүрт орлуулах үед зөв тэгшитгэлийг олж авна.

Хоёр тэгшитгэлийн систем, тэдгээрийн нэг нь шугаман хэлбэртэй байна

g(x , y)

Жишээ 4. Тэгшитгэлийн системийг шийдэх

Шийдэл. (7) системийн эхний тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх у-г үл мэдэгдэх х-ээр илэрхийлж, үүссэн илэрхийллийг системийн хоёр дахь тэгшитгэлд орлъё.

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

Тиймээс,

y 1 = 8 - x 1 = 9 ,
y 2 = 8 - x 2 = - 1 .

Хоёр тэгшитгэлийн систем, тэдгээрийн нэг нь нэгэн төрлийн

Хоёр тэгшитгэлийн системүүдийн нэг нь нэгэн төрлийн хэлбэртэй байна

Үүнд a, b, c тоонууд өгөгдсөн ба g(x , y) – х ба у хоёр хувьсагчийн функц.

Жишээ 6. Тэгшитгэлийн системийг шийдэх

Шийдэл. Нэг төрлийн тэгшитгэлийг шийдье

3x 2 + 2xy - y 2 = 0 ,

3x 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,

үл мэдэгдэх х-тэй холбоотой квадрат тэгшитгэл гэж үзвэл:

.

тохиолдолд x = - 5y, (11) системийн хоёр дахь тэгшитгэлээс бид тэгшитгэлийг олж авна

5y 2 = - 20 ,

ямар ч үндэсгүй.

тохиолдолд

(11) системийн хоёр дахь тэгшитгэлээс бид тэгшитгэлийг олж авна

,

үндэс нь тоо юм y 1 = 3 , y 2 = - 3 . Эдгээр утгуудын хувьд y-ийн харгалзах утгыг олоход бид системийн хоёр шийдлийг олж авна: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .

Хариулт: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)

Бусад төрлийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх жишээ

Жишээ 8. Тэгшитгэлийн системийг шийдэх (MIPT)

Шийдэл. Томъёоны дагуу x ба y-ээр илэрхийлэгдэх u ба v шинэ үл мэдэгдэх утгуудыг танилцуулъя.

(12) системийг шинэ үл мэдэгдэх утгаараа дахин бичихийн тулд эхлээд x, y үл мэдэгдэхийг u ба v-ээр илэрхийлнэ. Системээс (13) үүнийг дагаж мөрддөг

Энэ системийн хоёр дахь тэгшитгэлээс x хувьсагчийг хасаж шугаман системийг (14) шийдье.

• Үүний тулд бид систем (14) дээр дараах хувиргалтыг хийдэг.
• хоёр дахь тэгшитгэлээс бид эхний тэгшитгэлийг хасч, системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг үүссэн зөрүүгээр солино.

Үүний үр дүнд систем (14) нь эквивалент систем болж хувирдаг

үүнээс бид олдог

(13) ба (15) томъёог ашиглан бид анхны системийг (12) хэлбэрээр дахин бичнэ

(16) системийн эхний тэгшитгэл нь шугаман тул үүнээс үл мэдэгдэх u-г үл мэдэгдэх v-ээр илэрхийлж, энэ илэрхийлэлийг системийн хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулж болно.

Өнөөдөр бид нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг судлах болно. Эхлээд нэр томъёог авч үзье: нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл гэж юу вэ. Энэ нь дараах шинж чанаруудтай.

1. хэд хэдэн нэр томъёо агуулсан байх ёстой;
2. бүх нэр томъёо ижил зэрэгтэй байх ёстой;
3. Нэг төрлийн тригонометрийн ижилсэлд багтсан бүх функцууд нь ижил аргументтай байх ёстой.

Шийдлийн алгоритм

Нөхцөлүүдийг сонгоцгооё

Хэрэв эхний зүйлд бүх зүйл тодорхой байвал хоёр дахь зүйлийн талаар илүү дэлгэрэнгүй ярих нь зүйтэй юм. Нэр томьёо нэг зэрэгтэй байна гэдэг нь юу гэсэн үг вэ? Эхний асуудлыг авч үзье:

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

Энэ тэгшитгэлийн эхний гишүүн юм 3cosx 3\cos x. Энд зөвхөн нэг тригонометрийн функц байгааг анхаарна уу - cosx\cos x - мөн өөр ямар ч тригонометрийн функц энд байхгүй тул энэ нэр томъёоны зэрэг нь 1. Хоёрдахьтай адил - 5sinx 5\sin x - энд зөвхөн синус байдаг, өөрөөр хэлбэл энэ нэр томъёоны зэрэг нь нэгтэй тэнцүү байна. Тиймээс бидний өмнө тригонометрийн функцийг агуулсан хоёр элементээс бүрдэх ижил төстэй байдал, зөвхөн нэг л байна. Энэ бол нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэл юм.

Хоёр дахь илэрхийлэл рүү шилжье:

4нүгэл2 x+sin2x−3=0

4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0

Энэхүү бүтээн байгуулалтын анхны гишүүн нь 4нүгэл2 x 4((\sin )^(2))x.

Одоо бид дараах шийдлийг бичиж болно.

нүгэл2 x=sinx⋅sinx

((\sin )^(2))x=\sin x\cdot \sin x

Өөрөөр хэлбэл, эхний гишүүн нь хоёр тригонометрийн функцийг агуулна, өөрөөр хэлбэл түүний зэрэг нь хоёр байна. Хоёрдахь элементийг авч үзье - нүгэл 2х\sin 2x. Энэ томьёог санацгаая - давхар өнцгийн томъёо:

sin2x=2sinx⋅cosx

\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x

Дахин хэлэхэд, үүссэн томъёонд бид хоёр тригонометрийн функцтэй байна - синус ба косинус. Тиймээс барилгын энэ хугацааны эрчим хүчний үнэ цэнэ нь мөн хоёртой тэнцүү байна.

Гурав дахь элемент рүү шилжье - 3. Математикийн хичээлээс ахлах сургуульЯмар ч тоог 1-ээр үржүүлж болно гэдгийг бид санаж байгаа тул бид үүнийг бичнэ.

˜ 3=3⋅1

Мөн нэгжийг үндсэн тригонометрийн таних тэмдэг ашиглан дараах хэлбэрээр бичиж болно.

1=нүгэл2 x⋅ cos2 x

1=((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x

Тиймээс бид 3-ыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

3=3(нүгэл2 x⋅ cos2 x)=3нүгэл2 x+3 cos2 x

3=3\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x \right)=3((\sin )^(2))x+3(( \cos )^(2))x

Тиймээс бидний 3-р нэр томъёо нь хоёр элементэд хуваагддаг бөгөөд тус бүр нь нэгэн төрлийн бөгөөд хоёр дахь зэрэгтэй байдаг. Эхний гишүүн дэх синус хоёр удаа, хоёр дахь косинус хоёр удаа тохиолддог. Тиймээс 3-ыг хоёр зэрэглэлийн илтгэгчтэй нэр томъёогоор илэрхийлж болно.

Гурав дахь илэрхийлэлтэй ижил зүйл:

нүгэл3 x+ нүгэл2 xcosx=2 cos3 x

Харцгаая. Эхний нэр томъёо нь нүгэл3 x((\sin )^(3))x нь гуравдугаар зэргийн тригонометрийн функц юм. Хоёр дахь элемент - нүгэл2 xcosx((\sin )^(2))x\cos x.

нүгэл2 ((\sin )^(2)) нь чадлын утгыг хоёроор үржүүлсэн холбоос юм cosx\cos x нь эхний гишүүн юм. Нийтдээ гурав дахь нэр томъёо нь гурван хүчин чадлын утгатай байна. Эцэст нь баруун талд өөр холбоос байна - 2cos3 x 2((\cos )^(3))x нь гуравдугаар зэргийн элемент юм. Тиймээс бидний өмнө гурав дахь зэрэгтэй нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл байна.

Бидэнд бичигдсэн өөр өөр зэрэгтэй гурван таних тэмдэг бий. Хоёр дахь илэрхийлэлд дахин анхаарлаа хандуулаарай. Анхны бичлэгт нэг гишүүн маргалдсан байдаг 2x 2x. Бид энэ аргументыг давхар өнцгийн синусын томьёог ашиглан хувиргах замаар арилгахаас өөр аргагүй болсон, учир нь бидний таних тэмдэгт багтсан бүх функцүүд нь заавал ижил аргументтай байх ёстой. Мөн энэ нь нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлд тавигдах шаардлага юм.

Бид үндсэн тригонометрийн ижил төстэй томъёог ашиглаж, эцсийн шийдлийг бичнэ

Нөхцөлүүдийг цэгцэлсэн тул шийдэл рүүгээ явцгаая. Хүч чадлын экспонентаас үл хамааран энэ төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь үргэлж хоёр үе шаттайгаар явагддаг.

1) үүнийг нотлох

cosx≠0

\cos x\ne 0. Үүнийг хийхийн тулд үндсэн тригонометрийн ижилтгэлийн томъёог эргэн санахад хангалттай. (нүгэл2 x⋅ cos2 x=1)\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x=1 \right) ба энэ томъёонд орлуулна уу cosx=0\cos x=0. Бид дараах илэрхийлэлийг авах болно.

нүгэл2 x=1sinx=±1

\эхлэх(зэрэгцүүлэх)& ((\sin )^(2))x=1 \\& \sin x=\pm 1 \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх)

Хүлээн авсан утгыг орлуулах, өөрөөр хэлбэл оронд нь cosx\cos x нь тэг, оронд нь синкс\sin x — 1 эсвэл -1, анхны илэрхийлэлд бид буруу тоон тэгшитгэл авах болно. Энэ бол үндэслэл юм

cosx≠0

2) хоёр дахь алхам нь эхнийхээс логик дагуу явагдана. Түүнээс хойш

cosx≠0

\cos x\ne 0, бид бүтцийн аль аль талыг нь хуваана cosn x((\cos )^(n))x, хаана n n нь нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийн чадлын илтгэгч юм. Энэ нь бидэнд юу өгдөг вэ:

\[\begin(массив)(·(35)(л))

синксcosx=tgxcosxcosx=1

\begin(align)& \frac(\sin x)(\cos x)=tgx \\& \frac(\cos x)(\cos x)=1 \\\ end(align) \\() \\ \төгсгөл(массив)\]

Үүний ачаар бидний хүнд хэцүү анхны бүтээн байгуулалт тэгшитгэл рүү буурч байна nШүргэгчийн хувьд n-зэрэг, хувьсагчийн өөрчлөлтийг ашиглан шийдлийг хялбархан бичиж болно. Энэ бол бүхэл бүтэн алгоритм юм. Энэ нь практик дээр хэрхэн ажилладагийг харцгаая.

Бид бодит асуудлыг шийддэг

Даалгавар №1

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

Энэ нь нэгтэй тэнцүү чадлын илтгэгчтэй нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл гэдгийг бид аль хэдийн олж мэдсэн. Тиймээс эхлээд үүнийг олж мэдье cosx≠0\cos x\ne 0. Эсрэгээр нь гэж бодъё

cosx=0→sinx=±1

\cos x=0\to \sin x=\pm 1.

Үр дүнгийн утгыг илэрхийлэлдээ орлуулж, бид дараахийг авна.

3⋅0+5⋅(±1) =0±5=0

\эхлэх(зэрэгцүүлэх)& 3\cdot 0+5\cdot \left(\pm 1 \right)=0 \\& \pm 5=0 \\\ end(зохих)

Үүн дээр үндэслэн бид үүнийг хэлж чадна cosx≠0\cos x\ne 0. Бидний тэгшитгэлийг хуваа cosx\cos x учир нь бидний илэрхийлэл бүхэлдээ нэг чадлын утгатай байна. Бид авах:

3(cosxcosx) +5(синксcosx) =0 3+5тгх=0tgx=− 3 5

\эхлэх(зэрэгцүүлэх)& 3\left(\frac(\cos x)(\cos x) \баруун)+5\left(\frac(\sin x)(\cos x) \баруун)=0 \\& 3+5tgx=0 \\& tgx=-\frac(3)(5) \\\төгсгөл(эгцлэх)

Энэ нь хүснэгтийн утга биш тул хариултыг оруулах болно arctgx arctgx:

x=arctg (−3 5 ) + π n,n∈Z

x=arctg\left(-\frac(3)(5) \баруун)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\-д Z

Түүнээс хойш arctg arctg arctg нь сондгой функц тул бид аргументаас “хасах”-ыг авч, arctg-ийн өмнө тавьж болно. Бид эцсийн хариултыг авна:

x=−arctg 3 5 + π n,n∈Z

x=-arctg\frac(3)(5)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\ in Z

Даалгавар №2

4нүгэл2 x+sin2x−3=0

4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0

Таны санаж байгаагаар үүнийг шийдэж эхлэхээсээ өмнө зарим өөрчлөлтийг хийх хэрэгтэй. Бид өөрчлөлтийг хийдэг:

4нүгэл2 x+2sinxcosx−3 (нүгэл2 x+ cos2 x)=0 4нүгэл2 x+2sinxcosx−3 нүгэл2 x−3 cos2 x=0нүгэл2 x+2sinxcosx−3 cos2 x=0

\begin(align)& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3\left(((\sin )^(2))x+((\cos )^(2 ))x \right)=0 \\& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\sin )^(2))x-3((\cos) )^(2))x=0 \\& ((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\cos )^(2))x=0 \\\end (зохицуулах)

Бид гурван элементээс бүрдсэн бүтцийг хүлээн авсан. Эхний улиралд бид харж байна нүгэл2 ((\sin )^(2)), өөрөөр хэлбэл түүний чадлын утга нь хоёр байна. Хоёр дахь улиралд бид харж байна синкс\sin x ба cosx\cos x - дахиад хоёр функц байгаа, тэдгээрийг үржүүлсэн тул нийт зэрэг нь дахин хоёр байна. Гурав дахь холбоос дээр бид харж байна cos2 x((\cos )^(2))x - эхний утгатай төстэй.

Үүнийг баталцгаая cosx=0\cos x=0 нь энэ барилгын шийдэл биш юм. Үүнийг хийхийн тулд эсрэгээр нь төсөөлье:

\[\begin(массив)(·(35)(л))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\1+2\cdot \left(\pm 1 \right)\cdot 0-3\cdot 0=0 \\1+0-0=0 \ \1=0 \\\төгсгөл(массив)\]

Бид үүнийг нотолсон cosx=0\cos x=0 шийдэл байж болохгүй. Хоёр дахь алхам руу шилжье - илэрхийлэлээ бүхэлд нь хуваа cos2 x((\cos )^(2))x. Яагаад квадрат гэж? Учир нь энэхүү нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн чадлын илтгэгч нь хоёртой тэнцүү байна.

нүгэл2 xcos2 x+2sinxcosxcos2 x−3=0 т g2 x+2tgx−3=0

\begin(align)& \frac(((\sin )^(2))x)(((\cos )^(2))x)+2\frac(\sin x\cos x)(((\ cos )^(2))x)-3=0 \\& t((g)^(2))x+2tgx-3=0 \\\төгсгөл(зохицуулах)

Дискриминант ашиглан энэ илэрхийллийг шийдэх боломжтой юу? Мэдээж та чадна. Гэхдээ би Вьетагийн теоремын эсрэг теоремыг эргэн санахыг санал болгож байгаа бөгөөд бид энэ олон гишүүнтийг хоёр энгийн олон гишүүнт хэлбэрээр төлөөлж чадна гэдгийг олж мэдье, тухайлбал:

(tgx+3) (tgx−1) =0tgx=−3→x=−arctg3+ π n,n∈Ztgx=1→x= π 4 + π k,k∈Z

\эхлэх(зэрэгцүүлэх)& \left(tgx+3 \баруун)\зүүн(tgx-1 \баруун)=0 \\& tgx=-3\to x=-arctg3+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n,n\in Z \\& tgx=1\to x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\ text( )\!\!\pi\!\!\text( )k,k\ in Z \\\ end(зохицуулах)

Олон оюутнууд ижил төстэй байдлын шийдлүүдийн бүлэг тус бүрд тусад нь коэффициент бичих нь зүйтэй болов уу, эсвэл ижил зүйлийг хаа сайгүй бичихгүй байх нь зүйтэй болов уу гэж асуудаг. Хэрэв та математикийн нэмэлт шалгалттай техникийн ноцтой их сургуульд элсэх юм бол шалгуулагчид хариултаас алдаа олохгүй байхын тулд өөр үсэг ашиглах нь илүү сайн бөгөөд найдвартай гэж би хувьдаа үздэг.

Даалгавар №3

нүгэл3 x+ нүгэл2 xcosx=2 cos3 x

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x=2((\cos )^(3))x

Энэ бол гуравдахь зэрэглэлийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл гэдгийг бид аль хэдийн мэдэж байгаа бөгөөд тусгай томъёолол шаардлагагүй бөгөөд биднээс шаардлагатай бүх зүйл бол нэр томъёог шилжүүлэх явдал юм. 2cos3 x 2((\cos )^(3))x зүүн тийш. Дахин бичье:

нүгэл3 x+ нүгэл2 xcosx−2 cos3 x=0

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x-2((\cos )^(3))x=0

Элемент бүр гурван тригонометрийн функц агуулж байгааг бид харж байгаа тул энэ тэгшитгэл нь гурван чадлын утгатай байна. Үүнийг шийдье. Юуны өмнө бид үүнийг батлах хэрэгтэй cosx=0\cos x=0 нь үндэс биш:

\[\begin(массив)(·(35)(л))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\\төгсгөл(массив)\]

Эдгээр тоог анхны бүтэцдээ орлуулъя:

(±1)3 +1⋅0−2⋅0=0 ±1+0−0=0±1=0

\эхлэх(зэрэгцүүлэх)& ((\зүүн(\pm 1 \баруун))^(3))+1\cdot 0-2\cdot 0=0 \\& \pm 1+0-0=0 \\& \pm 1=0 \\\төгсгөл(гацуулах)

Тиймээс, cosx=0\cos x=0 бол шийдэл биш. Бид үүнийг нотолсон cosx≠0\cos x\ne 0. Нэгэнт бид үүнийг нотолсон бол анхны тэгшитгэлээ хувааж үзье cos3 x((\cos )^(3))x. Яагаад шоо гэж? Учир нь бидний анхны тэгшитгэл гурав дахь зэрэгтэй гэдгийг бид дөнгөж сая нотолсон.

нүгэл3 xcos3 x+нүгэл2 xcosxcos3 x−2=0 т g3 x+t g2 x−2=0

\begin(align)& \frac(((\sin )^(3))x)(((\cos )^(3))x)+\frac(((\sin )^(2))x\ cos x)(((\cos )^(3))x)-2=0 \\& t((g)^(3))x+t((g)^(2))x-2=0 \\\төгсгөл(зохицуулах)

Шинэ хувьсагчийг танилцуулъя:

tgx=t

Барилгыг дахин бичье:

т3 +т2 −2=0

((t)^(3))+((t)^(2))-2=0

Бид куб тэгшитгэлтэй. Үүнийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ? Эхэндээ би энэ видео хичээлийг эвлүүлж байхдаа эхлээд олон гишүүнтийг факторинг болон бусад аргуудын талаар ярихаар төлөвлөж байсан. Гэхдээ энэ тохиолдолд бүх зүйл илүү хялбар байдаг. Бидний өгөгдсөн нэр томъёог харна уу, хамгийн өндөр зэрэгтэй нэр томъёо нь 1. Үүнээс гадна бүх коэффициентүүд нь бүхэл тоо юм. Энэ нь бид бүх язгуурууд нь -2 тооны хуваагч, өөрөөр хэлбэл чөлөөт нэр томъёо гэсэн Безоутын теоремын үр дүнг ашиглаж болно гэсэн үг юм.

Асуулт гарч ирнэ: -2 нь юунд хуваагдах вэ? 2 бол анхны тоо учраас олон сонголт байхгүй. Эдгээр нь дараах тоонууд байж болно: 1; 2; -1; -2. Сөрөг үндэс нь нэн даруй алга болдог. Яагаад? Учир нь хоёулаа үнэмлэхүй утгаараа 0-ээс их байдаг т3 ((t)^(3))-аас модулиар их байх болно т2 ((t)^(2)). Мөн шоо нь сондгой функц тул шоо дахь тоо сөрөг байх болно т2 ((t)^(2)) - эерэг, мөн энэ бүх бүтэц, хамт t=−1 t=-1 ба t=−2 t=-2, 0-ээс ихгүй байх болно. Үүнээс -2-ыг хасаад мэдээж 0-ээс бага тоо гарна. Зөвхөн 1 ба 2-ыг л орлуулъя.

˜ t=1→ 1+1−2=0→0=0

˜t=1\to \text( )1+1-2=0\to 0=0

Бид зөв тоон тэгшитгэлийг олж авлаа. Тиймээс, t=1 t=1 нь үндэс юм.

t=2→8+4−2=0→10≠0

t=2\to 8+4-2=0\to 10\ne 0

t=2 t=2 нь үндэс биш.

Үр дүн ба ижил Безоутын теоремын дагуу үндэс нь байгаа олон гишүүнт x0 ((x)_(0)), дараах хэлбэрээр илэрхийлнэ.

Q(x)=(x= x0 )P(x)

Q(x)=(x=((x)_(0)))P(x)

Манай тохиолдолд дүрд x x нь хувьсагчийн үүрэг гүйцэтгэдэг т t, мөн дүрд x0 ((x)_(0)) нь 1-тэй тэнцүү үндэс юм. Бид дараахыг авна.

т3 +т2 −2=(t−1)⋅P(t)

((t)^(3))+((t)^(2))-2=(t-1)\cdot P(t)

Олон гишүүнтийг хэрхэн олох вэ П (t) P\зүүн(t\баруун)? Мэдээжийн хэрэг та дараахь зүйлийг хийх хэрэгтэй.

P(t)= т3 +т2 −2 t−1

P(t)=\frac(((t)^(3))+((t)^(2))-2)(t-1)

Орлуулж үзье:

т3 +т2 +0⋅t−2t−1=т2 +2т+2

\frac(((t)^(3))+((t)^(2))+0\cdot t-2)(t-1)=((t)^(2))+2t+2

Тэгэхээр бидний анхны олон гишүүнт үлдэгдэлгүй хуваагдана. Тиймээс бид анхны тэгш байдлыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

(t−1)( т2 +2т+2)=0

(t-1)(((t)^(2))+2t+2)=0

Хүчин зүйлийн ядаж нэг нь тэг байх үед бүтээгдэхүүн нь тэг болно. Бид эхний үржүүлэгчийг аль хэдийн авч үзсэн. Хоёрдахь зүйлийг харцгаая:

т2 +2т+2=0

((t)^(2))+2t+2=0

Туршлагатай оюутнууд энэ бүтээн байгуулалт ямар ч үндэсгүй гэдгийг аль хэдийн ойлгосон байх, гэхдээ ялгаварлан гадуурхалтыг тооцож үзье.

D=4−4⋅2=4−8=−4

D=4-4\cdot 2=4-8=-4

Дискриминант нь 0-ээс бага тул илэрхийлэлд үндэс байхгүй. Нийтдээ асар том бүтээн байгуулалтыг ердийн тэгш байдал болгон бууруулсан:

\[\begin(массив)(·(35)(л))

t=\text( )1 \\tgx=\text( )1 \\x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( ) \!\!\pi\!\!\text( )k,k\-д Z \\\төгсгөл(массив)\]

Эцэст нь хэлэхэд, би сүүлийн даалгаврын талаар хэд хэдэн тайлбар нэмэхийг хүсч байна.

1. нөхцөл үргэлж сэтгэл хангалуун байх уу? cosx≠0\cos x\ne 0, тэгээд энэ шалгалтыг хийх нь үнэ цэнэтэй юу? Мэдээжийн хэрэг, үргэлж биш. Ямар тохиолдолд cosx=0\cos x=0 нь бидний тэгш байдлын шийдэл бөгөөд бид үүнийг хаалтнаас гаргах ёстой бөгөөд дараа нь бүрэн эрхт нэгэн төрлийн тэгшитгэл нь хаалтанд үлдэх болно.
2. Олон гишүүнт олон гишүүнт хуваагдах нь юу вэ. Үнэхээр ч ихэнх сургуулиуд үүнийг судалдаггүй бөгөөд оюутнууд ийм загварыг анх удаа хараад бага зэрэг цочирддог. Гэвч үнэн хэрэгтээ энэ бол өндөр түвшний тэгшитгэлийн шийдлийг ихээхэн хөнгөвчлөх энгийн бөгөөд үзэсгэлэнтэй техник юм. Мэдээжийн хэрэг, тусдаа видео хичээл үүнд зориулагдсан бөгөөд би үүнийг ойрын ирээдүйд нийтлэх болно.

Гол цэгүүд

Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл нь бүх төрлийн тестийн хамгийн дуртай сэдэв юм. Тэдгээрийг маш энгийнээр шийдэж болно - нэг удаа дасгал хий. Юу яриад байгааг тодорхой болгохын тулд шинэ тодорхойлолтыг оруулъя.

Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл нь тэгээс бусад гишүүн бүр ижил тооны тригонометрийн хүчин зүйлээс бүрдэх тэгшитгэл юм. Эдгээр нь синус, косинус эсвэл тэдгээрийн хослол байж болно - шийдлийн арга нь үргэлж ижил байдаг.

Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийн зэрэг нь 0-ээс өөр гишүүнчлэлд багтсан тригонометрийн хүчин зүйлсийн тоо юм.

sinx+15 cos x=0

\sin x+15\text( cos )x=0 - 1-р зэргийн таних тэмдэг;

2 sin2x+5sinxcosx−8cos2x=0

2\text( sin)2x+5\sin xcosx-8\cos 2x=0 - 2-р зэрэг;

sin3x+2sinxcos2x=0

\sin 3x+2\sin x\cos 2x=0 - 3-р зэрэг;

sinx+cosx=1

\sin x+\cos x=1 - мөн энэ тэгшитгэл нь нэг төрлийн биш, учир нь баруун талд нэгж байдаг - тригонометрийн хүчин зүйл байхгүй тэгээс өөр нэр томъёо;

sin2x+2sinx−3=0

\sin 2x+2\sin x-3=0 нь бас нэгэн төрлийн бус тэгшитгэл юм. Элемент нүгэл 2х\sin 2x нь 2-р зэрэгтэй (үүнийг төлөөлөх боломжтой

sin2x=2sinxcosx

\sin 2x=2\sin x\cos x), 2sinx 2\sin x нь эхнийх бөгөөд 3 гишүүн нь ерөнхийдөө тэг болно, учир нь синус эсвэл косинус байхгүй.

Ерөнхий шийдлийн схем

Шийдлийн схем нь үргэлж ижил байдаг:

Ингэж бодъё cosx=0\cos x=0. Дараа нь sinx=±1\sin x=\pm 1 - энэ нь үндсэн таних тэмдэгээс хамаарна. Орлуулж үзье синкс\sin x ба cosx\cos x-г анхны илэрхийлэлд оруулах ба үр дүн нь утгагүй бол (жишээлбэл, илэрхийлэл 5=0 5=0), хоёр дахь цэг рүү очно уу;

Бид бүгдийг косинусын хүчээр хуваадаг: cosx, cos2x, cos3x... - тэгшитгэлийн чадлын утгаас хамаарна. Бид шүргэгчтэй ердийн тэгш байдлыг олж авдаг бөгөөд үүнийг tgx=t-ийг орлуулсны дараа аюулгүйгээр шийдэж болно.

tgx=tОлдсон үндэс нь анхны илэрхийллийн хариулт болно.