Жишээлбэл, \(3x^2+2x-7\) гурвалсан гишүүний хувьд дискриминант нь \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\)-тэй тэнцүү байх болно. Гурвалсан \(x^2-5x+11\) хувьд \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\) тэнцүү байх болно.

Дискриминантыг \(D\) үсгээр тэмдэглэдэг бөгөөд үүнийг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашигладаг. Мөн ялгаварлагчийн утгаар та график ойролцоогоор ямар харагдахыг ойлгож чадна (доороос харна уу).

Дискриминант ба тэгшитгэлийн үндэс

Дискриминант утга нь квадрат тэгшитгэлийн тоог харуулна.
- хэрэв \(D\) эерэг байвал тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болно;
- хэрэв \(D\) тэгтэй тэнцүү бол - зөвхөн нэг үндэс байна;
- хэрэв \(D\) сөрөг байвал үндэс байхгүй.

Үүнийг заах шаардлагагүй, зүгээр л ялгаварлагчаас (өөрөөр хэлбэл, \(\sqrt(D)\) тэгшитгэлийн язгуурыг тооцоолох томъёонд орсон гэдгийг мэдэж байж ийм дүгнэлтэд хүрэх нь тийм ч хэцүү биш юм. : \(x_(1)=\)\(\ frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) ба \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) ))(2a)\) Тохиолдол бүрийг илүү нарийвчлан авч үзье.

Хэрэв ялгаварлагч эерэг байвал

Энэ тохиолдолд түүний үндэс нь зарим юм эерэг тоо, энэ нь \(x_(1)\) ба \(x_(2)\) нь өөр өөр утгатай болно, учир нь эхний томъёонд \(\sqrt(D)\) нэмэгдэж, хоёрдугаарт хасагдсан байна. Мөн бид хоёр өөр үндэстэй.

Жишээ : \(x^2+2x-3=0\) тэгшитгэлийн язгуурыг ол.
Шийдэл :

Хариулах : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

Хэрэв ялгаварлагч нь тэг бол

Мөн ялгаварлагч бол хэдэн үндэс байх болно тэгтэй тэнцүү? Шалтгаан авч үзье.

Үндэс томьёо дараах байдалтай байна: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) ба \(x_(2)=\)\(\frac(-) b- \sqrt(D))(2a)\) . Хэрэв ялгаварлагч нь тэг бол түүний үндэс нь мөн тэг болно. Дараа нь ийм болж байна:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

Өөрөөр хэлбэл, тэгшитгэлийн язгуурын утгууд давхцах болно, учир нь тэг нэмэх эсвэл хасах нь юу ч өөрчлөгдөхгүй.

Жишээ : \(x^2-4x+4=0\) тэгшитгэлийн язгуурыг ол.
Шийдэл :

Хариулах : \(x=2\)

Квадрат тэгшитгэл. Ялгаварлан гадуурхагч. Шийдэл, жишээ.

Анхаар!
Нэмэлт байдаг
Тусгай хэсгийн 555 дахь материал.
Маш "их биш..." хүмүүст зориулав.
Мөн "маш их ..." гэсэн хүмүүст)

Квадрат тэгшитгэлийн төрлүүд

Квадрат тэгшитгэл гэж юу вэ? Энэ нь ямар харагддаг вэ? Хугацааны хувьд квадрат тэгшитгэлтүлхүүр үг нь "дөрвөлжин".Энэ нь тэгшитгэлд гэсэн үг юм Заавал x квадрат байх ёстой. Үүнээс гадна тэгшитгэл нь зөвхөн X (эхний зэрэглэлд) ба зөвхөн тоог агуулж болно (эсвэл үгүй ​​ч байж болно!) (чөлөөт гишүүн). Мөн хоёроос их хүчин чадалд X байх ёсгүй.

Ярьж байна математик хэл, квадрат тэгшитгэл нь дараах хэлбэрийн тэгшитгэл юм.

Энд a, b ба c- зарим тоо. б ба в- туйлын ямар ч, гэхдээ А- тэгээс бусад бүх зүйл. Жишээ нь:

Энд А =1; б = 3; в = -4

Энд А =2; б = -0,5; в = 2,2

Энд А =-3; б = 6; в = -18

За ойлголоо...

Эдгээр квадрат тэгшитгэлд зүүн талд байна бүрэн багц гишүүд. X коэффициент бүхий квадрат А, x-ийг коэффициенттэй эхний зэрэглэлд шилжүүлнэ бТэгээд чөлөөт гишүүн С.

Ийм квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэг дүүрэн.

Яах юм бол б= 0, бид юу авах вэ? Бидэнд байна X нь эхний хүчинд алдагдах болно.Энэ нь тэгээр үржихэд тохиолддог.) Энэ нь жишээлбэл:

5х 2 -25 = 0,

2х 2 -6х=0,

-x 2 +4x=0

гэх мэт. Хэрэв хоёулаа коэффициент байвал бТэгээд втэгтэй тэнцүү бол энэ нь бүр ч хялбар болно:

2х 2 =0,

-0.3x 2 =0

Ямар нэг зүйл дутуу байгаа ийм тэгшитгэлийг нэрлэдэг бүрэн бус квадрат тэгшитгэл.Энэ нь нэлээд логик юм.) Бүх тэгшитгэлд x квадрат байгааг анхаарна уу.

Дашрамд хэлэхэд яагаад Атэгтэй тэнцүү байж болохгүй гэж үү? Та оронд нь орлоно Атэг.) Манай X квадрат алга болно! Тэгшитгэл нь шугаман болно. Мөн шийдэл нь огт өөр ...

Энэ бол бүх үндсэн төрлүүд юм квадрат тэгшитгэл. Бүрэн ба бүрэн бус.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хялбар байдаг. Томъёоны дагуу, тодорхой энгийн дүрэм. Эхний шатанд энэ нь зайлшгүй шаардлагатай өгөгдсөн тэгшитгэлхүргэж байна стандарт харагдах байдал, өөрөөр хэлбэл маягт руу:

Хэрэв тэгшитгэлийг энэ хэлбэрээр аль хэдийн өгсөн бол та эхний шатыг хийх шаардлагагүй.) Хамгийн гол нь бүх коэффициентийг зөв тодорхойлох, А, бТэгээд в.

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олох томъёо дараах байдалтай байна.

Үндэс тэмдгийн доорх илэрхийллийг дуудна ялгаварлагч. Гэхдээ түүний тухай доор дэлгэрэнгүй. Таны харж байгаагаар бид X-г олохын тулд ашигладаг зөвхөн a, b ба c. Тэдгээр. квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүд. Зүгээр л утгыг болгоомжтой орлуулах хэрэгтэй a, b ба cБид энэ томъёогоор тооцоолно. Орлуулж үзье өөрийн шинж тэмдгээр! Жишээлбэл, тэгшитгэлд:

А =1; б = 3; в= -4. Энд бид үүнийг бичнэ:

Жишээ нь бараг шийдэгдсэн:

Энэ бол хариулт юм.

Энэ бол маш энгийн. Юу вэ, та алдаа гаргах боломжгүй гэж бодож байна уу? За, тийм ээ, яаж ...

Хамгийн түгээмэл алдаа бол тэмдгийн утгыг төөрөгдүүлэх явдал юм a, b ба c. Эс тэгвээс тэдний шинж тэмдгээр биш (хаана андуурч болох вэ?), Харин орлуулах замаар сөрөг утгуудүндсийг тооцоолох томъёонд оруулна. Энд хадгалдаг дэлгэрэнгүй оруулгатодорхой тоо бүхий томьёо. Хэрэв тооцоололд асуудал гарвал үүнийг хий!

Бид дараах жишээг шийдэх хэрэгтэй гэж бодъё.

Энд а = -6; б = -5; в = -1

Та анх удаа хариулт авах нь ховор гэдгийг мэддэг гэж бодъё.

За, битгий залхуу бай. Нэмэлт мөр бичихэд 30 секунд зарцуулагдана. Мөн алдааны тоо огцом буурах болно. Тиймээс бид бүх хаалт, тэмдгүүдийн хамт дэлгэрэнгүй бичнэ.

Ийм анхааралтай бичих нь үнэхээр хэцүү юм шиг санагддаг. Гэхдээ энэ нь зөвхөн тийм юм шиг санагддаг. Үүнийг туршаад үзээрэй. За, эсвэл сонго. Аль нь дээр вэ, хурдан эсвэл зөв үү?

Түүнээс гадна би чамайг баярлуулах болно. Хэсэг хугацааны дараа бүх зүйлийг маш болгоомжтой бичих шаардлагагүй болно. Энэ нь өөрөө аяндаа гарах болно. Ялангуяа та доор тайлбарласан практик техникийг ашигладаг бол. Олон тооны хасах зүйлтэй энэ муу жишээг амархан, алдаагүйгээр шийдэж болно!

Гэхдээ ихэнхдээ квадрат тэгшитгэлүүд арай өөр харагддаг. Жишээлбэл, иймэрхүү: Та үүнийг таньсан уу?) Тийм ээ! Энэ.

бүрэн бус квадрат тэгшитгэл

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. a, b ба c.

Тэдгээрийг мөн ерөнхий томъёогоор шийдэж болно. Энд тэд юутай тэнцүү болохыг та зүгээр л зөв ойлгох хэрэгтэй. Та үүнийг олж мэдсэн үү? Эхний жишээнд a = 1; b = -4; вА ? Энэ нь огт байхгүй! За, тийм ээ, энэ нь зөв. Математикийн хувьд энэ нь тийм гэсэн үг юм c = 0 ! Ингээд л болоо. Томъёоны оронд тэгийг орлуулаарайв, тэгээд бид амжилтанд хүрнэ. Хоёрдахь жишээтэй адилхан. Зөвхөн энд тэг байхгүй-тай б !

, А Гэхдээ бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг илүү энгийнээр шийдэж болно. Ямар ч томьёогүйгээр. Эхнийхийг авч үзьебүрэн бус тэгшитгэл

. Та зүүн талд юу хийж чадах вэ? Та X-г хаалтнаас гаргаж болно! Үүнийг гаргаж авцгаая.
Тэгэхээр энэ юу вэ? Аль нэг хүчин зүйл нь тэгтэй тэнцэх тохиолдолд л бүтээгдэхүүн тэгтэй тэнцүү байна гэсэн баримт! Надад итгэхгүй байна уу? За тэгвэл үржүүлбэл тэгийг өгөх тэгээс өөр хоёр тоог гар!
Ажиллахгүй байна уу? Ингээд л болоо... Тиймээс бид итгэлтэйгээр бичиж болно:, x 1 = 0.

x 2 = 4 Бүгд. Эдгээр нь бидний тэгшитгэлийн үндэс байх болно. Аль аль нь тохиромжтой. Тэдгээрийн аль нэгийг нь орлуулах үеданхны тэгшитгэл , бид зөв таних 0 = 0 олж авна. Таны харж байгаагаар шийдэл нь ерөнхий томъёог ашиглахаас хамаагүй хялбар юм. Дашрамд хэлэхэд, аль X нь эхнийх, аль нь хоёрдугаарт орохыг огт хайхрамжгүй болгоё. Энэ нь дарааллаар бичихэд тохиромжтой, x 1 - юу нь бага ба x 2

- энэ нь илүү том юм. Хоёр дахь тэгшитгэлийг бас энгийнээр шийдэж болно. 9 рүү шилжүүлнэ үүбаруун тал

9-ээс үндсийг нь гаргаж авахад л үлдлээ, тэгээд л болоо. Энэ нь гарах болно:

Мөн хоёр үндэс . x 1 = -3, x 2 = 3.

Бүрэн бус бүх квадрат тэгшитгэлийг ингэж шийддэг. Хаалтанд X-г оруулах, эсвэл зүгээр л тоог баруун тийш шилжүүлж, үндсийг нь гаргаж авна.
Эдгээр техникийг төөрөлдүүлэх нь туйлын хэцүү байдаг. Зүгээр л учир нь эхний тохиолдолд та ямар нэгэн байдлаар ойлгомжгүй X-ийн үндсийг задлах хэрэгтэй болно, хоёр дахь тохиолдолд хаалтнаас гаргах зүйл байхгүй ...

Ялгаварлан гадуурхагч. Ялгаварлах томъёо.

Шидэт үг ялгаварлагч ! Энэ үгийг сонсоогүй ахлах сургуулийн сурагч ховор байх! "Бид ялгаварлан гадуурхах замаар шийддэг" гэсэн хэллэг нь өөртөө итгэх итгэл, итгэлийг төрүүлдэг. Яагаад гэвэл ялгаварлагчаас заль мэхийг хүлээх шаардлагагүй! Энэ нь хэрэглэхэд хялбар бөгөөд асуудалгүй юм.) Би танд хамгийн их сануулж байна ерөнхий томъёошийдвэрлэх ямар чквадрат тэгшитгэл:

Үндэс тэмдгийн доорх илэрхийлэлийг ялгаварлагч гэж нэрлэдэг. Ихэвчлэн ялгаварлагчийг үсгээр тэмдэглэдэг Д. Ялгаварлах томъёо:

D = b 2 - 4ac

Мөн энэ илэрхийлэл нь юугаараа гайхалтай вэ? Яагаад хүртэх ёстой байсан юм тусгай нэр? Юу ялгаварлагчийн утга нь юу вэ?Эцсийн эцэст -б,эсвэл 2аэнэ томъёонд тэд тусгайлан юу ч гэж нэрлэдэггүй ... Үсэг, үсэг.

Энэ нь энд байна. Энэ томъёог ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд боломжтой ердөө гурван тохиолдол.

1. Ялгаварлагч эерэг байна.Энэ нь үндсийг нь гаргаж авах боломжтой гэсэн үг юм. Үндэс нь сайн олборлосон уу, муу уу гэдэг нь өөр асуудал. Зарчмын хувьд юу олборлож байгаа нь чухал. Тэгвэл таны квадрат тэгшитгэл хоёр үндэстэй. Хоёр өөр шийдэл.

2. Дискриминант нь тэг байна.Дараа нь танд нэг шийдэл байх болно. Учир нь тоологч дээр тэг нэмэх, хасах нь юу ч өөрчлөгдөхгүй. Хатуухан хэлэхэд энэ нь нэг үндэс биш, гэхдээ хоёр ижил. Гэхдээ хялбаршуулсан хувилбараар ярих нь заншилтай байдаг нэг шийдэл.

3. Ялгаварлагч сөрөг байна.Сөрөг тооны квадрат язгуурыг авах боломжгүй. Өө сайн. Энэ нь ямар ч шийдэл байхгүй гэсэн үг юм.

Үнэнийг хэлэхэд, хэзээ энгийн шийдэлКвадрат тэгшитгэлийн хувьд дискриминантын тухай ойлголт онцгой шаардлагагүй. Бид коэффициентийн утгыг томъёонд орлуулж, тоолно. Тэнд бүх зүйл өөрөө тохиолддог, хоёр үндэс, нэг, аль нь ч байхгүй. Гэсэн хэдий ч илүү ихийг шийдэх үед хэцүү даалгавар, мэдлэггүй ялгаварлагчийн утга ба томъёодавж чадахгүй. Ялангуяа параметр бүхий тэгшитгэлд. Ийм тэгшитгэлүүд нь Улсын шалгалт ба Улсын нэгдсэн шалгалтанд зориулсан нисэх онгоц юм!)

Тэгэхээр, квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэхТаны санаж байсан ялгаварлагчаар дамжуулан. Эсвэл та сурсан, энэ нь бас муу биш юм.) Та хэрхэн зөв тодорхойлохоо мэддэг a, b ба c. Та яаж мэдэх вэ? анхааралтайтэдгээрийг үндсэн томъёонд орлуулах ба анхааралтайүр дүнг тоол. Та үүнийг ойлгосон уу түлхүүр үгЭнд - анхааралтай уу?

Одоо алдааны тоог эрс багасгадаг практик аргуудыг анхаарч үзээрэй. Анхаарал болгоомжгүйгээс болж үүсдэг тэр л зүйлүүд... Үүний төлөө сүүлдээ өвдөж, гомдоодог...

Эхний уулзалт . Квадрат тэгшитгэлийг шийдэхээсээ өмнө залхуу байж, стандарт хэлбэрт оруулах хэрэггүй. Энэ юу гэсэн үг вэ?
Бүх хувиргалтын дараа та дараах тэгшитгэлийг авна гэж бодъё.

Үндэс томъёог бичих гэж бүү яар! Та магадлалыг бараг л хольж хутгана a, b ба c.Жишээг зөв зохио. Эхлээд X квадрат, дараа нь квадратгүй, дараа нь чөлөөт гишүүн. Үүнтэй адил:

Мөн дахин, бүү яар! X квадратын өмнөх хасах нь таныг үнэхээр бухимдуулж чадна. Мартах амархан... Хасах зүйлээ хая. Яаж? Тиймээ, өмнөх сэдвээр заасны дагуу! Бид бүхэл тэгшитгэлийг -1-ээр үржүүлэх хэрэгтэй. Бид авах:

Харин одоо та үндэсийн томъёог аюулгүй бичиж, ялгаварлагчийг тооцоолж, жишээг шийдэж дуусгах боломжтой. Өөрийнхөө төлөө шийд.

Та одоо 2 ба -1 үндэстэй байх ёстой. Хоёр дахь хүлээн авалт. Үндэсийг шалгана уу! Вьетагийн теоремын дагуу. Битгий ай, би бүгдийг тайлбарлах болно! Шалгаж байнасүүлчийн тэгшитгэл. Тэдгээр. бидний язгуур томьёог бичдэг байсан. Хэрэв (энэ жишээн дээрх шиг) коэффициент a = 1 , үндсийг нь шалгах нь амархан. Тэднийг үржүүлэхэд хангалттай. Үр дүн нь чөлөөт гишүүн байх ёстой, i.e. манай тохиолдолд -2. Анхаарна уу, 2 биш, харин -2! Чөлөөт гишүүн таны тэмдгээр

. Хэрэв энэ нь бүтэхгүй бол та аль хэдийн хаа нэгтээ залхаасан гэсэн үг юм. Алдааг хай. бХэрэв энэ нь ажиллаж байгаа бол та үндсийг нэмэх хэрэгтэй. Сүүлийн ба эцсийн шалгалт. Коэффицент нь байх ёстой -тай эсрэг бтанил. Манай тохиолдолд -1+2 = +1. Коэффицент
X-ийн өмнө байгаа нь -1-тэй тэнцүү байна. Тиймээс, бүх зүйл зөв байна! Зөвхөн х квадрат нь цэвэр, коэффициенттэй жишээнүүдэд энэ нь маш энгийн байдаг нь харамсалтай a = 1.

Гэхдээ ядаж ийм тэгшитгэлийг шалгаарай! Алдаа багасах болно. Гурав дахь хүлээн авалт . Хэрэв таны тэгшитгэл байгаа болбутархай магадлал , - бутархай хэсгүүдээс сал! Тэгшитгэлийг үржүүлнэнийтлэг хуваагч

, "Тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ? Ижил хувиргалт" хичээлд тайлбарласны дагуу. Бутархайтай ажиллахад яагаад ч юм алдаа гарсаар л байдаг...

Дашрамд хэлэхэд би муу жишээг олон тооны хасах зүйлээр хялбарчлахаа амласан. Гуйя! Тэр энд байна.

Хасах тал дээр төөрөлдөхгүйн тулд бид тэгшитгэлийг -1-ээр үржүүлнэ. Бид авах:

Ингээд л болоо! Шийдэх нь таашаал юм!

Ингээд сэдвийг тоймлон хүргэе.:

Практик зөвлөгөө 1. Шийдвэрлэхийн өмнө квадрат тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрт оруулж, байгуулна.

Зөв

3. Хэрэв коэффициентүүд нь бутархай бол бид бүхэл тэгшитгэлийг харгалзах хүчин зүйлээр үржүүлж бутархайг арилгана.

4. Хэрэв x квадрат нь цэвэр бол түүний коэффициент нэгтэй тэнцүү, шийдлийг Виетийн теоремыг ашиглан хялбархан шалгаж болно. Үүнийг хий!

Одоо бид шийдэж чадна.)

Тэгшитгэлийг шийдэх:

8х 2 - 6х + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Хариултууд (эмх замбараагүй):

Тиймээс бид итгэлтэйгээр бичиж болно:
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0.5

x - дурын тоо

x 1 = -3
x 2 = 3

шийдэл байхгүй

x 1 = 0.25
x 2 = 0.5

Бүх зүйл таарч байна уу? Гайхалтай! Квадрат тэгшитгэл бол таны зүйл биш юм толгой өвдөх. Эхний гурав нь ажилласан, харин бусад нь ажилласангүй? Тэгвэл асуудал нь квадрат тэгшитгэлд биш юм. Асуудал нь тэгшитгэлийн ижил хувиргалтуудад байна. Холбоосыг хараарай, энэ нь тустай.

Бүтэхгүй байна уу? Эсвэл огт болохгүй байна уу? Дараа нь 555-р бүлэгт эдгээр бүх жишээг задалсан болно. Үзүүлсэн голшийдэл дэх алдаа. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь бас хэрэглээний талаар ярьдаг таних тэмдгийн өөрчлөлтүүдшийдвэрт өөр өөр тэгшитгэлүүд. Маш их тусалдаг!

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)

Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.

Энэ өгүүллийг судалсны дараа та бүрэн квадрат тэгшитгэлийн үндсийг хэрхэн олохыг сурах болно гэж найдаж байна.

Дискриминантыг ашиглан бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд зөвхөн бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийддэг бөгөөд үүнийг "Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх" нийтлэлээс олох болно.

Ямар квадрат тэгшитгэлийг бүрэн гэж нэрлэдэг вэ? Энэ ax 2 + b x + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлүүд, a, b ба c коэффициентүүд нь тэгтэй тэнцүү биш байна. Тиймээс бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид D дискриминантыг тооцоолох хэрэгтэй.

D = b 2 – 4ac.

Ялгаварлагчийн үнэ цэнээс хамааран бид хариултыг бичнэ.

Хэрэв ялгаварлагч нь сөрөг тоо бол (D< 0),то корней нет.

Дискриминант нь тэг бол x = (-b)/2a. Дискриминант нь эерэг тоо байх үед (D > 0)

дараа нь x 1 = (-b - √D)/2a, мөн x 2 = (-b + √D)/2a.

Жишээ нь. Тэгшитгэлийг шийд - юу нь бага ба– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Хариулт: 2.

2-р тэгшитгэлийг шийд - юу нь бага ба + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Хариулт: үндэс байхгүй.

2-р тэгшитгэлийг шийд - юу нь бага ба + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Хариулт: – 3.5; 1.

Тиймээс 1-р зураг дээрх диаграммыг ашиглан бүрэн квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг төсөөлцгөөе.

Эдгээр томъёог ашигласнаар та ямар ч бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэж чадна. Та зүгээр л болгоомжтой байх хэрэгтэй тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт хэлбэрээр бичсэн

А - юу нь бага ба + bx + c,эс бөгөөс та алдаа гаргаж магадгүй. Жишээлбэл, x + 3 + 2x 2 = 0 тэгшитгэлийг бичихдээ та андуурч болно.

a = 1, b = 3 ба c = 2. Дараа нь

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 ба тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болно. Мөн энэ нь үнэн биш юм. (Дээрх жишээ 2-ын шийдлийг үзнэ үү).

Тиймээс, хэрэв тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт хэлбэрээр бичээгүй бол эхлээд бүрэн квадрат тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт (моном гишүүн) болгон бичих ёстой. хамгийн өндөр үзүүлэлтградус, өөрөөр хэлбэл А - юу нь бага ба , дараа нь бага – bxдараа нь үнэгүй гишүүн болно -тай.

Хоёр дахь гишүүнд бууруулсан квадрат тэгшитгэл ба тэгш коэффициенттэй квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бусад томъёог ашиглаж болно. Эдгээр томьёотой танилцацгаая. Хэрэв бүрэн квадрат тэгшитгэлийн хоёр дахь гишүүн дэх коэффициент нь тэгш (b = 2k) байвал 2-р зурагт үзүүлсэн диаграммд өгөгдсөн томъёог ашиглан тэгшитгэлийг шийдэж болно.

Коэффицент нь -д байвал бүрэн квадрат тэгшитгэлийг багасгасан гэж нэрлэдэг - юу нь бага ба нэгтэй тэнцүү байх ба тэгшитгэл хэлбэрийг авна x 2 + px + q = 0. Ийм тэгшитгэлийг шийдэлд өгч болно, эсвэл тэгшитгэлийн бүх коэффициентийг коэффициентэд хуваах замаар олж авч болно. А, зогсож байна - юу нь бага ба .

Зураг 3-т багасгасан квадратыг шийдэх диаграммыг үзүүлэв
тэгшитгэл. Энэ нийтлэлд авч үзсэн томъёоны хэрэглээний жишээг авч үзье.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд

3- юу нь бага ба + 6x – 6 = 0.

Зураг 1-ийн диаграммд үзүүлсэн томьёог ашиглан энэ тэгшитгэлийг шийдье.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3))/6 = –1 + √3

Хариулт: –1 – √3; –1 + √3

Энэ тэгшитгэлд x-ийн коэффициент байгааг та анзаарч болно тэгш тоо, өөрөөр хэлбэл b = 6 эсвэл b = 2k, үүнээс k = 3. Дараа нь D 1 = 3 2 – 3 (– 6) = 9 + 18 = зургийн диаграммд өгөгдсөн томьёог ашиглан тэгшитгэлийг шийдэж үзье. 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3))/3 = – 1 + √3

Хариулт: –1 – √3; –1 + √3. Энэ квадрат тэгшитгэлийн бүх коэффициентүүд 3-т хуваагддаг болохыг анзаарч, хуваахдаа бид x 2 + 2x – 2 = 0 багасгасан квадрат тэгшитгэлийг олж авна.
тэгшитгэлийн зураг 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3))/2 = – 1 + √3

Хариулт: –1 – √3; –1 + √3.

Бидний харж байгаагаар энэ тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед янз бүрийн томъёоБид ижил хариултыг авсан. Тиймээс 1-р зурагт үзүүлсэн томьёог сайтар эзэмшсэнээр та ямар ч бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх боломжтой болно.

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

Квадрат тэгшитгэл - шийдвэрлэхэд хялбар! *Цаашид “КУ” гэж нэрлэнэ.Найзууд аа, математикт ийм тэгшитгэлийг шийдэхээс илүү хялбар зүйл байхгүй юм шиг санагдаж байна. Гэхдээ олон хүн түүнтэй холбоотой асуудалтай байгааг надад нэг зүйл хэлсэн. Яндекс сард хэдэн эрэлт хэрэгцээтэй сэтгэгдэл төрүүлж байгааг харахаар шийдсэн. Юу болсныг хараарай:

Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Энэ нь сард 70,000 орчим хүн хайж байна гэсэн үг энэ мэдээлэл, энэ зун үүнд ямар хамаатай вэ, дунд нь юу болох вэ хичээлийн жил- хоёр дахин их хүсэлт байх болно. Энэ нь гайхах зүйл биш, учир нь эртнээс сургуулиа төгсөж, улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлдэж байгаа охид, залуус энэ мэдээллийг хайж байгаа бөгөөд сургуулийн сурагчид ч ой санамжаа сэргээхийг хичээдэг.

Энэ тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх талаар олон сайтууд байдаг ч би бас хувь нэмрээ оруулж, материалыг нийтлэхээр шийдсэн. Нэгдүгээрт, энэ хүсэлтийн дагуу зочдыг миний сайтад ирээсэй гэж хүсч байна; хоёрдугаарт, бусад нийтлэлүүдэд "KU" сэдэв гарч ирэхэд би энэ нийтлэлийн холбоосыг өгөх болно; Гуравдугаарт, би түүний шийдлийн талаар бусад сайтууд дээр бичсэнээс арай илүү зүйлийг хэлэх болно. Эхэлцгээе!Өгүүллийн агуулга:

Квадрат тэгшитгэл нь дараах хэлбэрийн тэгшитгэл юм.

a коэффициентүүд,бболон хамт дурын тоо, хаана a≠0.

IN сургуулийн курсматериалыг дараахь хэлбэрээр өгсөн болно - тэгшитгэлийг гурван ангилалд хуваана.

1. Тэд хоёр үндэстэй.

2. *Ганц үндэстэй байх.

3. Тэд ямар ч үндэсгүй. Тэд жинхэнэ үндэсгүй гэдгийг энд тэмдэглэх нь зүйтэй

Үндэсийг хэрхэн тооцдог вэ? Зүгээр л!

Бид ялгаварлагчийг тооцдог. Энэ "аймшигтай" үгийн дор маш энгийн томъёо нуугдаж байна:

Үндсэн томъёо нь дараах байдалтай байна.

*Та эдгээр томъёог цээжээр мэддэг байх хэрэгтэй.

Та нэн даруй бичиж, шийдэж болно:

Жишээ:

1. Хэрэв D > 0 бол тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй байна.

2. Хэрэв D = 0 бол тэгшитгэл нь нэг үндэстэй байна.

3. Хэрэв Д< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Тэгшитгэлийг харцгаая:

Үүнтэй холбоотойгоор ялгаварлан гадуурхагч нь 0-тэй тэнцүү байх үед сургуулийн курс нэг язгуурыг авсан гэж хэлдэг, энд есөнтэй тэнцүү байна. Бүх зүйл зөв, тийм, гэхдээ ...

Энэ санаа нь зарим талаараа буруу юм. Үнэн хэрэгтээ хоёр үндэс байдаг. Тийм ээ, тийм ээ, та гайхах хэрэггүй, та хоёр тэнцүү язгуурыг авах бөгөөд математикийн хувьд нарийвчлалтай бол хариулт нь хоёр үндэс бичих ёстой:

x 1 = 3 x 2 = 3

Гэхдээ энэ нь тийм юм - жижиг ухралт. Сургууль дээр үүнийг бичээд нэг үндэстэй гэж хэлж болно.

Одоо дараагийн жишээ:

Бидний мэдэж байгаагаар сөрөг тооны язгуурыг авч болохгүй, тиймээс шийдэл нь энэ тохиолдолдҮгүй

Энэ бол бүх шийдвэр гаргах үйл явц юм.

Квадрат функц.

Энэ шийдэл нь геометрийн хувьд ямар байгааг харуулж байна. Үүнийг ойлгох нь туйлын чухал юм (ирээдүйд бид нэг өгүүлэлд квадрат тэгш бус байдлын шийдлийг нарийвчлан шинжлэх болно).

Энэ нь маягтын функц юм:

Энд x ба y нь хувьсагч юм

a, b, c - өгсөн тоо, энд a ≠ 0 байна

График нь парабол юм:

Өөрөөр хэлбэл, квадрат тэгшитгэлийг "y" дээр шийдэх нь харагдаж байна. тэгтэй тэнцүүбид параболын х тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийг олно. Эдгээр цэгүүдийн хоёр (ялгаварлагч нь эерэг), нэг нь (ялгаварлагч нь тэг), аль нь ч биш (ялгаварлагч нь сөрөг) байж болно. тухай дэлгэрэнгүй квадрат функц харж болноИнна Фельдманы нийтлэл.

Жишээнүүдийг харцгаая:

Жишээ 1: Шийдэх 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Хариулт: x 1 = 8 x 2 = –12

*Тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг нэн даруй 2-т хуваах, өөрөөр хэлбэл хялбаршуулах боломжтой байсан. Тооцоолол нь илүү хялбар байх болно.

Жишээ 2: Шийдэх x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Бид x 1 = 11 ба x 2 = 11 гэдгийг олж мэдсэн

Хариултанд x = 11 гэж бичихийг зөвшөөрнө.

Хариулт: x = 11

Жишээ 3: Шийдэх x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Ялгаварлан гадуурхагч нь сөрөг, бодит тоонд шийдэл байхгүй.

Хариулт: шийдэл байхгүй

Ялгаварлагч нь сөрөг байна. Шийдэл бий!

Энд бид тэгшитгэл гарсан тохиолдолд шийдвэрлэх талаар ярих болно сөрөг ялгаварлагч. Та ямар нэгэн зүйл мэдэх үү нийлмэл тоо? Тэд яагаад, хаана үүссэн, юу болох талаар би энд дэлгэрэнгүй ярихгүй тодорхой үүрэгболон математикийн хэрэгцээ, энэ бол том тусдаа өгүүллийн сэдэв юм.

Комплекс тооны тухай ойлголт.

Бага зэрэг онол.

Комплекс тоо z нь хэлбэрийн тоо юм

z = a + bi

a ба b хаана байна бодит тоо, i нь төсөөллийн нэгж гэж нэрлэгддэг.

a+bi – энэ бол нэмэлт биш ГАНЦ ТООН.

Төсөөллийн нэгж нь хасах нэгийн үндэстэй тэнцүү байна.

Одоо тэгшитгэлийг авч үзье:

Бид хоёр коньюгат үндэс авдаг.

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл.

Онцгой тохиолдлуудыг авч үзье, энэ нь "b" эсвэл "c" коэффициент нь тэгтэй тэнцүү (эсвэл хоёулаа тэгтэй тэнцүү). Тэдгээрийг ямар ч ялгаварлан гадуурхахгүйгээр амархан шийдэж болно.

Тохиолдол 1. Коэффицент b = 0.

Тэгшитгэл нь:

Өөрчилье:

Жишээ:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Тохиолдол 2. Коэффицент c = 0.

Тэгшитгэл нь:

Хувиргаж, хүчин зүйл ангилъя:

*Хүчин зүйлийн ядаж нэг нь тэгтэй тэнцүү байх үед бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү байна.

Жишээ:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 эсвэл x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Тохиолдол 3. Коэффициент b = 0 ба c = 0.

Энд тэгшитгэлийн шийдэл үргэлж x = 0 байх нь тодорхой байна.

Ашигтай шинж чанарууд ба коэффициентүүдийн хэв маяг.

Том коэффициент бүхий тэгшитгэлийг шийдвэрлэх боломжийг олгодог шинж чанарууд байдаг.

Аx 2 + bx+ в=0 тэгш байдал хадгалагдана

а + б+ c = 0,Тэр

- хэрэв тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн хувьд Аx 2 + bx+ в=0 тэгш байдал хадгалагдана

а+ s =б, Тэр

Эдгээр шинж чанарууд нь шийдвэр гаргахад тусална тодорхой төрөлтэгшитгэл

Жишээ 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Боломжийн нийлбэр нь 5001+( – 4995)+(– 6) = 0 гэсэн үг

Жишээ 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Тэгш байдал хадгалагдана а+ s =б, гэсэн үг

Коэффициентуудын зүй тогтол.

1. Хэрэв ax 2 + bx + c = 0 тэгшитгэлд “b” коэффициент нь (a 2 +1), “c” коэффициент нь “a” коэффициенттэй тоон хувьд тэнцүү бол түүний язгуурууд тэнцүү байна.

сүх 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Жишээ. 6x 2 + 37x + 6 = 0 тэгшитгэлийг авч үзье.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Хэрэв ax 2 – bx + c = 0 тэгшитгэлд “b” коэффициент нь (a 2 +1), “c” коэффициент нь “a” коэффициенттэй тоон хувьд тэнцүү бол түүний язгуурууд тэнцүү байна.

сүх 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Жишээ. 15x 2 –226x +15 = 0 тэгшитгэлийг авч үзье.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Хэрэв тэгшитгэлд байгаа бол. ax 2 + bx – c = 0 коэффициент “b” тэнцүү байна (a 2 – 1) ба “c” коэффициент тоон хувьд "a" коэффициенттэй тэнцүү байна, тэгвэл түүний үндэс тэнцүү байна

сүх 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Жишээ. 17x 2 +288x – 17 = 0 тэгшитгэлийг авч үзье.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Хэрэв ax 2 – bx – c = 0 тэгшитгэлд “b” коэффициент нь (a 2 – 1), c коэффициент нь “a” коэффициенттэй тоон хувьд тэнцүү бол түүний язгуурууд тэнцүү байна.

сүх 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Жишээ. 10x 2 – 99x –10 = 0 тэгшитгэлийг авч үзье.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Вьетагийн теорем.

Вьетагийн теорем нь алдартай хүний ​​нэрээр нэрлэгдсэн Францын математикчФрансуа Вьета. Виетийн теоремыг ашиглан бид дурын KU-ийн язгууруудын нийлбэр ба үржвэрийг түүний коэффициентээр илэрхийлж болно.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Нийтдээ 14 тоо нь зөвхөн 5 ба 9-ийг өгдөг. Эдгээр нь үндэс юм. Тодорхой ур чадвараар танилцуулсан теоремыг ашиглан олон квадрат тэгшитгэлийг шууд амаар шийдэж чадна.

Үүнээс гадна Виетийн теорем. Квадрат тэгшитгэлийг ердийн аргаар (дискриминантаар) шийдсэний дараа үүссэн үндсийг шалгаж болно гэдэг нь тохиромжтой. Би үүнийг үргэлж хийхийг зөвлөж байна.

ТЭЭВЭРЛЭХ АРГА

Энэ аргын тусламжтайгаар "а" коэффициентийг "шидсэн" мэт чөлөөт нэр томъёогоор үржүүлдэг тул үүнийг нэрлэдэг. "шилжүүлэх" арга.Энэ аргыг Виетийн теоремыг ашиглан тэгшитгэлийн язгуурыг хялбархан олох боломжтой, хамгийн чухал нь ялгаварлагч нь яг квадрат байх үед ашигладаг.

Хэрэв А± b+c≠ 0, дараа нь шилжүүлэх техникийг ашиглана, жишээ нь:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Виетийн теоремыг (2) тэгшитгэлд ашигласнаар x 1 = 10 x 2 = 1 гэдгийг тодорхойлоход хялбар байдаг.

Тэгшитгэлийн үр дүнд үүссэн үндсийг 2-т хуваах ёстой (хоёр нь x 2-оос "шидэгдсэн" тул) бид олж авна.

x 1 = 5 x 2 = 0.5.

Үндэслэл нь юу вэ? Юу болоод байгааг хар даа.

(1) ба (2) тэгшитгэлийн ялгаварлагч нь тэнцүү байна:

Хэрэв та тэгшитгэлийн үндсийг харвал та зөвхөн авна өөр өөр хуваагч, үр дүн нь x 2 коэффициентээс яг хамаарна:

Хоёр дахь (өөрчлөгдсөн) нь 2 дахин том үндэстэй.

Тиймээс бид үр дүнг 2-т хуваана.

*Хэрэв бид гурвыг өнхрүүлбэл үр дүнг 3-т хуваана гэх мэт.

Хариулт: x 1 = 5 x 2 = 0.5

кв. ur-ie болон Улсын нэгдсэн шалгалт.

Үүний ач холбогдлын талаар би товчхон хэлье - ТА хурдан бөгөөд бодолгүйгээр ШИЙДВЭРЛЭХ ЧАДВАРТАЙ байх ёстой, та үндэс, ялгаварлагчийн томъёог цээжээр мэддэг байх ёстой. Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгаварт багтсан олон асуудал нь квадрат тэгшитгэлийг (геометрийг багтаасан) шийдвэрлэхэд хүргэдэг.

Анхаарах зүйл!

1. Тэгшитгэл бичих хэлбэр нь “далд” байж болно. Жишээлбэл, дараахь оруулга хийх боломжтой.

15+ 9x 2 - 45x = 0 эсвэл 15x+42+9x 2 - 45x=0 эсвэл 15 -5x+10x 2 = 0.

Та үүнийг стандарт хэлбэрт оруулах хэрэгтэй (шийдэхэд андуурахгүйн тулд).

2. X нь үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүн бөгөөд үүнийг өөр ямар ч үсгээр тэмдэглэж болно гэдгийг санаарай - t, q, p, h болон бусад.