Эхний дифференциал. §24

Ялгаатай... Зарим хүмүүсийн хувьд энэ нь алс холын сайхан зүйл боловч бусад хүмүүсийн хувьд энэ нь тийм ч сайхан байдаг үл мэдэгдэх үгматематиктай холбоотой. Хэрэв энэ нь таны хатуу бэлэг бол дифференциалыг хэрхэн зөв "бэлтгэх", юугаар "үйлчлэх" талаар олж мэдэхэд манай нийтлэл туслах болно.

Математикийн хувьд дифференциал гэдэг нь функцийн өсөлтийн шугаман хэсэг гэж ойлгогддог. Дифференциал гэдэг ойлголт нь Лейбниц f′(x 0) = df/dx·x 0-ийн дагуу деривативын тэмдэглэгээтэй салшгүй холбоотой. Үүний үндсэн дээр X олонлог дээр тодорхойлсон f функцийн нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал дараах хэлбэртэй байна: d x0 f = f′(x 0)·d x0 x. Таны харж байгаагаар дифференциал авахын тулд деривативуудыг чөлөөтэй олох боломжтой байх шаардлагатай. Тиймээс ирээдүйд юу болохыг ойлгохын тулд деривативыг тооцоолох дүрмийг давтах нь ашигтай байх болно. Тиймээс жишээнүүдийг ашиглан ялгааг нарийвчлан авч үзье. Бид энэ хэлбэрээр өгөгдсөн функцийн дифференциалыг олох хэрэгтэй: y = x 3 -x 4. Эхлээд функцийн деривативыг олъё: y′= (x 3 -x 4)′ = (x 3)′-(x 4)′ = 3x 2 -4x 3. За, одоо дифференциал авах нь лийрийг буудахтай адил хялбар юм: df = (3x 3 -4x 3) dx. Одоо бид дифференциалыг томъёо хэлбэрээр хүлээн авсан бөгөөд практик дээр энэ нь ихэвчлэн сонирхолтой байдагдижитал үнэ цэнэ өгөгдсөн тусгай параметрийн дифференциал x ба ∆x.Функцийг х-ээр далд хэлбэрээр илэрхийлэх тохиолдол байдаг. Жишээлбэл, y = x²-y x. Функцийн дериватив нь дараах хэлбэртэй байна: 2x-(y x)′. Гэхдээ яаж (y x)' авах вэ? Ийм функцийг комплекс гэж нэрлэдэг бөгөөд харгалзах дүрмийн дагуу ялгагдана: df/dx = df/dy·dy/dx. IN энэ тохиолдолд: df/dy = x·y x-1 , мөн dy/dx = y′. Одоо бид бүгдийг нэгтгэж байна: y′ = 2x-(x·y x-1 ·y′). Бид бүх тоглоомыг нэг чиглэлд бүлэглэдэг: (1+x·y x-1)·y′ = 2x, үр дүнд нь бид: y′ = 2x/(1+x·y x-1) = dy/ dx. Үүний үндсэн дээр dy = 2x dx/(1+x y x-1). Мэдээжийн хэрэг, ийм ажил ховор байдаг нь сайн хэрэг. Харин одоо та тэдэнд бас бэлэн байна. Анхны эрэмбийн дифференциалуудаас гадна дифференциалууд бас байдагилүү өндөр дараалал )· илүү өндөр дараалал – 2 . d функцийн дифференциалыг олохыг оролдъё – /г (x 3 x 6 – x 9 – x 6 , x≠0. Онлайн үйлчилгээ нь мөн ялгааг олоход тусална. Мэдээжийн хэрэг, та үүнийг шалгалт эсвэл шалгалтанд ашиглахгүй. Гэхдээ хэзээөөрийгөө шалгах шийдвэрийн зөв байдал, түүний үүргийг хэт үнэлэхэд хэцүү байдаг. Үр дүнгээс гадна завсрын шийдэл, график, тодорхойгүй интегралыг бас харуулдаг.дифференциал функц , түүнчлэн дифференциал тэгшитгэлийн үндэс. Ганц дутагдалтай тал нь бичих явцад функц нь нэг мөрөнд бичигддэг боловч цаг хугацаа өнгөрөх тусам та үүнд дасаж болно. Мэдээжийн хэрэг, ийм үйлчилгээ нь нарийн төвөгтэй функцийг даван туулж чадахгүй, гэхдээ илүү энгийн зүйл бол үүнээс хамаарна.Практик хэрэглээ

Дифференциал нь үндсэндээ физик, эдийн засагт байдаг. Тиймээс физикийн хувьд хурд ба түүний дериватив хурдатгалыг тодорхойлохтой холбоотой асуудлуудыг ихэвчлэн ялгах замаар шийддэг. Мөн эдийн засгийн хувьд дифференциал нь аж ахуйн нэгжийн үр ашиг, улсын төсвийн бодлого, жишээлбэл, санхүүгийн хөшүүргийн нөлөөг тооцоолох салшгүй хэсэг юм. Энэ нийтлэлийг хэлэлцэх болноердийн даалгавар ялгах. Задээд математик их сургуулийн оюутнуудын хувьд энэ нь ихэвчлэн ойролцоо тооцоололд дифференциал ашиглах, шийдлийг хайх даалгавруудыг агуулдаг.дифференциал тэгшитгэл

. Гэхдээ гол зүйл бол үндсийг нь тодорхой ойлгосноор та бүх шинэ даалгавруудыг амархан даван туулж чадна. Хэрэв функц нь тэнцүү хязгаартай бол үүнийг баталж болнохязгаарлагдмал тоо

, тэгвэл энэ тооны нийлбэр болон ижил суурьтай (мөн эсрэгээр) хязгааргүй бага утгыг илэрхийлж болно: .

Энэ теоремыг дифференциалагдах функцэд хэрэглэе: .
Иймд у функцийн өсөлт нь хоёр гишүүнээс бүрдэнэ: 1) х-тай харьцангуй шугаман, өөрөөр хэлбэл f`(x)х; 2) шугаман бус харьцангуй х, өөрөөр хэлбэл (x)х. Үүний зэрэгцээ, тэр цагаас хойш

, энэ хоёр дахь гишүүн нь x-ээс өндөр эрэмбийн хязгааргүй жижиг тоо юм (x тэг рүү чиглэдэг тул бүр хурдан тэглэх хандлагатай байдаг).Дифференциал

dy = f`(x)x бие даасан хувьсагчийн үүсмэл болон нэмэгдлийн үржвэртэй тэнцүү функцийн өсөлтийн x хэсэгтэй харьцуулахад үндсэн, шугаман функц гэнэ.

y = x функцийн дифференциалыг олъё.

dy=f`(x)х =x`х =х тул dx=х, өөрөөр хэлбэл. бие даасан хувьсагчийн дифференциал нь энэ хувьсагчийн өсөлттэй тэнцүү байна.

Дифференциалын геометрийн утгыг Зураг 3.11-д үзүүлэв. y = f(x) функцийн график дээр дурын M(x, y) цэгийг авъя. Аргумент x-д x нэмэгдэл өгье. Дараа нь y = f(x) функц ньy = f(x +x) - f(x) өсөлтийг хүлээн авна. Абсцисса тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй  өнцөг үүсгэсэн М цэг дээрх функцийн графикт шүргэгч зуръя, өөрөөр хэлбэл f`(x) = tan. -аас зөв гурвалжин MKNKN=MN*tg=х*tg=f`(x)х =dy.

Ийнхүү функцийн дифференциал нь х нь x өсөлтийг хүлээн авах үед тухайн цэг дэх функцийн график руу татсан шүргэгчийн ординатын өсөлт юм.

Дифференциал шинж чанаруудүндсэндээ деривативын шинж чанаруудтай төстэй:

3. d(u ± v) = du ± dv.

4. d(uv) = v du + u dv.

5. d(u/v) = (v du - u dv)/v 2.

Гэсэн хэдий ч түүний уламжлалд байдаггүй функцийн дифференциалын чухал шинж чанар байдаг - энэ нь тийм юм дифференциал хэлбэрийн инвариант байдал.

y= f(x) дифференциал=f`(x)dх функцийн дифференциалын тодорхойлолтоос. Хэрэв энэ y функц нийлмэл бол y= f(u), энд u=(x), y= f[(x)] ба f`(x) = f`(u)*u` болно. Дараа нь dy= f `(u)*u`dх. Харин u=(x) функцийн хувьд дифференциал нь du=u`dх байна. Эндээс dy= f `(u)*du.

dy=f`(x)dх ба dy= f`(u)*du тэгшитгэлүүдийг харьцуулж үзвэл бид x бие даасан хувьсагчийн функцийн оронд функцийг авч үзвэл дифференциал томъёо өөрчлөгдөхгүй эсэхийг шалгана. хамааралтай хувьсагч u. Дифференциалын энэ шинж чанарыг дифференциал хэлбэрийн (эсвэл томьёоны) инвариант байдал (өөрөөр хэлбэл өөрчлөгддөггүй байдал) гэж нэрлэдэг.

Гэсэн хэдий ч эдгээр хоёр томъёонд ялгаа байсаар байна: тэдгээрийн эхнийх нь бие даасан хувьсагчийн дифференциал нь энэ хувьсагчийн өсөлттэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. dx = x, хоёрдугаарт du функцийн дифференциал нь зөвхөн энэ u функцийн өсөлтийн шугаман хэсэг бөгөөд зөвхөн жижиг x duu-д зориулагдсан болно.

Ойролцоогоор тооцоололд дифференциал хэрэглэх

Үүнийг дээр үзүүлсэн, өөрөөр хэлбэл. у функцийн өсөлт нь түүний дифференциал dy-ээс x-ээс их эрэмбийн хязгааргүй бага утгаар ялгаатай.

Иймд хуdy эсвэл f(x +х) - f(x)f`(x)х хангалттай бага утгуудын хувьд f(x +х)f(x) +f`( x)x. Үүссэн томъёо нь x бага байх тусам илүү нарийвчлалтай байх болно.

Жишээлбэл, олъё

Тэгэхээр y=f(x) =x 1/3. x = 125, x = 0.27 гэж үзье.

f`(x) = (x 1/3)`= 1/(3x 2/3)

f(125.27) =f(125 + 0.27)f(125) +f`(125)*(0.27) =
= 5 + 0,27/(3*25) = 5,0036

Жишээлбэл, tg 46 o-г олъё.

Тэгэхээр y=f(x) =tgx. x= 45 o =/4,х = 1 o =/180 гэж авъя.

f`(x) = (tgx)`= 1/cos 2 x

f(46 o) = f(/4 + /180)  f(/4) + f `(/4)*(/180) = бор(/4) + + (1/ cos 2 (/4))*(/180) = 1 + (1/(2/2) 2)*(/180) = 1 + /90 ( 1.035)

Түүнчлэн дифференциал ашиглан аргументыг олох (хэмжих) өгөгдсөн алдаан дээр үндэслэн функцийн үнэмлэхүй ба харьцангуй алдааг тодорхойлох асуудлыг шийдэж болно.

Үнэн утга нь тодорхойгүй, зөвхөн х ойролцоо утга нь үнэмлэхүй алдаатай мэдэгдэж байгаа x 1 аргументийн тодорхой утгын хувьд өгөгдсөн y = f(x) функцийн утгыг тооцоолох шаардлагатай байг. x| = |x - x 1 |. Хэрэв f(x 1) жинхэнэ утгын оронд f(x) утгыг авбал функцийн абсолют алдаа |f(x 1) -f(x)| = |y|dy=f`(x)х.

Энэ тохиолдолд  y = |y/y| функцийн харьцангуй алдаа хангалттай бага бол x тэнцүү байх болно, энд E x (y) нь функцийн уян хатан чанар, a x = |x/x| - харьцангуй алдаамаргаан.

Хэрэв функц бол цэг дээр ялгах боломжтой , дараа нь түүний өсөлтийг хоёр гишүүний нийлбэрээр илэрхийлж болно

. Эдгээр нэр томъёо нь хязгааргүй жижиг функцууд юм
.Эхний гишүүний хувьд шугаман байна
,хоёр дахь нь -ээс өндөр эрэмбийн хязгааргүй жижиг тоо
.Үнэхээр,

Тиймээс, хоёр дахь нэр томъёо at
функцийн өсөлтийг олоход илүү хурдан тэглэх хандлагатай байдаг
эхний нэр томъёо гол үүрэг гүйцэтгэдэг
эсвэл (үүнээс хойш
)
.

Тодорхойлолт . Функцийн өсөлтийн үндсэн хэсэг
цэг дээр , хувьд шугаман
,дифференциал гэж нэрлэдэг функцууд энэ үед болон томилогдсонdyэсвэлdf(x)

. (2)

Тиймээс бид дүгнэж болно: бие даасан хувьсагчийн дифференциал нь түүний өсөлттэй давхцдаг, өөрөөр хэлбэл
.

Харилцаа (2) одоо хэлбэртэй байна

(3)

Сэтгэгдэл . Товчхондоо (3) томъёог ихэвчлэн хэлбэрээр бичдэг

(4)

Дифференциалын геометрийн утга

Дифференциалагдах функцийн графикийг авч үзье
. Оноо
функцийн графикт хамаарагдана. Яг цэг дээр Мшүргэгч зурсан TOөнцөг нь тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй байх функцын графикт
-ээр тэмдэглэнэ
. Шулуун шугам зурцгаая М.Н тэнхлэгтэй параллель Үхэр Тэгээд
тэнхлэгтэй параллель Өө. Функцийн өсөлт нь сегментийн урттай тэнцүү байна
. Тэгш өнцөгт гурвалжнаас
, аль нь
, бид авдаг

Дээрх дүгнэлтүүд нь дараахь дүгнэлтийг хийх боломжийг бидэнд олгоно.

Функцийн дифференциал
цэг дээр Энэ функцийн графикт харгалзах цэг дээрх шүргэгчийн ординатын өсөлтөөр илэрхийлэгдэнэ.
.

Дифференциал ба дериватив хоорондын хамаарал

Томъёо (4)-ийг авч үзье.

Энэ тэгш байдлын хоёр талыг хувааж үзье dx, Дараа нь

Тиймээс, функцийн дериватив нь түүний дифференциалыг бие даасан хувьсагчийн дифференциалтай харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна.

Ихэнхдээ ийм хандлагатай байдаг функцийн деривативыг илэрхийлэх тэмдэг болгон авч үздэг цагтаргументаар X.

Деривативын тохиромжтой тэмдэглэгээ нь мөн:

,
гэх мэт.

Бичлэгүүдийг мөн ашигладаг

,
,

нарийн төвөгтэй илэрхийллийн деривативыг авахад ялангуяа тохиромжтой.

2. Нийлбэр, үржвэр, хуваарийн дифференциал.

Дифференциал нь үүсмэлээс бие даасан хувьсагчийн дифференциалаар үржүүлж олддог тул үндсэн элементар функцүүдийн дериватив, мөн дериватив олох дүрмийг мэдсэнээр дифференциал олох ижил төстэй дүрмүүдэд хүрч болно.

1 0 . Тогтмолын дифференциал нь тэг байна

2 0 . Хязгаарлагдмал тооны дифференциал функцүүдийн алгебрийн нийлбэрийн дифференциал нь эдгээр функцүүдийн дифференциалуудын алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

3 0 . Хоёр дифференциал функцийн үржвэрийн дифференциал нийлбэртэй тэнцүү байнаЭхний функцийн үржвэрийг хоёр дахь функцын дифференциалаар, хоёр дахь функцийг эхний функцийн дифференциалаар гаргана

Үр дагавар. Тогтмол үржүүлэгчийг дифференциал тэмдэгээс гаргаж болно

Жишээ. Функцийн дифференциалыг ол.

Шийдэл: Энэ функцийг хэлбэрээр бичье

тэгвэл бид авна

4. Параметрээр тодорхойлсон функцууд, тэдгээрийн ялгаа.

Тодорхойлолт . Чиг үүрэг
2 хувьсагч нь параметрийн хувьд өгөгдсөн гэж хэлдэг X Тэгээд цагт тус бүр нь ижил туслах хувьсагчийн нэг утгатай функц гэж тус тусад нь тодорхойлогддог - параметрт:

Хаанатдотор харилцан адилгүй байдаг
.

Сэтгэгдэл . Функцийн параметрийн тодорхойлолтыг параметрийн хувьд онолын механикт өргөн ашигладаг т цаг хугацаа, тэгшитгэлийг илэрхийлдэг
хөдөлж буй цэгийн проекцын өөрчлөлтийн хуулиудыг илэрхийлнэ
тэнхлэг дээр
Тэгээд
.